初高中数学衔接教材第七讲 分式方程和无理方程的解法

第七讲 分式方程和无理方程的解法
初中大家已经学习了可化为一元一次方 程的分式方程的解法．本讲将要学习可化为一元二次
方程的分式方程的解法以及无理方程的解法．并且只 要求掌握(1)不超过三个分式构成的分式方程
的解法，会用”去分母”或”换元法”求方程的根，并会 验根；(2)了解无理方程概念，掌握可化为一
元二次方程的无理方程的解法，会用”平方”或”换元法 ”求根，并会验根．
一、可化为一元二次方程的分式方程
1．去分母化分式方程为一元二次方程
【例1】解方程
14x2
?
2
??1
．
x?2
x?4
x?2
分析：去分母，转化为整式方程．
解：原方程可化为：

14x2
???1

x?2(x?2)(x?2)x?2
方程两边各项都乘以
x?4
：
2






(x?2)?4x?2(x?2)?x
2
?4

即
3x?6?x?4
， 整理得：
x?3x?2?0

解得：
x?1
或
x?2
．
2
检验：把
x ?1
代入
x?4
，不等于0，所以
x?1
是原方程的解；
22

2
把
x?2
代入
x?4
，等于0，所以
x?2
是增根．
所以，原方程的解是
x?1
．
说明：
(1) 去分母解分式方程的步骤：
①把各分式的分母因式分解； ②在方程两边同乘以各分式的最简公分母； ③去括号，把
所有项都移到左边，合并同类项； ④解一元二次方程； ⑤验根．
(2) 验根的基本方法是代入原方程进行检验，但代入原方程计算 量较大．而分式方程可能产
生的增根，就是使分式方程的分母为0的根．因此我们只要检验一元二次方程 的根，是否使分式
方程两边同乘的各分式的最简公分母为0．若为0，即为增根；若不为0，即为原方程 的解．
2．用换元法化分式方程为一元二次方程

x
2
2
3x
2
)??4?0
【例2】解方程 < br>(
x?1x?1
分析：本题若直接去分母，会得到一个四次方程，解方程很困难．但注意 到方程的结构特点，
x
2
?y
，即得到一个关于
y
的一元二 次方程．最后在已知
y
的值的情况下，用去分母的方法设
x?1
1

x
2
?y
． 解方程
x?1
x< br>2
?y
，则原方程可化为：
y
2
?3y?4?0
解得
y?4
或
y??1
． 解：设
x?1

x2
?4
，去分母，得
x
2
?4(x?1)?x
2
?4x?4?0?x?2
； (1)当
y?4
时，
x?1

x
2
?1?5
(2)当
y??1
时，．
??1? x
2
??x?1?x
2
?x?1?0?x?
x?12
检验： 把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为0．
所以，
x?2
，
x?
?1?5
都是原方程的解．
2
说明：用换元法解分式方程常见的错误是只求出
y
的值，而没有求到原方程的解，即
x
的值．
8(x
2
?2x)3(x
2
?1)?
2
?11
． 【例3】解方程
2
x?1x?2x
x
2
?2xx
2
?1
分析：注意观察方程特点，可以看到分式
2
与
2
互为倒数．因此，可以设
x?1x?2x
x
2
?2x
?y
，即可将原方程化为一个较为简单的分式方程．
2
x?1x
2
?2x
x
2
?11
?y
，则
2< br>解：设
2
?

x?1
x?2x
y
原方程可 化为：
8y?
33
?11?8y
2
?11y?3?0?y?1或y?
．
y8
x
2
?2x1
?1?x
2
?2x ?x
2
?1?x??
； (1)当
y?1
时，
2
2
x?1
(2)当
y?


3
x
2
?2x31
时，
2
??8x
2
?16x?3x
2
? 3?5x
2
?16x?3?0?x??3或x??
．
8
5
x?1
8
11
，
x??3
，
x??
．
25
检验：把把各根分别代入原方程的分母，各分母都不为0．
所以，原方程的解是
x??
说明：解决分式方程的方法就是采取去分母、换元等法，将分式方程转化为整式方程，体 现
了化归思想．

2

二、可化为一元二次方程的无理方程
根号下含有未知数的方程，叫做无理方程．
1．平方法解无理方程
【例4】解方程
x?7?x?1

分析：移项、平方，转化为有理方程求解．
解：移项得：
x?7?x?1



两边平方得：
x?7?x?2x?1

移项，合并同类项得：
x?x?6?0

2
2
解得：
x??3
或
x?2

检验：把
x??3
代 入原方程，左边
?
右边，所以
x??3
是增根．
把
x?2
代入原方程，左边 = 右边，所以
x?2
是原方程的根．
所以，原方程的解是
x?2
．
说明：含未知数的二次根式恰有一个的无理方程的一般步骤：
①移项，使方程的左边只保留含 未知数的二次根式，其余各项均移到方程的右边；②两边同
时平方，得到一个整式方程；③解整式方程； ④验根．
【例5】解方程
3x?2?x?3?3

分析：直接平方将很困 难．可以把一个根式移右边再平方，这样就可以转化为上例的模式，
再用例4的方法解方程．
解：原方程可化为：
3x?2?3?




x?3

两边平方得：
3x?2?9?6x?3?x?3

整理得：
6x?3?14?2x?3x?3?7?x

两边平方得：
9(x?3)?49?14x?x

2
整理得：
x?23x?22?0
，解得：
x?1
或
x?22
．
2
检验：把
x?1
代入原方程，左边=右边，所以
x?1
是原方程的根．
把
x?22
代入原方程，左边
?
右边，所以
x?2 2
是增根．
所以，原方程的解是
x?1
．
说明：含未知数的二次根式恰有两个的无理方程的一般步骤：
①移项，使方程的左边只保留一个含未知 数的二次根式；②两边平方，得到含未知数的二次
根式恰有一个的无理方程；③一下步骤同例4的说明．
2．换元法解无理方程
【例6】解方程
3x
2
?15x?2x
2
?5x?1?2

分析：本题若直接平方，会得到一个一元四次方程，难度较大．注意观察方程中含未知数的
3

二次根式与其余有理式的关系，可以发现：
3x
2
?15x?3?3(x
2
?5x?1)
．因此，可以设
x
2
?5x?1?y
，这样就可将原方程先转化为关于
y
的一元二次方程处理．
解：设
x
2
?5x?1?y
，则
x
2
?5x?1 ?y
2
?3x
2
?15x?3(y
2
?1)







原方程可化为：
3(y
2
?1)?2y?2
，
即
3y
2
?2y?5?0
，解得：
y?1
或
y??
5
．
3
22
(1)当
y?1
时，
x?5x?1?1 ?x?5x?0?x??1或x?0
；
(2)当
y??
5
时，因为
x
2
?5x?1?y?0
，所以方程无解．
3
检验：把
x??1,x?0
分别代入原方程，都适合．
所以，原方程的解是
x??1,x?0
．
说明：解决根式方程的方法就是采取平方、换元等法，将根式方程转化为有理方程，体现了
化归思想．























4

练 习


A 组
1．解下列方程：
(1)
2x?1x?5

?
(x?1)(x?2)(x?2)(x?3)
(2)
xx?7
?

22
2x?11x?21x?12x?35
152
??1

x
2
?4
2?x
(3)
21
??1

y
2
?4
y?2
2
(4)
2．用换元法解方程：
x?
3．解下列方程：
(1)
4
?4

x
2
(2)
x?2??x

x?5?x?7
(3)
x?3?2?x

4．解下列方程：
(1)
3x?1?x?4?1
(2)
2x?4?x?5?1

5．用换元法解下列方程：
(1)
x?12?x?0
(2)
x
2
?3x?

B 组
x
2
?3x?6

1．解下列方程：
(1)
2x?541
??

22
x?3x?2x?4
x?2
(2)
x?41x?6
??

22
x?x?2
x?1
x? 4
x?12x4x
??
2
?0

x?1x?1
x?1
(3)
1x?11
??
2

x?7(2x?1)(x?7)
2x?3x?1
(4)
2．用换元法解下列方程：

x
2
?5x24(x?1)
(1)
??14?0
x?1x(x?5)
x
4
?2x
2
?1x
2
? 1
??2
(3)
2
x
x
2(x
2
?1 )6(x?1)
?
2
?7
(2)
x?1
x?1

3．若
x?1
是方程
4．解下列方程：

x1
??4
的解，试求
a
的值．
x?ax?a
3
?2x
2
?4x?1
(1)
2
x?2x?3

3x6x
2
a?x
?
2
?
(2)
2
x?a
a?x
x?a
5．解下列方程：
5

(1)
x
2
?x
2
?1?3
(2)
x?10?
6
x?10
?5



(3)
2x
2
?4x?3x
2
?2x?6?15

第七讲 分式方程和无理方程的解法答案
A 组
1．
(1)x??1 ,(2)x??1,x??21,(3)y?0,y?1,(4)x?3,x??5

2．
x??2

3．
(1)x??1,(2)x?6,(3)x?< br>4．(1)
x?5
．(2)
x?20
．
5．
(1)x?9,(2)x?1,x??4

B 组
1
1．
(1)x??1?13,(2)x?3,(3)x?5,x??1,(4)x?

3
2．
(1)x?1,x?2,x??3,x??4,(2)x?1?2,x?
5?3

2
3?17
,(3)x??1

4
3．
?
2

2
2?321
,(2)x??a

22
4．
(1) x?0,x?2,x?
5．
(1)x??2,(2)x?26,(3)x?3,x??1


6