数学---样本教材

校本教材








第一讲
第二讲
第三讲
数学拓展与提高
（供高一年级用）



目录
二次函数最值
用二次函数图象讨论二次方程根的分布
二次函数与方程、不等式

第四讲 应用问题（一）
第五讲 应用问题（二）
第六讲 应用问题（三）
第七讲 应用问题（四）
第八讲 不等式性质
第九讲 不等式的应用
第十讲 三角函数式的恒等变形
第十一讲 解斜三角形
第十二讲 三角函数的最值
第十三讲 特殊数列求和的几种方法
第十四讲 选择题解法
第十五讲 希望杯竞赛题辅导
高一《数学拓展与提高》选修测试卷一
高一《数学拓展与提高》选修测试卷二

第一讲：二次函数最值
b
2
4ac?b
2
二次函数y=ax+bx+c (a≠0)=
a(x?)?

2a4a
2
4ac?b
2b
当a>0时，x=
?
，y
min
=
4a
2 a

4ac?b
2
b
当a<0时，x=
?
，y
max
=
4a
2a
举例：
例1：填空
y=-2x
2
+3x-2 (x∈R)的最大值是
y=3x
2
-6x-8 (x∈R)的最小值是
例2：已知二次函数y=-2x+4x-1，x分别在如下范围内取值时，
求y的最大值和最小值。
（1）x∈R （2）-1≤x≤2 (3)-2≤x<0
(4)t≤x≤t+1
例3：设-1≤x≤1，求函数y=x
2
-ax+3 (a∈R)的最大值与最小值。
例4：已知
?
、
?
是关于x的方程 x
2
-2ax+a+6=0的两个实根，求
(
?
?1< br>)
2
+(
?
?1
)
2
的最小值。
例5：在长和宽分别为a和1（a>1）的矩形中，如图，截得四边
形ABCD，求四边形面积S的最大 值。




a
B
C
D
1
A
2
例6：如图，有一批材料，可以建成长60米的围墙，如果用此材
料围成一块矩形的场地，中间用同样的材料隔成相等的矩形，怎
样围法才可以取得最大面积？

例7：如图，在兴修水利中，需开挖断面为等腰梯形渠 道，腰与水
平线夹角
?
?
60°，水渠的断面与水接触的边界长度为定值l， 问
水渠深x为多少时，可使水流量最大？




例8：在直径为a的半圆形板上截取△ABC，使AB恰为直径长，C
在半圆的弧上，设AC=x ,S 为余料（阴影部分），求S的最小值。
x
?







第二讲：用二次函数图象讨论二次方程根的分布
下面介绍二次函数图象讨论二次方程根的范围问题的一般方法。
对于二次方程ax
2
+bx+c=0 (a≠0)可以化为x
2
+px+q=0。
1、方程x
2
+px+q=0的根与常数k的关系：

A
B

设f(x)= x
2
+px+q的二根
?
，那么它们与常数k （k
?
且< br>?
≤
?
，
≠
?
,k≠
?
）在x轴的 位置分别如下图所示。
（1） （2） （3）









（1）二根均小于k （2）一根小于k而另一根大于k
（3）二根均大于k
即
?
≤
?
＜k 即
?
＜k＜
?

即k＜
?
≤
?

△
△≥0
充要条件：
?
≥0
k
?
?
?
k
x
?
?
x
k
?
x
p
＜k f(k)＜0
2
?
p
＞k
2
f(k)＞0
f(k)＞0

2、方程x
2
+px+q=0的根 与常数k
1
,k
2
﹙k
1
＜k2＝的关系：
设f(x)= x
2
+px+q的二根
?
，
?
且< br>?
＜
?
，那么它们与常数k
1
,k
2
﹙k< br>1
＜k2＝在x轴上的位置关系是：
（1）








f(k1) ＜0
（1） 方程f(x)=0的两根
?
，
?
在（k1,k2）两侧
f(k2)
＜0
(2) 方程f(x)=0在（k1,k2）内只有一根，即k1＜
?
＜k2＜
?
或
?
＜k1＜
?
＜k2

f(k1) ＞0 f(k1) ＜0
或
f(k2) ＜0 f(k2) ＞0


k1 k2
（2）
?
x
k1
k2
k1
?
??
x
?
?
k2
x

例1：设二次方程x
2
+2px+6-p=0的解满足下列条件：
（1） 两根都大于1
（2） 一根大于1，而另一根小于1
例2：已知方程x
2
+mx+n=0的二根都大于2，试求m，n的关系式。
例3：若方程x
2
+(a
2
-1)x+a-2=0的一根大于1，另一根比 -1小，
求证实数a∈（-2，0）
例4、若方程ax
2
-2x+1=0 (a>0)的二根满足条件，小根小于1，大根
在（1，3）内，求a的范围

例5 、设方程(1-m
2
)x
2
+2mx-1=0的两根都在（0，1）内，求实 数m
的范围
例6、p为什么数时，关于x的方程7x
2
-(p+13)x+ p
2
-p-2=0的二根?、
?分别满足0 1例7、方程4x
2
+(a-5)x+1=0的两实根都在（0，1）内， 求实数a的
范围
例8、方程x
2
+(m-2)x+5-m=0的两根均大于2，求实数m的范围 例9、方程x
2
+2px+1=0的两实根一根小于1，另一根大于1，求实
数p 的范围

例10、若二次方程x
2
+px+q有两不等实根，k为非零实数 ，求证二
次方程x
2
+px+q+k(2x+p)=0也有两不等实根，且仅有一根在
第一个方程的二根之间

第三讲：二次函数与方程、不等式
当我们学习了二次函数
y?ax
2
?bx?c(a?0)
后，再进一步分
析它同实系数一元二次方程
ax
2< br>?bx?c?0(a?0)
及一元二次不等
式
ax
2
?bx? c?0(或?0)
之间的区别和联系。对我们掌握基本知识

间的横向联系及其内 在规律很有益处，这不仅可以加深有关概念
的理解，而且还可以广开思路获得解题方法的更大灵活性。
下面仅从两个方面介绍有关二次函数，方程，不等式之间的综
合应用
一、 二次函数的图象与方程、不等式的关系
1、函数
y?ax
2
?bx?c(a?0)
的图象与x轴的关系
2、与方程关系
3、与不等式的关系
二、 举例
1、若直线
y ?mx?2
与抛物线
y?x
2
?3x?3
相切，求切点坐
标 ，若它们相交，求m的取值范围
2、证明抛物线
y?x
2
?mx?n在n?0
时一定与x轴有公共点
2
?
?
y?x?4
3、就实数m的变化，试讨论方程组
?< br>的解的个数
?
?
y?m?1
4、m为什么范围的值时，不等式
2m(x
2
?1)?x(x?2)
对于x的
一切实数值均成立
5 、函数
f(x)?log
1
(x
2
?4mx?4m
2
?m?
3
1
)
的定义域为一
m?1
切实数，求m的范围
6、已知不等式
ax
2
?bx?c?0
的解集为
?
x|
?
?x?
?
?
,其中0?
?
?
?,

试求不等式
cx
2
?bx?a?0的解集

第四讲：应用问题（一）
如何将一个实际问题转化为一个数学问题，即所谓“数学建
模”，是一个难点问题，在读懂题意 的基础上，分析数量关系，寻
求问题的数学本质是解应用问题的关键。近几年数学高考试题所
设 计的应用问题，更加贴近生产与社会生活实际，这些题目的立

意、实际背景、创设的情景 、设问角度和方式新颖灵活。所以关
注社会、深入体验与了解生产实际，加强阅读理解能力的训练就显得十分重要。
与函数、方程、不等式有关的应用题
此类问题经常涉及行程、物价、产 量等实际问题，也可涉及长度、
角度、面积、体积等几何量。解答这类问题，一般应列出有关的
解析式，综合运用函数、方程、不等式的有关知识加以解决。
例1．（99全国高考）某电脑用户计划 使用不超过500元的资金购
买单价分别为60元、70元的单片软件和盒装磁盘。根据需要，软
件至少买3片，磁盘至少买2盒，则不同的选购方式共有（ ）。
A. 5种 B. 6种 C. 7种 D. 8种
例2、公园要营造一个圆形的喷水池，在水池中央垂直于水面安装
一个花形柱子OA， O恰在水面中心，OA=1.25米，安置在柱子
顶端A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向上沿形状 相同的抛物
线路径落下，且在过OA的任一平面上抛物线路径如图，为使水池
形状较为漂亮，设 计成水流在到OA距离为1米处达到距水面最大
高度2.25米，如果不记其他因素，那么水池的半径至 少要多少米，
才能使喷出的水流不致落到池外？

A
例3．某商场在促销 期间规定：商场内所有商品按标价的80%出售；
同时，当顾客在该商场内消费满一定金额后按如下方案 获得相应
金额的奖券：
消费金额?200
O
，?400，?500，?700，
……

（元）的
400?
范围
获得奖券
30
的金额
（元）
500? 700? 900?
60 100 130 ……
根据上述促销方法，顾客在该商场购物可以获得双重 优惠。
例如，购买标价为400元的商品，则消费金额为320元，获得的
优惠额为：400 x 0.2 + 30 =110(元)。设购买商品得到的优惠率
=
购买商品获得的优惠额
。试问：
商品的标价
（1） 购买一件标价为1000元的商品，顾客得到的优惠率
是多少？
（2） 对于标价在500，800（元）内的商品，顾客购买标价
1
为多少元的商品 ，可得到不小于的优惠率
3



第五讲：应用问题（二）
1、窗框问题
有l米长的钢材，要做成如图所示的窗架，上半部为半圆，下半部
为六 个全等小矩形组成的矩形。试问小矩形的长、宽比为多少时，

窗所通过的光线最多，并具 体算出窗框面积的最大值。




2、流量问题：沟渠的截面为 等腰梯形，且两腰与下底长之和为6
米，上底长（沟阔）为一腰与下底长之和，试问等腰梯形的腰
与上下底长各为多少时，水流量为最大，并求出截面面积S的
最大值。

3、煤气收费标准：某家庭今年一月份，二月份和三月份煤气用量
和支付费用如下表所示：
月份
一月份
二月份
三月份
用气量
4立方米
25立方米
35立方米
煤气费
4元
14元
19元
该市煤气收费方法是：煤气费=基本费+超额费+保险费
若每月用气量不超过最低额度A立方 米时，只付基本费3元和每
户每月定额保险费C元；若用气量超过A立方米，超过部分每立
方米 付B元，并知保险费C不超过5元，根据上面的表格求A，B，
C。
4、据报道，我国目前已 成为世界上受荒漠化危害最严重的国家之
一。右图表示我国土地沙化总面积在20世纪50~90年代情 况，试
根据图中的相关信息，将上述有关年代中，我国年平均土地沙化
面积在下图中表示出来。
260
土地沙化总面积
（万平方公里）
257.5

第六讲：应用问题（三）
1．直角三角形ABC，AC=3,BC=4,动点P从直角顶点C 出发沿CB、
BA、AC运动回到C,设P经过的路程为x,写出线段AP的长度
26
22
18
14
10
1950
年平均土地沙化面积
（百平方公里）
1960 1970 1980 1990 2000
年份

与x的函数关系式F(x)。
2．（全 国高考）甲、乙两地相距s千米，汽车从甲地匀速行驰到乙
地，速度不得超过c千米小时，已知汽车每小 时的运输成本（以
元为单位）由可变部分和固定部分组成：可变部分与速度v（千米
时）的平方 成正比，比例系数为b；固定成本为a元。
（I） 把全程运输成本y（元）表示为速度v（千米时）
的函数，并指出函数的定义域。
（II） 为了使全程运输成本最小，汽车应以多大速度行
驶？

3．知某轮船的航行速度为每 小时10千米时，燃料费用为每小时
30元，其余费用（不随速度变化）为每小时480元，设轮船的< br>燃料费用与其航行速度的立方成正比，问轮船航行的速度为煤
小时多少千米时，每千米航行费用总 和为最小。
4．求下列函数的最值
12
(x>0)的最小值。
2
x
1
（2）f(x)=x
2
(1-3x) (03
（1）f(x)=3x+
（3）f(x)=
x2
?10
x?9
2
的最小值。
11
?
的最小值。
xy
（4）已知正数x,y满足x+2 y=1,求
2
x?4
（5）设f(x)=
x

4?8
(1) 求f(x)的最大值

(2) 证明对于任意实数a,b，恒有f(x)2
-3b+
21

4
5．已知函数f(x)=ax
2
+bx+c (a≠0)。当x=-1时 ，f(x)=0。问是否
1
存在常数a,b,c，使得不等式x≤f(x)≤(1+x
2
)对x∈R恒成立？并
2
证之。

















第七讲 ：应用问题（四）
1、某商店卖货，售价f(t)与时间t天的函数关系式是
1
t?22

0?t?40

t?N

4

f(t)=
1
?t?52

40?t?100

t?N

2
售量g(t)与时间t的函数关系是
1109

0?t?100

t?N

g(t)??t?
33
求这种商品的日销售额的最大值。

2、某村1997年底共有人口2452人，全年工农业总产值为3600
万元，假设从1998年 起每年总产值增加50万元，人口每年年
净增16人，试写出今后5年该村年人均产值y（万元）与距< br>1997年的年数x（年）（1998年为第1年）之间的函数关系式，
并求出公元2000年该 村的年人均产值。


3、假设国家收购某种农产品的价格为120元每担，其中征 税标准
为每100元征8元（称税率为8个百分点 即8%），计划可收
购m万担，为了减轻农 民负担，决定税率降低x个百分点，预
计收购量可增加2x个百分点。
（1） 写出税收y（万元）与x的函数关系式；
（2） 要使此项税收在税率调节后不低于原计划的78%，试确
定x的值。
4、某工厂今年1月，2 月，3月生产某产品分别为10万件，12万
件，13.5万件，为了估测以后每个月的产量，以这3个 月的产
品数量为依据，用一个函数模拟该产品的月产量与月份数的关

系，模拟函 数可以选用二此函数或函数
f(x)?a?b
x
?c
（a,b,c
为 常数）已知4月份该产品的产量为14.6万件，请问用以上哪
个函数作为模拟函数较好？请说明理由。


5、某长生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但
每生 产100台，需要加可变成本（即另增加投入）0.25万元，
市场对此产品的年需求量为500台，销 售的收入函数为
x
2
R(x)?5x?(万元）(0?x?5)
其中x 是产品售出的数量（单
2
位：百台）
（1） 把利润表示为年产量的函数；
（2） 年产量是多少时，工厂所得的利润最大？
（3）
年产量是多少时，工厂才不会亏本
？






第八讲：不等式性质
要点导引：

不等式的有关内容是 中学数学的主体内容，也是高考必考的内容，
是历年高考的热点之一。本章要求如下：
1．掌握不等式的基本性质及其证明。
2．熟练掌握一元二次不等式的解法，并能做简单的应用。
3．掌握分式不等式和绝对值不等式的解法。
一、 填空题：
1．已知
a ,b,c?R
，则“
a?b
”是“
ac
2
?bc
2
”的________
条件。
2．当
a,b
满足________ __时，
ab
??2
成立。
ba
3．若
0?a?1,0? b?1,且a?b,
则
a?b,2ab,a
2
?b
2
,2a b
中代
数式的值最大的是___________.
4．设
x?0
，则
y?x1?x
2
的最大值为____________.
5．若
?2?a?b?3,?2?c?0,
则
c(a?b)
的取值范围是
____ ______.
6．不等式
x
2
?4?|x|
的解是_____________.
1
7．函数
f(x)?x?,(x?0)
的值域为____________ _.
x
8．若不等式
x
2
?ax?b?0
的解是
2?x?3
，则不等式
bx
2
?ax?1?0
的解集是______ ________.
9．
x,y?R,
且
y?0
，又
___________.
10．
x
?x?y
，则
x
的取值范围是
y
要围一个面积为8平方米的矩形园地，一面借用旧墙，

三面砌新墙，要使材料最省，则 矩形的长为________米，
宽为________米。

二、举例

例1：设
a,b
是两个实数，给出下列条件：
(1)a?b?1
；< br>(2)a?b?2
；
(3)a?b?2
；
(4)a
2
?b
2
?2
；
(5)ab?1
。其中能推出“
a,b
中至少
有一个数大于1”的条件式（ ）
(A) (2)(3) (B) (1)(2)(3) (C) (3)(4)(5) (D) (3)
例2：已知三个 不等式
(1)ab?0
；
(2)?
cd
??
；
(3 )bc?ad
。以其
ab
中两个做条件，余下一个做结论，则可以组成_______ _个正确命
题。
例3：如果
{x|2ax
2
?(2?ab)x?b ?0}?{x|x??2或x?3}
，其中
b?0
，求
a,b
的取值 范围。
?
x
2
?x?2?0
例4：关于x的不等式组
?< br>2
的整数解的集合
?
2x?(2k?5)x?5k?0
为
{? 2}
,求实数
k
的取值范围。
例5：某旅游风景区为方便学生集体旅游，特 制学生暑假旅游专用
卡，每卡60元。使用规定：不记名，每卡每次1人，每天只限一
次，可连 续使用一周。胜利学校现有1500名学生，准备趁暑假分
若干批去此风景区旅游（来回只需一天）。除 需购买若干张旅游卡
外，每次都乘坐5辆客车（每辆客车最大客容量为55人），每辆
客车每天 费用为500元。若是全体同学都到风景区旅游一次，按

上述方案。问每位同学最少要交 多少钱？






















第九讲：不等式的应用
在学习了不等式的性质、解法及证明 之后，分析一下不等式的应

用，重点利用基本不等式最值和其他问题。
例1、 求y=x
2
(1-x
2
)的最大值

例2、 若a、b?R
+
，满足条件ab+a+2b=30,求ab的最大值
1
例3、 已知（1）02
3
（2）0x(3?5x)
的最大值
5
例4、 已知正数x、y满足x+2y=1,求
1
1
+的最小值
x
y
例5、 （1）求y=
x
2
?5
x?2
2
的最小值
x
2
?3x?3
（2）求y=的最小值，其中x>2
x?2
x
2
例6、 求函数y=
4
的最大值
x?2
例7、 已知集合A=?(x,y)?x+mx-y+2=0?, B=?(x,y)?x-y+1=0,且
0?x?2?,如果A?B??,求实数m的取值范围。
例8、某公司印刷广告，广告正文排成矩形版面，矩形面积为S,
其左、右两边都留有宽为 2 厘米的空白，其上、下两边都留有宽
为1厘米的空白，问如何确定版面纸张的尺寸，才能使纸张的用量最少？


第十讲：三角函数式的恒等变形
内容：

1、三角函数的求值和化简实质是对三角函数进行化简，化简常用
的方法有（1）异角化同角 （2）异次化同次（3）特殊值和特
殊角三角函数互化（4）化弦法或化切法
2、三角恒等式 证明的基本思路，根据等式两端的特征，通过三角
恒等变换，使等式两端的不同的角、不同函数的名称、 不同的
次数转化为相同的，由繁化简。
例题：
1
例1、已知:sin?+ cos?=,??(0,?),求cot?的值（全国高考题，有多
5
种求法）
5
?
,?在第三象限，求tan的值（有多种求法）
122
3?
3
?
12
例3、已知：?????，cos(?-?)=,sin(? +?)= -,求sin2?
45
213
例2、已知cot?=
例4、求t an9?+cot117?-tan243?-cot351?的值
例5、求：cos
273?+cos
2
47?+cos73?cos47?的值
例6、
sin7??cos15?sin8?
的值
cos7??sin15?sin8?
例7、 已知三角形ABC的三个内角A、B、C满足< br>A+C=2B,
112
A?C
???
求cos的值
cos AcosCcosB
2
1?cos
6
?
?sin
6
?
例8、化简；（有多种方法）
1?cos
4
?
?sin
4
?
例9、已知?、?为锐角，且3sin
2
?+2sin
2
?=1.3sin2?-2sin2?=0,求证：
?
（有多种方法）
2
2cos
?
?sin2
?
??
例10、求证：=tan
2< br>(
?
)
2cos
?
?sin2
?
42

?+2?=

第十一讲：解斜三角形
一
、内容提要：

1、三角形的边角关系： （1）正弦定理
abc
===2R
sinAsinBsinC
abc
1
absinC=
4R
2
(2)余弦定理a
2
=b
2
+c
2
-2bcco sA
(3)三角形面积公式S=
2、应用题解法：运用解三角形知识解决实际问题时，关键是 把实
际问题如距离、方向等抽象为几何问题的线段长度、角度等。
首先要认真审题，画出示意图 ，然后再把已知条件转化为三角
形中已知元素，用解三角形的一般方法按步求解，最后根据实
际 问题做出回答。
二、举例：
例题1、在?ABC中，若a
2
+c
2
-b
2
=ac,log
4
sinA+log
4
s inC= -1,且三角
形面积为
3
，求三边a,b,c的长及三个内角A、B、C的 度数。（有
两种解法）
例题2、在?ABC中，c=
6
+
2
,C=30?,求a+b的最大值（有多种
解法）
例题3、某船在A处观察到灯塔在它的北 偏东78?处，当它朝着北
偏东20?方向航行了10海里到达B处时，发现灯塔在它的南偏东
61?处，这时船在B处又改变了方向，朝着北偏东54?方向航行，
如果再航行15海里后，问船与灯 塔的距离为多少海里？（精确到
0.1海里）

例题4、甲船在A处发现乙船在北偏东60?的B处，乙船以每小时 a
海里的速度向北行驶， 已知甲船的速度是每小时
3
a海里，问甲
船应沿着什么方向前进，才能最快与乙船相遇 ？

例题5、某渔轮在航行中遇险，发出呼救信号，我海军舰艇在A 处
获悉后 ，立即测出该渔轮在方位角为45?，距离为10海里的C处。
渔轮沿着方位角为105?的方向以V 海里小时的速度向小岛M 靠
拢，我海军舰艇立即以4V海里小时的速度去营救，设舰艇在B 处
与渔轮相遇，求所需时间以及AB方向的方位角的正弦值。

例题6、外国船只， 除特许者外，不得进入离我海岸线d海里以内
的区域，设A及B是我们的观察站，A及B间的距离为s海 里，
海岸线是过A、B的直线，一外国船在P点，在A站测得?BAP=?,
同时在B站测得? ABP=?,问?及?满足什么简单的三角函数值不等
式，就应当向此船发出警告，令其退出我海域？
例题7、海岛O上有一座海拔１０００米的山，山顶上设有一个观
A，上午１１时测得一轮船在 岛北６０?东的C处，俯角为３０?，
１１时１０分又测得该船在岛的北６０?西的B处，俯角为６０?
（１）该船的速度每小时多少千米？
（２）若此船以不变航速继续前进，则它何时到达岛的正 西面？
此时所在点E离开海岛多少千米？
例题８、海岸边（可视海岸为一直线）停放着一只小 船，缆绳突
然断开，小船被风刮跑，其方向与湖岸成１５?角，速度为2.5千
米／小时，同时 岸上一人从同一地点开始追赶小船，已知他在岸
上的速度为４千米／小时，在水中游速为２千米／小时， 问此人
能否追上小船？
第十二讲：三角函数的最值
一、复习、总结求三角函数最值的几种常规求法
二、举例

例题1、利用不等式性质求下列三角函数的最值
1

1?sinx
sinx
（2） y=
1?sinx
sinx
（3）
1?sin
2
x
（1） y=
sin
2
x
（4） y=
1?sin
2
x
sin
2
x
（5） y=
1?sinx


2?sinx?cosx
1
sinx
例题2、求函数y=+在下列区间上的最值（1）
2sinx
2
（6） y=
x?(0,?);(2)x?(?,2?)
例题3、求函数y=
最值。
例题4、如图，铁路线上AB段长100公里，工厂C到铁路的距离
CA为20公里，现在要在AB上 某一点D处，向C 修一条公路，已
知铁路每吨公里和公路每吨公里运费之比为3：5，为了使原料从< br>供应站B运到工厂C的运费最省，D点应选在何处？

C
1
si nx
+(a>0,a为常数)在区间(0,?)上的
asinx
2


第十三讲：特殊数列求和的几种方法
B A
一般数列的求和没有确定的公式，但对某些特殊数列的求和也有

规律可循。
一、 求由等差、等比数列的和、差构成的数列的前n项和。（分
解法）
1、已知数列通项公式，求前n 项和。
例1、 已知{
a
n
}通 项公式为
a
n
?10
n
?n
，求
s
n
例2、 已知
a
n
?(2n?1)?
1
，求
s
n

n
2
10
n?1
练习：已知
a
n
?lg
n
，求
s
n

8
2、先探求通项公式，再求前n项和。
例3、 求数列9，99，999，……，999…9的和

例4、 求
111111
1?(1?)?(1??)????????(1???????
n?1
)

22424
2
练习：求5，55，555，……，555…5的和
3、拆项相消法：将数列的每一项拆成两项，在求和时除首末
两项或若干项之和，中间项互相抵 消。
特点：形如
a
n
?
1
的数列求和
n(n? k)
一般都要观察数列通项的特征。
a
n
?
1111
?(? )

n(n?k)nn?kk
1111
,,,??????,
的前n项和
1?32?43?5n(n?2)
例5、求数列

例6、求数列
和 < br>111
,,??????,
的前n项
1?2?32?3?4n(n?1)(n? 2)
4、错项相消法
特点：它的通项可分解成一个等差数列和一个等比数列的
乘积形式。
解决方法一般都是在原式的基础上乘以一个公比，然后两
式相减。
123n
例7、求数列
,
2
,
3
,??????,
n
的前n 项和
2
222
例8、求数列
1,20,300,4000,??????, n?10
n?1
的前n项和
例9、求数列
1,2a,3a
2
,??????,na
n?1
(a?0)
的前n项和
例10、求数列1,a?a
2
,a
2
?a
3
?a
4
, a
3
?a
4
?a
5
?a
6
,??????
的
前n项和
2
2
?13
2
?14
2?1
,,,??????
的前n项和 例11、求数列
2
2?13
2
?14
2
?1
例12、求
1?





111

??????
1?21?2?31?2?3?????n
第十四讲：选择题解法

要点：①充分利用题干和选择支两方面提供的信息，快速、准确
地作 出判断，是解选择题的基本策略。
②解选择题的基本思想是：既要看到通常各类常规题的解
题 思想，原则上都可以指导选择题的解答；更应看到。根据选择
题的特殊性，必定存在着若干异于常规题的 特殊解法。我们需把
这两方面有机地结合起来，对具体问题具体分
一、选择题解法练习：
1．将抛物线y=x－4x+3绕其顶点顺时针旋转90，则抛物线方程
为（ ）
（A）(y+1)
2
=2－x （B）(y+1)
2
=x－2 （C）(y－1)
2
=2－x
（D）(y－1)
2
=x－2 < br>2．把函数y=cos2x+
3
sin2x的图象经过变换得到y=-2sin2x的< br>图象，这个变换是（ ）
（A）向左平移
5
?
个单位 （B）向右平移
5
?
个单位
1212
2o
（C）向左平移
5
?
个单位 （D）向右平移
5
?
个单
66
位
3．ω是正实数，函数f (x)=2sinωx在
[?
?
,
?
]
上递增，那么( )
34
(A)0<ω<
3
(B)0<ω≤2 (C)0<ω≤
24
(D) ω≥2
2
7
4．.已知奇函数 f(x)满足：f(x)=f(x+2)，且当x∈(0,1)时，f(x)=2
x
－1,则< br>f(log24)
2
1
的值为
5
2
（A）
?
1
（B）
?
2
（C）
?
5
24
（D）
?
23
24
5．如果把y=f(x)在x=a及x=b之间的一段图象近似地看作直线的
一段，设 a≤c≤b，那么f(c)的近似值可表示为（ ）

(A)
1
?< br>f(a)?
2
f(b)
?
(B)
f(a)f(b)

(C)
f(a)?
c?ac?a
[f(b)?f(a)]
(D)
f(a)?[f(b)?f(a)]

b?ab?a
6．f(x)是定义在R上的奇函数,且f(3－x)=f(3+x),若 x∈ (0,3)
时f(x)=2
x
,则f(x)在(－6,－3)上的解析式是f(x)= （ ）
（A）2
x+6
（B）－2
x+6
（C）2
x
（D）－2
x

7．已知f(x)=x?1
+1(x≥1).函数g(x)的图象沿x轴负方向平移
1个单位后，恰好与f(x )的图象关于直线y=x对称，则g(x)的解
析式是（ ）
（A）x
2
+1(x≥0) (B)(x－2)
2
+1(x≥2) (C) x
2
+1(x≥1) (D)
(x+2)
2
+1(x≥2)
8．.已知函数f(x)=3-2| x|,g(x)=x
2
-2x,构造函数F(x),定义如下:
当f(x)≥g(x) 时,F(x)=g(x);当f(x)F(x)
(A)有最大值3,最小值-1 (B)有最大值7-2
7
,无
最小值
(C) 有最大值3,无最小值 (D) 无最大值,也无
最小值
二、选择题解法讲解
（一）、逆推验证法：执果索因，逆推检验。
1．已知f(x)=x(sinx+1)+ax
2
,f(3)=5,则f(－3)=( )
(A)－5 (B)－1 (C)1 (D)无法确定
2．若不等式0≤x
2
－ax+a≤1的解集是单元素集，则a的值为
（ ）
(A)0 (B)2 (C)4 (D)6

b
?
3.在下列图象中，二次函数y=ax+bx与指数函数
y?
?
??
的
?
a
?
2
x
图象只 可能是（ ）



(A) (B) (C (D)

4.已知y=f(x)的图象如右，那么f(x)=( )
(A)
x
2
?2|x|?1
(B)
x
2
?2x?1

(C)x
2
－2|x|+1 (D)|x
2
－1|

（二）、特例检验法：取满足条件的特例（特殊值、特殊点、特殊
图形等）进行推证。
5．如果函数y=sin2x+a cos2x的图象关于直线x=－
那么a=( )
(A)
2
(B)－
2
(C)1 (D)－1
6．在△ABC中，A=2B，则sinBsinC+sinB=( )
(A)sin
2
A (B)sin
2
B (C)sin
2
C (D)sin2B

（三）、数形 结合法:明确条件及结论的几何意义,借助直观图形肯
2
?
对称，
8