2019-2020学年新教材高中数学综合质量检测

综合质量检测
本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分．满分150分．考试时间120分钟．
第Ⅰ卷(选择题 共60分)
一、选择题(本大题共12个小题，每小题5分，共60分，在 每小题给出的四个选项中
只有一个是符合题目要求的)
1．全集
U
＝R，< br>A
＝{
x
|
x
<－3，或
x
≥2}，
B
＝{
x
|－1<
x
<5}，则集合{
x
|－1 <
x
<2}是( )
A．(?
U
A
)∪(?
U
B
)
C．(?
U
A
)∩
B

B．?
U
(
A
∪
B
)
D．
A
∩
B

[解析] 由题意知，?
U
A
＝[－3,2)，又因为
B
＝(－1,5)，所以(?
U
A
)∩
B
＝(－1,2)．故
选C.
[答案] C
x
2
2．函数
f
(
x
)＝
2
＋lg(10－
x
)的定义域为( )
x
－1
A．R
C．(－∞，－1)∪(1,10)
2
B．[1,10]
D．(1,10)
?
?
x
－1>0，
[解析] 要使函数
f
(
x
)有意义，需使
?
?
10－
x>0，
?

解得
x
<－1或1<
x
<10.故选C.
[答案] C
3．已知
f
(
x
)＝
x
－
ax
在 [0,1]上是单调函数，则实数
a
的取值范围是( )
A．(－∞，0]
C．[2，＋∞)
2
2
B．[1，＋∞)
D．(－∞，0]∪[2，＋∞)
[解析] 函数
f
(
x
)＝
x
－
ax
图象的对称轴为直线
x
＝，根据二次函数的性 质可知≤0
22
或≥1，解得
a
≤0或
a
≥2.故选D.
2
[答案] D
4．下列函数是偶函数且值域为[0，＋∞)的是( )
①
y
＝|
x
|；②
y
＝
x
；③
y
＝2；④
y
＝
x
＋|
x
|.
A．①② B．②③ C．①④ D．③④
[解析] 对于①，
y
＝|
x
|是偶函数，且值域为[0，＋∞)；对于②，
y
＝
x
是奇函数；对
于③，
y
＝2是偶函数，但值域为[1，＋∞)；对于④，
y
＝
x< br>＋|
x
|是偶函数，且值域为[0，
＋∞)，所以符合题意的有①④，故选C.
[答案] C
|
x
|2
3
3|
x
|2< br>aa
a

5．已知
a
＝log2
0.2，
b
＝2，
c
＝0.2，则( )
A．
a
<
b
<
c

C．
c
<
a
<
b

0.20
0.20.3
B．
a
<
c
<
b

D．
b
<
c
<
a

0.30
[解析]
a
＝log
2
0.2 2
1＝0，
b
＝2>2＝1,0<
c
＝0.2<0.2＝1，即0<
c
<1，则
a
<
c
<
b
.
故选B .
[答案] B
6．若sin
α
>0且tan
α
<0， 则
α
2
的终边在( )
A．第一象限
B．第二象限
C．第一象限或第三象限
D．第三象限或第四象限
[解析] 因为sin
α
>0且tan
α
<0，
所以
α
位于第二象限．
所以
π
2
＋2
k
π<
α
<2
k
π＋π，
k
∈Z，
则π
4
＋
k
π<
α
2
<
k
π＋
π
2
，
k
∈Z.
当
k
为奇数时
αα
2
是第三象限的角，当
k
为偶数时
2
是第一象限的角，
所以角
α
2
的终边在第一象限或第三象限．选C.
[答案] C
7.函数
y
＝sin(
ωx
＋
φ
)(
x< br>∈R，且
ω
>0,0≤
φ
<2π)的部分图象如右图所示，则(

A．
ω
＝
ππ
2
，
φ
＝
4

B．
ω
＝
ππ
3
，
φ
＝< br>6

C．
ω
＝
ππ
4
，
φ
＝
4

)

π5π
D．
ω
＝，
φ
＝
44
π
[解析] ∵
T
＝4×2＝8，∴
ω
＝.
4
πππ
又∵×1＋
φ
＝，∴
φ
＝.
424
[答案] C
8．函数
f
(
x
)＝2si n
x
－sin2
x
在[0,2π]的零点个数为( )
A．2 B．3 C．4 D．5
[解析] 由
f
(
x
)＝2sin< br>x
－sin2
x
＝2sin
x
－2sin
x
cos
x
＝2sin
x
(1－cos
x
)＝0，得sin< br>x
＝0或cos
x
＝1，∵
x
∈[0,2π]，∴
x
＝0、π或2π，∴
f
(
x
)在[0,2π]的零点个数是3.
[答案] B
9．已知lg
a
＋lg
b
＝0，函数
f
(
x
)＝
a
与函数
g
(
x
) ＝－log
b
x
的图象可能是( )
x

1
[解析] ∵lg
a
＋lg
b
＝0，∴
ab＝1，则
b
＝，从而
g
(
x
)＝－log
b< br>x
＝log
a
x
，故
g
(
x
)与< br>a
f
(
x
)＝
a
x
互为反函数，图象关于直 线
y
＝
x
对称．故选B.
[答案] B
π
?< br>42
?
π
??
10．若
α
∈
?
，π
?
，且sin
α
＝，则sin
?
α
＋
?< br>－cos(π－
α
)等于( )
4
?
25
?2
??
A.
222222
B．－ C. D．－
5555

π
?
2
?
[解析] sin
?
α
＋
?
－cos(π－
α
)
4
?
2
?
＝
2222
sin
α
＋cosα
＋cos
α
＝sin
α
＋2cos
α
. < br>2222
43
?
π
?
∵sin
α
＝，
α
∈
?
，π
?
，∴cos
α
＝－.
5 5
?
2
?
∴
22432
sin
α
＋2co s
α
＝×－2×＝－.
22555
[答案] B
π
??
11．设函数
f
(
x
)＝sin(
ωx
＋
φ
)＋cos(
ωx
＋
φ
)
?
ω
>0，|
φ
|<
?
的最小正周期为π，
2
??
且
f
(－
x
)＝
f
(
x
)，则( )
?< br>π
?
A．
f
(
x
)在
?
0，
?
单调递减
2
??
?
π3π
?
B．
f
(
x
)在
?
，
?
单调递减
4
? ?
4
?
π
?
C．
f
(
x
)在?
0，
?
单调递增
2
??
?
π3π
?
D．
f
(
x
)在
?
，
?
单调递 增
4
??
4
π
??
[解析]
y
＝si n(
ωx
＋
φ
)＋cos(
ωx
＋
φ
)＝ 2sin
?
ωx
＋
φ
＋
?
，由最小正周期为π4
??
ππ
得
ω
＝2，又由
f
(－
x
)＝
f
(
x
)可知
f
(
x
)为偶 函数，由|
φ
|<可得
φ
＝，所以
y
＝2cos2
x
24
?
π
?
在
?
0，
?
单调递 减．
2
??
[答案] A
12．将函数
f
(
x
)＝23cos
x
－2sin
x
cos
x
－3的图 象向左平移
t
(
t
>0)个单位，所得图
象对应的函数为奇函数，则
t
的最小值为( )
A.
2ππππ
B. C. D.
3326
2
π
??
2
[解析] 将函数
f
(
x
)＝23cos
x
－2sin
x
cos
x－3＝3cos2
x
－sin2
x
＝2cos
?
2x
＋
?
6
??
π
??
的图象向左平移
t
(
t
>0)个单位，可得
y
＝2cos
?
2x
＋2
t
＋
?
的图象．由于所得图象对应的函
6
??
πππ
数为奇函数，则2
t
＋＝
k
π＋，
k
∈Z，则
t
的最小值为.故选D.
626
[答案] D

第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
二、填空题(本大题共4个小题，每小题5分，共20分，把正确答案填在题中横线上)
< br>?
?
x
－1，
x
≤0，
14．函数
f
(
x
)＝
?
?
x
－2＋ln
x
，
x
>0
?
2
2

的零点个数为________．
?
x
－1＝0，
?
[解析] 令
f
(
x< br>)＝0，得到
?
?
?
x
≤0，

解得
x
＝－1；

?
?
x
－2＋ln< br>x
＝0，
或
?
?
?
x
>0，


在同一个直角坐标系中画出
y
＝2－
x
和
y＝ln
x
的图象，观察交点个数，如图所示．函
数
y
＝2－x
和
y
＝ln
x
，
x
>0在同一个直角坐标系 中交点个数是1，所以函数
f
(
x
)在
x
<0时的
零点有一个，在
x
>0时零点有一个，所以
f
(
x
)的零点 个数为2.

[答案] 2
?
?
3，
x
≤0，
15．若函数
f
(
x
)＝
?－
x
?
?
－2，
x
>0，
x

则函数
y
＝
f
[
f
(
x
)]的值域是_ _______．
1
??
xxx
[解析] 当
x
≤0时，
f
(
x
)＝3∈(0,1]，∴
y
＝
f
[
f
(
x
)]＝
f
(3)＝－2－3∈
?
－ 1，－
?
；
2
??
当
x
>0时，
f(
x
)＝－2∈(－1,0)，
y
＝
f
[
f< br>(
x
)]
－
x
?
1
?
－
x
－
x
＝
f
(－2)＝3－2∈
?
，1
?
.
?
3
?
综上所述，
y
＝
f
[
f
(
x
)]的值域是
?
－1，－
1
?< br>∪
?
1
，1
?
.
????
2
??
3
??
1
??
1
??
[答案]
?
－1，－
?
∪
?
，1
?

23
????
π
?
π
???
16．关于函数
f
(
x
)＝cos
?
2
x
－
?
＋cos?
2
x
＋
?
，给出下列命题：
3
?
6
???
①
f
(
x
)的最大值为2；
②
f
(
x
)的最小正周期是π；
?
π13π
?
上是减函数； ③
f
(
x
) 在区间
?
，
?
?
2424
?
π
④将函数< br>y
＝2cos2
x
的图象向右平移个单位长度后，与函数
y
＝
f
(
x
)的图象重合．
24
其中正确命题的序号是________．
π
?
π
?
π
????
[解析]
f
(
x
)＝cos
?
2
x
－
?
＋cos< br>?
2
x
＋
?
＝cos
?
2
x
－
?
＋
3
?
6
?
3
????
π
??
π
?
π
?
?
π
?
??sin
?
－
?
2
x
＋
?
?
＝ cos
?
2
x
－
?
－sin
?
2
x
－
?
＝2
6
?
?
3
?
3???
?
2
?
ππ
?
π
?
ππ
?
?
2
?
?
2
?
??
?
cos
?
2
x
－
3
?
－sin
?
2x
－
?
?
＝2cos
?
2
x
－
3
＋
4
?
＝2cos
?
2
x
－
12
?
，
?
3
?
?
????
??
2
?
?
2
∴函数
f
(
x
)的最大值为2 ，最小正周期为π，故①②正确；
?
π13π
?
时，2
x
－
π
∈[0，π]，∴函数
f
(
x
)在
?
π
，
13π
?
上是减函数，故又当
x
∈
?
，
??
2424
?
12
?
2424
???
π
???
π
???
③正确；由④得
y
＝2cos
?
2
?
x
－
??
＝2cos
?
2
x
－
?
，故④正确．
12
???
24
???
[答案] ①②③④
三、解答题(本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

?
π
?
2
18．( 本小题满分12分)已知函数
f
(
x
)＝2cos
x
·si n
?
x
＋
?
－3sin
x
＋sin
xcos
x
.
3
??
?
π
?
(1)当
x
∈
?
0，
?
时，求
f
(
x)的值域；
2
??
?
π5π
?
(2)用“五点法”在 下图中作出
y
＝
f
(
x
)在闭区间
?
－，
?
上的简图．
6
??
6

?
π
?
2
[解]
f
(
x
)＝2 cos
x
·sin
?
x
＋
?
－3sin
x
＋sin
x
cos
x

3
??

ππ
??
＝2cos
x
?
sin
x
cos＋cos
x
sin
?
－
33
??
π
??
2sin
?
2
x
＋
?
.
3
??
3sin
x
＋sin
x
cos
x< br>＝sin2
x
＋
2
3cos2
x
＝
ππ4π
?
π
?
(1)∵
x
∈
?
0，
?< br>，∴≤2
x
＋≤，
2
?
333
?
∴－π
?
3
?
≤sin
?
2
x
＋
?
≤1，
3
?
2
?
?
π
?
∴当
x
∈
?
0，
?
时，
f
(
x
)的值域为[－3，2]．
2
??
2π
(2)由
T
＝， 得最小正周期
T
＝π，列表：
2
x
π
2
x
＋

3
π
??
2sin< br>?
2
x
＋
?

3
??
图象如图所示．
－
π

6
π

12
π

2
2

π

3
π

0

7π

12
3π

2
－2

5π

6
2π
0
0

0


19．(本小题满分12分) 已知
A
(cos
α
，sin
α
)，
B
(cos
β
，sin
β
)，其中
α
，
β
为锐
角，且|
AB
|＝
10
.
5
(1)求cos(
α
－
β
)的值；
3
(2)若cos
α
＝，求cos
β
的值．
5

[解] (1)由|
AB
|＝
2
10
，
5
2
得? cos
α
－cos
β
?＋?sin
α
－sin
β< br>?＝
2
∴2－2(cos
α
cos
β
＋sin
α
sin
β
)＝，
5
4
∴cos(
α
－
β
)＝.
5
10
，
5
34
(2)∵cos
α
＝， cos(
α
－
β
)＝，
α
，
β
为锐角，
55
43
∴sin
α
＝，sin(
α
－
β
)＝±.
55
3
当sin(
α
－
β
)＝时，
5< br>24
cos
β
＝cos[
α
－(
α
－
β
)]＝cos
α
cos(
α
－
β
)＋sin< br>α
sin(
α
－
β
)＝.
25
3
当sin(
α
－
β
)＝－时，
5
cos
β
＝cos[
α
－(
α
－
β
)]
＝cos
α
cos(
α
－
β
)＋sin< br>α
sin(
α
－
β
)＝0.
24
∵
β
为锐角，∴cos
β
＝.
25
20．(本小题满分12分)已知函数
f
(
x
)是定义在区间[－1,1]上 的奇函数，对于任意的
m
，
f
?
m
?＋
f
?
n
?
n
∈[－1,1]有>0(
m
＋
n
≠0)．
m
＋
n
(1)判断函数
f
(
x
)的单调性；
?
1
?
(2)解不等式
f
?
x＋
?
<
f
(1－
x
)．
?
2
?
[解] (1)设
x
1
＝
m
，
x
2
＝－
n
，由已知可得
f
?
x1
?－
f
?
x
2
?
>0，不妨设
x< br>1
<
x
2
，则
f
(
x
1
) <
f
(
x
2
)，
x
1
－
x
2
由函数单调性的定义可得函数
f
(
x
)在区间[－1,1]上是 增函数．
(2)由(1)知函数在区间[－1,1]上是增函数．
?
?
1
??
又由
f
?
x
＋
?
<
f
(1－
x
)，得
?
－1≤1－
x
≤1，
?
2
?
1
x
＋
?
?
2
<1－
x< br>，
1
－1≤
x
＋≤1，
2

1
解得0≤
x
<.
4

?
1
?
?
1
?
所以不等式
f
?
x
＋
?
<
f
(1－
x
)的解集为
?
x
|0≤
x
<
?
.
4
?
?
2
?
?

21．(本小题满分12分)某村电费收取有以下两种方案供用户选择：
方案一：每户每月收 管理费2元，月用电不超过30度时，每度0.5元，超过30度时，
超过部分按每度0.6元收取．
方案二：不收管理费，每度0.58元．
(1)求方案一收费
L
(
x
)(单位：元)与用电量
x
(单位：度)间的函数关系；
(2)老王家九月份按方案一交费35元，问老王家该月用电多少度？
(3)老王家月用电量在什么范围时，选择方案一比选择方案二更好？
[解] (1)当0≤
x
≤30时，
L
(
x
)＝2＋0.5
x
；
当
x
>30时，
L
(
x
)＝2＋30×0.5＋(
x
－30)×0.6＝0.6
x
－1，
?
?
2＋ 0.5
x
，0≤
x
≤30，
∴
L
(
x)＝
?
?
0.6
x
－1，
x
>30.
?

(注：
x
也可不取0)
(2)当0≤
x
≤3 0时，令
L
(
x
)＝2＋0.5
x
＝35得
x＝66，舍去；
当
x
>30时，由
L
(
x
) ＝0.6
x
－1＝35得
x
＝60，∴老王家该月用电60度．
( 3)设按方案二收费为
F
(
x
)元，则
F
(
x)＝0.58
x
.
当0≤
x
≤30时，由
L
(
x
)<
F
(
x
)，得2＋0.5
x
<0 .58
x
，
解得
x
>25，∴25<
x
≤30；
当
x
>30时，由
L
(
x
)<
F
(
x
)，得0.6
x
－1<0.58
x
，
解得
x
<50，∴30<
x
<50.
综上，25<
x
<50.
故老王家月用电量在25度到50度范围内(不含 25度、50度)时，选择方案一比方案二
更好．
22．(本小题满分12分)已知函数f
(
x
)＝
A
sin(
ωx
＋
φ)＋
B
(
A
>0，
ω
>0)的一系列对应
值如 表：
x
f
(
x
)

－
π

6
π

3
1

5π

6
3

4π

3
1

11π

6
－1

7π

3
1

17π

6
3 －1

(1)根据表格提供的数据求函数
f
(
x
)的一个解析式；
(2)根据(1)的结果，若函数
y
＝
f
(
kx
)(k
>0)的周期为
＝
m
恰有两个不同的解，求实数
m
的 取值范围．
[解] (1)设
f
(
x
)的最小正周期为
T
，
2π?
π
?
，当
x
∈
?
0，
?
时 ，方程
f
(
kx
)
3
?
3
?

11π
?
π
?
2π
则
T
＝－
?
－
?
＝2π，由
T
＝，得
ω
＝1，
6
ω
?
6
?
?
?
B
＋
A
＝3，
又
?
?
?
B
－
A
＝－1，

?
?
A
＝2，
解得
?
??
B
＝1，


5ππ
令
ω
·＋φ
＝＋2
k
π，
k
∈Z，
62
即
5 πππ
＋
φ
＝＋2
k
π，
k
∈Z，取
φ< br>＝－，
623
?
π
?
所以
f
(
x
)＝2sin
?
x
－
?
＋1.
3
??< br>π
?
2π
?
(2)因为函数
y
＝
f
(
kx
)＝2sin
?
kx
－
?
＋1的周期为，又
k
>0，所以
k
＝3.令
t
＝3
x
3?
3
?
π
－，
3
?
π
??
π2π
?
因为
x
∈
?
0，
?
，所以
t
∈
?
－，
?
，
3
?
3
?? ?
3
?
3
?
?
π2π
?
如图，sint
＝
s
在
?
－，
?
上有两个不同的解，则s
∈
?
，1
?
，所以方程
f
(
kx< br>)＝
m
3
??
3
?
2
?
?
π
?
在
x
∈
?
0，
?
时恰好有两个不同的 解，则
m
∈[3＋1,3)，即实数
m
的取值范围是[3＋1,3)．
3
??