(2019新教材)人教A版高中数学必修第二册全册学案

（2019新教材）人教A版高中数学必修第二册全册学案

6．1 平面向量的概念

考点
平面向量的相关概念
学习目标
了解平面向量的实际背景，理解平面向量
的相关概念
掌握向量的表示方法，理解向量的模的概
念
理解两个向量相等的含义以及共线向量
的概念
核心素养
数学抽象
平面向量的几何表示 数学抽象
相等向量与共线向量 数学抽象、逻辑推理

问题导学
预习教材P2－P4的内容，思考以下问题：
1．向量是如何定义的？向量与数量有什么区别？
2．怎样表示向量？向量的相关概念有哪些？
3．两个向量(向量的模)能否比较大小？
→→
4．如何判断相等向量或共线向量？向量AB与向量BA是相等向量吗？

1．向量的概念及表示
(1)概念：既有大小又有方向的量．
(2)有向线段
①定义：具有方向的线段．
②三个要素：起点、方向、长度．
③表示：在有向线段 的终点处画上箭头表示它的方向．以A为起点、B为终点的有向线段
→
记作AB．
→→
④长度：线段AB的长度也叫做有向线段AB的长度，记作|AB|.
(3)向量的表示


- 1 -

■名师点拨
(1)判断一个量是否为向量，就要看它是否具备大小和方向两个因素． →
(2)用有向线段表示向量时，要注意AB的方向是由点A指向点B，点A是向量的起点，点B是向量的终点．
2．向量的有关概念
→→→
(1)向量的模(长度)：向量 AB的大小，称为向量AB的长度(或称模)，记作|AB|．
(2)零向量：长度为0的向量，记作0.
(3)单位向量：长度等于1个单位长度的向量．
3．两个向量间的关系
(1)平行向量：方向相同或相反的非零向量，也叫做共线向量．若a ，b是平行向量，记作
a∥b.
规定：零向量与任意向量平行，即对任意向量a，都有0∥a．
(2)相等向量：长度相等且方向相同的向量，若a，b是相等向量，记作a＝b.
■名师点拨
(1)平行向量也称为共线向量，两个概念没有区别．
(2)共线向量所在直线可以平行，与平面几何中的共线不同．
(3)平行向量可以共线，与平面几何中的直线平行不同．

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个向量，长度大的向量较大．( )
(2)如果两个向量共线，那么其方向相同．( )
(3)向量的模是一个正实数．( )
(4)向量就是有向线段．( )
→→
(5)向量AB与向量BA是相等向量．( )
(6)两个向量平行时，表示向量的有向线段所在的直线一定平行．( )
(7)零向量是最小的向量．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)× (6)× (7)×
已知向量a如图所示，下列说法不正确的是( )

→
A．也可以用MN表示
C．起点是M
答案：D
B．方向是由M指向N
D．终点是M

- 2 -

→
已知点O固定，且|OA|＝2，则A点构成的图形是( )
A．一个点
C．一个圆
答案：C
→
如图，四边形ABCD和ABDE都是平行四边形，则与ED相等的向量有________．
B．一条直线
D．不能确定

→→
答案：AB，DC


向量的相关概念
给出下列命题：
→→
①若AB＝DC，则A，B，C，D四点是平行四边形的四个顶点；
→→
②在?ABCD中，一定有AB＝DC；
③若a＝b，b＝c，则a＝c.
其中所有正确命题的序号为________．
→→
【解析】 AB＝DC，A，B ，C，D四点可能在同一条直线上，故①不正确；在?ABCD中，
→→→→→→
|AB|＝| DC|，AB与DC平行且方向相同，故AB＝DC，故②正确；a＝b，则|a|＝|b|，且a与b的
方向相同；b＝c，则|b|＝|c|，且b与c的方向相同，则a与c长度相等且方向相同，故a＝c，故③正确．
【答案】 ②③

(1)判断一个量是否为向量的两个关键条件
①有大小；②有方向．两个条件缺一不可．
(2)理解零向量和单位向量应注意的问题
①零向量的方向是任意的，所有的零向量都相等；
②单位向量不一定相等，易忽略向量的方向．

1．下列说法中正确的是( )
A．数量可以比较大小，向量也可以比较大小
B．方向不同的向量不能比较大小，但同向的向量可以比较大小

- 3 -

C．向量的大小与方向有关
D．向量的模可以比较大小
解析：选D.不管向量的方向如何，它们都不能比较大小，故A，B不正确；向量的大小
即为向量的模， 指的是有向线段的长度，与方向无关，故C不正确；向量的模是一个数量，
可以比较大小．故D正确．
2．下列说法正确的是( )
→→→→
A．向量AB∥CD就是AB所在的直线平行于CD所在的直线
B．长度相等的向量叫做相等向量
C．零向量与任一向量平行
D．共线向量是在一条直线上的向量
→→→→
解析：选C.向量AB∥CD包含AB 所在的直线与CD所在的直线平行和重合两种情况，故A
错；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相 同，故B错；C显然正确；共线向量可以是
在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，故 D错．

向量的表示
在如图所示的坐标纸上(每个小方格的边长为1)，用直尺和圆规画出下列向量：

→→
(1)OA，使|OA|＝42，点A在点O北偏东45°方向上；
→→
(2)AB，使|AB|＝4，点B在点A正东方向上；
→→
(3)BC，使|BC|＝6，点C在点B北偏东30°方向上．
【解】 (1 )由于点A在点O北偏东45°方向上，所以在坐标纸上点A距点O的横向小
→
方格数与纵向小 方格数相等．又|OA|＝42，小方格的边长为1，所以点A距点O的横向小方
→
格数与纵向 小方格数都为4，于是点A的位置可以确定，画出向量OA，如图所示．
→
(2)由于点B在 点A正东方向上，且|AB|＝4，所以在坐标纸上点B距点A的横向小方格数
→
为4，纵向小 方格数为0，于是点B的位置可以确定，画出向量AB，如图所示．
→
(3)由于点C在点B 北偏东30°方向上，且|BC|＝6，依据勾股定理可得，在坐标纸上点C
距点B的横向小方格数为3 ，纵向小方格数为33≈5.2，于是点C的位置可以确定，画出向

- 4 -

→
量BC，如图所示．


用有向线段表示向量的步骤

已知飞机从A地按北偏东30°的方向飞行2 000 km到达B地，再从B
地按南偏东30°的方向飞行 2 000 km到达C地，再从C地按西南方向飞行1 0002 km 到
达D地．
→→→→
(1)作出向量AB，BC，CD，DA；
(2)问D地在A地的什么方向？D地距A地多远？
→→→→
解：(1)由题意，作出向量AB，BC，CD，DA，如图所示．

(2)依题意知，三角形ABC为正三角形，所以AC＝2 000 km.又因为∠ACD＝45°，CD＝
1 0002，所以△ACD为等腰直角三角形，即AD＝1 0002 km，∠CAD＝45°，所以D地在
A地的东南方向，距A地1 0002 km.

共线向量与相等向量
→→
如图所示，O是正六边形ABCDEF的中心，且OA＝a，OB＝b，在每两点所确定
的向量中．

- 5 -

(1)与a的长度相等、方向相反的向量有哪些？
(2)与a共线的向量有哪些？
→→→→
【解】 (1)与a的长度相等、方向相反的向量有OD，BC，AO，FE. →→→→→→→→→
(2)与a共线的向量有EF，BC，OD，FE，CB，DO，AO，DA， AD.

→
1．[变条件、变问法]本例中若OC＝c，其他条件不变，试分别写出 与a，b，c相等的向量．
→→→→→→
解：与a相等的向量有EF，DO，CB；与b相等 的向量有DC，EO，FA；与c相等的向量
→→→
有FO，ED，AB.
→
2．[变问法]本例条件不变，与AD共线的向量有哪些？
→→→→→→→→→→
解：与AD共线的向量有EF，BC，OD，FE，CB，DO，AO，DA，OA.

共线向量与相等向量的判断
(1)如果两个向量所在的直线平行或重合，那么这两个向量是共线向量．
(2)共线向量不一定是相等向量，但相等向量一定是共线向量．
(3)非零向量的共线具有 传递性，即向量a，b，c为非零向量，若a∥b，b∥c，则可推出
a∥c.
[注意] 对于共线向量所在直线的位置关系的判断，要注意直线平行或重合两种情况．

→→→
1．已知向量AB与向量BC共线，下列关于向量AC的说法中，正确的为( )
→→
A．向量AC与向量AB一定同向
→→→
B．向量AC，向量AB，向量BC一定共线
→→
C．向量AC与向量BC一定相等
D．以上说法都不正确
→→→解析：选B.根据共线向量的定义，可知AB，BC，AC这三个向量一定为共线向量，故选
B.
2．如图，四边形ABCD和BCED都是平行四边形，在每两点所确定的向量中：

- 6 -

→
(1)写出与BC相等的向量；
→
(2)写出与BC共线的向量．
解：(1)因为四边形ABCD和BCED都是平 行四边形，所以BC∥AD∥DE，BC＝AD＝DE，
→→→→→→
所以BC＝AD＝DE. 故与BC相等的向量为AD，DE.
→→→→→→→→
(2)与BC共线的向量共有7个，分 别是AD，DE，DA，ED，AE，EA，CB.

→
1.如图，在?ABCD中 ，点E，F分别是AB，CD的中点，图中与AE平行的向量的个数为( )
A．1
C．3
B．2
D．4
→→→→
解析：选C.图中与AE平行的向量为BE，FD，FC共3个．
2．下列结论中正确的是( )
①若a∥b且|a|＝|b|，则a＝b；
②若a＝b，则a∥b且|a|＝|b|；
③若a与b方向相同且|a|＝|b|，则a＝b；
④若a≠b，则a与b方向相反且|a|≠|b|.
A．①③
C．③④
B．②③
D．②④
解析：选B.两个向量相等需同向等长 ，反之也成立，故①错误，a，b可能反向；②③正
确；④两向量不相等，可能是不同向或者长度不相等 或者不同向且长度不相等．
3．已知O是正方形ABCD对角线的交点，在以O，A，B，C，D这5 点中任意一点为起
点，另一点为终点的所有向量中，写出：
→
(1)与BC相等的向量；
→
(2)与OB长度相等的向量；
→
(3)与DA共线的向量．
解：画出图形，如图所示．
(1)易知BC∥AD，BC＝AD，

- 7 -

→→
所以与BC相等的向量为AD.
(2)由O是正方形ABCD对角线的交点知OB＝OD＝OA＝OC，
→→→→→→→→
所以与OB长度相等的向量为BO，OC，CO，OA，AO，OD，DO.
→→→→
(3)与DA共线的向量为AD，BC，CB.
[A 基础达标]
1．下列命题中，正确命题的个数是( )
①单位向量都共线；
②长度相等的向量都相等；
③共线的单位向量必相等；
a
④与非零向量a共线的单位向量是.
|a|
A．3
C．1
B．2
D．0
解析：选D.根据单位向量的定义，可知①② ③明显是错误的；对于④，与非零向量a共
aa
线的单位向量是或－，故④也是错误的．
|a||a|
2．下列说法正确的是( )
A．若a与b平行，b与c平行，则a与c一定平行
B．终点相同的两个向量不共线
C．若|a|>|b|，则a>b
D．单位向量的长度为1
解析：选D.A中，因 为零向量与任意向量平行，若b＝0，则a与c不一定平行．B中，
两向量终点相同，若夹角是0°或1 80°，则共线．C中，向量是既有大小，又有方向的量，
不可以比较大小．
3．如图，在正六边形ABCDEF中，点O为其中心，则下列判断错误的是( )

→→
＝OC
→→
C．|AD|＝|BE|
→→
∥DE
→→
＝FC
→→→→→→
解析：选D.由题 图可知，|AD|＝|FC|，但AD、FC的方向不同，故AD≠FC，故选D.

- 8 -

→→→
4．设O是△ABC的外心，则AO，BO，CO是( )
A．相等向量
C．平行向量
B．模相等的向量
D．起点相同的向量
解析：选B.因为三角形的外心是三角形外接圆的圆心，所以点O到三个 顶点A，B，C的
→→→
距离相等，所以AO，BO，CO是模相等的向量．
5．若 a是任一非零向量，b是单位向量，下列各式：①|a|>|b|；②a∥b；③|a|>0；④|b|＝
a
±1；⑤＝b，其中正确的有( )
|a|
A．①④⑤
C．①②③⑤
B．③
D．②③⑤
解析：选B.①|a|>|b|不 正确，a是任一非零向量，模长是任意的，故不正确；②不一定有
a∥b，故不正确；③向量的模长是非 负数，而向量a是非零向量，故|a|>0正确；④|b|＝1，故
a
④不正确；⑤是与a同向 的单位向量，不一定与b同向，故不正确．
|a|
→
6．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，O为其中心，则|OA|＝________．

→
解析：因为正方形的对角线长为22，所以|OA|＝2.
答案：2
→
7．如果在一个边长为5的正△ABC中，一个向量所对应的有向线段为AD(其中D在边BC
→
上运动)，则向量AD长度的最小值为________．
解析：根据题意，在正△ABC 中，有向线段AD的长度最小时，AD应与边BC垂直，有
53
向线段AD长度的最小值为正△ ABC的高，为.
2
53
答案：
2
→→
8．已知A，B ，C是不共线的三点，向量m与向量AB是平行向量，与BC是共线向量，则
m＝________．
解析：因为A，B，C不共线，
→→
所以AB与BC不共线．
→→
又m与AB，BC都共线，

- 9 -

所以m＝0.
答案：0
9.在平行四边形ABCD中，E，F分别为边AD，BC的中点，如图．
→
(1)在每两点所确定的向量中，写出与向量FC共线的向量；
→→
(2)求证：BE＝FD.
→→→→→→→
解：(1)由共线向量满足 的条件得与向量FC共线的向量有：CF，BC，CB，BF，FB，ED，
→→→→→
DE， AE，EA，AD，DA.
(2)证明：在?ABCD中，AD綊BC.
又E，F分别为AD，BC的中点，
所以ED綊BF，
所以四边形BFDE是平行四边形，
所以BE綊FD，
→→
所以BE＝FD.
→→→→
10．已知在四边形ABCD中，AB∥C D，求AD与BC分别满足什么条件时，四边形ABCD
满足下列情况．
(1)四边形ABCD是等腰梯形；
(2)四边形ABCD是平行四边形．
→→→→
解：(1)|AD|＝|BC|，且AD与BC不平行．
→→
因为 AB∥CD，所以四边形ABCD为梯形或平行四边形．若四边形ABCD为等腰梯形，则
→→
|AD|＝|BC|，同时两向量不平行．
→→→→
(2)AD＝BC(或AD∥BC)．
→→
若AD＝BC，即四边形的一组对边平行且相等，此时四边形ABCD为平行四边形．
[B 能力提升]
11．在菱形ABCD中，∠DAB＝120°，则以下说法错误的是 ( )
→→
A．与AB相等的向量只有一个(不含AB)
→→
B．与AB的模相等的向量有9个(不含AB)
→→
C．BD的模恰为DA模的3倍
→→
D．CB与DA不共线
解析：选D.两向量相等要求长度(模)相等，方向相同．两向量共线只要求方向相同或相反．D

- 10 -

→→
中CB，DA所在直线平行，向量方向相同，故共线．
12.如图，等腰梯形A BCD中，对角线AC与BD交于点P，点E，F
分别在腰AD，BC上，EF过点P，且EF∥AB， 则( )
→→
＝BC
→→
＝PF
→→
＝BD
→→
＝PF
→→→→→→→
解析：选D.由 平面几何知识知，AD与BC方向不同，故AD≠BC；AC与BD方向不同，故AC
→→→→→→→→ →
≠BD；PE与PF的模相等而方向相反，故PE≠PF；EP与PF的模相等且方向相同，所以EP ＝PF.
→→
13．如图，在△ABC中，∠ACB的平分线CD交AB于点D.若AC的模 为2，BC的模为3，
→→
AD的模为1，则DB的模为________．

解析：如图，延长CD，过点A作BC的平行线交CD的延长线于点E.
因为∠ACD＝∠BCD＝∠AED，
→→
所以|AC|＝|AE|.
因为△ADE∽△BDC，
→→→
|AD||AE||AC|
→
3
所以＝＝，故|DB|＝.
2
→
||
→
||
→
||
DBBCBC3
答案：
2
14．某人从A点出发向东走了5米到达B点，然后改变方向沿东北 方向走了102米到达
C点，到达C点后又改变方向向西走了10米到达D点．
→→→
(1)作出向量AB，BC，CD；
→
(2)求向量AD的模．
→→→
解：(1)作出向量AB，BC，CD，
如图所示．

(2)由题意得，

- 11 -

△BCD是 直角三角形，其中∠BDC＝90°，BC＝102米，CD＝10米，所以BD＝10
米．△ABD是 直角三角形，其中∠ABD＝90°，AB＝5米，BD＝10米，所以AD＝5
2
＋102
＝
55(米)．
→
所以|AD|＝55.
[C 拓展探究]
15．如图，A
1
，A
2
，…，A
8
是⊙O上的八个等分点，则在以A
1
，A
2
，…，A
8
及圆 心O九
个点中任意两点为起点与终点的向量中，模等于半径的向量有多少个？模等于半径的2倍的
向量有多少个？

→→
解：模等于半径的向量只有两类，一类是OA
i< br>(i＝1，2，…，8)，共8个；另一类是A
i
O(i
＝1，2，…，8)， 也有8个．两类共计有16个．以A
1
，A
2
，…，A
8
中 四点为顶点的⊙O的内
接正方形有两个，一个是正方形A
1
A
3
A< br>5
A
7
，另一个是正方形A
2
A
4
A
6
A
8
.在题中所述的向量中，
只有这两个正方形的边(看成有向线段，每 一边对应两个向量)的长度为半径的2倍，故模为半
径的2倍的向量共有4×2×2＝16(个)．




6．2.1 向量的加法运算

考点
平面向量加法的几何意义
学习目标
理解向量加法的概念以及向量
加法的几何意义
掌握向量加法的平行四边形法
则和三角形法则，
会用它们解决实际问题
掌握向量加法的交换律和结合
律，会用它们进行计算
数学抽象、数学运算
数学抽象、直观想象
核心素养
数学抽象、直观想象
平行四边形法则
和三角形法则
平面向量加法的运算律


- 12 -

问题导学
预习教材P7－P10的内容，思考以下问题：
1．在求两向量和的运算时，通常使用哪两个法则？
2．向量加法的运算律有哪两个？

1．向量加法的定义及运算法则
定义
前提
作法
三角
法则 形法
则
图形


前提
平行
法则
四边
形法
则
图形

规定
■名师点拨
(1)两个法则的使用条件不同．
三角形法则适用于任意两个非零向量求和，平行四边形法则只适用于两个不共线的向量
求和．
(2)在使用三角形法则时，应注意“首尾连接”；在使用平行四边形法则时应注意范围的
限制 及和向量与两向量起点相同．
(3)位移的合成可以看作向量加法三角形法则的物理模型．力的合成可 以看作向量加法平
行四边形法则的物理模型．
2．|a＋b|，|a|，|b|之间的关系
一般地，|a＋b|≤|a|＋|b|，当且仅当a，b方向相同时等号成立．

- 13 -
求两个向量和的运算，叫做向量的加法
已知非零向量a，b
→→→
在平面内任取一点A，作AB＝a，BC＝b，再作向量AC
→
向量AC叫做a与b的和，记作a＋b，
→→→
即a＋b＝AB＋BC＝AC
结论
已知不共线的两个向量a，b
在平面内任取一点O，以同一点O为起点的两个已知向量a，
b为邻边作?OACB
→
对角线OC就是a与b的和
作法
结论
对于零向量与任一向量a，我们规定a＋0
＝
0
＋
a＝a

3．向量加法的运算律
交换律
结合律
a＋b＝b＋a
(a＋b)＋c＝a＋(b＋c)

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)任意两个向量的和仍然是一个向量．( )
(2)两个向量相加实际上就是两个向量的模相加．( )
(3)任意两个向量的和向量不可能与这两个向量共线． ( )
答案：(1)√ (2)× (3)×
已知非零向量a，b，c，则向量(a＋c)＋b，b＋(a＋c)，b＋(c ＋a)，c＋(b＋a)，c＋(a
＋b)中，与向量a＋b＋c相等的个数为( )
A．2
C．4
答案：D
→→→→
如图所示，在平行四边形ABCD中，AB＝a，AD＝b，则AC＋BA＝( )
B．3
D．5

A．a
C．0
答案：B
→→→
在正方形ABCD中，|AB|＝1，则|AB＋AD|＝________．
答案：2
B．b
D．a＋b


平面向量的加法及其几何意义
如图，已知向量a，b，c，求作和向量a＋b＋c.
【解】 法一：可先作a＋c，再作(a＋c) ＋b，即a＋b＋c.如图，首先在平面
→→
内任取一点O，作向量OA＝a，接着作向量AB ＝c，
→→
则得向量OB＝a＋c，然后作向量BC＝b，
→
则向量OC＝a＋b＋c为所求．

- 14 -

→
法二：三个向量不共线，用平行四边形法则来作．如图 ，(1)在平面内任取一点O，作OA＝
→
a，OB＝b；
→
(2)作平行四边形AOBC，则OC＝a＋b；
→
(3)再作向量OD＝c；
(4)作平行四边形CODE，
→→→
则OE＝OC＋c＝a＋b＋即为所求．


(1)应用三角形法则求向量和的基本步骤
①平移向量使之“首尾相接”，即第一个向量的终点与第二个向量的起点重合；
②以第一个向量的起点为起点，并以第二个向量的终点为终点的向量，即为两个向量的
和．
(2)应用平行四边形法则求向量和的基本步骤
①平移两个不共线的向量使之共起点；
②以这两个已知向量为邻边作平行四边形；
③平行四边形中，与两向量共起点的对角线表示的向量为两个向量的和．
如图，已知向量a，b，求作向量a＋b.

→→→
解：(1)作OA＝a，AB＝b，则OB＝a＋b，如图(1)．
→→→
(2)作OA＝a，AB＝b，则OB＝a＋b，如图(2)．
→→→
(3)作OA＝a，AB＝b，则OB＝a＋b，如图(3)．


- 15 -

平面向量的加法运算
化简：
→→
(1)BC＋AB；
→→→
(2)DB＋CD＋BC；
→→→→→
(3)AB＋DF＋CD＋BC＋FA.
→→→→→
【解】 (1)BC＋AB＝AB＋BC＝AC.
→→→
(2)DB＋CD＋BC
→→→
＝BC＋CD＋DB
→→→
＝(BC＋CD)＋DB
→→
＝BD＋DB＝0.
→→→→→
(3)AB＋DF＋CD＋BC＋FA
→→→→→
＝AB＋BC＋CD＋DF＋FA
→→→→
＝AC＋CD＋DF＋FA
→→→→→
＝AD＋DF＋FA＝AF＋FA＝0.

向量加法运算中化简的两种方法
(1)代数法：借助向量加法的交换律和结合律，将向量转化 为“首尾相接”，向量的和即
为第一个向量的起点指向最后一个向量终点的向量．
(2)几何法：通过作图，根据三角形法则或平行四边形法则化简．

1．下列等式不正确的是( )
①a＋(b＋c)＝(a＋c)＋b；
→→
②AB＋BA＝0；
→→→→
③AC＝DC＋AB＋BD.
A．②③
C．①
B．②
D．③
→→ →→→
解析：选B.由向量的加法运算律知①正确；因为AB＋BA＝0，故②不正确；DC＋AB＋B D
→→→→
＝AB＋BD＋DC＝AC成立，故③正确．

- 16 -

2.如图，E，F，G，H分别是梯形ABCD的边AB，BC，CD，DA
的中点，化简下列各式：
→→→
(1)DG＋EA＋CB；
→→→→
(2)EG＋CG＋DA＋EB.
→→→→→→→→→→→→
解： (1)DG＋EA＋CB＝GC＋BE＋CB＝GC＋CB＋BE＝GB＋BE＝GE.
→→→→→→ →→→→→→→
(2)EG＋CG＋DA＋EB＝EG＋GD＋DA＋AE＝ED＋DA＋AE＝EA＋ AE＝0.

向量加法的实际应用
某人在静水中游泳，速度为43千米小时，他 在水流速度为4千米小时的河中游
泳．若他垂直游向河对岸，则他实际沿什么方向前进？实际前进的速度 大小为多少？
→→→→
【解】 如图，设此人游泳的速度为OB，水流的速度为OA，以OA ，OB为
→→→
邻边作?OACB，则此人的实际速度为OA＋OB＝OC.
→由勾股定理知|OC|＝8，且在Rt△ACO中，∠COA＝60°，故此人沿与河
岸成60°的 夹角顺着水流的方向前进，速度大小为8千米小时．

应用向量解决平面几何和物理学问题的基本步骤
(1)表示：用向量表示有关量，将所要解答的问题转化为向量问题．
(2)运算：应用向量 加法的平行四边形法则和三角形法则，将相关向量进行运算，解答向
量问题．
(3)还原：根据向量的运算结果，结合向量共线、相等等概念回答原问题．
如图所示，在某次抗震救灾中，一架飞机从A地按北
偏东35°的方向飞行800 km到达B地接到受伤人员，然后又从B地按南偏
东55°的方向飞行800 km送往C地医院，求这架飞机飞行的路程及两次位
移的和．
→→
解：设AB，BC分别表示飞机从A地按北偏东35°的方向飞行800 km，从B地按南偏东
55°的方向飞行800 km，
→→
则飞机飞行的路程指的是|AB|＋|BC|；
→→→
两次飞行的位移的和指的是AB＋BC＝AC.
→→
依题意有|AB|＋|BC|＝800＋800＝1 600(km)，
又α＝35°，
β
＝55°，∠ABC＝35°＋55°＝90°，

- 17 -

→
所以|AC|＝
→→
| AB|
2
＋|BC|
2

＝800
2
＋800
2
＝8002(km)，
其中∠BAC＝45°，所以方向为北偏东35°＋45°＝80°，从而飞机飞行的路程是1 600
km，两次飞行的位移和的大小为800 2 km，方向为北偏东80°.

→→→→
1．化简OP＋PQ＋PS＋SP的结果等于( )
→

→

→

→

→→→→→→
解析：选＋PQ＋PS＋SP＝OQ＋0＝OQ.
→→→
2．在四边形ABCD中，AC＝AB＋AD，则一定有( )
A．四边形ABCD是矩形
B．四边形ABCD是菱形
C．四边形ABCD是正方形
D．四边形ABCD是平行四边形
→→→→→
解析：选D.由AC＝AB＋AD得AD＝BC，即AD＝BC，且AD∥BC，所以四边形ABCD的
一组对边平行且相等，故为平行四边形．
3．已知非零向量a，b，|a|＝8，|b|＝5，则|a＋b|的最大值为______．
解析：|a＋b|≤|a|＋|b|，所以|a＋b|的最大值为13.
答案：13
4.已知?ABCD，O是两条对角线的交点，E是CD的一个三等分点(靠近D
点)，求作：
→→
(1)AO＋AC；
→→
(2)DE＋BA.
解：(1)延长AC，在延长线上截取CF＝AO，
→
则向量AF为所求．

1
(2)在AB上取点G，使AG＝AB，
3
→
则向量BG为所求．

- 18 -

[A 基础达标]
→→→
1．点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则AO＋OC＋CB等于( )
→

→

→

→

→→→→
解析：选A.因为点O是平行四边形ABCD的两条对角线的交点，则AO＋OC＋C B＝AC＋
→→
CB＝AB.故选A.
→→→
2．如图，四边形ABCD是 梯形，AD∥BC，对角线AC与BD相交于点O，则OA＋BC＋AB
→
＋DO＝( )

→

→

→

→
< br>→→→→→→→→→→→→→→
解析：选＋BC＋AB＋DO＝DO＋OA＋AB＋BC＝DA＋ AB＋BC＝DB＋BC＝DC.
3．若向量a表示“向东航行1 km”，向量b表示“向北航行3 km ”，则向量a＋b表示
( )
A．向东北方向航行2 km
B．向北偏东30°方向航行2 km
C．向北偏东60°方向航行2 km
D．向东北方向航行(1＋3)km
解析：选B.如图，易知tan
α
＝
b|＝2 km，故选B.
1
，所以α＝30°.故a＋b的方向是北偏东30°.又|a＋
3

→→→
4.如图所示，在正六边形ABCDEF中，若AB＝1，则|AB＋FE＋CD|等
于( )
A．1 B．2

- 19 -

C．3
→→
解析：选B.由正六边形知FE＝BC，
→→→→→→→
所以AB＋FE＋CD＝AB＋BC＋CD＝AD，
→→→→
所以|AB＋FE＋CD|＝|AD|＝2.故选B.
D．23
5．(2019·云南曲靖一中检测)已知向量a，b皆为非零向量，下列说法不正确的是( )
A．若a与b反向，且|a|>|b|，则a＋b与a同向
B．若a与b反向，且|a|>|b|，则a＋b与b同向
C．若a与b同向，则a＋b与a同向
D．若a与b同向，则a＋b与b同向
解析 ：选B.a与b反向，且|a|>|b|，则a＋b与a同向，所以B错；a与b同向，则a＋b
与a同 向，也与b同向．
→→→→→
6．化简(AB＋MB)＋(BO＋BC)＋OM＝________．
→→→→→→→→→→→
解析：原式＝(AB＋BO)＋(OM＋MB)＋BC＝AO＋OB＋BC＝A B＋BC＝AC.
→
答案：AC
→→→
7．在菱形ABCD中，∠DAB ＝60°，|AB|＝1，则|BC＋CD|＝________．
解析：在菱形ABCD中，连接BD，
因为∠DAB＝60°，所以△BAD为等边三角形，
→→
又因为|AB|＝1，所以|BD|＝1，
→→→
所以|BC＋CD|＝|BD|＝1.
答案：1
→→→→
8．已知平行四边形ABCD，设AB＋CD＋BC＋DA＝a，且b是一非零向量，给出下列结
论：
①a∥b；②a＋b＝a；③a＋b＝b；④|a＋b|<|a|＋|b|.
其中正确的是________．
→→→→
解析：因为在平行四边形ABCD中，A B＋CD＝0，BC＋DA＝0，所以a为零向量，因为
零向量和任意向量都平行，零向量和任意向量的 和等于这个向量本身，所以①③正确，②④
错误．
答案：①③
9．根据下列条件，分别判断四边形ABCD的形状：
→→
(1)AD＝BC；

- 20 -

→→→→
(2)AB＝DC且|AB|＝|AD|.
→→
解：(1)因为AD＝BC，所以AD∥BC，AD＝BC，
所以四边形ABCD是平行四边形．
→→→→
(2)因为AB＝DC且|AB|＝| AD|，所以四边形ABCD是有一组邻边相等的平行四边形，即四
边形ABCD是菱形．
→ →
10．已知|OA|＝|a|＝3，|OB|＝|b|＝3，∠AOB＝60°，求|a＋b|.
→→
解：如图，因为|OA|＝|OB|＝3，
所以四边形OACB为菱形，
连接OC，AB，则OC⊥AB，
设垂足为D.
因为∠AOB＝60°，
→
所以AB＝|OA|＝3.
所以在Rt△BDC中，CD＝
33
.
2
33
→
所以|OC|＝|a＋b|＝×2＝33.
2
[B 能力提升]
→→
11．已知有向线段AB，CD不平行，则( )
→→→
A．|AB＋CD|>|AB|
→→→
B．|AB＋CD|≥|CD|
→→→→
C．|AB＋CD|≥|AB|＋|CD|
→→→→
D．|AB＋CD|<|AB|＋|CD|
解析：选D.由向量加法的几何 意义得||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|，等号当且仅当a，b共线
→→→→
的时候取到，所以本题中，|AB＋CD|<|AB|＋|CD|.
→→→
12．若P为△ABC的外心，且PA＋PB＝PC，则∠ACB＝______.

→→→
解析：因为PA＋PB＝PC，则四边形APBC是平行四边形．
又P为△ABC的外心，
→→→
所以|PA|＝|PB|＝|PC|.

- 21 -

因此∠ACB＝120°.
答案：120°
13．如图，已知△ABC是直角三角形且∠A＝90°，则下列结论中正确的是________．

→→→
①|AB＋AC|＝|BC|；
→→→
②|AB＋CA|＝|BC|；
→→→
③|AB|
2
＋|AC|
2
＝|BC|
2
.
解析：①正确．以AB，AC为邻边作?ABDC，又∠A＝90°，
所以?ABDC为矩形，所以AD＝BC，
→→→→
所以|AB＋AC|＝|AD|＝|BC|.
→→→→
②正确．|AB＋CA|＝|CB|＝|BC|.
→→→
③正确． 由勾股定理知|AB|
2
＋|AC|
2
＝|BC|
2
.
答案：①②③
14．如图，已知向量a，b，c，d.

(1)求作a＋b＋c＋d；
(2)设|a|＝2，e为单位向量，求|a＋e|的最大值．
→→→→→
解：(1)在平面内任取一点O，作OA＝a，AB＝b，BC＝c，CD＝d，则 OD＝a＋b＋c＋d.

→→→→→
(2)在平面内任取一点O，作OA＝a，A B＝e，则a＋e＝OA＋AB＝OB，
因为e为单位向量，
所以点B在以点A为圆心的单位圆上(如图所示)，


- 22 -

由图可知当点B在点B
1
时，O，A，B
1
三点共线，
→
|OB|即|a＋e|最大，最大值是3.
[C 拓展探究]
15．如图，在重300 N的物体上拴两根绳子，这两根绳子在铅垂线的两侧，与铅垂线的夹
角分别为30°，60°，要使整个系统处于平衡状态，两根绳子的拉力为多少？

解：如图，作?OACB，
使∠AOC＝30°，∠BOC＝60°，
则∠ACO＝∠BOC＝60°，∠OAC＝90°.
→→→
设向量OA，OB分别 表示两根绳子的拉力，则CO表示物体所受的重力，
→
且|OC|＝300 N.
→→
所以|OA|＝|OC|cos 30°＝150 3(N)，
→→
|OB|＝|OC|cos 60°＝150(N)．
所以与铅垂线成30°角的绳子的拉力是1503 N，与铅垂线成60°角的绳子的拉力是150
N.




6．2.2 向量的减法运算

考点
相反向量
向量的减法
学习目标
理解相反向量的概念
掌握向量减法的运算法则及其几何意义
核心素养
数学抽象
数学抽象、直观想象

问题导学
预习教材P11－P12的内容，思考以下问题：
1．a的相反向量是什么？
2．向量减法的几何意义是什么？


- 23 -

1．相反向量
(1)定义：与a长度相等，方向相反的向量，叫做 a的相反向差，记作－a，并且规定，零
向量的相反向量仍是零向量．
(2)结论
①－(－a)＝a，a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；
②如果a与b互为相反向量，那么a＝－b，b＝－a，a＋b＝0．
■名师点拨
相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行
向量．
2．向量的减法
(1)向量a加上b的相反向量，叫做a与b的差，即a－b＝a＋(－b) ．求两个向量差的运
算叫做向量的减法．
→→→
(2)作法：在平面内任取一点O， 作OA＝a，OB＝b，则向量BA＝a－b，如图所示．

(3)几何意义：a－b可以表示为从向量b的终点指向向量a的终点的向量．
■名师点拨
(1)减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．
(2)在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接向量终点，箭头指向被减向量”即可．
(3)对于任意两个向量a，b，都有||a|－|b||≤|a＋b|≤|a|＋|b|.

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个相等向量之差等于0.( )
(2)两个相反向量之差等于0.( )
(3)两个向量的差仍是一个向量．( )
(4)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算．( )
答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√
在平行四边形ABCD中，下列结论错误的是( )
→→
－DC＝0
→→→
－AD＝BD
答案：C
→→→
－BA＝AC
→→
＋CB＝0

- 24 -

设b是a的相反向量，则下列说法一定错误的是( )
A．a与b的长度相等
C．a与b一定不相等
答案：C
→
在平行四边形ABCD中，向量AB的相反向量为________．
→→
答案：BA，CD


向量的减法运算
化简下列各式：
→→→→
(1)(AB＋MB)＋(－OB－MO)；
→→→
(2)AB－AD－DC.
→→→→→→→→→→→
【解】 (1)法一：原式＝AB＋MB＋BO＋OM＝(AB＋BO)＋(OM＋MB)＝AO＋OB＝AB.
→→→→
法二：原式＝AB＋MB＋BO＋OM
→→→→→→→→
＝AB＋(MB＋BO)＋OM＝AB＋MO＋OM＝AB＋0
→
＝AB.
→→→
(2)法一：原式＝DB－DC＝CB.
→→→→→→
法二：原式＝AB－(AD＋DC)＝AB－AC＝CB.

向量减法运算的常用方法
B．a∥b
D．a是b的相反向量


→
1．下列四个式子中可以化简为AB的是( )
→→→→→→→→→
①AC＋CD－BD；②AC－CB；③OA＋OB；④OB－OA.
A．①④ B．①② C．②③ D．③④
→→→→→→→→
解 析：选A.因为AC＋CD－BD＝AD－BD＝AD＋DB＝AB，所以①正确，排除C，D；因
→→ →
为OB－OA＝AB，所以④正确，排除B.故选A.

- 25 -

2．化简下列向量表达式：
→→→→
(1)OM－ON＋MP－NA；
→→→→
(2)(AD－BM)＋(BC－MC)．
→→→→→→→→→→
解：(1)OM－ON＋MP－NA＝NM＋MP－NA＝NP－NA＝AP.
→→→→→→→→→→ →→→→
(2)(AD－BM)＋(BC－MC)＝AD＋MB＋BC＋CM＝AD＋(MB＋BC＋C M)＝AD＋0＝AD.

向量的减法及其几何意义
如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.
→→→
【解】 法一：如图①，在平面内任取一点O，作OA＝a，OB＝b，OC
＝c，连接BC，
→
则CB＝b－c.
过点A作AD綊BC，连接OD，
→
则AD＝b－c，
→→→
所以OD＝OA＋AD＝a＋b－c.
→→
法二：如图②，在平面内任取一点O，作OA＝a，AB＝b，
→→
连接OB，则OB＝a＋b，再作OC＝c，连接CB，
→
则CB＝a＋b－c.
法三：如图③，在平面内任取一点O，
→→
作OA＝a，AB＝b，连接OB，
→→
则OB＝a＋b，再作CB＝c，连接OC，
→
则OC＝a＋b－c.


求作两个向量的差向量的两种思路
(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．
(2)可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向

- 26 -

量的终点，指向被减向量的终点的向量．
如图，已知向量a，b，c，求作向量a－b－c.


→→→→
解：在平面内任取一点O，作向量OA＝a，OB＝b，则向量BA＝a－b，再作向量BC＝c，
→
则向量CA＝a－b－c.

用已知向量表示其他向量
→
如图 所示，四边形ACDE是平行四边形，点B是该平行四边形外一点，且AB＝a，
→→→→→
A C＝b，AE＝c，试用向量a，b，c表示向量CD，BC，BD.

【解】 因为四边形ACDE是平行四边形，
→→→→→
所以CD＝AE＝c，BC＝AC－AB＝b－a，
→→→
故BD＝BC＋CD＝b－a＋c.

用已知向量表示其他向量的三个关注点
(1)搞清楚图形中的相等向量、相反向量、共线向量 以及构成三角形的三个向量之间的关
系，确定已知向量与被表示向量的转化渠道．
(2)注意 综合应用向量加法、减法的几何意义以及向量加法的结合律、交换律来分析解决
问题．
(3)注意在封闭图形中利用向量加法的多边形法则．
→→→→
例如，在四边形ABCD中，AB＋BC＋CD＋DA＝0.

→→→→
1．如图，O为平行四边形ABCD内一点，OA＝a，OB＝b，OC＝c，则OD＝__ ______．


- 27 -

→→→→→ →→→→→→→→→
解析：因为BA＝CD，BA＝OA－OB，CD＝OD－OC，所以OD－OC＝ OA－OB，OD＝OA
→→→
－OB＋OC，所以OD＝a－b＋c.
答案：a－b＋c
→→→
2．已知O是平行四边形ABCD的对角线AC与BD的交 点，若AB＝a，BC＝b，OD＝c.
→
试证明：a－b＋c＝OB.
→→→→→
证明：如图，a＋c＝AB＋OD＝DC＋OD＝OC，
→→→→
OB＋b＝OB＋BC＝OC，
→
所以a＋c＝OB＋b，
→
即a－b＋c＝OB.

→→
1．在△ABC中，D是BC边上的一点，则AD－AC等于( )
→

→

→

→

→→
解析：选C.在△ABC中，D是BC边上一点，则由两个向量的减 法的几何意义可得AD－AC
→
＝CD.
→→→→→
2．化简：AB－AC＋BD－CD＋AD＝________．
→→→ →→→→→→
解析：原式＝CB＋BD＋DC＋AD＝CD＋DC＋AD＝0＋AD＝AD.
→
答案：AD
→→
→
＝10，|AC3．已知
AB
|＝7，则|CB|的取值范围为______．
||
→→→
解析：因为CB＝AB－AC，
→→→
所以|CB|＝|AB－AC|.
→→→→
→→
又
|AB|－|AC|
≤|AB－AC|≤|AB|＋|AC|，
||
→→
3≤|AB－AC|≤17，
→
所以3≤|CB|≤17.
答案：[3，17]
→→→→→→
4．若O是△ABC所在平面内一点，且满足|OB－OC|＝|OB－OA＋OC－OA|，试判断△ABC< br>
- 28 -

的形状．
→→→→→→→→→→ →
解：因为OB－OA＋OC－OA＝AB＋AC，OB－OC＝CB＝AB－AC.
→→→→→→
又|OB－OC|＝|OB－OA＋OC－OA|，
→→→→
所以|AB＋AC|＝|AB－AC|，所以以AB，AC为邻边的平行四边形的两条对角线的长度相等，
所以该平行四边形为矩形，所以AB⊥AC，所以△ABC是直角三角形．
[A 基础达标]
→→→
1．在三角形ABC中，BA＝a，CA＝b，则CB＝( )
A．a－b
C．a＋b
B．b－a
D．－a－b
→→→→→
解析：选＝CA＋AB＝CA＋(－BA)＝b－a.
2．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是( )
→→→→→→
＝OF＋OE ＝OF－OE
→→→→→→
＝－OF＋OE ＝－OF－OE
→→→→→→→→→
解析：选＝EO＋OF＝OF－OE＝EO－FO＝－O E－FO.故选B.
→→→→
3．如图，在四边形ABCD中，设AB＝a，AD＝b，BC＝c，则DC＝( )

A．a－b＋c
C．a＋b＋c
→→→→
解析：选＝DA＋AB＋BC＝a－b＋c.
4．给出下列各式：
→→→
①AB＋CA＋BC；
→→→→
②AB－CD＋BD－AC；
→→→
③AD－OD－AO；
→→→→
④NQ－MP＋QP＋MN.
对这些式子进行化简，则其化简结果为0的式子的个数是( )
A．4

B．b－(a＋c)
D．b－a＋c
B．3
- 29 -

C．2
→→→→→
解析：选A.①AB＋CA＋BC＝AC＋CA＝0；
D．1
→→→→→→→→→→
②AB－CD＋BD－AC＝AB＋BD－(AC＋CD)＝AD－AD＝0；
→→→→→→→→
③AD－OD－AO＝AD＋DO＋OA＝AO＋OA＝0；
→→ →→→→→→→→
④NQ－MP＋QP＋MN＝NQ＋QP＋MN－MP＝NP＋PN＝0.
5．对于菱形ABCD，给出下列各式：
→→→→→→→→→→→→
①AB＝BC； ②|AB|＝|BC|；③|AB－CD|＝|AD＋BC|；④|AD＋CD|＝|CD－CB|.
其中正确的个数为( )
A．1
C．3
B．2
D．4
→→
解析：选C.由菱形的图形，可知向量AB与BC的方向是不同的，但它 们的模是相等的，所
→→→→→→→→→→
以②正确，①错误；因为|AB－CD|＝|AB＋ DC|＝2|AB|，|AD＋BC|＝2|BC|，且|AB|＝|BC|，所以
→→→→→→→→→ →→→→→
|AB－CD|＝|AD＋BC|，即③正确；因为|AD＋CD|＝|BC＋CD|＝|B D|，|CD－CB|＝|CD＋BC|＝|BD
|，所以④正确．综上所述，正确的个数为3，故选C .
6．若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝______，|a－b| ＝________．
解析：若a，b为相反向量，则a＋b＝0，所以|a＋b|＝0，又a＝－b ，所以|a|＝|－b|＝1，
因为a与－b共线，所以|a－b|＝2.
答案：0 2 < br>→→→→
7．已知?ABCD的对角线AC和BD相交于O，且OA＝a，OB＝b，则DC＝_ _______，BC
＝________．(用a，b表示)
→→→→→→→→→
解析：如图，DC＝AB＝OB－OA＝b－a，BC＝OC－OB＝－OA－OB
＝－a－b.
答案：b－a －a－b
8．给出下列命题：
→→→→→→
①若OD＋OE＝OM，则OM－OE＝OD；
→→→→→→
②若OD＋OE＝OM，则OM＋DO＝OE；
→→→→→→
③若OD＋OE＝OM，则OD－EO＝OM；
→→→→→→
④若OD＋OE＝OM，则DO＋EO＝MO.
其中正确命题的序号为________．
→→→
解析：①因为OD＋OE＝OM，

- 30 -

→→→
所以OD＝OM－OE，正确；
→→→→→→
②因为OM－OD＝OE，所以OM＋DO＝OE，正确；
→→→→→
③因为OE＝－EO，所以OD－EO＝OM，正确；
→→→→→→
④因为－OM＝－OD－OE，所以MO＝DO＋EO，正确．
答案：①②③④
→→→→→
9.如图，已知OA＝a，OB＝b，OC＝c，OD＝ d，OF＝f，试用a，b，c，d，
f表示以下向量：
(1)AC
→
；(2)AD
→
；
(3)AD
→< br>－AB
→
；(4)AB
→
＋CF
→
；
(5)BF
→
－BD
→
.
解：(1)AC
→
＝OC
→
－OA
→
＝c－a.
(2)AD
→
＝AO
→
＋OD
→
＝OD
→
－OA
→
＝d－a.
(3)AD
→
－AB
→＝BD
→
＝OD
→
－OB
→
＝d－b.
(4 )AB
→
＋CF
→
＝OB
→
－OA
→
＋O F
→
－OC
→
＝b－a＋f－c.
(5)BF
→
－BD
→
＝OF
→
－OB
→
－(OD
→
－ OB
→
)＝OF
→
－OD
→
＝f－d.
10．如图所示，?ABCD中，AB
→
＝a，AD
→
＝b.

(1)用a，b表示AC
→
，DB
→
；
(2)当a，b满足什么条件时，a＋b与a－b所在直线互相垂直？
解：(1)AC
→
＝AD
→
＋AB
→
＝b＋a，DB
→
＝AB< br>→
－AD
→
＝a－b.
(2)由(1)知a＋b＝AC
→
，a－b＝DB
→
.
因为a＋b与a－b所在直线垂直，
所以AC⊥BD.又因为四边形ABCD为平行四边形，
所以四边形ABCD为菱形，
所以|a|＝|b|.
所以当|a|＝|b|时，a＋b与a－b所在直线互相垂直．
[B 能力提升]
11．给出下面四个结论：

- 31 -

→→→
①若线段AC＝AB＋BC，则向量AC＝AB＋BC；
→→→
②若向量AC＝AB＋BC，则线段AC＝AB＋BC；
→→
③若向量AB与BC共线，则线段AC＝AB＋BC；
→→→→
④若向量AB与BC反向共线，则|AB－BC|＝AB＋BC.
其中正确的结论有________．
→→→
解析：①由AC＝AB＋BC得点B在线段AC上，则AC＝AB＋BC，正确．
→→→
②三角形内AC＝AB＋BC，但AC≠AB＋BC，错误．
→→→→→→→
③AB，BC反向共线时，|AC|＝|AB＋BC|≠|AB|＋|BC|，也即AC≠AB＋BC， 错误．
→→→→→→
④AB，BC反向共线时，|AB－BC|＝|AB＋(－BC)|＝A B＋BC，正确．
答案：①④
→→→
12．已知|OA|＝a，|OB|＝b(a >b)，|AB|的取值范围是[5，15]，则a，b的值分别为______．
→→→→→→→< br>解析：因为a－b＝||OA|－|OB||≤|OA－OB|＝|AB|≤|OA|＋|OB|＝a＋b ，
?
a＋b＝15，
?
a＝10，
??
?
所以解 得
?

??
?
a－b＝5，
?
b＝5.
答案：10 5
→→→→→
13．在△ABC中，|AB|＝|BC|＝|CA|＝1，则|AB－BC|＝_____ ___．
解析：如图，在△ABD中，
AB＝BD＝1，
∠ABD＝120°，
→→→→
AB－BC＝AB＋CB
→→→
＝AB＋BD＝AD.
→
易求得AD＝3，即|AD|＝3.
→→
所以|AB－BC|＝3.
答案：3
14．如图所示，点O是四边形ABCD内任一点，试根据图中给出的向量，确定a ，b，c，
→→
d的方向(用箭头表示)，使a＋b＝BA，c－d＝DC，并画出b－c和a ＋d.

- 32 -

→→→→→
解：因为a＋b＝BA，c－d＝DC，所以a＝OA，b＝BO，c＝OC，d
→
＝OD.如 图所示，作平行四边形OBEC，平行四边形ODFA.根据平行四边
→→
形法则可得，b－c ＝EO，a＋d＝OF.
[C 拓展探究]
→→
15．已知△ABC是等腰直角三 角形，∠ACB＝90°，M是斜边AB的中点，CM＝a，CA＝
b.

求证：(1)|a－b|＝|a|；
(2)|a＋(a－b)|＝|b|.
证明：因为△ABC是等腰直角三角形，∠ACB＝90°，
所以CA＝CB.又M是斜边AB的中点，
所以CM＝AM＝BM.
→→→
(1)因为CM－CA＝AM，
→→
又|AM|＝|CM|，所以|a－b|＝|a|.
(2)因为M是斜边AB的中点，
→→
所以AM＝MB，
→→→→→→→ →
所以a＋(a－b)＝CM＋(CM－CA)＝CM＋AM＝CM＋MB＝CB，
→→
因为|CA|＝|CB|，
所以|a＋(a－b)|＝|b|.









- 33 -

6．2.3 向量的数乘运算

考点
向量数乘运算的定义及运算律
学习目标
理解向量数乘的定义及几何意义，
掌握向量数乘的运算律
掌握向量共线定理，会判断或证明
两个向量共线
核心素养
数学抽象、直观想象
向量共线定理 逻辑推理

问题导学
预习教材P13－P16的内容，思考以下问题：
1．向量数乘的定义及其几何意义是什么？
2．向量数乘运算满足哪三条运算律？
3．向量共线定理是怎样表述的？
4．向量的线性运算是指的哪三种运算？

1．向量的数乘的定义
一般地 ，规定实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它
的长度与方向规定如下 ：
(1)|λa|＝|λ||a|．
(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ ＜0时，λa的方向与a的方向相反；当
λ＝0时，λa＝0．
■名师点拨
λ是 实数，a是向量，它们的积λa仍然是向量．实数与向量可以相乘，但是不能相加减，
如λ＋a，
λ
－a均没有意义．
2．向量数乘的运算律
设λ，μ为实数，那么：
(1)λ(μa)＝(λμ)a．
(2)(λ＋μ)a＝λa＋μa．
(3)λ(a＋b)＝λa＋λb．
3．向量的线性运算及向量共线定理
(1)向 量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算．对于任意向量a，b，以及任意实数
λ，μ
1< br>，μ
2
，恒有λ(μ
1
a±μ
2
b)＝λμ
1
a±λμ
2
b．

- 34 -

(2)向量a(a≠0)与b共线的充要条件是：存在唯一一个实数λ，使b＝λa．
■名师点拨
若将定理中的条件a≠0去掉，即当a＝0时，显然a与b共线．
(1)若b≠0，则不存在实数λ，使b＝λa.
(2)若b＝0，则对任意实数λ，都有b＝λa.

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)实数λ与向量a的积还是向量．( )
(2)3a与a的方向相同，－3a与a的方向相反．( )
(3)若ma＝mb，则a＝b.( )
(4)向量共线定理中，条件a≠0可以去掉．( )
答案：(1)√ (2)√ (3)× (4)×
4(a－b)－3(a＋b)－b等于( )
A．a－2b
C．a－6b
答案：D
若|a|＝1，|b|＝2，且a与b方向相同，则下列关系式正确的是( )
A．b＝2a
C．a＝2b
答案：A
1
→→
在四边形ABCD中，若AB＝－CD，则此四边形的形状是________．
2
答案：梯形


向量的线性运算
(1)计算：
①4(a＋b)－3(a－b)－8a；
②(5a－4b＋c)－2(3a－2b＋c)；
11
2
（4a－3b）＋b－（6a－7b）
?
. ③
?< br>34
?
3
?
12
a－b
?
－
?a－b
?
＋(2b－a)． (2)设向量a＝3i＋2j，b＝2i－j，求
?
?
3
??
3
?
【解】 (1)①原式＝4a＋4b－3a＋3b－8a
B．b＝－2a
D．a＝－2b
B．a
D．a－8b

- 35 -

＝－7a＋7b.
②原式＝5a－4b＋c－6a＋4b－2c
＝－a－c.
137
2
4a－3b＋b－a＋b
?
③原式＝
?
324
?
3
?
2
511
?
a－b
＝
?
3
?
212
?
511
＝a－b.
318
12
(2)原式＝a－b－a＋b＋2b－a
33
12－1－1
?
a＋
?
－1＋＋2
?
b ＝
?3
??
3
??
5555
＝－a＋b＝－(3i＋2j)＋(2i －j)
3333
10105
－5＋
?
i＋
?
－－
?
j ＝
?
3
??
33
??
5
＝－i－5j.
3

向量线性运算的基本方法
(1)类比方法：向量的数乘运算可类似于代 数多项式的运算．例如，实数运算中的去括号、
移项、合并同类项、提取公因式等变形手段在数与向量的 乘积中同样适用，但是在这里的“同
类项”“公因式”指向量，实数看作是向量的系数．
(2 )方程方法：向量也可以通过列方程来解，把所求向量当作未知数，利用代数方程的方
法求解，同时在运 算过程中要多注意观察，恰当运用运算律，简化运算．

212
1．化简(a－b)－(2a＋4b)＋(2a＋13b)＝________． 5315
22244262242426
解析：原式＝a－b－a－b＋a＋b＝(－＋) a＋(－－＋)b＝0a＋0b＝0＋0
55335
＝0.
答案：0
1< br>1
x－a
?
－(b＋c－3x)＋b＝0，其中a，b，c为已知向量，求未知 向量x. 2．若2
?
?
3
?
2
2113
解：因为 2x－a－b－c＋x＋b＝0，
3222
7211
所以x－a＋b－c＝0，
2322

- 36 -

7211
所以x＝a－b＋c，
2322
411
所以x＝a－b＋c.
2177

向量共线定理及其应用
已知非零向量e
1
，e
2
不共线．
→→→
(1)如果AB ＝e
1
＋e
2
，BC＝2e
1
＋8e
2
， CD＝3(e
1
－e
2
)，求证：A、B、D三点共线；
(2)欲 使ke
1
＋e
2
和e
1
＋ke
2
共线，试 确定实数k的值．
→→→→→
【解】 (1)证明：因为AB＝e
1
＋e< br>2
，BD＝BC＋CD＝2e
1
＋8e
2
＋3e
1< br>－3e
2
＝5(e
1
＋e
2
)＝5AB.
→→
所以AB，BD共线，且有公共点B，
所以A、B、D三点共线．
( 2)因为ke
1
＋e
2
与e
1
＋ke
2
共 线，
所以存在实数λ，使ke
1
＋e
2
＝λ(e
1
＋ke
2
)，
则(k－λ)e
1
＝(λk－1)e
2
，
?
?< br>k－λ＝0，
由于e
1
与e
2
不共线，只能有
?
?
λ
k－1＝0，
?
所以k＝±1.

向量共线定理的应用
(1)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线无公共点，则这两条直线平行．
→→
(2)若b＝λa(a≠0)，且b与a所在的直线有公共点，则这两条直线重合．例如，若AB＝λA C，
→→→→
则AB与AC共线，又AB与AC有公共点A，从而A，B，C三点共线，这是证 明三点共线的重要
方法．
已知a与b是两个不共线向量，且向量a＋λb与－(b－3a)共线，则λ＝
________． < br>?
k＝
3
，
?
?
λ
＝－k，
解析： 由题意知存在k∈R，使得a＋λb＝k[－(b－3a)]，所以
?
解得
?

1
?
1＝3k，
?
?
λ
＝－
3
.
1
答案：－
3

用已知向量表示其他向量
1

- 37 -

→→→→
如图，ABCD是一个梯形，A B∥CD且|AB|＝2|CD|，M，N分别是
DC，AB的中点，已知AB
→
＝e
→
1
，AD＝e
2
，试用e
1
，e
2表示下列向量．
(1)AC
→
＝________；
(2)MN
→
＝________．
【解析】 因为AB
→
∥CD
→
，|AB
→
|＝2|CD
→
|，
所以 AB
→
＝2DC
→
，DC
→
＝
1
→
2
AB.
(1)AC
→
＝AD
→
＋DC
→＝e
1
2
＋
2
e
1
.
(2)MN< br>→
＝MD
→
＋DA
→
＋AN
→

＝ －
1
2
DC
→
－AD
→
＋
1
2< br>AB
→

＝－
1
4
e
11
1
－e
2
＋
2
e
1
＝
4
e
1－e
2
.
【答案】 (1)e
11
2
＋
2
e
1
(2)
4
e
1
－e
2


[变条件]在本 例中，若条件改为BC
→
＝e
→→
1
，AD＝e
2
，试用e
1
，e
2
表示向量MN.
解：因为MN
→
＝MD
→
＋DA
→
＋AN
→
，
MN
→
＝MC
→
＋CB
→
＋BN
→
，
所以2M N
→
＝(MD
→
＋MC
→
)＋DA
→
＋C B
→
＋(AN
→
＋BN
→
)．
又因为M，N分别是DC，AB的中点，
所以MD
→
＋MC
→＝0，AN
→
＋BN
→
＝0.
所以2MN
→
＝DA
→
＋CB
→
，
所以 MN
→
＝
1
2
(－AD
→
－BC
→
)＝－
11
2
e
2
－
2
e
1
.

用已知向量表示其他向量的两种方法
(1)直接法

(2)方程法

- 38 -

当直接表示比较 困难时，可以首先利用三角形法则和平行四边形法则建立关于所求向量
和已知向量的等量关系，然后解关 于所求向量的方程．
→
如图，在正方形ABCD中，点E，F分别是DC，BC的中点，那么EF＝( )
1
→
1
→
A．AB＋AD
22
1
→
1
→
C．－AB＋AD
22
→→→
1
→
1
→
解析：选＝EC＋CF＝AB－AD.
22

1
→
1
→
B．－AB－AD
22
1
→
1
→
D．AB－AD
22

1
1
（2a＋8b）－（4a－2b）
?
等于( ) 1.
?
?
3
?
2
A．2a－b
C．b－a
B．2b－a
D．a－b
111442
解析： 选B.原式＝(2a＋8b)－(4a－2b)＝a＋b－a＋b＝－a＋2b.
633333
3
→→
2．若点O为平行四边形ABCD的中心，AB＝2e
1
，BC＝3 e
2
，则e
2
－e
1
＝( )
2
→

→

→

→
< br>→→→→→→
1
→
3
解析：选＝AD－AB＝BC－AB＝3e
2
－2e
1
，BO＝BD＝e
2
－e
1
. 22
→→→
3．已知e
1
，e
2
是两个不共线的向量， 若AB＝2e
1
－8e
2
，CB＝e
1
＋3e
2< br>，CD＝2e
1
－e
2
，求
证A，B，D三点共线．
→→
证明：因为CB＝e
1
＋3e
2
，CD＝2e
1－e
2
，
→→→
所以BD＝CD－CB＝e
1
－4e
2
.
→→→→→
又AB＝2e
1
－8e
2
＝2(e
1
－ 4e
2
)，所以AB＝2BD，所以AB与BD共线．
因为AB与BD有交点B，所以A，B，D三点共线．
[A 基础达标]
1.
设a是非零向量，λ是非零实数，下列结论正确的是( )

- 39 -

A．a与－λa的方向相反
C．a与λ
2
a的方向相同
B．|－λa|≥|a|
D．|－λa|＝|λ|a
解析：选C.当λ取负数时，a与－λa的方向是相同的，选项A 错误；当|λ|<1时，|－λa|≥|a|
不成立，选项B错误；|－λa|＝|λ|a中等号左边表 示一个数，而等号右边表示一个向量，不可
能相等，选项D错误；因为λ≠0，所以λ
2
一定是正数，故a与
λ
2
a的方向相同，故选C.
2．已知向量a，b是 两个不共线的向量，且向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，则实数m
的值为( )
A．－1或3
C．－1或4
B.3
D．3或4
解析 ：选A.因为向量ma－3b与a＋(2－m)b共线，且向量a，b是两个不共线的向量，所
－3以m＝，解得m＝－1或m＝3.
2－m
→→→
3．已知O是△ABC所在平面 内一点，D为BC的中点，且2OA＋OB＋OC＝0，则( )
→→
＝2OD
→→
＝3OD
→→
＝OD
→→
D．2AO＝OD
→→→
解析：选B.因为D为BC的中点，所以OB＋OC＝2OD，
→→→→→→
所以2OA＋2OD＝0，所以OA＝－OD，所以AO＝OD.
→→
4．设a，b不共线，AB＝a＋kb，AC＝ma＋b(k，m∈R)，则A，B，C三点共线时有( )
A．k＝m
C．km＋1＝0
B．km－1＝0
D．k＋m＝0
→→
解析：选B.若A，B，C三点共线，则AB与AC共线， < br>→→
所以存在唯一实数λ，使AB＝λAC，即a＋kb＝
λ
(ma＋b)，即 a＋kb＝λma＋λb，
?
?
λ
m＝1，
所以
?

?
λ
＝k，
?
所以km＝1，即km－1＝0.
→→→→
5．(2019·山东青岛胶南八中期中检测)在△ABC中，若AB＋AC＝2AP，则PB等于( )
1
→
3
→
A．－AB＋AC
22
1
→
1
→
－AC
22
1
→
3
→
－AC
22
1
→
1
→
D．－AB＋AC
22
1
→→→→→→
1
→→→→→→
解析：选C.由AB＋AC＝2AP得AP＝( AB＋AC)，所以PB＝PA＋AB＝－(AB＋AC)＋AB＝
22

- 40 -

1
→
1
→
AB－AC.
2 2
6．若3(x＋a)＋2(x－2a)－4(x－a＋b)＝0，则x＝________．
解析：由已知得3x＋3a＋2x－4a－4x＋4a－4b＝0，
所以x＋3a－4b＝0，所以x＝4b－3a.
答案：4b－3a
→→→→
7．已知点P在线段AB上，且|AB|＝4|AP|，设AP＝λ PB，则实数λ＝________．
1
→→→→→
1
→
解析：因 为|AB|＝4|AP|，则AP的长度是PB的长度的，二者的方向相同，所以AP＝PB.
33
1
答案：
3
8．设a，b是两个不共线的向量．若向量ka＋ 2b与8a＋kb的方向相反，则k＝________．
解析：因为向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，
所以ka＋2b＝λ(8a＋kb)? k＝8λ，2＝λk?k＝－4(因为方向相反，所以λ＜0?k＜0)．
答案：－4
9．计算：
111
(1)
(
a＋2b
)
＋(3a －2b)－(a－b)；
342
7
2
3
17
1
（ 3a＋2b）－a－b
?
－
?
a＋
?
b＋
6
a
?
?
. (2)
?
3
?
?
?
6
?
27
?
2
?
131
??
211
?
72
＋－
a＋
－＋
b＝a＋b. 解：(1)原式＝
?
?
342
??
322
?
123
3
1
7
7
a＋b
?
－
?
a＋b
?
(2)原 式＝
?
?
6
?
7
?
2
?
3
7171
＝a＋b－a－b＝0.
6262
→→→
10．已知两个非零向 量a与b不共线，OA＝2a－b，OB＝a＋3b，OC＝ka＋5b.
→→→
(1)若2OA－OB＋OC＝0，求k的值；
(2)若A，B，C三点共线，求k的值．
→→→
解：(1)因为2OA－OB＋O C＝2(2a－b)－a－3b＋ka＋5b＝(k＋3)a＝0，所以k＝－3.
→→→→→→(2)AB＝OB－OA＝－a＋4b，AC＝OC－OA＝(k－2)a＋6b，又A，B，C三点共线， 则存
?
?
k－2＝－λ，
1
→→
在λ∈R，使AC＝λAB ，即(k－2)a＋6b＝－λa＋4λb，所以
?
解得k＝.
2
?
6＝4λ，
?
[B 能力提升]
→→→
11．在△ABC中，G为△ABC的重心，记a＝AB，b＝AC，则CG＝( )

- 41 -

12
A.a－b
33
21
C.a－b
33
12
B.a＋b
33
21
D.a＋b
33
→
1
→→
11
→→→
解析：选A.因为G为△ABC的重心，所以AG＝(AB＋AC)＝a＋b，所以CG ＝CA＋AG
333
1112
＝－b＋a＋b＝a－b.
3333
12.如图所示，两射线OA与OB交于O，则下列选项中向量
的终点落在阴影区域内(不含边界)的有 ( )
→→
①OA＋2OB；
1
→
1
→
③OA＋OB；
23
A．①②
C．①②③
3
→
1
→
②OA＋OB；
43
3
→
1
→
④OA＋OB.
45
B．①②④
D．③④
→
解析：选A.依题意，在题图中的阴 影区域内任取点E，连接OE交AB于点F，则有OE＝
→→→→→
λOF
＝λ[xO A＋(1－x)OB]＝λxOA＋(1－x)λOB，其中0λ
>1，注意到λx ＋(1－x)λ＝λ>1；
31311153119
注意到1＋2＝3>1，＋>＋＝1，＋＝ <1，＋＝<1，故选A.
43442364520
13.如图所示，在△ABC中，D为B C边上的一点，且BD＝2DC，
→→→
若AC＝mAB＋nAD(m，n∈R)，则m－n＝ ________．
→→→→→→
解析：直接利用向量共线定理，得BC＝3DC，则AC＝ AB＋BC＝AB
1
→
3
→
13
→→→→→→→→
＋3DC＝AB＋3(AC－AD)＝AB＋3AC－3AD，AC＝－AB＋AD，则m＝－，n＝，那么m< br>2222
13
－n＝－－＝－2.
22
答案：－2
→→→
14．已知e，f为两个不共线的向量，若四边形ABCD满足AB＝e＋2f，BC＝－4e－f，C D
＝－5e－3f.
→
(1)用e，f表示AD；
(2)证明：四边形ABCD为梯形．
→→→→
解：(1)AD＝AB＋BC＋CD ＝(e＋2f)＋(－4e－f)＋(－5e－3f)＝(1－4－5)e＋(2－1－3)f＝－
8e －2f.
→→→→→→
(2)证明：因为AD＝－8e－2f＝2(－4e－f)＝2BC， 所以AD与BC方向相同，且AD的模为BC
的模的2倍，即在四边形ABCD中，AD∥BC，且AD ≠BC，所以四边形ABCD是梯形．

- 42 -

[C 拓展探究]
→→→→→
15．设OA，OB不共线，且OC＝aOA＋bOB(a，b∈R)．
12
(1)若a＝，b＝，求证：A，B，C三点共线；
33
(2)若A，B，C三点共线，则a＋b是否为定值？并说明理由．
12
解：(1)证明：当a＝，b＝时，
33
→
1
→
2
→
OC＝OA＋OB，
33
2
→→
1
→→
所以(OC－OB)＝(OA－OC)，
33
→→
即2 BC＝CA，
→→→→
所以BC与CA共线，又BC与CA有公共点C，
所以A，B，C三点共线．
(2)a＋b为定值1，理由如下：
→→
因为A，B，C三点共线，所以AC∥AB，
→→→→→→
不妨设AC ＝λAB(λ∈R)，所以OC－OA＝
λ
(OB－OA)，
→→→
即OC＝(1－λ)OA＋λOB，
→→→→→
又OC＝aOA＋bOB，且OA，OB不共线，
?
?
a＝1－λ，
则
?
所以a＋b＝1(定值)．
?
b＝λ，
?


6．2.4 向量的数量积

考点
向量的夹角
学习目标
理解平面向量夹角的定义，并会求
已知两个非零向量的夹角
理解平面向量数量积的含义并会计
算
理解a在b上的投影向量的概念
掌握平面向量数量积的性质及其运
算律，并会应用
核心素养
直观想象、数学运算
向量数量积的含义
投影向量
向量数量积的性质和运
算律
数学抽象、数学运算
数学抽象
数学运算、逻辑推理

- 43 -

问题导学
预习教材P17－P22的内容，思考以下问题：
1．什么是向量的夹角？
2．数量积的定义是什么？
3．投影向量的定义是什么？
4．向量数量积有哪些性质？
5．向量数量积的运算有哪些运算律？

1．两向量的夹角
→
(1)定义：已知两个非零向量a，b，O是平面上的任意一点 ，作OA＝a，
→
OB＝b，则∠AOB＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角．
(2)特例：①当θ＝0时，向量a与b同向；
π
②当θ＝时，向量a与b垂直，记作a⊥b；
2
③当θ＝π时，向量a与b反向．
■名师点拨
按照向量夹角的定义， 只有两个向量的起点重合时所对应的角才是两向
→→→→
量的夹角，如图所示，∠BAC不是向 量CA与AB的夹角．作AD＝CA，则∠BAD
→→
才是向量CA与AB的夹角．
2．向量的数量积
已知两个非零向量a与b，它们的夹角为θ，把数量|a||b|cos_ _θ叫做向量a与b的数量积
(或内积)，记作a·b，即a·b＝|a||b|cos__θ.
规定零向量与任一向量的数量积为0．
■名师点拨
(1)两向量的数量积，其结果 是数量，而不是向量，它的值等于两向量的模与两向量夹角
余弦值的乘积，其符号由夹角的余弦值来决定 ．
(2)两个向量的数量积记作a·b，千万不能写成a×b的形式．
3．投影向量 →→
如图(1)，设a，b是两个非零向量，AB＝a，CD＝b，我们考虑如下变
→→< br>换：过AB的起点A和终点B，分别作CD所在直线的垂线，垂足分别为A
1
，

- 44 -

→→
B
1
，得到A
1
B
1
，我们称上述变换为向量a向向量b投影(project)，A
1
B
1
叫做向量a在向量b上
的投影向量．
→→
如图(2) ，在平面内任取一点O，作OM＝a，ON＝b，过点M作直线ON
→
的垂线，垂足为M
1
，则OM
1
就是向量a在向量b上的投影向量．
→
(2)若与 b方向相同的单位向量为e，a与b的夹角为θ，则OM
1
＝|a|cos θ
e.
■名师点拨
π
π
→→→
当θ＝0时，OM
1
＝|a|e；当θ＝时，OM
1
＝0；当θ∈
?
0，
?
时，OM
1
与b方向相同；当
2
2
??
π
→→
θ∈
?
，π
?
时，OM
1
与b方向相反；当θ ＝π时，OM
1
＝－|a|e.
?
2
?
4．向量数量积的性质
设a，b是非零向量，它们的夹角是θ，e是与b方向相同的单位向量，则
(1)a·e＝e·a＝|a|cos θ.
(2)a⊥b?a·b＝0．
(3)当a与b同向时，a·b＝|a||b|；
当a与b反向时，a·b＝－|a||b| ．特别地，a·a＝|a|
2
或|a|＝a·a.
(4)|a·b|≤|a||b|.
■名师点拨
对于性质(2)，可以用来解决 有关垂直的问题，即若要证明某两个非零向量垂直，只需判
定它们的数量积为0即可；若两个非零向量的 数量积为0，则它们互相垂直．
5．向量数量积的运算律
(1)a·b＝b·a(交换律)．
(2)(λa)·b＝λ(a·b)＝a·(λb)(结合律)．
(3)(a＋b)·c＝a·c＋b·c(分配律)．
■名师点拨
(1)向量的数量积不满足消去律；若a，b，c均为非零向量，且a·c＝b·c，但得不到a＝b.
(2)(a·b)·c≠a·(b·c)，因为a·b，b·c是数量积，是实数，不是向量，所以(a ·b)·c与向量c共
线，a·(b·c)与向量a共线，因此，(a·b)·c＝a·(b·c)在一 般情况下不成立．
(3)(a±b)
2
＝a
2
±2a·b＋b
2
.

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)两个向量的数量积仍然是向量．( )

- 45 -

(2)若a·b＝0，则a＝0或b＝0.( )
(3)a，b共线?a·b＝|a||b|.( )
(4)若a·b＝b·c，则一定有a＝c.( )
(5)两个向量的数量积是一个实数，向量的加法、减法、数乘运算的运算结果是向量．( )
答案：(1)× (2)× (3)× (4)× (5)√
若|m|＝4，|n|＝6，m与n的夹角为45°，则m·n＝( )
A．12
C．－122
解析：选B.m·n＝|m|·|n|cos 45°＝4×6×
B．122
D．－12
2
＝122.
2
?
1
b
?
＝－36，则a与b的夹角为( ) 已知|a|＝10，|b|＝12，且(3a)·
?
5
?
A．60°
C．135°
解析：选B.设a与b的夹角为θ.
B．120°
D．150°
?
1
b
?
＝－36， 因为(3a)·
?
5
?
1
所以3×a·b＝－36，
5
又|a|＝10，|b|＝12，
1
所以3××10×12cos
θ
＝－36，
5
1
所以cos
θ
＝－.
2
又因为θ∈
[
0°，180°
]
，
所以θ＝120°.
4．已知|a|＝2，|b|＝1，且a－b与a＋2b互相垂直，则a·b＝______．
解析：因为a－b与a＋2b互相垂直，
所以(a－b)·(a＋2b)＝0，
即a
2
＋a·b－2b
2
＝0.
又因为|a|＝2，|b|＝1，
所以a·b＝2b
2
－a
2＝2×1
2
－(2)
2
＝0，
即a·b＝0.
答案：0


- 46 -

平面向量的数量积运算
(1)已知|a|＝6，|b|＝4，a与b的夹角为60°，求(a＋2b)·(a＋3b)．

→→
(2)如图，在?ABCD中，|AB|＝4，|AD|＝3，∠DAB＝60°，求：
→→→→
①AD·BC；②AB·DA.
【解】 (1)(a＋2b)·(a＋3b)
＝a·a＋5a·b＋6b·b
＝|a|
2
＋5a·b＋6|b|
2

＝|a|
2
＋5|a||b|cos 60°＋6|b|
2

＝6
2
＋5×6×4×cos 60°＋6×4
2
＝192.
→→
(2)①因为AD∥BC，且方向相同，
→→
所以AD与BC的夹角是0°，
→→→→
所以AD·BC＝|AD||BC|·cos 0°＝3×3×1＝9.
→→
②因为AB与AD的夹角为60°，
→→
所以AB与DA的夹角为120°，
→→→→
所以AB·DA＝|AB||DA|·cos 120°
1
－
?
＝－6. ＝4×3×
?
?
2
?

→→
[变问法]若本例(2)的条件不变，求AC·BD.
→→→→→→
解：因为AC＝AB＋AD，BD＝AD－AB，
→→→→→→
所以AC·BD＝(AB＋AD)·(AD－AB)
→→
＝AD
2
－AB
2
＝9－16＝－7.

向量数量积的求法
(1)求两个向量的数量积，首先确定两个向量的模及向量的夹角，其中准 确求出两向量的
夹角是求数量积的关键．
(2)根据数量积的运算律，向量的加、减与数量积的混合运算类似于多项式的乘法运算．


- 47 -

1．(2018·高考全国卷 Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝( )
A．4
C．2
B．3
D．0
解析：选B.a·(2a－b)＝2a
2
－a·b＝2－(－1)＝3，故选B. < br>→→
2．已知菱形ABCD的边长为a，∠ABC＝60°，则BD·CD＝________．
3
→→→→→→→→→→
解析：BD·CD＝BD·BA＝(BA＋BC)·BA＝( BA)
2
＋BC·BA＝a
2
＋a
2
cos 60°＝a
2
.
2
3
答案：a
2

2

向量模的有关计算
(1)已知平面向量a与b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝( )
A.3
C．4
(2)向量a，b满足|a|＝1，|a－b|＝
1
A.
3
1
C.
5
B．23
D．12
3
，a与b的夹角为60°，则|b|＝( )
2
1
B.
2
1
D.
4
【解析】 (1)|a＋2b|＝（a＋2b）
2
＝a
2
＋4a·b＋4b
2

＝|a|
2
＋4|a||b|cos 60°＋4|b|
2

＝
1
4＋4×2×1×＋4＝23.
2
331
(2)由 题意得|a－b|
2
＝|a|
2
＋|b|
2
－2|a||b |·cos 60°＝，即1＋|b|
2
－|b|＝，解得|b|＝.
442
【答案】 (1)B (2)B

求向量的模的常见思路及方法 < br>(1)求模问题一般转化为求模的平方，与向量数量积联系，并灵活应用a
2
＝|a|< br>2
，勿忘记开
方．
(2)a·a＝a
2
＝|a|
2
或|a|＝a
2
，可以实现实数运算与向量运算的相互转化．

1．已知向量a与b的夹角为120°，且|a|＝4，|b|＝2，则|a＋b|＝______，|3a－ 4b|＝______．
解析：由已知得a·b＝|a||b|cos
θ
＝4×2×cos 120°＝－4， a
2
＝|a|
2
＝16，b
2
＝|b|
2
＝4.
因为|a＋b|
2
＝(a＋b)
2
＝a
2
＋2a·b＋b
2


- 48 -

＝16＋2×(－4)＋4＝12，
所以|a＋b|＝23.
因为|3a－4b|
2
＝(3a－4b)
2
＝9a
2
－24a·b＋16b2

＝9×16－24×(－4)＋16×4＝304，
所以|3a－4b|＝419.
答案：23 419
2．已知向量a，b满足|a|＝|b|＝1，|a－b|＝1，则|a＋b|＝________．
解析：法一：由|a－b|＝1得a
2
－2a·b＋b
2
＝1，
所以|a|
2
－2a·b＋|b|
2
＝1，
所以2a·b ＝1，所以|a＋b|＝a
2
＋2a·b＋b
2
＝1＋1＋1＝3.
法二：如图，因为|a|＝|b|＝|a－b|＝1，

所以△AOB是正三角形，∠AOB＝60°，
1
所以|a－b|
2
＝a
2
－2a·b＋b
2
＝2－2a·b＝1，所以a·b＝，所以|a＋ b|
2
＝a
2
＋2a·b＋b
2
＝1＋
2
1
2×＋1＝3，所以|a＋b|＝3.
2
答案：3

向量的夹角与垂直
命题角度一：求两向量的夹角
(1)已知|a|＝6，|b| ＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则a与b的夹角为________；
(2)(201 9·高考全国卷Ⅰ改编)已知非零向量a，b满足|a|＝2|b|，且(a－b)⊥b，则a与b的
夹 角为______．
【解析】 (1)设a与b的夹角为θ，(a＋2b)·(a－3b)＝a·a－3a·b＋2b·a－6b·b
＝|a|
2
－a·b－6|b|
2

＝|a|
2
－|a||b|cos
θ
－6|b|
2

＝6
2
－6×4×cos
θ
－6×4
2
＝－72，
所以24cos
θ
＝36＋72－96＝12，
1
所以cos
θ
＝.
2
π
又因为θ∈
[
0，π
]
，所以θ＝.
3

- 49 -

b
2
(2) 设a与b的夹角为θ，由(a－b)⊥b，得(a－b)·b＝0，所以a·b＝b，所以cos
θ
＝.
|a||b|
2
又因为|a|＝2|b|，
|b|
2
1
所以cos
θ
＝
2
＝.
2|b|2
又因为θ∈[0，π]，所以θ＝
ππ
【答案】 (1) (2)
33
命题角度二：证明两向量垂直
已知a，b是非零向量，当a＋tb(t∈R)的模取最小值时，求证：b⊥(a＋tb)．
【证明】 因为|a＋tb|＝（a＋tb）
2
＝a
2
＋t
2
b
2
＋2ta·b＝|b|
2
t
2
＋2a·bt＋|a|
2
，
2a·b
a·b
所以当t＝－
2
＝－
2
时，|a＋tb|有最小值．
2|b||b|
a·b
－
2
?
·|b|
2
此时b·(a＋tb)＝b·a＋tb
2
＝a·b＋
?
?
|b|?
＝a·b－a·b＝0.所以b⊥(a＋tb)．
命题角度三：利用夹角和垂直求参数
(1)已知a⊥b，|a|＝2，|b|＝3且向量3a＋2b与ka－b互相垂直，则k的值为( )
3
A．－
2
3
C．±
2
3
B．
2
D．1
π
.
3
π
(2)已知a，b，c为单位向量，且满足3a＋λb＋7c＝0，a与b的夹角为，则实数λ＝__ ______．
3
【解析】 (1)因为3a＋2b与ka－b互相垂直，
所以(3a＋2b)·(ka－b)＝0，
所以3ka
2
＋(2k－3)a·b－2b
2
＝0.
因为a⊥b，所以a·b＝0，
又|a|＝2，|b|＝3，
3
所以12k－18＝0，k＝.
2
(2)由3a＋λb＋7c＝0，可得7c＝－(3a＋λb)，
即49c
2
＝9a
2
＋λ
2
b
2
＋6λa·b，
而a，b，c为单位向量，
则a
2
＝b
2
＝c
2
＝1，
则49＝9＋λ
2
＋6λcos
π
，
3

- 50 -

即λ
2
＋3λ－40＝0，解得λ＝－8或λ＝5.
【答案】 (1)B (2)－8或5

求向量a与b夹角的思路
(1)求向量a与b夹角的关键是计算 a·b及|a||b|，在此基础上结合数量积的定义或性质计算
a·b
cos
θ
＝，最后借助 θ∈[0，π]，求出θ的值．
|a||b|
(2) 在个别含有|a|，|b|与a·b的等量关系中，常利用消元思想计算cos
θ
的值．
π
3
若单位向量e
1
，e
2
的夹角为，向量a＝ e
1
＋λe
2
(λ∈R)，且|a|＝，则λ
32
＝___ _____．
1131
解析：由题意可得e
1
·e
2
＝， |a|
2
＝(e
1
＋λe
2
)
2
＝1＋2 λ×＋λ
2
＝，化简得λ
2
＋λ＋＝0，
2244
1
解得λ＝－.
2
1
答案：－
2

1．已知向量a，b满足|a|＝1，|b|＝4，且a·b＝2，则a与b的夹角θ为( )
π
A.
6
π
C.
3
π
B.
4
π
D.
2
1
解析：选C.由题意，知a·b＝|a||b|cos
θ
＝4cos
θ
＝2，所以cos
θ
＝.又0≤θ≤π，所
2
π
以θ＝.
3
2．已 知|a|＝|b|＝1，a与b的夹角是90°，c＝2a＋3b，d＝ka－4b，c与d垂直，则k的
值为( )
A．－6
C．3
B．6
D．－3
解析：选B.因为c·d＝0，所以(2a＋3b)·(ka－4b)＝0，
所以2ka
2
－8a·b＋3ka·b－12b
2
＝0，
所以2k＝12，所以k＝6.
3．已知|a|＝3，|b|＝5，a·b＝－12，且e是 与b方向相同的单位向量，则a在b上的投
影向量为______．
解析：设a与b的夹角θ，则

- 51 -

a·b－12
4
cos
θ
＝＝＝－，
|a||b|
3×5
5
4
－
?
e 所以a在b上的投影向量为|a|cos
θ
·e＝3×
?
?
5
?
12
＝－e.
5
12
答案：－e
5
4．已知|a|＝1，|b|＝2.
(1)若a∥b，求a·b；
(2)若a，b的夹角为60°，求|a＋b|；
(3)若a－b与a垂直，求a与b的夹角．
解：设向量a与b的夹角为θ.
(1)当a，b同向，即θ＝0°时，a·b＝2；当a，b反向，即θ＝180°时，a·b＝－2.
(2)|a＋b|
2
＝|a|
2
＋2a·b＋|b|
2＝3＋2，|a＋b|＝3＋2.
(3)由(a－b)·a＝0，得a
2
＝a·b，cos
θ
＝
a·b2
＝，又θ∈[0，180°]，故θ＝45°.
|a||b|2
[A 基础达标]
→→
1．已知?ABCD中∠DAB＝30°，则AD与CD的夹角为( )
A．30°
C．120°
B．60°
D．150°
→→
解析：选D.如图，AD与CD的夹角为∠ABC＝150°.

2．已知单位向量a，b，则(2a＋b)·(2a－b)的值为( )
A.3
C．3
B.5
D．5
解析：选C.由题意得(2a＋b)·(2a －b)＝4a
2
－b
2
＝4－1＝3.
3．(2019·北京市十 一中学检测)已知平面向量a，b满足a·(a＋b)＝3且|a|＝2，|b|＝1，则
向量a与b的 夹角为( )
π
A.
6
2π
C.
3

π
B.
3
5π
D.
6
- 52 -

1
解析：选C.因为a·(a＋b)＝a
2＋a·b＝4＋2cos〈a，b〉＝3，所以cos〈a，b〉＝－，又
2
2π
因为〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝.
3
4．若向量a与b的夹角为60°，| b|＝4，(a＋2b)·(a－3b)＝－72，则|a|＝( )
A．2
C．6
B．4
D．12
解析：选C.因为(a＋2b)·(a－3b)＝a
2< br>－a·b－6b
2

＝|a|
2
－|a|·|b|cos 60°－6|b|
2

＝|a|
2
－2|a|－96＝－72.
所以|a|
2
－2|a|－24＝0.
解得|a|＝6或|a|＝－4(舍去)．故选C.
5．(2019·广东佛山质检)如图所 示，△ABC是顶角为120°的等腰三角形，且AB＝1，则
→→
AB·BC等于( )

A．－
3

2
B．
3

2
3
C．－
2
3
D．
2
→→解析：选C.因为△ABC是顶角为120°的等腰三角形，且AB＝1，所以BC＝3，所以AB·BC< br>3
＝1×3×cos 150°＝－.
2
6．若向量a的方向是正南方向，向 量b的方向是北偏东60°方向，且|a|＝|b|＝1，则(－
3a)·(a＋b)＝_______ _．
解析：设a与b的夹角为θ，则θ＝120°，所以(－3a)·(a＋b)＝－3|a|
2
－3a·b＝－3－
13
3×1×1×cos 120°＝－3＋3×＝－.
22
3
答案：－
2
π
7．已知向量a与b的夹角是，且| a|＝1，|b|＝2，若(3a＋λb)⊥a，则实数λ＝________．
3
解析：根据题意得a·b＝|a|·|b|cos
＝3＋λ＝0，所以λ＝－3.
答案：－3
π
＝1，因为(3a＋λb)⊥a，所以(3a＋λb)·a＝3a2
＋λa·b
3

- 53 -

→ →
8．已知在△ABC中，AB＝AC＝4，AB·AC＝8，则△ABC的形状是________．
1
→→→→
解析：因为AB·AC＝|AB||AC|cos∠BAC，即8＝4×4 cos∠BAC，于是cos∠BAC＝，所以
2
∠BAC＝60°.又AB＝AC，故△AB C是等边三角形．
答案：等边三角形
11
9．已知非零向量a，b，满足|a|＝1，(a－b)·(a＋b)＝，且a·b＝.
22
(1)求向量a，b的夹角；
(2)求|a－b|.
1
解：(1)因为(a－b)·(a＋b)＝，
2
11
所以a2
－b
2
＝，即|a|
2
－|b|
2
＝，
22
又|a|＝1，所以|b|＝
2
.设向量a，b的夹角为θ，
2
11
因为a·b＝，所以|a|·|b|cos
θ
＝，
22
所以cos
θ
＝
2
，因为0°≤
θ
≤180°，所以θ＝45°，所以向量a，b的夹角为45°.
2
1
(2)因为| a－b|
2
＝(a－b)
2
＝|a|
2
－2a·b＋|b|
2
＝，
2
所以|a－b|＝
2
.
2
1 0．已知|a|＝2|b|＝2，e是与b方向相同的单位向量，且向量a在向量b方向上的投影向
量为 －e.
(1)求a与b的夹角θ；
(2)求(a－2b)·b；
(3)当λ为何值时，向量λa＋b与向量a－3b互相垂直？
解：(1)由题意知|a|＝2，|b|＝1.
又a在b方向上的投影向量为|a|cos
θ
e＝－e，
2π
1
所以cos
θ
＝－，所以θ＝.
23
(2)易知a·b＝|a|·|b|cos
θ
＝－1，则(a－2b)·b＝a·b－2b
2
＝－1－2＝－3.
(3)因为λa＋b与a－3b互相垂直，
所以(λa＋b)·(a－3b)＝λa
2
－3λa·b＋b·a－3b
2

＝4λ＋3λ－1－3＝7λ－4＝0，
4
所以λ＝.
7

- 54 -

[B 能力提升]
→→→→→→→
11．在△ABC中，若AB
2
＝AB·AC＋BA·BC＋CA·CB，则△ABC是( )
A．等边三角形
C．钝角三角形
B．锐角三角形
D．直角三角形
→→→→→→→→ →→→→→→
解析：选D.因为AB
2
＝AB·AC＋BA·BC＋CA·CB，所以 AB
2
－AB·AC＝BA·BC＋CA·CB，
→→→→→→
所以AB·(AB－AC)＝BC·(BA－CA)，
→→→→→→
所以AB·CB＝BC
2
，所以BC·(BC＋AB)＝0，
→→
所以BC·AC＝0，
所以AC⊥BC，所以△ABC是直角三角形．
12．若|a＋b|＝|a－b|＝2|a|，则向量a－b与b的夹角为( )
π
A.
6
2π
C.
3
π
B.
3
5π
D.
6
解析：选D.由|a＋b|＝|a－b|可得a·b ＝0，由|a－b|＝2|a|可得3a
2
＝b
2
，所以|b|＝3|a|， 设
（a－b）·b－|b|
2
3|a|
2
3
向量a－b与b 的夹角为θ，则cos
θ
＝＝＝－
2
＝－
2
，又θ∈[0 ，
|a－b||b|
2|a|·3|a|23|a|
5π
π]，所以θ＝.
6
→→→→
13．在△ABC中，∠BAC＝120°，AB＝2，AC＝1，D是边 BC上一点，DC＝2BD，则AD·BC
＝________．

→→→
1
→→→→
解析：由DC＝2BD，所以BD＝BC，BC＝AC－AB，
3
→→→→→
故AD·BC＝(AB＋BD)·BC
→
1
→→
?
→→
AB＋·（AC－AB）
·(AC－AB) ＝
?
3
??
2
→
1
→
?
→→
＝
?< br>?
3
AB＋
3
AC
?
·(AC－AB)
1
→→
1
→
2
→
＝AB·AC＋AC
2
－A B
2

333
1
11
→→
1
→
2
→
128
－
?
＋×1－×2
2
＝－. ＝|AB||AC|cos 120°＋|AC|
2
－|AB|
2
＝×2×1 ×
?
?
2
?
3333333

- 55 -

8
答案：－
3
14．设向量e
1
，e
2
满足|e
1
|＝2，|e
2
|＝1，e
1
，e
2
的夹角为60°，若向量2te
1
＋7e
2
与向量e
1
te
2
的夹角为钝角，求实数t的取值范围．
解：由向 量2te
1
＋7e
2
与e
1
＋te
2
的夹 角为钝角，
得
（2te
1
＋7e
2
）·（e
1< br>＋te
2
）
|2te
1
＋7e
2
|·|e< br>1
＋te
2
|
<0，
即(2te
1
＋7e
2
)·(e
1
＋te
2
)<0，
化简即得2t
2
＋15t＋7<0，

画出y＝2t
2
＋15t＋7的图象，如图．
若2t
2
＋15t＋7<0，
则t∈
?
?
－7，－
1
2
?
?
.
当夹角为π时，也有(2te
1
＋7e
2
)·(e
1
＋te
2
)<0，
但此时夹角不是钝角，
设2te
1
＋7e
2
＝λ(e
1
＋te
2
)，
λ
<0 ，可得
?
?
2t＝λ，
?
λ
＝－14，
?
7＝λt，
?
?
?
?

?
λ
<0
?
14
?
t＝－
2
.
所以所求实数t的取值范围是 ?
－7，－
14
?
∪
?
－
14
?2
??
2
，－
1
2
?
?
.
[C 拓展探究]
15．在四边形ABCD中，已知AB＝9，BC＝6，CP
→< br>＝2PD
→
.
(1)若四边形ABCD是矩形，求AP
→
·BP
→
的值；
(2)若四边形ABCD是平行四边形，且AP
→
·BP
→
＝6，求AB< br>→
与AD
→
夹角的余弦值．
解：(1)因为四边形ABCD是矩形，所以AD
→
·DC
→
＝0，
由CP
→
＝2PD
→
，得DP
→
＝
1→→
2
→
2
→
3
DC，CP＝
3
CD ＝－
3
DC.
所以AP
→
·BP
→
＝
(
AD
→
＋DP
→
)
·
(
BC
→< br>＋CP
→
)

＝
?
?
AD
→
＋
1
3
DC
→
?
?
·
?
→2
→
?
AD－
3
DC
?
?

- 56 -
＋

2
→→
2< br>→
2
→
2
－
1
AD＝
AD
·DC－
DC
＝36－×81＝18.
399
→→→→
1
→→1
→
(2)由题意，AP＝AD＋DP＝AD＋DC＝AD＋AB，
33
→→→→
2
→→
2
→
BP＝BC＋CP＝BC＋CD＝AD－AB ，
33
→
1
→→
2
→
→→
AD＋AB< br>?
·
?
AD－AB
?
所以AP·BP＝
?
3
??
3
??
→→
2
→
2
→
2< br>－
1
AB＝
AD
·AD－
AB

39
1
→→
1
→→
＝36－AB·AD－18＝18－AB·AD.
33
→→
又AP·BP＝6，
1
→→
所以18－AB·AD＝6，
3
→→
所以AB·AD＝36.
→→
设AB与AD的夹角为θ，
→→→→
又AB·AD＝|AB|·|AD|cos
θ
＝9×6×cos
θ
＝54cos
θ
，
2
所以54cos
θ
＝36，即cos
θ
＝.
3
2
→→
所以AB与AD夹角的余弦值为.
3



6．3.1 平面向量基本定理

考点
平面向量基本定理
学习目标
理解平面向量基本定理及其意
义，了解向量基底的含义
掌握平面向量基本定理，会用基
底表示平面向量
核心素养
数学抽象
平面向量基本定理的应用 数学抽象、数学运算

问题导学
预习教材P25－P27的内容，思考以下问题：
1．基底中两个向量可以共线吗？

- 57 -

2．平面向量基本定理的内容是什么？

平面向量基本定理
条件
结论
e
1
，e
2
是同一平面内的两个不共线向量
对于这一平面 内的任一向量a，有且只有一对实数λ
1
，λ
2
，
使a＝λ
1
e
1
＋λ
2
e
2

若e
1，e
2
不共线，把{e
1
，e
2
}叫做表示这一平面内 所有向量的
一个基底
基底
■名师点拨
(1)e
1
， e
2
是同一平面内的两个不共线的向量，{e
1
，e
2
}的 选取不唯一，即一个平面可以有
多个基底．
(2)基底{e
1
，e
2
}确定后，实数λ
1
，
λ
2
是唯一确定的．

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)基底中的向量不能为零向量．( )
(2)平面内的任何两个向量都可以作为一个基底．( )
(3)若a，b不共线，且λ< br>1
a＋μ
1
b＝λ
2
a＋μ
2
b，则λ1
＝λ
2
，μ
1
＝μ
2
. ( )
(4)平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这个基底唯
一表示．( )
答案：(1)√ (2)× (3)√ (4)√
设e
1
，e
2
是同一平面内两个不共线的向量，以下各组向量中不能作为基底的是( )
A．2e
1
，3e
2

C．e
1
，5e
2

答案：B
→→→
若AD是△ABC的中线，已知AB＝a，AC＝b，则以{a，b}为基底表示AD＝( )
1
A.(a－b)
2
1
C.(b－a)
2
1
B.(a＋b)
2
1
D.b＋a
2
B．e
1
＋e
2
，3e
1
＋3e
2

D．e
1
，e
1
＋e
2

→
解析 ：选B.如图，AD是△ABC的中线，则D为线段BC的中点，从而BD
→→→→→→
1→→
1
＝DC，即AD－AB＝AC－AD，从而AD＝(AB＋AC)＝(a＋b)．
22


- 58 -

平面向量基本定理的理解
设e
1
，e
2
是不共线的两个向量，给出下列四组向量：
①e1
与e
1
＋e
2
；②e
1
－2e
2< br>与e
2
－2e
1
；③e
1
－2e
2
与4e
2
－2e
1
；④e
1
＋e
2
与e< br>1
－e
2
.
其中，不能作为平面内所有向量的一组基底的是________(写出满足条件的序号)．
?
?
λ
＝1，
【解析】 ①设e
1
＋e
2
＝λe
1
，则
?
无解，
?
1＝0，
?
所以e
1
＋e
2
与e
1
不共线，即e
1
与e
1
＋e
2
能作为一组基底 ．
②设e
1
－2e
2
＝λ(e
2
－2e
1
)，则(1＋2λ)e
1
－(2＋λ)e
2
＝0，
?< br>?
1＋2λ＝0，
则
?
无解，所以e
1
－2e
2
与e
2
－2e
1
不共线，即e
1
－2e
2
与e
2
－2e
1
能作为一组基
?
2＋λ＝0，
?
底．
1
③因为e
1
－2e
2
＝－(4 e
2
－2e
1
)，
2
所以e
1
－2e< br>2
与4e
2
－2e
1
共线，
即e
1
－2e
2
与4e
2
－2e
1
不能作为一组基底．
?
?
1－λ＝0，
④设e
1
＋e
2
＝λ(e1
－e
2
)，则(1－λ)e
1
＋(1＋λ)e
2＝0，则
?
无解，所以e
1
＋e
2
与e
1－
?
1＋λ＝0，
?
e
2
不共线，即e
1＋e
2
与e
1
－e
2
能作为一组基底．
【答案】 ③

对基底的理解
(1)两个向量能否作为一个基底，关键是 看这两个向量是否共线．若共线，则不能作基底，
反之，则可作基底．
(2)一个平面的基底 一旦确定，那么平面上任意一个向量都可以用这个基底唯一线性表示
?
?
x
1
＝x
2
，
出来．设向量a与b是平面内两个不共线的向量，若x
1< br>a＋y
1
b＝x
2
a＋y
2
b，则
?

?
y
1
＝y
2
.
?
[提醒] 一个平面的基底不是唯一的，同一个向量用不同的基底表示，表达式不一样．

1．设点O是 ?ABCD两对角线的交点，下列的向量组中可作为这个平行四边形所在平面
上表示其他所有向量的基底 的是( )
→→→→→→→→
①AD与AB；②DA与BC；③CA与DC；④OD与OB.
A．①②
C．①④
B．①③
D．③④

- 59 -

→→→→
解析：选B.寻找不共 线的向量组即可，在?ABCD中，AD与AB不共线，CA与DC不共线；
→→→→
而DA∥ BC，OD∥OB，故①③可作为基底．
2．点O为正六边形ABCDEF的中心，则可作为基底的一对向量是( )

→→
，BC
→→
，CF
→→
，CD
→→
，DE
→→→→→→→→
解析：选B. 由题图可知，OA与BC，AB与CF，AB与DE共线，不能作为基底向量，OA与CD
不共线，可作 为基底向量．

用基底表示平面向量
如图所示，在?ABCD中，点E，F分别 为BC，DC边上的中点，DE与BF交于点
→→→→
G，若AB＝a，AD＝b，试用基底{ a，b}表示向量DE，BF.

→→→→
【解】 DE＝DA＋AB＋BE
→→
1
→
＝－AD＋AB＋BC
2
1
→→
1
→
＝－AD＋AB＋AD＝a－b.
22
→→→→
BF＝BA＋AD＋DF
1
→→
1
→
＝－AB＋AD＋AB＝b－a.
22

→
1．[变问法]本例条件不变，试用基底{a，b}表示AG.
2
解：由平面几何知识知BG＝BF，
3
→→→→
2
→
故AG＝AB＋BG＝AB＋BF
3
1
2
b－a
?
＝a＋
?
3
?
2
?

- 60 -

2122
＝a＋b－a＝a＋b.
3333
→→ →→→→
2．[变条件]若将本例中的向量“AB，AD”换为“CE，CF”，即若CE＝a，CF＝ b，试用
→→
基底{a，b}表示向量DE，BF.
→→→→→→→
解：DE＝DC＋CE＝2FC＋CE＝－2CF＋CE＝－2b＋a.
→→→→→
BF＝BC＋CF＝2EC＋CF
→→
＝－2CE＋CF＝－2a＋b.

用基底表示向量的两种方法
(1)运用向量的线性运算法则对待求向量不断进行转化，直至用基底表示为止．
(2)通过列向量方程或方程组的形式，利用基底表示向量的唯一性求解．

→
1
→→→→
1．在△ABC中，点D在边AB上，且BD＝DA，设CB＝a，CA＝ b，则CD为( )
2
12
A.a＋b
33
34
C.a＋b
55
21
B.a＋b
33
43
D.a＋b
55
1
→
12
→< br>1
→→→→→
解析：选B.因为BD＝DA，CB＝a，CA＝b，所以CD＝a＋BD ＝a＋BA＝a＋(b－a)＝
2333
1
a＋b.
3
2．如图， 已知在梯形ABCD中，AD∥BC，E，F分别是AD，BC边上的中点，且BC＝
→→→→
3AD，BA＝a，BC＝b.试以{a，b}为基底表示EF，DF.

1
解：连接FA，DF.因为AD∥BC，且AD＝BC，
3
→
1
→
1
→
1
→
1
所以AD＝BC＝b，所以AE＝A D＝b.
3326
1
→
1
→→
1
→→→
因为BF＝BC，所以BF＝b，所以FA＝BA－BF＝a－b.
222
1
11
→→→→→
a－b
?
＝b－a， 所 以EF＝EA＋AF＝－AE－FA＝－b－
?
6
?
2
?
3
1
1
1
→→→→→
a－b
?
?
＝b－a. DF＝DA＋AF＝－(AD＋FA)＝－
?
3
b＋
?
?
2
?
?
6
?

- 61 -

平面向量基本定理的应用
如图，在△ABC中，点M是BC的中点，点N在AC 上，且AN＝2NC，AM与BN
相交于点P，求AP∶PM与BP∶PN.

→→
【解】 设BM＝e
1
，CN＝e
2
，
→→ →→→→
则AM＝AC＋CM＝－3e
2
－e
1
，BN＝BC＋CN ＝2e
1
＋e
2
.
因为A，P，M和B，P，N分别共线， →→
所以存在实数λ，
μ
使得AP＝λAM＝－λe
1
－3λe
2
，
→→
BP＝μBN＝2μe
1
＋μe
2
.
→→→ →→
故BA＝BP＋PA＝BP－AP＝(λ＋2μ)e
1
＋(3λ＋μ)e
2
.
→→→
而BA＝BC＋CA＝2e
1
＋3e
2
，由平面向量基本定理，
?
λ＋2μ＝2，
?
得
?
< br>?
3
λ
＋μ＝3，
?
?
解得
?
3< br>μ
＝
?
5
.
λ
＝
5
，
4< br>
→
4
→→
3
→
所以AP＝AM，BP＝BN，
55
所以AP∶PM＝4∶1，BP∶PN＝3∶2.

→→→
1．[变问法]在本例条件下，若CM＝a，CN＝b，试用a，b表示CP.
→
2
→
解：由本例解析知BP∶PN＝3∶2，则NP＝NB，
5
2
→→→→→→
2
→
CP＝CN＋NP＝CN＋NB＝b＋(CB－ CN)
55
4234
＝b＋a－b＝b＋a.
5555
2．[变 条件]若本例中的点N为AC的中点，其他条件不变，求AP∶PM与BP∶PN.

- 62 -

→→
解：如图，设BM＝e
1
，CN＝e
2
，
→ →→→→→
则AM＝AC＋CM＝－2e
2
－e
1
，BN＝BC＋C N＝2e
1
＋e
2
.
因为A，P，M和B，P，N分别共线， < br>→→
所以存在实数λ，
μ
使得AP＝λAM＝－λe
1
－2λ e
2
，
→→
BP＝μBN＝2μe
1
＋μe
2
.
→→→ →→
故BA＝BP＋PA＝BP－AP＝(λ＋2μ)e
1
＋(2λ＋μ)e
2
.
→→→
而BA＝BC＋CA＝2e
1
＋2e
2
，由平面向量基本定理，
?
?
λ
＋2μ＝2，
得
?

?
2
λ
＋μ＝2，
?
?
λ
＝
3
，
解得
?

2
?
μ
＝
3
.
→
2
→→
2
→
所以AP＝AM，BP＝BN，
33
所以AP∶PM＝2，BP∶PN＝2.

若直接利用基底表示向量比 较困难，可设出目标向量并建立其与基底之间满足的二元关
系式，然后利用已知条件及相关结论，从不同 方向和角度表示出目标向量(一般需建立两个不
同的向量表达式)，再根据待定系数法确定系数，建立方 程或方程组，解方程或方程组即得．

1．设{e
1
，e
2< br>}是平面内的一个基底，且a＝e
1
＋2e
2
，b＝－e
1< br>＋e
2
，则e
1
＋e
2
＝______a＋
______b.
?
?
a＝e
1
＋2e
2
，解析：由
?
，解得
?
b＝－e＋e
?
12
2< br>?
?
11
?
e＝
3
a＋
3
b.2
12
e
1
＝a－b，
33

12
? ?
11
?
2
?
1
?
故e
1
＋e< br>2
＝
?
?
3
a－
3
b
?
＋
?
3
a＋
3
b
?
＝
3
a＋
?
－
3
?
b.
21
答案： －
33
→→→
1
→→
2．在△ABC中，D为AB上一点，若AD＝2DB，CD＝CA＋λ CB，则λ＝______．
3

- 63 -

→→
解析：因为AD＝2DB，
→
2
→
2
→→
所以AD＝AB＝(CB－CA)．
33
→→→→
2
→→
1
→
2
→
因为在△ ACD中，CD＝CA＋AD＝CA＋(CB－CA)＝CA＋CB，
333
2
所以λ＝.
3
2
答案：
3

→→→
1．如图在矩形ABCD中，若BC＝5e
1
，DC＝3e
2
，则OC＝( )

1
A.(5e
1
＋3e
2
)
2
1
C.(3e
2
－5e
1
)
2
→
1
→
1
→→
解析：选＝AC＝(BC＋AB)
22
1
→→
1
＝(BC＋DC)＝(5e
1
＋3e
2
)．
22
→→→→→→→
2．已知非零向量OA，OB不共线， 且2OP＝xOA＋yOB，若PA＝λAB(λ∈R)，则x，y满足
的关系是( )
A．x＋y－2＝0
C．x＋2y－2＝0
B．2x＋y－1＝0
D．2x＋y－2＝0
1
B.(5e
1
－3e
2
)
2
1
D.(5e
2
－3e
1
)
2
→→→→→→→→→→→
解析：选A.由PA＝λAB，得OA－OP＝λ(OB－OA)，即OP＝ (1＋λ)OA－λOB.又2OP＝xOA
?
?
x＝2＋2λ，
→
＋yOB，所以
?
消去λ得x＋y＝2.
?
y＝－2λ，
?
→→
3.如图，在平行四边形ABCD中，设AC＝a，BD＝b，试用基底{a，b}
→→
表示AB，BC.
→→
1
→
1
→→
解：法一：设 AC，BD交于点O，则有AO＝OC＝AC＝a，BO＝OD＝
22
1
→
1
BD＝b.
22
→→→→→
11
所以AB＝AO＋OB＝AO－BO＝a－b，
22

- 64 -

→→→
11
BC＝BO＋OC＝a＋b.
22
→→→→
法二：设AB＝x，BC＝y，则AD＝BC＝y，
→→→
?
?
AB＋BC＝AC，
又
?

→ →→
?
?
AD－AB＝BD，
?
?
x＋y＝a，
1 111
所以
?
解得x＝a－b，y＝a＋b，
2222
?
y－x＝b，
?
→
11
→
11
即AB＝a－b，BC＝a＋ b.
2222
[A 基础达标]
1．若e
1
，e
2是平面α内两个不共线的向量，则下列说法不正确的是( )
①λe
1
＋μe
2
(λ，μ∈R)可以表示平面α内的所有向量；
②对于平面α中的任一向量a，使a＝λe
1
＋μe
2
的实数λ，μ 有无数多对；
③若λ
1
，μ
1
，λ
2
，μ
2
均为实数，且向量λ
1
e
1
＋μ
1
e
2
与λ
2
e
1
＋μ
2
e
2
共线， 则有且只有一个
实数λ，使λ
1
e
1
＋μ
1
e2
＝λ(λ
2
e
1
＋μ
2
e
2
)；
④若存在实数λ，μ使λe
1
＋μe
2
＝0，则λ＝μ＝0.
A．①②
C．③④
B．②③
D．②
解析：选B.由平面向量基本定理，可知①④说法正确，②说法不正确．对于③，当λ
1
＝< br>λ
2
＝μ
1
＝μ
2
＝0时，这样的λ有无数个．故选 B.
→→→
2．在矩形ABCD中，O是对角线的交点，若BC＝e
1
，D C＝e
2
，则OC＝( )
1
A.(e
1
＋e
2
)
2
1
C.(2e
2
－e
1
)
2
1
B.(e
1
－e
2
)
2
1
D.(e
2
－e
1
)
2
→ →→
1
→→
解析：选A.因为O是矩形ABCD对角线的交点，BC＝e
1< br>，DC＝e
2
，所以OC＝(BC＋DC)
2
1
＝(e
1
＋e
2
)，故选A.
2
→→→
3．已知{e
1
，e
2
}为基底，向量AB＝e
1
－ke
2
，C B＝2e
1
－e
2
，CD＝3e
1
－3e
2
，若A，B，D三
点共线，则k的值是( )
A．2
C．－2
B．－3
D．3
→→→→→
解析：选＝CB－CD＝－e
1＋2e
2
＝－(e
1
－2e
2
)．又A，B，D三点共 线，则DB和AB是

- 65 -

共线向量，所以k＝2.
→→→
4．已知△ABC的边BC上有一点D，满足BD＝3 DC，则AD可表示为( )
→
3
→
1
→
＝AB＋AC
44
→→→
＝－2AB＋3 AC
→
1
→
3
→
＝AB＋AC
44
→
2
→
1
→
＝AB＋AC
33→→→→→→
3
→→
3
→→
1
→
3
→
解析：选B.由BD＝3 DC，得AD＝AB＋BD＝AB＋BC＝AB＋(AC－AB)＝AB＋AC.
4444
→ →→→
5．若D点在三角形ABC的边BC上，且CD＝4DB＝rAB＋sAC，则3r＋s的值为( )
16
A.
5
8
C.
5
→→→→
解析：选C.因为CD＝4DB＝rAB＋sAC，
→
4
→
4
→→→→
所以CD＝CB＝(AB－AC)＝rAB＋sAC，
55
44
所以r＝，s＝－.
55
1248
所以3r＋s＝－＝.
555
6．已知{a，b}是 一个基底，实数x，y满足(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，则x－y的值
为___ _____．
解析：因为{a，b}是一个基底，所以a与b不共线，
因为(3x－4y)a＋(2x－3y)b＝6a＋3b，
?
3x－4y＝6，?
x＝6，
??
所以
?
解得
?
所以x－y＝3 .
??
2x－3y＝3，y＝3，
??
12
B.
5
4
D.
5
答案：3
→→→
7．已知O，A， B是平面上的三个点，直线AB上有一点C，满足2AC＋CB＝0，若OA＝
→→→
a，OB ＝b，用a，b表示向量OC，则OC＝________．
→→→→→→→→→→→→
解析 ：AC＝OC－OA，CB＝OB－OC，因为2AC＋CB＝0，所以2(OC－OA)＋(OB－OC)→→→
＝0，所以OC＝2OA－OB＝2a－b.
答案：2a－b
8.如图 ，在平行四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，E为线段
→→→
AO的中点，若BE＝λ BA＋μBD(λ，μ∈R)，则λ＋μ＝______．

- 66 -

1
→→→
1
→→
1
→→→→1
→
1
→
解析：因为BE＝BO＋OE＝BD＋EA＝BD＋EB＋BA ，所以BE＝BA＋BD，所以
λ
＝，
22242
μ
＝
4< br>，
λ
＋μ＝
4
.
3
答案：
4
9 ．设e
1
，e
2
是不共线的非零向量，且a＝e
1
－2e< br>2
，b＝e
1
＋3e
2
.
(1)证明：{a，b}可以作为一个基底；
(2)以{a，b}为基底表示向量c＝3e
1
－e
2
.
解：(1)证明：假设a＝λb(λ∈R)，
则e
1
－2e
2＝λ(e
1
＋3e
2
)．
?
λ
＝1，
?
由e
1
，e
2
不共线，得
?

?
3
λ
＝－2，
?
13
所以λ不存在．
故a与b不共线，可以作为一个基底．
(2)设c＝ma＋nb(m，n∈R)，
则3e
1
－e
2
＝m(e
1
－2e
2
)＋ n(e
1
＋3e
2
)＝(m＋n)e
1
＋(－2m＋3n) e
2
.
??
?
m＋n＝3，
?
m＝2，
所以
?
解得
?

??
－2m＋3n＝－1，n＝1.
??
所以c＝2a＋b.
→< br>1
→→
10.如图所示，设M，N，P是△ABC三边上的点，且BM＝BC，CN＝< br>3
1
→→
1
→→→→→→
CA，AP＝AB，若AB＝a，A C＝b，试用a，b将MN，NP，PM表示出来．
33
→→→
1
→
2
→
12
解：NP＝AP－AN＝AB－AC＝a－b，
3333
1
→
2
→
1221
→→→
MN＝CN－CM＝－AC－C B＝－b－(a－b)＝－a＋b，
333333
→→→→
1
PM＝－MP＝－(MN＋NP)＝(a＋b)．
3
[B 能力提升]
11．若{e
1
，e
2
}是 平面内所有向量的一个基底，且a＝3e
1
－4e
2
，b＝6e
1< br>＋ke
2
不能构成一个
基底，则k的值为______．
解析：当 a∥b时，a，b不能构成一个基底，故存在λ，使得a＝λb，即3e
1
－4e
2< br>＝λ(6e
1
＋ke
2
)，
1
所以6λ＝3，且kλ＝－4.解得λ＝，k＝－8.
2
答案：－8

- 67 -

→→→→
12．已知平行四边形 ABCD中，E为CD的中点，AP＝yAD，AQ＝xAB，其中x，y∈R，
x
→→
且均不为0.若PQ∥BE，则＝________．
y
→→→→→→→→→→→→
解析：因为PQ＝AQ－AP＝xAB－yAD，由PQ∥BE，可设PQ＝λBE，即xAB－yAD＝λ( CE
1
→→
λ
→→→
－AB＋AD
?
＝－AB＋< br>λ
AD， －CB)＝
λ
?
?
2
?
21
?
?
x＝－
2
λ，
x1
所以
?则＝.
y2
?
?
y＝－λ，
1
答案：
2< br>→→
13.如图所示，在△OAB中，OA＝a，OB＝b，M，N分别是边OA，OB上的→
1
→
1
→→→→
点，且OM＝a，ON＝b，设AN与BM交 于点P，用向量a，b表示OP，则OP＝
32
______．
→→→→→→
解析：因为OP＝OM＋MP，OP＝ON＋NP，
→→→→
设MP＝mMB，NP＝nNA，
1
→→→
1
则OP＝OM＋mMB＝a＋m(b－a)
33
1
＝(1－m)a＋mb，
3
→→→
1
OP＝ON＋nNA＝(1－n)b＋na.
2
1
（1－m）＝n，
3
1
因为a与b不共线，所以
?n＝
.
5
1
（1－n）＝m.
2
?
?
?
→< br>12
所以OP＝a＋b.
55
12
答案：a＋b
5514.如图，平行四边形ABCD的对角线AC，BD交于O点，线段
→→→→
OD上有点 M满足DO＝3DM，线段CO上有点N满足OC＝λON(λ>0)，
1
→→→
设A B＝a，AD＝b，已知MN＝μa－b，试求实数λ，μ的值．
6
→→
解：依题意得BD＝b－a，AC＝a＋b，
11
→
1
→
1
且DM＝DB＝(a－b)＝a－b，
6666

- 68 -

11
?
→
?
11
?
→→→
AN＝AO＋ON＝
?
?2
＋
2λ
?
AC＝
?
2
＋
2λ
?
(a＋b)，
11
?
15
→→→
所以AM＝AD＋D M＝b＋
?
?
6
a－
6
b
?
＝
6
a＋
6
b，
11
2
→→→
15
μ
a－
6
b
?
＝
?
6
＋μ
?
a＋ b， AN＝AM＋MN＝a＋b＋
?
???
366
?
11
?
1
2
→
＋
(a＋b)＝
?
＋μ
?
a＋b， 即AN＝
?
?
22λ
??
6
?
3由平面向量基本定理，得
λ
＝3，
?
?
?
?
111
解得
?
μ
＝
1
.

2
?< br>?
2
＋
2λ
＝
6
＋μ，
?
[C 拓展探究]
21
→→
15．如图所示，在?ABCD中，AB＝a，AD＝b，BM ＝BC，AN＝AB.
34
112
＋＝，
22λ3

→→
(1)试用向量a，b来表示DN，AM；
(2)AM交DN于O点，求AO∶OM的值．
12
→
1
→
1
→→→
1
解：(1)因为AN＝AB，所以AN＝AB＝a，所以DN＝AN－A D＝a－b.因为BM＝BC，
44443
2
→
2
→
2→
2
→→→
所以BM＝BC＝AD＝b，所以AM＝AB＋BM＝a＋b. 3333
→→→→→→→→→
(2)因为A，O，M三点共线，所以AO∥AM，设AO＝
λ
AM，则DO＝AO－AD＝λ AM－AD
22
→→→
a＋b< br>?
－b＝λa＋
?
λ
－1
?
b.因为D，O，N三点 共线，所以DO∥DN，存在实数μ使DO＝＝λ
?
?
3
??
3?
21
→
λ
－1
?
b＝
μ
?
a－b
?
.由于向量a，
μDN
，则λa＋
?
b不共线，则
?
3
??
4
?
→
3
→→
11→
所以AO＝AM，OM＝AM，所以AO∶OM＝3∶11.
1414






??
解得
??
26< br>λ
－1＝－μ，
μ
＝
?
3
?
7
.< br>λ
＝
4
μ，
1
λ
＝
14
，
3

- 69 -

6.3.2 平面向量的正交分解及坐标表示
6.3.3 平面向量加、减运算的坐标表示
6.3.4 平面向量数乘运算的坐标表示

考点
平面向量的坐标表示
学习目标
理解向量正交分解以及坐标表
示的意义
掌握两个向量的和、差及向量数
乘的坐标运算法则
理解坐标表示的平面向量共线
的条件，并会解决向量共线问题
核心素养
数学抽象、直观想象
平面向量加、减运算的坐标表示 数学运算
平面向量数乘运算的坐标表示 数学运算、逻辑推理
第1课时 平面向量的分解及加、减、数乘运算的坐标表示

问题导学
预习教材P27－P33的内容，思考以下问题：
1．怎样分解一个向量才为正交分解？
2．如何求两个向量和、差的向量的坐标？
3．一个向量的坐标与有向线段的起点和终点坐标之间有什么关系？
4．若a＝(x，y)，则λa的坐标是什么？

1．平面向量坐标的相关概念

■名师点拨
(1)平面向量的正交分解实质上是平面向量基本定理的一种应用形式 ，只是两个基向量e
1
和e
2
互相垂直．
(2)由向量坐标的定义 知，两向量相等的充要条件是它们的横、纵坐标对应相等，即a＝
b?x
1
＝x
2
且y
1
＝y
2
，其中a＝(x
1
，y
1
)，b＝(x
2
，y
2
)．
2．平面向量的坐标运算

- 70 -

(1)若a＝(x
1
， y
1
)，b＝(x
2
，y
2
)，λ∈R，则
①a ＋b＝(x
1
＋x
2
，y
1
＋y
2
)；
②a－b＝(x
1
－x
2
，y
1
－y
2< br>)；
③λa＝(λx
1
，λy
1
)．
(2)一个向量的坐标等于表示此向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标．
■名师点拨
(1)向量的坐标只与起点、终点的相对位置有关，而与它们的具体位置无关．
→→
(2)已知向量AB的起点A(x
1
，y
1
)，终点B(x
2
，y
2
)，则AB＝(x
2
－x
1
，y
2
－y
1
)．

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)点的坐标与向量的坐标相同．( )
(2)零向量的坐标是(0，0)．( )
(3)两个向量的终点不同，则这两个向量的坐标一定不同．( )
(4)当向量的起点在坐标原点时，向量的坐标就是向量终点的坐标．( )
答案：(1)× (2)√ (3)× (4)√
→
已知A(3，1)，B(2，－1)，则BA的坐标是( )
A．(－2，－1)
C．(1，2)
答案：C
→
如果用i，j分别表示x轴和y轴正方 向上的单位向量，且A(2，3)，B(4，2)，则AB可
以表示为( )
A．2i＋3j
C．2i－j
答案：C
设i＝(1，0)， j＝(0，1)，a＝3i＋4j，b＝－i＋j，则a＋b与a－b的坐标分别为____________．
答案：(2，5)，(4，3)
B．4i＋2j
D．－2i＋j
B．(2，1)
D．(－1，－2)


平面向量的坐标表示
→
已知O是坐标原点，点A在第一象限，|OA|＝43，∠xOA＝60°，
→
(1)求向量OA的坐标；

- 71 -

→
(2)若B(3，－1)，求BA的坐标．
→→
【解】 (1)设点A(x，y)，则x＝|OA|cos 60°＝43cos 60°＝23，y＝|OA|sin 60°＝43
sin 60°＝6，
→
即A(23，6)，所以OA＝(23，6)．
→
(2)BA＝(23，6)－(3，－1)＝(3，7)．

求点和向量坐标的常用方法
(1)求一个点的坐标，可以转化为求该点相对于坐标原点的位置的坐标．
(2)求一个向量 的坐标时，可以首先求出这个向量的始点坐标和终点坐标，再运用终点坐
标减去始点坐标得到该向量的坐 标．

1.在平面直角坐标系xOy中，向量a，b的方向如图所示，且|a|＝2，
|b|＝3，则a的坐标为________，b的坐标为________．
解析：设点A(x， y)，B(x
0
，y
0
)，因为|a|＝2，且∠AOx＝45°，所
以x＝2cos 45°＝2，y＝2sin 45°＝2.又|b|＝3，∠xOB＝90°＋30°
333
→→
＝120°，所以x
0
＝3cos 120°＝－，y
0
＝3sin 120°＝，故a＝OA＝(2，2)，b＝OB＝
22
?
－
3
，
33
?
.
?
22
?
333
?
答案：(2，2)
?
－，

?
22
?
2．已知长方形ABCD的长为 4，宽为3，建立如图所示的平面直角坐标系，i是x轴上的
→→
单位向量，j是y轴上的单位 向量，试求AC和BD的坐标．

解：由题图知，CB⊥x轴，CD⊥y轴，
→
因为AB＝4，AD＝3，所以AC＝4i＋3j，
→
所以AC＝(4，3)．
→→→→→
因为BD＝BA＋AD＝－AB＋AD，
→→
所以BD＝－4i＋3j，所以BD＝(－4，3)．

- 72 -

平面向量的坐标运算
(1)已知向量a＝(5，2)，b＝(－4，－3)，若c满足3a－2b＋c＝0，则c＝( )
A．(－23，－12)
C．(7，0)
B．(23，12)
D．(－7，0)
→→→→
(2)已知A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且CM＝3 CA，CN＝2 CB，求点M，N的
坐标．
【解】 (1)选A.因为a＝(5，2)，b ＝(－4，－3)，且c满足3a－2b＋c＝0，所以c＝2b
－3a＝2(－4，－3)－3(5， 2)＝(－8－15，－6－6)＝(－23，－12)．
(2)法一：因为A(－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，
→
所以CA＝(－2，4)－(－3，－4)＝(1，8)，
→
CB＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6，3)．
→→→→
因为CM＝3 CA，CN＝2 CB，
→→
所以CM＝3(1，8)＝(3，24)，CN＝2(6，3)＝(12，6)．
设M(x
1
，y
1
)，N(x
2
，y
2
)，
→
所以CM＝(x
1
＋3，y
1
＋4)＝(3，24)，
→
CN＝(x
2
＋3，y
2
＋4)＝(12，6)， ??
?
x
1
＋3＝3，
?
?
x
2＋3＝12，
?
x
1
＝0，
?
?
x
2
＝9，
??
所以
?
解得
?

?
y
1
＋4＝24，
?
?
y
2
＋4＝6.
?< br>y
1
＝20，
?
?
y
2
＝2.
??
所以M(0，20)，N(9，2)．
→→→→
法二：设O为坐标原点，则由CM＝3 CA，CN＝2 CB，
→→→→→→→→
可得OM－OC＝3(OA－OC)，ON－OC＝2(OB－OC)，
→→→→→→
所以OM＝3 OA－2 OC，ON＝2 OB－OC.
→
所以OM＝3(－2，4)－2(－3，－4)＝(0，20)，
→
ON＝2(3，－1)－(－3，－4)＝(9，2)．
所以M(0，20)，N(9，2)．

平面向量坐标(线性)运算的方法
(1)若已知向量的坐标，则直接应用两个向量和、差及向量数乘的运算法则进行．
(2)若已知有向线段两端点的坐标，则必须先求出向量的坐标，然后再进行向量的坐标运

- 73 -

算．
(3)向量的线性坐标运算可类比数的运算进行．

→→
1．已知A， B，C的坐标分别为(2，－4)，(0，6)，(－8，10)，则AB＋2BC＝____________ ，
→
1
→
BC－AC＝____________．
2
解析：因为A(2，－4)，B(0，6)，C(－8，10)，
→→→
所以AB＝(－2，10)，BC＝(－8，4)，AC＝(－10，14)，
→→→
1
→
所以AB＋2BC＝(－18，18)，BC－AC＝(－3，－3)．
2
答案：(－18，18) (－3，－3)
2．已知向量a＝(2，1)，b＝( 1，－2)，若ma＋nb＝(9，－8)(m，n∈R)，则m－n的值为
________． 解析：由题意得ma＋nb＝(2m，m)＋(n，－2n)＝(2m＋n，m－2n)＝(9，－8)，即
?
?
2m＋n＝9，
?
解得m＝2，n＝5，所以m－n＝－3.
?
m－2n＝－8，
?
答案：－3

向量坐标运算的综合应用
→→→
已知点O(0，0)，A(1，2)，B(4，5)，及OP＝OA＋tAB.
(1)t为何值时，点P在x轴上？点P在y轴上？点P在第二象限？
(2)四边形OABP能为平行四边形吗？若能，求出t的值；若不能，请说明理由．
→→→
【解】 (1)OP＝OA＋tAB＝(1，2)＋t(3，3)
2
＝(1＋3t，2＋3t)．若点P在x轴上，则2＋3t＝0，所以t＝－.
3
1
若点P在y轴上，则1＋3t＝0，所以t＝－.
3
?
?
1＋3t＜0，
若点P在第二象限，则
?

?
2＋3t＞0，
?
21
所以－＜t＜－.
33
→→
(2)OA＝(1，2)，PB＝(3－3t，3－3t)．若四边形OABP为平行四边形， < br>?
?
3－3t＝1，
→→
则OA＝PB，所以
?
该方 程组无解．
?
3－3t＝2，
?
故四边形OABP不能为平行四边形．

- 74 -

[变问法]若保持本例条件不变，问t为何值时，B为线段AP的中点？
→→→→→
解：由OP＝OA＋tAB，得AP＝tAB.
→→
所以当t＝2时，AP＝2AB，B为线段AP的中点．

向量中含参数问题的求解策略
(1)向量的坐标含有两个量：横坐标和纵坐标，如果纵坐标或 横坐标是一个变量，则表示
向量的点的坐标的位置会随之改变．
(2)解答这类由参数决定点 的位置的题目，关键是列出满足条件的含参数的方程(组)，解这
个方程(组)，就能达到解题的目的．

1．已知在平行四边形ABCD中，A(0，0)，B(5，0)，D(2，4)，对角线A C，BD交于点M，
→
则DM的坐标是( )
3
?
A.
?
?
2
，－2
?

3
?
B.
?
?
2
，2
?

3
－，－2
?
C.
?
?
2
?
3
－，2
?
D.
?
?
2
?
3
1
→
1
→
1
，－2
?
. 解析：选＝DB＝[(5，0)－(2，4)]＝(3，－4)＝
??
2
?
222
2．已知在非平行四边形ABCD中，AB∥DC，且A， B，D三点的坐标分别为(0，0)，(2，
0)，(1，1)，则顶点C的横坐标的取值范围是___ _____．
解析：当ABCD为平行四边形时，
→→→
则AC＝AB＋AD＝(2，0)＋(1，1)＝(3，1)，
故满足题意的顶点C的横坐标的取值范围是(1，3)∪(3，＋∞)．

答案：(1，3)∪(3，＋∞)


- 75 -

1．已知向量a＝(2，4)，b＝(－1，1)，则2a－b＝( )
A．(5，7) B．(5，9) C．(3，7) D．(3，9)
答案：A
→→
2．已知A(－1，－2)，B(2，3)，C(－2，0)，D(x，y)，且AC＝2 BD，则x＋y＝________．
→→
解析：因为AC＝(－2，0)－(－1，－2) ＝(－1，2)，BD＝(x，y)－(2，3)＝(x－2，y－3)，
→→
又2BD＝AC ，即(2x－4，2y－6)＝(－1，2)，
?
?
?
x＝
2，
?
2x－4＝－1，
11
?
所以解得
?
所以 x＋y＝.
2
?
2y－6＝2，
?
?
?
y＝4，
11
答案：
2
3．已知点B(1，0)是向量a的终点，向量b，c均以原 点O为起点，且b＝(－3，4)，c＝
(－1，1)与a的关系为a＝3b－2c，求向量a的起点坐 标．
解：a＝3b－2c＝3(－3，4)－2(－1，1)＝(－7，10)，
设a的起点为A(x，y)，
→
则a＝AB＝(1－x，－y)，
?
?
1－x＝－7，
所以
?

?
－y＝1 0，
?
?
?
x＝8，
所以
?

?
y＝－10，
?
3
所以A(8，－10)．
即a的起点坐标为(8，－10)．
[A 基础达标]
1．设i，j是平面直角坐 标系内分别与x轴，y轴正方向相同的两个单位向量，O为坐标
→→→→
原点，若OA＝4i＋ 2j，OB＝3i＋4j，则2OA＋OB的坐标是( )
A．(1，－2)
C．(5，0)
B．(7，6)
D．(11，8)
→→
解析：选D.因为OA＝(4，2)，OB＝(3，4)，
→→
所以2OA＋OB＝(8，4)＋(3，4)＝(11，8)．
2．设向量a＝ (1，2)，b＝(－3，5)，c＝(4，x)，若a＋b＝λc(λ∈R)，则λ＋x的值为( )
11
A．－
2
11
B.
2

- 76 -

29
C．－
2
29
D.
2
1
?
?
?
λ＝－
2
，
?
4
λ
＝－2，
解析：选C.由已知，可得(1，2)＋(－3，5)＝λ(4，x) ，所以
?
解得
?
所
?
x
λ
＝7，
?
?
?
x＝－14，
29
以λ＋x＝－，故选C.
2
1
→→→
3．已知MA＝(－2，4)，MB＝(2，6)，则AB等于( )
2
A．(0，5)
C．(2，5)
B．(0，1)
D．(2，1)
1
→
1
→→
11
解析：选＝(M B－MA)＝(2，6)－(－2，4)＝(2，1)．
2222
→→
4．已知四边 形ABCD的三个顶点A(0，2)，B(－1，－2)，C(3，1)，且BC＝2AD，则顶点
D的 坐标为( )
7
2，
?
A.
?
?
2
?
C．(3，2)
1
2，－
?
B.
?
2
??
D．(1，3)
?
?
2m＝4，< br>解析：选A.设点D(m，n)，则由题意得(4，3)＝2(m，n－2)＝(2m，2n－4)，故< br>?

?
2n－4＝3，
?
m＝2，
?
?7
2，
?
，故选A. 解得
?
7
即点D的坐标为
?
?
2
?
n＝，
?
?
2
→
5． 已知A(－3，0)，B(0，2)，O为坐标原点，点C在∠AOB内，且∠AOC＝45°，设OC
→→
＝λOA＋(1－λ)OB(λ∈R)，则λ的值为( )
1
A.
5
2
C.
5
1
B.
3
2
D.
3
解析： 选C.如图所示，因为∠AOC＝45°，
所以设C(x，－x)，
→
则OC＝(x，－x)．
又因为A(－3，0)，B(0，2)，
→→
所以λOA＋(1－λ)OB
＝(－3λ，2－2λ)，
?
?
x＝－3λ
2
所以
?
?
λ
＝
.
5
?
－x＝2－2λ
?

- 77 -

→
6．已知点A(－1，－5)和向量a＝(2，3)，若AB＝3 a，则点B的坐标为________．
→→→→→
解析：设O为坐标原点，因为OA＝(－ 1，－5)，AB＝3a＝(6，9)，故OB＝OA＋AB＝(5，
4)，故点B的坐标为(5，4) ．
答案：(5，4)
7．已知向量a＝(1，2)，b＝(－2，3)，c＝(4，1)， 若用a和b表示c，则c＝________．
解析：设c＝xa＋yb，
则(x，2x)＋(－2y，3y)＝(x－2y，2x＋3y)＝(4，1)．
??
?
x－2y＝4，
?
x＝2，
故
?
解得
?

??
2x＋3y＝1，y＝－1.
??
所以c＝2a－b.
答案：2a－b
2
→→
1
→→→
8．已知A(－1，2) ，B(2，8)．若AC＝AB，DA＝－AB，则CD的坐标为________．
33
→
1
→
1
解析：AC＝AB＝(3，6)＝(1，2)，
33
2
→
2
→
DA＝－AB＝－(3，6)＝(－2，－4)，
33
→→→
DC＝DA＋AC＝(－1，－2)，
→
所以CD＝(1，2)．
答案：(1，2)
→→→
9．已知A (－2，4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．设AB＝a，BC＝b，CA＝c.
(1)求3a＋b－3c；
(2)求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值．
解：由已知得a＝(5，－5)，b＝(－6，－3)，c＝(1，8)．
(1)3a＋b－ 3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1，8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42 )．
(2)因为mb＋nc＝(－6m＋n，－3m＋8n)，
?
－6m＋n＝5 ，
?
m＝－1，
??
所以
?
解得
?
??
－3m＋8n＝－5，n＝－1.
??
→→
10．已知向量AB＝( 4，3)，AD＝(－3，－1)，点A(－1，－2)．
(1)求线段BD的中点M的坐标；
→→
(2)若点P(2，y)满足PB＝λBD(λ∈R)，求λ与y的值．
解：(1)设B(x
1
，y
1
)，
→
因为AB＝(4，3)，A(－1，－2)，

- 78 -

所以(x
1
＋1，y
1
＋2)＝(4，3)，
?
?
x
1
＋1＝4，
所以
?

?
y
1
＋2＝3，
?
?
?
x
1
＝3 ，
所以
?

?
y
1
＝1，
?
所以B(3，1)．
同理可得D(－4，－3)，
设BD的中点M(x
2
，y
2
)，
3－41－3
1
则x
2
＝＝－，y
2
＝＝－1.
222
1
－，－1
?
. 所以M
?
?
2< br>?
→
(2)由PB＝(3，1)－(2，y)＝(1，1－y)，
→
BD＝(－4，－3)－(3，1)＝(－7，－4)，
→→
又PB＝λBD(λ∈R)，
所以(1，1－y)＝λ(－7，－4)＝(－7λ，－4λ)，
?
?
1＝－7λ，
所以
?

?
1－y＝－ 4λ，
?
?
所以
?
3
y＝
?
7
.
λ
＝－
7
，
1

[B 能力提升]
11 ．对于向量m＝(x
1
，y
1
)，n＝(x
2
，y
2
)，定义m
且a＋b＝ab，那么向量b等于( )
4
－2，－
?
B.
?
5
??
4
－2，
?
D.
?
5
??
b，可得(2＋x，y－4)＝(2x，－4y)，所
n＝(x
1< br>x
2
，y
1
y
2
)．已知a＝(2，－4)，
4
2，
?
A.
?
?
5
?
4
2，－
?
C.?
5
??
解析：选A.设b＝(x，y)，由新定义及a＋b＝a
44
2，
?
. 以2＋x＝2x，y－4＝－4y，解得x＝2，y＝，所以向量b ＝
?
?
5
?
5
12．已知A(－3，0)，B(0，2)， O为坐标原点，点C在∠AOB内，|OC|＝22，且∠AOC
π
→→→
＝，设OC ＝λOA＋OB(λ∈R)，则λ＝______．
4

- 79 -

π
→→→→
解析：过C作CE⊥x轴于点E，由 ∠AOC＝知，|OE|＝|CE|＝2，所以OC＝OE＋OB＝λOA
4
2
→→→
＋OB，即OE＝λOA，所以(－2，0)＝λ(－3，0)，故λ＝.
3
2
答案：
3
→→→→
13．在△ABC中，点P在BC 上，且BP＝2PC，点Q是AC的中点，若PA＝(4，3)，PQ＝
→
(1，5)，则BC ＝________．
→→→→→
解析：PQ－PA＝AQ＝(1，5)－(4，3)＝(－ 3，2)，因为点Q是AC的中点，所以AQ＝QC，
→→→→→→→→→
所以PC＝PQ＋Q C＝(1，5)＋(－3，2)＝(－2，7)．因为BP＝2PC，所以BC＝BP＋PC＝3PC＝
3(－2，7)＝(－6，21)．
答案：(－6，21)
→→→
14．已知O是 △ABC内一点，∠AOB＝150°，∠BOC＝90°，设OA＝a，OB＝b，OC＝
c，且|a |＝2，|b|＝1，|c|＝3，试用a，b表示c.
→
解：如图，以O为原点，向量OA所在的直线为x轴建立平面直角坐标
系．
因为|a|＝2，所以a＝(2，0)．
设b＝(x
1
，y
1)，所以x
1
＝|b|·cos 150°＝1×
?
－
?
3
3
?
＝－，
2
2
?
11
y
1
＝|b|sin 150°＝1×＝，
22
所以b＝
?
－
?
31
?
33
??
3
.
，
.同理可得c＝
－，－
22
?
2
??
2
设c＝λ
1
a＋λ
2b(λ
1
，
λ
2
∈R)，
333
?
31
所以
?
－，－
＝λ
1
(2，0)＋λ
2
?
－，
?

2
??
2
?
22
?
＝(2λ
1
－
31
λ
2
，
λ
2< br>)，
22
12
1
2
，
?
2
λ－
2
3
λ
＝－
3
2
?
λ
＝－ 3，
所以
?
解得
?

?
λ
＝－33.133
λ
＝－，
?
22
2
所以c＝－3a－33b.

- 80 -

[C 拓展探究]
15．在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)．
→→→→
(1)若PA＋PB＋PC＝0，求OP的坐标；
→→→
(2)若 OP＝mAB＋nAC(m，n∈R)，且点P在函数y＝x＋1的图象上，试求m－n的值．
→→→
解：(1)设点P的坐标为(x，y)，因为PA＋PB＋PC＝0，
→→→
又PA＋PB＋PC＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x， 6－3y)．
??
?
6－3x＝0，
?
x＝2，
所以?
解得
?

?
6－3y＝0，
?
y＝2.??
所以点P的坐标为(2，2)，
→
故OP＝(2，2)．
(2)设点P的坐标为(x
0
，y
0
)，
因为A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)．
→
所以AB＝(2，3)－(1，1)＝(1，2)，
→
AC＝(3，2)－(1，1)＝(2，1)，
→→→
因为OP＝mAB＋nAC，
所以(x
0
，y
0< br>)＝m(1，2)＋n(2，1)＝(m＋2n，2m＋n)，
?
?
x
0
＝m＋2n，
所以
?

?
y
0
＝2m＋n，
?
两式相减得m－n＝y
0
－ x
0
，
又因为点P在函数y＝x＋1的图象上，
所以y
0
－x
0
＝1，所以m－n＝1.


第2课时 两向量共线的充要条件及应用

问题导学
预习教材P31－P33的内容，思考以下问题：
1．两向量共线的充要条件是什么？
2．如何利用向量的坐标表示两个向量共线？

两向量共线的充要条件

- 81 -

设a＝(x
1
，y
1)，b＝(x
2
，y
2
)，其中b≠0.则a，b(b≠0)共线的充要 条件是x
1
y
2
－x
2
y
1
＝0．
■名师点拨
x
1
y
1
(1)两个向量共线的坐标表示还 可以写成＝(x
2
≠0，y
2
≠0)，即两个不平行于坐标轴的
x< br>2
y
2
共线向量的对应坐标成比例．
(2)当a
≠
0，b＝0时，a∥b，此时x
1
y
2
－x
2
y
1
＝0也成立，即对任意向量a，b都有x
1
y
2
－
x
2
y
1
＝0?a
∥
b.

判断(正确的打“√”，错误的打“×”)
(1)向量(1，2)与向量(4，8)共线．( )
(2)已知a＝(x
1
，y
1
)，b＝(x
2
，y
2
)，若a∥b，则必有x
1
y
2
＝x
2
y
1
.( )
答案：(1)√ (2)√
下列各组的两个向量共线的是( )
A．a
1
＝(－2，3)，b
1
＝(4，6)
B．a
2
＝(1，－2)，b
2
＝(7，14)
C．a
3
＝(2，3)，b
3
＝(3，2)
D．a
4
＝(－3，2)，b
4
＝(6，－4)
答案：D
→
已知两点A(2，－1)，B(3，1)，与AB平行且方向相反的向量a可能是( )
A．a＝(1，－2)
B．a＝(9，3)
C．a＝(－1，2)
D．a＝(－4，－8)
→→
解析：选D.由题意得AB＝(1，2)，结合选项可 知a＝(－4，－8)＝－4(1，2)＝－4AB，所
以D正确．
已知a＝(3，1)，b＝(2，λ)，若a∥b，则实数λ的值为________．
2
答案：
3


向量共线的判定
(1)已知 向量a＝(1，－2)，b＝(3，4)．若(3a－b)∥(a＋kb)，则k＝________．
→→
(2)已知A(－1，－1)，B(1，3)，C(2，5)，判断AB与AC是否共线？如果共 线，它们的方向

- 82 -

相同还是相反？
【解】 (1)3a－b＝(0，－10)，a＋kb＝(1＋3k，－2＋4k)，
因为(3a－b)∥(a＋kb)，所以0－(－10－30k)＝0，
11
所以k＝－.故填－.
33
→
(2)因为AB＝(1－(－1)，3－(－1))＝(2，4)，
→
AC＝(2－(－1)，5－(－1))＝(3，6)，
因为2×6－3×4＝0，
→→→→
所以AB∥AC，所以AB与AC共线．
→
2
→→→
又AB＝AC，所以AB与AC的方向相同．
3

[变问法]若本例(1)条件不变，判断向量(3a－b)与(a＋kb)是反向还是同向？
1
解：由向量(3a－b)与(a＋kb)共线，得k＝－，
3
所以3a－b＝(3，－6)－(3，4)＝(0，－10)，
11
a＋kb＝a－b＝(1，－2)－(3，4)
33
10
1
0，－
?
＝(0，－10)， ＝
?
3
?
3
?
所以向量(3a－b)与(a＋kb)同向．

向量共线的判定方法


1．(2019·河北衡水景县中学检 测)已知向量a＝(－1，2)，b＝(λ，1)．若a＋b与a平行，
则λ＝( )
A．－5
C．7
5
B．
2
1
D．－
2
解析：选D.a＋b＝(－1，2)＋(λ，1)＝ (λ－1，3)，由a＋b与a平行，可得－1×3－2×(λ
1
－1)＝0，解得λ＝－.
2

- 83 -

→→
2．已知A(2 ，1)，B(0，4)，C(1，3)，D(5，－3)．判断AB与CD是否共线？如果共线，它
们的 方向相同还是相反？
→
解：AB＝(0，4)－(2，1)＝(－2，3)，
→
CD＝(5，－3)－(1，3)＝(4，－6)．
法一：因为(－2)×(－6)－3×4＝0，且(－2)×4<0，
→→
所以AB与CD共线且方向相反．
→→→→
法二：因为CD＝－2AB，所以AB与CD共线且方向相反．

三点共线问题
→→→
(1)已知OA＝(3，4)，OB＝(7，12)，OC＝(9，16)，求证：点A，B，C共线；
→→→
(2)设向量OA＝(k，12)，OB＝(4，5)，OC＝(10，k)，求当k为何值时 ，A，B，C三点共
线．
→→→
【解】 (1)证明：由题意知AB＝OB－OA＝(4，8)，
→→→→
3
→
AC＝OC－OA＝(6，12)，所以AC＝AB，
2
→→
即AB与AC共线．
→→
又因为AB与AC有公共点A，所以点A，B，C共线．
→→
(2)法一：因为A，B，C三点共线，即AB与AC共线，
→→
所以存在实数λ(λ∈R)，使得AB＝λAC.
→→→→→→
因为A B＝OB－OA＝(4－k，－7)，AC＝OC－OA＝(10－k，k－12)，
所以(4－k，－7)＝λ(10－k，k－12)，
?
?
4－k＝λ（1 0－k），
即
?
解得k＝－2或k＝11.
?
－7＝λ（k－12 ），
?
所以当k＝－2或k＝11时，A，B，C三点共线．
→→
法二：由已知得AB与AC共线，
→→→→→→
因为AB＝OB－OA ＝(4－k，－7)，AC＝OC－OA＝(10－k，k－12)，
所以(4－k)(k－12)＋7(10－k)＝0，
所以k
2
－9k－22＝0，解得k＝－2或k＝11.
所以当k＝－2或k＝11时，A，B，C三点共线．


- 84 -

判断向量(或三点)共线的三个步骤


1 ．已知A，B，C三点共线，且A(－3，6)，B(－5，2)，若C点的纵坐标为6，则C点的
横坐 标为( )
A．－3
C．－9
解析：选A.设C(x，6)，
→→
因为A，B，C三点共线，所以AB∥AC，
→→
又AB＝(－2，－4)，AC＝(x＋3，0)，
所以－2×0＋4(x＋3)＝0.
所以x＝－3.
→→
2．设点A(x ，1)，B(2x，2)，C(1，2x)，D(5，3x)，当x为何值时，AB与CD共线且方向相
同，此时A，B，C，D能否在同一条直线上？
→
解：AB＝(2x，2)－(x，1)＝(x，1)，
→
BC＝(1，2x)－(2x，2)＝(1－2x，2x－2)，
→
CD＝(5，3x)－(1，2x)＝(4，x)．
→→
由AB与CD共线，所以x
2
＝1×4，
所以x＝±2.
→→
又AB与CD方向相同，所以x＝2.
→→
所以当x＝2时，AB与CD共线且方向相同．
→→
此时，AB＝(2，1)，BC＝(－3，2)，
→→
而2×2≠－3×1，所以AB与BC不共线，
所以A，B，C三点不在同一条直线上．
所以A，B，C，D不在同一条直线上．

向量共线的应用
B．9
D．3

- 85 -

→
1
→
如图所示，在△AOB中，A(0，5) ，O(0，0)，B(4，3)，OC＝OA，
4
→
1
→
OD＝OB ，AD与BC相交于点M，求点M的坐标．
2
5
→
1
→
1
0，
?
， 【解】 因为OC＝OA＝(0，5)＝
?
?
4
?
44
5
0 ，
?
. 所以C
?
?
4
?
3
→
1
→
1
2，
?
， 因为OD＝OB＝(4，3)＝
?
?
2
?
22
3
2，
?
. 所以D
?
?
2
?
→
设M(x，y)，则AM＝(x，y－5)，
37→
2－0，－5
?
＝
?
2，－
?
. AD＝
?
2
??
2
??
→→
因为AM∥AD，
7
所以－x－2(y－5)＝0，
2
即7x＋4y＝20.①
5 7
→→
x，y－
?
，CB＝
?
4，
?
， 又CM＝
?
4
???
4
?
5
7
→→
y－
?
＝0， 因为CM∥CB，所以x－4
?
?
4
?< br>4
即7x－16y＝－20.②
12
?
12
联立①②解得x ＝，y＝2，故点M的坐标为
?
?
7
，2
?
.
7

应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤

如图所 示，已知△ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分别是
→
AB， AC，BC的中点，且MN与AD交于点F，求DF的坐标．

- 86 -

解：因为A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，
→→
所以AB＝(3－7，5－8)＝(－4，－3)，AC＝(4－7，3－8)＝(－3，－5) ．
11
→
1
→→
又因为D是BC的中点，所以AD＝(AB＋AC )＝(－4－3，－3－5)＝(－7，－8)＝
222
?
－
7
，－ 4
?
.
?
2
?
1
→
1
→→因为M，N分别为AB，AC的中点，所以F为AD的中点，所以DF＝－FD＝－AD＝－
22< br>?
－
7
，－4
?
＝
?
7
，2
?
.
?
2
??
4
?

1．已知向量a＝(1，－2)，b＝(m，4)，且a∥b，那么2a－b＝( )
A．(4，0)
C．(4，－8)
B．(0，4)
D．(－4，8)
解析：选C.因为向量a＝(1，－2)，b＝(m，4)，且a∥b，所 以1×4＝(－2)×m，所以m
＝－2，所以2a－b＝(2－m，－4－4)＝(4，－8)．
2．若三点A(4，3)，B(5，m)，C(6，n)在一条直线上，则下列式子一定正确的是( )
A．2m－n＝3
C．m＝3，n＝5
B．n－m＝1
D．m－2n＝3
→→
解析：选A.因为三点A(4，3)，B(5，m)，C(6 ，n)在一条直线上，所以AB＝λAC，所以(1，
11
m－3)＝λ(2，n－3)，所以 λ＝，所以m－3＝(n－3)，即2m－n＝3.
22
3．平面内给定三个向量a＝(3，2)，b＝(－1，2)，c＝(4，1)．
(1)求满足a＝mb＋nc的实数m，n的值；
(2)若(a＋kc)∥(2b－a)，求实数k的值．
解：(1)因为a＝mb＋nc，所 以(3，2)＝m(－1，2)＋n(4，1)＝(－m＋4n，2m＋n)．
?
?
－m＋4n＝3，
所以
?
解得
?
2m＋n＝2，
?
?
?
8
?
n＝
9
.
5
m＝，
9< br>
(2)因为(a＋kc)∥(2b－a)，

- 87 -

又a＋kc＝(3＋4k，2＋k)，2b－a＝(－5，2)，
所以2×(3＋4k)－(－5)×(2＋k)＝0.
16
所以k＝－.
13
[A 基础达标]
1．已知平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥b，则2a＋3b＝( )
A．(－5，－10)
C．(－3，－6)
B．(－4，－8)
D．(－2，－4)
解析：选B.因为平面向量a＝(1，2)，b＝(－2，m)，且a∥ b，所以1×m－(－2)×2＝0，
解得m＝－4，所以2a＋3b＝2(1，2)＋3(－2，－4 )＝(－4，－8)．
2．已知a＝(sin α，1)，b＝(cos α，2)，若b∥a，则tan α＝( )
1
A.
2
1
C．－
2
B．2
D．－2
sin
α
11
解析：选A.因为b∥a，所以2sin
α
＝cos
α
，所以＝，所以tan
α
＝.
2
cos
α
2
3．已知向量a＝(1，2)，b＝(0，1)，设u＝a＋kb，v＝2a－b，若u∥v ，则实数k的值是
( )
7
A．－
2
4
C．－
3
1
B．－
2
8
D．－
3
解析：选B .v＝2(1，2)－(0，1)＝(2，3)，u＝(1，2)＋k(0，1)＝(1，2＋k)．因为u∥v ，
1
所以2(2＋k)－1×3＝0，解得k＝－.
2
→→
4．若 AB＝i＋2j，DC＝(3－x)i＋(4－y)j(其中i，j的方向分别与x，y轴正方向相同且为单→→
位向量).AB与DC共线，则x，y的值可能分别为( )
A．1，2
C．3，2
B．2，2
D．2，4
→→
解析：选B.由题意知，AB＝(1，2)，DC＝(3－x，4－y)．
→→
因为AB∥DC，所以4－y－2(3－x)＝0，
即2x－y－2＝0.只有B选项，x＝2，y＝2代入满足．故选B.
1
8，
?
，且A，B，C三点共线，则点C的坐标可以是( ) 5．已知A(1，－3)，B
?
?
2
?

- 88 -

A．(－9，1)
C．(9，1)
解析：选C.设点C的坐标是(x，y)，
因为A，B，C三点共线，
→→
所以AB∥AC.
17
→
8，
?
－(1，－ 3)＝
?
7，
?
， 因为AB＝
?
?
2
? ?
2
?
→
AC＝(x，y)－(1，－3)＝(x－1，y＋3)，
7
所以7(y＋3)－(x－1)＝0，
2
整理得x－2y＝7，
经检验可知点(9，1)符合要求，故选C.
B．(9，－1)
D．(－9，－1)
6．已知向量a＝(3x－1，4)与b＝(1，2)共线，则实数x的值为________． 解析：因为向量a＝(3x－1，4)与b＝(1，2)共线，所以2(3x－1)－4×1＝0，解得x＝ 1.
答案：1
7．已知A(2，1)，B(0，2)，C(－2，1)，O(0，0)，给出下列结论：
①直线OC与直线BA平行；
→→→
②AB＋BC＝CA；
→→→
③OA＋OC＝OB；
→→→
④AC＝OB－2OA.
其中，正确结论的序号为________．
→→→→
解析：①因为OC＝(－2， 1)，BA＝(2，－1)，所以OC＝－BA，又直线OC，BA不重合，
→→→→→→
所以 直线OC∥BA，所以①正确；②因为AB＋BC＝AC≠CA，所以②错误；③因为OA＋OC＝
→→ →→
(0，2)＝OB，所以③正确；④因为AC＝(－4，0)，OB－2OA＝(0，2)－2(2 ，1)＝(－4，0)，所
以④正确．
答案：①③④
8．对于任意的两个向量m＝ (a，b)，n＝(c，d)，规定运算“?”为m?n＝(ac－bd，bc＋
ad)，运算“⊕”为 m⊕n＝(a＋c，b＋d)．设m＝(p，q)，若(1，2)?m＝(5，0)，则(1，2)⊕m
等于________．
??
?
p－2q＝5，
?
p＝1，
?
解析：由(1，2)?m＝(5，0)，可得解得
?
所以(1，2)⊕m＝(1， 2)⊕(1，
??
?
2p＋q＝0，
?
q＝－2，
－2)＝ (2，0)．
答案：(2，0)

- 89 -

9．已知a＝(1，0)，b＝(2，1)．
(1)当k为何值时，ka－b与a＋2b共线？
→→
(2)若AB＝2a＋3b，BC＝a＋mb且A，B，C三点共线，求m的值．
解：(1)ka－b＝k(1，0)－(2，1)＝(k－2，－1)，
a＋2b＝(1，0)＋2(2，1)＝(5，2)．
因为ka－b与a＋2b共线，
1
所以2(k－2)－(－1)×5＝0，得k＝－.
2
1
所以当k＝－时，ka－b与a＋2b共线．
2
(2)因为A，B，C三点共线，
→→
所以AB＝λBC，
λ
∈R，
即2a＋3b＝λ(a＋mb)，
?
2＝λ，
?
3
所以
?
解得m＝.
2< br>?
?
3＝mλ，
→→→→
10．(1)已知A(－2，4)，B(3， －1)，C(－3，－4)，且CM＝3CA，CN＝2CB，求M，N及
→
MN的坐标； < br>→
2
→
(2)已知P
1
(2，－1)，P
2
(－1，3)，P在直线P
1
P
2
上，且|P
1
P|＝|P P
2
|.求点P的坐标．
3
→
解：(1)法一：由A(－2，4) ，B(3，－1)，C(－3，－4)，可得CA＝(－2，4)－(－3，－4)
→→→→→
＝(1，8)，CB＝(3，－1)－(－3，－4)＝(6，3)，所以CM＝3CA＝3(1，8)＝(3， 24)，CN＝2CB
＝2(6，3)＝(12，6)．
设M(x
1
，y< br>1
)，N(x
2
，y
2
)．
→→
则CM＝ (x
1
＋3，y
1
＋4)＝(3，24)，CN＝(x
2
＋ 3，y
2
＋4)＝(12，6)，
所以x
1
＝0，y
1< br>＝20，x
2
＝9，y
2
＝2，即M(0，20)，N(9，2)，
→
所以MN＝(9，2)－(0，20)＝(9，－18)．
法二：设点O为坐标原点，
→→→→→→→→→→→→
则由CM＝3CA，CN＝2 CB，可得OM－OC＝3(OA－OC)，ON－OC＝2(OB－OC)，
→→→→→→
从而OM＝3OA－2OC，ON＝2OB－OC，
→
所以OM＝3(－2，4)－2(－3，－4)＝(0，20)，
→
ON＝2(3，－1)－(－3，－4)＝(9，2)，
→
即点M(0， 20)，N(9，2)，故MN＝(9，2)－(0，20)＝(9，－18)．

- 90 -