高教版中职教材—数学(基础模块)下册电子教案

【课题】 6．1 数列的概念
【教学目标】
知识目标：
（1）了解数列的有关概念；
（2）掌握数列的通项（一般项）和通项公式．
能力目标：
通过实例引出数列的定义,培养学生的观察能力和归纳能力．
【教学重点】
利用数列的通项公式写出数列中的任意一项并且能判断一个数是否为数列中的一项．
【教学难点】
根据数列的前若干项写出它的一个通项公式．
【教学设计】
通过几个实例讲解数列及其有关概念：项、首项、项数、有穷数列和无穷数列．讲解
数列的通项（一般 项）和通项公式．
从几个具体实例入手,引出数列的定义.数列是按照一定次序排成的一列数．学生往 往
不易理解什么是“一定次序”．实际上，不论能否表述出来，只要写出来，就等于给出了“次
序”，比如我们随便写出的两列数：2，1，15，3，243，23与1，15，23，2，243，3，就< br>都是按照“一定次序”排成的一列数，因此它们就都是数列，但它们的排列“次序”不一样，
因此 是不同的数列．
例1和例3是基本题目,前者是利用通项公式写出数列中的项；后者是利用通项公式判
断一个数是否为数列中的项,是通项公式的逆向应用．
例2是巩固性题目,指导学生分析完成 .要列出项数与该项的对应关系，不能泛泛而谈,
采用对应表的方法比较直观,降低了难度,学生容易接 受.
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
教 学
过 程
*揭示课题
6．1 数列的概念．
*创设情境 兴趣导入
教师
行为

介绍


- 1 -
学生
行为

了解


教学
意图




时
间

0

教 学
过 程
将正整数从小到大排成一列数为
1，2，3，4，5，…． (1 )
将2的正整数指数幂从小到大排成一列数为
教师
行为
播放
课件

质疑
学生
行为
观看
课件

思考






自我
分析



思考















理解


教学
意图
从实
例出
发使
学生
自然
的走
向知
识点


时
间













5
2,22
,2
3
,2
4
,2
5
,
． (2 )






引导
分析

当n从小到大依次取正整数时，
cosn?
的值排成一列数为
-1，1，-1，1，…． (3 )

取无理数
?
的近似值（四舍五入法），依照有效数字的个
数，排成一列数为
3，3.1，3.14，3.141，3.1416，…． (4)
*动脑思考 探索新知
【新知识】
象上面的实例那样，按照一定的次序排成的一列 数叫做数
列．数列中的每一个数叫做数列的项．从开始的项起，按照自
左至右的排序，各项按照 其位置依次叫做这个数列的第1项（或
首项），第2项，第3项，…，第n项，…，其中反映各项在

总结
归纳













仔细
分析


带领
学生
分析














引导





















数列中位置的数字1，2，3，…，n，分别叫做对应的项的项数．

只有有限项的数列叫做有穷数列，有无限多项的数列叫做
无穷数列．
【小提示】
数列的“项”与这一项的“项数”是两个不同的概念．如
数列（2）中，第3项为
2
3
，这一项的项数为3.
【想一想】
上面的4个数列中，哪些是有穷数列,哪些是无穷数列?
【新知识】
由于从数列的第一项开始，各项的项数依次与正整数相对

- 2 -

教 学
过 程
应，所以无穷数列的一般形式可以写作
教师
行为
讲解
关键
词语


学生
行为
记忆





教学
意图
式启
发学
生得
出结
果
时
间







10
a
1
,a
2
,a
3< br>,,a
n
，
．
(n?N)

简记作{
an
}．其中，下角码中的数为项数，
a
1
表示第1项，
a
2
表示第2项，…．当
n
由小至大依次取正整数值时，
a
n
依次可
以表示数列中的各项，因此，通常把第n项
a
n
叫做数列{
a
n
}
的通项或一般项．
*运用知识 强化练习
1.说出生活中的一个数列实例．
2.数列“1，2，3，4，5”与数列“5 ，4， 3，2，1 ”
是否为同一个数列？
3.设数列
{a
n
}
为“-5,-3,-1,1,3, 5，…” ，指出其中
a
3
、




提问
巡视
指导




思考
口答


及时
了解
学生
知识
掌握
得情
况








15

















a
6
各是什么数？
*创设情境 兴趣导入
【观察】


质疑


思考





参与
分析













引导
启发
学生
思考
6.1.1中的数列（1）中，各项是从小到大依次排列出的

正整数．

a
1
?1
，
a
2
?2
，
a
3
?3
，…，
可以看到，每一项与这项的项数恰好相同．这个规律可以用

a
n
?n(n?N)

表示．利用这个规律，可以方便地写出数列中 的任意一项，如
a
11
?11
，
a
20
?20．
*




引导
分析






6.1.1中的数列（2）中，各项是从小到大顺次排列出的
2的正整数指数幂．

a
1
?2
，
a
2
?2
2
，
a
3
?2
3
，…，

- 3 -

教 学
过 程
可以看到，各项的底都是2，每一项的指数恰好是这项的项
数．这个规律可以用

a
n
?2
n
(n?N
*
)

表 示，利用这个规律，可以方便地写出数列中的任意一项，如
a
11
?2
11< br>，
a
20
?2
20
．
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间




25
*动脑思考 探索新知
【新知识】
一个数列 的第n项
a
n
，如果能够用关于项数
n
的一个式
1

总结
归纳


仔细

思考
归纳


理解
记忆




观察



思考



主动
求解




观察

带领
学生
总结










35

子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.
数列（1）的通项公式为
a
n
?n
，可以将数列（1）记为数
列{n}；数列（2）的通项公式为
a
n
?2
n
，可以将数列（2 ）记
为数列
{2}
.
*巩固知识 典型例题
例1 设数列{
a
n
}的通项公式为
a
n
?
1
，
n
2
n
分析
讲解
关键
词语

说明
强调


引领













通过
例题
进一
步领
会

















写出数列的前5项．
分析 知道数列的通项公式，求数列中的某一项时，只需
将通项公式中的n换成该项的项数，并计算出结果．
解
a
1
?
11111111
；；；；
?a? ?a??a??
234
1234
248
讲解
2222
16
11
．
a
5
?
5
?
32
2
说明



例2 根据下列各无穷数列的前4项,写出数列的一个通项
公式.
(1)5,10,15,20，…； (2)



- 4 -
1111

,,,,
…；
2468
引领

教 学
过 程
（3）?1，1，?1，1，…．
分析 分别观察分析各项与其项数之间的关系，探求用式
子表示这种关系．
解 （1）数列的前4项与其项数的关系如下表：
项数n
项
a
n

关系
1
5
2
10
3
15
4
20
教师
行为
分析













4
1

8
学生
行为

































思考
求解

教学
意图














注意
观察
学生
是否
理解
知识
点














时
间




































5?5?1

10?5?2

15?5?3

20?5?4

由此得到，该数列的一个通项公式为
a
n
?5n
．
（2）数列前4项与其项数的关系如下表：
序号
项
a
n

关系
1
1

2
2
1

4
3
1

6










11111111

?

?

?

?
22?142?262?382?4
由此得到，该数列的一个通项公式为
1
．
a
n
?
2n
（3）数列前4项与其项数的关系如下表：
序号
项
a
n

关系
1
?1
(?1)

1
2
1
(?1)

2
3
?1
(?1)

3
4
1
(?1)

4









强调
含义

由此得到，该数列的一个通项公式为
a
n
?(?1)
．
n

【注意】
由数列的有限项探求通项公式时，答案不一定是唯一

- 5 -

教 学
过 程
的．例如，
a
n
?( ?1)
与
a
n
?cosn?
都是例2（3）中数列“?1，
1，?1，1，…．”的通项公式．
【知识巩固】
例3 判断16和45是否为数列{3n+1}中的项,如果是,请指
出是第几项.
分析 如果数a是数列中的第k项，那么k必须是正整数，
并且
a?3k?1
.
解 数列的通项公式为
a
n
?3n?1
.
将16代入数列的通项公式有
16?3n?1
，
n
教师
行为





说明

学生
行为





领会



思考
求解



教学
意图
反复
强调



时
间
























50
解得
n?5?N
．
*
所以，16是数列
{3n?1}
中的第5项．
将45代入数列的通项公式有
45?3n?1
，
解得
n?
44
?N
*
，
3
所以，45不是数列
{3n?1}
中的项．
*运用知识 强化练习
1. 根据下列各数列的通项公式，写出数列的前4项：
nn
（1）
a
n
?3?2
； （2）
a
n
?(?1)?n
．

启发
引导

提问
巡视

思考
了解

动手
求解



可以
交给
学生
自我
发现
归纳












2. 根据下列各无穷数列的前4项,写出数列的一个通项公
式：
指导
1111
（1）?1，1，3，5，…； (2)
?
, ,
?
, ，…；

36912
(3)
1357
,,,，….
2468

- 6 -

教 学
过 程
3. 判断12和56是否为数列
{n?n}
中的项，如果是，请
指出是第几项．
*理论升华 整体建构
思考并回答下面的问题：
数列、项、项数分别是如何定义的？
结论：
按照一定的次序排成的一列数叫做数列 ．数列中的每一个
数叫做数列的项．从开始的项起，按照自左至右排序，各项按
照其位置依次叫 做这个数列的第1项（或首项），第2项，第3
项，…，第n项，…，其中反映各项在数列中位置的数字 1，2，
3，…，n，分别叫做各项的项数．
*归纳小结 强化思想
本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？
*自我反思 目标检测
本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？
你的学习效果如何？
判断22是否为数列
{n?n?20}
中的项，如果是,请指出是
第几项．
*继续探索 活动探究
(1)读书部分：教材
(2)书面作业：教材习题6．1 A组（必做）；6．1 B组
（选做）
(3)实践调查：用发现的眼睛寻找生活中的数列实例
2
2
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间
65


质疑



归纳
强调



回答





及时
了解
学生
知识
掌握
情况









75


引导



提问

巡视
指导

说明

回忆



反思

动手
求解

记录


检验
学生
学习
效果


分层
次要
求




85







90

【教师教学后记】
项目 反思点
学生知识、技能的掌握情况 学生是否真正理解有关知识；

- 7 -

是否能利用知识、技能解决问题；
在知识、技能的掌握上存在哪些问题；
学生是否参与有关活动；
学生的情感态度 在数学活动中，是否认真、积极、自信；
遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；
学生是否积极思考；
思维是否有条理、灵活；
学生思维情况
是否能提出新的想法；
是否自觉地进行反思；
学生是否善于与人合作；
学生合作交流的情况 在交流中，是否积极表达；
是否善于倾听别人的意见；
学生是否愿意开展实践；
能否根据问题合理地进行实践；
学生实践的情况
在实践中能否积极思考；
能否有意识的反思实践过程的方面．

【课题】 6．2 等差数列（一）
【教学目标】
知识目标：
（1）理解等差数列的定义；
（2）理解等差数列通项公式．
能力目标：
通过学习等差数列的通项公式,培养学生处理数据的能力．
【教学重点】
等差数列的通项公式．
【教学难点】
等差数列通项公式的推导．
【教学设计】
本节的主要内容是等差数列的定义、等差数列的通项公式.重点是等差数列的定 义、等
差数列的通项公式；难点是通项公式的推导．等差数列的定义中,应特别强调“等差”的特

- 8 -

点:
a
n?1
?an
?d
(常数).例1是基础题目,有助于学生进一步理解等差数列的定义.
教 材中等差数列的通项公式的推导过程实际上是一个无限次迭代的过程,所用的归纳
方法是不完全归纳法. 因此,公式的正确性还应该用数学归纳法加以证明.例2是求等差数列
的通项公式及其中任一项的巩固性 题目,注意求公差的方法.等差数列的通项公式中含有四
个量：只要知道其中任意三个量，就可以求出另 外的一个量．
a
1
,d,n,a
n
,
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
教 学
过 程
*揭示课题
6．2 等差数列．
*创设情境 兴趣导入
【观察】
将正整数中5的倍数从小到大列出，组成数列：
5，10，15，20，…． （1）
将正奇数从小到大列出，组成数列：
1，3，5，7，9，…． （2）
观察数列中相邻两项之间的关系，
发现：从第2项开始，数列(1)中的每一项与它 前一项的差
都是5；数列（2）中的每一项与它前一项的差都是2．这两个
数列的一个共同特点 就是从第2项开始，数列中的每一项与它
前一项的差都等于相同的常数．
教师
行为

介绍


播放
课件

质疑





引导
分析

学生
行为

了解


观看
课件

思考





自我
分析

教学
意图


从实
例出
发使
学生
自然
的走
向知
识点

引导
式启
发学
生得
出结
果
*动脑思考 探索新知
如果一个数列从第2项开始，每一项与它前一项的差都等


总结


思考


带领



时
间

0














5

- 9 -

教 学
过 程
于同一个常数，那么，这个数列叫做等差数列．这个常数叫做
等差数 列的公差，一般用字母d表示．
由定义知，若数列
?
a
n
?
为等差数列，
d
为公差，则
a
n?1
?a
n
?d
,即
教师
行为
归纳

仔细
分析
讲解
关键
学生
行为


理解


记忆




观察



思考


主动
求解




动手
求解

教学
意图
学生
分析


时
间









10

a
n?1
?a
n
?d

（6.1）
词语


*巩固知识 典型例题
例１ 已知等差数列的首项为12，公差为?5，试写出这个
数列的第2项到第5项．
解 由于
a
1
?12,d??5
，因此

a
2?a
1
?d?12?
?
?5
?
?7
；

说明
强调


引领


讲解

通过
例题
进一
步领
会等
差数列通
项公
式


及时
了解
学生
知识
掌握
得情
况









45










25




a
3
?a
2
?d?7?
?
?5
?
?2
；

a
4
?a
3
?d?2?
?
?5
?
??3；


a
5
?a
4
?d??3?
?
?5
?
??8 .

*运用知识 强化练习
1. 已知
?
a
n< br>?
为等差数列，
a
5
??8
，公差
d?2
， 试写出
这个数列的第8项
a
8
．
2. 写出等差数列11,8,5,2,…的第10项.
说明




提问
巡视
指导
*创设情境 兴趣导入
你能很快地写出例1中数列的第101项吗?


质疑


思考

从实
际事
例使
学生
显然，依照公式（6.1）写出数列的第101项,是比较麻烦


- 10 -

教 学
过 程
的，如果求出数列的通项公式，就可以方便地直接求出数列的
第101项．

教师
行为


引导
分析

学生
行为
参与
分析

教学
意图
自然
的走
向知
识点

时
间
30
*动脑思考 探索新知

思考
归纳


理解
记忆





带领
学生
总结
问题
得到
等差
数列
通项
公式









引导










35

总结
设等差数列
?
a
n
?
的公差为d ，则
归纳

a
2
?a
1
?d,

仔细


a
1
?a
1
,


a
3
?a
2
?d?
?
a
1?d
?
?d?a
1
?2d,
分析
a
4
?a
3
?d?
?
a
1
?2d
?
?d?a
1
?3d,
讲解
．．．．．．
依此类推,通过观察可以得到等差数列的通项公式
关键
词语

a
n
?a
1
?
?
n?1
?
d.
(6.2)
知道了等差数列
?
a
n
?
中的
a1
和
d
，利用公式（6.2），可以
直接计算出数列的任意一项. 在例１的等差数列
{a
n
}
中，
a
1
?12< br>，
d??5
，所以数列的
通项公式为

a
n
?12?(n?1)(?5)?17?5n
，
数列的第101项为

a
101
?17?5?101??488
．
【想一想】
等差数列的通项公式中,共有四个量：
a
n
、
a
1
、
n
和
d
，
只要知道了其中的任意三个量，就可以求出另外的一个量. 针
对不同情况，应该分别采用什么样的计算方法？
*巩固知识 典型例题

- 11 -
启发
学生
思考
求解

教 学
过 程
例2 求等差数列
．．
?1,5,11,17,
．
的第50项.
解 由于a
1
??1,d?a
2
?a
1
?5?
?
?1
?
?6,
所以通项
教师
行为
说明
强调


引领


学生
行为
观察



思考


主动
求解




观察



思考
求解






领会



思考
求解



教学
意图
通过
例题
进一
步领
会



注意
观察
学生
是否
理解
知识
点





反复
强调



时
间















45



















50
公式为
a
n
?a
1
?(n?1)d
即
a
n
?6n?7.

故
讲解
??1?(n?1)?6?6n?7,

说明



a
50
?6?50?7?293.

例3 在等差数列
?
a
n
?
中,
a
100
解 由于公差
d?

引领
分析


强调
含义

1
?48,
公差
d?,
求首项
a
1.

3
1
,
故设等差数列的通项公式为
3
1
a
n
?a
1
?(n?1)?

3
由于
a
100
?48
，故
1
48?a
1
?(100?1)?
，
3





说明
解得
a
1
?15.

【小提示】
本题目初看是知道2个条件，实际上是3个条件：
n?100
，

1
a
n
?48,
d?
．
3
例4 小明 、小明的爸爸和小明的爷爷三个人在年龄恰好
构成一个等差数列,他们三人的年龄之和为120岁,爷爷 的年龄
比小明年龄的4倍还多5岁,求他们祖孙三人的年龄.
分析 知道三个数构成等差数 列，并且知道这三个数的
和,可以将这三个数设为
a?d
,
a
,a?d
,这样可以方便地求

- 12 -

教 学
过 程
出
a
,从而解决问题.
解 设小明、爸爸和爷爷的年龄分别为
a?d
,
a
,a?d
,
其中
d
为公差
则
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间
?
?< br>a?d
?
?a?
?
a?d
?
?120,

?
?
4
?
a?d
?
?5?a?d
解得
a?40,d?25

从而
a?d?15,a?d?65.

答 小明、爸爸和爷爷的年龄分别为15岁、40岁和65岁.
【注意】
将构成等差数列的三个数设为
a?d
,
a
,
a?d
,是经常 使
用的方法.
*运用知识 强化练习
练习6.2.2
1.求等差数列
2
8
,1, ,…的通项公式与第15项．
5
5

启发
引导

提问
巡视

思考
了解

动手
求解



可以
交给
学生
自我
发现
归纳










60







2.在等 差数列
?
a
n
?
中，
a
5
?0
，
a
10
?10
，求
a
1
与公差
d
.
3.在等差数列
?
a
n
?
中，
a
5< br>??3
，
a
9
??15
，判断－48是
否为数列中的 项，如果是,请指出是第几项.
指导

*理论升华 整体建构
思考并回答下面的问题：
等差数列的通项公式是什么？
结论：
等差数列的通项公式

质疑







小组
讨论

回答

及时
了解
学生
知识
掌握

- 13 -

教 学
过 程

教师
行为
归纳
强调

学生
行为


理解

强化


教学
意图
情况

以小组
讨论师
生共同
归纳的
形式强
调重点
突破难
点
时
间




70

a
n
?a
1
?
?
n?1
?d.

*归纳小结 强化思想
本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？
*自我反思 目标检测
本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？
你的学习效果如何？
写出等差数列

7
13
，，1，，…
5
55
的通项公式，并求出数列的第11项．

引导






提问


巡视
指导



回忆






反思


动手
求解

检验
学生
学习
效果

培养
学生
总结
反思
学习
过程
的能
力











80

*继续探索 活动探究
(1)读书部分：教材
(2)书面作业：教材习题6．2（必做）；学习指导6．3（选
做）
(3)实践调查：寻找生活中等差数列的实例

说明

记录

分层
次要
求






90
【教师教学后记】
项目

- 14 -
反思点

学生是否真正理解有关知识；
学生知识、技能的掌握情况 是否能利用知识、技能解决问题；
在知识、技能的掌握上存在哪些问题；
学生是否参与有关活动；
学生的情感态度 在数学活动中，是否认真、积极、自信；
遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；
学生是否积极思考；
思维是否有条理、灵活；
学生思维情况
是否能提出新的想法；
是否自觉地进行反思；
学生是否善于与人合作；
学生合作交流的情况 在交流中，是否积极表达；
是否善于倾听别人的意见；
学生是否愿意开展实践；
能否根据问题合理地进行实践；
学生实践的情况
在实践中能否积极思考；
能否有意识的反思实践过程的方面；

【课题】 6．3 等比数列（一）
【教学目标】
知识目标：
（1）理解等比数列的定义；
（2）理解等比数列通项公式．
能力目标：
通过学习等比数列的通项公式,培养学生处理数据的能力．
【教学重点】
等比数列的通项公式．
【教学难点】
等比数列通项公式的推导．
【教学设计】
本节的主要内容是等比数列的定义,等比数列的通项公式.重点是等比数列的定义、等

- 15 -

比数列的通项公式；难点是通项公式的推导． 等比数列与等差数列在内容上相类似，要让学生利用对比的方法去理解和记忆，并弄
清楚二者之间的 区别和联系.等比数列的定义是推导通项公式的基础，教学中要给以足够的
a
n?1
? q
(常数). 重视.同时要强调“等比”的特点:
a
n
例1是基础题目,有 助于学生进一步理解等比数列的定义.与等差数列一样，教材中等
比数列的通项公式的归纳过程实际上也 是不完全归纳法，公式的正确性也应该用数学归纳法
加以证明，这一点不需要给学生讲.等比数列的通项 公式中含有四个量：
a
1
，
q
,
n
,
a
n
,
只有知道其中任意三个量，就可以求出另外的一个量.教材中例2、 例３都是这类问题.注意:
例3中通过两式相除求公比的方法是研究等比数列问题常用的方法.
从例4可以看到,若三个数成等比数列,则将这三个数设成是
a
,a,aq
比较好, 因为这
q
样设了以后,这三个数的积正好等于
a,
很容易将
a
求出.
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
教 学
过 程
*揭示课题
6．3 等比数列．
*创设情境 兴趣导入
【观察】 < br>某工厂今年的产值是1000万元，如果通过技术改造，在
今后的5年内，每年的产值都比上一年 增加10%，那么今年及
教师
行为

介绍


播放
课件

学生
行为

了解


观看
课件

思考


自我
分析
教学
意图

从实
例出
发使
学生
自然
的走
向知
识点

时
间

0










3
质疑
以后5年的产值构成下面的一个数列（单位：万元）：

2345
1 000,1000?1.1,1000?1.1,1000?1.1,1000?1.1,1000?1.1.< br>

不难发现，从第2项开始，数列中的各项都是其前一项的
引导
分析

- 16 -

教 学
过 程
1.1倍，即从第2项开始，每一项与它的前一项的比都等于1.1．
*动脑思考 探索新知
【新知识】
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间
5


总结


思考


理解


记忆





带领
学生
分析


引导
式启
发学
生得
出结
果












10
如果一个数列从第2项开始，每一项与它前一项的比都等
归纳
于同一个常数，那么这 个数列叫做等比数列．这个常数叫做这
个等比数列的公比，一般用字母q来表示．
由定义知， 若
?
a
n
?
为等比数列，q为公比，则
a
1
与q均不
a
为零，且有
n?1
?q
，即
a
n

仔细
分析
讲解
关键
词语


(6.5)
a
n?1
?a
n
?q
．

*巩固知识 典型例题
例１ 在等比数列
{a
n
}
中，< br>a
1
?5
，
q?3
，求
a
2
、a
3
、
a
4
、
a
5
．

说明
强调


引领



讲解
说明



观察



思考


主动
求解




通过
例题
进一
步领
会











15


解
a
2
?a
1
?q?5?3?15,

a3
?a
2
?q?15?3?45,
a
4
?a
3
?q?45?3?135,
a
5
?a
4
?q?135?3? 405.
【试一试】


*运用知识 强化练习
练习6.3.1
你能很快地写出这个数列的第９项吗？






动手
求解


及时
了解
学生
知识






1．在等比数列
?
a
n
?
中，
a
3
??6
，
q?2
，试写出
a
4
、
提问
a
6
．
巡视
指导
- 17 -

教 学
过 程
教师
行为
学生
行为
教学
意图
掌握
得情
况
时
间

25
2．写出等比数列
3,?6,12,?24,
……的第５项与第6项．
*创设情境 兴趣导入


如何写出一个等比数列的通项公式呢？


质疑


引导
分析



思考


参与
分析


思考
归纳


理解
记忆







学生
自然
的走
向知
识点

带领
学生
总结
问题
得到
等差
数列
通项
公式





引导
启发
学生
思考
求解




30
*动脑思考 探索新知
与等差数列相类似，我们通过观察等比数列各项之间的关
系，分析、探求规律．
设等比数列
?
a
n
?
的公比为q，则

总结
归纳


仔细
2










35

a
2
?a
1
?q,
< br>a
3
?a
2
?q?
?
a
1
?q?
?q?a
1
?q,
a
4
?a
3
?q ?
?
a
1
?q
?
?q?a
1
?q,
23
分析

讲解
关键
词语

……
【说明】
a
1
?a
1
?1?a
1
?q

依此类推，得到等比数列的通项公式： （6.6）
知道了等比数列
?
a
n
?
中的
a
1
和
q
，利用公式（6.6 ），可以
直接计算出数列的任意一项.
【想一想】
等比数列的通项公式中,共有四 个量：
a
n
、
a
1
、
n
和
q，
只要知道了其中的任意三个量，就可以求出另外的一个量. 针
对不同情况，应该分别采用什么样的计算方法？


- 18 -
0

教 学
过 程
*巩固知识 典型例题
例2求等比数列
教师
行为

说明
强调
学生
行为

观察



思考


主动
求解










观察



思考
求解


领会



思考
求解
教学
意图

通过
例题
进一
步领
会















注意
观察
学生
是否
理解
知识
点



反复
强调

时
间
















45




















?1,
的第10项．
111
,?,,?

248


引领


讲解
说明
1
解 由于
a
1
??1
，
q??
，
2
故，数列的通项公式为

a
n
?a< br>1
?q
n?1
?
1
?
??1?
?
?
?
?
2
?
n?1
??1?(?1)
n?1
?
1
?
?
??
?
2
?
n?1
1< br>?(?1)?
n?1
，
2
n










引领
分析


强调
含义
所以

a
10
?(?1)
10
1
2
10?1
?< br>1
．
512
1
例3 在等比数列
?
a
n
?
中，
a
5
??1
，
a
８
??< br>，求
a
13
．
8
解 由
a
5
??1,a
8
??
有
1
8
?1?a
1
?q
， （1）
4
1
??a
1
?q
7
， （2）
8
（2）式的两边分别除以(1)式的两边,得
1
?q
3
,
8
由此得
1
q?
．
2
将
q?


说明
1
代人（1），得
2
a
1
??2
4
,





所以，数列的通项公式为
1
a
n
??2
4
?()
n?1
．
2

- 19 -

教 学
过 程
故
教师
行为


学生
行为






















观察



思考
求解







教学
意图





























注意
观察
学生
是否
理解
知识
时
间




































1
?
1
?
．
a
13
?a
1?q
12
??2
4
?
??
??2
?8
??
256
?
2
?
【注意】
本例题求解过程中，通过两式相除求出公比的方法是研究
12

















等比数列问题的常用方法．
【想一想】

11
在等比数列
?
a
n
?
中，
a
7?
，
q?
．求
a
3
时，你有没有
93
比较简单的方法？
【知识巩固】
例4 小明、小刚和小强进行钓鱼比赛，他们三人钓鱼的数
量恰好组成 一个等比数列．已知他们三人一共钓了14条鱼，

而每个人钓鱼数量的积为64． 并且知道，小强钓的鱼最多，
小明钓的鱼最少，问他们三人各钓了多少条鱼？
分析 知道三个数构成等比数列，并且知道这三个数的

a
积,可以将这三个数设为
,a,aq
,这样可以方便地求出
a
,从
引领
q
而解决问题.
分析

a

解 设小明、小刚和小强钓鱼的数量分别为
,a,aq
．则
q
强调
?
a
?
q
?a?aq?14,
?

?

?
a
?a?aq?64.
?
?
q
解得
含义








a?4,
?
a?4,
?
?
1

?
或
?
q?.
?
q?2,
?
2
?
当
q?2
时

- 20 -

教 学
过 程
教师
行为






学生
行为














领会
思考
教学
意图
点













反复
强调

可以
交给
学生
自我
发现
归纳


及时
了解
学生
知识
掌握
情况

时
间

50
a4
??2,aq?4?2?8,

q2
此时三个人钓鱼的条数分别为2、4、8.
当
q?
1
时
2

a41
??8,aq?4??2,

q
1
2
2








此时三个人钓鱼的条数分别为8、4、2.
由于小明钓的鱼最少，小强 钓的鱼最多，故小明钓了2条
鱼，小刚钓了4条鱼，小强钓了8条鱼．
【注意】
将构成等比数列的三个数设为
法．
*运用知识 强化练习
a
,a,aq
，是经常使用的方

q
说明


启发
引导

提问
巡视
指导


思考
了解

动手
求解




回答


理解

强化






60
2
1.求等比数列
,2,6,?
.的通项公式与第7项．
3
2.在等比数列
?
a
n
?
中，
a
2
??
1
,
a
5
??5
, 判断
?125
是否
25
为数列中的项，如果是，请指出是第几项.
*理论升华 整体建构
思考并回答下面的问题：
等比数列的通项公式是什么
结论：

质疑


归纳
强调








70


a
n
?a
1
?q
n?1
.

*归纳小结 强化思想


- 21 -

教 学
过 程
本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？
教师
行为
引导

学生
行为
回忆






反思




动手
求解


教学
意图
时
间
*自我反思 目标检测
本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？
你的学习效果如何？





提问





检验
学生
学习
效果

培养
学生
总结
反思
学习
过程
的能
力

















80







90
1
已知等比 数列
{a
n
}
中,
a
4
??1,a
7??
,求
a
11
．
8
解答1 由已知条件得 ?
a
1
q
3
??1
?
?
6
1

?
a
1
q??
8
?
1
解方程组得
a
1
??8
q?
，
2




巡视
指导


因此
11
．
a
11
??8?()
10
??
2 128
11
解答2 由
???1q
3
得
q?
．所以
82
111
．
a
11
?(?)?()
4
??
82128

*继续探索 活动探究
(1)读书部分：教材
(2)书面作业：教材习题6．3A组（必做）；教材习题6．3B
组（选做）
(3)实践调查：用等比数列的通项公式解决生活中的一个
问题
【教师教学后记】
项目 反思点
学生是否真正理解有关知识；
学生知识、技能的掌握情况 是否能利用知识、技能解决问题；
在知识、技能的掌握上存在哪些问题；

说明

记录

分层
次要
求

- 22 -

学生是否参与有关活动；
学生的情感态度 在数学活动中，是否认真、积极、自信；
遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；
学生是否积极思考；
思维是否有条理、灵活；
学生思维情况
是否能提出新的想法；
是否自觉地进行反思；
学生是否善于与人合作；
学生合作交流的情况 在交流中，是否积极表达；
是否善于倾听别人的意见；
学生是否愿意开展实践；
能否根据问题合理地进行实践；
学生实践的情况
在实践中能否积极思考；
能否有意识的反思实践过程的方面；

【课题】7.1 平面向量的概念及线性运算

【教学目标】
知识目标：
（1）了解向量、向量的相等、共线向量等概念；
（2）掌握向量、向量的相等、共线向量等概念．
能力目标：
通过这些内容的学习，培养学生的运算技能与熟悉思维能力．
【教学重点】
向量的线性运算．
【教学难点】
已知两个向量，求这两个向量的差向量以及非零向量平行的充要条件．
【教学设计】
从“不同方向的力作用于小车，产生运动的效果不同”的实际问题引入概念．
向量不同于数量 ，数量是只有大小的量，而向量既有大小、又有方向．教材中用有向
线段来直观的表示向量，有向线段的 长度叫做向量的模，有向线段的方向表示向量的方向．数

- 23 -

量可以比较大小，而向量不能比较大小，记号“a＞b”没有意义，而“︱a ︱＞︱b︱”才是
有意义的.
教材通过生活实例，借助于位移来引入向量的加法运算．向量的 加法有三角形法则与
平行四边形法则.
向量的减法是在负向量的基础上，通过向量的加法来定 义的.即a-b=a+(-b)，它可以通
过几何作图的方法得到，即a-b可表示为从向量b 的终点指向向量a的终点的向量.作向量
减法时，必须将两个向量平移至同一起点.
实数?
乘以非零向量a，是数乘运算，其结果记作
?
a
，它是一个向量，其方 向与向量a
相同，其模为
a
的
?
倍．由此得到
a∥b?a?
?
b
．对向量共线的充要条件，要特别注意“非
零向量a、b”与“
?
?0
”等条件.
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
教 学
过 程
*揭示课题
7.1 平面向量的概念及线性运算
*创设情境 兴趣导入
如图7－1所示，用100N的力，按照不同的方向拉一辆
车，效果一样吗？

①
教师
行为

介绍


播放
课件




引导
分析
图7－1
学生
行为

了解


观看
课件

思考



自我
分析
教学
意图




从实
例出
发使
学生
自然
的走
向知
识点
时
间

0











3



*动脑思考 探索新知
【新知识】



- 24 -

教 学
过 程
在数学与物理学中，有两种量．只有大小，没有 方向的量
叫做数量（标量），例如质量、时间、温度、面积、密度等．既
有大小，又有方向的量 叫做向量（矢量），例如力、速度、位
移等．
平面上带有指向的线段（有向线段）叫做平面向 量，线段
的指向就是向量的方向，线段的长度表示向量的大小．如图7-2
所示，有向线段的起 点叫做平面向量的起点，有向线段的终点
叫做平面向量的终点．以A为起点，B为终点的向量记作
AB
．也可以使用小写英文字母，印刷用黑体表示，记作a；
教师
行为

总结
归纳






仔细
分析
讲解
关键
词语


a
A
学生
行为

思考





理解







记忆



教学
意图

带领
学生
分析





引导
式启
发学
生得
出结
果
时
间

























10
手写时应在字母上面加箭头，记作
a
．


B





图7－2
向量的大小叫做向量的模．向量a,
AB
的模依次记作
a
，
AB
．
模为零的向量叫做零向量．记作0，零向量的方向是不确
定的．
模为1的向量叫做单位向量．
*巩固知识 典型例题
例1 一架飞机从A处向正南方向飞行200km，另一架飞机
从A处朝北偏东45°方向飞行200km， 两架飞机的位移相同
吗？分别用有向线段表示两架飞机的位移．
解 位移是向量．虽然这两个向量的模相等，但是它们的



说明
强调
引领


观察



思考

- 25 -





通过
例题







b
A

教 学
过 程 < br>方向不同，所以两架飞机的位移不相同．两架飞机位移的有向
线段表示分别为图7-3中的有向线 段a 与b．







图7-3
*运用知识 强化练习
说出下图中各向量的模，并指出其中的单位向量 (小方格
为1)．









L
Z
Q
C
D
F
P
K
G
M
T
A
H
N
B
E
教师
行为


讲解
说明


强调
含义

学生
行为



主动
求解



教学
意图
进一
步领
会



时
间









13







提问
巡视
指导










思考
口答






及时
了解
学生
知识
掌握
得情
况















18
图7?4

- 26 -

教 学
过 程
*创设情境 兴趣导入
观察图7?4中的向量
AB
与
MN
，它们所在的直线平行，
两个向量的方向相同；向量
CD
与
PQ
所在的直线平行，两个
向量的方向相反．

教师
行为

播放
课件

质疑

引导
分析
学生
行为

观看
课件


自我
分析




思考
归纳


理解
记忆








思考
归纳


理解
记忆

教学
意图
从实
例出
发使
学生
自然
的走
向知
识点



带领
学生
总结

时
间








20











23
*动脑思考 探索新知
【新知识】
方向相同或相反的两个非零向量叫做互相平行的向量．向
量
a
与向量b平行记作a
b．
规定：零向量与任何一个向量平行
．

由于任意一组平 行向量都可以平移到同一条直线上，因此
相互平行的向量又叫做共线向量
．

【想一想】
图7?4中，哪些向量是共线向量？



总结
归纳


仔细
分析
讲解
关键
词语




总结
*动脑思考 探索新知
【新知识】
图7?4中的平行向量
AB
与
MN
，方向相同，模相等；平
行向量
HG
与
TK
，方向相反，模相等．
我们所研究的向量只有大小与方向两个要素．当向量a与
向量b的模相等并且方向相同时，称向 量a与向量b相等，记
作a = b ．也就是说，向量可以在平面内任意平移，具有这种
性质的向量叫做自由向量．




思考
归纳


理解
记忆













归纳


仔细
分析
讲解
与非零向量
a
的模相等，且方向相反的向量叫做向量
a
的
关键

- 27 -

教 学
过 程
负向量，记作
?a
．
规定：零向量的负向量仍为零向量．
显然，在图7－4中，
AB
=
MN
，
GH
= －
TK
．
*巩固知识 典型例题
例2 在平行四边形ABCD中（图7－5），O为对角线交点
．

（1）找出与向量
DA
相等的向量；
（2）找出向量
DC
的负向量；
A
D
O
B
C
教师
行为
词语
学生
行为
教学
意图
时
间



28

说明
强调


引领

讲解
说明

观察

思考

主动
求解


观察

思考
求解
领会
思考
求解



通过
例题
进一
步领
注意
观察
学生
是否
理解
知识
点
反复
强调














+

33
（3）找出与向量
AB
平行的向量
．

图7－5

分析 要结合平行四边形的性质进行分析．两个向量相等，
它们必 须是方向相同，模相等；两个向量互为负向量，它们必
须是方向相反，模相等；两个平行向量的方向相同 或相反．
解 由平行四边形的性质，得
（1）
CB
=
DA
；
（2）
BA
=
?DC
,
CD??DC
；
（3）
BA

AB
,
DC

AB
，
C D

AB
．


引领

强调
含义
说明
*运用知识 强化练习
1． 如图，
?
ABC中，D、E、F分别是三边的中点，试写
出
（1）与
EF
相等的向量；（2）与
AD
共线的向量
．

A
D
B
E
（练习题
第1题图
F
C
A
B
F
O
C
E
D





启发
引导












思考
了解













可以
交给
学生
自我
发现













（图－8）
第2
1
题图


2．如图，O点是正六边形ABCDEF的中心，试写出

- 28 -

教 学
过 程
（1）与
OC
相等的向量； （2）
OC
的负向量； （3）与
OC
共线的向量．
教师
行为

提问
巡视
指导

学生
行为

动手
求解




观看
课件


自我
分析

教学
意图
归纳

时
间

38
*创设情境 兴趣导入
王涛同学从家中（A处）出发，向正南方向行走500 m到
达超市（B处），买了文具后，又沿着北偏东60°角方向行走
200 m到达学校（C处 ）（如图7－6）．王涛同学这两次位移的
总效果是从家（A处）到达了学校（C处）．
A


播放
课件


质疑

C
200m


从实
例出
发使
学生
自然
的走
向知
识点















42























500m

引导
分析

B


图7－6
*动脑思考 探索新知
位移
AC
叫做位移
AB< br>与位移
BC
的和，记作
AC
=
AB
+
BC< br>．
B
a














思考
归纳


















带领
学生
总结

b


b

a
A


a+b

C






总结
归纳





图7－7

一般地，设向量a与向量b不共线，在平面上任取一 点A(如
图7－6)，依次作
AB
=a,
BC
=b，则向量
AC
叫做向量a与向
量b的和，记作a＋b ，即
a＋b =
AB
＋
BC
=
AC
（7．1）

- 29 -

教 学
过 程
求向量的和的运算叫做向量的加法．上述求向量的和的方
法叫做向量加法的三角形法则．
观察图7－7可以看到：依照三角形法则进行向量a与向
量b的加法运算，运算的结果仍然是向 量，叫做a与b的和向
量．其和向量的起点是向量a的起点，终点是向量b 的终点．
【做一做】
给出两个不共线的向量a和b，画出它们的和向量．
【想一想】
（1）a＋b与b＋a相等吗？请画出图来说明．
（2）如果向量a和向量b共线，如何画出它们的和向量？
*动脑思考 探索新知
如图7－9所示， ABCD为平行四边形，由于
AD
=
BC
，
根据三角形法则得

D
C
教师
行为





仔细
分析
讲解
关键
词语
学生
行为




理解
记忆
教学
意图

时
间












50




总结
归纳



这说明，在平行四边形





仔细
分析
讲解
关键
词语




思考
归纳






理解
记忆









带领
学生
总结



















55
AB
＋
AD
=< br>AB
＋
BC
=
AC

A
图7－9

B

ABCD中，
AC
所表示的向量就是
AB
与
AD
的和．这种求和
方法叫做向量加法的平行四边形法则
．

平行四边形法则不适用于共线向量，可以验证，向量的加
法具有以下的性质：
（1）a＋0 = 0＋a = a； a＋（?a）= 0；
（2）a＋b=b＋a；
（3）（a＋b）＋ c = a ＋（b＋c）．
*巩固知识 典型例题









- 30 -

教 学
过 程
例3 一艘船以12 kmh的速度航行，方向垂直于河岸，已
知水流速度为5 kmh，求该船的实际航行速度
．

解 如图7－10所示，
AB
表示船速，
D B
教师
行为




说明
强调
C
A
图7－10
学生
行为




观察







思考



主动
求解






观察
思考
求解






领会
教学
意图





















注意
观察
学生
是否
理解
知识
点






时
间



































AC
为水流速度 ，由向量加法的平行四边形
法则，
AD
是船的实际航行速度，显然
AD?AB?AC
22







引领



讲解
说明


=
12
2
?5
2
=13．
又
tan?C AD?
12
2
，利用计算器求得
?CAD?67?23
?
．
5
即船的实际航行速度大小是13kmh，其方向与河岸线(水
流方向)的夹角约67?23
?
．
*例4 用两条同样的绳子挂一个物体（图7－11）．设物
体的重力为k，两条绳子与垂线的夹角为
?
，求物体受到沿两
条绳子的方向的 拉力
F
1
与
F
2
的大小．
分析 由于两条同

样的绳子与竖直垂线所
成的角都是
?
，所以
F
2
?

F
1


引领
F
1?F
2
．解决问题不
考虑其它因素，只考虑
受力的平衡，所以
F
1
?F
2
??k
.
k

图7－11
分析







解 利用平行四边形法则，可以得到
F
1
?F
2
?2F
1cos
?
?k
，
所以
k
2cos
?

F
1
?
．





- 31 -

教 学
过 程
【想一想】
根据例题4的分析，判断在单杠上悬挂身体时(如图7－
教师
行为







讲解
说明
学生
行为








思考
求解
教学
意图








反复
强调


时
间










62
12)，两臂成什么角度时，双臂受力最小？

图7-12
*运用知识 强化练习
练习7.1.2
1． 如图，已知a，b，求a＋b
．

b
b
a
（1）
第1题图

（图1－15）
（2）






启发
引导







提问
巡视
指导


质疑
引导





思考
了解







动手
求解








可以
交给
学生
自我
发现
归纳

















65
a
2．填空（向量如图所示）：
（1）a＋b =_____________ ,
（2）b＋c =_____________ ,
（3）a＋b＋c =_____________ ．
3．计算：
（1）
AB
＋
BC
＋
CD
； （2）
OB
＋
BC
＋
CA
．
*创设情境 兴趣导入
在进行数学运算的时候，减去一个数可以看作加上这个数
的相反数．

思考
参与
引导
启发
学生





- 32 -

教 学
过 程
教师
行为
分析
学生
行为
分析






思考
归纳







理解
记忆
教学
意图
思考












带领
学生
总结

时
间
66


















68
*动脑思考 探索新知
与数的运算相类似， 可以将向量a与向量b的负向量的和
定义为向量a与向量b的差
．
即
a ?b = a＋(?b)．
设a
=OA
，b
?OB
，则
OA?OB?OA?(?OB)= OA?BO?BO?OA?BA
．


总结
归纳





即
OA?OB
=
BA
（7．2）

观察图7－13可以得到：起点相同的两个向量a、 b，其
差a－b仍然是一个向量，叫做a 与b的差向量，其起点是减
向量b的终点，终点是被减向量a的终点．




A
a
O
B

b
a-b



仔细
分析
讲解
关键

词语



强调

图7－13


*巩固知识 典型例题




思考
求解





领会








注意
观察
学生
是否
理解
知识
点
















例5 已知如图7－14（1）所示向量a 、b ，请画出向量
a－b．
a

b

图7－14
a
A

O

（2）
b

B

含义







说明


（1）

解 如图7－14（2）所示，以平面上任一点O为起点，作
OA
=a，
OB
=b ，连接BA，则向量
BA
为所求的差向量，即
BA
= a－b
．


- 33 -

教 学
过 程
【想一想】
当a与 b共线时，如何画出a－b
．

*运用知识 强化练习
1．填空：（1）
AB?AD
=_______________，
（2）
BC
?BA
=______________，
（3）
OD?OA
=______________．
2．如图，在平行四边形
ABCD中，设
AB
= a,
AD
= b，
试用a, b表示向量
AC
、
BD
、
DB
．

教师
行为
学生
行为
思考
求解

教学
意图
时
间

70



启发
引导


提问
巡视
指导




思考
了解


动手
求解



可以
交给
学生


自我
发现
归纳











72









74
*创设情境 兴趣导入
观察图7－15可以看出，向量
OC
与向量a共线，并且
OC
＝3a．


质疑



a
A B
图7?15
a
C

引导
分析








总结


思考



参与
分析



引导
启发
学生
思考
a
a
O
*动脑思考 探索新知
一般地，实数
?与向量a的积是一个向量，记作
?
a，它
的模为

|?a|?|?||a|
（7．3）








思考








带领









若
|
?
a|?
0，则当
?
＞0时，
?
a的方向与a的方 向相同，

当
?
＜0时，
?
a的方向与a的方向相反
．


- 34 -

教 学
过 程
由上面定义可以得到，对于非零向量a、b，当
?
?0
时，
有
a∥b?a?
?
b
（7．4）
一般地，有
0a= 0,
教师
行为
归纳

















仔细
分析
学生
行为
归纳








理解
记忆







理解
记忆
教学
意图
学生
分析
















引导
启发
学生
得出
结论
时
间
























78











?
0 = 0 ．
数与向量的乘法运算叫做向量的数乘运算，容易验证，对
于任意向量a, b及任意实数
?
、
?
，向量数乘运算满足如下的
法则：
1a?a，

?
1
?
　　
?
?1
?
a??a　；

?
2
?
　　
?
???
a?
?
?
?
a
?
?
?
?< br>?
a
?
；
?
3
?
　　
?
?
?
?
?
a?
?
a?
?
a；


?
４
?
　
?
?
a?b
?
?
?
a?
?
b．
【做一做】
请画出图形来，分别验证这些法则．
向量加法及数乘运算在形式上与实数的有关运算规律相< br>类似，因此，实数运算中的去括号、移项、合并同类项等变形，
讲解
可直接应用于向量 的运算中．但是，要注意向量的运算与数的
运算的意义是不同的
．

*巩固知识 典型例题
例6 在平行四边形ABCD中，O为两对角线交点如图7－
16，
AB
＝a ，
AD
＝b，试用a, b表示向量
AO
、
OD
．

11
分析 因为
AO?AC
,
OD?BD
，所以需要首先 分别求
22
关键
词语








强调
含义








思考
求解











注意
出


图7－16


向量
AC
与
BD
.

- 35 -

教 学
过 程

解
AC
＝a＋b,
BD
＝b ?a，
因为O分别为AC，BD的中点，所以
1111
AO?AC?
（a＋b）＝a＋b，
2222
1111
OD
＝
BD
＝（b ?a）＝?a+b
．

2222
教师
行为





说明

学生
行为




领会





思考
求解

教学
意图
观察
学生
是否
理解
知识
点

时
间















81
例6中，
1111
a＋b和?a+b都叫做向量 a，b的线性
2222
组合，或者说，
AO
、
OD
可以用向 量a，b线性表示
．

?
a＋
?
b叫做a, b的一个线性组合一般地，（其中
?
,
?
均
为系数）．如果l ＝
?
a＋
?
b，则称l可以用a，b线性表示
．

向量的加法、减法、数乘运算都叫做向量的线性运算
．

*运用知识 强化练习
1． 计算：（1）3（a ?2 b）－2（2 a＋b）；
（2）3 a ?2（3 a ?4 b）＋3（a ?b）．

启发
引导


思考
了解

动手
求解

可以
交给
学生
自我
发现
归纳







83











85

1
2．设a, b不共线，求作有向线段
OA
，使
OA
＝（a＋b）．
提问
2
巡视
指导
*理论升华 整体建构
思考并回答下面的问题：
向量、向量的模、向量相等是如何定义的？
结论：



质疑


归纳
向量的大小叫做向量的模．向量a,
AB
的模依次记作
a
，
AB
．




回答








及时
了解
学生
知识
掌握
情况

当一种量既有大小，又有方向，例如力、速度、位移等，

这种量叫做向量（矢量）
强调

a与向量b的模相等并且方向相同时，称向量a与向量b

- 36 -

教 学
过 程
相等，记作a = b ．

*归纳小结 强化思想
本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？
*自我反思 目标检测
本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？
你的学习效果如何？
计算：
（1）
AB
＋
BC
＋
CD
； （2）
OB
＋
BC
＋
CA
．
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间

引导



提问

巡视
指导

说明

回忆



反思

动手
求解

记录


检验
学生
学习
效果


分层
次要
求






88






90
*继续探索 活动探究
(1)读书部分：教材
(2)书面作业：教材习题7．1 A组（必做）；7．1 B组
（选做）
(3)实践调查：试着用向量的观点解释生活中的一些问题
【教师教学后记】
项目 反思点
学生是否真正理解有关知识；
学生知识、技能的掌握情况 是否能利用知识、技能解决问题；
在知识、技能的掌握上存在哪些问题；
学生是否参与有关活动；
学生的情感态度 在数学活动中，是否认真、积极、自信；
遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；
学生是否积极思考；
思维是否有条理、灵活；
学生思维情况
是否能提出新的想法；
是否自觉地进行反思；
学生合作交流的情况 学生是否善于与人合作；

- 37 -

在交流中，是否积极表达；
是否善于倾听别人的意见；
学生是否愿意开展实践；
能否根据问题合理地进行实践；
学生实践的情况
在实践中能否积极思考；
能否有意识的反思实践过程的方面；


【课题】7.2 平面向量的坐标表示

【教学目标】
知识目标：
（1）了解向量坐标的概念，了解向量加法、减法及数乘向量运算的坐标表示；
（2）了解两个向量平行的充要条件的坐标形式.
能力目标：
培养学生应用向量知识解决问题的能力.
【教学重点】
向量线性运算的坐标表示及运算法则.
【教学难点】
向量的坐标的概念.采用数形结合的方法进行教学是突破难点的关键.
【教学设计】
向量只有“模”与“方向”两个要素，为了研究方便，我们首先将向量的起点放置在
坐标原点（一般称 为位置向量）．设
x
轴的单位向量为
i
，轴的单位向量为
j
．如果点
A
的坐
标为（
x
，
y
）,则
OA?xi?yj
，
将有序实数对（
x
，
y
）叫 做向量
OA
的坐标．记作
OA
=（
x
，
y
）．
例1是关于“向量坐标概念”的知识巩固性例题．要强调此时起点的位置．让学生认
识到 ，当向量的起点为坐标原点时，其终点的坐标就是向量的坐标．例2是关于“向量线性
运算的坐标表示” 的知识巩固性例题．要强调与公式的对应．
在研究起点为坐标原点的向量的基础上，利用向量加法的三角形法则，介绍起点在任

- 38 -

意位置的向量的坐标表示，向量的坐标等于原点到终 点的向量的坐标减去原点到起点的向量
的坐标，由此得到公式（7.8）.数值上可以简单记为：终点的 坐标减去起点的坐标．例3
是关于“起点在任意位置的向量的坐标表示”的巩固性例题．要强调“终点的 坐标减去起点
的坐标”．
【教学备品】
教学课件．
【课时安排】
2课时．(90分钟)
【教学过程】
教 学
过 程
*揭示课题
7.2 平面向量的坐标表示
*创设情境 兴趣导入
【观察】
教师
行为

介绍



学生
行为

了解






思考









自我
分析

教学
意图









从实
例出
发使
学生
自然
的走
向知
识点


时
间

0























设平面直角坐标系中，x轴的单位向量为i, y轴的单位向


量为j，
OA
为从原点出发的向量，点A的坐标为（2，3）(图7

－17)．则
质疑







图7－17
OM?2i
，
ON?3j
．

引导
分析

由平行四边形法则知

OA?OM?ON?2i?3j
．
【说明】
可以看到，从原点出发的向量，其坐标在数值上与向量终点的

- 39 -

教 学
过 程
坐标是相同的．
*动脑思考 探索新知
【新知识】
设i, j分别为x轴、y轴的单位向量， < br>（1）设点
M(x,y)
，则
OM?xi+yj
（如图7－18(1) ）；
（2）设点
A(x
1
,y
1
)，B(x
2< br>,y
2
)
（如图7－18(2)），则
y
M(x,y)
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间
5



仔细
分析
讲解
关键
词语


思考


理解


记忆


引导
式启
发学
生得
出结
果









10
j
O
i x

(1)
y
B
A
j
O
i x

(2)
图7－18
AB?OB?OA?(x
2
i+y
2
j)?(x
1
i+y
1
j)
?(x
2
?x
1
)i?(y
2?y
1
)j．

由此看到，对任一个平面向量a，都存在着一对有序实数
(x,y)
， 使得
a?xi?yj
．
有序实数对
(x,y)
叫做向量a的坐标，记作

a?(x,y)
．

- 40 -

教 学
过 程
如图7－17所示，向量的坐标为
OA?(2,3)．

如图7－18（1）所示，起点为原点，终点为
M(x,y)
的向量
的坐标为
OM?(x,y)．

教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间
如图7－18（2）所示，起点为
A( x
1
,y
1
)，
终点为
B(x
2
,y2
)
的向
量坐标为
AB?(x
2
?x
1，y
2
?y
1
)．
（7．5）
*巩固知识 典型例题
例1 如图7－19所示，用x轴与y轴上的单位向量i
、
j
表 示向量a
、
b, 并写出它们的坐标．
解 因为
a＝
OM
＋
MA
＝5i＋3j ，

所以
a?(5,3)
．
同理可得
b?(?4,3)
．







图7－19
【想一想】
观察图7－19，
OA
与
OM
的坐标之间存在什么关系？
，QP
的坐标． 例2 已知点
P(2,?1)，Q(3,2)
，求
PQ




说明
强调




引领




讲解
说明





观察




思考




主动
求解






通过
例题
进一
步领
会


























解
PQ?(3,2)?(2,?1)?(1,3),


- 41 -

教 学
过 程

QP?(2,?1)?(3,2)?(?1,?3)．

*运用知识 强化练习
1． 点A的坐标为（－2，3），写出向量
OA
的坐标，并用
i与j的线性 组合表示向量
OA
．
2． 设向量
a?3i?4j
,写出向量a的坐标．
BA
的坐标． 3． 已知A，B两点的坐标，求
AB，
教师
行为
学生
行为
教学
意图
时
间

15


提问
巡视
指导


思考
口答

及时
了解
学生
知识
掌握
得情
况







20
(1)
A(5,3),B(3,?1);

(2)
A(1,2),B(2,1);

(3)
A(4,0),B(0,?3)．

*创设情境 兴趣导入
【观察】
观察图7－20，向量
OA?(5,3)
,
OP?(3,0)
,< br>OM?OA?OP?(8,3)
．可以看到，




质疑





思考





参与
分析














引导
启发
学生
思考

















27
两个向量和的坐标恰好是这两个向量对应坐标的和．







图7－20




引导
分析




*动脑思考 探索新知
【新知识】



- 42 -

教 学
过 程
设平面直角坐标系中 ，
a?(x
1
,y
1
)
，
b?(x
2,y
2
)
，则

a?b?( x
1
i?y
1
j)?(x
2
i?y
2
j)

?(x
1
?x
2
)i?(y
1
?y2
)j
．
教师
行为



总结
归纳


学生
行为



思考
归纳




理解
记忆





观察



思考


主动
求解
教学
意图






带领
学生
总结

时
间












35
所以
a?b?(x
1< br>?x
2
,y
1
?y
2
)
． （7．6）


仔细
类似可以得到
a?b?(x
1< br>?x
2
,y
1
?y
2
)
． （7．7）
分析
讲解
关键
词语
?
a?(
?
x
1
,
?
y
1
)
． （7．8）
*巩固知识 典型例题
例3 设a＝(1,?2), b＝(?2,3)，求下列向量的坐标：
(1) a＋b ， (2) ?3 a， (3) 3 a ?2 b ．
解 (1) a＋b＝(1, ?2)＋(?2,3)＝(?1,1)
(2) ?3 a＝?3×(1, ?2)＝(?3,6)

说明
强调


引领

通过
例题
进一
步领
会













45
(3) 3 a ?2 b＝3×(1, ?2) ? 2×(?2,3)＝(3, ?6) ? (?4,6)＝(7,


?12)．
讲解
说明
*运用知识 强化练习
已知向量a, b的坐标，求a＋b、 a ?b
、
?2 a＋3 b的坐标．
（1） a＝(?2,3)， b＝(1,1)；
（2） a＝(1,0)， b＝(?4, ?3)；
（3） a＝(?1,2)， b＝(3,0)．

启发
引导

提问
巡视
指导

思考
了解

动手
求解



及时
了解
学生
知识
掌握
得情









- 43 -

教 学
过 程
教师
行为

学生
行为
教学
意图
况
时
间
55











60
*创设情境 兴趣导入
【问题】
前面我们学习了公式（7.4），知道对于非零向量a
、
b，当



引导
分析




观察
思考


总结
归纳




仔细
分析
讲解



思考





参与
分析





引导
启发
学生
思考
?
?0
时，有
a∥b?a?
?
b

如何用向量的坐标来判断两个向量是否共线呢？

*动脑思考 探索新知
【新知识】
设
a?(x
1
,y
1
),b?(x< br>2
,y
2
),
由
a?
?
b
，有 < br>x
1
?
?
x
2
,y
1
?
?
y
2
,
于是
x
1
?
y
2
?
?
x
2
y
1
，即


思考
归纳




理解
记忆



观察



思考


主动








带领
学生
总结




通过
例题
进一
步领
会












67










x
1
y
2
?x
2
y
1
?0
．
由此得到，对非零向量a
、
b，设
a?(x
1
,y
1
),b?(x
2
,y
2
),
当
?
?0
时，有

a∥b?x
1
y
2
?x
2
y
1
?0．
（7．9）
*巩固知识 典型例题
例4 设
a?(1,3),b?(2,6)
，判断向量a
、
b是否共线．
解 由于 3×2?1×6＝0，


说明
强调

引领
分析


故由公式（7．9）知，
a∥b
，即向量a
、
b共线．




- 44 -

教 学
过 程
教师
行为
讲解
说明
学生
行为
求解
教学
意图

时
间


70
*运用知识 强化练习
判断下列各组向量是否共线：
（1） a＝(2,3)， b＝(1,

启发
引导

提问
巡视
指导






质疑



归纳

思考
了解

动手
求解


及时
了解
学生
知识
掌握
得情
况








75



















80
3
)；
2
（2） a＝(1, ?1) ， b＝(?2,2)；
（3） a＝(2, 1) ， b＝(?1,2)．


*理论升华 整体建构
思考并回答下面的问题：
向量坐标的概念？
任意起点的向量的坐标表示？
共线向量的坐标表示？
结论：
一般地，设平面直角坐标系中，x轴的单位向量为i, y轴
的单位向量为j，则对于从原点出 发的任意向量a都有唯一一
对实数x、y，使得
a?xi?yj
．有序实数对
(x,y)
叫做向量a的
坐标，记作

a?(x,y)
．
向量的坐标等于原点到终点的向量的坐标减去原点到起
点的向量的坐标.
对非零向量a
、
b，设
a?(x
1
,y
1
),b?(x
2
,y
2
),
当
?
?0
时 ，
有

a∥b?x
1
y
2
?x
2
y
1
?0．

*归纳小结 强化思想
本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？





回答









及时
了解
学生
知识
掌握
情况

强调


引导


回忆



- 45 -

教 学
过 程
*自我反思 目标检测
本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？
你的学习效果如何？
已知向量a, b的坐标，求a＋b、 a ? b
、
?2 a＋3 b的坐
标． a＝(?2,3)， b=(1,1)；
教师
行为

提问

巡视
指导
学生
行为

反思

动手
求解
教学
意图

检验
学生
学习
效果

时
间






85






90
*继续探索 活动探究
(1)读书部分：教材
(2)书面作业：教材习题7.2 A组（必做）；7.2 B组（选
做）
(3)实践调查：寻找生活中的向量坐标实例

说明

记录

分层
次要
求
【教师教学后记】
项目 反思点
学生是否真正理解有关知识；
学生知识、技能的掌握情况 是否能利用知识、技能解决问题；
在知识、技能的掌握上存在哪些问题；
学生是否参与有关活动；
学生的情感态度 在数学活动中，是否认真、积极、自信；
遇到困难时，是否愿意通过自己的努力加以克服；
学生是否积极思考；
思维是否有条理、灵活；
学生思维情况
是否能提出新的想法；
是否自觉地进行反思；
学生是否善于与人合作；
学生合作交流的情况 在交流中，是否积极表达；
是否善于倾听别人的意见；
学生是否愿意开展实践；
学生实践的情况
能否根据问题合理地进行实践；

- 46 -