对高中数学新教材第二章《函数》的认识

对高中数学新教材第二章《函数》的认识
广州市教育局教研室 赵荻帆
一、 映射与函数
函数是中学数学最重要的基本概念之一，它不仅是学习中学
数学后 继内容的基础，而且也是进一步学习高等数学的基础，同
时，函数这部分学习内容所蕴涵的数学思想方法 也广泛地渗透到
中学数学的全过程和其它学科之中。因此，对本章内容力求学习
得更好一些。
函数这一章的内容可分为三个单元。
第一单元：映射与函数，主要介绍映射、函数、函数的单 调
性、函数的奇偶性、反函数及互为反函数的函数图象间的关系。
这部分是学习本章内容的基础 。
第二单元：指数与指数函数
第三单元：对数与对数函数
本章最后一节安排了函数应用举例，为全章知识的综合运用，
是近年高考的热点。
2.1 映射
1.映射是高等数学中最基本、最重要的概念之一，它的定义为：
设 A与B是两个集合，如果按照某种对应法则f，使得对于集合A
中的任一个元素，在集合B中都有唯一的 元素和它对应，则称这

一对应(三个要素：集合A、B以及A到B的对应法则f )为集合A
到集合B的映射，记作f：A→B.
2.如果有映射f：A→B，使得a∈A和b∈B对应，则称b为
a(在f下)的象，a称为 b的原象.
3.对于映射这一概念，应使学生明确以下几点：
(1)映射中的两个集合 A
，
B可以是数集、点集或由图形组成的
集合等。集合与对应是两个基本数学概念，只 按字面来了解，不
作数学定义。
(2)映射是有方向的，A到B的映射与B到A的映射往往不是
同一个映射。
(3) 映射要求对于集合A中的每一个元素，在集合B中都有它
的象，并且这个象是唯一确定的。这种集合A中 元素的任意性和
在集合B中对应元素的唯一性是映射的重要性质，缺一不可。
(4)映射允许 集合B中的某些元素在集合A中没有原象。也就
是由象组成的集合(象集)C
?
B.
(5)映射允许集合A中不同元素在集合B中有相同的象，即映
射可以是“多对一”或“一对一 ”，但不能是“一对多”。
例1 己知映射f：A→B，集合A =｛－3，－2，－1，1，2，3，
4｝，集合B中的元素都是A 中 的元素在映射f 下的象，且对 任
意 a∈A，在B中和它对应的元素是∣a∣，则集合B中的元素

的个数是( ).
(A) 4 (B) 5 (C) 6 (D)7
解：对应法则 a→∣a∣，而a∈｛－3，－2，－1，1，2，3，
4｝，∴ ∣a∣∈｛1，2，3，4｝，即B=｛1，2，3，4｝.象集是集
合B.故选(A).
例2 己知(x
，
y)在映射f作用下的象是(xy
，
x+y)
（1）(－2，3)的象；
（2）求(2，－3)的原象.
解：（1）用xy=－6，x+y =1， ∴ (－2，3) 的象为(－6，
1).
(2)设(2，－3)的原象为(a，b).依题意
?
ab?2
，
解之，得
?
?
a?b??3
?
a
1
??2
?
?
b
1
??1，
?
a
2
??1
?
?
b
2
??2.
∴(2，－3)的原象是(－2， －1)和(－1，－2).
2.2 函数
1. 关于函数的定义
① 传统定义 设在某个变化过程中有两个变量 x和y，
如果对于x在某一范围内的每个确定的值，y都有唯一
确定的值与之对应，那么就称y是x的函数，x叫做自
变量.

② 近代定义 设A
，
B是两个非空数集，f：x→y是从集
合A到B的一个映射，则称该映射f：A →B为函数.记
作y=f(x).其中.原象的集合A叫做定义域，象的集合
C(C
?
B)叫做函数y=f(x)的值域.
两个定义本质上是一致的①从运动观点出发，②从集合、 映
射观点出发，在两个非空数集上建立特殊映射。函数的三大要素
是：定义.域、值域、对应法 则。
判断两个函数是否为同一函数，必须三个要素完全一致。
函数的表示方法：
① 解析法：两个变量用一个等式表示，这个等式叫做解
析式；
②
③
列表法；
图象法。
分段函数是一个函数，只不过在不同子区间对应法则不同而矣。甚至函数图象处处不连续，也可看作分段函数。
例 D(x)=
?
?
1(x为有理数)，

?
0(x为无理数)
如何确定常见函数的定义域？
( 1 )当f(x)是整式时，定义域是实数集R；
( 2 )当f(x)是分式时，定义域是使分母不为0的x取值的集合

(R的子集)；
( 3 ) 当f(x)是二次根式(偶次根式)时，定义域是使被开方式取
非负值的x取值的集合(R的子集)；
( 4 ) 当f(x)是由几个数学式子组成时，定义域是使各个式子
都有意义的x取值的集合(R的子集)；
( 5 ) 当f(x)表示实际问题中的函数关系时，应考虑在这实际
问题中x取值的意义。
例1. 已知f(x+1)=
x
2
?6x?2，
求f(0)，f(x).
解： 当x=－1时， x+1=0， f(0)= f(－
1+1)= (－1)
2
+6(－1)+2=－3.
法一：变量代换 令 x+1=t，则 x=t－1，
f(t)=( t－1)
2
+6(t－1)+2
=t
2
+4 t－3
f(x) = x
2
+4 x－3. f(0) =－3.
法二：配凑法
f(x+1) =( x
2
+2x+1)+(4 x+4)+2－5
=(x+1)
2
+4(x+1)－3
∴ f(x) = x
2
+4 x－3.
例2 己知函数f(x)的定义域为〔0，1〕，求函数f(2x)和f(x+1)
的定义域.

解：0≤2x≤1
?
0≤x≤，∴ f(2x)的定义域为〔0，〕.
0≤x+1≤1
?
－1≤x≤0，
∴ f(x+1)的定义域.为〔－1，0〕.
例3 求函数
y?x?1?2x
的值域.
解：换元 设t=
1?2t
，则 t
2
=1－2x. 2x=－t
2
+1.
11
x??t
2
?
(t≥0).
22
111
∴
y??t
2
?t???(t?1)
2
?1
(t≥0)
222
1
故值域为〔－∞，〕.
2
1
2
1
2
求值域的方法：观察、配方、换元、⊿法等。
2.3 函数的单调性和奇偶性
什么叫做函数的单调性？
设给定区间B上的函数f(x)，对任x
1
，
x
2
∈B (x
1
＜x
2
)，
如果都有f(x
1
)＜ f(x
2
)，那么称函数f(x)在间B上是增函数，
如果都有f(x
1
) ＞ f(x
2
)，那么称函数f(x)在间B上是减函数.
可以表述为：(x
1
－x
2
)〔f(x
1
)－ f(x
2
)〕＞0为增函数，
(x
1
－x
2
)〔f(x
1
)－ f(x
2
)〕＜0为减函数，
如果函数f(x)在某区间B上是增函数或减函数，那 么称f(x)
在区间B上具有(严格的)单调性，并把区间B叫做f(x)的单调区间.
函数的单调性是函数的整体性之一
① 函数的单调性(不说函数的增减性)

② 在某某区间上是增(减)函数(不说“在某某区间内是增(减)
函数”). 实际上，函数的单调性不涉及区间端点问题，“上”
包含了“内”，“内”却不包含“上”用“上”能较 好地反
映函数的整体性质.
③ 在定义域内是增(减)函数(不说“在定义域上是增(减)函数)
这仅仅是为了符合语言使用习惯.
④ 在定义域内或某某区间上是增(减)函数(不说“在定义域内
或某某区间上单调递增(减) ”)，实际上“单调递增(减)”
可以是不严格的增(减)，而且也不仅仅对于区间来定义，
它 是更广泛的概念，中学不予介绍.类似地教科书中只引入
“单调区间”，而不使用“单调递增(减)区间 ”这些词语.
在教学中更不能省略成“单增”、“单减”.
⑤ 增函数、减函数(不使用单调 函数)，实际上“单调函数”
通常是指整个定义域内只具有一种单调性的函数，不能在
有的区间 上增，有的区间上减.
研究函数的单调性，必须在定义域内的给定区间上，例如
f(x)=的定义域是(－∞，0)∪(0，+∞)，它在 (－∞，0)上
是减函数，在(0，+∞)上也是减函数，但不能说在定义域内
是减函数.
怎样利用己知函数的单调性来判定较复杂函数的单调性？
1
x

若函数f(x)、 g(x)在区间上B具有单调性，那么在区间B
上：
(1)
(2)
f(x)与 f(x)+c(c为常数) 具有相同的单调性；
f(x)与c f(x)当c＞0时，具有相同的单调性；
当c＜0时，具有相反的单调性；
(3)
(4)
当 f(x)恒不为零时，f(x)与
1
具有相反的单调性；
f(x)
当f(x)恒为非负时，f(x)与
f(x)
具有相同的单调性；
(5) 当f(x)、 g(x)都是增(减)函数时，则f(x)+ g(x)也是增(减)
函数；
(6) 当f(x)、 g(x)都是增(减)函数时，则f(x)× g(x)当f(x)、
g(x)两者都恒大于0时，也是增(减)函数，当两者都恒
小于0时是减(增)函数.
至于按定义来证明函数的单调性，通常须五步：
取值——求差——变形——定号——判断
(分解因式、配方等)
函数的奇偶性
一般地，设函数f(x)，对于其定义域内的任意一个x值，
如果都有f(－x)= － f(x)，那么称f(x)为奇函数；
如果都有f(－x)= f(x)，那么称f(x)为偶函数；

如果函数f(x)是奇函数或偶函数，那么称函数f(x)具有奇偶
性，
函数的奇偶性是函数的整体性质之一.
(1)函数的奇偶性是针对函数的定义域讲的，由于任 意的x与
－x都要在定义域内，所以奇(偶)函数的定义域关于原点对称.我
们判定函数是否具 有奇偶性时，应首先确定其定义域关于原点是
否对称，不对称，就没有奇偶性，只有定义域对称，才能使 函数
图象关于原点或y轴对称.
(2)既是奇函数又是偶函数的函数，一定有解析式y= f (x)=0，
但它的定义域可以各色各样(必须关于原点对称)，所以不是唯一
的.解析式不为 f(x)=0的函数，不可能既是奇函数，又是偶函数.
(3)奇(偶)函数还具有以下性质：
① 两个奇(偶)函数的和(差)也是奇(偶)函数；
② 两个函数的积(商、分母恒不为0)，当其奇偶性相同时为
偶函数，当其奇偶性相反时为奇函数. 奇(偶)函数在其定义域内关于原点对称的区间上，单调性相
同(反).偶函数一般不存在反函数； 如果一个奇函数有反函
数，那么其反函数也是奇函数.
构造奇(偶)函数的简单方法：
设f(x)是定义域关于原点对称的函数，则

1
2
1
F
2
(x)=〔f(x) － f(－x)〕是奇函数.
2
F
1
(x)=〔f(x)+ f(－x)〕是偶函数，
所以f(x)总可以表示成一个偶函数与一个奇函数之和.事实上
f(x)= F
1
(x)+ F
2
(x)
怎样把握具体函数的整体性质和局部性质？
函数的单调性、奇偶性都是函数的整体性质，此外还有有界性、
连续性、可微(积)性等.
函数的局部性质主要是指函数在某点处的值. 如在x=x
0
处的值
y
0
，定义域内的最大(小)值.
例1 己知奇函数f(x)在闭区间〔3，7〕上是增函数，且最小值
是5，那f(x) 在闭区间〔－7，－3〕上是( ).
(A) 增函数且最小值是－5
(B) 增函数且最大值是－5
(C) 减函数且最小值是－5
(D) 减函数且最大值是－5
例2 已知y=f(x)在R上是偶函数，而且在(0，+∞)上是增函数，
(1)
(2)
(3)
证明y=f(x)在(－∞，0)上是减函数：
比较f(
?
)和 f(－3)的大小；
解不等式f(x)＞ f(5).
解：(1)任取x
1
、
x
2
∈(－∞，0)，且x
1
＜x
2
，

∵ f(x)为偶函数，
∴ f(－x
1
)= f(x
1
)， f(－x
2
)= f(x
2
)，
∵ x
1
＜x
2
＜0，－x
1
＞－x
2
＞0，
又f(x) 在(0，+∞)上是增函数，
∴ f(－x
1
) ＞ f(－x
2
)，即f(x
1
) ＞ f(x
2
).
∴ y=f(x)在(－∞，0)上是减函数.
(2) ∵f(x)为偶函数，∴f(－3)= f(3).
∵
?
＞3＞0，f(x) 在(0，+∞)上是增函数，
∴ f(
?
)＞f(3). 即f(
?
)＞f(－3)
(3).若x＞0，则x、5∈(0，+∞).
又 f(x) 在(0，+∞)上是增函数，而f(x)＞ f(5)
∴ x＞5.
若x＜0，则由f(x)＞ f(5)亦可得f(－x)＞ f(5).
此时－x、5∈(0，+∞). f(x) 在(0，+∞)上是增函数，
∴ － x＞5. 即 x＜－5.
故 f(x)＞ f(5)的解为x＞5或x＜－5.
2.4 反函数
一般地，如果确定函数y=f(x)的映射f是函数的定义域到值域
“上”的“一一映 射”，那么由f的“逆”映射f－
1
所确定的函
数x=f－
1
(y) 就叫做函数y=f(x)的反函数.

反函数x=f－
1
(y)的定义 域、值域分别为函数y=f(x)的值域、
定义域.
这样定义的反函数有一定的局限性，事实 上函数y=f(x)和x=f
－
1
(y)表示的是同一种关系，两者的图象是一致的， 这样，在同
一个坐标系中，如果不记住是从x到y还是从y到x，就分不清
函数的图象和它的反 函数的图象了.为此，我们按照用x表示自
变量，用y表示函数的习惯，把函数式x=f－
1< br>(y)中的字母x，y
对调一下，从而把函数y=f(x)的反函数x=f－
1
(y)改写成y=f－
1
(x).
这样函数的解析式和图象都变了，叫做矫形反函数. 在教科书中，
函数的反函数都是指它的矫形反函数.
一般地讲，偶函数一定不存在反函数，奇 函数不一定存在反
函数，如果有反函数，那么原函数y=f(x)与它的反函数是互为反
函数.
求反函数时，应先确定原函数的值域，这样，反函数的定义
域便确定了.
求反函数的步骡是“一解、二换”.
一解：即首先由给出的原函数解析式y=f(x)，反解 出用y表
示x的式子x=f－
1
(y)；
二换：即是将x=f－
1
(y)中的x，y互换，得到y=f－
1
(x).
应该注意：

(1) 在y=f(x)与x=f－
1
(y)中，字母x，y
但
所表示的量相同，
但地位不同，在y=f(x)中，x是自变量，y是x的函数；
在 x=f－
1
(y)中，y是自变量，x是y的函数.
(2) 在y=f(x)与y= f－
1
(x)中，字母x都是自变量，y是x
的函数.即x，y地位相同，但这时x与 y表示的量的
意义却互换了.
(3) 在同一直角坐标系中，y=f(x)与x=f－
1
(y)是同一图象，
而y=f(x)与y=f－
1
(x)的图象关于直线 y=x对称.
注意利用函数图象来研究函数的性质
函数图象可直观地，生动地反映函数的某 些性质，因此
研究函数性质应密切结合函数图象的特征，对应研究函数的
性质.所以要注意观察 函数图象的变化趋势，总结函数的相关
性质，同时在研究函数性质时，头脑中要有相应函数图象来
印证.因此，记住某些函数图象的草图，养成分析问题的习惯，
形成数形结合研究问题的意识.
例1. 若函数y=f(x)的反函数是y=g(x)， f(a)=b，ab≠0，则
g(b)=( ).
(A) a (B) a－
1
(C) b (D) b－
1

解：由f(a)=b，得g(b)=g〔f(a)〕，
∵ f(x)与g(x)互为反函数，

∴ g〔f(a)〕= a. ∴ g(b)=a. 故选(A).
xx?2x
，求f－
1
() .
2x2
xx?22x?2x?1
解：由f()=，得f(x)=.
?
2x2xx
例2 己知 f()=
即 y=
x
2
1
x?11
， 故 f－
1
(x)=
(y?1).
解得 x=
(x?1)
.
y?1
xx?1
即 f－
1
() =
1
x
?1
2
?
2
(x?2)
.
x?2
?
x
2
?1(x?0)，
例3 求函数
y?
?
的反函数.
?
2x?1(x?0)
解：由
y?x
2
?1(x?0)
) 解得 x
2
=y+1，
∵ x≥0，∴ x=
y?1(y??1)，

又由 y=2x－1(x＜0解得 x=
(y?1)(y??1)
.
?
x?1(x ??1)
?
x
2
?1，(x?0)
?
，
∴
y?
?
的反函数为f－
1
(x)=
?
1
< br>(x?1)(x??1)
?
2x?1(x?0)
?
?
2
1
2
例4己知(1，2)既在
y?ax?b
的图象上，又在其反函数的图< br>象上，求a
，
b的值.
解：∵ 点(1，2)既在
y?ax?b
的图象上，
∴
a?b?2，
即 a+b=4， ①
又∵ 点(1，2) 在
y?ax?b
的反函数的图象上，
∴ 点(2，1) 在
y?ax?b
的图象上.
∴
2a?b?1
，即 2a+b=1. ②

?
a??3，
由①、②联立，解得
?

b?7.
?
故 a
，
b的值分别为－3、7.
二、指数与指数函数
2.5 指 数
随着指数范围扩充，幂的运算性质可以合并和简化正整数指
数幂的运算性质：
(1)
(2)
(3)
(4)
a
m
·
a
n
=a
m+ n
(m
、
n ∈N
*
)；
(a
m
)
n
=a
mn
(m
、
n ∈N
*
)；
(ab)
n
=a
n
b
n
(n ∈N
*
)；
a
m
÷a
n
=a
m-- n
(a
≠
0 m
、
n ∈N
*
，

m＞0)；
a
n
a
n
(5) ()=
n
(b
≠
0 ，且n ∈N
*
)；
b
b
当指数的范围扩大到整数集Z之后，幂的运算性质可以合并：
(1)
′
a
m
·
a
n
=a
m+ n
(m
、
n ∈Z)；
(2)
′

(a
m
)
n
=a
mn
(m
、
n ∈Z)；
(3)
′
(ab)
n
=a
n
b
n
(n ∈Z).
注意：零指数、负整指数幂底数不能等于0.
当指数的范围扩大到有理数集Q以至实数集R，仉然符合上
述三条运算性质：
(1)
′
a
r
·
a
s
=a
r+ s
(a＞0，r
、
s ∈Q)；

(2)
′

(a
r
)
s
=a
rs
(a＞0，r
、
s ∈Q)；
(3)
′
(ab)
r
=a
r
b
r
(a＞0，b＞0，r ∈Q).
怎样证明？
设r=
m
n
，
s=，(其中m
、n互质，p
、
q互质，且n
＞
1
，
q
p
q
＞
1)
(1) a
r
·
a
s
=a< br>·
a
q
=
n
a
m
q
a
p< br>，

′
m
n
p
∴
(a
r?a
s
)
nq
?(
n
a
m
?
q
a
p
)
nq
?(
n
a
m
)nq
?(
q
a
p
)
nq

=a
mq
·
a
nq
=a
mq+nq
.
∴ a
r
·
a
s
=
nq
a
mq?np
①
又 a
rs
= a+=a
a
q
m
np
mq?np
nq
?
nq
a
mq?np
. ②
由①、②得 a
r
·
a
s
=a
r+ s
.
(2)(a
r
)
s
=
(a)?(a
m
)
q
?
q
(
n
a
m
)
p

q
′

m
n
p
p
q
mp
=
′
q
n
a
mp
?
nq
a
mp< br>?a
nq
?a
rs
.
(3) (ab)
r
=(ab)
?
n
(ab)
m
?
n
a
m< br>b
m
?
n
a
m
?
n
b
m< br>?
a
r
b
r.

71
?1
12
?1
10
?
3
例1 计算：
2?()?()?(2)?(3)
0
.
910527
1m
n
53113
??1?101?5(?)?

1243124
13
=101+5
???103.

44
解： 原式=
?100?
5
3
例2 化简：
(1?2)(1?2)(1?2)(1?2)
.
?
1
16< br>?
1
8
?
1
4
?
1
2

解：
1?2
1?2
?
1
16
1
16(1?2
1
8
?
1
16
?
)(1?2)(1? 2)(1?2)

1
8
1
4
1
2
?
1
8
?
1
4
?
1
2
?
1
1?2
?
1
16
(1?2)(1?2)
(1?2)(1?2)
1
?
1
4
?
1
4
?
12
??
??
?
1?2
?
1
1?2
?< br>1
16
(1?2)(1?2)(1?2)

?
1
2< br>?
1
2
1
?
16
(1?2)(1?2)
?< br>1
1?2
?
1
16
(1?2
?1
)?
1
2?2
15
16
.

例3 化简：
x?1x?x?1
1
3
2
3
1
3
?
2
3
x?1
x?1
1
3
1
3
?
x?x1
3
1
3
.

1
3
x?1
1
3
解： 原式=
(x?1)?(x?x?1)?x(x?1)

=
?x.

例4 计算
3
2?5?
6
9?45

解：原式=
3
2?5?
6
4?2?25?5

=
3
9
5
1
3
2?
?
21
?53
5?
.
例5 计算
(ab)?a
3
?b
2
(ab?0).

解：原式=
(ab)?a?b
例6 己知
x?x
1
2?
1
2
?
3
5
2
5
3
5?
2
5
?a
0
b
0
?1.

1
2
1
?
2
?3，求
1
2
x?x?3的值.

2?2
x?x?2
?
1
2
3
2
?
3
2
解：由
x?x?3，
得
(x?x)?9，

x?x
?1
?7.

∴
(x?x
?1
)?49，
x
2
+x
-2
=47.
x?x
3
2
?< br>3
2
?(x?x)(x?1?x
?1
)?3(7?1)?18，

1
2
?
1
2

∴ 原式=
18?3151
??.

47?2453
2.6 指数函数
在指数函数的解析式y=a
x
中，为什么规定a＞0且a≠1？
(1)如果a=0，那么当x＞0时，a
x
≡0.
当x≤0时，a
x
无意义.
(2)如果a＜0，那么对于x的某些数值，可使. a
x
无意义.
1
例如当a=－4，.且x=时，
a
x?(?4)
2
??4.
无意义.
2
1
(3)如果a= 1，那么对于任何x∈R
，
a
x
≡1.对它没有研究的必要.
在规 定了a＞0且a≠1以后，那么对于任何x∈R
，
a
x
都有意
义且a
x
＞0，因此，指数函数的定义域是R，值域是(0，+∞).要注
意指数函数的解析 式y=a
x
中a
x
的系数是1.有些函数貌似指数函
数，实际上却不 是.
例如 y=a
x+k
(a＞0且a≠1，k∈Z).
有些函数看起来不像指数函数，实际上却是.
例如 y=a
-x
(a＞0且a≠1).
它可化为 y=
(a
?1
)
x< br>?()
x
.
(a
-1
＞0且a
-1
≠1)
当x∈R，函数y=2
x
， y=2
x
+1，y=2
x+1
，y=－2
x
，y=2
-x

图象之间有什么关系？
(1) 将函数y=2
x
的图象沿y轴向上平移1个单位长度，就
1
a

得到 y=2
x
+1的图象；
(2) 将函数y=2
x
的图象沿x轴向左平移1个单位长度，就
得到 y=2
x+1
的图象；
(3) 将函数y=2
x
的图象关于x轴作 “对称变换”(即画出它
关于x轴对称的图形)就得到 y=－2
x
的图象；
(4) 将函数y=2
x
的图象关于y轴作“对称变换”(即画出它
关于y轴 对称的图形)就得到 y=2
-x
的图象；
等价化归在求解函数定义域、值域和判断函数的奇偶性、单
调性中的作用：
等价化归很讲究技巧，要通过经常认真的训练才能获得.
a
x
?1
例1 己知函数
f(x)?
x
(a?0且a?1)
.
a?1
(1) 判断函数f(x)的奇偶性；
(2) 求函数的值域.
a
x
?1a
?x
?1
解：
f(x)?f(?x)?
x
?
?x

a?1a?1
a
x
?1a
x(a
?x
?1)
a
x
?1?a
x
?1
??0
=
x
?
x?x
=
a?1a(a?1)
a< br>x
?1a
x
?1
故 f(x)= －f(－x)，即f(x)为奇函数.
a
x
?1a
x
?1?22< br>?1?
x
.
f(x)=
x
?
x
a?1a? 1a?1

22
?2，?2???0

a
x
?1a
x
?1
2
－1＜1－
x
?1
. f(x)∈(－1，1).
a?1
∴ a
x
＞0，
0?
添加辅助元素(线、角、辅助函数)
例2 己知x，y ∈R，且2
x
+3
y
＞2
-x
+3
- y
，求证：x+y＞0.
这个不等式两边都含有x，y两个变量，而学生目前只学习一
元函数，为此先把它化归成等价形式
2
x
－3
-x
＞2
-y
－3
y
，
使它两边都只含一个变量，于是可构造一个辅助函数：
f(x)= 2
x
－3
-x

由于指数函数2
x
是增函 数，3
-x
=(
)
x
是减函数，－3
-x

是增函数，因此，f(x)= 2
x
－3
-x
是增函数
因 2
x
－3
-x
＞2
-y
－3
y
=2-y
－3
-(-y)
，
可知 f(x) ＞ f(－y) ，
即 x＞－y. ∴ x+y＞0 .
把条件不等式化归成与它等价的不等式，也是 “化归”思想
的运用.而构造辅助函数在完成证明的过程起了重要的作用.
例3 设
F(x)?(1?
零，则f(x)是( ).
(A)奇函数 (B)偶函数
(C)可能是奇函数，也可能是偶函数
2
)?f(x)
(x ≠0)是偶函数.且f(x)不恒等于
x
2?1
1
3

(D)不是奇函数，也不是偶函数
22?2
x
2?2
x
2
?1?
解：令
g(x)?1?
x
，

g(?x)?1?
?x
?1?

xx
2?1
2?1 1?21?2
g(x)+g(－x)=2+
2(1?2
x
)
2
x
?1
?2?2?0
.
∴ g(x)为奇函数.
又 F(x)= f(x) g(x)为偶函数，∴f(x)为奇函数.选(A).
例4 求函数
y?3
?x
2
?2x?3
的定义域和值域.
解 ∵
?x
2
?2x?3?0，解得?1?x?3.

故 函数的定义域为〔－1，3〕.

u??x
2
?2x?3??(x?1)
2
?4

当x∈〔－1，3〕，u. ∈〔0，2〕.
又 y=3
x
为增函数，∴
1?y?9.

故函数值域为〔1，9〕.
例5 求函数
y?(
1
)
x
2
?2x?1
3
的值域及单调区间.
解：设
u?x
2
?2x?1?(x?1)
2
?2，

u??2.

而
(
1
)
u
为减函数，< br>0?y?(
1
33
)
?2
?9

∴ 函数< br>y?(
1
)
x
2
?2x?1
3
的值域为〔0 ，9〕.
U的单调增区间为〔1，＋∞〕，单调减区间为(－∞，1).
故
y?(
1
x
2
?2
3
)
x?1
的单调增区间为( －∞，1)，单调减区间是 〔1，＋
∞〕.

10
x
?10
?x
，
例6 己知f(x)=
x
求f(x)的定义城、值域，并判定f(x)的奇偶
?x
10?10
性、单调性.
解：(1) ∵
10
x
?10
?x
?0，
∴ 函数定义域为(－∞，－∞).
10
x
?10
?x
10
2 x
?12
??1?
(2)又 y=
x

?x2x2x
10?1010?110?1
∵
10
2x
?0，
∴
10
2x
?1?1，

0?
1?1?
2
10?1
2x
1
10
2x
?1
?1.

?2
?
?2
?0
，
2x
10?1

?0，
∴函数的值域为(－1，1).
10
?2x
?11?10< br>2x
10
2x
?1
??
2x
??
f(x). (3) f(－x)=
?2x
?
10?11?10
2x
10?1
∴ f(x)为奇函数.
(4)设x
1
＞x
2
， x
1
、
x
2
∈(－∞，－∞).
10
2x
?110
2x
2
?12(10
2x
1
?10
2x
2
)
则 f(x
1
) － f(x
2
) =
2x
1
?
2x
2

?
2x
1< br>2x
2
10?110?1(10?1)(10?1)
∵
x
1
?x
2，，
∴
2x
1
?2x
2
，∴
10
2x
?10
2x
.
12
10
2x< br>1
?1?0
，
10
2x
2
?1?0
， ∴ f(x
1
) ＞ f(x
2
).
10
x
?10
?x
故函数f(x)=
x
为增函数.
10?10
?x
例7 若
(a?1)
x
2
?2?(a?1)
3x
(a??1且a?0)

求x的取值范围.
解：当
a?1?1
，

即
a?0，x
2
?2?3x，x
2
?3x?2?0，解得x?1或x?2.

当
0?a?1?1，
即
?1?a?0，x
2
?3x?2?0，解得1?x?2.

即当a＞0时，x≥2或x
≤
1.
当1＜a＜0时，1
≤
x
≤
2.
注意：对指数的底含字母参量的问题，一定要对底的取值分
情况讨论.
我们应按教学 大纲的要求，把数学思想渗透到整个教学过程
中.所谓数学思想，是指现实世界的空间形式和数量关系反 映到人
们的意识之中，经过思维活动 而 产生的结果，数学思想是对数
学事实与理论经过概括 后产生的本质的认识，基本数学思想则是
体现或应该体现于基础教学中的具有奠基性、总结性和最广泛应
用性的数学思想，它含有传统数学思想的精华和现代数学思想的
基本特征，并且是历史地发展着 的.
“数学思想”比一般说的“数学概念”是具有更高的抽象概
括水平，“数学概念”比“数 学思想”更具体、更丰富，而“数学
思想”比“数学概念”更本质、更深刻.数学思想是与其相应的数< br>学方法的精神实质与理论基础.“数学方法”则是实施有关数学思
想的技术手段与操作程式，中学 数学中用到的各种数学方法都体
现著一定的数学思想.
数学思想属于科学思想，但科学思想未 必就是数学思想，有

的“哲学思想”(例如“一分为二”的思想和转化思想)和逻辑思想
(例如归纳思想)，由于其在数学中的运用而被“数学化”了，也可
称之为数学思想.
基本数学思想包括：符号与变元表示的思想、集合思想、对
应思想、公理化与结构的思想、数形结合思 想、化归思想、函数
与方程的思想、整体思想、极限思想、抽样统计思想等.当我们按
照空间形 式和数量关系将研究的对象进行分类时，把分类思想也
看作基本数学思想.
基本数学思想有两 大基石——符号与变元表示的思想和集合
思想，又有两大支柱——对应思想和公理化与结构思想，基本数
学思想及其衍生的其他数学思想，形成了一个结构性很强的网络.
数学中渗透著基本数学思想 ，它们是基础知识的灵魂，如果
能使它们落实到学生学习和应用数学的思维活动上，就能在发展
他们的数学能力方面发挥出一种方法论的功能，这对于他们学习
数学，发展能力、开发智力都是至关重要 的.
三、对数与对数函数
2.7 对数
“对数”几年前由初中移到高中，大多数老师都很熟悉，
为什么说求对数运算与求指数幂运算具有互逆关系？
2的4次幂等于16，记作2
4
=16.

16是2的4次幂，2是底数，4是指数.
相反的问题：2的多少次幂等于1 6？为了表示16是2的多少
次幂，我们采用了式子log
2
16=4，这里4叫做以 2为底16的对数.2
仍然是底数，16叫做真数.
一般地，如果a(a＞0且a
≠
1)b的次幂等于N(即a
b
=N) 数b
就叫以a为底N的对数，记作log
a
N=b.其中a叫做对数的底数，N
叫做真数.
在实数集R内，正数的任何次幂都是正数.
在式子a
b
=N 中，因为a是不等于1的正数，所以对于任意一
个实数b，N总是正数，也就是说，0与负数都没有对数 .
本章对数式中的字母，如果不加特殊说明，底数都是不等于
1的正数，真数都是正数. < br>指数式a
b
=N中，底数、指数、幂与对数式log
a
N=b中的底数 、
对数、真数的关系，可以表示如下：
｜—————指数 对数——————｜
︱————幂 ｜ 真数————︱
a
b
=N ｜ logaN=b.
︱———————底数——————︱
如果把a
b
=N 中的写成log
a
N，就有a
logaN
=N，这是对数恒等
式.

例如 2
4
=16，log
2
16=4，∴ 2
log
2
16
=16.
对数的运算性质：
如果，a＞0，a≠1，M＞0，N＞0，那么
(1)
(2)
(3)
log
a
(MN)=log
a
M+log
a
N < br>log
a
M
?
log
a
M－log
a
N
N
log
a
M
n
=nlog
a
M (n∈R)
怎样用文字语言来描述？
(1) 两个正数的积的对数，等于同一底数的这两个数的对数
的和；
(2) 两个正数的商的对数，等于同一底数的这两个数的对数
的级；
(3) 一个正数的任意实数幂的对数，等于这个幂的底数的对
数乘以幂指数.
怎样使学生理解证明对 数运算性质log
a
(MN)=log
a
M+log
a
N的
思路？
先要弄清条件与结论，即
己知log
a
M、log
a
N，求log
a
(MN).
还要明确a＞0，a≠1，且M＞0，N＞0.
因为求对数是求幂指数的逆运算，为了利用幂 的运算性质，
所以设log
a
M=p
，
log
a
N =q

然后转化成指数式M=a
p
，N=a
q
，于是
MN= a
p
a
q
= a
p+q
.
重新转化为对数式log
a
(MN)=p+q.
把所设代换便可得证：log
a
(MN)= log
a
M+log
a
N.
另法：MN= a
logaM
a
logaN.
=a
logaM+logaN.
，
由定义 log
a
(MN)= log
a
M+log
a
N.
关于对数换底公式，未出现于教材正文 ，但习题2.8中出现，
可通过实例来研究：当一个对数式的底改变时，整个对数式会发
生什么 变化？
例如 求log
3
5，
设log
3
5=x，改写成指数式，得 3
x
=5.
在等式两边同时取以a(a＞0且a
≠
1)为底的对数，得
log
a
3
x
=log
a
5， 即 xlog
a
3=log
a
5.
∴ x=
loga
5log
a
5
，?log
3
?

l og
a
3log
a
3.
在这个等式中，左边对数式的底数为3，如果 将3变为a，那
么这个对数式变为等式右边的式子.
一般地，我们有下面的换底公式：

log
b
N?
log
a
N
.
log
a
b

以下给出两种证明方法：
证法一：设log
b
N=x，化为指数式，得b
x
=N.
在这个指数式两边同时取以a为底的对数，
得
log
a
b
x
?log
a
N，
即
xlog
a
b?log
a
N
.
∴
x?
log
a
N
log
a
b
. 即 log
b
N=
log
b
N?
log
a
N< br>.
log
a
b

log
a
N
.
log
a
b
证法二：要证
只须证
log
b
N?log
a
b?log
a
N.
①
由运算性质(3)，只须证
log
a
b
log
但
b
log
b
b
N
?log
a
N
. ②
N
?N
， 故log
a
N=log
a
N成立. < br>对数换底公式的意义是把一个对数式的底数，换成另外的数
(大于0且不等于1).这在对数式的 恒等变形或计算求值中有重要
作用.对数换底公式按大纲的要求，不需记忆，只供学生学习时参
考.
2.7 对数函数
关于对数函数可与指数函数联系、比较，使学生更易掌握，
对数函数的反函数是指数函数，所以，要利用指数函数的性质来
研究对数函数，应该让学生注意到：
(1) 两种函数都要求底数大于0且不等于1.

(2) 定义域与值域 < br>对数函数的定义域为(0，+∞)，结合图象，对数函数在y轴
左侧没有图象，即负数没有对数， 零也没有对数，也就是真数必
须大于0.这个知识可以用来求含有对数的函数的定义域(比前面
求定义域的准则扩充了).
(3) 通过将对数函数及指数函数的图象进行对比，可以发现：
当a
＞
1或0＜a＜1时，对数函数与指数函数的单调性是一致的.(即
在区间(0， +∞)上，同时为增函数或同时为减函数)
(4)对数函数的图象都经过点(1，0)，这与性质lo g
a
1=0
?
a
0
=1.
(5)对数函数
y?log
a
x
与指数函数
y?a
x
互为反函数，那么它 们
的图象关于直线y=x对称.
(5) 通过对底数a的取值进们分类讨论，研究对数函数
的性质，包括函数值大小的比较也是一个课题.
例1 求值：①
81
解：①
81
1
log
3
7
2
1
log
3
7
2
；②
5
2 log
?15log
5
1?log
3
.
5
19
?3
5
1
4?log
3
7
2
?3< br>log
3
7
2
?49
.
② 原式=
5log9
?15?0?log
3
3
?2
?9?2?7
.
例2 求值：
?
?
1?log
6
3
?2
?log
6
2?log
6
18
?
?log< br>6
4.

解：原式=
?
?
log
6
6?log
6
3
?
2
?log
6
2?
log
6
2?log
6
9
?
?
?l og
6
2
2

=
?
?
l og
6
2
?
2
?
?
log
6
2< br>?
2
?log
6
2
?
2log
6
3
?
?
?2log
6
2

=
?
2
?
log
6
2
?
2
?2l og
6
2
?
log
6
3
?
?
?2 log
6
2

=
log
6
2?log
6
3?1.

例3 设lg
?
x?y
?
?lg
?
x?2y
?
?lg2?lgx?lgy，求
x
y
的值.

解：由己知
l g
?
x?y
??
x?2y
?
?lg2xy，

∴
?
x?y
??
x?2y
?
?2xy.

即
x
2
?xy?2?0.

?
x
?
2

?
?
?
y< br>?
?
?
?
x
y
?2?0.

解之， 得
x
?2或
x
yy
??1.
?
x?0，y?0，舍 去
?

∴
x
y
?2.

例4 求下列函数的定义域：
①
y?
x
2
?5x?6
lg
?
4x?x
2
?
；
②
y?log
?
x ?2
?
2x
2
?3x?2.

?
x
2
?5x?6?0，
?
解：①
?
?
4x?x
2
?0，?
?
x?2或x?3，
0?x?4，
?
?
?
4x?x
2
?1
?
?
x?2?3.
∴ 定义域为(0，2－
3
) ∪(2－
3
，2)∪ 〔3，2+
3
〕∪
(2+
3
，4).

?< br>2
1
?
x??或x?2，
?
?
2x?3x?2?0，
2
?
②
?
x?2?0，?x??2，

?
?
?
?
x?2?1.x??1
?
?
?
?
故 所求函数的定义域为(－2，－1) ∪( －1，－) ∪(2，
+∞).
例5 己知f(x)=
2
x
解：设 y=
2
x
2
2
1
2
?2x?3
(x≥1)，求f(x)的反函数，并计算f
－
1
(4).
?2x?3
(y≥4)，
则
x
2
?2x?3?log
2
y，

?
x?1
?
2
?log
2
y?2

∴
x?1?log
2
y?2.

∵ x≥1， ∴
f
?1
(x)?1?log
2
x?2(x?4)
，
∴
f
?1
(4)?1?log
2
?2?1.

另法：
f
?1
(4)?a，则f(a)?4，2
a
2
?2a?3

?2
2
，
∴
a
2
?2a? 2，即(a?1)
2
?0，
∴ a =1.从而f
－
1
(4)=1.
例6 求下列函数的值域和单调区间：
①
y?log
1
(x
2
?2x)；

2
②
y?log
a
(x?2?2)
.
解：①由
x
2
?2x?0，得x?0或x??2，

又设u(x)=
x
2
?2x(x?0或x??2)，化为y?log
1
u，

2
∵ u(x)在(0，+∞)为增函数，在(－∞，－2)上为减函数

而
y?log
1
u
为减函数，
2故
y?log
1
(x
2
?2)
的单调减区间是(0，+ ∞).
2
单调减区间是(－∞，－2).
故< br>y?log
1
(x
2
?2)
的值域为(－∞，+∞)
2
②设u(x)=
x?2?2，
则u(x)≥2.
当a＞1时，函数值域为〔log
a
2，+∞〕.
又u(x)在〔2，+∞〕上为增函数，在. (－∞，－2)上为减函
数，而
y?l og
a
u
在定义域上为增函数..
故当a＞1时，. y=(
lo g
a
(x?2?2)
的单调增区问为〔2，+∞〕，
单调减区间为(－∞，－ 2).
当0＜a＜1时，函数值域为(－∞，log
a
2).
而u(x) 单调区间不变，故当0＜a＜1时，y=(
log
a
(x?2?2)
的
单调减区间为〔2，+∞〕，单调增区间为(－∞，－2).
(b?0且b?1)
例7 己知
f(x)?log
b
(x?x
2
?2)
的反函数为f
?1
(x)，
求反函数
f
?1
(x)，并指出它的定 义域.
?
x?x
2
?2?0，
解：由
?
中的不等式②得
2
x?2?0
?
x?2或x??2，
而当
x??2
时，
x?x
2
?2?0，

故函数的定义域为〔2，+∞〕
令
y?log
b
(x?x
2
?2)，得b
y
?x?x
2
?2.

b
2y
?2b
2x
?2
?1
，?f(x)?.
解得
x?
yx
2b2b
又
x?
?
2，
< br>??
?
时，u(x)?x?x
2
?2为增函数，
?u(x)? 2，

b
2x
?2
(x?log
b
2)
， ∴当b＞1时，反函数为
f(x)?
x
2b
?1
b
2x?2
f(x)?(x?log
b
2)
x
当0＜b＜1时，反函数为.
2b
?1
例8 己知正整数a
，
b
，
c(a
≤
b
≤
c) 与非零实数x
，
y
，
z
，
w，满足
关系式
a
x
?b
y
?c
z
?30
w
，且?
求a
，
b
，
c的值.
解：由
a
x
?3 0
w
，可知(a)
1
w
1
y
1
w
1
x
wx
1
x
111
??，

yzw
?(30)，即a?30
，
x
1
w
wx< br>1
w
1
同理可得
b
?30，c?30，

相乘，得
(abc)?30
∴ abc=30.
由1
≤
a
≤
b
≤
c，可分三种情况：
(1) 如果a=1，那么
a
x
?30
w
得30
w
?1，w?0.舍去

(2)如果a=2，那么 bc=15，所以b=3，c=5.
(3)如果a＞2，那么由3
3
=27，3
2
×4＞30及3×4< br>2
＞30.
知 abc=30无正整数解.
1
w
111
??
xyz
1
z

?30，
1
w

综上可知 a=2，b=3，c=5.
别解：用对数，
a
x
?30
w
，两边取对数
.
得 xlga=wlg30， 即
同理
?
又
即
1
y
wlga11lga
?
.
?
，
xlg30
xwlg30
1lgb11lgc
，?

wlg 30zwlg30.
11111lgalgblgc1
???，??)?.
∴
(
xyzwwlg30lg30lg30w
lgalgblgc
???1.< br> ∴ lg(abc)=lg30.
lg30lg30lg30
故 abc=30 .以下同前解法.
对底数的分类讨论应通过训练，让学生切实掌握.
1
2
例9 己知
log
2
x?log
3
y ?log
4
z?log
5
w，
请把
x，y，z，w按照由小到
大的顺序排列起来.
解：可设
log
2
x?log3
y?log
4
z?log
5
w?k，

则< br>x?2
k
，y?3
k
，z?4
k
，w?5
k
.

所以
x?2，y?3，z?4?2?x
，
w?5.

(1) 当0＜x＜1，0＜
x
＜1，即0＜
2
＜1，∴k＜0.
(2) 由科学计算器可得
2?
3
3，2?
5
5，
又 k＜0.
于是
2?(2)?
k
2
k
5
12
k
2
1
3
k
3
1
4
k4
k
2
1
2
1
3
1
4
15
1
5
k
5
k
2
k
2
12
k
1
(2)
k
?
1
(3)
3
k
?(3)?3，

1
3
k
k
3
同理可证：
2?5，

∴
y?x?z?w.

(2)当x=1，y=z=w=1， 即
2?y?z?w
.
(3) 当x＞1时，
x
＞1，即
2
＞1，∴k＞0.
仿(1)可由
2?3
知
2?3，

由
5?2知5?2，

∴
y?x?z?w.

1
3
1
2
1
4
1
5
1
2
1
3
1
4
1
5
1
3
1
2
1
4
1
5
k
2
1
2
1
3
k
2
k
3
1
5
1
2
k
5
k
2