历年云南省高中数学会考试卷及答案-高中数学组合性质二
双曲线
平面内到两个定点,
方程
简图
的距离之差的绝对值是常数2a(2a<)的点的轨迹。
x
2
y
2
?
2
?1(a?0,b?0)
2
ab
_
y
y
2
x
2
?
2
?1(a?0,b?0)
2
ab
_
y
_O
_
x
_O
_
x
范围
顶点
焦点
渐近线
离心率
对称轴
准线方程
a、b、c的关
系
x?a或x??a,y?R
y?a或y??a,x?R
(?a,0)
(?c,0)
(0,?a)
(0,?c)
y??
e?
b
x
a
y??
e?
a
x
b
c
(e?1)
a
c
(e?1)
a
关于x轴、y轴及原点对称 关于x轴、y轴及原点对称
a
2
x??
c
a
2
y??
c
c
2
?a
2
?b
2
考点
题型一 求双曲线的标准方程
x
2
y
2
n
1、给出渐近线方程
y??x
的双曲线方程可设为
2
?
2
?
?
(
?
?0)
，与双曲线
mn
m
x
2
y
2
x
2
y
2
?
2
?1共渐近线的方程可设为
2
?
2
?
?
(
?
?0)
。
2
ab
ab
2、注意：定义法、待定系数法、方程与数形结合。
【例1】求适合下列条件的双曲线标准方程。
（1）
虚轴长为12，离心率为
5
；
4
（2）
焦距为26，且经过点M（0，12）；
x
2
y
2
??1
有公共渐进线，且经过点
A?3,23
。 （3） 与双曲线
916
??
x
2
y
2
y
2
x
2
解
：（1）设双曲线的标准方程为
2
?
2
?1
或
2
?
2
?1
(a?0,b?0)
。
abab
由题意知，2b=12，
e?
∴b=6，c=10，a=8。
c5
=。
a4
x
2
y
2
x
2<
br>?36?1
或
??1
。
∴标准方程为
64
6436
（2）∵双曲线经过点M（0，12），
∴M（0，12）为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a=12。
又2c=26，∴c=13。∴
b?c?a?144
。
222
y
2
x
2
??1
。 ∴标准方程为
14425
x
2
y
2
（3）设双曲线的方程为
2
?
2
?
?
ab
QA?3,23
在双曲线上
23
3
?
∴
916
2
??
??
2
?1
得
?
?
1
4
4x
2
y
2
??1
所以双曲线方程为
94
题型二 双曲线的几何性质
方法思路：解决双曲线的性质问题
，关键是找好体重的等量关系，特别是e、a、b、c四者
的关系，构造出
e?
c222
和
c?a?b
的关系式。
a
x
2
y<
br>2
【例2】双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的
焦距为2c，直线l过点（a，0）和（0，b），且
ab
点（1，0）到直线l的距离与点（
-1，0）到直线l的距离之和s≥
e的取值范围。
解：直线l的方程为
4
c
。求双曲线的离心率
5
xy
??1
，级bx+ay-ab=0。
ab
b(a?1)
a?b
22
由点到直线的距离公式，且a＞
1，得到点（1，0）到直线l的距离
d
1
?
，
同理得到点（
-1，0）到直线l的距离
d
2
?
b(a?1)
a?b
22
，
s?d
1
?d
2
?
由s≥2ab
a
2
?b
2
?
2ab
。
c<
br>4
2ab
4
≥
c
，即
5ac
2
?a
2
?2c
2
。
c
，得
55
c
4
2
于是得
5e
2
?1?2e
2
，即
4e?25e?
25?0
。
解不等式，得
5
5
?e?5
。
?e
2
?5
。由于e＞1＞0，所以e的取值范围是
2
4
x2
y
2
【例3】设F
1
、F
2
分别是双曲线<
br>2
?
2
?1
的左、右焦点，若双曲线上存在点A，使
ab?F
1
AF
2
?90
o
，且︱AF
1
︱=3︱AF
2
︱，求双曲线的离心率。
o
解：∵
?F
1
AF
2
?90
∴
AF
1
?AF
2
22
?4c
2
又︱AF
1
︱=3︱AF
2
︱，
∴
AF
1
?AF
2
?2AF
2
?2a
即
AF
2<
br>?a
，
∴
AF
1
?AF
2
∴
22
?9AF
2
?AF
2
?10AF
2
?10a
2
?4c
2
，
222
c1010
10
??
即
e?
。
a42
2
题型三 直线与双曲线的位置关系
方法思路：1、研究双曲线与直
线的位置关系，一般通过把直线方程与双曲线方程组成方程
?
Ax?By?C?0
组，
即
?
22
，对解的个数进行讨论，但必须注意直线与双曲线有一个公共
222
2
bx?ay?ab
?
点和相切不是等价的。
2、直线与双曲线相交所截得的弦长：
l?1?k
2
?x
2
?x<
br>1
?1?
1
?y
2
?y
1
2k
uuuuruuur
【例4】如图，已知两定点
F
1
?2的点P的轨迹
1
(?2,0),F
2
(2,0)
，满足条件PF
2
?PF
是曲线E，直线y=kx-1与曲线E交于A、B两点，如果
AB?63
，且曲线E上存在点C，
y
uuuruuuruuur
使
OA?OB?mOC
，求
（1）曲线E的方程；
（2）直线AB的方程；
（3）m的值和△ABC的面积S。
A
C
B
O x
解：由双曲线的定义可知，
曲线E是以
F
1
(?2
,0),F
2
(2,0)
为焦点的双曲线的左支，
且
c?2，a=1，易知
b?c
2
?a
2
?1
。
22
故直线E的方程为
x?y?1(x?0)
，
(2)设
A(x
1
,y
1
)
,
B(x
2
,y
2
)
,
?
y=kx-1<
br>22
由题意建立方程组
?
22
消去y，得
(1?k)x?2k
x?2?0
。
?
x-y=1
又已知直线与双曲线左支交于两点A、B，有
?
1?k
2
?0,
?
22
?
V
?
(2k)?8(1?k)?0,
?
解得
?2?k??1
。
?
x
1
?x
2
?
?2k
2
?0,
1?k<
br>?
?
?2
?0.
?
x
1
x
2
?
2
1?k
?
又∵
AB?1?k?x
1
?x
2
?1?k?(x
1
?x
2
)?4x
1x
2
222
?2k?2(1?k
2
)(2?k
2
)
<
br>?1?k?()?4??2
2222
1?k1?k(1?k)
2
(1?
k
2
)(2?k
2
)
依题意得
2?63
，整理后得
28k
4
?55k
2
?25?0
，
22
(1?k)
∴
k?
2
55
2
或
k?
。
74
但
?2?k??1
，
∴
k??
5
。
2
5
x?y?1?0
。
2
故直线AB的方程为
u
uuruuuruuur
（3）设
C(x
c
,y
c
)
，由已知
OA?OB?mOC
，得
(x
1
,y
1
)?(x
2
,y
2
)?(mx
c
,my
c
)
，
∴
(x
c
,y
c
)?(
x
1
?x
2
y
1
?y
2
,)(m?0)
。
mm
2k
2
2
2k
?2?
2
?8
，
??45
，
y
1
?y
2
?k(x
1<
br>?x
2
)?2?
2
又
x
1
?x
2<
br>?
2
k?1k?1
k?1
∴点
C(
?
458
,)
。
mm
将点C的坐标代入曲线E的方程，的
8064
??1
，
m
2
m
2
得
m??4
，但当
m??4
时
，所得的点在双曲线的右支上，不合题意。
∴
m?4
，C点的坐标为
(?5,2)
，
C到AB的距离
为
5
?(?5)?2?1
2
(
5
22
)?1
2
11
∴△ABC的面积
S??63??3
。
23
1
?
，
3
一、抛物线
高考动向
：抛物线是高考每年必考之点，选择题、填空题、解答题皆有，要求对抛物线定义、
性质、直线与其关系
做到了如指掌，在高考中才能做到应用自如。
（一） 知识归纳
方程
图形
O
y
2
?2px(p?0)
y
2
??2px(p?0)
x
2
?2py(p?0)
y
y
x
2
??2py(p?0)
y
l<
br>O
F
y
x
F
x
F
O
x
F<
br>l
l
O
l
x
顶点
对称
轴
焦点
离心
率
准线
（0，0）
x轴 y轴
p
F(,0)
2
F(?
p
,0)
2
p
F(0,)
2
p
F(0,?)
2
e=1
l:x??
p
2
l:x?
p
2
l:y??
p
2
l:y?
p
2
（二）典例讲解
题型一 抛物线的定义及其标准方程
方法
思路：求抛物线标准方程要先确定形式，因开口方向不同必要时要进行分类讨论，标准
2
方程有
时可设为
y?mx
或
x?my(m?0)
。
2
【例5】根据下列条件求抛物线的标准方程。
（1）抛物线的焦点是双曲线
16x?9y?144
的左顶点；
（2）经过点
A
（2，－3）；
（3）焦点在直线x-2y-4=0上；
（4）抛物线焦点在x轴上，直线y=-3与抛物线交于点A，︱AF︱=5.
22
x
2
y
2
??1
，左顶点是（-3，0） 解
：（1）双曲线方程可化为
916
由题意设抛物线方程为
y??2px(p?0)且
?
∴p=6.
∴方程为
y??12x
（2）解法一：经过点
A
（2，－3）的抛物线可能有两种标准形式：
y<
br>2
＝2
px
或
x
2
＝－2
py
．
点
A
（2，－3）坐标代入，即9＝4
p
，得2
p
＝
2
2
p
??3
，
2
2
9
2
4
3
点
A
（2，－3）坐标代入
x<
br>＝－2
py
，即4＝6
p
，得2
p
＝
∴所求
抛物线的标准方程是
y
＝
2
94
x
或
x
2
＝－
y
23
22
解法二：由于A（2，-3）在第四象限且对称轴
为坐标轴，可设方程为
y?mx
或
x?ny
，
94
，n=-
，
23
94
22
∴所求抛物线的标准方程是
y
＝
x
或
x
＝－
y
23
代入A点坐标求得m=
（3）令x=0得y=－2，令y=0得x=4，
∴直线x-2y-4=0与坐标轴的交点为（0，-2），（4，0）。
∴焦点为（0，-2），（4，0）。
2
∴抛物线方程为
x??8y
或
y?16x
。
2
（4）设所求焦点在x轴上的抛物线方程为
y?2px(p?0)
，A（m，-3），
由抛物
线定义得
5?AF?m?
2
2
p
，
2
又
(?3)?2pm
，
∴
p??1
或
p??9
，
2
故所求抛物线方程为
y??2x
或
y??18x
。
2
题型二 抛物线的几何性质
方法思路：1、凡设计抛物线上的点到焦点距离时，一
般运用定义转化为到准线l的距离处
理，例如若P（x
0
，y
0
）为抛物线
y?2px(p?0)
上一点，则
PF?x
0
?
2
p
。
2
2、若过焦点的弦AB，
A(x
1<
br>,y
1
)
，
B(x
2
,y
2
)，则弦长
AB?x
1
?x
2
?p
，
x
1
?x
2
可由
韦达定理整体求出，如遇到其他标准方程，则焦半径或焦点弦长
公式可由数形结合的方法类
似得到。
【例6】设P是抛物线
y?4x
上的一个动点。
（1）
求点P到点A（-1，1）的距离与点P到直线
x??1
的距离之和的最小值；
（2） 若B（3，2），求
PB?PF
的最小值。
解：（1）抛物线焦点为F（1，0），准线方程为
x??1
。
∵P点到准线
x??1
的距离等于P点到F（1，0）的距离，
∴问题转化
为：在曲线上求一点P，使点P到A（-1，1）的距离与P到F（1，0）的距
离之和最小。
y
显然P是AF的连线与抛物线的交点，
最小值为
AF?5
（2）同理
PF
与P点到准线的距离相等，如图：
过B做BQ⊥准线于Q点，交抛物线与P
1
点。
∵
PQ
，
?PF
11
∴
PB?PF?PB?PQ?BQ?4
。
11
∴
PB?PF
的最小值是4。
题型三
利用函数思想求抛物线中的最值问题
方法思路：函数思想、数形结合思想是解决解析几何问题的两种重要的思想方法。
【例7】已知抛物线y＝x
2
，动弦AB的长为2，求AB的中点纵坐标的最小值。
分析一：要求AB中点纵坐标最小值，可求出y
1
＋y
2
的最小值，
从形式上看变量较多，
结合图形可以观察到y
1
、y
2
是梯形ABC
D的两底，这样使得中点纵坐标y成为中位线，可
以利用几何图形的性质和抛物线定义求解。
解法一：设A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2<
br>),AB的中点为M(x,y)
由抛物线方程y＝x
2
知焦点
F(0,
O
A
P
F x
2
1
)
,准线方程
4
1
y??<
br>，设点A、B、M到准线的距离分别为|AD
1
|、
4
|BC
1
|、|MN|，则|AD
1
|＋|BC
1
|＝2|MN|，且1
MN=2(y+)
，根据抛物线的定义，有|AD
1
|＝|AF|、<
br>4
1
|BC
1
|＝|BF|,∴
2(y+)
＝|AF
|＋|BF|≥|AB|＝2，
4
1
)?2
4
33
∴
y?
,即点M纵坐标的最小值为。
44
∴
2(y+
分析二：要求AB中点M的纵坐标y的最小值，可列出y关于某一变量的函数，然后求
此函数的最小值。
222
解法二：设抛物线y＝x上点A(a,a),B(b,b)，AB的中点为M(x，y)，则
a?ba
2
?b
2
x?,y?
22
∵|AB|＝2，∴(a―b)＋(a―b)＝4，则(a＋b)－4ab＋(a＋b)－4ab＝4
2222222
则2x＝a＋b,2y＝a＋b,得ab＝2x－y,∴4x―4(2x―y)＋4y―
4(2x―y)＝4
整理得
y?x?
2
222222222
14x?1
2
?y?
1111113
(4x
2
?1)?
2
??2??1??
44444
4x?1
4
即点M纵坐标的最小值为34。
练习：
1、以
y
=±
2
2
x
为渐近线的双曲线的方程是（
）
3
2222222
Ａ、3
y
―2
x
=6
Ｂ、9
y
―8
x
=1
C、3
y
―2
x
=1
D、9
y
―4
x
=36
【答案D】解析：A的渐近线为
y
=?
2
22
x
，B的渐近线为
y=?x
3
3
2
x
，只有D的渐近线符合题意。
3
C的渐近线为
y=?
22
2、若双曲线
x?y?1
的左支上一点P（
a，b）到直线y=x的距离为
2
，则a+b的值为
（ ）
A、
?
11
B、 C、
?2
D、2
22
【答案A】解析：∵P在双曲线上，
∴
a?b?1
即（a+b）（a-b）=1
又P（a，b）到直线y=x的距离为
2
∴
22
a?b
2
?2
且
a?b
即
a?b??2
∴a+b=
?
1
2
3、如果抛物线的顶点在原点、对称轴为x轴，焦点在直线
3x?4y?12?0<
br>上，那么抛物线
的方程是（）
A、
y??16x
B、
y?12x
C、
y?16x
D、
y??12x
【答案C】解析：令x=0得y=－3，令y=0得x=4，
∴直线
3x?4y?12?0
与坐标轴的交点为（0，-3），（4，0）。
∴焦点为（0，-3），（4，0）。
∴抛物线方程为
x??12y
或
y?16x
。
4、若抛物
线y=
22
22
22
1
2
x上一点P到焦点F的距离为5，
则P点的坐标是
4
7979
7979
，±） D.（±，）
88
1616
A.（4，±4） B.（±4，4）
C.（
【答案B】解析：抛物线的焦点是（0，1），准线是
y??1
，
P到焦点的距离可以转化为到准线的距离。
设P（x，y），则y=4，
∴
x??4y??16??4
F
为抛物线
y
2
?
2x
的焦点，5、若点A的坐标为（3，2），点
P
是抛物线上的一动点，则
PA?PF
取得最小值时点
P
的坐标是
（ C ）
A．（0，0） B．（1，1） C．（2，2）
D．
(,1)
1
2
【答案C】解析：抛物线焦点为F（1，0），
准线方程为
x??1
。
∵P点到准线
x??1
的距离等于P点到F（1，0）的距离，
∴问题转化
为：在曲线上求一点P，使点P到A（3，2）的距离与P到F（1，0）的距
离之和最小。
显然P是A到准线的垂线与抛物线的交点，
∴P的坐标为（2，2）
6、已知A、
B是抛物线
y?2px(p?0)
上两点，O为坐标原点，若︱OA︱=︱OB︱，且
△AOB的垂心恰是此抛物线的焦点，则直线AB的方程是（ ）
2
A、x=p B、x=3p
C、x=
35
p D、x=p
22
y
2
y
2
【答案D】解析：设A（，y），B（，-y），
2p2p
∵F（p，0）是△AOB的垂心，
∴
y
y
2
p
?
2p2
2
?
y
??1
y
2
2p
2
整理得
y?5p
y
2
5
?p
∴
x?
2p2
x
2
y
2
??1
只有一个公
共点的直线有 条。 7、过点P（4，1），且与双曲线
916
【答案】两条
解析：因为P（4，1）位于双曲线的右支里面，故只有两条直线
与双曲线有一个
公共点，分别与双曲线的两条渐近线平行。
这
两条直线是：
y?1?
44
(x?4)
和
y?1??(x?4)
33
x
2
?y
2
?1
有共同的渐近线，且过
点
A(2,-2)
，则C的两条准线之间8、双曲线C与双曲线
2
的距离为
。
【答案】
26
3
x
2
?y
2
?k(k?0)
，
解析：设双曲线C的方程为
2
将点A代入，得k=
-2
。
y
2
x
2
??1
故双曲线C的方程为：
24
∴
a?2
，b=2,
c?6
2a
2
26
?
所以两条准线之间的距离是。
c3
9、已知抛物线
y?2px(p?0)
，
一条长为4P的弦，其两个端点在抛物线上滑动，则此弦
中点到y轴的最小距离是
2
【答案】
3
p
2
解析
：设动弦两个端点为A、B，中点为C，作AA’，BB’，CC’垂直于准线的垂线，垂
足分别为A’
、 B’、 C’，连接AF、BF，由抛物线定义可知，︱AF︱=︱AA’︱，
︱BF︱=︱BB’︱
∵CC′是梯形ABB′A′的中位线
111
(AA')?BB')
=
(AF)?BF)
?AB
=2p
222
p3
当AB经过点F时取等号，所以C点到y轴的距离最小值为
2p-?p
。
22
∴︱CC′︱=
10、抛物线
y??12x
的一
条弦的中点为M
(?2,?3)
，则此弦所在的直线方程是 。
【答案】2x-y+1=0
解析：设此弦所在的直线
l
方程为
y?3?k(x?2)
，
l
与抛物线的交点坐标分别是A(x
1
,y
1
),B(x<
br>2
,y
2
),
则
x
1
?x
2
??4
将
l
的方程代入抛物线方程整理得
2
k
2
x
2
?(4k
2
?6k?12)x?(2k?3)
2
?0
(4k
2
?6k?12)
??4
由韦达定理得
x
1
?x
2
??
2
k
解得
k?2
∴此直线方程为
y?3?2(x?2)
即2x-y+1=0
11、已知双
曲线的中心在原点，焦点在
y
轴上，焦距为16，离心率为
解：由题意知，
2
c?16
?c?8
又
Qe?
4
，求双曲线的方程。
3
c4
?
?a?6
a3
b
2
?c
2
?a
2
?28
y
2
x
2
???1
3628
x
2
y
2
2
3
，过点
A(0,?b)
和B（a，0）
12、已知双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
的离心率
e?
ab
3
的直线与原点的距离为
3
。
2
（1）求双曲线的方程；
（2）直线
y?kx?m(k?0,m?0)<
br>与该双曲线交于不同的两点C、D，且C、D两点都在
以A为圆心的同一圆上，求
m的取值范围。
?
2
b
2
4
?
e?1?
a
2
?
3
?
解：（1）由题设，得
?
a
b3
?
?
22
?
2
?
a?b
解得
a?3
，
b?1
2
2
x
2
?y
2
?1
。
∴双曲线的方程为
3
（2）把直线方程
y?kx?m
代入双曲线方程，
并整理得
(1?3k)x?6kmx?3m?3?0
因为直线与双曲线交于不同的两点，
∴
V?12m?12?36k?0
①
设
C(x
1
,y
1
)
，
D(x
2
,y
2
)
则
x
1
?x
2<
br>?
22
222
6km2m
，
y?y?k(x?x)?2m?
1212
22
1?3k1?3k
设CD的中点为
P(x
0<
br>,y
0
)
，
x
1
?x
2
y?y<
br>2
，
y
0
?
1
，
22
3kmm
则
x
0
?
，
y?
0
22
1?3k1?3k
m
?1
2
1
1?3k依题意，AP⊥CD，∴
k
AP
???
3km
k1?3k
2
其中
x
0
?
整理得
3k?4m?1
②
将②式代入①式得
m?4m?0
∴m＞4或m＜0
又
3k?4m?1?0
，即
m??
∴m的取值范围为m＞4或
?
2
2
2
1
4
1
?m?0
。
4
2
13、已知点A
（2，8），B（x
1
，y
1
），C（x
2
，y
2
）在抛物线
y?2px
上，△ABC的重心与此抛
物线的焦点F重合（如图）
（1）写出该抛物线的方程和焦点F的坐标；
（2）求线段BC中点M的坐标；
（3）求BC所在直线的方程.（12分）
解：（1）由点A（2，8）在抛物线
y?2px
上，
2
有
8?2p?2
，解得p=16.
所以抛物线方程为
y?32x
，
2
2
焦点F的坐标为（8，0）.
（2）如图，由于F（8，0）是△ABC的重心，
M是BC的中点，所以F是线段AM的
定比分点，且
AF
?2
，设点M的坐标为
(x
0
,
y
0
)
，则
FM
2?2x
0
8?2y
0
?8,?0
，解得
x
0
?11,y
0
??4
，
1?21?2
所以点M的坐标为（11，－4）．
（3）由于线段BC的中点M不在x轴上，所以BC所在
的直线不垂直于x轴.设BC所在直
线的方程为：
y?4?k(x?11)(k?0).
?
y?4?k(x?
11)
2
由
?
2
，消x得
ky?32y?32(11k?4
)?0
，
?
y?32x
所以
y
1
?y
2
?
y?y
2
32
，由（2）的结论得
1
??4，解得
k??4.
k2
∴BC所在直线的方程是
y?4??4
(x?11)
即
4x?y?40?0
。
14、如图,
直线y=
11
x与抛物线y=x
2
－4交于A、B两点,
线段AB的垂直平分线与直线
28
y=－5交于Q点.
（1）求点Q的坐标；
（2）当P为抛物线上位于线段AB下方（含A、B）的动点时,
求ΔOPQ面积的最大值.
（14分）
1
?
y?x
?
?
2
解：(1)
解方程组
?
?
y?
1
x
2
?4
?
8
?
?
x
1
??4
?
x2
?8
得
?
或
?
y??2y?4
?
1
?
2
即A(－4,－2),B(8,4),
从而AB的中点为M(2,1).
由
k
AB
=
1
，直线AB的垂直平分线方程
2
1
2
x?4
)
8
y－1=-2(x－2).
令y=－5, 得x=5, ∴Q(5,－5)．
(2) 直线OQ的方程为x+y=0,
设P(x,
∵点P到直线OQ的距离
1
x?x
2
?4
1
8
d==x
2
?8x?32
,
OQ?52
282
∴SΔOPQ=
15
2
x?8x?32
.
OQd
=
216
∵P为抛物线上位于线段AB下方的点,
且P不在直线OQ上,
∴－4≤x<4
3
－4或4
3
－4
值为30．