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目录

第一章 数与式
1.1 数与式的运算
1.1.1 绝对值
1.1.2 乘法公式
1.1.3 二次根式
1.1.4 分式
1.2 分解因式
第二章 二次方程与二次不等式
2.1 一元二次方程
2.1.1 根的判别式
2.1.2 根与系数的关系

2.2 二次函数
2.2.1 二次函数y=ax
2
+bx+c的图像和性质
2.2.2 二次函数的三种表达方式
2.2.3 二次函数的应用

2.3 方程与不等式
2.3.1 二元二次方程组的解法
第三章 相似形、三角形、圆
3.1 相似形
3.1.1 平行线分线段成比例定理
3.1.2 相似三角形形的性质与判定

3.2 三角形
3.2.1 三角形的五心
3.2.2 解三角形：钝角三角函数、正弦定理和余弦定理及其应用

3.3 圆

3.3.1 直线与圆、圆与圆的位置关系：圆幂定理
3.3.2 点的轨迹
3.3.3 四点共圆的性质与判定
3.3.4 直线和圆的方程（选学）







1.1 数与式的运算

1.１.1．绝对值

绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负 数的绝对值是它的相反
数，零的绝对值仍是零．即
?
a,a?0,
?
|a|?
?
0,a?0,
?
?a,a?0.
?
绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到 原点的距离．
两个数的差的绝对值的几何意义：
a?b
表示在数轴上，数
a
和数
b
之间的距
离．
例1 解不等式：
x?1?x?3
＞4．
解法一：由
x?1?0
，得x?1
；由
x?3?0
，得
x?3
；
①若
x?1
，不等式可变为
?(x?1)?(x?3)?4
，
即
?2x?4
＞4，解得
x
＜0，
又
x
＜1，
∴
x
＜0；
②若
1?x?2
，不等式可变为
(x?1)?(x?3)?4
，
即1＞4，
∴不存在满足条件的
x
；
③若
x?3
，不等式可变为
(x?1)?(x?3)?4
，
即
2x?4
＞4， 解得
x
＞4．
又
x
≥3，
∴
x
＞4．
综上所述，原不等式的解为

x
＜0，或
x
＞4．
解法二：如图1．1－1，
x?1< br>表示
x
轴上坐标为
x
的点
P
到坐标为1的点
A
之间的距离|
PA
|，即|
PA
|＝|
x
－1| ；|
x
－3|表
示
x
轴上点
P
到坐标为2的点B
之间的距离
|
PB
|，即|
PB
|＝|
x< br>－3|．
所以，不等式
x?1?x?3
＞4的几何意义即为
|x－3|
P
x
C
0
A
1
B
D
3 4
x
|
PA
|＋|
PB
|＞4．
|x－1|
由|
AB
|＝2，可知
图1．1－1
点
P
在 点
C
(坐标为0)的左侧、或点
P
在点
D
(坐标为4)的右 侧．

x
＜0，或
x
＞4．
练 习
1．填空：
（1）若
x?5
，则
x
=_________ ；若
x??4
，则
x
=_________.
（2）如果
a?b?5
，且
a??1
，则
b
＝________；若
1 ?c?2
，则
c
＝________.
2．选择题：
下列叙述正确
（ ）
（A）若
a?b
，则
a?b
（B）若
a?b
，则
a?b

（C）若
a?b
，则
a?b
（D）若
a?b
，则
a??b

3．化简：|
x
－ 5|－|2
x－
13|（
x
＞5）．
1.1.2. 乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
（1）平方差公式
(a?b)(a?b)?a
2
?b
2
；
（2）完全平方公式
(a?b)
2
?a
2
?2ab?b
2
．
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
（1）立方和公式
(a?b)(a
2
?ab?b
2
)?a
3
?b
3
；
（2）立方差公式
(a?b)(a
2
?a b?b
2
)?a
3
?b
3
；
（3）三数和平方公式
(a?b?c)
2
?a
2
?b
2
?c
2
?2(ab?bc?ac)
；
（4）两数和立方公式
(a?b)
3
?a
3
? 3a
2
b?3ab
2
?b
3
；
（5）两数差立方公式
(a?b)
3
?a
3
? 3a
2
b?3ab
2
?b
3
．
对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．
例1 计算：
(x?1) (x?1)(x
2
?x?1)(x
2
?x?1)
．
222
解法一：原式=
(x
2
?1)
?
?
(x?1)?x
?
?

=
(x
2
?1)(x
4
?x
2
?1)

=
x
6
?1
．

的是

解法二：原式=
(x?1)(x
2< br>?x?1)(x?1)(x
2
?x?1)

=
(x
3
?1)(x
3
?1)

=
x
6
?1
．
例2 已知
a?b?c?4
，< br>ab?bc?ac?4
，求
a
2
?b
2
?c
2
的值．
解：
a
2
?b
2
?c
2?(a?b?c)
2
?2(ab?bc?ac)?8
．
练 习
1．填空：
1111
9423
（2）
(4m?

)
2
?16m
2
?4m?(

)
；
（1）
a
2
?b
2
?(b?a)
（ ）；
(3 )
(a?2b?c)
2
?a
2
?4b< br>2
?c
2
?(

)
．
2．选择题：
1
2
（1）若
x
2
?mx?k
是一个完全平方式，则
k
等于
（ ）
11
2
1
m

416
3
（2）不论
a
，
（ ）
a
2
?b
2
?2a?4b?8
的值
b
为何实数，
（A）
m
2
（B）
m
2
（C）
m
2
（D）
（A）总是正数 （B）总是负数
（C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负
数


1.1.3．二次根式
一般地，形如
a(a?0)
的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能
够开得尽 方的式子称为无理式. 例如
3a?a
2
?b?2b
，
a
2
?b
2
等是无理式，而
2x
2
?
2
x? 1
，
x
2
?2xy?y
2
，
a
2
等是有理式．
2
1．分母（子）有理化
把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子 ）有理化．为了进行分母（子）
有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘， 如果
它们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，例如
2
与2
，
3a
与
a
，
3?6
与
3?6，
23?32
与
23?32
，等等． 一般地，
ax
与
x
，
ax?by
与
ax?by
，
ax?b
与
ax?b
互为有理化因式．
分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母的有理化 因式，化去分母中的
根号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去分
子中的根号的过程
在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，

运算中要运用公式
ab?ab(a?0,b?0)
；而对于二次根式的除法，通常先写 成
分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加
减法类似，应在 化简的基础上去括号与合并同类二次根式．
2．二次根式
a
2
的意义
a
2
?a?
?
?
a,a?0,

?a,a?0.
?
例1 将下列式子化为最简二次根式：
（1）
12b
； （2）
a
2
b(a?0)
； （3）
4x
6
y(x?0)
．
解： （1）
12b?23b
；
（2）
a
2
b?ab?ab(a?0)
；
（3）< br>4x
6
y?2x
3
y??2x
3
y(x?0)
．
例2 计算：
3?(3?3)
．
3?3
3?(3?3)
＝
(3?3)(3?3)
33?3

9?3
3(3?1)
＝
6
3?1
＝．
2
3
解法二：
3?(3?3)
＝ ＝
3?3
解法一：
3?(3?3)
＝
3

＝
1
33?1
＝＝＝
3?1
3(3?1)(3?1)(3?1)
3?1
．
2
例3 试比较下列各组数的大小：
（1）
12?11
和
11?10
； （2）
解： （1）∵
12?11?

11?10?
2
和
22－6
.
6?4
12?11(12?11)(12?11)1
，
??
112?1112?11
11?10(11?10)(11?10)1
，
??
1
11?1011?10
又
12?11?11?10
，
22－6(22－6)(22+6)2
??,

1
22+622+6
∴
12?11
＜
11?10
．
（2）∵
22－6?
又 4＞22，
∴6＋4＞6＋22，

∴
2
＜
22－6
.
6?4
例4 化简：
(3?2)
2004
?(3?2)
2005
．
解：
(3?2)
2004
?(3?2)
2005

＝
(3?2)
2004
?(3?2)
2004
?
?(3?2 )
＝
?
?
(3?2)?(3?2)
?
2004
?( 3?2)

＝
1
2004
?(3?2)
＝
3?2
．
例 5 化简：（1）
9?45
； （2）
x
2
?
1
?2(0?x?1)
．
x
2
解：（1）原式
?5?45?4

?(5)
2
?2?2?5?2
2
?(2?5)
2
?2?5
?5?2
．
（2）原式=
(x?)
2
?x?
1
x
1
x
1
，
x
∵
0?x?1
，∴
?1?x
，所以，原式＝
?x
．
3?
3?
3?
解： ∵
x?y?
3?
1
x
例 6 已知
x?
2 3?2
，求
3x
2
?5xy?3y
2
的值 ．
, y?
23?2
23?2
??(3?2)
2
?(3?2)
2< br>?10
，
23?2
3?23?2
??1
，
3?23?2
∴
3x
2
?5xy?3y
2
?3(x?y)
2
?11xy?3?10
2
?11?289
．
xy?
练 习
1．填空：
（1）
1?3
＝__ ___；
1?3
（2）若
(5?x)(x?3)
2
?(x?3)5 ?x
，则
x
的取值范围是_ _ ___；
（3）
424?654?396?2150?
__ ___；
（4）若
x?
2．选择题：
等式
x
?
x?2
x
x?2
5
x?1?x?1x?1?x?1
，则
??
______ __．
2
x?1?x?1x?1?x?1
成立的条件是
（ ）
（A）
x?2
（B）
x?0
（C）
x?2
（D）
0?x?2

a
2
?1?1?a
2
3．若
b?
，求
a?b
的值．
a?1
4．比较大小：2－3



5－4（填“＞”，或“＜”）．

1.1.４．分式
1．分式的意义
形如的式子，若
B
中含有字母，且
B?0
，则称为 分式．当
M
≠0时，
分式具有下列性质：
AA?MAA?M
；
?
．
?
BB?MBB?M
A
B
A
BA
B
上述性质被称为分式的基本性质．
2．繁分式
am?n?p
像
b
，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．
2m
c?d
n?p
5x?4AB
??
例1 若，求常数
A,B
的值．
x(x?2)xx?2
ABA(x?2)?Bx( A?B)x?2A5x?4
???
解： ∵
?
，
xx?2x(x?2)x(x?2)x(x?2)
?
A?B?5,
∴
?
解得
A?2,B?3
．
?
2A?4,
111
??
例2 （1）试证：（其中
n
是正整数）；
n(n?1)nn?1
111
（2）计算：
；
??
L
?
1?22?39?10
1111
??
L
??
．
（3）证明：对任意大于1的正整数
n
， 有
2?33?4n(n?1)2
1 1(n?1)?n1
??
（1）证明：∵
?
，
nn?1n(n?1)n(n?1)
111
??
∴（其中
n
是正整数）成立．
n(n?1)nn?1
（2）解：由（1）可知
111111111
9
??
L
?

?(1?)?(?)?L?(?)?1?
＝
．
1?22?39?1022 391010
10
111
11111111
??
L
?
（3）证明：∵
＝
(?)?(?)?
L
?(?
，
)＝
?
2?33?4n(n?1)
2334nn?12n?1

1
又
n
≥2，且
n
是正整数，∴ 一定为正数，
n
＋1
1
111
??
L
?
∴
＜
．
2?33?4n(n?1)
2
c
例3 设
e?
，且
e
＞1，2
c
2
－5
ac
＋2
a
2
＝0，求
e
的值．
a
解：在2
c< br>2
－5
ac
＋2
a
2
＝0两边同除以
a2
，得

2
e
2
－5
e
＋2＝0，
∴(2
e－
1)(
e
－2)＝0，
∴
e
＝
1
2
＜1，舍去；或
e
＝2．
∴
e
＝2．

练 习
1．填空题：对任意的正整数
n< br>，
1
n(n?2)
?
(
1
n
?
1
n?2
)；
2．选择题：
若
2x?y
x?y
?
2
3
，则
（ ）
（A）１ （B）
5
4
（C）
4
5

3．正数
x,y
满足
x< br>2
?y
2
?2xy
，求
x?y
x?y
的值．
4．计算
111
1?2
?
2?3
?
3?4
?...?
1
99?100
．

习题1．1
A 组
1．解不等式：
(1)
x?1?3
； (2)
x?3?x?2?7
(3)
x?1?x?1?6
．
２．已知
x?y?1
，求
x
3
?y
3
?3xy的值．
3．填空：
（1）
(2?3)
18
(2?3)
19
＝________；
（2）若
(1?a)
2
?(1?a)
2
?2
，则
a
的取值范围是________；
（3）1
1?2
?
1
2?3
?
1
3?4
?< br>1
4?5
?
1
5?6
?
________．

B 组
1．填空：
（1）
a?
11
3a
2
?ab
2
，
b?
3
，则
3a
2
? 5ab?2b
2
?
____ ____；
（2）若
x?xy? 2y?0
，则
x
2
?3xy?y
2
22
x
2
?y
2
?
__ __；
2．已知：
x?< br>1
,y
1
yy
2
?
3
，求
x?y< br>?
x?y
的值．
C 组

x
y
（D）

＝
6
5



；

1．选择题：
（1）若，则
?a?b?2ab??b??a
（ ）
（A）
a?b
（B）
a?b
（C）
a?b?0
（D）
b?a?0

（2）计算
a?
1
a
等于
（ ）
（A）
?a
（B）
a
（C）
??a
（D）
?a

11
)?3(x?)?1?0
．
2
xx
1111
3．计算：
．
???
L
?
1?32?43?59?11
2．解方程
2(x
2
?
1< br>111
??
L
?
4．试证：对任意的正整数
n
，有< br>＜
．
1?2?32?3?4n(n?1)(n?2)
4
1.2因式分解
因式分解 的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解
法，另外还应了解求根法及待定系数法．
1．十字相乘法
例1 分解因式：
（1）
x
2
－3
x
＋2； （2）
x
2
＋4
x
－12；
（3）
x
2
?(a?b)xy?aby
2
； （4）
xy?1?x?y
．
解：（1）如图1．1－1，将二次项
x
2
分解成图中的两个
x
的积，再将常数项
2分解成－1与－2的乘 积，而图中的对角线上的两个数乘积的和为－3
x
，就是
x
2
－3< br>x
＋2中的一次项，所以，有
x
2
－3
x
＋2＝(
x
－1)(
x
－2)．


1
x
x
1
－2
－1
－ay
－1

1
x
x
1 6
－2
－by
－2

图1．1－3
图1．1－1
图1．1－4
图1．1－2


说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．1－1 中的
两个
x
用1来表示（如图1．1－2所示）．
（2）由图1．1－3，得
x
2
＋4
x
－12＝(
x
－2)(
x
＋6)．
（3）由图1．1－4，得
x

x
2
?(a?b)xy?aby
2
＝
( x?ay)(x?by)

－1
（4）
xy?1?x?y
＝
xy
＋(
x
－
y
)－1
y
1
图1．1－5

＝(
x
－1) (
y+
1) （如图1．1－5所示）．
课堂练习
一、填空题：
1、把下列各式分解因式：
（1）
x
2
?5
x
? 6?
____________________________________________ ______。
（2）
x
2
?5
x
?6?
___ _______________________________________________。 < br>（3）
x
2
?5
x
?6?
____________ ______________________________________。
（4）
x
2
?5
x
?6?
_____________________ _____________________________。
（5）
x
2?
?
a?1
?
x?a?
__________________ ________________________________。
（6）
x
2
?11
x
?18?
_________________________ _________________________。
（7）
6
x
2< br>?7
x
?2?
_____________________________ _____________________。
（8）
4
m
2
? 12
m
?9?
________________________________ __________________。
（9）
5
?
7x
?6x
2
?
________________________________ __________________。
12x
2
?
xy
?6y
2
?
________________________________ __________________。
（10）

2、
x
2
?
4
x?

?
?
x?
3
??
x?

?

3、若
x
2
?ax?b?
?
x?2
??
x?
4
?
则
a?
，
b?
。
二、选择题：（每小题四个答案中只有一个是正确的）
1、在多项式（1）
x
2
?
7
x?
6
（2）
x
2
?4x?3< br>（3）
x
2
?6x?8
（4）
x
2
?7x? 10

（5）
x
2
?
15
x?
44
中，有相同因式的是（ ）
A、只有（1）（2） B、只有（3）（4）
C、只有（3）（5） D、（1）和（2）；（3）和（4）；（3）和（5）
2、分解因式
a
2
?8ab?33b
2
得（ ）
a?3
?
B、
?
a?11b
??
a?3b
?
C、
?
a?11b
??
a?3b
?
D、
?
a?11b
??
a?3b
?
A、
?
a?11
??
3、
?
a?b
?
2
?
8
?
a?b
?
?
2 0
分解因式得（ ）
a?b?2
?
B、
?
a?b?5
??
a?b?4
?
A、
?
a?b?10
??
a?b?10
?
D、
?
a?b?4
??
a?b?5
?
C、
?< br>a?b?2
??
4、若多项式
x
2
?3x?a
可分解 为
?
x?5
??
x?b
?
，则
a
、
b
的值是（ ）
A、
a?10
，
b?2
B、
a?10
，
b??2
C、
a??10
，
b??2
D、
a??10
，
b?2

x?b
?
其中
a
、
b
为整数，则
m
的值为（ ） 5、若
x2
?mx?10?
?
x?a
??
A、
3
或9
B、
?3
C、
?9
D、
?3
或
?9

三、把下列各式分解因式
1、
6
?
2
p?q
?
2
?
11
?
q?
2
p
?
?
3
2、
a
3
?5a
2
b?6ab
2





3、
2
y
2
?
4
y?
6
4、
b
4
?2b
2
?8

2．提取公因式法

例2 分解因式：
（1）
a
2
?
b?5
?
?a
?
5?b
?
（2）
x
3
?9?3x
2
?3x

解： （1）．
a
2
?
b?5
?
?a
?
5?b< br>?
=
a(b?5)(a?1)

（2）
x
3
?9?3x
2
?3x
=
(x
3
?3x
2
) ?(3x?9)
=
x
2
(x?3)?3(x?3)

=
(x?3)(x
2
?3)
．
或
x
3
?9?3x
2
?3x
＝
(x
3
?3x< br>2
?3x?1)?8
＝
(x?1)
3
?8
＝
(x?1)
3
?2
3

＝
[(x?1 )?2][(x?1)
2
?(x?1)?2?2
2
]
＝
(x?3)(x
2
?3)

课堂练习：
一、填空题：
1、多项式
6x
2
y
?
2xy
2
?
4xyz
中各项的公因式是_______________。
2、
m
?
x?y
?
?n
?
y?x
?
?
?
x ?y
?
?
__________________。
3、
m
?
x
?
y
?
2
?
n
?
y
?
x
?
2
?
?
x
?
y
?
2
?
____________________。
4、
m
?< br>x?y?z
?
?n
?
y?z?x
?
?
?x?y?z
?
?
_____________________。
5、
m
?
x?y?z
?
?x?y?z?
?
x?y?z< br>?
?
______________________。
6、
?13 ab
2
x
6
?39a
3
b
2
x
5
分解因式得_____________________。
7．计算
99
2
?
99
=
二、判断题：（正确的打上“√”，错误的打上“×” ）
1、
2a
2b?4ab
2
?2ab
?
a?b
?
……………………… …………………………………
（ ）
2、
am?bm?m?m
?< br>a?b
?
……………………………………………………………
（ ）
3、
?
3
x
3
?
6
x
2
?
15
x??
3
x
?
x
2
?
2< br>x?
5
?
……………………………………………
（ ） 4、
x
n
?x
n?1
?x
n?1
?
x ?
1
?
………………………………………………………………
（ ）

3：公式法
例3 分解因式： （1）
?a
4
?
16
（2）
?
3x ?2y
?
2
?
?
x?y
?
2

解 ：(1)
?a
4
?
16
=
4
2
?(a2
)
2
?(4?a
2
)(4?a
2
)?(4? a
2
)(2?a)(2?a)

(2) ?
3x?2y
?
2
?
?
x?y
?
2< br>=
(3x?2y?x?y)(3x?2y?x?y)?(4x?y)(2x?3y)


课堂练习
一、
a
2
?2ab?b
2
，
a
2
?b
2
，
a
3
?b
3
的公因式是______________________________。

二、判断题：（正确的打上“√”，错误的打上“×” ）
42
??
2??
2
?
2
1、
x
2
?0.01?
?
?
x
?
?
?
0.1
?
?
?
x?0.1
?

?
x?0.1
?
………………………… （ ）
9
?
3
??
3
??
3
?
3a
?
4b
?
…………………………………
2、
9a2
?
8b
2
?
?
3a
?
2
?
?
4b
?
2
?
?
3a
?
4b??
2
（ ）
5a
?
4b
?
…………………………………………………
3、25a
2
?
16b
?
?
5a
?
4b< br>??
（ ）
x?y
?
………………………………………… 4、
?x
2
?y
2
??
?
x
2
? y
2
?
??
?
x?y
??
（ ）
a?b?c
?
………………………………………………5、
a
2< br>?
?
b?c
?
2
?
?
a?b?c
? ?
（ ）
五、把下列各式分解
1、
?9
?
m? n
?
2
?
?
m?n
?
2
2、
3x
2
?


2
3、
4?
?
x
2
?4x?2
?
4、
x
4
?2x
2
?1









4．分组分解法
例4 （1）
x
2
?
xy
?
3y
?
3x
（2）
2x
2
?xy?y
2
?4x?5y?6
．
（2）
2x
2
?xy?y
2
?4x?5y?6
=
2 x
2
?(y?4)x?y
2
?5y?6

=
2x
2
?(y?4)x?(y?2)(y?3)
=
(2x?y?2) (x?y?3)
．
或
2x
2
?xy?y
2
?4x?5y?6
=
(2x
2
?xy?y
2
)?(4x?5 y)?6

=
(2x?y)(x?y)?(4x?5y)?6

=
(2x?y?2)(x?y?3)
．

1
3

课堂练习：用分组分解法分解多项式（1）
x
2
?
y
2
?
a
2
?
b
2
?
2ax
?
2by

（2）
a
2
?
4
ab?
4
b
2
?
6
a?
12
b?
9






5．关于< br>x
的二次三项式
ax
2
+
bx
+
c
(
a
≠0)的因式分解．
若关于
x
的方程
ax
2
?bx?c?0(a?0)
的两个实数根是
x
1
、
x
2
，则二次三项式
ax
2
?bx?c(a?0)
就可分解为
a(x?x
1
)(x?x
2
)
.
例5 把下列关于
x
的二次多项式分解因式：
（1）
x
2
?2x?1
； （2）
x
2
?4xy?4y
2
．
解： （1）令
x
2
?2x?1
=0，则解得
x
1
??1?2
，< br>x
2
??1?2
，
???
∴
x< br>2
?2x?1
=
?
?
x?(?1?2)
??
x?(?1?2)
?

=
(x?1?2)(x?1?2)
．
（2）令
x
2
?4x y?4y
2
=0，则解得
x
1
?(?2?22)y
，
x
1
?(?2?22)y
，
∴
x
2
?4xy?4y
2
=
[x?2(1?2)y][x?2(1?2)y]
．
练 习
1．选择题：
多项式
2x
2
?xy?15y
2
的一个因式为 （ ）
（A）
2x?5y
（B）
x?3y
（C）
x?3y
（D）
x?5y

2．分解因式：
（1）
x
2
＋6
x
＋8； （2）8
a
3
－
b
3
；
（3）
x
2
－2
x
－1； （4）
4(x?y?1)?y(y?2x)
．
习题1．2
1．分解因式：
（1）
a
3
?1
； （2）
4x
4
?13x
2
?9
；
（3）
b
2
?c
2
?2ab?2ac?2bc
； （4）
3x
2
?5xy?2y
2
?x?9y?4
．
2．在实数范围内因式分解：
（1）
x
2
?5x?3
； （2）
x
2
?22x?3
；
（3）
3x
2
?4xy?y
2
； （4）
(x
2
?2x)
2
?7(x
2
?2x)?1 2
．
3．
?ABC
三边
a
，
b
，
c
满足
a
2
?b
2
?c
2
?ab?bc ?ca
，试判定
?ABC
的形状．
4．分解因式：
x
2< br>＋
x
－(
a
2
－
a
)．
5. （尝试题）已知abc=1，a+b+c=2，a?+b?+c?=，求
值.

111
++的
ab?c-1bc?a-1ca?b-1

2.1 一元二次方程

2.1.1根的判别式

{情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次方程的根的求法，
如求方程的根（1）
x
2
?
2
x?
3
?
0
(2)
x
2
?2x?1?0
(3)
x
2
?2x?3?0
}

我们知道，对于一元二次方程< br>ax
2
＋
bx
＋
c
＝0（
a
≠0） ，用配方法可以将其变
形为
b
2
b
2
?4ac

(x?)?
． ①
2
2a4a
因为
a
≠0，所以，4
a
2
＞0．于是
（1）当
b
2
－4
ac
＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不
相等的 实数根
?b?b
2
?4ac

x
1，2
＝；
2a
（2）当
b
2
－4< br>ac
＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数
根

x
1
＝
x
2
＝－
b
；
2ab
2
)
一
2a
（3）当
b
2
－4ac
＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边
(x?
定大于或等于零， 因此，原方程没有实数根．
由此可知，一元二次方程
ax
2
＋
bx
＋
c
＝0（
a
≠0）的根的情况可以由
b
2
－4
ac
来判定，我们把
b
2
－4
ac
叫做一元 二次方程
ax
2
＋
bx
＋c＝0（
a
≠0）的根的 判别式，
通常用符号“Δ”来表示．
综上所述，对于一元二次方程
ax
2< br>＋
bx
＋
c
＝0（
a
≠0），有
?b?b
2
?4ac
（1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根
x
1，2
＝；
2a
b（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根
x
1
＝
x
2
＝－；
2a
（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．
例1 判定下列关于
x
的方程的根的情况（其中
a
为常数），如果方程有实
数根，写出方程的实 数根．
（1）
x
2
－3
x
＋3＝0； （2）
x
2
－
ax
－1＝0；
（3）
x
2
－
ax
＋(
a
－1)＝0； （4）
x
2
－2
x
＋
a
＝0．
解：（1）∵Δ＝3
2
－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根．

（2）该方程的根的判别式Δ＝
a
2
－4×1×(－1)＝< br>a
2
＋4＞0，所以方程一定有
两个不等的实数根
a?a
2
?4a?a
2
?4
x
1
?
，
x
2
?
．
22
（3）由于该方程的根的判别式为
Δ＝
a
2
－4×1×(
a
－1)＝
a
2
－4
a
＋4＝(
a－
2)
2
，
所以，
①当
a
＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根

x
1
＝
x
2
＝1；
②当
a
≠2时，Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根

x
1
＝1，
x
2
＝
a－
1．
（3）由于该方程的根的判别式为
Δ＝2
2
－4×1×
a
＝4－4
a
＝4(1
－a
)，
所以
①当Δ＞0，即4(1
－a
) ＞0，即
a
＜1时，方程有两个不相等的实数根

x
1
?1?1?a
，
x
2
?1?1?a
；
②当Δ＝0，即
a
＝1时，方程有两个相等的实数根

x
1
＝
x
2
＝1；
③当Δ＜0，即
a
＞1时，方程没有实数根．
说明：在第3，4小题中，方程的根的 判别式的符号随着
a
的取值的变化而
变化，于是，在解题过程中，需要对
a< br>的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类
讨论．分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要 的方法，在今后的解
题中会经常地运用这一方法来解决问题．


2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）


若一元二次方程
ax
2
＋
bx
＋
c
＝0（
a
≠0）有两 个实数根
?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4ac

x
1
?
，
x
2
?
，
2a2a
则有

?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4ac?2bb
????
；

x
1
?x< br>2
?
2a2a2aa
?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4acb
2
?(b
2
?4ac)4acc
???
2
?
．

x
1
x
2
?
2a2a4a
2
4aa


所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：

如果
ax< br>2
＋
bx
＋
c
＝0（
a
≠0）的两根分别是
x
1
，
x
2
，那么
x
1
＋
x
2
＝
?
，
x
1
·
x
2
c
a
b
a
＝．这一关系也被称为韦达定理．
特别地，对于二次 项系数为1的一元二次方程
x
2
＋
px
＋
q
＝0， 若
x
1
，
x
2
是其
两根，由韦达定理可知

x
1
＋
x
2
＝－
p
，x
1
·
x
2
＝
q
，
即
p
＝－(
x
1
＋
x
2
)，
q＝
x
1
·
x
2
，
所以，方程
x
2
＋
px
＋
q
＝0可化为
x
2
－(
x
1
＋
x
2
)
x
＋
x
1
·
x
2
＝0，由于
x
1
，
x
2
是一
元二次方程
x
2
＋
px
＋
q
＝0的两根，所以，
x
1
，
x
2
也 是一元二次方程
x
2
－(
x
1
＋
x
2)
x
＋
x
1
·
x
2
＝0．因此有
以两个数
x
1
，
x
2
为根的一元二次方程（二次 项系数为1）是
x
2
－(
x
1
＋
x
2< br>)
x
＋
x
1
·
x
2
＝0．
例2 已知方程
5x
2
?kx?6?0
的一个根是2，求它的另一 个根及
k
的值．
分析：由于已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k
的值，
再由方程解出另一个根．但由于我们学习了韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，于是可以利
用两根之积求出方程的 另一个根，再由两根之和求出
k
的值．
解法一：∵2是方程的一个根，∴5×22
＋
k
×2－6＝0，∴
k
＝－7．
所以，方程就为 5
x
2
－7
x
－6＝0，解得
x
1
＝2，
x
2
＝－．
所以，方程的另一个根为－，
k
的值为－7．
解法二：设方程的另一个根为
x
1
，则 2
x
1
＝－，∴
x
1
＝－．
由 （－）＋2＝－，得
k
＝－7．
所以，方程的另一个根为－，
k
的值为－7．

例3 已知关 于
x
的方程
x
2
＋2(
m－
2)
x
＋
m
2
＋4＝0有两个实数根，并且这
两个实数根的平方和比两个根的积大 21，求
m
的值．
分析： 本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积 大21得
到关于
m
的方程，从而解得
m
的值．但在解题中需要特别注 意的是，由于所给
的方程有两个实数根，因此，其根的判别式应大于零．
解：设
x
1
，
x
2
是方程的两根，由韦达定理，得

x
1
＋
x
2
＝－2(
m－2)，
x
1
·
x
2
＝
m
2
＋ 4．
∵
x
1
2
＋
x
2
2－
x
1
·
x
2
＝21，
∴(
x
1
＋
x
2
)
2
－3
x
1
·
x
2
＝21，
即 [－2(
m－
2)]
2
－3(
m
2
＋4)＝21，

3
5
3
5
6
5
3
5
3
5
k
5
3
5

化简，得
m
2
－16
m
－17＝0，
解得
m
＝－1，或
m
＝17．
当
m
＝－1时，方程为
x
2
＋6
x
＋5＝0，Δ＞0，满足题意；
当
m
＝17时，方程为
x
2
＋30
x
＋293＝0，Δ＝30< br>2
－4×1×293＜0，不合题意，
舍去．
综上，
m
＝17．
说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满足方 程有两个实数根所
对应的
m
的范围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大2 1”求出
m
的值，取满足条件的
m
的值即可．
（1）在今后的解题 过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到根的
判别式Δ是否大于或大于零．因为，韦达定理成立 的前提是一元二次方程有实
数根．
例4 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．
分析：我们可以设出这两个数分别为
x
，
y
，利用二元方程求解出这 两个数．也
可以利用韦达定理转化出一元二次方程来求解．
解法一：设这两个数分别是
x
，
y
，
则
x
＋
y
＝4， ①
xy
＝－12． ②
由①，得
y
＝4－
x
，
代入②，得
x
(4－
x
)＝－12，
即
x
2
－4
x
－12＝0，
∴
x
1
＝－2，
x
2
＝6．
∴
?
?
x
1
??2,
?
x?6,
或
?
2

?
y
1
?6,
?
y2
??2.
因此，这两个数是－2和6．
解法二：由韦达定理可知，这两个数是 方程
x
2
－4
x
－12＝0的两个根．
解这个方程，得
x
1
＝－2，
x
2
＝6．
所以，这两个数是－2和6．
说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）
要比解法一简捷．
例5 若
x
1
和
x
2
分别是一元二次方程2< br>x
2
＋5
x
－3＝0的两根．


（1）求|
x
1
－
x
2
|的值； （2）求< br>5
2
3
2
11
?
的值；（3）
x
1
3
＋
x
2
3
．
22
x
1
x
2
解：∵
x
1
和
x
2
分别是一元二次 方程2
x
2
＋5
x
－3＝0的两根，
∴< br>x
1
?x
2
??
，
x
1
x
2
??
．

＝
（1）∵|
x
1
－
x
2
|
2
＝
x
1
2
+
x
2
2
－2
x
1
x
2< br>＝(
x
1
＋
x
2
)
2
－4
x
1
x
2
＝
(?)
2
?4?(?)
＝49
，
4
7
2
5
2
3
2
2 5
＋6
4
∴|
x
1
－
x
2
|＝．


（2）
x?x
2
11
??
x
1
2
x
2
2
x?x
2
2
2
1
2
1
2
（3）< br>x
1
3
＋
x
2
3
＝(
x
1
＋
x
2
)(
x
1
2
－
x
1
x
2
＋
x
2
2
)＝(
x
1< br>＋
x
2
)[ (
x
1
＋
x
2
)
2
－3
x
1
x
2
]
5
2
5
2
3
2
215
．
85325
(?)
2
?2?(?)?3
(x
1
?x
2
)?2x
1
x
2
37
224
．
?? ??
3
2
9
(x
1
x
2
)
29
(?)
24
2
＝(－)×[(－)
2
－3×(
?
)]＝－
说明：一元二次方程的 两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会
遇到求这一个量的问题，为了解题简便，我们可以探 讨出其一般规律：
设
x
1
和
x
2
分别是一元二次 方程
ax
2
＋
bx
＋
c
＝0（
a
≠0），则
?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4ac
x< br>1
?
，
x
2
?
，
2a2a
?b? b
2
?4ac?b?b
2
?4ac2b
2
?4ac
??
∴|
x
1
－
x
2
|＝

2a2a2a
b
2
?4ac?

?
．
?
|a||a|
于是有下面的结论：
若
x
1
和
x
2
分别是一元二次方程
ax
2
＋< br>bx
＋
c
＝0（
a
≠0），则|
x
1－
x
2
|＝
?
（其
|a|
中Δ＝
b< br>2
－4
ac
）．
今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．
例6 若关于
x
的一元二次方程
x
2
－
x
＋
a
－4＝0的一根大于零、另一根小于
零，求实数
a
的取值范围．
解：设
x
1
，
x
2
是方程的两根，则

x
1
x
2
＝
a
－4＜0， ①
且Δ＝(－1)
2
－4(
a
－4)＞0． ②
由①得
a
＜4，
17
由②得
a
＜ ．∴
a
的取值范围是
a
＜4．
4
练 习
1．选择题：
（1）方程
x
2
?23kx?3k
2
?0
的根的情况是 （ ）
（A）有一个实数根 （B）有两个不相等的实数根
（C）有两个相等的实数根 （D）没有实数根

（2）若关于
x
的方程
mx
2
＋ (2m
＋1)
x
＋
m
＝0有两个不相等的实数根，则实数
m
的取值范围是
（ ）
（A）
m
＜ （B）
m
＞－
11
44
11
（C）
m
＜，且
m
≠0 （D）
m
＞－，且
m
≠0
44
11
?
＝ ．
x
1
x
2
2．填空:
（1）若方程
x
2
－3
x
－1＝0的两根分别是
x
1
和
x
2
，则
（2）方程
mx
2
＋
x
－2
m
＝0（
m
≠0）的根的情况是 ．
（3）以－3和1为根的一元二次方程是 ．
3．已知
a
2
?8a?16?|b?1|?0
，当
k< br>取何值时，方程
kx
2
＋
ax
＋
b
＝0有两 个不相等
的实数根？
4．已知方程
x
2
－3
x
－ 1＝0的两根为
x
1
和
x
2
，求(
x
1< br>－3)(
x
2
－3)的值．

习题2.1
A 组
1．选择题:
（1）已知关于
x
的方程
x
2
＋
kx
－2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（ ）
（A）－3 （B）3 （C）－2 （D）2
（2）下列四个说法：
①方程
x
2
＋2
x
－7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7；
②方程
x
2
－2
x
＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为 7；
③方程3
x
2
－7＝0的两根之和为0，两根之积为
?
；
④方程3
x
2
＋2
x
＝0的两根之和为－2，两根之积为0．
其中正确说法的个数是 （ ）
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
（3）关于
x
的一元二次方程
ax< br>2
－5
x
＋
a
2
＋
a
＝0的一个根 是0，则
a
的值是（ ）
（A）0 （B）1 （C）－1 （D）0，
或－1
2．填空:
（1）方程
k x
2
＋4
x
－1＝0的两根之和为－2，则
k
＝ ．
（2）方程2
x
2
－
x
－4＝0的两根为α，β，则α
2
＋β
2
＝ ．
（3）已知关于
x的方程
x
2
－
ax
－3
a
＝0的一个根是－2 ，则它的另一个根
是 ．
（4）方程2
x
2
＋2
x
－1＝0的两根为
x
1
和
x
2
，则|< br> x
1
－
x
2
|＝ ．
3．试判定当
m
取何值时，关于
x
的一元二次方程
m
2
x
2
－(2
m
＋1)
x
＋1＝0有两

7
3

个不相等的实数根？有两个相等的实数根？没有实数根？
4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程
x
2
－7
x
－1 ＝0各根的相反数．
B 组
1．选择题:
若关于
x
的方程< br>x
2
＋(
k
2
－1)
x
＋
k
＋1＝0的两根互为相反数，则
k
的值为 ( )
（A）1，或－1 （B）1 （C）－1 （D）0
2．填空:
（1）若
m
，
n
是方程
x
2
＋2005
x
－1＝0的两个实数根，则
m
2
n
＋
mn
2
－
mn
的值
等于 ．
（2）如果
a
，
b
是方程
x
2
＋
x－1＝0的两个实数根，那么代数式
a
3
＋
a
2
b＋
ab
2
＋
b
3
的值是 ．
3．已知关于
x
的方程
x
2
－
kx
－2＝ 0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两根为
x
1
和
x
2
，如果2(
x
1
＋
x
2
)＞
x
1
x
2
，求实数
k
的取值范围．
4．一元二次方程
ax
2
＋
bx
＋
c
＝0 （
a
≠0）的两根为
x
1
和
x
2
．求：
（1）|
x
1
－
x
2
|和
x
1
?x
2
；（2）
x
1
3
＋
x
2< br>3
．
2
5．关于
x
的方程
x
2
＋ 4
x
＋
m
＝0的两根为
x
1
，
x
2
满足|
x
1
－
x
2
|＝2，求实数
m
的
值．
C 组
1．选择题：
（1）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2< br>x
2
－8
x
＋7＝0的两根，
则这个直角三角形的斜边长等于
（ ）
（A）
3
（B）3 （C）6 （D）9
（2）若
x
1
，
x
2
是方程2
x
2
－4
x
＋1＝0的两个根，则
（ ）
（A）6 （B）4 （C）3 （D）
（3）如果关于
x
的方程
x
2
－2(1－
m
)
x
＋
m
2
＝0有两实数根α，β，则α＋β的取
值
范
围
为

（


x
1
x
2
?
的值为
x
2
x
1
3
2

）

（A）α＋β≥ （B）α＋β≤ （C）α＋β≥1 （D）α＋β≤1
（4）已知
a
，
b，
c
是Δ
ABC
的三边长，那么方程
cx
2
＋ (
a
＋
b
)
x
＋＝0的根的
情
况
是
(



)
（A）没有实数根 （B）有两个不相等的实数根
（C）有两个相等的实数根 （D）有两个异号实数根
2．填空：若方程
x
2
－8
x
＋
m
＝0的两根为
x
1
，
x
2
，且3
x
1
＋2
x
2
＝18，则
m
＝ ．
3． 已知
x
1
，
x
2
是关于
x
的一元二次方程4
kx
2
－4
kx
＋
k
＋1＝0的 两个实数根．
（1）是否存在实数
k
，使(2
x
1
－x
2
)(
x
1
－2
x
2
)＝－成立？若存在，求出
k
的值；
若不存在，说明理由；
（2）求使
试求
?
的值．
m
2
4．已知关于x
的方程
x?(m?2)x??0
．
4
2
1
2
1
2
c
4
3
2
x
1
x
2
x
?
－2的值为整数的实数
k
的整数值；（3）若
k＝－2，
?
?
1
，
x
2
x
1
x
2
（1）求证：无论
m
取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根； < br>（2）若这个方程的两个实数根
x
1
，
x
2
满足|< br>x
2
|＝|
x
1
|＋2，求
m
的值及相应的
x
1
，
x
2
．
5．若关于
x
的 方程
x
2
＋
x
＋
a
＝0的一个大于1、零一根小于 1，求实数
a
的取值
范围．




2．2 二次函数

2.2.1 二次函数
y
＝
a x
2
＋
bx
＋
c
的图象和性质

情境设置：可先让学生通过具体实例探索二次函数的图象，如作图
（1）
y?x
2
(2)
y??x
2
(3)
y?x
2
?2x?3

问题1 函数
y
＝< br>ax
2
与
y
＝
x
2
的图象之间存在怎样的关 系？
为了研究这一问题，我们可以先画出
y
＝2
x
2
，< br>y
＝
x
2
，
y
＝－2
x
2
的图象，通
过这些函数图象与函数
y
＝
x
2
的图象之间的关 系，推导出函数
y
＝
ax
2
与
y
＝
x2
的
图象之间所存在的关系．
先画出函数
y
＝
x2
，
y
＝2
x
2
的图象．
先列表：
1
2
x
x
2
2
x
2

…
…
…
－3
9
18
－2
4
8
－1
1
2
0
0
0
1
1
2
2
4
8
3
9
18
…
…

从表中不难看出，要得到2
x
2
的值， 只要把相应的
x
2
的值扩大两倍就可以了．
再描点、连线，就分别得到了函 数
y
＝
x
2
，
y
＝2
x
2
的图象（如图2－1所示），
从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：函数
y< br>＝2
x
2
的图象可以由
函数
y
＝
x
2
的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到．
同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y
＝
x
2
，
y
＝－2
x
2
的 图象，并研
究这两个函数图象与函数
y
＝
x
2
的图象之间的 关系．
通过上面的研究，我们可以得到以下结论：
二次函数
y
＝
ax
2
(
a
≠0)的图象可以由
y
＝
x
2
的图象各点的纵坐标变为原来的
a
倍得到．在二次函数
y
＝
ax
2
(
a
≠0)中，二次项系数
a
决定了图象的开口方向 和在
同一个坐标系中的开口的大小．
问题2 函数
y
＝
a
(
x
＋
h
)
2
＋
k
与
y
＝
ax
2
的图象之间存在怎样的关系？
同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来
y
研究它们之间的关系．同 学们可以作出函数
y
＝2(
x
＋1)
2
＋1
y＝2 (x＋1)
2
＋1
2
与
y
＝2
x
的图象 （如图2－2所示），从函数的同学我们不难
y＝2(x＋1)
2

发现，只 要把函数
y
＝2
x
2
的图象向左平移一个单位，再向上
y＝ 2x
2

2
平移一个单位，就可以得到函数
y
＝2(
x
＋1)＋1的图象．这两
个函数图象之间具有“形状相同，位置不同”的特点．
类似地，还可以通过画函数
y
＝－3
x
2
，
y
＝－ 3(
x
－1)
2
＋1
的图象，研究它们图象之间的相互关系．
通过上面的研究，我们可以得到以下结论：
x
－1
O
2二次函数
y
＝
a
(
x
＋
h
)＋
k
(
a
≠0)中，
a
决定了二次函数图象
图2.2-2
的开口大小及方向；
h
决定了二次函数图象的左右平移，而
且“
h< br>正左移，
h
负右移”；
k
决定了二次函数图象的上下平移，而且“k
正上
移，
k
负下移”．
由上面的结论，我们可以得到研究二 次函数
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
(
a
≠0)的图象的方

1
2

法：
b
2
b
2
bb
2
由于
y
＝
ax
＋
bx
＋
c
＝
a
(
x
＋
x
)＋
c
＝
a
(
x
＋
x
＋
2
)＋
c
－
4a
4a
aa
b
2
b
2
?4ac

?a(x?)?
，
2a4a
22
所以，
y
＝ax
2
＋
bx
＋
c
(
a
≠0)的图象 可以看作是将函数
y
＝
ax
2
的图象作左右平
移、上下平移 得到的，于是，二次函数
y
＝
ax
2
＋
bx
＋c
(
a
≠0)具有下列性质：
（1）当
a
＞0时，函 数
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
图象开 口向上；顶点坐标为
b4ac?b
2
bb
(?,)
，对称轴为直线< br>x
＝－
；当
x
＜
?
时，
y
随着x
的增大而减小；
2a4a
2a2a
4ac?b
2
bb
当
x
＞
?
时，
y
随着
x
的增大而 增大；当
x
＝
?
时，函数取最小值
y
＝
．
4a
2a2a
（2）当
a
＜0时，函数
y
＝ax
2
＋
bx
＋
c
图象开口向下；顶点坐标为
b4ac?b
2
bb
(?,)
，对称轴为直线
x
＝－
；当
x
＜
?
时，
y
随着
x
的增大而增大 ；
2a4a
2a2a
4ac?b
2
bb
当
x
＞
?
时，
y
随着
x
的增大而减小；当
x
＝
?
时，函数取最大值
y
＝
．
4a
2a2a
上述二次函数的性质可以分别通过图2．2－3和图2．2－4直观地 表示出来．因
此，在今后解决二次函数问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的思想
b4 ac?b
2
y
y
A
(?
方法来解决问题．
,)

b

2a4a
x＝－

2a

y
2
y＝x
2

y＝2x

O
x

O
x

b4ac?b
2
b
,)
A
(?
x＝－
2a4a

2a
图2.2-4

图2.2-3
x

O

图2.2-1







例1 求二次函数
y
＝
－3
x
2
－6
x
＋1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当
x
取何值时，
y
随
x
的增 大而增大（或减小）？并
画出该函数的图象．

解：∵
y
＝
－
3
x
2
－6
x
＋1＝－3(
x
＋1)
2
＋4，
∴函数图象的开口向下；
对称轴是直线
x
＝－1；
顶点坐标为(－1，4)；
当
x
＝－1时，函数
y
取最大值
y
＝4；
当
x
＜－1时，
y
随着
x
的增大而增大；当
x< br>＞－1时，
y
随着
x
的增大而减小；
采用描点法画图，选顶 点
A
(－1，4))，与
x
轴交于点
A(－1,4)
y
D(0,1)
C
O
B
x＝－1
图2.2－5
x
B
(
23?3
,0)
和
3
C
(?
23?3
,0)
，与
3
y
轴的交点为
D
(0，1)，过
这五点画出图象（如图2－5所示）．
说明：从这个例题可以看出，根据配 方后得到的性质画函数的图象，可以直
接选出关键点，减少了选点的盲目性，使画图更简便、图象更精确 ．

函数
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
图象作图要领：
（1） 确定开口方向：由二次项系数a决定
（2） 确定对称轴：对称轴方程为
x??
b

2a
（3） 确定图象与x轴 的交点情况，①若△>0则与x轴有两个交点，可由
方程
x
2
＋
bx
＋
c=0
求出②①若△=0则与x轴有一个交点，可由方程
x
2＋
bx
＋
c=0
求出③①若△<0则与x轴有无交点。
（4） 确定图象与y轴的交点情况,令x=0得出y=c，所以交点坐标为（0，
c）
（5） 由以上各要素出草图。
练习：作出以下二次函数的草图
（1）
y?x
2
?x?
6
(2)
y?x
2
?2x?1
(3)
y??x
2
?1

例2 某种产品的成本是120元件，试销阶段 每件产品的售价
x
（元）与产
品的日销售量
y
（件）之间关系如下表 所示：
x
元
y
件
130
70
150
50
165
35

若日销售量
y
是销售价< br>x
的一次函数，那么，要使每天所获得最大的利润，
每件产品的销售价应定为多少元？此 时每天的销售利润是多少？
分析：由于每天的利润＝日销售量
y
×(销售价
x
－120)，日销售量
y
又是销售
价
x
的一次函数，所以 ，欲求每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的
利润与销售价
x
之间的函数关系 ，然后，再由它们之间的函数关系求出每天利
润的最大值．
解：由于
y
是< br>x
的一次函数，于是，设
y
＝
kx
＋
（B）

将
x
＝130，
y
＝70；
x
＝150，
y
＝50代入方程，有
?
70?130k?b,

?
50?150k?b,
?
解得
k
＝－1，
b
＝200．∴
y
＝－
x
＋200．
设每天的利润为
z
（元），则
z
＝(－
x
+20 0)(
x
－120)＝－
x
2
＋320
x
－240 00＝－(
x
－160)
2
＋1600，
∴当
x
＝160时，
z
取最大值1600．
答：当售价为160元件时，每天的利润最大，为1600元．
例3 把二次函数
y
＝
x
2
＋
bx
＋
c
的图像向上平移2个 单位，再向左平移4个
单位，得到函数
y
＝
x
2
的图像，求
b
，
c
的值．
b
2
b
2
解法一 ：
y
＝
x
＋
bx
＋
c
＝(
x+)
?c?
，把它的图像向上平移2个单位，再向
4
2
bb2
2
左平移4个单位，得到
y?(x??4)?c??2
的图像，也就是 函数
y
＝
x
2
的图像，
24
2
所以，

?
b
??4?0,
?
?
2

?
2
b
?
c??2?0,
?
4
?
解得
b
＝－8，
c
＝14．
解法二：把二次函数
y＝
x
2
＋
bx
＋
c
的图像向上平移2个单位， 再向左平移4
个单位，得到函数
y
＝
x
2
的图像，等价于把 二次函数
y
＝
x
2
的图像向下平移2个
单位，再向右平移4 个单位，得到函数
y
＝
x
2
＋
bx
＋
c< br>的图像．
由于把二次函数
y
＝
x
2
的图像向下平 移2个单位，再向右平移4个单位，得
到函数
y
＝(
x
－4)
2
＋2的图像，即为
y
＝
x
2
－8
x
＋ 14的图像，∴函数
y
＝
x
2
－8
x
＋
1 4与函数
y
＝
x
2
＋
bx
＋
c
表 示同一个函数，∴
b
＝－8，
c
＝14．
说明：本例的两种解法都 是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，
同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规律． 这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向
的思维来解决的，其运算 量相对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来
的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量 小的优点．今后，我们在
解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题．
例4 已知函数
y
＝
x
2
，－2≤
x
≤
a
，其中
a
≥－2，求该函数的最大值与最小
值，并求出函数取最大 值和最小值时所对应的自变量
x
的值．
分析：本例中函数自变量的范围是一个变化 的范围，需要对
a
的取值进行讨
论．
解：（1）当
a
＝ －2时，函数
y
＝
x
2
的图象仅仅对应着一个点(－2，4)，所以 ，
函数的最大值和最小值都是4，此时
x
＝－2；
（2）当－2＜
a
＜0时，由图2．2－6①可知，当
x
＝－2时，函数取最大值
y
＝4；当
x
＝
a
时，函数取最小值
y
＝
a
2
；

（3）当0≤
a
＜2时，由图2．2－6 ②可知，当
x
＝－2时，函数取最大值
y
＝4；当
x
＝0时 ，函数取最小值
y
＝0；
（4）当
a
≥2时，由图2．2－6③可 知，当
x
＝
a
时，函数取最大值
y
＝
a
2
；
当
x
＝0时，函数取最小值
y
＝0．
y
y
y

y
4
a
2
4




4

2

a
a
2



x O
a
2
x
O
说明：在本例
O
a
x
－2
－2
－2
a






中，利用了分类
③
②
①


讨论的方法，对
a

图2.2－6
的所有可能情形
进行讨 论．此外，
本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数
来研究 ，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题．

练习
1．选择题：
（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是 （ ）
（A）
y
＝2
x
2
（B）
y
＝2
x
2
－4
x
＋2 （C）
y
＝2
x
2
－1 （D）
y
＝2
x
2
－4
x

（2）函数
y
＝2(
x
－1)
2
＋2是将函数
y
＝2
x
2
（ ）
（A）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的
（B）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的
（C）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的
（D）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的
2．填空题
（1）二次函数
y
＝2
x
2
－
mx
＋
n
图象的顶 点坐标为(1，－2)，则
m
＝ ，
n
＝ ．
（2）已知二次函数
y
＝
x
2
+(
m
－2 )
x
－2
m
，当
m
＝ 时，函数图象的顶点在
y
轴上；当
m
＝ 时，函数图象的顶点在
x
轴上；当
m
＝ 时，
函数图象经过原点．
（3）函数
y
＝－3(
x
＋2)
2
＋5的图象的开口向 ，对称轴为 ，顶
点坐标为 ；当
x
＝ 时，函数取最 值
y
＝ ；当
x
时，
y
随着
x
的增大而减小．
3．求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及
y
随
x< br>的变化情况，并画出其图象．

（1）
y
＝
x
2
－2
x
－3； （2）
y
＝1＋6
x
－
x
2
．
4．已 知函数
y
＝－
x
2
－2
x
＋3，当自变量
x
在下列取值范围内时，分别求函
数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的 自变量
x
的值：
（1）
x
≤－2；（2）
x
≤2 ；（3）－2≤
x
≤1；（4）0≤
x
≤3．

2.2.2 二次函数的三种表示方式

通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：
1．一般式：
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
(
a≠0)；
2．顶点式：
y
＝
a
(
x
＋
h
)
2
＋
k
(
a
≠0)，其中顶点坐标是(－
h
，
k
)． < br>除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种
表示方式，我们先来研 究二次函数
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
(
a
≠0)的图象与
x
轴交点个数．
当抛物线
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
(
a
≠0 )与
x
轴相交时，其函数值为零，于是有
ax
2
＋
bx＋
c
＝0． ①
并且方程①的解就是抛物线
y
＝< br>ax
2
＋
bx
＋
c
(
a
≠0)与< br>x
轴交点的横坐标（纵坐
标为零），于是，不难发现，抛物线
y
＝ax
2
＋
bx
＋
c
(
a
≠0)与x
轴交点个数与方程
①的解的个数有关，而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ＝
b
2
－4
ac
有关，由此可知，抛物线
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
(
a
≠0)与
x
轴交点个数与根的判别式Δ＝
b
2
－4
ac
存在下列关 系：
（1）当Δ＞0时，抛物线
y
＝
ax
2
＋
b x
＋
c
(
a
≠0)与
x
轴有两个交点；反过来，< br>若抛物线
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c< br>(
a
≠0)与
x
轴有两个交点，则Δ＞0也成立．
（2）当 Δ＝0时，抛物线
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
(
a
≠0)与
x
轴有一个交点（抛物线的
顶点）；反过来， 若抛物线
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
(
a
≠0)与
x
轴有一个交点，则Δ＝0也成
立．
（3） 当Δ＜0时，抛物线
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
(
a
≠0)与
x
轴没有交点；反过来，若
抛物线
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
(
a≠0)与
x
轴没有交点，则Δ＜0也成立．
于是，若抛物线
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
(
a
≠0) 与
x
轴有两个交点
A
(
x
1
，0)，
B< br>(
x
2
，0)，
则
x
1
，
x
2
是方程
ax
2
＋
bx
＋
c
＝0的两根 ，所以

x
1
＋
x
2
＝
?
，
x
1
x
2
＝，即

b
a
c
a
b
a
c
a
bc
＝－(< br>x
1
＋
x
2
)， ＝
x
1
x
2
．
aa
所以，
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
＝
a
(
x
2
?x?
) =
a
[
x
2
－(x
1
＋
x
2
)
x
＋
x
1x
2
]＝
a
(
x
－
x
1
) (
x
－
x
2
)．
由上面的推导过程可以得到下面结论：
若抛物线
y
＝
ax
2＋
bx
＋
c
(
a
≠0)与
x
轴交于< br>A
(
x
1
，0)，
B
(
x
2
，0)两点，则其函数
关系式可以表示为
y
＝
a
(
x－
x
1
) (
x
－
x
2
) (
a
≠0)．
这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：
3．交点 式：
y
＝
a
(
x
－
x
1
) (
x
－
x
2
) (
a
≠0)，其中
x1
，
x
2
是二次函数图象与
x
轴交
点的横坐标 ．
今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一
般式、顶点式、 交点式这三种表达形式中的某一形式来解题．
例1 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在 直线
y
＝
x
＋1上，并且
图象经过点（3，－1），求二次函数的解 析式．
分析：在解本例时，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，
从而可以 将二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来求解出系数
a
．
解：∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，
∴顶点的纵坐标为2．
又顶点在直线
y
＝
x
＋1上，
所以，2＝
x
＋1，∴
x
＝1．
∴顶点坐标是（1，2）．
设该二次函数的解析式为
y?a(x?2)
2
?1(a?0)
，
∵二次函数的图像经过点（3，－1），
∴
?1?a(3?2)
2
?1
，解得
a
＝－2．
∴二次函数的解析式为
y??2(x?2)
2
?1
，即
y< br>＝－2
x
2
＋8
x
－7．
说明：在解题时，由最大 值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶
点坐标，然后设出二次函数的顶点式，最终解决了问题 ．因此，在解题时，要
充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用条件简捷地解决问题．
例2 已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到
x
轴的距离等于
2，求 此二次函数的表达式．
分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与
x
轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式．
解法一：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，
∴可设二次函数为
y
＝
a
(
x
＋3) (
x
－1) (
a
≠0)，
展开，得
y
＝
ax
2
＋2
ax
－3
a
，

?12a
2
?4a
2
??4a
，
顶点的纵坐标为
4a
由于二次函数图象的顶点到
x
轴的距离2，
∴|－4
a
|＝2，即
a
＝
?
．
所以， 二次函数的表达式为
y
＝
x
2
?x?
，或
y
＝－
x
2
?x?
．
分析二：由于二次函数的图象过点(－3， 0)，(1，0)，所以，对称轴为直线
x
＝－1，又由顶点到
x
轴的距离为 2，可知顶点的纵坐标为2，或－2，于是，又
可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图 象过点(－3，0)，或(1，
0)，就可以求得函数的表达式．
解法二：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，
∴对称轴为直线
x
＝－1．
又顶点到
x
轴的距离为2，
∴顶点的纵坐标为2，或－2．
于是可设二次函数为
y
＝
a
(
x
＋1)
2
＋2，或
y
＝
a
(
x
＋1)
2
－2，
由于函数图象过点(1，0)，
∴0＝a
(1＋1)
2
＋2，或0＝
a
(1＋1)
2
－2．
∴
a
＝－，或
a
＝．
所以，所求的二次函数为< br>y
＝
－
(
x
＋1)
2
＋2，或
y< br>＝(
x
＋1)
2
－2．
说明：上述两种解法分别从与x
轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，
利用交点式和顶点式来解题，在今后的解题 过程中，要善于利用条件，选择恰
当的方法来解决问题．
例3 已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函
数的表达式． < br>解：设该二次函数为
y
＝
ax
2
＋
bx
＋< br>c
(
a
≠0)．
由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得
?
?22?a?b?c,
?

?
?8?c,
?
8?4a?2b?c,
?
1
2
1
2
3
2
1
2
3
2
1
2
1
2
1
2
1
2
解得
a
＝－2，
b
＝12，
c
＝－8．
所以，所求的 二次函数为
y
＝－2
x
2
＋12
x
－8．
通过上面的几道例题，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的
一般式、顶点式、交点式来 求二次函数的表达式？

练 习
1．选择题: