意林高中数学那些事儿-高中数学化简解方程
高中数学教材变式题汇总:数列
一、有关通项问题
(n?1)?
S
1
1、利用
a
n
?
?
求通项.
S?S(n?2)
n?1
?
n
2
(北师大版第23页习题5
)数列
{a
n
}
的前
n
项和
S
n
?n?1
.(1)试写出数列的前5项;
(2)数列
{a
n
}
是等差数列吗?(3)你能写出数列
{a
n
}
的通项公式吗?
变
式题1、(湖北卷)设数列
{a
n
}
的前n项和为S
n
=2
n
2
,求数列
{a
n
}
的通项公式;
解:(
1):当
n?
1
时
,
a
1
?S
1
?
2;
当n?2时,a
n
?S
n
?S
n
?1
?2n
2
?2(n?1)
2
?4n?2,
故
{a
n
}的通项公式为
a
n
?
4
n?
2,
即
{
a
n
}
是a
1
?
2,
公差d?
4
的等差数列.
变式题2、(北京卷)数列{a
n
}的
前n项和为S
n
,且a
1
=1,
a
n?1
?
求a
2
,a
3
,a
4
的值及数列{a
n
}的通项公式.
1
S
n
,n=1,2,3,……,
3
1
S
n
,n=1,2,3,……,得
3
1111141116
,
a
2
?S
1
?a
1
?
,
a
3
?S
2
?(a
1
?a
2
)?
,
a
4
?S
3
?(a
1
?a
2
?a
3
)?
333
339332
7
114
由
a
n?1
?a
n
?(S
n?S
n?1
)?a
n
(n≥2),得
a
n?1
?a
n
(n≥2),
333
14
1
又a
2
=
,所以a
n
=
()
n?2
(n≥2),
3<
br>33
解:(I)由a
1
=1,
a
n?1
?
?
1
?
∴ 数列{a
n
}的通项公式为
a
n
?
?
14
n?2
()
?
?
33
n?1n≥2
变式题3、(山东卷)已知数列
?
a
n
?的首项
a
1
?5,
前
n
项和为
S
n<
br>,且
S
n?1
?S
n
?n?5(n?N
*
)
,
证明数列
?
a
n
?1
?
是等比数列.
*
解:由已知
S
n?1
?S
n
?n?5(n?N)
可得
n?2,S
n
?2S
n?1
?n?4
两式相减
得
S
n?1
?S
n
?2
?
S
n
?S
n?1
?
?1
即
a
n?1
?2a
n<
br>?1
从而
a
n?1
?1?2
?
a
n
?1
?
当
n?1
时
S
2
?2S1
?1?5
所以
a
2
?a
1
?2a
1
?6
又
a
1
?5
所以
a
2
?11
从而
a
2
?1?2
?
a
1
?1
?
故总有
a
n?1
?1?2(a
n
?1)
,
n?N
*
又
a
1
?5,a
1
?1?0<
br>从而
比数列;
2、解方程求通项:(北师大版第19页习题3)
在等差数列
{a
n
}
中,(1)已知
S
8
?48,S
12
?168,求a
1
和d
;(2)已知
a
n?1
?1
?2
即数列
?
a
n
?1
?
是等
a
n
?1
a
6
?10,S
5
?5,求a
8
和S
8
;(3)已知
a
3
?a
15
?4
0,求S
17
.
变式题1、
{a
n
}
是首项a
1
?1
,公差
d?3
的等差数列,如果
a
n
?2005
,则序号
n
等于
(A)667 (B)668
(C)669 (D)670
分析:本题考查等差数列的通项公式,运用公式直接求出.
解:
a
n
?a
1
?(n?1)d?1?3(n?1)?20
05
,解得
n?669
,选C
点评:等差等比数列的通项公式和前n项和的
公式是数列中的基础知识,必须牢固掌
握.而这些公式也可视作方程,利用方程思想解决问题.
3、待定系数求通项:(人教版第38页习题4)写出下列数列
?
a
n
?<
br>的前5项:(1)
1
a
1
?,a
n
?4a
n
?1
?1(n?1).
2
*
变式题1、(福建卷)已知数列
?
a
n
?
满足
a
1
?1,a
n?1?2a
n
?1(n?N).
求数列
?
a
n
?
的通
项公式;
*
解:<
br>Qa
n?1
?2a
n
?1(n?N),
?a
n?1
?1?2(a
n
?1),
?
?
a
n
?1
?
是以
a
1
?1?
2
为首项,2为公比的等比数列.
?a
n
?1?2
n
.
即
a
n
?2
n
?1(n?N
*
).
4、由前几项猜想通项:
(北师大版第10页习题1)根据下面的图形及相应的点数,在空格
及括号中分别填上适当
的图形和数,写出点数的通项公式.
(1)
(4)
(7)
( )
( ) <
/p>
变式题1、(深圳理科一模).如下图,第(1)个多边形是由正三角形“扩展“而来,第
(2)
个多边形是由正方形“扩展”而来,……,如此类推.设由正
n
边形“扩展”而
来的多
边形的边数为
a
n
,
则
a
6
?
;
1111
???????
= .
a
3
a
4
a
5
a
99
解:由图可得:
,所以
a
n
?2n?n(n?1)?n
2
?n
a
6
?42
;
又
11111
?
2
???
a
n
n?nn
(n?1)nn?1
所以
1111111197
1111
???????=
(?)?(?)?L?(?
)???
a
3
a
4
a
5
a
99
3445991003100300
变式题
2、(北师大版第11页习题2)观察下列各图,并阅读下面的文字,像这样,10条直
线相交,交点的
个数最多是( ),其通项公式为 .
A.40个
B.45个 C.50个 D.55个
2条直线相
交,最多有1
个交点
3条直线相
交,最多有3
个交点
4条直线相
交,最多有6
个交点
解:由题意可得:设
{a
n
}
为
n
条直线的交点个数,则
a
2
?1
,
a
n
?a
n?1
?(n?1),(n?3)
,
因
为
a
n
?a
n?1
?n?1
,由累加法可求得:
a
n
?1?2?L?(n?1)?
n(n?1)
,所以
2
a<
br>10
?
10?9
?45
,选B.
2
二、有关等差、等比数列性质问题
1、(北师大版第35页习题3)一个等比数列
前
n
项的和为48,前2
n
项的和为60,则前
3
n
项的和为( )
A.83 B.108 C.75 D.63 <
/p>
变式题1、一个等差数列前
n
项的和为48,前2
n
项
的和为60,则前3
n
项的和
为 。
解:若
数列
{a
n
}
为等差数列,则
S
n
,S
2
n
?S
n
,S
3n
?S
2n
等差数列,可得:48
,12,
S
3n
-60成等差数列,所以
S
3n
=36.
变式题2、(江苏版第76页习题1)等比数列
{a
n
}
的各项为正
数,且
a
5
a
6
?a
4
a
7
?1
8,则log
3
a
1
?log
3
a
2
?L
?log
3
a
10
?
( )
A.12
B.10 C.8 D.2+
log
3
5
解:
因为
a
5
a
6
?a
4
a
7
?18
,
所以
a
5
a
6
?a
4
a
7?2a
1
a
10
?18?a
1
a
10
?9
,而
log
3
a
1
?log
3
a2
?
L?log
3
a
10
?log
3
(a
1
a
2
La
10
)?log
3(a
1
a
10
)
5
?10
,所以选B. 点评:高考题的一个重要特点就是考查学生对问题敏锐的观察能力和迅速有效的思维能
力,灵活运用
数学知识和性质可提高我们的正确解题的速度.
因此对相关知识的性质要深
刻地理解和掌握并能灵活运用.
2、(北师大版第21页习题4)
设数列
{
a
n
}
是单调递增的等差数列,前三项的和为12,前三项的积为48,则它的首项是( )A.1 B.2 C.4 D.8 <
br>变式题1、在各项都为正数的等比数列
{a
n
}
中,首项
a<
br>1
?3
,前三项和为21,则
a
3
?a
4
?
a
5
?
( )
(A)33 (B)72(C)84(D)189
分析:本题主要是考查等比数列的基本概念和性质,可利用方程思想将等比数列问题转化
为a
1
和
q
处理,也可利用等比数列的定义进行求解.
?
a
1
?3
解法一:设公比为
q
,由题知,
?
得<
br>q?2
或
q??3p0
(舍去),∴
2
a?aq?aq?21
?
111
a
3
?a
4
?a
5
?8
4
,故选C.
解法二:由
a
1
?3,a
1
?a<
br>2
?a
3
?21
得,
q?2
(
q??3p0
舍去),
a
3
?a
4
?a
5
?q
2
(a
1
?a
2
?a
3
)?84
.
三、数列求和问题
1、(北师大版第23页习题4)已知
{
a
n<
br>}
是等差数列,其中
a
1
?31
,公差
d??8。(1)求
数列
{a
n
}
的通项公式,并作出它
的图像;(2)数列
{a
n
}
从哪一项开始小于0?(3)求
数列<
br>{a
n
}
前
n
项和的最大值,并求出对应
n
的值.
变式题1、已知
{a
n
}
是各项不为零的等差数列,其中<
br>a
1
?0
,公差
d?0
,若
S
10
?0
,求数
列
{a
n
}
前
n
项和的最大值
.
解:
S
10
?
值.
变式题2、在等差数列
{
a
n
}
中,
a
1
?25
,
S
17
?S
9
,求
S
n
的最大值.
解法一:由
S
17
?S
9
,得:
25?17?
10(a
1?a
10
)
?5(a
5
?a
6
)?0
,所以
a
5
?0,a
6
?0
,即数列
{a
n
}
前5项和为最大
2
179
(17?1)d?25?9?(9?1
)d
,解得
d??2
.
22
n
?S
n
?
25n?(n?1)(?2)??(n?13)
2
?169
.由二次函数的性质,当<
br>n?13
时,
S
n
2
有最大值169.
解法二:先求出
d??2
,
Qa
1
?25?0
,
1
?
n?13
?
a
n
?25?2(n?1)?0<
br>?
?
2
?
?
由
?
,所以当
n?13
时,
S
n
有最大值169.
a?25?2n?01
?n?1
?
n?12
?
?2
解法三:由
S
17<
br>?S
9
,得
a
10
?a
11
?L?a
17
?0
,而
a
10
?a
17
?a
11
?a
16
?a
12
?a
15
?a
13
?a
14
,
Qd??2?0,a
1
?0,?a
13
?0,a
14
?0,
故当
n?13
时,
S<
br>n
有故
a
13
?a
14
=0.
最大值169
.
点评:解决等差数列前
n
项和最值问题的方法通常有:①、利用二次函数求最值;
②、
利用通项公式
a
n
求
n
使得
a
n?a
n?1
?0
;③利用性质求出符号改变项.
2n?1
2、
(江苏版第58页习题6)求和:
S
n
?1?2x?3x?L?nx
变式题1、已知数列
a
n
?4n?2
和
b
n
?<
br>a
n
2
c?
,设,求数列
{c
n
}
的前
n
项和
T
n
.
n
b
n
4<
br>n?1
解:
Qc?
a
n
?
4n?2
?(2n
?1)4
n?1
,
n
2
b
n
4
n?1<
/p>
?T
n
?c
1
?c
2
?
L<
br>?c
n
?1?3?4
1
?5?4
2
?
L?(2n?1)4
n?1
,
4T
n
?1?4?3?4?5?4?
L
?(2n?3)4
两式相减得
23n?1
?(2n?1)4
n
1
3T
n
??1?2(4
1
?4
2
?4
3
???4
n?1
)?(2n?1)4
n
?[(6n?5)4
n
?5]
3
1
?T
n
?[(6n?5)4
n
?5].
9
{b
n
}
是各项都为正数的等比数列,变式题2、(全国1文21)设
{a
n
}
是等差数列,且
a
1
?b
1
?
1
,
?
a
?
a
3
?b
5
?21<
br>,
a
5
?b
3
?13
(Ⅰ)求
{a
n
}
,
{b
n
}
的通项公式;(Ⅱ)求数列
?n
?
的前n项
?
b
n
?
和
S
n
.
4
?
?
1?2d?q?21,
解:(Ⅰ)设
?
a
n
?
的公差为
d
,
?
b
n<
br>?
的公比为
q
,则依题意有
q?0
且
?
<
br>2
?
?
1?4d?q?13,
n?1n?1
解得
d?
2
,
q?2
.所以
a
n
?1?(n?1)d?2n?1,
b
n
?q?2
.
(Ⅱ)
a
n
2n
?1
352n?32n?1
?
n?1
.
S
n
?1?
1
?
2
?L?
n?2
?
n?1
,① b
n
2
2222
52n?32n?1
2S
n
?
2?3??L?
n?3
?
n?2
,②
222
2222n?
1
②-①得
S
n
?2?2??
2
?L?
n?2?
n?1
,
2222
1
n?1
1
?
2n?1
2n?3
2n?1
?
11
?2?2?
?
1
??
2
?
L
?
n?2
?
?
n?1
?2?2?
2
?
n?1
?6?
n?1
.
1
2
?
2
2
2
?
22
1?
2
1?
点评:错位相减法适用于通项公式形容
?
a
n
b
n
?
的数列,其中{
a
n
}是等差数列,
?
b
n?
是各
项不为0的等比数列.
变式题2.设等比数列
{a
n<
br>}
的公比为q,前n项和为S
n
,若S
n+1
,S
n
,S
n+2
成等差数列,则q
的值为
.
分析:本题主要考查等比数列的求和公式,等差数列的概念运用,可直接求得.
a
1
(1?q
n
)a
1
(1?q
n
)a
1
(1?q
n?1
)a
1
(1?q
n?2
)
??
解:
S
n
?
,
2S
n
?S
n
?1
?S
n?2
,则有
2?
,
1?q1?q1?q1?q
?q
2
?q?2?0
,
?q??2
.,若<
br>q?1
,则
2S
n
?2n?S
n?1
?S
n
?2
?(n?1)?(n?2)?2n?3
。
3、(江苏版第62页习题9)利用等比数列的前
n
项和公式
证明
a?a
变式
nn?1
b?a
题
n?22
b?
L?ab
、(
n?1
a
n?1
?b
n?1
?b=
(n?N
?
,a?0,b?0)
a?b
n
天津卷18)已
知
u
n
?a
n
?a
n?1
b?a
n?2<
br>b
2
???ab
n?1
?b
n
(n?N
?
,a?0,b?0)
.当
a?b
时,求数列
?
u
n
?
的前n项和
S
n
.
n
解:(Ⅰ)当
a?b
时,
u
n
?(n?1)a
.这时数列
{u
n
}
的前
n
项和
S
n
?2a?3a
2?4a
3
???na
n?1
?(n?1)a
n
.
①
234nn?1
①式两边同乘以
a
,得
aS
n
?2a?3a?4a???na?(n?1)a
②
23nn?1
①式减去②式,得
(1?a)S
n
?2a?a?a???a?(n?1)a
若
a?1
,
a(1?a
n
)
(1?a)S
n
??(n?1)a
n?1
?a
,
1?a
a(1?a<
br>n
)a?(n?1)a
n?1
(n?1)a
n?2
?(n?2
)a
n?1
?a
2
?2a
S
n
???<
br>1?a
(1?a)
2
(1?a)
2
若
a?1
,
S
n
?2?3???n?(n?1)?
n(n?3)
2
?
na
1
(q?1)
?
点评:在使用等比数列的求和公式时
,要注意对公比q的讨论,即
S
n
?
?
a
1
(1?
q
n
)
,
(q?1)
?
1?q
?
这是学生
平时容易忽略的问题,应引起足够的重视,另外要求学生有运算化简的能力.
4、(江苏版第62页习
题7)(1)已知数列
{
a
n
}
的通项公式为
a
n
?
1
,求前
n
项的和;
n(n?1)
(2)已知数
列
{a
n
}
的通项公式为
a
n
?
1
n?n?1
,求前
n
项的和.
变式题1、已知数列
{a
n
}
的通项公式为
a
n
=
求
T
n
.
111
n?1
??
L
?
,设
T
n?
,
a
1
?a
3
a
2
?a
4
a
n
?a
n?2
2
解:
1
4
11
==2(-).
a
n
?a
n?2
(n?1)(n?3)
n?1
n?3
111
1111111<
br>??
L
?
=2[(
-)+(-)+(-)+……+(
a
1
?a
3
a
2
?a
4
a
n
?a
n?2
35
244
6
n
T
n
?
-
1111111
)+(-)]=2(+--).
n?1
n?3n?223
n?2n?3
变式题2、数列{a
n
}中,a
1
=8
,a
4
=2,且满足:a
n+2
-2a
n+1
+a
n
=0(n∈N*),
(Ⅰ)求数列{a
n
}的通项公式;
(Ⅱ
)设
b
n
?
1
(n?N
*
),S
n
?b
1
?b
2
????b
n
,是否存在最大的整数m,使
得
n(12?a
n
)
m
总成立?若存在,求出m;若不存在,请说明
理由.
32
解:(Ⅰ)∵a
n+2
-2a
n+1
+an
=0,∴a
n+2
-a
n+1
=a
n+1
-
a
n
(n∈N*),
∴{a
n
}是等差数列,设公差为d,∵a<
br>1
=8,a
4
=a
1
+3d=8+3d=2,∴d=-2,
∴a
n
=8+(n-1)·(-2)=10-2n.
任意的n均有
S
n
?
(Ⅱ)
b
n
?
1111
?
11
?
???
?
?
?
,
n(12?a
n
)n(12?10?2n)2n(n?1)2
?
nn?1
?
?S
n
?b
1
?b
2
????b
n
?<
br>1
?
1
?
?
1?
?
2
?
n?1
?
假设存在整数
m
满足
S
n
?
又
S
n?1
?S
n
?
1
?
?1
??
11
?
1
?
?
?
1
1
????????
??????
?
2
?
223nn?1
??
???
??
?
?
m
总成立,
32
11111111
(1?)?(1?)?(?)??0
2n?
22n?12n?1n?22(n?1)(n?2)
∴数列{
S
n
}是单调递
增的,∴
S
1
?
∴适当条件的m的最大值为7.
11m
为
S
n
的最小值,故
?
,即m<8,又m∈N*,
443
2
点评:数列求和的裂项相消法:适用于通项公式形如
?
为0的等差数列,c为常数.
?
c
?
?
的数列,其中
?
a
n
?
是各项不
?
a
n
a
n?1
?
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