继续教育前测单高中数学-高中数学集合例题不要选择题
初高中数学衔接教材
目 录
引 入
乘法公式
第一讲 因式分解
1. 1 提取公因式
1. 2.
公式法(平方差,完全平方,立方和,立方差)
1. 3分组分解法
1.
4十字相乘法(重、难点)
1. 5关于x的二次三项式ax2+bx+c(a≠0)的因式分解.
第二讲 函数与方程
2.1 一元二次方程
2.1.1根的判别式
根的判别式:b?-4ac
2.1.2
根与系数的关系(韦达定理)
韦达定理:x
1
+x
2
=-ba,
x
1
*x
2
=ca,
x1?x2?
bc
(x1?x
2)?(-)2?4*
aa
2.2 二次函数
2
2.2.1 二次函数y=ax+bx+c的图象和性质
2.2.2
二次函数的三种表示方式
y=ax?+bx+c,y=a(x-m)?+n,y=a(x-b2a)?+(4ac-b?)4a
2.2.3 二次函数的简单应用
第三讲
三角形的“四心”
第1页 共21页
乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式:
(1)平方差公式
(a?b)(a?b)?a
2
?b
2
;
(2)完全平方公式
(a?b)
2
?a
2
?2ab?b
2
.
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式:
(1)立方和公式
(a?b)(a
2
?ab?b
2
)?a
3
?b
3
;
(2)立方差公式
(a?b)(a
2
?a
b?b
2
)?a
3
?b
3
;
(3)三数和平方公式
(a?b?c)
2
?a
2
?b
2
?c
2
?2(ab?bc?ac)
;
(4)两数和立方公式
(a?b)
3
?a
3
?
3a
2
b?3ab
2
?b
3
;
(5)两数差立方公式
(a?b)
3
?a
3
?
3a
2
b?3ab
2
?b
3
.
对上面列出的五个公式,有兴趣的同学可以自己去证明.
例1 计算:
(x?1)
(x?1)(x
2
?x?1)(x
2
?x?1)
.
解法一
:原式=
(x
2
?1)
?
?
(x
2
?1)
2
?x
2
?
?
=
(x
2
?1)(x
4
?x
2
?1)
=
x
6
?1
.
解法二:原式=
(x?1)(x
2
?x?1)(x?1)(x
2
?x?1)
=
(x
3
?1)(x
3
?1)
=
x
6
?1
.
例2 已知
a?b?c?4
,<
br>ab?bc?ac?4
,求
a
2
?b
2
?c
2
的值.
解:
a
2
?b
2
?c
2?(a?b?c)
2
?2(ab?bc?ac)?8
.
练 习
1.填空:
(1)
1
9
a
2
?
14
b
2
?(
1
2
b?
1
3
a
)
( );
(2)
(4m?
)
2
?16m
2
?4m?(
)
;
(3 )
(a?2b?c)
2
?a
2
?4b
2
?c
2
?(
)
.
2.选择题:
(1)若
x
2
?
1
2
mx?k
是一个完全平方式,则
k
等于
(
(A)
m
2
(B)
1
4
m
2
(C)
1
3
m
2
(D)
1
16m
2
(2)不论
a
,
b
为何实数,
a
2
?b
2
?2a?4b?8
的值
(
(A)总是正数 (B)总是负数
(C)可以是零 (D)可以是正数也可以是负数
第2页 共21页
)
)
第一讲 因式分解
因式分解的主要方法有:十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分解法,另外还应了解求
根法及待定系数法.
1.十字相乘法
例1 分解因式:
(1)
x
-3
x
+2;
(2)
x
+4
x
-12;
(3)
x
2
22
?(a?b)xy?aby
2
;
(4)
xy?1?x?y
.
2
2
解:(1)如图1.1-
1,将二次项
x
分解成图中的两个
x
的积,再将常数项2分解成-1与-2的
乘积,而图中的对角线
上的两个数乘积的和为-3
x
,就是
x
-3<
br>x
+2中的一次项,所以,有
x
2
-3
x
+2=(
x
-1)(
x
-2).
x
x
-1
-2
1
1
-1
-2
1
1
-2
6
x
x
-ay
-by
图1.1-1
图1.1-2
图1.1-3
图1.1-4
说明:今后在分解与本例类似的二次三项式时,可以直接将图1.1-
1中的两个
x
用1来表示(如图1.1-2所示).
(2)由图1.1-3,得 <
br>x
2
+4
x
-12=(
x
-2)(
x
+6).
(3)由图1.1-4,得
x
2
?(a?
b)xy?aby
2
=
(x?ay)(x?by)
y
=
xy
+(
x
-
y
)-1
x
y
-1
1
(4)
xy?1?x?
图1.1-5
=(
x
-1) (
y+
1) (如图1.1-5所示).
课堂练习
一、填空题:
1、把下列各式分解因式:
(1)
x?
5x?6?
_________________________________________
_________。
2
(2)
x?5x?6?
____________
______________________________________。
2
(
3)
x?5x?6?
_________________________________
_________________。
2
(4)
x?5x?6?
____
______________________________________________。 2
(5)
x?
?
a?1
?
x?a?
_____
_____________________________________________。
2
(6)
x?11x?18?
________________________
__________________________。
2
(7)
6x?7x?
2?
____________________________________________
______。
2
(8)
4m?12m?9?
_____________
_____________________________________。
2
(9
)
5?7x?6x?
_________________________________
_________________。
22
(10)
12x?xy?6y?
_________________________________________________
_。
2、
x
2
2
?4x?
?
?
x?3
??
x?
?
第3页 共21页
3、若
x
2
,
b?
。
?ax?b?
?
x?2
??
x?4
?
则
a?
2
二、选择题:(每小题四个答案中只有一个是正确的)
?7x?6
(2)
x
2
?4x?3
(3)
x
2
?6x?8
(4)
x
2
?7x?10
2
(5)
x?15x?44
中,有相同因式的是(
)
1、在多项式(1)
x
A、只有(1)(2)
C、只有(3)(5)
2、分解因式
a
2
B、只有(3)(4)
D、(1)和(2);(3)和(4);(3)和(5)
?8ab?33b
2
得( )
A、
?
a?11
??
a?3
?
B、
?
a?11b
??
a?3b
?
C、
?
a?11b
??
a?3b
?
D、
?
a?11b
??
a?3b
?
?
a?b
?
2
?8
?
a?b
?
?20
分解因
式得( )
A、
?
a?b?10
??
a?b?2
?
B、
?
a?b?5
??
a?b?4
?
C、
?
a?b?2
??
a?b?10
?
D、
?
a?b?4
??
a?b?5
?
2
4、若多项式
x?3x?a
可分解为?
x?5
??
x?b
?
,则
a
、
b<
br>的值是( )
3、
A、
a?10
,
b?2
B、
a?10
,
b??2
C、
a??10
,
b??2
D、
a??10
,
b?2
2
5、若
x?mx?10?
?
x?a
??
x?b
?
其中
a
、
b
为整数,则
m
的值为(
)
A、
3
或
9
B、
?3
C、
?9
D、
?3
或
?9
三、把下列各式分解因式
1、
6
3、
2y
2
?
2p?q
?
2
?11
?<
br>q?2p
?
?3
2、
a
3
?5a
2
b?6ab
2
?4y?6
4、
b
4
?2b
2
?8
2.提取公因式法
例2 分解因式:
(1)
a
?
b?5
?
?a
?
5?b
?
(2)
x
3
?9?3x
2
?3x
2
解: (1).
a
?
b?5
?
?a
?
5?b
?
=
a(b?5)(a?1)
2
(2)<
br>x
3
?9?3x
2
?3x
=
(x
3
?3x
2
)?(3x?9)
=
x
2
(x?3)?3(x?3
)
2
=
(x?3)(x
或
?3)
.
x
3
?9?3x
2
?3x
=
(x
3
?3x
2
?3x?1)?8
=
(x?1)
3
?8
=
(x?1)
3
?2
3
=
[(x?1)?2][(x?1)
=
(x?3)(x
课堂练习:
一、填空题:
2
2
?(x?1)?2?2
2
]
?3)
y?2xy
2
?4xyz
中各项的公因式是_______________
。
2、
m
?
x?y
?
?n
?
y?x?
?
?
x?y
?
?
________________
__。
1、多项式
6x
2
?
x?y
?
2
?n
?
y?x
?
2
?
?
x?y
?
2
?
____________________。
4、
m
?x?y?z
?
?n
?
y?z?x
?
?
?
x?y?z
?
?
_____________________。
5、<
br>m
?
x?y?z
?
?x?y?z?
?
x?y?z?
?
______________________。
3、
m
6、
?13ab
2
x
6
?39a
3
b
2
x
5
分解因式得_____________________。
第4页
共21页
7.计算
99
2
2
?99
=
二、判断题:(正确的打上“√”,错误的打上“×” )
b?4ab
2
?
2ab
?
a?b
?
………………………………………………………… (
)
2、
am?bm?m?m
?
a?b
?
……………………
……………………………………… ( )
322
3、
?3x?6x?15x
??3xx?2x?5
…………………………………………… ( )
nn?1
4、
x?x?x
n?1
?
x?1
?
…………………………
…………………………………… ( )
1、
2a
??
3:公式法
例3 分解因式:
解:(1)
?a
(2)
4
(1)
?a
4
?16
(2)
?<
br>3x?2y
?
2
?
?
x?y
?
2
?16
=
4
2
?(a
2
)
2
?(
4?a
2
)(4?a
2
)?(4?a
2
)(2?a)(2?
a)
?
3x?2y
?
2
?
?
x?y?
2
=
(3x?2y?x?y)(3x?2y?x?y)?(4x?y)(2x?
3y)
22233
课堂练习
一、
a?2ab?b,
a?b
,
a?b
的公因式是___________________
___________。
二、判断题:(正确的打上“√”,错误的打上“×” ) <
br>2
4
2
?
2
??
2
??
2
?
2
1、
x?0.01?
?
x
?
?
?0.1
?
?
?
x?0.1
?
?
x?0.1
?
………………………… ( )
9333<
br>??????
22
22
2、
9a?8b?
?
3a?
?
?
4b
?
?
?
3a?4b
??<
br> 3a?4b
?
………………………………… ( )
2
3、
25a?16b?
?
5a?4b
??
5a?4b
?
………………………………………………… ( )
2222
4、
?x?y??x?y??
?
x?y
??
x?y
?
………………………………………… ( )
2
??
5、
a
2
?
?
b?c
?
?
?
a
?b?c
??
a?b?c
?
………………………………………………
2
( )
五、把下列各式分解
1、
?9
3、
4?
4.分组分解法
例4 (1)
x
?
m?n
?
2
?
?m?n
?
2
2、
3x
2
?
1
3
?
x
2
?4x?2
?
4、
x
2
4
?2x
2
?1
?xy?3y?3x
(2)
2x
2
?xy?y
2
?4x?5y?6
.
2222
(2)
2x?xy?y?4x?5y?6
=
2x?(
y?4)x?y?5y?6
2
=
2x?(y?4)x?(y
?2)(y?3)
=
(2x?y?2)(x?y?3)
.
或
2
2x
2
?xy?y
2
?4x?5y?6
=
(2x
2
?xy?y
2
)?(4x?5y)?6
=
(2x?y)(x?y)?(4x?5y)?6
=
(2x?y?2)(x?y?3)
.
课堂练习:用分组分解法分解多项
式(1)
x
2
?y
2
?a
2
?b
2
?2ax?2by
第5页 共21页
(2)
a
2
?4ab?4b
2
?6a?12b?9
2
5.关于
x
的二次三项式
ax
+<
br>bx
+
c
(
a
≠0)的因式分解.
若关于
x
的方程
ax
2
?bx?c?0(a?0)
的两个实数根是
x
1
、
x
2
,则二次三项式
ax
2
?bx
?c(a?0)
就可分解为
a(x?x
1
)(x?x
2
)<
br>.
例5 把下列关于
x
的二次多项式分解因式:
(1)
x
解: (1)令
x
2
?2x?1
;
(2)
x
2
?4xy?4y
2
.
2
?2x?1<
br>=0,则解得
x
1
??1?2
,
x
2
??1
?2
,
2
∴
x
???
?2x?1
=
?
?
x?(?1?2)
??
x?(?1?2)
?
=
(x?1?
(2)令
x
2
2)(x?1?2)
.
?4xy?4y
2
=0,则解得
x
1
?(?2?22)y
,
x
1
?(?2?22)y
,
?4xy?4y
2
=
[x?2(1?2)y][x?2(1?2)y]
. ∴
x
练
习
1.选择题:
多项式
2x
2
2
?xy?15y
2
的一个因式为
( )
(A)
2x?5y
(B)
x?3y
(C)
x?3y
(D)
x?5y
2.分解因式:
(1)
x
+6
x
+8;
(2)8
a
-
b
;
(3)
x
-2
x
-1;
(4)
4(x?
2
233
y?1)?y(y?2x)
.
习题1.2
1.分解因式:
(1)
a
(3)
b
2
3
?1
;
(2)
4x
4
?13x
2
?9
;
(4)
3x
2
?c
2
?2ab?2ac?2bc
;
?5xy?2y
2
?x?9y?4
.
2.在实数范围内因式分解:
(1)
x
2
?5x?3
;
(2)
x
2
?22x?3
;
2
(3)
3x?4xy?y
2
; (
4)
(x
2
?2x)
2
?7(x
2
?2x)?12
.
2
3.
?ABC
三边
a
,
b
,
c
满足
a
4.分解因式:
x
+
x
-(<
br>a
-
a
).
22
?b
2
?c
2<
br>?ab?bc?ca
,试判定
?ABC
的形状.
第6页 共21页
第二讲 函数与方程
2.1 一元二次方程
2.1.1根的判别式
{情境设置:可先让学生通过具体实例探索二次方程的根的求法,
如求方程的根(1)
x?2x?3?0
(2)
x?2x?1?0
(3)
x?2x?3?0
}
2
我们知道,对于一元二次方程<
br>ax
+
bx
+
c
=0(
a
≠0),用配方法
可以将其变形为
222
b
2
b
2
?4ac
)?
(x?
. ①
2a4a
2
因为
a
≠0,所以,4
a
>0.于是
2
(1)当
b
-4
ac
>0时,方程①的右端是一个正数,
因此,原方程有两个不相等的实数根
x
1,2
2
2
?b?b
2
?4ac
=;
2a
b
;
2a
(2)当
b
-4
ac=0时,方程①的右端为零,因此,原方程有两个等的实数根
x
1
=
x
2
=-
2
(3)当
b
-4
ac
<0时,方程①的右端是一个负数,而方程①的左边
(x?
b
2
)
一定大于或等于零,因此,原方程没有
2a
实数根.
222
由
此可知,一元二次方程
ax
+
bx
+
c
=0(
a<
br>≠0)的根的情况可以由
b
-4
ac
来判定,我们把
b
-4
ac
叫做一元二次方程
ax
2
+
bx
+c=
0(
a
≠0)的根的判别式,通常用符号“Δ”来表示.
2
综上所述,对于
一元二次方程
ax
+
bx
+
c
=0(
a
≠
0),有
(1) 当Δ>0时,方程有两个不相等的实数根
x
1,2
?b?b
2
?4ac
=;
2a
b
;
2a
(2)当Δ=0时,方程有两个相等的实数根
x
1
=
x
2
=-
(3)当Δ<0时,方程没有实数根.
例1 判定下列关于
x
的方程的根的情况
(其中
a
为常数),如果方程有实数根,写出方程的实数根.
22
(1)
x
-3
x
+3=0;
(2)
x
-
ax
-1=0;
22
(3)
x
-
ax
+(
a
-1)=0;
(4)
x
-2
x
+
a
=0.
2
解:(1)∵Δ=3-4×1×3=-3<0,∴方程没有实数根.
22
(2)该方程的根的判别式Δ=
a
-4×1×(-1)=
a
+4>0,所以方
程一定有两个不等的实数根
第7页 共21页
a?a
2
?4
x
1
?
2
a?a
2
?4
,
x
2
?
.
2
(3)由于该方程的根的判别式为
222
Δ=
a
-4×1×(
a
-1)=
a
-4a
+4=(
a-
2),
所以,
①当
a
=2时,Δ=0,所以方程有两个相等的实数根
x
1
=
x
2
=1;
②当
a
≠2时,Δ>0, 所以方程有两个不相等的实数根
x
1
=1,
x
2
=
a-
1.
(3)由于该方程的根的判别式为
2
Δ=2-4×1×
a
=4-4
a
=4(1
-a
),
所以
①当Δ>0,即4(1
-a
)
>0,即
a
<1时,方程有两个不相等的实数根
x
1
?1?1?a
,
x
2
?1?1?a
;
②当Δ=0,即
a
=1时,方程有两个相等的实数根
x
1
=
x
2
=1;
③当Δ<0,即
a
>1时,方程没有实数根.
说明:在第3,4小题中,方程的根的
判别式的符号随着
a
的取值的变化而变化,于是,在解题过程中,需要对
a
的
取值
情况进行讨论,这一方法叫做分类讨论.分类讨论这一思想方法是高中数学中一个非常重要的方法,
在今后的解题中会经常
地运用这一方法来解决问题.
2.1.2
根与系数的关系(韦达定理)
若一元二次方程
ax
+
bx<
br>+
c
=0(
a
≠0)有两个实数根
2
?b?b
2
?4ac
x
1
?
2a
则有
?b?b
2
?4ac<
br>,
x
2
?
2a
,
?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4ac?2bb
x
1
?x
2
?????
;
2a2a2aa
?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4acb
2
?(b2
?4ac)4acc
x
1
x
2
????
2
?
.
2
2a2a4a4aa
所以,一元二次方程的根与系数之间存在下列关系:
如果
ax
+
bx
+
c
=0(
a
≠0)的两根分别是
x
1
,
x
2
,那么
x
1
+
x
2
=<
br>?
2
2
bc
,
x
·
x
=
a
a
12
.这一关系也被称为韦达定理.
特别地,对于二次项系数为1的一元二次方程
x
+
px
+
q
=0,若
x
1
,<
br>x
2
是其两根,由韦达定理可知
x
1
+
x
2
=-
p
,
x
1
·
x
2
=
q
,
即
p
=-(
x
1
+
x
2
),
q
=
x
1
·x
2
,
222
所以,方程
x
+
px
+
q
=0可化为
x
-(
x
1
+
x
2
)
x
+
x
1
·
x
2
=0,由于
x
1
,
x
2
是一元二次方程
x
+
px
+
q
=0的两根,所以
,
x
1
,
x
2
也是一元二次方程
x
2-(
x
1
+
x
2
)
x
+
x<
br>1
·
x
2
=0.因此有
以两个数
x
1<
br>,
x
2
为根的一元二次方程(二次项系数为1)是
x
2-(
x
1
+
x
2
)
x
+
x<
br>1
·
x
2
=0.
例2
已知方程
5x?kx?6?0
的一个根是2,求它的另一个根及
k
的值. <
br>分析:由于已知了方程的一个根,可以直接将这一根代入,求出
k
的值,再由方程解出另
一个根.但由于我们学习了韦
达定理,又可以利用韦达定理来解题,即由于已知了方程的一个根及方程的
二次项系数和常数项,于是可以利用两根之积求
出方程的另一个根,再由两根之和求出
k
的值.
解法一:∵2是方程的一个根,
2
∴5×2+
k
×2-6=0,
∴
k
=-7.
2
第8页 共21页
所以,方程就为5
x
-7<
br>x
-6=0,解得
x
1
=2,
x
2
=-所以,方程的另一个根为-
2
3
.
5
3
,
k
的值为-7.
5
63
解法二:设方程的另一个根为
x
,则
2
x
=-,∴
x
=-.
55
3
k
由
(-)+2=-,得
k
=-7.
5
5
3
所以,方程的另一个根为-,
k
的值为-7.
5
111
22
例3 已知关于
x
的方程x
+2(
m-
2)
x
+
m
+4=0有两个实数
根,并且这两个实数根的平方和比两个根的积大21,求
m
的值.
分析: 本题可以
利用韦达定理,由实数根的平方和比两个根的积大21得到关于
m
的方程,从而解得
m
的值.但在解
题中需要特别注意的是,由于所给的方程有两个实数根,因此,其根的判别式应大
于零.
解:设
x
1
,
x
2
是方程的两根,由韦达定理,得
2
x
1
+
x
2
=-2(
m-
2),
x
1
·
x
2
=
m
+
4.
22
∵
x
1
+
x
2
-<
br>x
1
·
x
2
=21,
2
∴(
x
1
+
x
2
)-3
x
1
·
x
2
=21,
22
即
[-2(
m-
2)]-3(
m
+4)=21,
2
化简,得
m
-16
m
-17=0,
解得
m
=-1,或
m
=17.
2
当
m
=-1
时,方程为
x
+6
x
+5=0,Δ>0,满足题意;
22
当
m
=17时,方程为
x
+30
x
+293=0,Δ=30
-4×1×293<0,不合题意,舍去.
综上,
m
=17.
说明:(1
)在本题的解题过程中,也可以先研究满足方程有两个实数根所对应的
m
的范围,然后再由“两
个实数根的平
方和比两个根的积大21”求出
m
的值,取满足条件的
m
的值即可.
(1)在今后的解题过程中,如果仅仅由韦达定理解题时,还要考虑到根的判别式Δ是否
大于或大于零.因为,韦达定理
成立的前提是一元二次方程有实数根.
例4
已知两个数的和为4,积为-12,求这两个数.
分析:我们可以设出这两个数分别为
x,
y
,利用二元方程求解出这两个数.也可以利用韦达定理转化出一元二次方程来
求解.
解法一:设这两个数分别是
x
,
y
,
则
x
+
y
=4, ①
xy
=-12. ②
由①,得
y
=4-
x
,
代入②,得
x
(4-
x
)=-12,
2
即
x
-4
x
-12=0,
∴
x
1
=-2,
x
2
=6.
∴
?
?
x
1
??2,
?
x
2
?6,
或
?
?
y
1
?6,
?
y
2
??2.
因此,这两个数是-2和6.
解法二:由韦达定理可知,这两个数是方程
2
x
-4
x
-12=0
的两个根.
解这个方程,得
x
1
=-2,
x
2
=6.
所以,这两个数是-2和6.
说明:从上面的两种解法我们不难发现,解法二(直接利用韦达定理来解题)要比解法一简捷.
2
例5 若
x
1
和
x
2
分别是一元二
次方程2
x
+5
x
-3=0的两根.
(1)求|
x
1
-
x
2
|的值;
(2)求
11
?
x
1
2
x
2
2
的值;
第9页
共21页
(3)
x
1
+
x
2
.
2
解:∵
x
1
和
x
2
分别是一元二次方程2
x
+5
x
-3=0的两根,
33
∴
x
1
?x
2
??
2
53
,
x
1
x2
??
.
22
222
(1)∵|
x
1
-
x
2
|=
x
1
+
x
2
-2
x
1
x
2
=(
x
1<
br>+
x
2
)-4
x
1
x
2
=
(?
5
2
3
)?4?(?)
22
49
25
+6=,
4
4
7
∴|
x
-
x
|=.
2
=
12
(2)
x?x
2
11
??
x
1<
br>2
x
2
2
x?x
2
2
332
21
2
1
2
5325
(?)
2
?2?(?)?3
(x
1
?x
2
)?2x
1
x
2
3
7
224
.
????
2
39
(x
1
x<
br>2
)9
(?)
2
24
2
2 2
(3)x
1
+
x
2
=(
x
1
+
x<
br>2
)(
x
1
-
x
1
x
2
+
x
2
)=(
x
1
+
x
2
)[
(
x
1
+
x
2
)-3
x
1
x<
br>2
]
=(-
5
2
)×[(
-
5
2
)-3×(
?
2
215
3
)]=-
.
8
2
说明:一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量,今后我们经常会
遇到求这一个量的问题,为了解题简便,我
们可以探讨出其一般规律:
2
设
x
1
和
x
2
分别是一元二次方程
ax
+
b
x
+
c
=0(
a
≠0),则
?b?b
2
?4ac
,
?b?b
2
?4ac
,
x
1
?
x
2
?
2a
2a
22
2b
2
?
4ac
∴|
x
1
-
x
2
|=
?b?b
?4ac?b?b?4ac
??
2a2a2a
b
2
?4ac?
.
??
|a||a|
于是有下面的结论:
若
x
1
和
x
2
分别是一元二次方程
ax
+
bx
+
c
=0(
a
≠0),则|
x
1
-
x
2|=
2
?
|a|
(其中Δ=
b
-4
ac
).
2
今后,在求一元二次方程的两根之差的绝对值时,可以直接利用上面的结论.
2
例6 若关于
x
的一元二次方程
x
-
x
+
a
-4=0的一根大于零、另一根小于零,求实数
a
的取值范围.
解:设
x
1
,
x
2
是方程的两根,则
x
1
x
2
=
a
-4<0,
①
2
且Δ=(-1)-4(
a
-4)>0. ②
由①得
a
<4,
17
由②得
a
< .∴
a
的取值范围是
a
<4.
4
练 习
1.选择题:
22
(1)方程
x?23kx?3k?0
的根的情况是
( )
(A)有一个实数根
(B)有两个不相等的实数根
(C)有两个相等的实数根 (D)没有实数根
2
(2)若关于
x
的方程
mx
+ (2
m
+1)
x
+
m
=0有两个不相等的实数根,则实数
m
的取值
范围是
( )
(A)
m
<
1
4
1
(C)
m
<
4
1
4
1
,且
m
≠0
(D)
m
>-,且
m
≠0
4
(B)
m
>-
2.填空:
第10页 共21页
(1)若方程
x
-3
x
-1=0的两根分别是
x
1
和
x
2
,则
2
2
11
?
x
1x
2
= .
(2)方程
mx
+
x<
br>-2
m
=0(
m
≠0)的根的情况是
.
(3)以-3和1为根的一元二次方程是
.
3.已知
a
2
?8a?16?|b?1|?0
,当
k<
br>取何值时,方程
kx
+
ax
+
b
=0有两个不相等的
实数根?
2
2
4.已知方程
x
-3
x
-1=0的
两根为
x
1
和
x
2
,求(
x
1
-
3)(
x
2
-3)的值.
习题2.1
A 组
1.选择题:
2
(1)已知关于
x
的方程
x
+
kx
-2=0的一个根是1,则它的另一个根是(
)
(A)-3 (B)3 (C)-2
(D)2
(2)下列四个说法:
2
①方程
x
+2
x
-7=0的两根之和为-2,两根之积为-7;
2
②方程
x
-2
x
+7=0的两根之和为-2,两根之积为7;
③方程3
x
-7=0的两根之和为0,两根之积为
?
2
2
7
;
3
④方程3
x
+2
x
=0的两根之和为-2,两根之积为0.
其中正确说法的个数是
( )
(A)1个
(B)2个 (C)3个 (D)4个
22
(3)关于
x
的一元二次方程
ax
-5
x
+
a
+
a
=0的一个根是0,则
a
的值是( )
(A)0
(B)1 (C)-1 (D)0,或-1
2.填空:
2
(1)方程
kx
+4
x
-1=0的两根之和为-2,则
k
= .
222
(2)方程2
x
-
x-4=0的两根为α,β,则α+β= .
2
(3)已知关于
x
的方程
x
-
ax
-3
a
=0的一个根是-2,则
它的另一个根是
.
2
(4)方程2
x+2
x
-1=0的两根为
x
1
和
x
2
,则|
x
1
-
x
2
|= .
<
br>22
3.试判定当
m
取何值时,关于
x
的一元二次方程
mx
-(2
m
+1)
x
+1=0有两个不相等的实数根?有两个相等的实数根?没
有实数根?
2
4.求一个一元二次方程,使它的两根分别是方程
x
-7
x
-1=0各根的相
反数.
B 组
1.选择题:
22
若关于
x
的方程<
br>x
+(
k
-1)
x
+
k
+1=0的两根互为相反数,则
k
的值为
( )
(A)1,或-1 (B)1 (C)-1
(D)0
2.填空:
222
(1)若
m
,
n
是
方程
x
+2005
x
-1=0的两个实数根,则
mn
+mn
-
mn
的值等于 .
23223
(
2)如果
a
,
b
是方程
x
+
x
-1=0的
两个实数根,那么代数式
a
+
ab
+
ab
+
b的值是 .
2
3.已知关于
x
的方程
x
-
kx
-2=0.
(1)求证:方程有两个不相等的实数根;
(2)设方程的两根为
x
1
和
x
2
,如果2(
x<
br>1
+
x
2
)>
x
1
x
2
,
求实数
k
的取值范围.
2
4.一元二次方程
ax
+
bx
+
c
=0(
a
≠0)的两根为
x
1
和
x
2
.求:
(1)|
x
1
-
x2
|和
33
x
1
?x
2
2
;
(2)
x
1
+
x
2
.
2
5.关
于
x
的方程
x
+4
x
+
m
=0的两根为<
br>x
1
,
x
2
满足|
x
1
-
x
2
|=2,求实数
m
的值.
C
组
1.选择题:
2
(1)已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2
x
-8
x
+7=0的两根,则这个直角三角形的斜边长等于
(A)
3
(B)3 (C)6
(D)9
第11页 共21页
(2)若
x
1
,
x
2
是方程2
x
-4
x
+1=0的两个根,则2
x
1
x
2
?
x
2
x
1的值为 ( )
(A)6 (B)4
(C)3 (D)
22
3
2
(3)如果关于
x
的方程
x
-2(1-
m
)
x
+
m
=0有两实数根α,β,则α+β的取值范围为
(
)
(A)α+β≥
1
2
(B)α+β≤
1
2
(C)α+β≥1 (D)α+β≤1 <
br>2
(4)已知
a
,
b
,
c
是Δ
AB
C
的三边长,那么方程
cx
+(
a
+
b
)
x
+
c
4
=0的根的情况是
(A)没有实数根 (B)有两个不相等的实数根
(C)有两个相等的实数根 (D)有两个异号实数根
2.填空:
2
若方程
x
-8
x
+
m
=0的两根为x
1
,
x
2
,且3
x
1
+2
x
2
=18,则
m
= .
2
3. 已知
x
1
,
x
2
是关于
x
的一元二次方程4
kx
-4
kx
+
k
+1=0的两个实数根.
(1)是否存在实
数
k
,使(2
x
1
-
x
2
)(
x
1
-2
x
2
)=-
(2)求使
3
2<
br>成立?若存在,求出
k
的值;若不存在,说明理由;
x
1
x
2
?
x
2
x
1
-2的值为整数的实数
k<
br>的整数值;
(3)若
k
=-2,
?
?
x
1
x
2
,试求
?
的值.
2
4.已知关于
x
的方程
x
2
?(m?2)x?
m
?0
.
4
(1)求证:无论
m
取什么实数时,这个方程总有两个相异实数根; (2)若这个方程的两个实数根
x
1
,
x
2
满足|x
2
|=|
x
1
|+2,求
m
的值及相应的<
br>x
1
,
x
2
.
2
5.若关于
x<
br>的方程
x
+
x
+
a
=0的一个大于1、零一根小于1
,求实数
a
的取值范围.
2.2 二次函数
2
2.2.1 二次函数
y
=
ax
+
bx
+
c
的图象和性质
{情境设置:可先让学生通过具体实例探索二次函数的图象,
如作图(1)
y?x
2
(2)
y??x
2
(3)
y?x
2
?2x?3
教师可采用计算机绘图软件辅助教学}
22
问题1 函数
y
=
ax
与
y=
x
的图象之间存在怎样的关系?
为了研究这一问题,我们可以先画出
y
=2
x
,
y
=
22
2
1
x,
y
=-2
x
的图象,通过这些函数图象与函数
y
=<
br>x
的图象之间的
2
222
关系,推导出函数
y
=ax
与
y
=
x
的图象之间所存在的关系.
22
先画出函数
y
=
x
,
y
=2
x
的图象.
先列表:
x
x
2
2
x
2
…
…
…
-3
9
18
-2
4
8
2
-1
1
2
0
0
0
2
1
1
2
2
4
8
3
9
18
…
…
两倍就可以了. 2-1所示),从图
2
可以由函数
y
=
x
从表中不难看
出,要得到2
x
的值,只要把相应的
x
的值扩大
22
再描点
、连线,就分别得到了函数
y
=
x
,
y
=2
x的图象(如图
2
2-1我们可以得到这两个函数图象之间的关系:函数
y
=2
x
的图象
的图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到.
同学们也可以用类
似于上面的方法画出函数
y
=
这两个函数图象与函数
y
=
x
的图象之间的关系.
通过上面的研究,我们可以得到以下结论:
第12页
共21页
2
y=2x
2
y
y=x
2
1
x
,
y
=-2
x
2
22
的图象,并研
究
O
图2.2-1
x
二次函数
y
=<
br>ax
(
a
≠0)的图象可以由
y
=
x
的图象
各点的纵坐标变为原来的
a
倍得到.在二次函数
y
=
ax
(
a
≠0)中,二
次项系数
a
决定了图象的开口方向和在同一个坐标系
中的开口的大小.
22
问题2 函数
y
=
a
(
x
+
h
)+
k
与
y
=
ax
的图象
之间存在怎样的关系?
同样地,我们可以利用几个特殊的函数图象之间的关系来研究它们之间的
22
关系.同学们可以作出函数
y
=2(
x
+1)+1与
y
=2
x
的图象(如图2-2所
y
2
示),从函数的同学
我们不难发现,只要把函数
y
=2
x
的图象向左平移一个单
2
2
y=2(x+1)+1
位,再向上平移一个单位,就可以得到函数
y
=
2(
x
+1)+1的图象.这两个函数
图象之间具有“形状相同,位置不同”的特点.
22
y=2(x+1)
2
类似地,还可以通过画函数
y<
br>=-3
x
,
y
=-3(
x
-1)+1的图象,研究它
们
2
图象之间的相互关系.
y=2x
通过上面的研究,我们可以得到以下结论:
2
二次函数
y
=
a
(
x
+
h
)+
k
(
a
≠0)
中,
a
决定了二次函数图象的开口大小及
方向;
h
决定了二次函数图
象的左右平移,而且“
h
正左移,
h
负右移”;
k
决定了<
br>二次函数图象的上下平移,而且“
k
正上移,
k
负下移”.
2
由上面的结论,我们可以得到研究二次函数
y
=
ax
+
b
x
+
c
(
a
≠0)的图象
的方法:
222
bb
由于
y
=
ax
+
bx
+
c
=
a
(
x
+
x
)+
c
=
a
(
x
+
x
+
aa
b
2
b
2?4ac
)?
?a(x?
,
2a4a
222
22
-1
O
图2.2-2
x
b
2
4a
2
b
2
)+
c
- 4a
所以,
y
=
ax
+
bx
+
c(
a
≠0)的图象可以看作是将函数
y
=
ax
的图象作
左右平移、上下平移得到的,于是,二次函数
y
2
=
ax
+
bx
+
c
(
a
≠0)具有下列性质:
b
b4ac
?b
2
,)
,对称轴为直线
x
=-(1)当
a
>0
时,函数
y
=
ax
+
bx
+
c
图象开口向
上;顶点坐标为
(?
;当
x
2a
2a4a
bbb
4
ac?b
2
<
?
时,
y
随着
x
的增大而减
小;当
x
>
?
时,
y
随着
x
的增大而增大
;当
x
=
?
时,函数取最小值
y
=.
2a2a2
a
4a
b
b4ac?b
2
,)
,对称轴为直线
x<
br>=- (2)当
a
<0时,函数
y
=
ax
+
bx
+
c
图象开口向下;顶点坐标为
(?
;当
2a
2a4a
bbb
4ac?b
2
x
<
?
时,
y
随着
x
的增大而增大;当
x
>
?
时,
y
随着
x
的增大而减小;当
x
=
?
时,函数取最大值
y
=.
2a2a2a
4a
2
2
上述二次函数
的性质可以分别通过图2.2-3和图2.2-4直观地表示出来.因此,在今后解决二次函数问题时,可以借助于函数图像、利用数形结合的思想方法来解决问题.
2
y
b4ac?b
y
b
,)
A
(?
x=-
2a4a
2a
O
x
O
x
b4ac?b
2
b
,)
A
(?
x=-
2a4a
2a
图2.2-4
图2.2-3
A(-
y
2
例1 求二次函数
y
=
-
3
x
-6
x
+1图象的开口方向、对称轴、顶点坐标、
最大值
(或最小值),并指出当
x
取何值时,
y
随
x
的增大而增大(或减小)?并画出该函数的
图象.
22
解:∵
y
=
-
3
x
-6
x
+1=-3(
x
+1)+
4,
D(0,1)
第13页 共21页
C
O
B
x
x=-1
图2.2-
∴函数图象的开口向下;
对称轴是直线
x
=-1;
顶点坐标为(-1,4);
当
x
=-1时,函数
y
取最大值
y
=4;
当
x
<-1时,
y
随着
x
的增大而增大;当
x<
br>>-1时,
y
随着
x
的增大而减小;
采用描点法画图,选顶
点
A
(-1,4)),与
x
轴交于点
B
(
23?3
23?3
,0)
和
C
(?,0)
,与
y
轴的交点为
D
(0,
33
1),过这五点画出图象(如图2-5所示).
说明
:从这个例题可以看出,根据配方后得到的性质画函数的图象,可以直接选出关键点,减少了选点的盲目性,使画
图更简便、图象更精确.
2
函数
y
=
ax+
bx
+
c
图象作图要领:
(1)
确定开口方向:由二次项系数a决定
(2)
确定对称轴:对称轴方程为
x??
b
2a
2
(3) 确定
图象与x轴的交点情况,①若△>0则与x轴有两个交点,可由方程
x
+
bx
+
c=0
求出②①若△=0则
2
与x轴有一个交点,可由方程
x+
bx
+
c=0
求出③①若△<0则与x轴有无交点。
(4)
确定图象与y轴的交点情况,令x=0得出y=c,所以交点坐标为(0,c)
(5)
由以上各要素出草图。
练习:作出以下二次函数的草图
(1)
y?x
2
?x?6
(2)
y?x
2
?2x?1
(3)
y??x
2
?1
例2 某种产品的成本是120元件
,试销阶段每件产品的售价
x
(元)与产品的日销售量
y
(件)之间关系如下
表所示:
x
元 130 150 165
y
件 70 50 35 <
br>若日销售量
y
是销售价
x
的一次函数,那么,要使每天所获得最大的利
润,每件产品的销售价应定为多少元?此时每天
的销售利润是多少?
分析:由于每天的利润=
日销售量
y
×(销售价
x
-120),日销售量
y
又是销售
价
x
的一次函数,所以,欲求每天所获得
的利润最大值,首先需要求出每天的利润与销
售价
x
之间的函数关系,然后,再由它们之间的函数关系求出每天利润的最大
值. <
br>解:由于
y
是
x
的一次函数,于是,设
y
=
kx
+
(B)
将
x
=130,
y
=70
;
x
=150,
y
=50代入方程,有
?
70?130k?b,
?
?
50?150k?b,
解得
k
=-1,
b
=200.
∴
y
=-
x
+200.
设每天的利润为
z
(元),则
z
=(-
x
+20
0)(
x
-120)=-
x
2
+320
x
-240
00
2
=-(
x
-160)+1600,
∴当
x
=160时,
z
取最大值1600.
答:当售价为160元件时,每天的利润最大,为1600元.
22
例3 把二次
函数
y
=
x
+
bx
+
c
的图像向上平移2
个单位,再向左平移4个单位,得到函数
y
=
x
的图像,求
b
,
c
的值.
b
2
b
2
解法一:
y=
x
+
bx
+
c
=(
x
+)
?c?
,把它的图像向上平移2个单位,再向左平移4个单位,得到
4
2
2<
br>bb
y?(x??4)
2
?c??2
的图像,也就是函数
y<
br>=
x
2
的图像,所以,
24
?
b
??4?0,
?
?
2
?
解得
b
=-8,
c
=14.
2
b
?
c??2?0,
?
4
?
2
解法二:把二次函数
y
=
x
+
bx
+
c
的
图像向上平移2个单位,再向左平移4个单位,得到函数
y
=
x
的图像,等价
于把
22
二次函数
y
=
x
的图像向下平移2个单位,再向右
平移4个单位,得到函数
y
=
x
+
bx
+
c
的图像.
22
第14页 共21页
由于把二次函数
y
=
x
的图像向下平移2个单位,再向右平移4个单位,得到函数
y
=(
x
-4)+2的图像,即为
y
=
x
-
228
x
+14的图像,∴函数
y
=
x
-8
x+14与函数
y
=
x
+
bx
+
c
表示
同一个函数,∴
b
=-8,
c
=14.
说明:本例的两种解法都是
利用二次函数图像的平移规律来解决问题,所以,同学们要牢固掌握二次函数图像的变换规
律.
这两种解法反映了两种不同的思维方法:解法一,是直接利用条件进行正向的思维来解决的,其运算量相对较大
;而解
法二,则是利用逆向思维,将原来的问题等价转化成与之等价的问题来解,具有计算量小的优点.
今后,我们在解题时,可
以根据题目的具体情况,选择恰当的方法来解决问题.
2
例4 已知函数
y
=
x
,-2≤
x
≤
a
,其中
a
≥-2,求该函数的最大值与最小值,并求出函数取最大值和最小
值时所对应
的自变量
x
的值.
分析:本例中函数自变量的范围是一个变化的范围,需要对
a
的取值进行讨论.
2
解:(1)当
a
=-2时,函数
y
=
x
的图象仅仅对应着一个点(-2,4),所以,函数的最大值和最小值都是4,此时
x
=-2;
2
(2)当-2<
a
<0时,由图2.2-6①可知,当
x
=-2时,函数取最大值
y
=4;当
x
=
a
时
,函数取最小值
y
=
a
;
(3)当0≤
a
<2时
,由图2.2-6②可知,当
x
=-2时,函数取最大值
y
=4;当
x
=0时,函数取最小值
y
=0;
2
(4)当
a
≥2时,由图2.2-6③可知,当
x
=
a
时,函数取最大值
y=
a
;当
x
=0时,函数取最小值
y
=0.
y
y
y
y
4
a
2
4
说明:在本例中,利用
4
2
了分类讨论的方法,对
a
的
a
a
2
所有可能情形进行讨论.此
外,本例中所研究的二次函
x
x
x O
O
a
O
a
-2
a
2
-2
-2
数的自变量的取值不是取任
意的实数,而是取部分实数
来研究,在解决这一类问题
③
②
①
时,通常需要借助于函数图
象来直观地解决问题.
图2.2-6
练 习
1.选择题:
(1)下列函数图象中,顶点不在坐标轴上的是 ( )
22
(A)
y
=2
x
(B)
y
=2
x
-4
x
+2
22
(C)
y
=2
x
-1
(D)
y
=2
x
-4
x
22
(2)函
数
y
=2(
x
-1)+2是将函数
y
=2
x
( )
(A)向左平移1个单位、再向上平移2个单位得到的
(B)向右平移2个单位、再向上平移1个单位得到的
(C)向下平移2个单位、再向右平移1个单位得到的
(D)向上平移2个单位、再向右平移1个单位得到的
2.填空题
2
(1
)二次函数
y
=2
x
-
mx
+
n
图象的顶
点坐标为(1,-2),则
m
= ,
n
= .
2
(2)已知二次函数
y
=
x
+(
m
-2
)
x
-2
m
,当
m
=
时,函数图象的顶点在
y
轴上;当
m
=
时,函数图象的顶点在
x
轴上;当
m
= 时,函数图象经过原点.
2
(3)函数
y
=-3(
x
+2)+5的图象的开口向
,对称轴为 ,顶点坐标为 ;当
x
=
时,
函数取最 值
y
= ;当
x
时,
y
随着
x
的增大而减小.
3.求下列抛物线的开口方向、对称
轴、顶点坐标、最大(小)值及
y
随
x
的变化情况,并画出其图象.
(1)
y
=
x
-2
x
-3;
(2)
y
=1+6
x
-
x
.
4.已知函数y
=-
x
-2
x
+3,当自变量
x
在下列取值
范围内时,分别求函数的最大值或最小值,并求当函数取最大(小)
值时所对应的自变量
x的值:
(1)
x
≤-2;(2)
x
≤2;(3)-2≤
x
≤1;(4)0≤
x
≤3.
2.2.2 二次函数的三种表示方式
通过上一小节的学习,我们知道,二次函数可以表示成以下两种形式:
2
22
222
第15页 共21页
1.一般式:
y
=
ax
+
bx
+
c
(
a
≠0);
2.顶点式:
y
=
a
(
x
+
h
)+
k
(
a
≠0),其中顶点坐标是(-
h
,
k
). <
br>除了上述两种表示方法外,它还可以用另一种形式来表示.为了研究另一种表示方式,我们先来研究二次函
数
y
=
ax
+
bx
+
c
(
a≠0)的图象与
x
轴交点个数.
当抛物线
y
=
ax<
br>+
bx
+
c
(
a
≠0)与
x
轴相交
时,其函数值为零,于是有
2
2
2
2
ax
2
+<
br>bx
+
c
=0. ①
并且方程①的解就是抛物线
y
=
ax
+
bx
+
c
(
a
≠0)
与
x
轴交点的横坐标(纵坐标为零),于是,不难发现,抛物线
y
=
ax
2
22
+
bx
+
c
(
a
≠0
)与
x
轴交点个数与方程①的解的个数有关,而方程①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ=
b
-4
ac
有关,
由此可知,抛物线
y
=
ax
+
bx
+
c
(
a
≠0)与
x
轴交点个数与根的判别式Δ=
b
-4
ac
存在下列关系:
(1)当
Δ>0时,抛物线
y
=
ax
+
bx
+
c
(
a
≠0)与
x
轴有两个交点;反过来,若抛物线
y
=
ax
+
bx
+
c
(
a
≠0)与
x
轴有
两个交点,则Δ>0也成立.
(2)当Δ=0时,抛物线
y
=
ax
+
bx
+
c
(
a
≠0)与
x
轴有一个交点(抛物线的顶点);反过来,若抛物线
y
=
ax
+
b
x
+
22
22
22
c
(
a
≠0)与
x
轴有一个交点,则Δ=0也成立.
(3)当Δ<0时,抛物线
y
=ax
+
bx
+
c
(
a
≠0)与
x轴没有交点;反过来,若抛物线
y
=
ax
+
bx
+c
(
a
≠0)与
x
轴没有
交点,则Δ<0也成立. <
br>于是,若抛物线
y
=
ax
+
bx
+
c
(
a
≠0)与
x
轴有两个交点
A
(
x
1
,0),
B
(
x
2
,0),则
x
1
,
x
2
是方程
ax
+
bx
+
c
=0的两根,
所以
22
22
bc
,
xx
=,
aa
bc
即
=-(
x
+
x
), =
xx
.
aa
bc
2
所以,
y
=
ax
+
bx
+
c<
br>=
a
(
x?x?
)
aa
x
1
+<
br>x
2
=
?
12
1212
2
2
=
a
[
x
-(
x
1
+
x
2)
x
+
x
1
x
2
]
=
a
(
x
-
x
1
)
(
x
-
x
2
).
由上面的推导过程可以得到下面结论:
2
若抛物线
y
=
ax+
bx
+
c
(
a
≠0)与
x
轴交于<
br>A
(
x
1
,0),
B
(
x
2
,0)两点,则其函数关系式可以表示为
y
=
a
(
x
-<
br>x
1
) (
x
-
x
2
)
(
a
≠0).
这样,也就得到了表示二次函数的第三种方法:
3.交点
式:
y
=
a
(
x
-
x
1
)
(
x
-
x
2
) (
a
≠0),其中
x1
,
x
2
是二次函数图象与
x
轴交点的横坐标. 今后,在求二次函数的表达式时,我们可以根据题目所提供的条件,选用一般式、顶点式、交点式这三种表达
形式中的
某一形式来解题.
例1 已知某二次函数的最大值为2,图像的顶点在直线y
=
x
+1上,并且图象经过点(3,-1),求二次函数的解析
式.
分析:在解本例时,要充分利用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置,从而可以将二次函数设成顶
点式,再由函
数图象过定点来求解出系数
a
.
解:∵二次函数的最大值为2,而最大值一定是其顶点的纵坐标,
∴顶点的纵坐标为2.
又顶点在直线
y
=
x
+1上,
所以,2=
x
+1,∴
x
=1.
∴顶点坐标是(1,2).
设该二次函数的解析式为
∴
?1?a(3?2)
2
y?a(x?2)
2
?1(a?0)
,
∵二次函数的图像经过点(3,-1),
?1
,解得
a
=-2.
y??2(x?2)
2
?1
,即
y
=-2
x
2
+8
x
-7. ∴二次函数的解析式为
说明:在解题时,由最大值确定出
顶点的纵坐标,再利用顶点的位置求出顶点坐标,然后设出二次函数的顶点式,最终
解决了问题.因此,
在解题时,要充分挖掘题目所给的条件,并巧妙地利用条件简捷地解决问题.
第16页 共21页
例2 已知二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),且顶点到
x轴的距离等于2,求此二次函数的表达式.
分析一:由于题目所给的条件中,二次函数的图象所过
的两点实际上就是二次函数的图象与
x
轴的交点坐标,于是可以
将函数的表达式设成交
点式.
解法一:∵二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),
∴可设二次函数为
y
=
a
(
x
+3)
(
x
-1) (
a
≠0),
2
展开,得
y
=
ax
+2
ax
-3
a
,
?12a
2
?4a
2
??4a
, 顶点的纵坐标为
4a
由于二次函数图象的顶点到
x
轴的距离2,
∴|-4
a
|=2,即
a
=
?
1
. 2
1
2
313
x?x?
,或
y
=-
x
2
?x?
.
2222
所以,二次函数的表达式为
y
=
分析二:由于二次函数的
图象过点(-3,0),(1,0),所以,对称轴为直线
x
=-1,又由顶点到
x<
br>轴的距离为2,可知
顶点的纵坐标为2,或-2,于是,又可以将二次函数的表达式设成顶点式来
解,然后再利用图象过点(-3,0),或(1,0),
就可以求得函数的表达式.
解法二:∵二次函数的图象过点(-3,0),(1,0),
∴对称轴为直线
x
=-1.
又顶点到
x
轴的距离为2,
∴顶点的纵坐标为2,或-2.
22
于是可设二次函数为
y
=a
(
x
+1)+2,或
y
=
a
(
x<
br>+1)-2,
由于函数图象过点(1,0),
22
∴0=
a
(1+1)+2,或0=
a
(1+1)-2.
∴
a
=-
1
2
,或
a
=
1
2
.
所以,所求的二次函数为
y
=
-
11
(<
br>x
+1)+2,或
y
=(
x
+1)-2.
22
22
说明:上述两种解法分别从与
x
轴的交点坐标及顶点的坐
标这两个不同角度,利用交点式和顶点式来解题,在今后的解
题过程中,要善于利用条件,选择恰当的方
法来解决问题.
例3
已知二次函数的图象过点(-1,-22),(0,-8),(2,8),求此二次函数的表达式.
2
解:设该二次函数为
y
=
ax
+
bx
+
c
(
a
≠0).
由函数图象过点(-1,-22),(0,-8),(2,8),可得
?
?22?a?b?c,
?
?
?8?c,
?
8?4a?2b?c,
?
解得
a
=-2,
b
=12,
c
=-8.
2
所
以,所求的二次函数为
y
=-2
x
+12
x
-8.
通过上面的几道例题,同学们能否归纳出:在什么情况下,分别利用函数的一般式、顶点式、交点式来求二次函
数的表
达式?
练 习
1.选择题:
2
(1
)函数
y
=-
x
+
x
-1图象与
x
轴的交
点个数是 ( )
(A)0个
(B)1个 (C)2个 (D)无法确定
1
2
(2)函数
y
=- (
x
+1)+2的顶点坐标是
( )
2
(A)(1,2) (B)(1,-2)
(C)(-1,2) (D)(-1,-2)
2.填空:
(1)已知二次函数的图象
经过与
x
轴交于点(-1,0)和(2,0),则该二次函数的解析式可设为
y
=
a
(
a
≠0) .
2
(2)二次函数
y
=-
x
+23
x
+1的函数图象
与
x
轴两交点之间的距离为 .
3.根据下列条件,求二次函数的解析式.
(1)图象经过点(1,-2),(0,-3),(-1,-6);
第17页 共21页
(2)当
x
=3时,函数有最小值5,且经过点(1,11); (3)函数图象与
x
轴交于两点(1-2,0)和(1+2,0),并与
y
轴交于(0,-2).
2.2.3 二次函数的简单应用
一、函数图象的平移变换与对称变换
1.平移变换
问题1
在把二次函数的图象进行平移时,有什么特点?依据这一特点,可以怎样来研究二次函数的图象平移?
我们不难发现:在对二次函数的图象进行平移时,具有这样的特点——只改变函数图象的位置、不改变其形状,因
此,
在研究二次函数的图象平移问题时,只需利用二次函数图象的顶点式研究其顶点的位置即可.
2
例1 求把二次函数
y
=
x
-4
x
+
3的图象经过下列平移变换后得到的图象所对应的函数解析式:
(1)向右平移2个单位,向下平移1个单位;
(2)向上平移3个单位,向左平移2个单位.
分析:由于平移变换只改变函数图象的位置而不改变其形状(即不改变二次项系数),所以只改变二次
函数图象的顶点位置(即
只改变一次项和常数项),所以,首先将二次函数的解析式变形为顶点式,然后
,再依据平移变换后的二次函数图象的顶点位
置求出平移后函数图像所对应的解析式.
2
解:二次函数
y
=2
x
-4
x
-3的解析式可变为
2
y
=2(
x
-1)-1,
其顶点坐标为(1,-1).
2
(1)把函数
y
=2(
x
-1)-1的图象向右平移2个单位,向下平移1个单位后,其函数图象的顶点坐标是(3,-2)
,所以,
平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为
2
y
=2(
x
-3)-2.
2
(2)把函数
y<
br>=2(
x
-1)-1的图象向上平移3个单位,向左平移2个单位后,其函数图象的顶点
坐标是(-1, 2),所以,
平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为
2
y
=2(
x
+1)+2.
2.对称变换
问题2
在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时,有什么特点?依据这一特点,可以怎样来研究二次函数的图象平移?
我们不难发现:在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变
换时,具有这样的特点——只改变函数图象的
位置或开口方向、不改变其形状,因此,在研究二次函数图
象的对称变换问题时,关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口
方向来解决问题.
2
例2 求把二次函数
y
=2
x
-4
x
+1的图象关于下列
直线对称后所得到图象对应的函数解析式:
(1)直线
x
=-1;
y
(2)直线
y
=1.
2
x=-1
解:(1)如图2
.2-7,把二次函数
y
=2
x
-4
x
+1的图象关于直线
x
=-1作对称变换后,只改变图象的顶点位置,不改变其形状.
222
由于
y
=2
x
-4
x
+1=2(
x
-1)
-1,可知,函数
y
=2
x
-4
x
+1图
象的顶点
为
A
(1,-1),所以,对称后所得到图象的顶点为
A
1
(-3,
2
1),所以,二次函数
y
=2
x
-4
x
+1的图象关于直线
x
=-1对称后
22
所得到图象的函数解析式为
y
=2(
x
+3)-1,即
y
=2
x
+12
x
+17.
2
(2)如图2.2-8,把二次函数
y
=2x
-4
x
+1的
O
x
图象关于直线
x=-1作对称变换后,只改变图象的顶点位置和开口方向,不改变
y
A(1,-1)
A
1
(-3,-1)
其形状.
B(1,3)
222
由于
y
=2
x
-4
x
+1=2(
x
-1)-1,可知,函数
y
=2
x
-4
x
+1图
象的顶点为
A
(1,-1),所以,对称后所得到图象的顶点为
B<
br>(1,3),
图2.2-7
2
且开口向下,所以,二次函数
y
=2
x
-4
x
+1的图象关于直线
y
=1
y=1
22
对称后所得到图象的函数解析式为
y
=-2(
x
-1)
+3,即
y
=-2
x
+4
x
+1.
练
习
O
x
第18页 共21页
A(1,-1)
图2.2-8
1.选择题:
2
(1)把函数
y<
br>=-(
x-
1)+4的图象向左平移2个单位,向下平移3个单位,所得图象对应的解析
式为
( )
22
(A)
y
= (
x
+1)+1
(B)
y
=-(
x
+1)+1
(C)
y
=-(
x
-3)+4
(D)
y
=-(
x
-3)+1
第三讲
三角形的“四心”
三角形是最重要的基本平面图形,很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.
22
图3.2-1
如图3.2-1
,在三角形△ABC中,有三条边
图3.2-2
AB,BC,CA
,三个顶点
A,B,C
,在三角形中,角平分线、中线、高(如
图3.2-2)是三角形中的三种重要线
段.
三角形的三条中线相交于一点,这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角
形的内部,恰好是每条中线的三等分点.
例1
求证三角形的三条中线交于一点,且被该交点分成的两段长度之比为2:1.
已知
D<
br>、
E
、
F
分别为△ABC三边
BC
、
CA<
br>、
AB
的中点,
求证
AD
、
BE
、
CF
交于一点,且都被该点分成2:1.
证明
连结
DE
,设
AD
、
BE
交于点
G
, <
br>Q
D
、
E
分别为
BC
、
AE
的中点
,则
DE
AB
,且
DE=
VGDE
∽
VG
AB
,且相似比为1:2,
1
AB
,
2
图3.2-3
AG=2GD,BG=2GE
.
设
AD
、
CF
交
于点
G'
,同理可得,
则
G
与
G'
重合,
AG'=2G'D,CG'=2G'F.
图3.2-4
AD
、
BE
、
CF
交于一点,且都被
该点分成
2:1
.
三角形的三条角平分线相交于一点,是三角形的内心.
三角形的内心在三角形的内部,它到三角形的三边的距离相等.
(如图3.2-5)
例2 已知
VABC
的三边长分别为
图3.2-5
BC=a,AC=b,AB=c
,I为
VABC
的内心,且I在
VA
BC
的边
BC、AC、AB
上的射影分别为
D、E、F
,求证:AE=AF=
b+c-a
2
.
证明
作
VABC
的内切圆,则
D、E、F
分别为内切圆在三边上的切点,
第19页 共21页
QAE,AF
为圆的从同一点作的两条切线,
AE=AF
,
同理,
BD
=
BF
,
CD
=
CE
.
b+c-a=AF+BF+AE+CE-BD-
CD
=AF+AE=2AF=2AE
即
AE=AF=
b+c-a
2
.
例3
若三角形的内心与重心为同一点,求证:这个三角形为正三角形.
已知
O
为三角形
ABC
的重心和内心.
求证
三角形
ABC
为等边三角形.
证明
如图,连
AO
并延长交
BC
于
D
.
Q
O
为三角形的内心,故
AD
平分
?BAC
,
ABBD
=
(角平分线性质定理)
ACDC
Q
O
为三角形的重心,
D
为
BC
的中点,即
BD
=
DC
.
AB
=1
,即
AB=AC
.
AC
同理可得,
AB
=
BC
.
图3.2-7
VABC
为等边三角形.
三角形的三条高所在直线相交于一点,该点称为
三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部,直角三角形的垂
心为他的直角顶点,钝角三角形
的垂心在三角形的外部.(如图3.2-8)
例4 求证:三角形的三条高交于一点.
已知
VABC
中,
求证
CH
图3.2-8
AD
与
BE
交于
H
点.
AD^BC于D,BE^AC于E,
^AB
.
证明
以
CH
为直径作圆,
QAD^BC,BE^AC,?HDC
D、E
在以
CH
为直径的圆上,
?FCB?DEH
.
同理,
E
、
D
在以
AB
为直径的圆上,可得
?
?HEC90
o
,
BED?BAD
.
图3.2-9
?BCH?BAD
,
又
VABD
与
VCBF
有公
共角
?B
,
?CFB?ADB90
o
,即
CH^AB
.
第20页 共21页
过不共线的三点
A
、
B
、
C
有且只有一个圆,该圆是三角形
ABC
的外接圆,
圆心
O
为三角形的外心.三角形的外心到三个顶
点的距离相等,是各边的垂直平分线的
交点.
练习1
1.求证:若三角形的垂心和重心重合,求证:该三角形为正三角形.
2.
(1) 若三角形
ABC
的面积为
S
,且三边长分别为
a、b、c<
br>,则三角形的内切圆的半径是___________;
(2)若直角三角形的三边长分别为<
br>a、b、c
(其中
c
为斜边长),则三角形的内切圆的半径是________
___. 并请说明
理由.
第21页 共21页
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