湖北黄冈中学初高中数学衔接教材

黄冈中学
初高中数学衔接教材
{新课标人教A版}
118页超权威超容量完整版
典型试题 举一反三
理解记忆 成功衔接
分析原因 对症下药
{
黄冈中学教材系列
}

第一部分 如何做好初高中衔接 1-4页

第二部分 现有初高中数学知识存在的“脱节” 5页

第三部分 初中数学与高中数学衔接紧密的知识点 6-10页

第四部分 新生预习高中数学三大策略 11-12页

第五部分 新生消除数学学习障碍的四大对策 12-13页

第六部分 怎样做数学作业才能发挥最大效益 13-15页

第七部分 女生学好高一数学的六个法宝 15-16页

第八部分 如何科学合理的学习高一数学 16-18页

第九部分 影响高中数学成绩的原因和解决方法 18-20页

第十部分 高中数学的考试特点 20-22页

第十一部分 新高一年级学生的心理特征与学习对策22-23

第十二部分 新高一学生如何顺利度过数学“适应期”23

第十三部分 分章节讲解 24-85页

第十四部分 衔接知识点的专题强化训练 86-117页

第十五部分 高考过来人经验谈---没有学不好的数学118页


第一部分，如何做好高、初中数学的衔接
● 第一讲 如何学好高中数学 ●

初中生经过中考的奋力拼搏，刚跨入高中，都有十足的信心、旺盛的求 知欲，都有把高中课程学好的愿望。
但经过一段时间，他们普遍感觉高中数学并非想象中那么简单易学， 而是太枯燥、乏味、抽象、晦涩，有些章
节如听天书。在做习题、课外练习时，又是磕磕碰碰、跌跌撞撞 ，常常感到茫然一片，不知从何下手。相当部
分学生进入数学学习的“困难期”，数学成绩出现严重的滑 坡现象。渐渐地他们认为数学神秘莫测，从而产生
畏惧感，动摇了学好数学的信心，甚至失去了学习数学 的兴趣。造成这种现象的原因是多方面的，但最主要的
根源还在于初、高中数学教学上的衔接问题。下面 就对造成这种现象的一些原因加以分析、总结。希望同学们
认真吸取前人的经验教训，搞好自己的数学学 习。
一 高中数学与初中数学特点的变化
1 数学语言在抽象程度上突变。不少学生反映 ，集合、映射等概念难以理解，觉得离生活很远，似乎很
“玄”。确实，初、高中的数学语言有着显著的 区别。初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。
而高一数学一下子就触及抽象的集合语言、 逻辑运算语言以及以后要学习到的函数语言、空间立体几何等。
2 思维方法向理性层次跃迁。高中数 学思维方法与初中阶段大不相同。初中阶段，很多老师为学生将各种
题建立了统一的思维模式，如解分式 方程分几步；因式分解先看什么，再看什么。即使是思维非常灵活的平面
几何问题，也对线段相等、角相 等,分别确定了各自的思维套路。因此，初中学习中习惯于这种机械的、便于操
作的定势方式。高中数学 在思维形式上产生了很大的变化，数学语言的抽象化对思维能力提出了高要求。当然，
能力的发展是渐进 的，不是一朝一夕的。这种能力要求的突变使很多高一新生感到不适应，故而导致成绩下降。
高一新生一 定要能从经验型抽象思维向理论型抽象思维过渡，最后还需初步形成辩证型思维。
3 知识内容的整体 数量剧增。高中数学在知识内容的“量”上急剧增加了。例如：高一《代数》第一章就
有基本概念52个 ，数学符号28个；《立体几何》第一章有基本概念37个，基本公理、定理和推论21个；两者合在
一 起仅基本概念就达89个之多，并集中在高一第一学期学习，形成了概念密集的学习阶段。加之高中一年级第一学期只有七十多课时，辅助练习、消化的课时相应地减少了。使得数学课时吃紧，因而教学进度一般较快，
从而增加了教与学的难度。这样，不可避免地造成学生不适应高中数学学习，而影响成绩的提高。这就要 求：
第一，要做好课后的复习工作，记牢大量的知识。第二，要理解掌握好新旧知识的内在联系，使新知 识顺利地
同化于原有知识结构之中。第三，因知识教学多以零星积累的方式进行的，当知识信息量过大时 ，其记忆效果

不会很好，因此要学会对知识结构进行梳理，形成板块结构，实行“整体集 装”。如表格化，使知识结构一目
了然；类化，由一例到一类，由一类到多类，由多类到统一；使几类问 题同构于同一知识方法。第四，要多做
总结、归类，建立主体的知识结构网络。
二 不良的学习状态
1 学习习惯因依赖心理而滞后。初中生在学习上的依赖心理是很明显的。第一，为提 高分数，初中数学教
师将各种题型都一一罗列，学生依赖于教师为其提供套用的“模子”；第二，家长望 子成龙心切，回家后辅导
也是常事。升入高中后，教师的教学方法变了，套用的“模子”没有了，家长辅 导的能力也跟不上了。许多同
学进入高中后，还象初中那样，有很强的依赖心理，跟随老师惯性运转，没 有掌握学习的主动权。表现在不定
计划，坐等上课，课前没有预习，对老师要上课的内容不了解，上课忙 于记笔记，没听到“门道”。
2 思想松懈。有些同学把初中的那一套思想移植到高中来。他们认为自 已在初一、二时并没有用功学习，
只是在初三临考时才发奋了一、二个月就轻而易举地考上了高中，有的 还是重点中学里的重点班，因而认为读
高中也不过如此。高一、高二根本就用不着那么用功，只要等到高 三临考时再发奋一、二个月，也一样会考上
一所理想的大学的。存有这种思想的同学是大错特错的。有多 少同学就是因为高一、二不努力学习，临近高考
了，发现自己缺漏了很多知识再弥补后悔晚矣。
3 学不得法。老师上课一般都要讲清知识的来龙去脉，剖析概念的内涵，分析重点难点，突出思想方法 。
而一部分同学上课没能专心听课，对要点没听到或听不全，笔记记了一大本，问题也有一大堆；课后又 不能及
时巩固、总结、寻找知识间的联系，只是赶做作业，乱套题型，对概念、法则、公式、定理一知半 解，机械模
仿，死记硬背。还有些同学晚上加班加点，白天无精打采，或是上课根本不听，自己另搞一套 ，结果是事倍功
半，收效甚微。
4 不重视基础。一些“自我感觉良好”的同学，常轻视基础 知识、基本技能和基本方法的学习与训练，经
常是知道怎么做就算了，而不去认真演算书写，但对难题很 感兴趣，以显示自己的“水平”，好高骛远，重“量”
轻“质”，陷入题海。到正规作业或考试中不是演 算出错就是中途“卡壳”。
5 进一步学习条件不具备。高中数学与初中数学相比，知识的深度、广度 ，能力要求都是一次飞跃。这就
要求必须掌握基础知识与技能为进一步学习作好准备。高中数学很多地方 难度大、方法新、分析能力要求高。
如二次函数值的求法、实根分布与参变量的讨论、，三角公式的变形 与灵活运用、空间概念的形成、排列组合
应用题及实际应用问题等。有的内容还是初中教材都不讲的脱节 内容，如不采取补救措施，查缺补漏，就必然
会跟不上高中学习的要求。
三 科学地进行学习
高中学生仅仅想学是不够的，还必须“会学”，要讲究科学的学习方法，提高学习效率 ，才能变被动学习
为主动学习，才能提高学习成绩。
1 培养良好的学习习惯。反复使用的方 法将变成人们的习惯。什么是良好的学习习惯？良好的学习习惯包
括制定计划、课前自学、专心上课、及 时复习、独立作业、解决疑难、系统小结和课外学习几个方面。
(1)制定计划使学习目的明确，时间 安排合理，不慌不忙，稳扎稳打，它是推动主动学习和克服困难的内
在动力。但计划一定要切实可行，既 有长远打算，又有短期安排，执行过程中严格要求自己，磨炼学习意志。
(2)课前自学是上好新课、 取得较好学习效果的基础。课前自学不仅能培养自学能力，而且能提高学习新

课的兴趣， 掌握学习的主动权。自学不能走过场，要讲究质量，力争在课前把教材弄懂，上课着重听老师讲思
路，把 握重点，突破难点，尽可能把问题解决在课堂上。
(3)上课是理解和掌握基础知识、基本技能和基本 方法的关键环节。“学然后知不足”，课前自学过的同
学上课更能专心听课，他们知道什么地方该详，什 么地方可以一带而过，该记的地方才记下来，而不是全抄全
录，顾此失彼。
(4)及时复习是 高效率学习的重要一环。通过反复阅读教材，多方面查阅有关资料，强化对基本概念知识
体系的理解与记 忆，将所学的新知识与有关旧知识联系起来，进行分析比效，一边复习一边将复习成果整理在
笔记本上， 使对所学的新知识由“懂”到“会”。
(5)独立作业是通过自己的独立思考，灵活地分析问题、解决 问题，进一步加深对所学新知识的理解和对
新技能的掌握过程。这一过程也是对意志毅力的考验，通过运 用使对所学知识由“会”到“熟”。
(6)解决疑难是指对独立完成作业过程中暴露出来对知识理解的 错误，或由于思维受阻遗漏解答，通过点
拨使思路畅通，补遗解答的过程。解决疑难一定要有锲而不舍的 精神。做错的作业再做一遍。对错误的地方要
反复思考。实在解决不了的要请教老师和同学，并要经常把 易错的知识拿来复习强化，作适当的重复性练习，
把求老师问同学获得的东西消化变成自己的知识，使所 学到的知识由“熟”到“活”。
(7)系统小结是通过积极思考，达到全面系统深刻地掌握知识和发展 认识能力的重要环节。小结要在系统
复习的基础上以教材为依据，参照笔记与资料，通过分析、综合、类 比、概括，揭示知识间的内在联系，以达
到对所学知识融会贯通的目的。经常进行多层次小结，能对所学 知识由“活”到“悟”。
(8)课外学习包括阅读课外书籍与报刊，参加学科竞赛与讲座，走访高年级 同学或老师交流学习心得等。
课外学习是课内学习的补充和继续，它不仅能丰富同学们的文化科学知识， 加深和巩固课内所学的知识，而且
能够满足和发展兴趣爱好，培养独立学习和工作的能力，激发求知欲与 学习热情。
2 循序渐进，防止急躁。由于同学们年龄较小，阅历有限，为数不少的同学容易急躁。有 的同学贪多求快，
囫囵吞枣；有的同学想靠几天“冲刺”一蹴而就；有的取得一点成绩便洋洋自得，遇到 挫折又一蹶不振。同学
们要知道，学习是一个长期地巩固旧知、发现新知的积累过程，决非一朝一夕可以 完成的。为什么高中要学三
年而不是三天！许多优秀的同学能取得好成绩，其中一个重要原因是他们的基 本功扎实，他们的阅读、书写、
运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度。
3 注意研究 学科特点，寻找最佳学习方法。数学学科担负着培养运算能力、逻辑思维能力、空间想象能力
以及运用所 学知识分析问题、解决问题的能力的重任。它的特点是具有高度的抽象性、逻辑性和广泛的适用性，
对能 力要求较高。学习数学一定要讲究“活”，只看书不做题不行，只埋头做题不总结积累也不行。对课本知
识既要能钻进去，又要能跳出来，结合自身特点，寻找最佳学习方法。华罗庚先生倡导的“由薄到厚”和“由厚到薄”的学习过程就是这个道理。方法因人而异，但学习的四个环节（预习、上课、作业、复习）和一个步
骤（归纳总结）是少不了的。

第二部分，现有初高中数学知识存在以下“脱节”


1．立方和与差的公式初中已删去不讲，而高中的运算还在用。
2．因式分解初中一般只限于 二次项且系数为“1”的分解，对系数不为“1”的涉及不多，而
且对三次或高次多项式因式分解几乎不 作要求，但高中教材许多化简求值都要用到,如解方程、不
等式等。
3．二次根式中对分子、 分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中函数、不等式
常用的解题技巧。
4．初 中教材对二次函数要求较低，学生处于了解水平，但二次函数却是高中贯穿始终的重要
内容。配方、作简 图、求值域、解二次不等式、判断单调区间、求最大、最小值，研究闭区间上
函数最值等等是高中数学必 须掌握的基本题型与常用方法。
5．二次函数、二次不等式与二次方程的联系，根与系数的关系（韦达 定理）在初中不作要求，
此类题目仅限于简单常规运算和难度不大的应用题型，而在高中二次函数、二次 不等式与二次方
程相互转化被视为重要内容，高中教材却未安排专门的讲授。
6．图像的对称 、平移变换，初中只作简单介绍，而在高中讲授函数后，对其图像的上、下；
左、右平移，两个函数关于 原点，轴、直线的对称问题必须掌握。
7．含有参数的函数、方程、不等式，初中不作要求，只作定量 研究,而高中这部分内容视为
重难点。方程、不等式、函数的综合考查常成为高考综合题。
8 ．几何部分很多概念（如重心、垂心等）和定理（如平行线分线段比例定理，射影定理，相
交弦定理等） 初中生大都没有学习，而高中都要涉及。
另外，像配方法、换元法、待定系数法初中教学大大弱化，不利于高中知识的讲授。

第三部分 初中数学与高中数学衔接紧密的知识点

1 绝对值：
⑴在数轴上，一个数所对应的点与原点的距离叫做该数的绝对值。
?
a(a?0)< br>?
⑵正数的绝对值是他本身，负数的绝对值是他的相反数，0的绝对值是0，即
a??
0(a?0)

?
?a(a?0)
?
⑶两个负数比较大小，绝对值大的反而小
⑷两 个绝对值不等式:
|x|?a(a?0)??a?x?a
；
|x|?a(a?0)?x ??a
或
x?a

2 乘法公式：
⑴平方差公式：
a?b?(a?b)(a?b)

⑵立方差公式：
a?b?(a?b)(a?ab?b)

⑶立方和公式：
a?b?(a?b)(a?ab?b)

⑷完全平方公式：
(a?b)?a?2ab?b
，
222
223322
3322
(a?b?c)
2
?a
2
?b
2
?c
2
?2ab?2ac?2bc

⑸完全立方公式：
(a?b)?a?3ab?3ab?b

3 分解因式：
⑴把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变化叫做把这个多项式分解因式。
⑵方法：①提公因式法，②运用公式法，③分组分解法，④十字相乘法。
4 一元一次方程：
⑴在一个方程中，只含有一个未知数，并且未知数的指数是1，这样的方程叫一元一次方程。
⑵解一元一次方程的步骤：去分母，移项，合并同类项，未知数系数化为1。
33223

⑶关于方程
ax?b
解的讨论
①当
a?0
时，方程有唯一解
x?
b
；
a
②当
a?0
，
b?0
时，方程无解
③当
a?0
，
b?0
时，方程有无数解；此时任一实数都是方程的解。
5 二元一次方程组：
（1）两个二元一次方程组成的方程组叫做二元一次方程组。
（2）适合一个二元一次方程的一组未知数的值，叫做这个二元一次方程的一个解。
（3）二元一次方程组中各个方程的公共解，叫做这个二元一次方程组的解。
（4）解二元一次方程组的方法：①代入消元法，②加减消元法。
6 不等式与不等式组
（1）不等式：
①用符不等号（>、≠、<）连接的式子叫不等式。
②不等式的两边都加上或减去同一个整式，不等号的方向不变。
③不等式的两边都乘以或者除以一个正数，不等号方向不变。
④不等式的两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向相反。
（2）不等式的解集：
①能使不等式成立的未知数的值，叫做不等式的解。
②一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集。
③求不等式解集的过程叫做解不等式。
（3）一元一次不等式：
左右两边都是整式，只含有一个未知数，且未知数的最高次数是1的不等式叫一元一次不等式。
（4）一元一次不等式组：
①关于同一个未知数的几个一元一次不等式合在一起，就组成了一元一次不等式组。
②一元一次不等式组中各个不等式的解集的公共部分，叫做这个一元一次不等式组的解集。
③求不等式组解集的过程，叫做解不等式组。
7 一元二次方程：
ax?bx?c?0(a?0)

①方程有两个实数根
?

??b?4ac?0

2
2
?
??0
?
②方程有两根同号
?

?

c
x
1
x
2
??0
?a
?
?
??0
?
③方程有两根异号
?

?

c
x
1
x
2
??0
?
a
?

④韦达定理及应用：
x
1
?x
2??
2
1
2
2
2
bc
,x
1
x
2
?

aa
2
?b
2
?4ac
x?x?(x
1
?x
2
)?2x
1
x
2
,
x
1
?x
2
?(x
1
?x
2
)? 4x
1
x
2
?

?
aa
3322
x
1
?x
2
?(x
1
?x
2
)(x
1
2
?x
1
x
2
?x
2
)?(x
1
?x
2
)
?
(x?x)?3x
1
x
2
?
12
??

8 函数
（1）变量：因变量，自变量。
在用图象表示变量之间的关系时，通常用水平方向的数轴上的点自变量，用竖直方向的数轴上的点 表示因变
量。
（2）一次函数：①若两个变量
y
,
x
间的 关系式可以表示成
y?kx?b
（
b
为常数，
k
不等于0） 的形式，则称
y
是
x
的一次函数。②当
b
=0时，称
y
是
x
的正比例函数。
（3）一次函数的图象及性质
①把一个 函数的自变量
x
与对应的因变量
y
的值分别作为点的横坐标与纵坐标，在直角 坐标系内描出它的对
应点，所有这些点组成的图形叫做该函数的图象。
②正比例函数
y
=
k
x
的图象是经过原点的一条直线。
③在一次函数中，当
k
?
0，
b
?
O，则经2、 3、4象限；当
k
?
0，
b
?
0时，则经1、2、4象限； 当
k
?
0，
b
?
0时，则经1、3、4象限；当
k
?
0，
b
?
0时，则经1、2、3象限。
④当
k
?
0时 ，
y
的值随
x
值的增大而增大，当
k
?
0时，y
的值随
x
值的增大而减少。
（4）二次函数：
b
2
4ac?b
2
b
)?
,
①一般式：
y?ax?bx?c?a(x?
(
a?0
)，对称轴是
x??
2a4a
2a
2
b4ac?b
2
（－,)
； 顶点是2a4a
②顶点式：
y?a(x?m)?k
(
a?0
)，对称轴 是
x??m,
顶点是
?
?m,k
?
；
2
③交点式：
y?a(x?x
1
)(x?x
2
)
(
a ?0
)，其中（
x
1
,0
），（
x
2
,0
）是抛物线与x轴的交点

（5）二次函数的性质
2
①函 数
y?ax?bx?c(a?0)
的图象关于直线
x??
②
a?0< br>时，在对称轴 （
x??
b
对称。
2a
bb
）左侧 ，
y
值随
x
值的增大而减少；在对称轴（
x??
）右侧；< br>y
的
2a2a
4ac?b
2
b
值随
x
值的增大而增大。当
x??
时，
y
取得最小值
4a
2a
③
a?0
时，在对称轴 （
x??
bb< br>）左侧，
y
值随
x
值的增大而增大；在对称轴（
x??
）右侧；
y
的
2a2a
4ac?b
2
b
值随x
值的增大而减少。当
x??
时，
y
取得最大值
4a
2a
9 图形的对称
（1）轴对称图形：①如果一个图形沿一条直线折 叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对
称图形，这条直线叫做对称轴。②轴对称图 形上关于对称轴对称的两点确定的线段被对称轴垂直平分。
（2）中心对称图形：①在平面内，一个图 形绕某个点旋转180度，如果旋转前后的图形互相重合，那么这个图
形叫做中心对称图形，这个点叫做 他的对称中心。②中心对称图形上的每一对对应点所连成的线段都被对称中
心平分。
10 平面直角坐标系
（1）在平面内，两条互相垂直且有公共原点的数轴组成平面直角坐标系。水平的数轴 叫做
x
轴或横轴，铅直的
数轴叫做
y
轴或纵轴，
x
轴与
y
轴统称坐标轴，他们的公共原点
O
称为直角坐标系的原点。
（2）平面直角坐标系内的对称点：设
M(x
1
,y
1
)
，
M
?
(x
2
,y
2
)
是直角坐标系内的两 点，
①若
M
和
M'
关于
y
轴对称，则有
?
?
x
1
??x
2
。
y?y
?
12
?
x
1
?x
2
②若
M
和
M'
关于
x
轴对称，则有
?
。
y??y
?
1 2
③若
M
和
M'
关于原点对称，则有
?
?
x
1
??x
2
。
?
y
1
??y
2
?
x
1
?y
2
④若
M
和
M'< br>关于直线
y?x
对称，则有
?
。
y?x
?
12
⑤若
M
和
M'
关于直线
x?a
对称，则有?
11 统计与概率：
?
x
1
?2a?x
2
?
x
2
?2a?x
1
或
?
。
?
y
1
?y
2
?
y
1
?y
2

（1）科学记数法：一个大于10的数可以表示成
A?10
的形式，其中
A< br>大于等于1小于10，
N
是正整数。
（2）扇形统计图：①用圆表示总体，圆 中的各个扇形分别代表总体中的不同部分，扇形的大小反映部分占总
体的百分比的大小，这样的统计图叫 做扇形统计图。②扇形统计图中，每部分占总体的百分比等于该部分所对
应的扇形圆心角的度数与360 度的比。
（3）各类统计图的优劣：①条形统计图：能清楚表示出每个项目的具体数目；②折线统计图 ：能清楚反映事
物的变化情况；③扇形统计图：能清楚地表示出各部分在总体中所占的百分比。
（5）平均数：对于
N
个数
x
1
,x
2
,
N
,x
N
，我们把
1
(
x
1
?x
2
?
N
?x
N
)叫做这个
N
个数的算术平均数， 记为
x
。
（6）加权平均数：一组数据里各个数据的重要程度未必相同，因而，在计 算这组数据的平均数时往往给每个
数据加一个权，这就是加权平均数。
（7）中位数与众数： ①
N
个数据按大小顺序排列，处于最中间位置的一个数据（或最中间两个数据的平均数）
叫做这组数据的中位数。②一组数据中出现次数最大的那个数据叫做这个组数据的众数。③优劣比较：平均数：
所有数据参加运算，能充分利用数据所提供的信息，因此在现实生活中常用，但容易受极端值影响；中位 数：
计算简单，受极端值影响少，但不能充分利用所有数据的信息；众数：各个数据如果重复次数大致相 等时，众
数往往没有特别的意义。
（8）调查：①为了一定的目的而对考察对象进行的全面调 查，称为普查，其中所要考察对象的全体称为总体，
而组成总体的每一个考察对象称为个体。②从总体中 抽取部分个体进行调查，这种调查称为抽样调查，其中从
总体中抽取的一部分个体叫做总体的一个样本。 ③抽样调查只考察总体中的一小部分个体，因此他的优点是调
查范围小，节省时间，人力，物力和财力， 但其调查结果往往不如普查得到的结果准确。为了获得较为准确的
调查结果，抽样时要主要样本的代表性 和广泛性。
（9）频数与频率：①每个对象出现的次数为频数，而每个对象出现的次数与总次数的比值 为频率。②当收集
的数据连续取值时，我们通常先将数据适当分组，然后再绘制频数分布直方图。 （10）数据的波动：①极差是指一组数据中最大数据与最小数据的差。②方差是各个数据与平均数之差的平 方
和的平均数。③标准差就是方差的算术平方根。④一般来说，一组数据的极差，方差，或标准差越小， 这组数
据就越稳定。
（11）事件的可能性：①有些事情我们能确定他一定会发生，这些事情 称为必然事件；有些事情我们能肯定他
一定不会发生，这些事情称为不可能事件；必然事件和不可能事件 都是确定的。②有很多事情我们无法肯定他
会不会发生，这些事情称为不确定事件。③一般来说，不确定 事件发生的可能性是有大小的。
（12）概率：①人们通常用1（或100%）来表示必然事件发生的 可能性，用0来表示不可能事件发生的可能性。
②游戏对双方公平是指双方获胜的可能性相同。③必然事 件发生的概率为1，记作
P
（必然事件）
?1
；不可
能事件发生的概 率为
0
，记作
P
（不可能事件）
?0
；如果A为不确定事件 ，那么
0?P(A)?1

第四部分 新生预习高中数学三大策略

由于高中数学内容的加深，思维要求的提高，课堂容量的增加， 老师讲解课时的减少，学生课后自由安排时间
的增加，许多同学不能适应这种变化，致使成绩下降，甚至 影响部分同学的信心。在这里，我给出三大策略，
指导高一新生如何预习数学，供大家参考。

策略一、明确预习的动力源泉

预习意义基本有三 点：1.学会自主学习，培养良好的学习习惯；2.有助了解下一节要学习的知识点，为上课
扫除部分知 识障碍，建立新旧知识间联系，有利于知识系统化；3.有助于提高听课效果。预习中不懂的问题，
上课 老师讲解这部分知识时，目标明确，态度积极，注意集中，容易将不懂问题搞懂。

策略二、预习的基本步骤：“读、划、写、查”

1.“读”——先粗读一遍，以领会教材的大意

根据学科特点，然后细读。数学 课本可分为概念，规律（包括法则、定理、推论、性质、公式等）、图形、
例题、习题等逐条阅读。例如 ，看例题时要求学生做到①分清解题步骤，指出关键所在；②弄清各步的依据，
养成每步必问为什么，步 步有依据的习惯；③比较同一节例题的特点，尽量去体会选例意图；④分析例题的解
题规范格式，并按例 题格式做练习题。

2.“划”——即划层次、划重点

将一节内容划分成几个层次，分别标出序号。对每层中重点用“★”，对重点字、词下面加“。”，对疑难问题旁边加“？”，对各层次间关系用“＝”表示等等，划时要有重点，切勿面面俱到，符号太多。

3.“写”——即将自己的看法、体会写在书眉或书边

（1） 写段意：每一段在书边上写出段意；（2）写小结：一要概括本书内容，二要反映本节各内容之间的并
列 与从属关系；（3）例题：在书边说明各主要步骤的依据，在题后空白处用符号或几个字，写出本例特点，体现编者选例意图；（4）变式：对优秀生要求对例题条件、结论变化，由特殊向一般转倾，将有关知识进行横 向
联系，纵向发展。

4.“查”——即自我检查预习的效果

①合上书本思考下节课老师要讲的内容大意，哪些内容已看懂，哪些内容模糊，哪些内容不懂， 需要在什
么地方再提高；②对照自学辅导或老师课前拟订的自学提纲，揭露知识的内涵，挖掘知识的本质 ，沟通知识的
联系。简要地用语言能加以表达；③根据课本的练习，做几道具有代表性的习题，检查预习 的效果。

策略三、预习的关键是处理几个关系

1.数学学科与其它学科的关系：预习时要花费较多的时间，高中阶段有八九门 课，门门都预习不可能，可
选择1-2门薄弱学科进行试点，有一定经验后再全面展开。

2.预习与听课的关系：预习是听课高效的准备，听课能解决预习中不懂的问题，可以巩固需学 知识，千万
不可认为预习已懂，上课不认真听讲做其他事，浪费课堂宝贵时间，影响学习效果，总之要使 预习在听课中发
挥最大效益，否则失去预习的作用。



第五部分 高一学生消除数学学习障碍的四大对策
对策一、搞好初高中教学衔接

教师在教学初始应控制进度，不能求快而增大学习难度，要注意数学知识相经联系的，高中数学 知识要涉
及初中的内容，很多地方是初中知识的延拓和提高，但不是简单的重复。因此在教学中正确处理 好二者的衔接，
深入研究两者彼此潜在的联系和区别；做好新旧知识的串联和沟通，为此，在高一教学中 必须采用“低起点，小
步于”的指导思想，帮助学生温习旧知识，恰当地进行铺垫，以减缓坡度，分解教 学过程，分散教学难点，让学
生在己有的水平上，通过努力能够理解和掌握知识，并引导学生对知识加以 区别和联系，每涉及到新的概念。

定理等都要结合初中己学过的知识，以激发学 生的兴趣和求知欲。为了使高一学生很快从初中的方法中走
出来，作为联结，“直观化”是高一数学起始 教学必须遵循的原则，通过实物直观、模型直观和语言直观等直观
化的方法，使学生对抽象的概念形成鲜 明的表象，减少学生理解过程中的障碍。对于知识含量较大，学生记忆
效果不佳的部分内容，教师必要进 行梳理，作表格化、类化、链式递进的处理等，使内容易懂易记。这样，不
仅可以激发学生的求知欲，而 且可以培养他们的创造能力。

教师在处理教学内容，引导学生思维时，可以将思 维的目标问题分解为若干个循序渐进的环节，让学生的
思维水平从形象思维沿着小坡度的台阶向抽象思维 步步升华，在处理问题时，一个问题各环节之间、问题与问
题之间要注意避免脱节、跳跃，注意铺平道路 ，减少学生思维发展障碍。这样学生从己有的经验出发，用特殊
对象描述一般对象就可以在己有的思维水 平基础上有所进步和发展。

总之，教师在教学时做到抽象概念形象化，抽象结论 具体化，抽象方法通俗化，给学生有一段适应的过渡
缓冲期，学生就可以很快形成良好的抽象思维能力， 消除学习数学的障碍。

对策二、加强学法指导，培养良好的学习习惯

良好学习习惯是学好高中数学的重要因素，它包括制定计划、课前复习、专心上课、及时复习、 独立作业、
解决疑难、系统小结和课外学习这几个方面，改进学生的学习方法，可以这样进行：引导学生 养成认真制定计
划的习惯，合理安排时间，从盲目的学习中解放出来，引导学生养成课前预习的习惯，可 布置一些思考题和预
习作业，保证听课时有针对性，还要引导学生学会听课，要“心到”即注意力高度集 中，对知识能触类旁通，多
方联想，当学生听到“增函数”，就应该联想起增函数性质图像，函数在单调 区间内，函数值随着自变量的增大
而增大，图象在单调区间从左到右单调上升趋势。“眼到”即仔细看清 老师每一步板演、“手到”即适当做好笔记、
“口到”即随时回答老师的提问，以提高听课效率，引导学 生养成及时复习的习惯，下课后要反复阅读书本，回
顾每堂课上老师所讲内容，查阅有关资料，或向教师 同学请教，以强化对基本概念、知识体系的理解和记忆；

引导学生养成独立作业的习惯， 要独立地分析问题、解决问题，切记有点小问题或习题不会做，就不假思索地
请教老师同学；引导学生养 成系统复习小结的习惯，将所学新知识融人有关的体系和网络中，以保持知识的完
整性。引导学生养成阅 读有关报刊和资料问题，以进一步充实大脑，拓展眼界，保持可持续发展的后劲，加强
学法指导应富于知 识讲解、作业评讲、试卷分析等教学活动中。

另外，还可以通过举办讲座介绍 学习方法和进行学习目的及学法交流，学生掌握科学的学习方法，学会学
习，提高学习效率，变被动为主 动，从而不断地消除学习数学的障碍。

对策三、培养学生的数学兴趣

心理学研究成果表明，推动学生进行学习的内部动力是学习动机，而兴趣即是构建学习动机中最 现实、最
活跃成分，浓厚的学习兴趣无疑会使人的各种感受尤其是大脑处于最活跃的状态，使感知更清晰 、观察更细致、
思维更深刻，想象更丰富、记忆更牢固，能够最佳地接受教学信息，不少学生之所以视数 学学习为苦役，为畏
途，主要原因还在于缺乏对数学的兴趣，因此教师要着力于培养和调动学生学习数学 的兴趣。

课堂教学的导言，需要教师精心构思，一开头，就能把学生的思维活跃起 来使他们对数学学习产生了浓厚的
兴趣。还可通过介绍古今中外数学史，数学方面的伟大成就，阐明数学 在自然科学和社会科学研究中，尤其在
工农业生产、军事、生活等方面的巨大作用，来引导学生对数学的 兴趣。在课堂教学中，要针对不同层次的学
生进行分层教学，从学生的实际情况出发，兼顾学习有困难的 和学有余力的学生，通过多种途径和方法，满足
他们的学习需求，发展他们的数学才能。让他们有所得， 发现自己的学习成效，体会探索知识的乐趣，才能使
学生学习数学的兴趣得到持续。

对策四、学生能力的培养

培养学生能力，消除高一学习数学障 碍的重要环节，主要有：（1）培养学生独立学习的能力；（2）培养学
生分析问题和解决问题的能力； （3）培养学生的准确计算能力；（4）培养学生推理和转换能力；（5）培养良好
的心理素质，发挥非 智力因素的作用。

总之，高一数学的起步教学阶段，分析清楚学生学习数学的障碍，只要 教师采取正确的措施，适当地处理
教学内容，便能使学生尽快适应高中数学的学习，从而更高效、更顺利 地接受新知和发展能力，高中数学教学
就能取得成功，为全面推进素质教育作出应有的贡献。



第六部分 怎样做数学作业才能发挥最大效益
做作业是学生巩固知识 ，训练方法，发展思维的重要的不可缺少的学习环节，它是在老师指导下进行的有目
的学习活动。虽然作 业天天做，但效果却大不同。有的同学有章有法，效果显著，成绩上升；有的同学疲于应
付，心中厌烦， 影响情绪，挫伤热情，导致成绩下降。其实，做作业有个方法或策略的问题，只有把握方法，
遵循规律， 保质保量，才能事半功倍，提高效益。下面以数学学科为例谈谈做作业的方法。
一，温故知新，把握要领
先把书看透，再动手做作业。做作业前，首先温故有关的知识，回顾概念 ，掌握要求，了解有关的注意事
项，明确学习的目的，把握解题的规范化要求，然后再动手做作业，就心 中有数，练中学，学中练，达到巩固
目的，强化了知识，提高了能力。

但 事实上，我们许多同学没有这个好习惯，拿到题目就做。这样，首先是速度慢，效率低。另外，由于概
念 不清，有的概念理解错误，做了题目起不到应有的作用，甚至还有反作用，巩固了错误，在相应方面形成了
一个顽疾，为以后学习埋下后患。
二，明确题意，构建思路
题海战术的最大特点 是以做题的数量作为标准，并期望以多取胜。由于高考升学的压力，不少同学不知不
觉的掉进题海，拿到 题目不假思索，跟着感觉走，时常出现张冠李戴，答非所问等现象，也会出现漏解或者画
蛇添足，劳而无 功。长期下去，最大的坏处是形成不严谨的思维习惯，不利于将来的发展。
审题是我们解题的前奏 工作，不可忽视，在解题前必须审清题意，分析条件和结论，并且根据条件和结论
进行联想：以前遇到过 类似或者部分类似的问题吗？当时是用什么方法解决的？在这里还有效吗？等等。通过
联想构建解题思路 ，设计解题程序，把握解题要点，为正确快速解题扫清障碍，奠定基础。
三，限定时间，一气呵成
常听同学抱怨，作业太多，做不完了，有的同学为应付还不惜抄袭作业，影响优秀品质的形成。了解 下来，
问题大多是在时间安排上。觉得辛苦的同学，他们的作业都是在弹性的时间内完成，想做就做些， 不想做就玩
会儿；或者慢条斯理，认为时间还有的是，等会再完成。有一次，作业量并不大，可是有位同 学居然没完成，
他坦诚的说，晚上应该花上半小时就完成，可是当走到电视前时，就自我安慰，看会吧， 睡前再做，而到睡前
又想起语文老师布置的“周记”明天早自习要交，只有先写周记，早自习再做吧，早 自习外语老师来检查背诵，
所以就误了事。
但是，大部分同学还是对数学作业高度重视， 应对自如，甚至还学有余力，额外做了些提高题，所以他们
经常要求老师多布置些作业。调查下来，有两 个是他们的共同特点：一是他们做作业限时完成，不拖拉，干净
利落，遇到困难，待各项任务基本完成后 ，再进行钻研。另一方面，他们做到了心动不如行动。他们拿到问题，
常常是立即投入战斗，而不是去想 今天有多少作业，需多少时间，难度是否太大，能不能完成得了等等。他们
遇到难题是先能做多少就做多 少，能解决到什么程度就解决到什么程度，当解决了问题的部分时，常常会闪出
好念头，悟出问题的解决 方案。实际上每解决一点就是向目标靠近一步，这就是“吹尽黄沙始得金”的道理。
四，做后反思，提高效益
有人说题海战术是臭豆腐，闻的臭，吃的香。题海战术既然被人普遍使用 ，肯定有它存在的道理，不能全
盘否定。但是它的效益不高的弊端也是很明显的。对它进行改进也是情理 之中，实践证明解题后反思是提高效
益的有效途径。
首先要反思题意。前面已经介绍了审题的重要性，这里不再详述。
其次要反思错误。要用批评的眼 光去看待自己的解题过程，看看思路是否有问题，概念使用是否正确，计
算是否有失误，思考是否周密等 等。有时需要从不同的角度去思考，不同的方法去演算更能发现问题。千万别
把检查答案当成“自我欣赏 ”，那么肯定发现不了错误，发现不了错误当然就谈不上克服错误了。
第三要反思方法，解完题后 再思考，由于对这个问题的认识有了一定的高度，所以思考出的新方法常常更
为简捷，巧妙，在很大程度 上能激励我们的信心，即使我们发现不了巧思妙解，在思考过程中我们回顾了相关
知识，尝试了许多方法 ，收获仍不可小视。
最后还要反思变化。研究性学习已经进入高考，提高探究创新能力已经刻不容 缓。许多经典的数学问题可
以进行变化，创设探究的契机。这些，大家只要利用原来问题的解题思路进行 探索，知道他们都是周期函数。
这样，我们解一题会一类，并训练了探究，创新能力，较大限度提高了解 题的效益。
针对性的做题 充分发挥让你的期中复习事半功倍
期中考试的目的是帮助我们 发现半个学期以来自己在学习目的、态度、知识、能力、方法等方面存在的问题，
为自己下一阶段有针对 性地改进学习提供重要的依据。对于高一来说，期中考试是进入高一之后的第一次大洗
牌，能不能在高中 获得一个“先发”的位置，就看这次期中考试；对于高二的学生来说，每一次学校的统一考试，
都决定着 自己未来的努力方向，而且，会影响到高校自主招生对他的评定。所以，大家不仅要全力备战，并且
在考 后及时反省自己的学习状况，努力探求适合自己的学习方法，为自己更长远的发展提供帮助。
1、跟着老师走，切忌盲目复习

很多同学在复习时都比较盲目，花了大量的时间， 累的够呛，可出来的成绩总是不尽人意；因此在复习时，
大家一定要善于思考，跟着老师走，合理利用时 间，提高考试复习效率，建立知识网络与体系，抓住每个章节
的核心知识，从而进行突破。
2、有针对性的做题
大家都知道做题是很重要，但是要不要成海就要商榷一下，如果题海的话就有 很多是大量重复的，是一种
浪费，而且你做的不是经典题的话有可能有误导，所以要选取其精华。一般老 师推荐的经典卷子，同学们要认
真的对待，可以多做几遍。
3、充分发挥
怎样 才能在考试中充分发挥呢？我们要战略上藐视考卷，战术上重视考卷。战略上藐视考卷是指自己已经
准备 相当长的时间了，对考试有了平常的经验，相信自己一定能考好。在战术上要重视考卷是指对考卷中的每
一道题都认真对待，一分一分地拿分。谨慎、小心、认真、负责地做好每一道题。此外，考试开始后，也要及时总结前一门考试的经验，以使后面的科目考得更好。


第七部分 女生学好高一数学的六个法宝
大量事实和调查数据表明，随着数学内容的逐步深化，高中女生数学能 力逐渐下降，他们越学越用功，却越
学越吃力，出现了部分女生严重偏科的现象．因而，对高中女生数学 能力的培养应引起重视。
一、“弃重求轻”，培养兴趣
女生数学能力的下降，环境 因素及心理因素不容忽视．目前社会、家庭、学校对学生的期望值普遍过高．而
女生性格较为文静、内向 ，心理承受能力较差，加上数学学科难度大，因此导致她们的数学学习兴趣淡化，能
力下降．因此，教师 要多关心女生的思想和学习，经常同她们平等交谈，了解其思想上、学习上存在的问题，
帮助其分析原因 ，制定学习计划，清除紧张心理，鼓励她们“敢问”、“会问”，激发其学习兴趣．同时，要求家
长能以 积极态度对待女生的数学学习，要多鼓励少指责，帮助她们弃掉沉重的思想包袱，轻松愉快地投入到数
学 学习中；还可以结合女性成才的事例和现实生活中的实例，帮助她们树立学好数学的信心．事实上，女生的
情感平稳度比较高，只要她们感兴趣，就会克服困难，努力达到提高数学能力的目的．
二、“开门造车”，注重方法
在学习方法方面，女生比较注重基础，学习较扎实，喜欢做基础题， 但解综合题的能力较差，更不愿解难
题；女生上课记笔记，复习时喜欢看课本和笔记，但忽视上课听讲和 能力训练；女生注重条理化和规范化，按
部就班，但适应性和创新意识较差．因此，教师要指导女生“开 门造车”，让她们暴露学习中的问题，有针对地
指导听课，强化双基训练，对综合能力要求较高的问题， 指导她们学会利用等价转换、类比、化归等数学思想，
将问题转化为若干基础问题，还可以组织她们学习 他人成功的经验，改进学习方法，逐步提高能力．
三、“笨鸟先飞”，强化预习
女 生受生理、心理等因素影响，对知识的理解、应用能力相对要差一些，对问题的反应速度也慢一些．因
此 ，要提高课堂学习过程中的数学能力，课前的预习至关重要．教学中，要有针对性地指导女生课前的预习，
可以编制预习提纲，对抽象的概念、逻辑性较强的推理、空间想象能力及数形结合能力要求较高的内容，要求< br>通过预习有一定的了解，便于听课时有的放矢，易于突破难点．认真预习，还可以改变心理状态，变被动学 习
为主动参与．因此，要求女生强化课前预习，“笨鸟先飞 ”．
四、“固本扶元”，落实“双基”
女生数学能力差，主要表现在对基本技能的理解、掌握和应用上 ．只有在巩固基础知识和掌握基本技能的
前提下，才能提高女生的综合能力．因此，教师要加强对旧知识 的复习和基本技能的训练，结合讲授新课组织
复习；也可以通过基础知识的训练，使学生对已学的知识进 行巩固和提高，使他们具备学习新知识所必需的基
本能力，从而对新知识的学习和掌握起到促进作用．
五、“扬长补短”，增加自信

在数学学习过程中，女生在运算能力方 面，规范性强，准确率高，但运算速度偏慢、技巧性不强；在逻辑
思维能力方面，善于直接推理、条理性 强，但间接推理欠缺、思维方式单一；在空间想象能力方面，直觉思维
敏捷、表达准确，但线面关系含混 、作图能力差；在应用能力方面，“解模”能力较强，但“建模”能力偏差．因
此，教学中要注意发挥女 生的长处，增加其自信心，使其有正视挫折的勇气和战胜困难的决心．特别要针对女
生的弱点进行教学， 多讲通解通法和常用技巧，注意速度训练，分析问题既要“由因导果”，也要“执果索因”，
暴露过程， 激活思维；注重数形结合，适当增加直观教学，训练作图能力，培养想象力；揭示实际问题的空间
形式和 数量关系，培养“建模”能力．
六、“举一反三”，提高能力
“上课能听懂，作业 能完成，就是成绩提不高．”这是高中阶段女生.共同的“心声”．由于课堂信息容量小，
知识单一，在 老师的指导下，女生一般能听懂；课后的练习多是直接应用概念套用算法，过程简单且技能技巧
要求较低 ，她们能完成．但因速度和时间等方面的影响，她们不大注重课后的理解掌握和能力提高．因此，教
学中 要编制“套题”（知识性，技能性）、“类题”（基础类，综合类，方法类）、“变式题”（变条件，变结论，变
思想，变方法），并对其中具有代表性的问题进行详尽的剖析，起到“举一反三”、“触类旁通”的作用 ，这有利于
提高女生的数学。


第八部分 如何科学合理的学习高一数学
高中学生仅仅想学是不够的，还必须“会学”，要讲究科学的学习方法，提高学习效率，才能变被动 学习为
主动学习，才能提高学习成绩。
二、数学学习的科学理念
一条好的创 业理念能挽救一个工厂，发展一个企业，振兴一个民族，这已是屡见不鲜的事实！同样，一条
好的学习理 念，能使一个学习屡屡爱挫的同学从此走向学习的成功，走上人生的康庄大道，这里向读者推荐的
就是这 样一条科学的数学学习理念，要讲清这个问题，首先需要弄清下面的问题：什么是真正的意义上的数学
学 习？它的本质与核心是什么？
从所周知，数学中的知识点不是孤立的，而是紧密联系的，人们把相 互联系在一起的若干个数学知识点称
为数学知识结构。数学学习就是学习者在自己的头脑中不断建构（建 立和造构）和完善数学知识结构的过程，
心理学家把这个过程叫做数学知识的“内化”，内化的结果，若 通逐步形成一个条理清晰的、内涵丰富的、联系
紧密的、体验深刻的知识结构，学习就是成功的，反之， 学习就不成功，甚至是失败的，反思这个内化的过程
可以得出以下两点结论：
学习数学的 过程从本质上讲就是理解数学知识及其联系的过程，理解得透彻、深刻、全面，内化的质量就
高，可见， 理解是数学学习的核心，当代美籍数学大师陈省身说过，“数学就是理解！”他之所以这样讲是基于
数学 具有三大特点——“高度的抽象性”，“严密的逻辑性”，“应用的极端广泛性和灵活性”。如果离开了深入的< br>理解，要想学懂数学、学好数学是根本不可能的，因此理解对数学学习具有极端的重要性，真正意义上的数 学
学习一定要把理解放在第一位，千方百计地去提高理解层次，科学的数学学习方式必然是建立在深化理 解基础
上的学习方式，舍此就背离了真正意义上的数学学习，是断然不可能学数学的。
第一， 理解是学习者自身建构，这种理解是不可能靠别人给予的，而只可能是学习者通过参与数学活动亲身感悟出来的心得体会，美国《新数学丛书》的序言中写道：“学数学最好的方法是做数学”，讲的就是这 个
道理，为了讲清原理，使感悟能达到操作水平，分四个环节：
（1） 参与问题
参与数学活动，这是获得数学理解的前提，参与又可分为主动参与和被动参与两种形态， 有些同学课堂上
是“以听为主，力争跟上老师的思路”，他虽然也有参与，但这种参与所涉及的内容和力 度都是很有限的，另有
一些同学，课堂上不满足于听懂，而是像数学家那样，力争自己解决问题，这种强 烈的自主意识调动了他全部
的身心投入到数学创造中去，这种参与内容到力度上与上一种参与相比有质的 区别，他所获得的体验自然要丰

富得多，深刻得多
（2） 反思问题
荷兰籍国际数学教育大师弗赖登特尔认为，“反思是数学活动的核心和动力”，“没有反 思，学生的理解就不
可能从一个水平升华到更高的水平”，可见他把反思看得很重，很重！那么，什么是 反思呢？通俗地讲就是“回
头看脚印”就是对数学活动的全过程以及新旧知识间的联系进行“反复深入的 思考”，从中去发现数学的真缔，因
此，要想学好数学就一定要学会反思，一定要养成反思的习惯，这是 学好数学的根本。
（3） 概括问题
把参与与反思过程中所获得的感性认 识悟化到理性认识的过程，从中发现规律，洞察本质，提高理解数学
的水平。
研究表明， 这个过程对学习数学、理解数学具有特殊的重要性，而这又恰恰是同学们十分困难的地方，因
此，学会概 括就显得更加必要。
（4） 迁移问题
所谓迁移就是学习者把所获得的体验、方法、思想、观念运用到新的情境中去，这本身就是一种创造。
综上所述，要想获得高水平的理解，一定要紧紧地抓好“参与-反思-概括-迁移”这四个步骤，要主动参与，< br>加强反思，学会概括，力求迁移，这可看作是学习数学的微观过程，很明显，在这个过程中，缺少任何一个 环
节的学习都是不完全的学习，不完全的学习是不可能获得高水平的理解的。
1、培养良好的学习习惯。
什么是良好的学习习惯？它包括制定计划、课前自学、专心上课、 及时复习、独立作业、解决疑难、系统
小结和课外学习等多个方面。
（1）制定计划。从 而使学习目的明确，时间安排合理，不慌不忙，稳打稳扎，它是推动学生主动学习和克
服困难的内在动力 。但计划一定要切实可行，既有长远打算，又有短期安排，执行过程中严格要求自己，磨练
学习意志。
（2）课前自学。这是上好新课，取得较好学习效果的基础。课前自学不仅能培养自学能力，而且能 提高学
习新课的兴趣，掌握学习的主动权。自学不能搞走过场，要讲究质量，力争在课前把教材弄懂，上 课着重听老
师讲思路，把握重点，突破难点，尽可能把问题解决在课堂上。
（3）专心上 课。“学然后知不足”，这是理解和掌握基本知识、基本技能和基本方法的关键环节。课前自学
过的学生 上课更能专心听课，他们知道什么地方该详细听，什么地方可以一带而过，该记的地方才记下来，而
不是 全盘抄录，顾此失彼。
（4）及时复习。这是高效率学习的重要一环。通过反复阅读教材，多方面 查阅有关资料，强化对基本概念
知识体系的理解与记忆，将所学的新知识与有关旧知识联系起来，进行分 析比效，一边复习一边将复习成果整
理在笔记本上，使对所学的新知识由“懂”到“会”。
（5）独立作业。这是掌握独立思考，分析问题、解决问题，进一步加深对所学新知识的理解和对新技能的
必要过程。这一过程也是对学生意志毅力的考验，通过作业练习使学生对所学知识由“会”到“熟”。
（6）解决疑难。这是指对独立完成作业过程中暴露出来对知识理解的错误，或由于思维受阻遗漏解 答，通
过点拨使思路畅通，补遗解答的过程。解决疑难一定要有锲而不舍的精神，做错的作业再做一遍。 对错误的地
方没弄清楚要反复思考，实在解决不了的要请教老师和同学，并经常把容易错的地方拿来复习 强化，作适当的
重复性练习，把从老师、同学处获得的东西消化变成自己的知识，长期坚持使对所学知识 由“熟”到“活”。
（7）系统小结。这是通过积极思考，达到全面系统深刻地掌握知识和发展认 识能力的重要环节。小结要在
系统复习的基础上以教材为依据，参照笔记与资料，通过分析、综合、类比 、概括，揭示知识间的内在联系，
以达到对所学知识融会贯通的目的。经常进行多层次小结，能对所学知 识由“活”到“悟”。

2．循序渐进，防止急躁
由于学生年 龄较小，阅历有限，为数不少的高中学生容易急躁，有的同学贪多求快，有的同学想靠几天“冲
刺”一蹴 而就，有的取得一点成绩便洋洋自得，遇到挫折又一蹶不振．学习是一个长期的巩固旧知识、发现新知
识 的积累过程，决非一朝一夕可以完成，为什么高中要上三年而不是三天！许多优秀的同学能取得好成绩，其
中一个重要原因是他们的基本功扎实，他们的阅读、书写、运算技能达到了自动化或半自动化的熟练程度．
学习上要学会积极归因，树立自信心，如：取得一点成绩及时体会成功，强化学习能力；遇到挫折及 时调
整学习方法、策略，更加努力改变挫折。
学习是一项循序渐进，长期积累的过程，要 有恒心、决心，有一颗拼搏的心，要防止急躁心里，这样才能
取得最后的成功。
3．研究学科特点，寻找最佳学习方法
数学学科担负着培养学生运算能力、逻辑思维能力、空间想 象能力，以及运用所学知识分析问题、解决问
题的能力的重任．它的特点是具有高度的抽象性、逻辑性和 广泛的适用性，对能力要求较高．学习数学一定要
讲究“活”，只看书不做题不行，埋头做题不总结积累 不行，对课本知识既要能钻进去，又要能跳出来，结合自
身特点，寻找最佳学习方法．华罗庚先生倡导的 “由薄到厚”和“由厚到薄”的学习过程就是这个道理．方法因人
而异，但学习的五个环节：预习、上课 、复习、作业、总结是少不了的．
4．多交流，多反思解疑，化解分化点
高中数学 中易分化的地方多，这些地方一般都有方法新、难度大、灵活性强等特点．对易分化的地方要采
用多次反 复解疑，认真反思，总结规律，多阅读参考书等方法，多和同学交流，多向老师请教，多开展变式练
习， 化解分化点，以达到灵活掌握知识、运用知识的目的。
只要学习科学得法，有恒心，有信心，有拼 搏心，克服急躁心里，克服“小聪明”，多交流，多反思，养成
良好的学习习惯，就能顺利度过高中数学 学习适应期，就能在今后的数学成绩图飞猛进。
三.学数学的几个建议
1. 记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，以及教师补充的课外知识。
2. 建立数 学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。争取做到：找错、析错、改
错、防错 。达到：能从反面入手深入理解正确东西；能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药；同
时达 到解答问题完整、推理严密。
3. 记忆数学规律和数学小结论。
4. 与同学建立好关系，争做“小老师”，形成数学学习“互助组”。
5. 增加数学课外阅读，加大自学力度。
6. 反复巩固，消灭前学后忘。
7. 学会总结归类。




第九部分 影响高中数学成绩的原因和解决方法

面对众多初中学习的成功者沦为高中学习的失败者，造成成绩滑坡的主要原因有以下几个方面．
1 ．被动学习．许多同学进入高中后，还像初中那样，有很强的依赖心理，跟随老师惯性运转，没有掌握学
习主动权．表现在不定计划，坐等上课，课前没有预习，对老师要上课的内容不了解，上课忙于记笔记，没听到“门道”．没有真正理解所学内容。
2．学不得法．老师上课一般都要讲清知识的来龙去脉 ，剖析概念的内涵，分析重点难点，突出思想方法．而
一部分同学上课没能专心听课，对要点没听到或听 不全，笔记记了一大本，问题也有一大堆，课后又不能及时

巩固、总结、寻找知识间的联 系，只是赶做作业，乱套题型，对概念、法则、公式、定理一知半解，机械模仿，
死记硬背．也有的晚上 加班加点，白天无精打采，或是上课根本不听，自己另搞一套，结果是事倍功半，收效
甚微．
3．不重视基础．一些“自我感觉良好”的同学，常轻视基本知识、基本技能和基本方法的学习与训练，经常是知道怎么做就算了，而不去认真演算书写，但对难题很感兴趣，以显示自己的“水平”，好高鹜远，重“量 ”轻“质”，
陷入题海．到正规作业或考试中不是演算出错就是中途“卡壳”．
4．数学 思维还停留在初中的状态．高中数学与初中数学相比，知识的深度、广度，能力要求都是一次飞跃．高
中 数学很多地方难度大、方法新、分析能力要求高，需要有变化的思维．如开学以来所学的二次函数的最值问
题，含有参数的一些问题等．因此高中的数学更需要我们的思维活动要“活”，要“多角度”考虑，要能“概括 ”、
能“类比”、能“联想”、能“抽象”，等等
5.死记硬背，不能迁移知识。高中的 数学语言与初中有着显著的区别，初中的数学主要是以形象、通俗的
语言方式进行表达；而高一数学一下 子就触及抽象的集合符号语言、函数语言、图形语言等，一些概念难以理
解，觉得离生活很远，似乎很“ 玄”。高一数学是高中学习一个艰苦的磨炼，经过了这个阶段的砺炼，就会打开
高中数学的学习思维，前 面的道路就会豁然开朗，只要同学们增强信心，再掌握正确的学习方法，付出的努力
一定会有回报。
高中数学思维方法与初中阶段大不相同。初中阶段，由于很多老师为学生将各种题建立了统一的思维 模式，
如解分式方程分几步，因式分解先看什么，再看什么，确定了常见的思维套路。因此，形成初中生 在数学学习
中习惯于这种机械的，便于操作的定势方式。而高中数学在思维形式上产生了很大的变化，数 学语言的抽象化
对思维能力提出了更高的要求。这种能力要求的突变使很多高一新生感到不适应，故而导 致成绩下降是高一学
生产生数学学习障碍的另一个原因。
高中数学比初中数学的知识内容 的“量”上急剧增加了，单位时间内接受知识信息的量与初中相比增加了许
多，练习的消化课时相应地减 少了。这也使很多学习被动的、依赖心理重的高一新生感到不适应。
因此，要透彻理解书本上和课 堂上老师补充的内容，有时要反复思考、再三研究，要能在理解的基础上举
一反三，加强知识的迁移。对 一道题，要尽可能多想解法，多开动“脑筋”，使思维“活”起来。对一些相近的题，
要善于总结，形成 “一法多题”。
高中学生仅仅想学是不够的，还必须“会学”，要讲究科学的学习方法，提高学习效率，才能变被动为主动．
1、培养良好的学习习惯。良好的学习习惯包括制定计划、课前自学、专心上课、及时复习、独立作 业、解
决疑难、系统小结和课外学习几个方面。
(1)制定计划明确学习目的。合理的学 习计划是推动我们主动学习和克服困难的内在动力。计划先由老师指
导督促，再一定要由自己切实完成， 既有长远打算，又有短期安排，执行过程中严格要求自己，磨炼学习意志。
(2)课前预习是取得 较好学习效果的基础。课前预习不仅能培养自学能力，而且能提高学习新课的兴趣，掌
握学习的主动权。 预习不能搞走过场，要讲究质量，力争在课前把教材弄懂，上课着重听老师讲思路，把握重
点，突破难点 ，尽可能把问题解决在课堂上。
(3)上课是理解和掌握基本知识、基本技能和基本方法的关键环 节。上课专心听重点难点，把老师补充的内
容记录下来，而不是全抄全录，顾此失彼。
( 4)及时复习是提高效率学习的重要一环。通过反复阅读教材，多方面查阅有关资料，强化对基本概念知识
体系的理解与记忆，将所学的新知识与有关旧知识联系起来，进行分析比效，一边复习一边将复习成果整理在< br>笔记本上，使对所学的新知识由“懂”到“会”。
(5)独立作业是通过自己的独立思考， 灵活地分析问题、解决问题，进一步加深对所学新知识的理解和对新
技能的掌握过程。这一过程也是对我 们意志毅力的考验，通过运用使我们对所学知识由“会”到“熟”。
(6)解决疑难是指对独立完 成作业过程中暴露出来对知识理解的错误，或由于思维受阻遗漏解答，通过点拨
使思路畅通，补遗解答的 过程。解决疑难一定要有锲而不舍的精神。做错的作业再做一遍。对错误的地方没弄
清楚要反复思考。实 在解决不了的要请教老师和同学，并要经常把易错的地方拿来复习强化，作适当的重复性
练习，把求老师 问同学获得的东西消化变成自己的知识，长期坚持使对所学知识由“熟”到“活”。

(7)系统小结是通过积极思考，达到全面系统深刻地掌握知识和发展认识能力的重要环节。小结要在系统复习的基础上以教材为依据，参照笔记与资料，通过分析、综合、类比、概括，揭示知识间的内在联系，以达到
对所学知识融会贯通的目的。经常进行多层次小结，能对所学知识由“活”到“悟”。
(8) 课外学习包括阅读课外书籍与报刊，课外学习是课内学习的补充和继续，它不仅能丰富同学们的文化科
学 知识，加深和巩固课内所学的知识，而且能够满足和发展我们的兴趣爱好，培养独立学习和工作的能力，激
发求知欲与学习热情。


第十部分 高中数学的考试特点：
初中 数学的考试方法，基本上是学什么考什么。高中数学考试却有许多截然不同之处。下面用一个比喻来
加以 说明。比如学木匠，要先学会各种工具的使用方法。怎样考试呢？一种考法是，依次检查你各种工具的使
用水平。如果你都能达到相当的级别，你就是学好了木匠的本领。这就是初中数学的考试方法。现在提出另一种考法：给你提供适当的材料，并给出适当的备用零件，让你做一个板凳。由你找出解决问题的方法，并且把
自己的设想加以实现。你如果依次在板凳的凳面上安上四条腿，再想安装四条横翅，就要发生很大的困难 。也
许你的想法根本就不能实现。这就是高中数学的考法。考的是学生解决问题的能力。考试题多一半是 生疏的题
目，是考生不能依赖模仿加以解决的问题。学生最感困难的是没有思路。分析不出所要解答的题 目的问题结构。
本来，木凳的结构是凳面上凿四个洞，再把四条腿用横翅连接，然后盖上凳面。有的学生 非要把一块方木，凿
去多余之处，形成一个通身一体的板凳，费时费事，困难重重，实施中就会连续出错 。学生感到什么方法都学
过，就是分不清，什么时候该用哪一个。看来，这确实构成了初高中数学考试的 主要区别。打个比方，老师不
断地讲解谜语，分析它们的结构，特点，思路，猜法……。作为一名学生， 你把这一切都背下来，考试时依然
没用。考试时，让你猜的一定是新编的谜语。考的是你的能力。
提高数学学习成绩的主要方法：
初中学生学数学,靠的是一个字:练!
高中学生学数学靠的也是一个字:悟!
1．先看笔记后做作业.有的高一学生感到，老师讲过的， 自己已经听得明明白白了。但是，为什么自己一
做题就困难重重了呢？其原因在于，学生对教师所讲的内 容的理解，还没能达到教师所要求的层次。因此，每
天在做作业之前，一定要把课本的有关内容和当天的 课堂笔记先看一看。能否坚持如此，常常是好学生与差学
生的最大区别。尤其练习题不太配套时，作业中 往往没有老师刚刚讲过的题目类型，因此不能对比消化。如果
自己又不注意对此落实，天长日久，就会造 成极大损失。
2．做题之后加强反思.学生一定要明确，现在正做着的题，一定不是考试的题目。 而是要运用现在正做着
的题目的解题思路与方法。因此，要把自己做过的每道题加以反思，总结一下自己 的收获。要总结出：这是一
道什么内容的题，用的是什么方法。做到知识成片，问题成串。日久天长，构 建起一个内容与方法的科学的网
络系统。俗话说：“有钱难买回头看”。我们认为，做完作业，回头细看 ，价值极大。这个回头看，是学习过程
中很重要的一个环节。要看看自己做对了没有；还有什么别的解法 ；题目处于知识体系中的什么位置；解法的
本质什么；题目中的已知与所求能否互换，能否进行适当增删 改进。有了以上五个回头看，学生的解题能力才
能与日俱增。投入的时间虽少，效果却很大。可称为事半 功倍。用专业的语言说，就是提高了学生的数学化能
力，使其运用知识，解决问题的能力能够远距离迁移 。
有的学生认为，要想学好数学，只要多做题，功到自然成。其实不然。一般说做的题太少，很多 熟能生巧
的问题就会无从谈起。因此，应该适当地多做题。但是，只顾钻入题海，堆积题目，在考试中一 般也是难有作
为的。打个比喻：有很多人，因为工作的需要，几乎天天都在写字。结果，写了几十年的字 了，他写字的水平
能有什么提高吗？一般说，他写字的水平常常还是原来的水平。也就是说多写字不等于 是受到了写字的训练！
要把提高当成自己的目标，要把自己的活动合理地系统地组织起来，要总结反思， 水平才能长进。
3．主动复习总结提高.进行章节总结是非常重要的。初中时是教师替学生做总结 ，做得细致，深刻，完整。

高中是自己给自己做总结，老师不但不给做，而且是讲到哪， 考到哪，不留复习时间，也没有明确指出做总结
的时间。怎样做章节总结呢？打个比方，就象女孩洗头那 样。1，把头发弄散乱，加以清洗。2，中间分缝。3，
将其一半分股编绕，捆结固定。4，再将另一半 分股编绕，捆结固定。5，疏理辫稍。6，照镜子调整。我们进行
章节总结的过程也是大体如此。1，要 把课本，笔记，区单元测验试卷，校周末测验试卷，都从头到尾阅读一遍。
要一边读，一边做标记，标明 哪些是过一会儿要摘录的。要养成一个习惯，在读材料时随时做标记，告诉自己
下次再读这份材料时的阅 读重点。长期保持这个习惯，学生就能由博反约，把厚书读成薄书。积累起自己的独
特的，也就是最适合 自己进行复习的材料。这样积累起来的资料才有活力，才能用的上。2，把本章节的内容一
分为二，一部 分是基础知识，一部分是典型问题。要把对技能的要求（对“锯，斧，凿子…”的使用总结），列进
这两 部分中的一部分，不要遗漏。3，在基础知识的疏理中，要罗列出所学的所有定义，定理，法则，公式。要
做到三会两用。即：会文字表述，会图象符号表述，会推导证明。同时能从正反两方面对其进行应用。4，把重
要的，典型的各种问题进行编队。（怎样做“板凳，椅子，书架…”）要尽量地把他们分类，找出它们之 间的位置
关系，总结出问题间的来龙去脉。就象我们欣赏一场团体操表演，我们不能只盯住一个人看，看 他从哪跑到哪，
都做了些什么动作。我们一定要居高临下地看，看全场的结构和变化。不然的话，陷入题 海，徒劳无益。这一
点，是提高高中数学水平的关键所在。5，总结那些尚未归类的问题，作为备注进行 补充说明。6，找一份适当
的测验试卷，例如北京四中的本章节测试试卷，电脑网校的本节试卷，我校去 年此时所用的试卷。一定要计时
测验。然后再对照答案，查漏补缺。
4．重视改错错不重 犯.一定要重视改错工作，做到错不再犯。初中数学教学采取的方法是，把各种可能的
错误，都告诉学生 注意，只要有一人出过错，就要提出来，让全体同学引为借鉴。这叫“一人有病，全体吃药。”
高中数学 课没有那么多时间，除了少数几种典型错，其它错误，不能一一顾及。只能“谁有病，谁吃药”。如果
学 生“有病”，而自己却又忘记吃药，那么没人会一再地提醒他应该注意些什么。如果能及时改错，那么错误就可能转变为财富，成为不再犯这种错误的预防针。但是，如果不能及时改错，这个错误就将形成一处隐患，一
处“地雷”，迟早要惹祸。有的学生认为，自己考试成绩上不去，是因为自己做题太粗心。而且，自己特 爱粗心。
其实，原因并非如此。打一个比方。比如说，学习开汽车。右脚下面，往左踩，是踩刹车。往右 踩，是踩油门。
其机械原理，设计原因，操作规程都可以讲的清清楚楚。如果新司机真正掌握了这一套， 请问，可以同意他开
车上街吗？恐怕他自己也知道自己还缺乏练习。一两次能正确地完成任务，并不能说 明永远不出错。练习的数
量不够，往往是学生出错的真正原因。大家一定要看到，如果，自己的基础背景 是地雷密布，隐患无穷，那么，
今后的数学将是难以学好的。
5．积累资料随时整理.要 注意积累复习资料。把课堂笔记，练习，区单元测验，各种试卷，都分门别类按
时间顺序整理好。每读一 次，就在上面标记出自己下次阅读时的重点内容。这样，复习资料才能越读越精，一
目了然。
6．精挑慎选课外读物.初中学生学数学，如果不注意看课外读物，一般地说，不会有什么影响。高中则大
不相同。高中数学考的是学生解决新题的能力。作为一名高中生，如果只是围着自己的老师转，不论老师的水< br>平有多高，必然都会存在着很大的局限性。因此，要想学好数学，必须打开一扇门，看看外面的世界。当然 ，
也不要自立门户，另起炉灶。一旦脱离校内教学和自己的老师的教学体系，也必将事倍功半。
7．配合老师主动学习.高一新生的学习主动性太差是一个普遍存在的问题。小学生，常常是完成了 作业就
可以尽情地欢乐。初中生基本上也是如此，听话的孩子就能学习好。高中则不然，作业虽多，但是 只知做作业
就绝对不够；老师的话也不少，但是谁该干些什么了，老师并不一一具体指明。因此，高中新 生必须提高自己
学习的主动性。准备向将来的大学生的学习方法过渡。
8．合理规划步步 为营.高中的学习是非常紧张的。每个学生都要投入自己的几乎全部的精力。要想能迅速
进步，就要给自 己制定一个较长远的切实可行的学习目标和计划，例如第一学期的期末，自己计划达到班级的
平均分数， 第一学年，达到年级的前三分之一，如此等等。此外，还要给自己制定学习计划，详细地安排好自
己的零 星时间，并及时作出合理的微量调整。

综合上述,要想学好高中数学,主要注意以下8点:

1,先看笔记后做作业.
2,做题之后加强反思.
3,主动复习总结提高.
4,重视改错错不重犯.
5,积累资料随时整理.
6,精挑慎选课外读物.
7,配合老师主动学习.
8,合理规划步步为营.
我们反复强调过:
初中学生学数学,靠的是一个字:练!
高中学生学数学靠的也是一个字:悟!
学好数学的核心就是悟,悟就是理解,为了理解就要看做想…….看笔记,做作业后的反思,章节的 总结,改错误
时的找原因,整理复习资料,在课外读物中开阔眼界……，这一系列的活动都是“悟”。要 自觉去“悟”，就要提高主
动性，做好学习计划，合理安排时间，制定好自己的长期的短期的目标。这一 切措施，就是我门上面所说的8
条学习方法。
同学们。只要大家与老师积极配合，同时，对上 面所说的8个方面坚持不懈地作出努力，你们的数学成绩
就能突飞猛进，取得巨大的成功！


第十一部分 高一年级学生的心理特征与学习对策

心理学家的研究告 诉我们：高中一年级是个转折点：同学们的抽象思维慢慢开始从经验型占主导向理论型
占主导转变，并且 将迅速进入理论型发展的关键期，这时同学们遇事开始有了“个人的见解”，自主意识和独立
解决问题的 能力显著增强，感觉自己“真正长大了”。
这时，一个值得大家十分关注的问题是：教育研究表明 ，在关键期如果所学的知识具有一定的挑战性（挑
战就是激励），并且教育与训练的方式得当，思维水平 就会得到“神奇般地发展”！反之，如果教育内容乏味，措
施无力或不当，就会贻误甚至摧残发展，给学 生留下终生的遗憾。长期的教学实践和系统的学法教育的研究，
还使我们获得了一个非常重要的发现：一 个高中生三年的发展，不论是知识的获得，个性的陶冶，还是能力的
提高，都遵循这个规律—“三年发展 看高一，高一关键在一（上）”这就是说，在高中一年级上学期所形成的心
理态势、学习方式、思维习惯 和知识结构将会对高中三年的发展产生重大的甚至是决定性的影响，高一（上）
结束时所产生的优秀生、 中等生和后进生有相当大的比例将一直持续到高中毕业甚至大学以后，这一发现进一
步加强了高一年级特 别是高一上学期应该是“关键期中的关键期”这一认识。反面的教训更应引起我们警觉：有
相当多的中学 生，正是由于高中一年级没有实现好这个转折，数学学习方法与习惯一直不能与高中数学的学习
相适应， 成绩一现下滑，最后甚至失去了学好数学的信心，给本人和家长带来了沉重的精神压力和痛苦！这是
大学 都不愿看到的。一个严肃的重大课题摆到了我们的面前：抓好这个关键期的教育和训练实在是太重要了！
可是到底应该怎样抓呢？
（1） 要正视“转折点”，引导学生自觉地实现“转轨”
要向学生讲清高中数学的特点，激励他们要与时俱进，认真地学习、领悟数学学习的科学理念与以理论型
抽象思维水平主导的数学学习方法，自觉地、尽快地按照“数学学习的基本结构”高质量地完成从初中学习到高< br>中学习的转轨，形成良好的数学学习习惯与方法。
（2） 要珍惜宝贵的“关键期”，力争思维水平有一个更好的发展。
关键期也是发展的最佳期，俗话说“ 一寸光阴一寸金”，抓好关键期，使自己的才能达到更好的发展，会终
生受益无穷，否则“时过而后学， 虽勤劳而难成“《学记》，这是因为人的各种器官和能力的发展都具有明显的阶
段性。具体地说，高一年 级的数学内容中理论成分所占比重较大，这就为理论型抽象思维水平的发展提供了契

机， 教育学生应当在每一次的理论（定义、定理、公式、法则）教学的全过程（试验→猜测→论证→分析→例
题→应用）中，在老师的指导下主动、积极地参与数学活动，力争做到“四个超前”，力争独立解决问题，以促< br>进自己的抽象思维能力的发展。
3、高二年级学生的心理特征与学习对策
心 理学家的研究告诉我们：高二年级同学的抽象思维水平已经进入“理论型”发展的成熟期，在这个阶段如
果教育和训练得法、适当，思维水平还能得到很大的发展，思维能力将会进一步完善。但是，这个时期一般只有一两年时间，过了这个成熟期，理论型抽象思维能力的发展将会减缓，并且会逐渐趋于稳定（也就是说越往
后，发展的余地就会越小），取而代之的将是辨证逻辑思维能力的发展。千方面计地抓好“成熟期”这一 段极其宝
贵的黄金时期，力争获得数学能力的大发展应该是高二数学教学的出发点和落脚点。
（1） 首先要做好学生的思想动员，要把“成熟期只有一、两年”的规律告诉学生，以激起他们发展思
维水平的危机感，学生动起来事情就好办了。
（2） 高二数学的理论性与方法 论性质较高一数学进一步提高，这就为数学能力的大发展提供了充足
的精神食粮，作为教师，既是深入研 究、开发每章、每节、每个例习题的智力功能，又要研究、关注每个同学
的思维特点，精心设计、精心操 作，帮助学生在学好数学的同时，努力促进思维水平的发展
（3） 学法指导的重点仍然是：
1、 怎样提高对数学理论的理解水平
2、 怎样提高“用理论思维”的意识和水平，抓好了这两条就抓住了学好数学、用好数学的根本。


第十二部分 新高一学生如何顺利度过数学“适应期”
随着学习的深入，数学 成绩的分化是必然的，那么成绩落后的原因何在？学习数学有困难的新高一同学应
怎样顺利度过适应期呢 ？
【原因一】高中数学与初中数学相比，难度提高。因此会有少部分新高一生一时无法适应。表现 在上课都
听懂，作业不会做；或即使做出来，老师批改后才知道有多处错误，这种现象被戏称为“一听就 懂，一看就会，
一做就错”。因此有些家长会认为孩子在初中数学考试都接近满分，怎么到了高中会考试 不及格？！
【应对方法】要透彻理解书本上和课堂上老师补充的内容，有时要反复思考、再三研究 ，要能在理解的基
础上举一反三，并在勤学的基础上好问。
【原因二】初、高中不同学习 阶段对数学的不同要求所致。高中考试平均分一般要求在70分左右。如果一
个班有50名学生，通常会 有10个以下不及格，90分以上人数较少。有些同学和家长不了解这些情况，对初三
时的成绩接近满分 到高一开始时的不及格这个落差感到不可思议，重点中学的学生及其家长会特别有压力。
【应对方 法】看学生的成绩不能仅看分数值，关键要看在班级或年级的相对位置，同时还要看学生所在学
校在全市 所处的位置，综合考虑就会心理平衡，不必要的负担也就随之而去。
【原因三】学习方法的不适应 。高中数学与初中相比，内容多、进度快、题目难，课堂听懂作业却常常磕
磕绊绊，由于各科信息量都较 大，如果不能有效地复习，前学后忘的现象比较严重。
【应对方法】课堂上不仅要听懂，还要把老 师补充的内容适当地记下来，课后最好把所学的内容消化后再
做作业，不要一边做题一边看笔记或看公式 。课后尽可能再选择一些相关问题来练习，以便做到触类旁通。
【原因四】思想上有所放松。由于 初三学习比较辛苦，到高一部分同学会有松口气的想法，因为离高考毕
竟还有三年时间，尤其是初三靠拼 命补课突击上来的部分同学，还指望“重温旧梦”，这是很危险的想法。如果
高一基础太差，指望高三突 击，实践表明多数同学会落空。部分智力较好的男生“恃才傲物”，解题只追求答案
的正确性，书写不规 范，考试时丢分严重。
【应对方法】高一的课程内容不得懈怠，函数知识贯穿于高中数学的始终， 函数思想更是解决许多问题的
利器，学好函数对整个高中数学都很重要，放松不得。在高一开始时养成勤 奋、刻苦的学习态度，严谨、认真
的学习习惯和方法非常重要。高中数学有十几章内容，高一数学主要是 函数，有些同学函数学得不怎么好，但

高二立体几何、解析几何却能学得不错，因此，一 定要用变化的观点对待学生。鼓励和自信是永不失效的教育
法宝。

















第四部分




1.1 数与式的运算
1.1.1绝对值
1.1.2. 乘法公式
1.1.3．二次根式
1.1.４．分式
1．2 分解因式

2.1 一元二次方程
2.1.1根的判别式
分章节突破
录 目

2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）
2．2 二次函数
2.2.1 二次函数
y
＝
ax
2
＋
bx
＋
c
的图像和性质

2.2.2 二次函数的三种表示方式

2.2.3 二次函数的简单应用
2.3 方程与不等式
2.3.1 二元二次方程组解法
2.3.2 一元二次不等式解法

3．1 相似形
3.1.1．平行线分线段成比例定理
3.1.2相似形
3.2 三角形
3.2.1 三角形的“四心”
3.2.2 几种特殊的三角形
3．3圆
3.3.1 直线与圆，圆与圆的位置关系
3.3.2 点的轨迹



1.1 数与式的运算

1.１.1．绝对值

绝对 值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，零的绝对值仍
是零．即
?
a,a?0,
?
|a|?
?
0,a?0,
?
?a,a?0.
?
绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到 原点的距离．
两个数的差的绝对值的几何意义：
a?b
表示在数轴上，数
a
和数
b
之间的距离．
例1 解不等式：
x?1?x?3
＞4．
解法一：由
x?1?0
，得x?1
；由
x?3?0
，得
x?3
；
①若
x?1
，不等式可变为
?(x?1)?(x?3)?4
，

即
?2x?4
＞4，解得x＜0，
又x＜1，
∴x＜0；
②若
1?x?2
，不等式可变为
(x?1)?(x?3)?4
，
即1＞4，
∴不存在满足条件的x；
③若
x?3
，不等式可变为
(x?1)?(x?3)?4
，
即
2x?4
＞4， 解得x＞4．
又x≥3，
∴x＞4．
综上所述，原不等式的解为
x＜0，或x＞4．
解法二：如图1．1 －1，
x?1
表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A之间的距离|PA|，
即| PA|＝|x－1|；|x－3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距离|PB|，即|PB|＝|x－3 |．
所以，不等式
x?1?x?3
＞4的几何意义即为
|PA|＋|PB|＞4．
由|AB|＝2，可知
点P 在点C(坐标为0)的左侧、或点P在点D(坐标为4)
的右侧．
x＜0，或x＞4．
练 习
1．填空：
（1）若
x?5
， 则x=_________；若
x??4
，则x=_________.
（2）如果
a?b?5
，且
a??1
，则b＝________；若
1?c?2
，则c＝________.

2．选择题：
下列叙述正确的是 （ ）
（A）若
a?b
，则
a?b
（B）若
a?b
，则
a?b

（C）若
a?b
，则
a?b
（D）若
a?b
，则
a??b

3．化简：|x－5|－|2x
－
13|（x＞5）．

|x－3|
A
1
P
x
C
0
|x－1|
图1．1－1
B
D
3 4
x
1.1.2. 乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
（1）平方差公式
(a?b)(a?b)?a
2
?b
2
；
22
?a
2
?2ab?
．
b
（2）完全平方公式
(a?b)
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
23
?ab?2
b)?
3
a?
；
b
（1）立方和公式
(a?b)(a

23
?ab?
2
b)?
3
a?
；
b
（2）立方差公式
(a?b)(a

222
)?a?b?
2
c2?(ab?bc?
；
)a
（3）三数和平方公式
(a?b?c

c
3323
? a?3ab?3a
2
b?
；
b
（4）两数和立方公式
(a?b)

3323
?a?3ab?3a
2
b?
．
b
（5）两数差立方公式
(a?b)

对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．

例1 计算：(x?1)(x?1)(x
2
?x?1)(x
2
?x?1)
．
222
解法一：原式=
(x
2
?1)
?
?
(x?1)?x
?
?

=
(x
2
?1)(x
4
?x
2
?1)

=
x
6
?1
．
解法二：原式=
(x?1)(x
2
?x?1)(x?1)(x
2
?x?1)

=
(x
3
?1)(x
3
?1)

=
x
6
?1
．
例2 已知
a?b?c?4
，< br>ab?bc?ac?4
，求
a
2
?b
2
?c
2
的值．
解：
a
2
?b
2
?c
2?(a?b?c)
2
?2(ab?bc?ac)?8
．
练 习
1．填空：
1
2
1
2
11
；
a?b?(b?a)
（ ）
9423
22
（2）
(4m?

)?16m?4m?(

)
；
2222
(3 )
(a?2b?c)?a?4b?c?(

)
．
（1）
2．选择题：
1
mx?k
是一个完全平方式，则
k
等于 （ ）
2
1
2
1
2
1
2
2< br>（A）
m
（B）
m
（C）
m
（D）
m

4316
22
（2）不论
a
，
b
为何实数，
a?b?2a?4b?8
的值 （ ）
（1）若
x?
2
（A）总是正数 （B）总是负数
（C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数


1.1.3．二次根式
一般地，形如
a(a?0)
的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够开得尽方的式< br>子称为无理式. 例如
3a?a
2
?b?2b
，
a
2
?b
2
等是无理式，而
2x
2
?
2
x? 1
，
x
2
?2xy?y
2
，
2
a
2
等是有理式．
1．分母（子）有理化
把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子 ）有理化．为了进行分母（子）有理化，需要引
入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘， 如果它们的积不含有二次根式，我们就
说这两个代数式互为有理化因式，例如
2
与2
，
3a
与
a
，
3?6
与
3?6，
23?32
与
23?32
，等等． 一般地，
ax
与
x
，
ax?by
与
ax?by
，
ax?b
与
ax?b
互为有
理化因式．
分母有理化的方法是分母和分子都乘以分母 的有理化因式，化去分母中的根号的过程；而分
子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式，化去 分子中的根号的过程
在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法进行，运算中 要运用公
式
ab?ab(a?0,b?0)
；而对于二次根式的除法，通常先写成分式 的形式，然后通过分母有
理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减法类似，应在化简的基础上去 括号与合并同类

二次根式．
2．二次根式
a
2
的意义
a
2
?a?
?
?
a,a?0,

?a,a?0.
?
例1 将下列式子化为最简二次根式：
（1）
12b
； （2）
a
2
b(a?0)
； （3）
4x
6
y(x?0)
．
解： （1）
12b?23b
；
（2）
a
2
b?ab?ab(a?0)
；
（3）< br>4x
6
y?2x
3
y??2x
3
y(x?0)
．
例2 计算：
3?(3?3)
．
3?3
3?(3?3)
＝
(3?3)(3?3)
33?3

9?3
3(3?1)
＝
6
3?1
＝．
2
3
?3
＝
)
解法二：
3?(3

3?3
解法一：
3?(3?3
＝
)
3

＝
3

3(3?1)
1
＝
3?1
＝
＝
＝
3?1

(3?1)(3?1)
3?1
．
2
例3 试比较下列各组数的大小：
（1）
12?11
和
11?10
； （2）
解： （1）∵
12?11?

11?
2
和
22－6
.
6?4
12?11(12?11)(12?11)1
，
??
112?1112?11
11?
1
10
?
1
，
10
(1?110)(?1110)
?
11?101?1
又
12?1 1?11?10
，
10?

∴12?11＜
11?10
．
22－6(22－6)(22+6)2
??,

1
22+622+6
又 4＞22，
∴6＋4＞6＋22，
2
∴＜
22－6
.
6?4
例4 化简：
(3?2)
2004
?(3?2)
2005
．
（2）∵
22－6?
解：
(3?2)
2004
?(3?2)
2005

＝
(3?2)
2004
?(3?2)
2004
?(3?2)

?
＝
?
?
(3?2)?(3?2)
?
＝
1
2004
?(3?2)

2004
?(3?2)

＝
3?2
．
例 5 化简：（1）
9?45
； （2）
x
2
?
解：（1）原式
?5?45?4


?(5)
2
?2?2?5?2
2

1
?2(0?x?1)
．
2
x
?(2?5)
2

?2?5
?5?2
．
1
1
（2）原式=
(x?)
2
?x?
，
x
x
∵
0?x?1
，
1
∴
?1?x
，
x
1
所以，原式＝
?x
．
x
3?23?2
例 6 已知
x?
，求
3x
2
?5xy?3y
2
的值 ．
,y?
3?23?2
3?23?2
解： ∵
x?y???(3?2)
2
?(3?2)
2
?10
，
3?23?2
3?23?2
??1
，
3?23?2
∴
3x
2
?5xy?3y
2
?3(x?y)
2
?1 1xy?3?10
2
?11?289
．
xy?
练 习
1．填空：
（1）
1?3
＝__ ___；
1?3

（2）若
(5?x)(x?3)
2
?(x?3)5?x
， 则
x
的取值范围是_ _ ___；
（3）
424?654?396?2150?
__ ___；
（4）若
x?
2．选择题：
5
x?1?x?1x?1?x?1
，则
??
______ __．
2
x?1?x?1x?1?x?1
xx
成立的条件是 （ ）
?
x?2
x?2
（A）
x?2
（B）
x?0
（C）
x?2
（D）
0?x?2

等式
a
2
?1?1?a
23．若
b?
，求
a?b
的值．
a?1
4．比较大小：2－3 5－4（填“＞”，或“＜”）．













1.1.４．分式

1．分式的意义
形如< br>AAA
的式子，若B中含有字母，且
B?0
，则称为分式．当M≠0时，分式具 有下列性质：
BBB
AA?M
；
?
BB?M
AA?M
?
．
BB?M
上述性质被称为分式的基本性质．

2．繁分式
a
m?n?p
像
b
，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．
2m
c?d
n?p
5x?4AB
??
例1 若，求常数
A,B
的值．
x(x?2)xx?2

ABA(x ?2)?Bx(A?B)x?2A5x?4
????
，
xx?2x(x?2)x(x?2)x(x?2)
?
A?B?5,
∴
?

2A?4,
?
解得
A?2,B?3
．
111
??
例2 （1）试证：（其中n是正整数）；
n(n?1)nn?1
111
（2）计算：；
???
1?22?39?10
1111
????
． （3）证明：对任意大于1的正整数n， 有
2?33?4n(n?1)2
11(n?1)?n 1
??
（1）证明：∵
?
，
nn?1n(n?1)n(n?1)
111
??
∴（其中n是正整数）成立．
n(n?1)nn?1
（2）解：由（1）可知
111

???
1?22?39?10
11111

?(1?)?(?)??(?

)
223910
19

?1?
＝．
1010
111
???
（3）证明：∵
2?33?4n(n?1)
111111
＝
(?)?(?)??(?)

2334nn?1
11
＝
?
，
2n?1
又n≥2，且n是正整数，
1
∴ 一定为正数，
n＋1
1
111
???
∴＜
2
．
2?33?4n(n?1)
c
例3 设
e?< br>，且e＞1，2c
2
－5ac＋2a
2
＝0，求e的值．
a
2
解：在2c－5ac＋2a
2
＝0两边同除以a
2
，得
2e
2
－5e＋2＝0，
∴(2e
－
1)(e－2)＝0，
1
∴e＝
2
＜1，舍去；或e＝2．
∴e＝2．
解： ∵
练 习
1．填空题：

对任意的正整数n，
2．选择题：
1
11
?
(
?
)；
n(n?2)
nn?2
2x?y2x
?
，则＝ （ ） 若
x?y3y
（A）１ （B）
5
4
（C）
4
6
5
（D）
5

3．正数
x,y
满足
x
2
?y
2
?2xy
，求
x?y
x?y
的值．
4．计算< br>1
1?2
?
1
2?3
?
1
3?4
? ...?
1
99?100
．


习题1．1
A 组
1．解不等式：
(1)
x?1?3
； (2)
x?3?x?2?7
；
(3)
x?1?x?1?6
．
２．已知
x?y?1
，求
x3
?y
3
?3xy
的值．
3．填空：
（1）
(2?3)
18
(2?3)
19
＝________；
（2）若
(1?a)
2
?(1?a)
2
?2
，则
a
的取值范围是________；
（3）
1
1?2
?
1
2 ?3
?
1
3?4
?
1
4?5
?
1
5?6
?
________．

B 组
1．填空：
（1）
a?
1
2
，
b?
1
3a
2
?ab
3
，则
3a
2
?5ab?2b
2
?
____ ____；
）若
x?xy?2y?0
，则
x
2< br>?3xy?y
2
（2
22
x
2
?y
2
?
__ __；
2．已知：
x?
1
2
,y ?
1
y
3
，求
x?y
?
y
x?y
的值．
C 组
1．选择题：
（1）若
?a?b?2ab??b??a
，则 （
（A）
a?b
（B）
a?b
（C）
a?b?0
（D）
b?a?0

（2）计算
a?
1
a
等于 （
（A）
?a
（B）
a
（C）
??a
（D）
?a

2．解方程
2( x
2
?
11
x
2
)?3(x?
x
)?1? 0
．
）


）

1
．
9?11
11
??
4．试证：对任意的正整数n，有
1?2?32?3?4
3．计算：
111
???
1?32?43?5
?
?
1
1
＜ ．
n(n?1)(n?2)
4




1.1.1．绝对值
1．（1）
?5
；
?4
（2）
?4
；
?1
或
3
2．D 3．3x－18
1.1.2．乘法公式
1111
1．（1）
a?b
（2）
,
（3）
4ab?2ac?4bc

3224
2．（1）D （2）A
1.1.3．二次根式
1． （1）
3?2
（2）
3?x?5
（3）
?86
（4）
5
．
2．C 3．1 4．＞
1.1.4．分式
1
99
1．
2
2．B 3．
2?1
4．
100
习题1．1
A组
1．（1）
x??2
或
x?4
（2）－4＜x＜3 （3）x＜－3，或x＞3
2．1 3．（1）
2?3
（2）
?1?a?1
（3）
6?1

B组
1
35
1．（1） （2），或－
5
2．4．
72
C组
1
36
1．（1）C （2）C 2．
x
1
?,x
2
?2
3．
55
2
1111
?[?]
4．提示：
n(n?1)(n?2)2n(n?1)(n?1)(n?2)







1．2 分解因式
因式分解的主 要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法，另外还应了解
求根法及待定系数法．
1．十字相乘法

例1 分解因式：
（1）x
2
－3x＋2； （2）x
2
＋4x－12；
（3）
x
2
?(a?b)xy?aby
2
； （4）
xy?1?x?y
．
解：（1）如图1．2－1，将二次项x
2
分解成图中的两个x的积，再将常数项2分解成－1与
－2的乘积，而图中的对角线上的两 个数乘积的和为－3x，就是x
2
－3x＋2中的一次项，所以，有
x
2
－3x＋2＝(x－1)(x－2)．

1
x
x
1
－1 －2
－ay
－1


1
x
x
1 6
－2
－by
－2

图1．2－3
图1．2－1
图1．2－4
图1．2－2

说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的两个x 用1来表
示（如图1．2－2所示）．
（2）由图1．2－3，得
x
2
＋4x－12＝(x－2)(x＋6)．
（3）由图1．2－4，得

x
2
?(a?b)xy?aby
2
＝
( x?ay)(x?by)

（4）
xy?1?x?y
＝xy＋(x－y)－1
＝(x－1) (y+1) （如图1．2－5所示）．
2．提取公因式法与分组分解法
例2 分解因式：
（1）
x
3
?9?3x
2
?3x
； （2）
2x
2
?xy?y
2
?4x?5y?6
．
解： （1）
x
3
?9?3x
2
?3x
=
(x
3
?3x
2
)?(3x?9)
=
x
2
(x?3)?3(x?3)

=
(x?3)(x
2
?3)
．
或
x
3
?9?3x
2
?3x
＝
(x
3
?3x< br>2
?3x?1)?8
＝
(x?1)
3
?8
＝
(x?1)
3
?2
3

＝
[(x?1 )?2][(x?1)
2
?(x?1)?2?2
2
]

＝
(x?3)(x
2
?3)
．
（2）
2x
2
?xy?y
2
?4x?5y?6
=
2x
2
?(y ?4)x?y
2
?5y?6

=
2x
2?(y?4)x?(y?2)(y?3)
=
(2x?y?2)(x?y?3)
．
或
2x
2
?xy?y
2
?4x?5y?6
=
(2x
2
?xy?y
2
)?(4x?5y)?6

=
(2x?y)(x?y)?(4x?5y)?6

=
(2x?y?2)(x?y?3)
．
3．关于x的二次三项式ax
2
+bx+c(a≠0)的因式分解．
若关于 x的方程
ax
2
?bx?c?0(a?0)
的两个实数根是
x
1
、
x
2
，则二次三项式
ax
2
?bx?c(a ?0)
就可分解为
a(x?x
1
)(x?x
2
)
.
例3 把下列关于x的二次多项式分解因式：
x
y
图1．2－5
－1
1

（1）
x
2
?2x?1
； （2）
x
2
?4xy?4y
2
．
解： （1）令
x
2
?2x?1
=0，则解得
x
1
??1?2
，< br>x
2
??1?2
，
???
∴
x< br>2
?2x?1
=
?
?
x?(?1?2)
??
x?(?1?2)
?

=
(x?1?2)(x?1?2)
．
（2）令
x
2
?4x y?4y
2
=0，则解得
x
1
?(?2?22)y
，
x
1
?(?2?22)y
，
∴
x
2
?4xy?4y
2
=
[x?2(1?2)y][x?2(1?2)y]
．
练 习
1．选择题：
多项式
2x?xy?15y
的一个因式为 （ ）
（A）
2x?5y
（B）
x?3y
（C）
x?3y
（D）
x?5y

2．分解因式：
（1）x
2
＋6x＋8； （2）8a
3
－b
3
；
（3）x
2
－2x－1； （4）
4(x?y?1)?y(y?2x)
．
习题1．2
1．分解因式：
（1）
a?1
； （2）
4x?13x?9
；
22
（3）
b?c?2ab?2ac?2bc
； （4）
3x?5xy?2y?x?9y?4
．
22
22
3
42
2．在实数范围内因式分解：
2
（1）
x?5x?3
； （2）
x?22x?3
；
2
（3）
3x?4xy?y
； （4）
(x?2x)?7(x?2x)?12
．
3．
?ABC
三边
a
，
b
，
c
满足
a?b?c?ab?bc?ca< br>，试判定
?ABC
的形状．
4．分解因式：x
2
＋x－(a
2
－a)．

222
22222
1.2分解因式
1． B
2．（1）(x＋2)(x＋4) （2）
(2a?b)(4a
2
?2ab?b
2
)

（3）
(x?1?2)(x?1?2)
（4）
(2?y)(2x?y?2)
．
习题1．2
1．（1）
?
a?1
?
?
a
2
?a?1
?
（2）< br>?
2x?3
??
2x?3
??
x?1
??
x ?1
?

（3）
?
b?c
??
b?c?2a
?
（4）
?
3y?y?4
??
x?2y?1
?

?
5?13
??
5?13
?
2．（1）
????
?< br>x?
??
x?
?
； （2）
x?2?5x?2?5
；
22
????
?
2?7
??
2?7
?
（ 3）
3
?
?
x?
3
y
??
??
x ?
3
y
?
?
； （4）
?
x?3
?
(x?1)(x?1?5)(x?1?5)
．
????
3．等边三角形
4．
(x?a?1)(x?a)

????














2.1 一元二次方程

2.1.1根的判别式

我们知道，对于一元二次方程ax
2
＋b x＋c＝0（a≠0），用配方法可以将其变形为
b
2
b
2
?4ac
)?

(x?
． ①
2
2a4a
因为a≠0，所以，4a
2
＞0．于是
（1） 当b
2
－4ac＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根
（2）当b
2
－4ac＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根
x
1
＝x
2
＝－
?b?b
2
?4ac
x
1
，
2
＝；
2a
b
；
2a
（3）当b
2
－4ac＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边
(x?b
2
)
一定大于或等于零，因此，
2a
原方程没有实数根． < br>由此可知，一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由b
2
－4ac来判定，我们把b
2
－4ac叫做一
元二次方程ax
2< br>＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．
综上所述，对于一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0（a≠0），有
（1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根

?b?b
2
?4ac
x
1
，
2
＝；
2a
（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根
x
1
＝x
2
＝－
b
；
2a
（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．
例1 判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方程的实数根．
（1）x
2
－3x＋3＝0； （2）x
2
－ax－1＝0；
（3） x
2
－ax＋(a－1)＝0； （4）x
2
－2x＋a＝0．
解：（1）∵Δ＝3
2
－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根．
（2 ）该方程的根的判别式Δ＝a
2
－4×1×(－1)＝a
2
＋4＞0，所以方 程一定有两个不等的实数根
a?a
2
?4a?a
2
?4
，
x
2
?
．
x
1
?
22
（3）由于该方程的根的判别式为
Δ＝a2
－4×1×(a－1)＝a
2
－4a＋4＝(a
－
2)
2
，
所以，
①当a＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根
x
1
＝x
2
＝1；
②当a≠2时，Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根
x
1
＝1，x
2
＝a
－
1．
（3）由于该方程的根的判别式为
Δ＝2
2
－4×1×a＝4－4a＝4(1
－
a)，
所以
①当Δ＞0，即4(1
－
a) ＞0，即a＜1时，方程有两个不相等的实数根

x
1
?1?1?a
，
x
2
?1?1?a
；
②当Δ＝0，即a＝1时，方程有两个相等的实数根
x
1
＝x
2
＝1；
③当Δ＜0，即a＞1时，方程没有实数根．
说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着 a的取值的变化而变化，于是，在解题过程中，
需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论． 分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的
方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决 问题．

2.1.2 根与系数的关系（韦达定理）
若一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根
2

?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4ac

x
1
?
，
x
2
?
，
2a2a
则有

?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4ac?2bb
????
；
x
1
?x
2
?
2a2a2aa
2
?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4acb
2
?(b?4ac)4acc
???
2
?．
x
1
x
2
?
2
2a2a4a4aa
所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：

如果ax
2
＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x
1
，x
2
，那么x
1＋x
2
＝
?
bc
，x
1
·x
2
＝．这一关系也被称为韦达
aa
定理．
特别地，对于二次项系数为1的一元二次 方程x
2
＋px＋q＝0，若x
1
，x
2
是其两根，由韦达 定理可知
x
1
＋x
2
＝－p，x
1
·x
2
＝q，
即 p＝－(x
1
＋x
2
)，q＝x
1
·x
2
，
所以，方程x
2
＋px＋q＝0可化为 x
2
－(x
1
＋x
2
)x＋x
1
·x
2＝0，由于x
1
，x
2
是一元二次方程x
2
＋px＋q ＝0的两
根，所以，x
1
，x
2
也是一元二次方程x
2－(x
1
＋x
2
)x＋x
1
·x
2
＝ 0．因此有
以两个数x
1
，x
2
为根的一元二次方程（二次项系数为1）是
x
2
－(x
1
＋x
2
)x＋x
1
·x
2
＝0．
例2 已知方程
5x?kx?6?0
的一个根是2，求它的另一个根及k的值．
分析：由于 已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k的值，再由方程解出另一个根．但由于
我们学习了 韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个根及方程的二次项系数和常数项，
于是 可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和求出k的值．
解法一：∵2是方程的一个根，
∴5×2
2
＋k×2－6＝0，
∴k＝－7．
所以，方程就为5 x
2
－7x－6＝0，解得x
1
＝2，x
2
＝－
所 以，方程的另一个根为－
2
3
．
5
3
，k的值为－7．
5
63
，∴x
1
＝－．
55
解法二：设方程的另一个根为x
1
，则 2x
1
＝－
例3 已知关于x的方程x
2
＋2(m
－< br>2)x＋m
2
＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的平方和比两个根
的积 大21，求m的值．
分析： 本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于 m的方程，从而解得m
的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程有两个实数根，因此，其根 的判别式应大于零．
解：设x
1
，x
2
是方程的两根，由韦达定理，得
x
1
＋x
2
＝－2(m
－
2)，x
1
·x
2
＝m
2
＋4．
∵x
1
2
＋ x
2
2
－x
1
·x
2
＝21，
2
∴(x
1
＋x
2
)－3 x
1
·x
2
＝21，
2
即 [－2(m
－
2)]－3(m
2
＋4)＝21，
化简，得 m
2
－16m－17＝0，
解得 m＝－1，或m＝17．
当m＝－1时，方程为x
2
＋6x＋5＝0，Δ＞0，满足题意；
当m＝1 7时，方程为x
2
＋30x＋293＝0，Δ＝30
2
－4×1×293＜0 ，不合题意，舍去．
综上，m＝17．
说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满 足方程有两个实数根所对应的m的范围，然后再由“两
个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的 值，取满足条件的m的值即可．
（1）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还要考虑到 根的判别式Δ是否大于或大于零．因
为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根．
例4 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．
分析：我们可以设出这两个数分别为x，y，利用二 元方程求解出这两个数．也可以利用韦达定理转化出一
元二次方程来求解．
解法一：设这两个数分别是x，y，
3
k
）＋2＝－，得 k＝－7．
5
5
3
所以，方程的另一个根为－，k的值为－7．
5
由 （－

则 x＋y＝4， ①
xy＝－12． ②
由①，得 y＝4－x，
代入②，得
x(4－x)＝－12，
即 x
2
－4x－12＝0，
∴x
1
＝－2，x
2
＝6．
?
x
1
??2,
?
x
2
?6,
∴
?
或
?

y?6,y??2.
?
1
?
2
因此，这两个数是－2和6．
解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程
x
2
－4x－12＝0
的两个根．
解这个方程，得
x
1
＝－2，x
2
＝6．
所以，这两个数是－2和6．
说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一简捷．
例5 若x
1
和x
2
分别是一元二次方程2x
2
＋5x－3＝0的两根．
（1）求| x
1
－x
2
|的值；
（2）求
11
?
的值；
x
1
2
x
2
2

（3）x
1
3
＋x
2
3
．
解：∵x1
和x
2
分别是一元二次方程2x
2
＋5x－3＝0的两根，
∴
x
1
?x
2
??

53
，
x
1
x
2
??
．
22
5
2
2
（1）∵| x
1
－x
2
|
2
＝x
1
2
+ x
2
2
－2 x
1
x
2
＝(x
1
＋x
2
)
2
－4 x
1
x
2
＝
(?)?4?(?)

3
2
＝
∴| x
1
－x
2
|＝
2549
＋6＝，
44
7
．
2
2
1
2
1
2


（2）
x?x
2
11
??
x
1
2
x
2
2
x?x
2
2
（3）x
1
3
＋x
2
3
＝(x
1
＋x
2
)( x
1
2
－x< br>1
x
2
＋x
2
2
)＝(x
1
＋x< br>2
)[ ( x
1
＋x
2
)
2
－3x
1
x
2
]
5325
(?)
2< br>?2?(?)?3
(x
1
?x
2
)?2x
1
x
2
37
22
?
4
．
???
2
39
(x
1
x
2
)9
(?)
2
24
2
＝(－
553215
)×[(－)
2
－3×(
?
)]＝－．
2228
说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这 一个量的问题，为了
解题简便，我们可以探讨出其一般规律：
设x
1
和x< br>2
分别是一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0（a≠0），则
?b? b
2
?4ac?b?b
2
?4ac
，
x
2
?
，
x
1
?
2a2a
?b?b
2
?4a c?b?b
2
?4ac2b
2
?4ac
??
∴| x
1
－x
2
|＝
2a2a2a

b
2
?4ac?

?
．
?
|a||a|
于是有下面的结论：
若x
1
和x
2
分别是一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0（a≠0），则 | x
1
－x
2
|＝
?
（其中Δ＝b
2
－ 4ac）．
|a|
今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．
例6 若关于x的一元二次方程x
2
－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零 ，求实数a的取值范围．
解：设x
1
，x
2
是方程的两根，则
x
1
x
2
＝a－4＜0， ①
且Δ＝(－1)
2
－4(a－4)＞0． ②
由①得 a＜4，
17
由②得 a＜ ．
4
∴a的取值范围是a＜4．



练 习
1．选择题：
22
（1）方程
x?23kx?3k?0
的根的情况是 （ ）
（A）有一个实数根 （B）有两个不相等的实数根
（C）有两个相等的实数根 （D）没有实数根
（2）若关于x的方程mx
2
＋ (2m＋1)x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是
（ ）
（A）m＜
11
（B）m＞－
44
11
（C）m＜，且m≠0 （D）m＞－，且m≠0
44
11
?
＝ ．
x
1
x
2
2．填空:
（1）若方程x
2
－3x－1＝0的两根分别是x
1
和x
2
，则
（2）方程mx
2
＋x－2m＝0（m≠0）的根的情况是 ．
（3）以－3和1为根的一元二次方程是 ．
3．已知
a
2
?8a?16?|b?1|?0
，当k取何值时， 方程kx
2
＋ax＋b＝0有两个不相等的实数根？
4．已知方程x
2－3x－1＝0的两根为x
1
和x
2
，求(x
1
－3) ( x
2
－3)的值．



习题2.1
A 组
1．选择题:
（1）已知关于x的方程x
2
＋kx－2＝0的一个根是1，则它的另一个根是（ ）
（A）－3 （B）3 （C）－2 （D）2
（2）下列四个说法：
①方程x
2
＋2x－7＝0的两根之和为－2，两根之积为－7；
②方程x
2
－2x＋7＝0的两根之和为－2，两根之积为7；
③方程3 x
2
－7＝0的两根之和为0，两根之积为
?
7
；
3

④方程3 x
2
＋2x＝0的两根之和为－2，两根之积为0．
其中正确说法的个数是 （ ）
（A）1个 （B）2个 （C）3个 （D）4个
（3）关于x的一元二次方程a x
2
－5x＋a
2
＋a＝0的一个根是0，则a的值是（ ）
（A）0 （B）1 （C）－1 （D）0，或－1
2．填空:
（1）方程kx
2
＋4x－1＝0的两根之和为－2，则k＝ ． < br>（2）方程2x
2
－x－4＝0的两根为α，β，则α
2
＋β
2
＝ ．
（3）已知关于x的方程x
2
－ax－3a＝0的一个根是－2，则它的另一个根是
．
（4）方程2x
2
＋2x－1＝0的两根 为x
1
和x
2
，则| x
1
－x
2
|＝ ．

3．试判定当m取何值时，关于x的一元二次方程m
2
x
2< br>－(2m＋1) x＋1＝0有两个不相等的实数根？有两个相等
的实数根？没有实数根？
4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x
2
－7x－1＝0各根的相反数．


B 组
1．选择题:
若关于x的方程x
2
＋(k
2
－1) x＋k＋1＝0的两根互为相反数，则k的值为
（ ）
（A）1，或－1 （B）1 （C）－1 （D）0
2．填空:
（1）若m，n是方程x
2
＋2005x－1＝0的两个实数根 ，则m
2
n＋mn
2
－mn的值等于 ．
（ 2）如果a，b是方程x
2
＋x－1＝0的两个实数根，那么代数式a
3
＋a
2
b＋ab
2
＋b
3
的值是 ．
3．已知关于x的方程x
2
－kx－2＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两根为x
1
和x
2
，如果2(x
1
＋x
2
)＞x
1
x2
，求实数k的取值范围．
4．一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0（ a≠0）的两根为x
1
和x
2
．求：
（1）| x
1－x
2
|和
（2）x
1
3
＋x
2
3< br>．
5．关于x的方程x
2
＋4x＋m＝0的两根为x
1
，x
2
满足| x
1
－x
2
|＝2，求实数m的值．
C 组
1．选择题：
（1）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x
2
－8x＋7＝0的两根，则这个直角三角形的斜边长等
于 （ ）
（A）
3
（B）3 （C）6 （D）9
（2）若x
1
，x
2
是方 程2x
2
－4x＋1＝0的两个根，则
x
1
?x
2
；
2
（3）如果关于x的方程x
2
－2(1－m)x＋m
2
＝0有两实数根α，β，则α＋β的取值范围为
（ ）
（A）α＋β≥
x
1
x
2
?
的值为 （ ）
x
2
x
1
3
（A）6 （B）4 （C）3 （D）
2
11
（B）α＋β≤ （C）α＋β≥1 （D）α＋β≤1
22
（4）已知 a，b，c是ΔABC的三边长，那么方程cx
2
＋(a＋b)x＋
c
＝0的 根的情况是
4
（ ）

（A）没有实数根 （B）有两个不相等的实数根
（C）有两个相等的实数根 （D）有两个异号实数根
2．填空：
若方程x
2
－8x＋m＝0的两根为x
1
，x
2
， 且3x
1
＋2x
2
＝18，则m＝ ．
3． 已知x
1
，x
2
是关于x的一元二次方程4kx
2
－4kx＋k＋1＝0 的两个实数根．
（1）是否存在实数k，使(2x
1
－x
2
)( x
1
－2 x
2
)＝－
（2）求使
3
成立？若存在 ，求出k的值；若不存在，说明理由；
2
x
1
x
2
?
－2的值为整数的实数k的整数值；
x
2
x
1
x
（3）若k＝－2，
?
?1
，试求
?
的值．
x
2
m
2
?0
． 4．已知关于x的方程
x?(m ?2)x?
4
2
（1）求证：无论m取什么实数时，这个方程总有两个相异实数根；
（2）若这个方程的两个实数根x
1
，x
2
满足|x
2|＝|x
1
|＋2，求m的值及相应的x
1
，x
2
．
5．若关于x的方程x
2
＋x＋a＝0的一个大于1、零一根小于1，求实数a的取值 范围．
2.1 一元二次方程
练习
1． （1）C （2）D
2． （1）－3 （2）有两个不相等的实数根 （3）x
2
＋2x－3＝0
3．k＜4，且k≠0
4．－1 提示：
(x
1
－3)( x
2
－3)＝x
1
x
2
－3(x
1
＋x
2
)＋9

习题2．1
A 组

1． （1）C （2）B 提示：②和④是 错的，对于②，由于方程的根的判别式Δ＜0，所以方程
2
没有实数根；对于④，其两根之和应 为－．
3
（3）C 提示：当a＝0时，方程不是一元二次方程，不合题意．
17
2． （1）2 （2） （3）6 （3）
3
< br>4
11
3．当m＞－，且m≠0时，方程有两个不相等的实数根；当m＝－时，方程有两 个相等的实
44
1
数根；当m＜－时，方程没有实数根．
4
4．设 已知方程的两根分别是
x
1
和x
2
，则所求的方程的两根分别是－x
1
和－x
2
，∵x
1
＋x
2
＝7，x1
x
2
＝－1，∴
(－x
1
)＋(－x
2)＝－7，(－x
1
)×(－x
2
)＝x
1
x
2
＝－1，∴所求的方程为y
2
＋7y－1＝0．

B组
1．C 提示：由于k=1时，方程为x
2
＋2＝0，没有实数根，所以k＝－1．
2．（1）2006 提示：∵
m＋n＝－2005，mn＝－1，∴m
2
n＋mn
2
－mn＝mn(m＋n－1)＝－1×(－2005－1)＝2006．
（2）－3 提示；∵a＋b＝－1，ab＝－1，∴a
3
＋a
2
b＋ab
2
＋b
3
＝a
2
(a＋b)＋b
2
(a＋ b)＝(a＋b)( a
2
＋b
2
)＝(a＋b)[( a＋b)
2
－2ab]＝(－1)×[(－1)
2
－2×(－1)]＝－3．
3．（ 1）∵Δ＝(－k)
2
－4×1×(－2)＝k
2
＋8＞0，∴方程一定有两 个不相等的实数根．
（2）∵x
1
＋x
2
＝k，x
1
x
2
＝－2，∴2k＞－2，即k＞－1．

3abc?b< br>3
b
b
2
?4ac
x
1
?x
233
4．（1）| x
1
－x
2
|＝，＝
?
； （2）x
1
＋x
2
＝．
3
a
22a
|a|
5．∵| x
1
－x
2
|＝
16?4m?24?m?2
，∴m＝3．把m＝3代入方程，Δ＞0，满足题意， ∴m＝3．



C组
1．（1）B （2）A
1
，∴α＋β＝2(1－m)≥1．
2
（4）B 提示：∵
a，b，c是ΔABC的三边长，∴
a＋b＞c，∴Δ＝(a＋b)
2
－c
2
＞0．
2．（1）12 提示：∵x
1
＋x
2
＝8 ，∴3x
1
＋2x
2
＝2(x
1
＋x
2
) ＋x
1
＝2×8＋x
1
＝18，∴x
1
＝2，∴x
2
＝6，
∴m＝x
1
x
2
＝12．
3
3．（1）假设存在实数k，使(2x
1
－x
2
)( x
1
－2 x
2
)＝－成立．
2
（3）C 提示： 由Δ≥0，得m≤
∵一元二次方程4kx
2
－4kx＋k＋1＝0有两个实数根，
∴k≠0，且Δ＝16k
2
－16k(k+1)=－16k≥0，∴k＜0．
∵x
1
＋x
2
＝1，x
1
x
2
＝
∴ (2x
1
－x
2
)( x
1
－2 x
2
)＝2 x
1
2
－5
1
x
2
＋2 x
2
2

＝2(x
1
＋x
2
)
2
－9 x
1
x
2
＝2－
k?1
，
4k
9(k?1)3
＝－，
4k2
9
9(k?1)73
即＝，解得k＝，与k＜0相矛盾，所以，不存在实数k，使(2x
1
－x
2
)( x
1
－2 x
2
)＝－成
5
4k22
立．
x
1
x< br>2
x
1
2
?x
2
2
(x
1
?x
2
)
2
?2x
1
x
2
(x
1
?x
2
)
2
?
－2＝（2）∵
?2??2??4< br>
x
2
x
1
x
1
x
2
x< br>1
x
2
x
1
x
2
4k4k?4(k?1)4
＝，
?4???
k?1k?1k?1
xx
∴要使1
?
2
－2的值为整数，只须k＋1能整除4．而k为整数，
x
2
x
1
∴k＋1只能取±1，±2，±4．又∵k＜0，∴k＋1＜1， ∴k＋1只能取－1，－2，－4，∴k＝－2，－3，
－5．
x
1
x2
?
－2的值为整数的实数k的整数值为－2，－3和－5．
x
2x
1
1
（3）当k＝－2时，x
1
＋x
2
＝1 ，① x
1
x
2
＝， ②
8
xx
1
2
①
2
÷②，得
1< br>?
2
＋2＝8，即
?
??6
，∴
?
?6?
?1?0
，
x
2
x
1
?
∴能使
∴
?
?3?22
．
4．（1）Δ＝
2(m?1)?2?0
；
2
m
2
（2）∵x
1
x
2
＝－
≤0，∴x
1
≤0，x2
≥0，或x
1
≥0，x
2
≤0．
4

①若x
1
≤0，x
2
≥0， 则x
2
＝－x
1
＋2，∴x
1
＋x
2
＝2 ，∴m－2＝2，∴m＝4．此时，方程为x
2
－2x－4＝0，∴
x
1?1?5
，
x
2
?1?5
．
②若x1
≥0，x
2
≤0，则－x
2
＝x
1
＋2，∴ x
1
＋x
2
＝－2，∴m－2＝－2，
∴m＝0．此时，方程为x
2
＋2＝0，∴x
1
＝0，x
2
＝－2．
5．设 方程的两根为x
1
，x
2
，则x
1
＋x
2
＝－1，x
1
x
2
＝a，
由一根大于1、另一根小于1，得
(x
1
－1)( x
2
－1)＜0， 即 x
1
x
2
－(x
1
＋x
2
)+1＜0，
∴ a－(－1)＋1＜0，∴a＜－2．
此时，Δ＝1
2
－4×(－2) ＞0，
∴实数a的取值范围是a＜－2．


2．2 二次函数

2.2.1 二次函数y＝ax
2
＋bx＋c的图像和性质

1
2
x，y＝－2x
2
的图象，通过这些函数图象与函数y＝x
22
问题1 函数y＝ax
2
与y＝x
2
的图象之间存在怎样的关系？
为了研究 这一问题，我们可以先画出y＝2x
2
，y＝
的图象之间的关系，推导出函数y＝ax
2
与y＝x
2
的图象之间所存在的关系．
先画出函数y＝x
2
，y＝2x
2
的图象．
先列表：
x
x
2
2x
2

…
…
…
－3
9
18
－2
4
8
－1
1
2
0
0
0
1
1
2
2
4
8
y＝2x
2

3
9
18
y
…
…

的值扩大两倍就
y＝x
2

象（如图2－1所
函数y＝2x
2
的图象
到．
y＝－2x
2
的图象，
从表中不难看出，要得到2x
2
的值，只要把相应的x< br>2
可以了．
再描点、连线，就分别得到了函数y＝x
2
，y＝2x< br>2
的图
示），从图2－1我们可以得到这两个函数图象之间的关系：
可以由函数 y＝x
2
的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得
同学们也可以用类似于上面的方法画出 函数y＝
并研究这两个函数图象与函数y＝x
2
的图象之间的关系．
通过上面的研究，我们可以得到以下结论：
二次函数y＝ax
2
(a≠0) 的图象可以由y＝x
2
的图象
为原来的a倍得到．在二次函数y＝ax
2(a≠0)中，二次
象的开口方向和在同一个坐标系中的开口的大小．
问题2 函数y＝a(x＋h)
2
＋k与y＝ax
2
的图象之间
系？
同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间
们之间的关系．同学们可以作出函数y＝2(x＋1)
2
＋1
（如图2－2所示），从函数的同学我们不难发现，只
图象向左平移一 个单位，再向上平移一个单位，就可
＋1)
2
＋1的图象．这两个函数图象之间具有“ 形状相同，
类似地，还可以通过画函数y＝－3x
2
，y＝－3(x
研究它们 图象之间的相互关系．
通过上面的研究，我们可以得到以下结论：
二次函数y＝a(x＋h )
2
＋k(a≠0)中，a决定了二次函
1
2
x，
2
x
O
2
y＝2(x＋1)＋1
图2.2-1
y＝2(x＋1)
2

y＝2x
2
y
各点的纵 坐标变
项系数a决定了图
存在怎样的关
的关系来研究它
与y＝2x
2
的图象
要把函数y＝2x
2
的
以得到函数y＝2(x
位置不 同”的特点．
2
－1)＋1的图象，
－1
O
图2.2-2
x
数图象的开口大

小及方向；h决定了二次函数图象的左右平移，而 且“h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，
而且“k正上移，k负下移”． 由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)的图象的方法 ：
所以，y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)的图象可以看作是将函数y＝ax
2
的图象作左右平移、上下平移得到的，于是，二
次函数y＝ax
2
＋bx ＋c(a≠0)具有下列性质：
b
2
b
2
bb
2
由于y＝ax＋bx＋c＝a(x＋
x
)＋c＝a(x＋
x
＋
2)＋c－
4a
4a
aa
b
2
b
2
? 4ac
)?

?a(x?
，
2a4a
22
b 4ac?b
2
,)
，对称轴为直线x＝－（1）当a＞0时，函数y＝ax＋bx＋c 图象开口向上；顶点坐标为
(?
2a4a
bbbb
；当x＜
?
时，y随着x的增大而减小；当x＞
?
时，y随着x的增大而增大；当x＝
?
时，函数
2a2a2a2a
4ac?b
2
取最小值y＝．
4a
b4ac?b
2
2
,)
，对称轴为直线x （2）当a ＜0时，函数y＝ax＋bx＋c图象开口向下；顶点坐标为
(?
2a4a
bbbb< br>＝－；当x＜
?
时，y随着x的增大而增大；当x＞
?
时，y随着x的 增大而减小；当x＝
?
时，
2a2a2a2a
4ac?b
2
函数取最大值y＝．
4a
2
上述二次函数的性质可以分别通过图2．2－3和图 2．2－4直观地表示出来．因此，在今后解决二次函数
问题时，可以借助于函数图像、利用数形结合的 思想方法来解决问题．


2
y
b4ac?b
y
b

,)
A
(?
x＝－
2a4a

2a





O
x
O
x


b4ac?b
2
b

,)
A
(?
x＝－

2a4a
2a

图2.2-4
图2.2-3

A(－1,4)
y
例1 求二次函数y＝
－
3x
2
－6x＋1图象的开口方向、对称 轴、顶点坐
标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y随x的增大而增大（或
减小）？ 并画出该函数的图象．
解：∵y＝
－
3x
2
－6x＋1＝－3(x ＋1)
2
＋4，
∴函数图象的开口向下；
对称轴是直线x＝－1；
D(0,1)
顶点坐标为(－1，4)；
当x＝－1时，函数y取最大值y＝4；
当x＜－1时，y随着x的增大而增大；当x＞－1时，y随着x的增
C O
B
x
大而减小；
采用描点法画图，选顶点A(－1，4))，与x轴交于点
x＝－1
图2.2－5

B
(
23?323?3
,0)
和C
(?,0 )
，与y轴的交点为D(0，1)，过这五点画出图象（如图2－5所示）．
33
说 明：从这个例题可以看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，减少了选点的
盲 目性，使画图更简便、图象更精确．
例2 某种产品的成本是120元件，试销阶段每件产品的售价 x（元）与产品的日销售量y（件）之间关系
如下表所示：
130 150 165
x 元
70 50 35
y件
若日销售量y是销售价x的一次函数，那 么，要使每天所获得最大的利润，每件产品的销售价应定为多少
元？此时每天的销售利润是多少？ 分析：由于每天的利润＝日销售量y×(销售价x－120)，日销售量y又是销售价x的一次函数，所以， 欲求
每天所获得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x之间的函数关系，然后，再由它们之 间的函数
关系求出每天利润的最大值．
解：由于y是x的一次函数，于是，设y＝kx＋
（
B
）

将x＝130，y＝70；x＝150，y＝50代入方程，有
?
70?130k?b,

?
50?150k?b,
?
解得 k＝－1，b＝200．
∴ y＝－x＋200．
设每天的利润为z（元），则
z＝(－x+200)(x－120)＝－x
2
＋320x－24000
＝－(x－160)
2
＋1600，
∴当x＝160时，z取最大值1600．
答：当售价为160元件时，每天的利润最大，为1600元．
例3 把二次函数y＝x< br>2
＋bx＋c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函数y＝x
2
的图像，
求b，c的值．
b
2
b
22
解法一：y＝x＋ bx＋c＝(x+)
?c?
，把它的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到
4
2
bb
2
2
y?(x??4)?c??2
的图像，也就 是函数y＝x
2
的图像，所以，
24
?
b
??4?0,
?
?
2

?
解得b＝－8，c＝14．
2
?
c?
b
?2?0,
?
4
?
解法二：把二次函数y＝x
2
＋bx＋c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到 函数y＝x
2
的图
像，等价于把二次函数y＝x
2
的图像向下平移2 个单位，再向右平移4个单位，得到函数y＝x
2
＋bx＋c的图像．
22
由于把二次函数y＝x的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y＝(x－4)＋2的图像，< br>即为y＝x
2
－8x＋14的图像，∴函数y＝x
2
－8x＋14与函 数y＝x
2
＋bx＋c表示同一个函数，∴b＝－8，c＝14．
说明：本例的两种 解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们要牢固掌握二次函数
图像的变换规律．
这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直接利用条件进行正向的思维来解决的，其运算量相
对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解，具有计算量小的 优点．今
后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况，选择恰当的方法来解决问题．
例4 已知函数y＝x
2
，－2≤x≤a，其中a≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数取 最大值和最小
值时所对应的自变量x的值．
分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a的取值进行讨论．
解：（1） 当a＝－2时，函数y＝x
2
的图象仅仅对应着一个点(－2，4)，所以，函数的最大值和最 小值都是
4，此时x＝－2；

（2）当－2＜a＜0时，由图2．2－6①可 知，当x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x＝a时，函数取最小
值y＝a
2
； < br>（3）当0≤a＜2时，由图2．2－6②可知，当x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x＝0时，函数 取最小值
y＝0；
（4）当a≥2时，由图2．2－6③可知，当x＝a时，函数取最大值y ＝a
2
；当x＝0时，函数取最小值y＝0．

y
y
y
y

2
4

a
4




4

2
a


a
2




x O
a
2
x
O
O
a
x
－2
－2
－2
a








③
②
①






图2.2－6


说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对a的所有可 能情形进行讨论．此外，本例中所研究的二次函
数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来 研究，在解决这一类问题时，通常需要借助于函数图
象来直观地解决问题．
练 习
1．选择题：
（1）下列函数图象中，顶点不在坐标轴上的是 （ ）
（A）y＝2x
2
（B）y＝2x
2
－4x＋2
（C）y＝2x
2
－1 （D）y＝2x
2
－4x
（2）函数y＝2(x－1)
2
＋2是将函数y＝2x
2
（ ）
（A）向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的
（B）向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的
（C）向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的
（D）向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的
2．填空题
（1）二次函数y＝2x
2
－mx＋n图象的顶点坐标为(1，－2)，则m＝ ，n＝ ．
（2）已知二次函数y＝x
2
+(m－2)x－2m，当m＝ 时，函数图象的顶点在y轴上；当m＝ 时，函
数图象的顶点在x轴上；当m＝ 时，函数图象经过原点．
（3）函数y＝－3(x＋2)
2
＋5的图象的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标为 ；当x
＝ 时，函数取最 值y＝ ；当x 时，y随着x的增大而减小．
3．求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小）值及y随x的变化情况，并画出其图象．
（1）y＝x
2
－2x－3； （2）y＝1＋6 x－x
2
．
4．已知函数y＝－x
2
－2x＋3，当自变量x在下 列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函
数取最大（小）值时所对应的自变量x的值：
（1）x≤－2；（2）x≤2；（3）－2≤x≤1；（4）0≤x≤3．




2.2.2 二次函数的三种表示方式

通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：
1．一般式：y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)；

2．顶点式：y＝a(x＋h)
2
＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．
除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示 ．为了研究另一种表示方式，我们先来研究二次
函数y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0) 的图象与x轴交点个数．
当抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有
ax
2
＋bx＋c＝0． ①
并且方程①的解就是抛物线y＝a x
2
＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标（纵坐标为零），于是，不难发现，抛
物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程①的解 的个数又与方程①的根的判
别式Δ＝b
2
－4ac有关，由此可知，抛物线y＝ax< br>2
＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与根的判别式Δ＝b
2
－4ac存在下
列关系：
（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)与x 轴有两个交点；反过来，若抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)
与x轴有两个交点 ，则Δ＞0也成立．
（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)与 x轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过来，若抛物线y＝
ax
2
＋bx＋c(a≠0 )与x轴有一个交点，则Δ＝0也成立．
（3）当Δ＜0时，抛物线y＝ax
2
＋b x＋c(a≠0)与x轴没有交点；反过来，若抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)与x< br>轴没有交点，则Δ＜0也成立．
于是，若抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠ 0)与x轴有两个交点A(x
1
，0)，B(x
2
，0)，则x
1< br>，x
2
是方程ax
2
＋bx＋c＝0
的两根，所以

= a[x
2
－(x
1
＋x
2)x＋x
1
x
2
]
＝a(x－x
1
) (x－x
2
)．
由上面的推导过程可以得到下面结论：
若抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0) 与x轴交于A(x
1
，0)，B(x
2
，0)两点，则其函数关系式可以表示 为y＝a(x－x
1
)
(x－x
2
) (a≠0)．
这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：
3．交点式：y＝a(x－x
1
) (x－x
2
) (a≠0)，其中x
1
，x
2
是二次函数图象与x轴交点的横坐标．
今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、交点式这三种
表达形式中的某一形式来解题．

例1 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在 直线y＝x＋1上，并且图象经过点（3，－1），求二次
函数的解析式．
分析：在解本例时 ，要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将二次函数设成顶
点式，再由函数图 象过定点来求解出系数a．
解：∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，
∴顶点的纵坐标为2．
又顶点在直线y＝x＋1上，
所以，2＝x＋1，∴x＝1．
bc
，x
1
x
2
＝，
aa
bc
即 ＝－(x
1
＋x
2
)， ＝x
1
x
2
．
aa
bc
2
所以，y＝a x
2
＋bx＋c＝a(
x?x?
)
aa
x
1＋x
2
＝
?

∴顶点坐标是（1，2）．
设该二次函数的解析式为
y?a(x?2)
2
?1(a?0)
，
∵二次函数的图像经过点（3，－1），
∴
?1?a(3?2)
2
?1
，解得a＝－2．
∴二次函 数的解析式为
y??2(x?2)
2
?1
，即y＝－2x
2
＋8x－7．
说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后 设出二次函数的
顶点式，最终解决了问题．因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并巧妙地利用 条件简捷地解决问题．
例2 已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点到x轴的距离等于2，求此二次函数的表达式． < br>分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的图象所过的两点实际上就是二次函数的图象与x轴的交点坐< br>标，于是可以将函数的表达式设成交点式．
解法一：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，
∴可设二次函数为y＝a(x＋3) (x－1) (a≠0)，
展开，得 y＝ax
2
＋2ax－3a，
?12a
2
?4a
2
??4a
， 顶点的纵坐标为
4a
由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2，
∴|－4a|＝2，即a＝
?
1
．
2
所以，二次函数的表 达式为y＝
1
2
313
x?x?
，或y＝－
x
2< br>?x?
．
2222
分析二：由于二次函数的图象过点(－3，0)，(1， 0)，所以，对称轴为直线x＝－1，又由顶点到x轴的距离
为2，可知顶点的纵坐标为2，或－2，于 是，又可以将二次函数的表达式设成顶点式来解，然后再利用图象过
点(－3，0)，或(1，0)，就 可以求得函数的表达式．
解法二：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，
∴对称轴为直线x＝－1．
又顶点到x轴的距离为2，
∴顶点的纵坐标为2，或－2．
于是可设二次函数为y＝a(x＋1)
2
＋ 2，或y＝a(x＋1)
2
－2，
由于函数图象过点(1，0)，
∴0＝a(1＋1)
2
＋2，或0＝a(1＋1)
2
－2．
∴a＝－
11
，或a＝．
22
11
(x＋1)
2
＋2，或y＝(x＋1)
2
－2．
22
所以，所求的二次函数为y＝
－
说明：上述两种解法分别从与x轴的交 点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式和顶点式来解题，
在今后的解题过程中，要善于利用条 件，选择恰当的方法来解决问题．
例3 已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式．
解：设该二次函数为y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)．
由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得
?
?22?a?b?c,
?

?
?8?c,
?
8?4a?2b?c,
?
解得 a＝－2，b＝12，c＝－8．
所以，所求的二次函数为y＝－2x
2
＋12x－8．
通过上面的几道例题 ，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求
二次函数的表达式？

练 习
1．选择题:
（1）函数y＝－x
2
＋x－1图象与x轴的交点个数是 （ ）
（A）0个 （B）1个 （C）2个 （D）无法确定
1
（2）函数y＝－ (x＋1)
2
＋2的顶点坐标是 （ ）
2
（A）(1，2) （B）(1，－2) （C）(－1，2) （D）(－1，－2)
2．填空：
（1）已知二次函数的图象 经过与x轴交于点(－1，0)和(2，0)，则该二次函数的解析式可设为y＝a
(a≠0) ．
（2）二次函数y＝－x
2
+23x＋1的函数图象与x轴两交点之间的距离为 ．
3．根据下列条件，求二次函数的解析式．
（1）图象经过点(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)；
（2）当x＝3时，函数有最小值5，且经过点(1，11)；
（3）函数图象与x轴交于两点(1－2，0)和(1＋2，0)，并与y轴交于(0，－2)．


2.2.3 二次函数的简单应用


一、函数图象的平移变换与对称变换
1．平移变换
问题1 在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究二次函数的图象
平移？
我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点——只改变函数图象的位置、不改变 其
形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即 可．
例1 求把二次函数y＝x
2
－4x＋3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式：
（1）向右平移2个单位，向下平移1个单位；
（2）向上平移3个单位，向左平移2个单位．
分析：由于平移变换只改变函数图象的位置而不改变 其形状（即不改变二次项系数），所以只改变二次函数
图象的顶点位置（即只改变一次项和常数项），所 以，首先将二次函数的解析式变形为顶点式，然后，再依据平
移变换后的二次函数图象的顶点位置求出平 移后函数图像所对应的解析式．
解：二次函数y＝2x
2
－4x－3的解析式可变为
y＝2(x－1)
2
－1，
其顶点坐标为(1，－1)．
（1）把函 数y＝2(x－1)
2
－1的图象向右平移2个单位，向下平移1个单位后，其函数图象的顶点 坐标是(3，
－2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为
y＝2(x－3)
2
－2．
（2）把函数y＝2(x－1)
2
－ 1的图象向上平移3个单位，向左平移2个单位后，其函数图象的顶点坐标是(－
1， 2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为
y＝2(x＋1)
2
＋2．



2．对称变换

问题2 在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，有什么特点？依据 这一特点，可
以怎样来研究二次函数的图象平移？
我们不难发现：在把二次函数的图象关于 与坐标轴平行的直线进行对称变换时，具有这样的特点——只改
变函数图象的位置或开口方向、不改变其 形状，因此，在研究二次函数图象的对称变换问题时，关键是要抓住
二次函数的顶点位置和开口方向来解 决问题．

例2 求把二次函数y＝2x
2
－4x＋1的图象关于下列直线对称后所得到图象对应的函数解析式：
（1）直线x＝－1；
y
（2）直线y＝1．
x＝－1
< br>解：（1）如图2．2－7，把二次函数y＝2x
2
－4x＋1的图
象关于直线 x＝－1作对称变换后，只改变图象的顶点位置，
不改变其形状．
由于y＝2x
2
－4x＋1＝2(x－1)
2
－1，可知，函数y＝2x
2
－
4x＋1图象的顶点为A(1,－1)，所以，对称后所得到图象的
2
O
x －4x＋1的图象关顶点为A
1
(－3，1)，所以，二次函数y＝2x
A(1, －1)
A
1
(－3,－1)
于直线x＝－1对称后所得到图象的函数解析 式为y＝2(x＋
3)
2
－1，即y＝2x
2
＋12x＋17． < br>（2）如图2．2－8，把二次函数y＝2x
2
－4x＋1的图象关
图2.2－ 7
y
于直线x＝－1作对称变换后，只改变图象的顶点位置和开
B(1，3)
口方向，不改变其形状．
由于y＝2x
2
－4x＋1＝2(x－1)2
－1，可知，函数y＝2x
2
－4x＋1图象
的顶点为A(1,－1) ，所以，对称后所得到图象的顶点为B(1，3)，且开口向
y＝1
2
下，所以，二 次函数y＝2x－4x＋1的图象关于直线y＝1对称后所得到
22
图象的函数解析式为y＝－ 2(x－1)＋3，即y＝－2x＋4x＋1．
O
x
二、分段函数
A(1,－1)






一般地， 如果自变量在不同取值范围内时，函数由不同的解析式
给出，这种函数，叫作分段函数．

图2.2－8
例3 在国内投递外埠平信，每封信不超过20g付邮资80分，超过< br>20g不超过40g付邮资160分，超过40g不超过60g付邮资240分，依此类推，每封xg(0 ＜x≤100)的信应付多
少邮资（单位：分）？写出函数表达式，作出函数图象．
分析：由 于当自变量x在各个不同的范围内时，应付邮资的数量是不同的．所以，可以用分段函数给出其
对应的函 数解析式．在解题时，需要注意的是，当x在各个小范围内（如20＜x≤40）变化时，它所对应的函数
值（邮资）并不变化（都是160分）．
解：设每封信的邮资为y（单位：分），则y是x的函数．这个函数的解析式为






?
80,x?
?
160x?
?
?

y?
?
240,x?
?
320x?
?
?
?
400,x?

(0,20]
(20,40]

0]940,8(60,80]
(80,100]
由上述的函数解析式，可以得到其图象如图2．2－9所 示．

y(分)
400
320
240
160
80
O
20 40 60 80 100
x(克)
图2.2－9

例4如图9－2所示，在边长为2的正方形 ABCD的边上有一个动点P，从点A出发沿折线ABCD移动一
周后，回到A点．设点A移动的路程为 x，ΔPAC的面积为y．
（1）求函数y的解析式；
（2）画出函数y的图像；
（3）求函数y的取值范围．





分析：要对点P所在的位置进行分类讨论．
解：（1）①当点P在线段AB上移动（如图2．2－10①），即0＜x≤2时，









1
AP?BC
＝x；
2
②当点P在线段BC上移动（如图2．2－ 10②），即
11
y＝
PC?AB
＝
(4?x)?2
＝4－ x；
2
2
③当点P在线段CD上移动（如图2．2－10③），即
11y＝
PC?AD
＝
(x?4)?2
＝x－4；
2
2
④当点P在线段DA上移动（如图2．2－10④），即
y＝
D
C
2＜x＜4时，
P
4＜x≤6时，
A
图
2.2
－
10
B
6＜x＜8时，
2.3 方程与不等式
2.3.1 二元二次方程组解法
方程
x?2xy?y?x?y?6?0

是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最 高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元二次方程．其中
22
x
2
,2xy
,
y
2
叫做这个方程的二次项,
x
,
y
叫做一次项,6叫做常数项．
我们看下面的两个方程组：
?
x
2
?4y
2
?x?3y?1?0,

?
?
2x?y?1?0;
?
x
2
?y
2
?20,
?

?
2

2
?
?
x?5xy?6y?0.
第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方 程组成的，第二个方程组是由两个二元二次方程组
成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组．
下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法．
一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解．
例1 解方程组
①
②

?
x
2
?4y
2
?4?0,

?

?
x?2y?2?0.
分析：二元二次方程组对我们来说较为生 疏，在解此方程组时，可以将其转化为我们熟悉的形式．注意到
方程②是一个一元一次方程，于是，可以 利用该方程消去一个元，再代入到方程①，得到一个一元二次方程，
从而将所求的较为生疏的问题转化为 我们所熟悉的问题．
解：由②,得

x＝2y＋2， ③
把③代入①,整理,得
8y
2
＋8y＝0，
即 y(y＋1)＝0．
解得 y
1
＝0，y
2
＝－1．
把y
1
＝0代入③, 得 x
1
＝2；
把y
2
＝－1代入③, 得x
2
＝0．
所以原方程组的解是

?
?
x
1
?2,

?
y
1
?0，
?
x
2
?0,
< br>?
?
y
2
??1.
说明：在解类似于本例的二元二次方程组时 ，通常采用本例所介绍的代入消元法来求解．
例2 解方程组

?
?
x?y?7,

?
xy?12.
①
②
解法一：由①，得

x?7?y.
③
把③代入②，整理，得

y?7y?12?0

解这个方程，得

y
1
?3,y
2
?4
．
把
y
1
?3
代入③，得
x
1
?4
；
把
y2
?4
代入③，得
x
2
?3
．
所以原方程的解是
2
?
x
1
?4,

?

y?3，
?
1
?
x
2
?3,

?
y?4.
?
2
解法二：对这个方程组，也可以根据一元二次方程的根与系数 的关系，把
x,y
看作一个一元二次方程的两
个根，通过解这个一元二次方程来求x,y
．
这个方程组的
x,y
是一元二次方程

z?7z?12?0

的两个根，解这个方程，得

z?3
，或
z?4
．
所以原方程组的解是
2
?
x
1
?4,
?
x
2
?3,

?

?

y?3;y?4.
?
1
?
2
练 习
1．下列各组中的值是不是方程组

?
x
2
?y
2
?13,

?
?
x?y?5
的解?
?
x?2,
?
x?3,
?
x?1,
?
x??2,
（1）
?
（2）
?
（3）
?
（4）
?

y?3;y?2;y?4;
y??3;
???
?
2．解下列方程组:
?
y?x?5,
?
x?y?3,
（1）
?
2
（2）
?

2
xy??10;
x?y?625;
?
?
?
x
2< br>y
2
2
?
?1,
?
y?2x,
?
?
（3）
?
5
（4）
?
2

4
2
?
?
x?y?8.?
y?x?3;
?

2.3.2 一元二次不等式解法
二次函数y＝x
2
－x－6的对应值表与图象如下：
x
y
－3
6
－2
0
－1
－4
0
－6
1
－6
2
－4
3
0
4
6
由对应值表及函数图象(如图2.3－1)可知
当x＝－2，或x＝3时，y＝0，即x
2
－x＝6＝0；
当x＜－2，或x＞3时，y＞0，即x
2
－x－6＞0；
当－2＜x＜3时，y＜0，即x
2
－x－6＜0．
这就是说，如果抛物线y= x
2
－x－6与x轴的交点是(－2，0)与(3，0)，那么
一元二次方程
x
2
－x－6＝0
的解就是
x
1
＝－2，x
2
＝3；

y
y＞0

y＝x
2
－x－6

y＞0
－2
O
y＜0
3
x
图2.3－1
同样，结合抛物线与x轴的相关位置，可以得到
一元二次不等式
x
2
－x－6＞0
的解是
x＜－2，或x＞3；
一元二次不等式
x
2
－x－6＜0
的解是
－2＜x＜3．
上例表明：由抛物线与x轴的交点 可以确定对应的一元二次方程的解和对应的一元二次不等
式的解集．
那么，怎样解一元二次不等式ax
2
＋bx＋c＞0(a≠0)呢？
我们可以用 类似于上面例子的方法，借助于二次函数y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)的图象来解一元二次 不等式ax
2
＋bx＋c＞0(a≠0)．
为了方便起见，我们先来研究二次项系数a＞0时的一元二次不等式的解．
我们知道，对于一元二次方 程ax
2
＋bx＋c＝0(a＞0)，设△＝b
2
－4ac，它的解的情形按 照△＞0，△=0，△＜0
分别为下列三种情况——有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有 实数解，相应地，抛物线y＝ax
2
＋bx＋c（a＞0）与x轴分别有两个公共点、一个公共 点和没有公共点(如图2.3－2所示)，因此，我们可以分下
列三种情况讨论对应的一元二次不等式a x
2
＋bx＋c＞0（a＞0）与ax
2
＋bx＋c＜0（a＞0）的解．
（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax
2
＋bx＋c（a＞0）与x轴有两个公共点( x
1
，0)和(x
2
，0)，方程ax
2
＋bx＋c
＝0有两个不相等的实数根x
1
和x
2
(x
1
＜x
2
)，由图2.3－2①可知
不等式ax
2
＋bx＋c＞0的
y
y
y
解为

x＜x
1
，或x＞x
2
；
不等式ax
2

O
x
2
＋bx＋c＜0的
x
1
x
解为

O
x
1
= x
2
x
x
1
＜x＜x
2
．
O
x
①
③
②
图2.3－2

（2）当Δ＝0时，抛物线 y＝ax
2
＋bx＋c（a＞0）与x轴有且仅有一个公共点，方程ax
2
＋ bx＋c＝0有两个
b
相等的实数根x
1
＝x
2
＝－ ，由图2.3－2②可知
2a
2
不等式ax＋bx＋c＞0的解为
b
x≠－ ；
2a
不等式ax
2
＋bx＋c＜0无解．
（3）如果△＜0，抛物线y＝ax
2
＋bx＋c（a＞0）与x轴没有公共点，方程ax
2
＋bx＋c＝0没有实数根< br>，
由
图2.3－2③可知
不等式ax
2
＋bx＋c＞0的解为一切实数；
不等式ax
2
＋bx＋c＜0无解．
今后，我们在解一元二次不等式时， 如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求解；如果二次项
系数小于零，则可以先在不等式两边 同乘以－1，将不等式变成二次项系数大于零的形式，再利用上面的结论去
解不等式．
例3 解不等式：
（1）x
2
＋2x－3≤0； （2）x
－
x
2
＋6＜0；
（3）4x
2
＋4x＋1≥0； （4）x
2
－6x＋9≤0；
（5）－4＋x－x
2
＜0．
解：（1）∵Δ＞0，方程x
2
＋2x－3＝0的解是
x
1
＝－3，x
2
＝1．
∴不等式的解为
－3≤x≤1．
（2）整理，得
x
2
－x
－
6＞0．
∵Δ＞0，方程x
2
－x
－
6=0的解为
x
1
＝－2，x
2
＝3．
∴所以，原不等式的解为
x＜－2，或x＜3．
（3）整理，得
(2x＋1)
2
≥0.
由于上式对任意实数x都成立，
∴原不等式的解为一切实数．
（4）整理，得
(x－3)
2
≤0.
由于当x＝3时，(x－3)
2
＝0成立；而 对任意的实数x，(x－3)
2
＜0都不成立，
∴原不等式的解为
x＝3．
（5）整理，得
x
2
－x＋4＞0．
Δ＜0，所以，原不等式的解为一切实数．
2
例4 已知不等式
ax?b x?c?0(a?0)
的解是
x?2,或x?3
求不等式
bx?ax?c?0
的解．
2
解：由不等式
ax?bx?c?0(a?0)
的解为x?2,或x?3
，可知
2
a?0
，且方程
ax
2< br>?bx?c?0
的两根分别为2和3，

c
?6
，
a
bc
即
??5,?6
．
a a
2
由于
a?0
，所以不等式
bx?ax?c?0
可变为
b
2
c

x?x??0
，
aa
2
即 －
5x?x?6?0,

∴
?
整理，得

5x?x?6?0,
2
2
b
?5,
a

所以，不等式
bx?ax?c?0
的解是
6
x＜－1，或x＞ ．
5
说明：本例利用了方程与不等式之间的相互关系来解决问题．
例5 解关于
x
的一元二次不等式
x?ax?1?0(a
为实数).
分析 对于一元二次不等式,按其一般解题步骤,首先应该将二次项系数变成正数,本题已满足这一要求,欲
求 一元二次不等式的解,要讨论根的判别式
?
的符号,而这里的
?
是关于未知系 数的代数式,
?
的符号取决于未
知系数的取值范围，因此,再根据解题的需要,对< br>?
的符号进行分类讨论.
解:
?
?a?4
,
2
①当
??0,即a??2或a?2时,

方程x?ax?1?0的解是

2
2
?a?a
2
? 4?a?a
2
?4
x
1
?,x
2
?.
< br>22
?a?a
2
?4?a?a
2
?4
所以,原不等式 的解集为
x?
；
,
或
x?
22
②当Δ＝0，即a＝±2时，原不等式的解为
a
x≠－ ；
2
③当
??0,即?2?a?2时,原不等式的解
为一切实数 .
综上,当a≤－2，或a≥2时，原不等式的解是
?a?a
2
?4?a?a
2
?4

x?
；
,
或
x?
22
当
?2?a?2时,原不等式的解
为一切实数．
例6 已知函数y＝x
2
－2ax＋1(a为常数)在－2≤x≤1上的最 小值为n，试将n用a表示出来．
分析：由该函数的图象可知，该函数的最小值与抛物线的对称轴的 位置有关，于是需要对对称轴的位置进
行分类讨论．
解：∵y＝(x
－
a)
2
＋1－a
2
，
∴抛物线y＝x
2
－2ax＋1的对称轴方程是x＝a．
（1）若－2≤a≤1，由图2.3-3①可知,当x＝a时，该函数取最小值
n＝1－a
2
；
(2)若a＜-2时, 由图2.3-3②可知, 当x＝-2时，该函数取最小值
n＝4a+5；
(2)若a＞1时, 由图2.3-3③可知, 当x＝1时，该函数取最小值
n＝-2a+2.
综上,函数的最小值为

?
4a?5,a??2,
?

n?
?
1?a
2
,?2?a?1,

?
?2a?2,a?1.
?
y
x＝a
x＝a
y
y
x＝a
－2
O
1
x
－2
O
1
x
－2
O
1
x
①
练 习
1．解下列不等式：
②
图2.3－3
③

（1）3x
2
－x－4＞0； （2）x
2
－x－12≤0；
（3）x
2
＋3x－4＞0； （4）16－8x＋x
2
≤0．

22
2.解关于x的不等式x＋2x＋1－a
≤0（a为常数）．

习题2．3
A 组
1．解下列方程组：
?
x
2?
(x?3)
2
?y
2
?9,
?
?y
2
?1,
（1）
?
4
（2）
?

?
x?2y?0;
?
x?y?2?0;
?
22
?
?
x?y?4,
（3）
?
2

2
x?y?2.
?
?
2．解下列不等式：
（1）3x
2
－2x＋1＜0； （2）3x
2
－4＜0；

（3）2x－x
2
≥－1； （4）4－x
2
≤0．

B 组
1．
m
取什么值时,方程组
?
y
2
?4x,

?
?
y?2x?m
有一个实数解?并求出这时方程组的解．
2．解关于x的不等式x
2
－(1＋a)x＋a＜0（a为常数）．

C 组
1．已知关于x不等式2x
2
＋bx－c＞0的解为x＜－1，或 x＞3．试解关于x的不等式
bx
2
＋cx＋4≥0．

2 ．试求关于x的函数y＝－x
2
＋mx＋2在0≤x≤2上的最大值k．

2.3 方程与不等式
2.3.1 二元二次方程组解法
练 习
1.（1）（2）是方程的组解； （3）（4）不是方程组的解．
2．（1）
?
?
x
1
?15,
?
y
1
?20,
?
x
2
??20,
?
x
1
?5,
（ 2）
??
y??15;
?
2
?
y
1
??2 ,
?
x
2
??2,

?
?
y
2< br>?5;
5
?
x?,
?
?
x
1
?2,
?
3
（3）
?
（4）
?

y?2,
4
?
1
?
y??.
?
3
?

?
x
2
?2,

?
y??2.
?
2
2.3.2 一元二次不等式解法
练 习

4
1．（1）x＜－1，或x＞ ； （2）－3≤x≤4； （3）x＜－4，或x＞1；
3
（4）x＝4．
2．不等式可以变为(x＋1＋a)( x＋1－a)≤0，
（1）当－1－a＜－1＋a，即a＞0时，∴－1－a≤x≤－1＋a；
（2）当－1－a＝－1＋a，即 a＝0时，不等式即为(x＋1)
2
≤0，∴x＝－1；
（3）当－1－a＞－1＋a，即a＜0时，∴－1＋a≤x≤－1－a．
综上，当a＞0时，原不等式的解为－1－a≤x≤－1＋a；
当a＝0时，原不等式的解为x＝－1；
当a＜0时，原不等式的解为－1＋a≤x≤－1－a．

习题2．3
A 组
10
?
x?,
?
?
x
1
?2,
?
x
1
?0,
?
2
3
1．（1）
?

?
（2）
?

y?0,y?0,
4< br>?
1
?
1
?
y?.
2
?
3
?
?
?
x
1
?3?2,
?
?
x
2
?3?2,
（3）
?

?
?
?
y
1
?3?2,
?
?
y
2
?3?2;
?x
3
??3,
??
?
x?3,
?
?
x
2
?3,
??
x
4
??3,
（4）
?1

???
?
y
1
?1,
?
?
y
2
??1,
?
?
y
4
??1.
?y
3
?1,
??
2．（1）无解 （2）
?
24
?
x?,
?
?
2
5

?
?
y??
12
.
2
?
5
?2323
?x?

33

（3）1－2≤x≤1＋2 （4）x≤－2，或x≥2



B 组
1．消去
y
，得
4x?4(m?1)x?m?0
．
22
1
时，方程有一个实数解．
2
1
?
1
?
x?,
将
m?
代入原方程组，得方程组的解为
?
4

2
?
?
y?1.
当
??16(m?1)?16m?0
,即
m?
22
2．不等式可变形为(x－1)(x－a)＜0．
∴当a＞1时，原不等式的解为1＜x＜a；
当a＝1时，原不等式的无实数解；
当a＜1时，原不等式的解为a＜x＜1．

C 组
1．由题意，得 －1和3是方程2x
2
＋bx－c＝0的两根，
bc
∴－1＋3＝－ ，－1×3＝－ ， 即b＝－4，c＝6．
22
2
∴等式bx＋cx＋4≥0就为－4 x
2
＋6x＋4≥0，即2 x
2
－3x－2≤0，
1
∴－ ≤x≤2．
2
m
2
m
2
2
2．∵y＝－x ＋mx＋2＝－(x－ )＋2＋ ，
24
mm
2
∴当0≤ ≤2，即0≤m≤4时，k＝2＋ ；
24
m
当 ＜0，即m＜0时，k＝2；
2
m
当 ＞2，即m＞4时，k＝2m－2．
2
m?0,
?
2,
?
2
?
m
∴
k?
?
?2,0?m?4,

?
4
m?4.?
?
2m?2,

3．1 相似形
3.1.1．平行线分线段成比例定理
在解决几何问题时，我们常涉及到一些线段的长度、长 度比的问题.在数学学习与研究中，我
们发现平行线常能产生一些重要的长度比.
在一张方格 纸上，我们作平行线
直线
a
交
l
1
,l
2
,l
3
于点
A,B,C
，
直线
b
交
l1
,l
2
,l
3
于点
A',B',C'
，不难 发
l
1
,l
2
,l
3
（如图3.1-1），
另作
AB?2,BC?3
，
A'B'AB2
??.

B' C'BC3
平行线分线段成比例
现
我们将这个结论一般化，归纳出
定理：
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.
图3.1-1
ABDEABDE
如图3.1-2，
l
1
l
2
l
3
，有.当 然，也可以得出.在运用该定理解决问题的过
=?
BCEFACDF
程中，我们一定要 注意线段之间的对应关系，是“对应”线段成比例.
例1 如图3.1-2，
l
1
l
2
l
3
，
且
AB=2,BC=3,DF=4,
求
DE,EF
.
解
Ql
1
l
2
l
3
,
ABDE2
= =

,
BCEF3
28312
DE?DF?,EF?DF?.

2?352?35

图3.1-2
例2 在
ABC
中，
D,E
为边
AB,AC
上的点，
DEBC
，
求证：
证明（1）
ADAEDE
.
??
ABACBC
DEBC,??ADE??ABC,?AED??ACB,

ADAEDE
??.

ABACBC
证明（2） 如图3.1-3，过
A
作直线
lBC
，
?ADE
∽
ABC
，
?
lDEBC,

?
ADAE
?
.
ABAC
过
E
作
EFAB
交
AB
于
D
，得
BDEF
，
因而
DE?BF.

AEBFDE
EFAB,???.

ACBCBC
图3.1-3

?

ADAEDE
??.

ABACBC
从上例可以得出如下结论：
平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.
平行于 三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形的三
边对应成比例.

例3 已知
ABC
，
D
在
AC
上，< br>AD:DC?2:1
，能否在
AB
上找到一点
E
，使得线段< br>EC
的中点
在
BD
上.
解 假设能找到，如图3.1-4 ，设
EC
交
BD
于
F
，则
F
为
E C
的中点，作
EGAC
交
BD
于
G
.
EGAC,EF?FC
，
?
EGF?CDF
，且
EG?DC
，
1BEEG1
且
??,

?EGAD,BEGBAD
，BAAD2
2
?E
为
AB
的中点.
可见，当
E
为
AB
的中点时，
EC
的中点在
BD
我们在探索 一些存在性问题时，常常先假
解则存在，无解或矛盾则不存在.
图3.1-4
上.
设其存在，再解之，有
例4 在
VABC
中，
AD
为< br>?BAC
的平分线，求证：
证明 过C作CEAD，交BA延长线于E，
BABD
QADCE,=.

AEDC
Q
AD平分
衆BAC,?BAD
ABBD
.
=
ACDC
?DAC,

由
ADCE
知
? BAD
?E?ACE,即AE
行E,DAC=?ACE,

AC,

图3.1-5
ABBD
.
=
ACDC
例4的结论也称为 角平分线性质定理，可叙述为角平分线分对边成比例（等于该角的两边之
比）.

练习1

1．如图3.1-6，
l
1
l
2
l
3
，下列比例式正确的是（ ）
AD
=
DF
CE
=
C．
DF

A．
CEAD
=
B．
BCBE
ADAF
=
D.
BCDF
BC

AF
BE

CE
图3.1-6

2．如图3.1-7，
求
BF
.
DEBC,EFAB,AD=5cm,DB=3cm,FC=2cm,

图3.1-7



3．如图，在
VABC
中，AD是角BAC的平分线 ，
AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm,求BD的长.


图3.1-8




4．如图，在
VABC< br>中，
?BAC
的外角平分线
AD
交
BC
的延
ABBD
长线于点
D
，求证：.
=
ACDC

图3.1-9

5．如图，在
VABC
的边AB、AC上分别取D 、E两点，使BD=CE，DE延长线交BC的延长线于
DFAC
F.求证：.
=
EFAB






图3.1-10


3.1．2．相似形
我们学过三角形相似的 判定方法，想一想，有哪些方法可以判定两个三角形相似？有哪些方
法可以判定两个直角三角形相似？
例5 如图3.1-11，四边形ABCD的对角线相交于点O，
?BAC?CDB
，求证：
?DAC?CBD
.
证明 在
VOAB
与
VODC
中，
?AOB行DOC,OAB=?ODC,


VOAB
∽
VODC
，
OAOBOAOD
==
，即.
ODOCOBOC
又
VOA D
与
VOBC
中，
?AOD?BOC
，
图3.1-11

VOAD
∽
VOBC
，

?DAC?CBD
.
例6 如图3.1-12,在直角三角形ABC中 ，
?BAC
为直角，
AD^BC于D
.
求证：（1）
AB
2
=BD?BC
，
（2）
AD
2
=BD?CD
证明 （1）在
RtVBAC
与
RtVBDA
中，
∽，
VBAC
VBDA
BABC
=,即AB
2
=BD?BC .

BDBA
同理可证得
AC
2
=CD?CB
.
（2）在
RtVABD
与
RtVCAD
中，
?C90
o
-?CAD?BAD
，
图3.1-12
AC
2
=CD?CB
；
?B?B
，
RtVAB D
∽
RtVCAD
，

ADDC
=,即AD
2
=BD?DC.

BDAD
我们把这个例题的结论称为射影定理，该定理对直角三角形的运算很有用.
例7 在
VABC
中，
AD^BC于D,DE^AB于E,DF^AC于 F
，求证：
AE?AB
证明
QAD^BC
，

VADB
为直角三角形，又
DE^AB
，
由射影定理，知
AD
2
=AE?AB
.
同理可得
AD
2
=AF?AC
.
AF?AC
.
AE?ABAF?AC
.
图3.1-13
例8 如图3.1-14，在
VABC
中，
D
为边
BC
的中点，
E
为边
AC
上
的任意一点，
BE
交
AD
于点
O< br>.某学生在研究这一问题时，发现了如下的事实：
图3.1-14

（1） 当
AE11AO22
====
时，有.（如图3.1-14a）
AC21+ 1AD32+1
AE11AO22
====
时，有.（如图3.1-14b）
AC31+2AD42+2
（2） 当

（3） 当
AE11AO22
====
时，有.（如图3.1-14c）
AC41+ 3AD52+3
AE1
AO
=
时，参照上述研究结论，请你猜想用n表示的一 般结论，
AC1+n
AD
在图3.1-14d中，当
并给出证明（其中n为正 整数）.
解：依题意可以猜想：当
AE1AO2
==
时，有成立.
AC1+nAD2+n
证明 过点D作DFBE交AC于点F，
Q
D是BC的中点，

F是EC的中点，
由
AE1
AE2AE2
AE1
=
=,=.
. =
，

可知
AC1+n
EFnAF2+n
ECn
AOAE2
==.

ADAF2+n

AO1AE
=
，则
=?

ADnAC
本题中采用了从特殊到一般的思维方法.我们常从一些具体的问题中发现一些规律，进而作出
一般性的猜想，然后加以证明或否定 .数学的发展史就是不断探索的历史.

练习2
1．如图3.1-15，D是
VABC
的边AB上的一点，过D点作 DEBC交AC
想一想，图3.1-14d中，若
于E.已知AD：DB=2：3，则
S
VADE
:S
四边形BCDE
等于（ ）
A．
2:3
B．
4:9
C．
4:5
D．
4:21

图3.1-15

2．若一个梯形的中位线长为15，一条对角线把中位线分成两条线段.这两条线段的比是
3: 2
，则
梯形的上、下底长分别是__________.
3．已知：
VAB C
的三边长分别是3，4，5，与其相似的
VA'B'C'
的最大边长是15，求A'B'C'
的
面积
S
VA'B'C'
.


4．已知：如图3.1-16，在四边形ABCD 中，E、F、
BC、CD、DA的中点.
（1） 请判断四边形EFGH是什么四边形，试说明
（2） 若四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、
么条件时，EFGH是菱形？是正方形？

5．如图3.1-17,点C、D在线段AB上，
VPCD
是
（1） 当AC、CD、DB满足怎样的关系时，
VACP
G、H分别是AB、
理由；
BD满足什
图3.1-16
等边三角形，
∽

VPDB
？
（2） 当
VACP
∽
VPDB
时，求
?APB
的度数.
图3.1-17






习题3.1
A组
1．如图3.1-18，AD=DF=FB，AE=EG=GC，
VABC
中，
A．DE=1，BC=7 B．DE=2，BC=6
C．DE=3，BC=5 D．DE=2，BC=8

图3.1-18



2．如图3.1-19，BD、CE是
VABC
的中 线，P、Q分别
点，则
PQ:BC
等于（ ）
A．1：3 B．1：4
C．1：5 D．1：6





3．如图3.1-20，
YABCD
中，E是AB延长线上一点 ，
F，已知BE：AB=2：3，
S
VBEF
=4
，求
S< br>VCDF
.




4．如图3.1-21，在矩 形ABCD中，E是CD的中点，
交AC于F，过F作FGAB交AE于G，求证：
AG
2
=AF?FC
.
FG=4，则（ ）
是BD、CE的中
图3.1-19
DE交BC于点
图3.1-20
BE^AC




B组
1．如图3.1-22 ，已知
VABC
中，AE：EB=1：3，BD：DC=2：
图3.1-21
1，AD与CE

EFAF
的值为（ ）
+
FCFD
13
A． B．1 C． D．2
22

图3.1-22

2．如图3.1-23，已知
V ABC
周长为1，连结
VABC
三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个
对角线三边中点构成第三个三角形，依此类推，第2003个三角形周
长为（ ）
1111
A． B． C．
2002
D．
2003

2002200322


图3.1-23

3．如图3.1-24，已知M为
YABCD
的 边AB的中点，CM交
BD于点E，则图中阴影部分的面积与
YABCD
面积的比是< br>（ ）
11
15
A． B． C． D．
36
412

图3.1-24


4．如图3.1-25，梯形ABCD中，ADBC，EF经过梯形对角线的交点O，且EFAD.
（1） 求证：OE=OF；
OEOE
（2） 求的值；
+
ADBC
112
（3） 求证：.
+=
ADBCEF

图3.1-25


C组
1．如图3.1-26，
VABC
中，P是边AB上一点，连结CP.
（1） 要使
VACP
∽
VABC
，还要补充的一个条件是
____________.
（2） 若
VACP
∽
VABC
，且
AP:P=B2:
，则
=_____.
BC:PC

图3.1-26


2．如图3.1-27，点E是四边形ABCD的对角 线BD上一点，且
?BAC?BDC?DAE
.
（1） 求证：
BE?ADCD?AE
；
BC
的比（只
（2） 根据图形的 特点，猜想可能等于那两条线段
DE
相交于F，则

须写出图中已有线段 的一组比即可）？并证明你的猜想.



3．如图3.1-28，在RtVABC
中，AB=AC，
?A90
o
，
图3.1-27
点D为BC上
的中点，试判任一点，
DF^AB
于F，
DE^AC< br>于E，M为BC
断
VMEF
是什么形状的三角形，并证明你的结论.




图3.1-28
4．如图3.1-29a，
AB^ BD,CD^BD,
垂足分别为B、D，AD和BC相交于E，
EF^BD
于F，我< br>们可以证明
111
成立.
+=
ABCDEF
图3.1-29

若将图3.1-29a中的垂直改为斜交，如图3.1-29 b，
ABCD,AD、BC
相交于E，EFAB交BD
于F，则：
（1）
111
还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
+=
ABCDEF
（2） 请找出
S
VABD
,S
VBCD
和
S
VEBD
之间的关系，并给出证明.

3.1 相似形
练习1
1．D
DEADx510
10
?,??,x?
，即
BF?
.
3
BCABx?283
ABBD535
??,?BD?cm.
3．
ACDC49
ABBDABBD
??
4．作
CFAB
交AD
于
F
，则，又
?AFC??FAE??FAC
得
A C?CF,
?
.
CFDCACDC
EGCEACCEDBDFAC
??,??
CEGCAB,??,
即5．作
EGAB
交
BC
于
G
，.
ABEGEGEFAB
ABAC
2．设
BF?x,

练习2
1．
C

2．12，18
115
2
??3?4?6,?S?()?6?54.

ABCA'B 'C'
25
1
4．（1）因为
EHBDFG,
所以
EFGH
是平行四边形；（2）当
AC?BD
时，
EFGH
为菱形；当
2
3．
S
时，
EFGH
为正方形.
AC?BD,AC? BD
5．（1）当
CD?AC?BD
时，
ACP
2o
（2）
?APB?120
.
PDB
；
习题3.1
A组
1．B 2.B 3.
S
CDF
?9

22
4．
BF
为直角三角形
ABC
斜边上的高，
BF?AF?FC
，又可证
AG?BF,
?AG?AF?FC
.
B组
1．C 2.C 3.A
4．（1）
ADBC,?
EOAEDEOFOEO EAEBE
???,EO?OF
.（2）
????1.
（3）由（2）知BCABDCBCADBCABAB
1112
???.

ADBCOEEF
C组
2
1.(1)
AC?AP?AB
或
?ACP??B
.(2)
BC:PC?3:2
.
BEAEBCABAD
；（2）.
?
ADEACB,???
CDA D
DEAEAC
3．连
AD
交
EF
于
O
， 连
OM
，
ABC
为等腰直角三角形，且AEDF为矩形，
?OM为
RtAMD
斜边的
11
中线，
OM?AD?EF,
? MEF
为直角三角形.又可证
BMF?AME
，得
MF?ME
，故< br>MEF
为等
22
2．（1）先证
AEBADC
，可得
腰直角三角形.
4．（1）成立，









111
EFEFFDBF111
??
，证略.
????1,??? .
（2）
S
ABD
S
BCD
S
EBD
AB CDBDBDABCDEF