最新版教材高中数学必修一知识讲解_《函数》全章复习与巩固_ 提高

考点必考
《函数》全章复习与巩固
【学习目标】
1．会用集合与 对应的语言刻画函数；会求一些简单函数的定义域和值域，初步掌握换元法的简单
运用；
2． 能正确认识和使用函数的三种表示法：解析法，列表法和图象法．了解每种方法的优点．在实
际情境中， 会根据不同的需要选择恰当的方法表示函数；
3．求简单分段函数的解析式；了解分段函数及其简单应用；
4．理解函数的单调性、最大（小）值及其几何意义；结合具体函数了解奇偶性的含义；
5． 理解函数零点的意义，能判断二次函数零点的存在性，会求简单函数的零点，了解函数的零点与
方程根的 关系；
6．能运用函数的图象理解和研究函数的性质．
【知识网络】


【要点梳理】
要点一：关于函数的概念
1．两个函数相等的条件
用集合 与对应的语言刻画函数，与初中的“用变量的观点描述函数”实质上是一致的．函数有三要
素——定义域 、值域、对应关系，它们是不可分割的一个整体．当且仅当两个函数的三要素完全相同时，
这两个函数相 等．
2．函数的常用表示方法
函数的常用表示方法有：图象法、列表法、解析法．注意领会 在实际情境中根据不同的需要选择恰
当的方法表示函数．
3．映射
设A、B是两个 非空集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A中的任意一个元素x（原
象），在集合B中都 有唯一确定的元素
f(x)
（象）与之对应，那么就称对应f：A→B为从集合A到集
合B的一个映射．由映射定义知，函数是一种特殊的映射，即函数是两个非空的数集间的映射．
4．函数的定义域
函数的定义域是自变量
x
的取值范围，但要注意，在实际 问题中，定义域要受到实际意义的制约．其
题型主要有以下几种类型：
知识必备

考点必考
（1）已知
f(x)
得函数表达式，求定义域；
（2）已知
f(x)
的定义域，求
f
围；
（3）已知
f

?
?
(x)
?
的定义域， 求
f(x)
的定义域，其实质是由
x
的取值范围，求
?
(x )
的取值范围．
?
?
(x)
?
的定义域，其实质是由
?
(x)
的取值范围，求出
x
的取值范
5．函数的值域
由函数的定义知，自变量
x
在对应法则
f
下取值的集合叫做函数的值域．
函数值域的求法：
（1）与二次函数有关的函数，可用配方法（注意定义域）；
（ 2）形如
y?ax?b?cx?d
的函数，可用换元法．即设
t?
域（注意< br>t?0
）；
（3）形如
y?
cx?d
，转化成二次函数再求 值
ax?b
(c?0)
的函数可借助反比例函数求其值域，若用变量分离法求值域，这 种函
cx?d
a
?
?
；
c
?
数的值域为
?
y|y?
?
?
ax
2
?bx?c
（4） 形如
y?
（
a,m
中至少有一个不为零）的函数求值域，可用判别式求值域．
mx
2
?nx?p
6．函数的解析式
函数的解析式是函数的一种表 示方法，求两个变量之间的函数关系时，一是要求出它们之间的对应
法则，二是求出函数的定义域． < br>求函数解析式的主要方法：已知函数解析式的类型时，可用待定系数法；已知复合函数
f
?
g(x)
?
的
表达式时，可用换元法，此时要注意“元”的取值范围；若已 知抽象函数表达式，则常用解方程组、消
参的方法求出
f(x)
．
要点二：函数的单调性
（1）如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x
1
，x
2
，当x
1
＜x
2
时，都有
f(x
1
)?f(x
2
)
，
那么就说函数
f(x)
在区间D上是增函数．
（2）如果对于定义域I内某个区间D上的任意两个自变量x
1，x
2
，当x
1
＜x
2
时，都有
f(x
1
)?f(x
2
)
，
那么就说函数
f(x)
在区 间D上是减函数．
（3）若函数
f(x)
在某个区间上总是递增（或递减）的，则该 区间是函数的一个单调增（或减）
区间．若函数
f(x)
在整个定义域上总是递增（或 递减）的，则称该函数为单调增（或减）函数．
知识必备

考点必考
与函数单调性有关的问题主要有：由函数单调性定义判断或证明某一个函数在一个区间的单调性；
通过 图象或运用复合函数的单调性原理求函数的单调区间；应用函数的单调性证明不等式、比较数的大
小、判 断某些超越方程根的个数等．
要点三：函数的奇偶性
（1）若一个函数具有奇偶性，则它的 定义域一定关于原点对称，如果一个函数的定义域不关于原
点对称，那么它就失去了是奇函数或是偶函数 的条件，即这个函数既不是奇函数也不是偶函数．
（2）若奇函数
y?f(x)
的定 义域内有零，则由奇函数定义知
f(?0)??f(0)
，即
f(0)??f(0)< br>，
所以
f(0)?0
．
（3）奇、偶性图象的特点
如果一 个函数是奇函数，则这个函数的图象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形；反之，如果
一个函数的图 象是以坐标原点为对称中心的中心对称图形，则这个函数是奇函数．
如果一个函数是偶函数，则它的图 象是以y轴为对称轴的对称图形；反之，如果一个函数的图象是
y轴为对称轴的轴对称图形，则这个函数 是偶函数．
要点四：图象的作法与平移
（1）根据函数表达式列表、描点、连光滑曲线；
（2）利用熟知函数图象的平移、翻转、伸缩变换；
（3）利用函数的奇偶性，图象的对称性描绘函数图象．
要点五：一次函数和二次函数
1．一次函数
y?kx?b(k?0)
，其中
k?
2．二次函数
?y
．
?x
2
二次函数
y?ax?bx?c(a?0)< br>，通过配方可以得到
y?a(x?h)?k,a
决定了二次函数图象的
2
开口大小及方向．顶点坐标为
?
h,k
?
，对称轴方程为
x?h< br>．
b
2
4ac?b
2
)?
对于二次函数
f (x)?ax?bx?c?a(x?
．
2a4a
2
?
b4ac?b
2
?
b
,
当
a?0
时，
f(x)
的图象开口向上；顶点坐标为
?
?
；对称轴为；
f(x)
在
x??
?
2a
2a4a
??
b
?
b
??< br>b
?
??,??,??
x??
上是单调递减的，在上是单调递增的；当 时，函数取得最小值
??
??
2a
?
2a
??
2a
?
4ac?b
2
．
4a
?
b4ac?b
2
?
b
,
x??
当
a?0
时，
f(x)< br>的图象开口向下；顶点坐标为
?
?
；对称轴为；
f(x)
在< br>?
2a
4a
??
2a
知识必备

考点必考
b
?
b
??
b
?
??,??,??
上是单调递增的，在上是单调递减的；当时，函数取得最大值
x??
??
??
2a
?
2a
??
2a
?
4ac ?b
2
．
4a
要点六：函数的应用举例（实际问题的解法）
（1）审题：弄清题意、分清条件和结论、理顺数量关系；
（2）建模：将文字语言转化成数学语言，利用相应的数学知识模型；
（3）求模：求解数学模型，得到数学结论；
（4）还原：将用数学方法得到的结论，还原为实际问题的意义．
求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为：

要点七：函数与方程
（1）对于函数
y?f(x)(x?D)
，我们把使
f(x)?0
得实数< br>x
叫做函数
y?f(x)(x?D)
的零点．
（2）确定函数
y?f(x)
的零点，就是求方程
f(x)?0
的实数根．
（3）一般地 ，如果函数
y?f(x)
在区间
?
a,b
?
上的图象是连续 不间断的一条曲线，并且
，那么函数
y?f(x)
在区间
?
a,b< br>?
内有零点，即存在
x
0
?
?
a,b
?，使得
f(x
0
)?0
，这
f(a)?f(b)?0
个
x
0
也就是方程
f(x)?0
的根．
（4）一般地，对于 不能用公式法求根的方法
f(x)?0
来说，我们可以将它与函数
y?f(x)
联系
起来，并利用函数的性质找出零点或零点所在的区间，从而求出方程的根，或者用二分法求出方程 的近
似解．
判断函数在某区间有零点的依据：
对于一些比较简单的方程，我们可以 通过公式等方法进行解决，对于不能用公式解决的方程，我们
可以把这些方程
f(x)?0与函数
y?f(x)
联系起来，并利用函数的图象和性质找零点，从而求出方程
的 根．
对于如何判断函数在某区间内是否是零点的问题，最关键的是要把握两条：其一，函数的图象在某
区间是否是连续不间断的一条曲线；其二，该函数是否满足在上述区间的两个端点处，函数值之积小于< br>知识必备

考点必考
0．
（5）在实数范围内，二次函数< br>y?ax?bx?c(a?0)
的零点与二次方程
ax?bx?c?0(a?0)
的
根之间有密切关系．
①
??0
，方程
ax?bx?c?0(a ?0)
有两个实根，其对应二次函数有两个零点；
②
??0
，方程
ax?bx?c?0(a?0)
有一个二重根，其对应二次函数有一个二重零点；
③
??0
，方程
ax?bx?c?0(a?0)
无根，其对应二次函数无零点．
【典型例题】
类型一：映射
例1．设集合
A?B?{(x,y)|x?R ,y?R}
，f是A到B的映射，并满足
f:(x,y)?(?xy,x?y)
．
（1）求B中元素（3，－4）在A中的原象；
（2）试探索B中有哪些元素在A中存在原象；
（3）求B中元素（a，b）在A中有且只有一个原象时，a，b所满足的关系式．
【思路点拨】本例是一道与方程综合的题目，关键是将题目转化为我们所熟悉的映射的知识．
【答案】（1）（―1，3）或（―3，1）；（2）b
2
－4a≥0；（3）b
2< br>=4a
【解析】
（1）设（x，y）是（3，－4）在A中的原象，
2< br>2
2
22
?
?xy?3
?
x??1
?
x??3
于是
?
，解得
?
或
?
，
x? y??4y?3y?1
???
∴（―3，4）在A中的原象是（―1，3）或（―3，1）．
（2）设任意（a，b）∈B在A中有原象（x，y），
应满足
?
?
?xy?a
①
?
x?y?b
②

由②可得y=x―b，代入①得x
2
―bx+a=0． ③
当且仅当Δ=b
2
―4a≥0时，方程③有实根．
∴只有当B中元素满足b
2
－4a≥0时，才在A中有原象．
（3）由以上 （2）的解题过程知，只有当B中元素满足b
2
=4a时，它在A中有且只有一个原象． 【总结升华】高考对映射考查较少，考查时只涉及映射的概念，因此我们必须准确地把握映射的概
念 ，并灵活地运用它解决有关问题．
举一反三：
【变式1】 已知a，b为两个不相等的实数 ，集合
M?{a?4a,?1}
，
N?{b?4b?1,?2}
，
2 2
f:x?x
表示把M中的元素x映射到集合N中仍为x，则a+b等于（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】 D
22
??
?
a?4a??2
?
a?4a?2?0
?
?
2
【解析】 由已知可得M=N，故
?
2
，a、b是方程x
2－4x+2=0
?
b?4b?1??1
?
?
b?4b?2?0< br>?
知识必备

考点必考
的两根，故a+b=4．
类型二：函数的概念及性质
【高清课堂：集合与函数性质综合377492 例2】

例2．设定义在R上的函数y= f（x）是偶函数,且f（x）在（－∞，0）为增函数．若对于x
1
?0?x
2
，
且
x
1
?x
2
?0
，则有 ( )
A．
f(|x
1
|)?f(|x
2
|)
B．
f(?x
2
)?f(?x
1
)

C．
f(x
1
)?f(?x
2
)
D．
f(?x
1
)?f(x
2
)

【答案】D
【解析】因为
x
1
?0?x
2
，且
x
1
?x
2
?0
，所以
|x
2
| ?|x
1
|
，画出y= f（x）的图象，数形结合知，
只有选项D正确．
【总结升华】对函数性质的综合考查是高考命题热点问题．这类问题往往涉及函数单调性、奇偶
性、函数图象的对称性，以及题目中给出的函数性质．解决这类问题的关键在于“各个击破”，也就是
涉及哪个性质，就利用该性质来分析解决问题．
举一反三：
【变式1】（1）已知定义 在R上的奇函数
f(x)
满足
f(x?4)??f(x)
，且在区间[0，2 ]上是增函
数，则（ ）
A．
f(?25)?f(11)?f(80)
B．
f(80)?f(11)?f(?25)

C．
f(11)?f(80)?f(?25)
D．
f(?25)?f(80)?f(11)

（2）定义在R上的偶函数f (x) ，对任意x
1
，x
2
∈[0，+∞）（x
1
≠x
2
），有
f(x
2
)?f(x
1
)
?0
，则 （ ）
x
2
?x
1
A．
f(3)?f(?2)?f(1)
B．
f(1)?f(?2)?f(3)

C．
f(?2)?f(1)?f(3)
D．
f(3)?f(1)?f(?2)

【答案】（1）D （2）A
【解析】（1）由函数
f(x)
是奇函数且
f(x)
在[0，2]上是增函数 可以推知
f(x)
在[－2，2]上递增，
又
f(x?4)??f(x)?f (x?8)??f(x?4)?f(x)
，故函数
f(x)
以8为周期，
f( ?25)?f(?1)
，
f(11)?f(3)??f(3?4)?f(1)
，
f(80)?f(0)
，故
f(?25)?f(80)?f(11)
．故选D． < br>（2）由题知，
f(x)
为偶函数，故
f(2)?f(?2)
，又知x ∈[0，+∞）时，
f(x)
为减函数，且3
＞2＞1，∴
f(3)?f(2 )?f(1)
，即
f(3)?f(?2)?f(1)
．故选A．
知识必备

考点必考
例3．设函数
f(x)?ax
2
?bx? c(a?0)
的定义域为
D
，若所有点
(s,f(t))

(s,t?D)
构成一个
正方形区域，则
a
的值为（ ）
A．－2 B．－4 C．－8 D．不能确定
【答案】 B
【解析】 依题意，设关于x的不等式ax
2
+bx+c≥0（a＜0）的解集是[x
1
，x
2
]（x
1
＜x
2
），且
b
2
?4ac
2
(b?4ac?0)
，
f(x)?x
2
?bx?c
的最大值是
f(x
1
)?f(x
2
)?0
，
x
2
?x
1
?
?a
?
b
2
?4ac
?
4ac?b
2
b
2
?4ac
．依题意，当s∈[x
1
，x
2
]的取值一定时，
f(t)
取遍
?
0,
?
?
中的每一
?4a
4a?4 a
??
??
个组，相应的图形是一条线段；当s取遍[x
1
，x2
]中的每一个值时，所形成的图形是一个正方形区域（即
b
2
?4ac b
2
?4ac
相当于将前面所得到的线段在坐标平面内平移所得），因此有
? ?0
，
?a?4a
?a??4a
．又a＜0，因此a=－4，选B项．
举一反三：
【变式1】若函数
y?f(x)
的定义域是[0，2]，则函数
g(x)?
f(2x)
的定义域是（ ）
x?1
A．[0，1] B．[0，1） C．[0，1）∪（1，4] D．（0，1）
【答案】 B
【解析】 要使
g(x)
有意义，则< br>?
?
x?2x?2
，解得0≤x＜1，故定义域为[0，1），选B．
?
x?1?0
例4．设函数
f(x)?|2x?4|?1
．
（1）画出函数
y?f(x)
的图象；
（2）若不等式
f(x)?ax
的解集非空，求a的取值范围．
【答案】（1）右图；（2）
(??,?2)
1
[,??)
．
2
?
?2x?5, x?2
【解析】 （1）由于
f(x)?
?
，则函数
y?f(x)
的图象如图所示．
2x?3, x?3
?
1
或a＜―2时，函数
y?f(x)< br>与
2
1
函数y=ax的图象有交点．故不等式
f(x)?ax
的解集非空时，a的取值范围为
(??,?2)[,??)
．
2
（2）由函 数
y?f(x)
与函数y=ax的图象可知，当且仅当
a?
举一反三：
知识必备

考点必考
2
?
a
?
? ab,
a?b
【变式1】对于实数
a
和
b
,定义运算“﹡” :
a*b?
?
,设
f(x)?(2x?1)*(x?1)
,
2
?
?
b?ab,
a?b
且关于
x
的方程为
f(x)?m(m?R)
恰有三个互不相等的实数根
x
1
,x
2< br>,x
3
,则
x
1
x
2
x
3
的取值范围是
_________________.
（
【答案】
1?3
,0）

16
1
2
1
?
2 (x?)?，x?0
2
?
?
?
(2x?1)?(2x?1)(x?1 ),2x?1?x?1
?
48
?
【解析】由定义运算“*”可知
f (x)=
?
,画出
?
2
11
?
?
(x?1 )?(2x?1)(x?1),2x?1＞x?1
?
?(x?)
2
?x＞0< br>?
?24
（
该函数图象可知满足条件的取值范围是
1?3
,0 ）
.
16
?
|x|,x?m
【变式2】（2016 山东）已 知函数
f(x)?
?
2
，其中m＞0，若存在实数b，
?
x ?2mx?4m,x?m
使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，则m的取值范围是_____ ___．
?
|x|,x?m
2
【思路点拨】作出函数
f(x)?< br>?
2
的图象，依题意，可得
4m?m?m
（m＞0），
x?2 mx?4m,x?m
?
解之即可．
【答案】（3，+∞）
【解析】当m＞ 0时，函数
f(x)?
?
?
|x|,x?m
?
x?2mx? 4m,x?m
2
的图象如下：

∵x＞m时，
f(x)?x?2mx?4m?(x?m)?4m?m?4m?m
，
∴y要使得关于x的方程f（x）=b有三个不同的根，
知识必备
2222

考点必考
必须
4m?m?m
（m＞0），
即
m?3m
（m＞0），
解得m＞3，
∴m的取值范围是（3，+∞），
故答案为：（3，+∞）．
例5．（2016春 云南保山期末）定义在实数集上的函数y=f（x）是偶函数，当x≥0时，2
2
f(x)??x
2
?4x
．
（1）求f（x）在R上的表达式；
（2）求y=f（x）的最大值，并写出f（x）在R上的单调区间（不必证明）．
【思路点 拨】（1）设x＜0时，则－x＞0，利用f（x）=f（－x），以及当x≥0时，
f(x)??x? 4x
，
求得x＜0时函数解析式，从而得出结论．
（2）根据函数的解析式求得y=f（x）的最大值，并写出f（x）在R上的单调区间．
2
?
?
?x?4x,x?0
【答案】（1）
f(x)?
?2
；（2）
?
?
?x?4x,x?0
2
【解析】（1 ）∵定义在实数集上的函数y=f（x）是偶函数，
当x≥0时，
f(x)??x?4x??(x?2)?4
，
设x＜0时，则－x＞0，
故
f(x)?f(?x)??(?x)?4(?x)?? x?4x??(x?2)?4
，
2
?
?
?x?4x,x?0
综上可得，
f(x)?
?
2
．
?
?
?x?4x ,x?0
222
22
（2）根据函数的解析式可得，当x=±2时，y=f（x）取得 最大值为4，
结合f（x）的图象定出f（x）在R上的单调增区间为（－∞，－2]、[0，2]；
减区间为[－2，0]、[2，+∞）．
【总结升华】本题主要考查利用函数的奇偶性求函数的解析式，求函数的最值以及单调区间．
举一反三：
【高清课堂：集合与函数性质综合377492 例5】
【变式1】已知函数
f(x)?kx?
1
，且f（1）=1．
x
（1）求实数k的值及函数的定义域；
（2）判断函数在（0，+∞）上的单调性，并用定义加以证明．
【答案】（1）2
?
??,0
?
（2）单调递增
?
0,??
?
；
知识必备

考点必考 【解析】（1）
1
f(1)?1,?k?1?1,?k?2
，
?f(x) ?2x?
，定义域为：
?
??,0
?
x
?
0,??
?
．
（2）在（0，+∞）上任取
x
1
,x
2< br>,且x
1
?x
2
，则
f(x
1
)?f(x
2
)?2x
1
?
11
?2x
2
?

x
1
x
2
1
)

x
1
x
2
=
(x
1< br>?x
2
)(2?
x
1
?x
2
,?x
1
?x
2
?0,2?
?f(x
1
)?f(x
2)

所以函数
f(2)?2x?
1
?0

x< br>1
x
2
1
在
?
0,??
?
上单调递 增．
x
x
1
?x
2
1
)?[f(x
1< br>)?f(x
2
)]
,
22
【变式2】函数
f(x)< br>在
[a,b]
上有定义,若对任意
x
1
,x
2
?[a,b]
,有
f(
则称
f(x)
在
[a,b]
上具有性质
P
.设
f(x)
在[1,3]上具有性质
P
, 现给出如下命题:
①
f(x)
在
[1,3]
上的图像时连续不断的; ②
f(x)
在
[1,3]
上具有性质
P
;
③若< br>f(x)
在
x?2
处取得最大值
1
,则
f(x)?1 ,x?[1,3]
;
④对任意
x
1
,x
2
,x< br>3
,x
4
?[1,3]
,有
f(
x
1
?x
2
?x
3
?x
4
1
)?[f(x
1
)?f(x
2
)?f(x
3
)?f(x
4
)]
44
（ ）
D．③④
其中真命题的序号是
A．①② B．①③ C．②④
【答案】D
【解析】正确理解和推断可知①②错误,③④错误

例6．请先阅读下列材料，然后回答问题．
对于问题“已知函数
f(x) ?
1
，问函数
f(x)
是否存在最大值或最小值？若存在，求出
3? 2x?x
2
最大值或最小值；若不存在，说明理由．”
一个同学给出了如下解答：
解：令u=3+2x―x
2
，则u=―(x―1)
2
+4，当x=1 时，u有最大值，u
max
=4，显然u没有最小值．∴
当x=1时，
f(x )
有最小值
1
，没有最大值．
4
1
(a?0)
，试研究其最值情况．
ax
2
? bx?c
（1）你认为上述解答正确吗？若不正确，说明理由，并给出正确的解答；
（2）对 于函数
f(x)?
【答案】（1）不正确；（2）当Δ≥0时，
f(x)
既无 最大值，也无最小值；当Δ＜0时，
f(x)
有最
知识必备

考点必考
大值
4ab
，此时，没有最小值．
x? ?
4ac?b
2
2a
【解析】（1）不正确．没有考虑到u还可以小于0．
正确解答如下：令u=3+2x―x
2
，则u=―(x―1)2+4≤4，
1111
?
，即
f(x)?
；当u＜0时，
?0
，即
f(x)?0
．
u44u
1
∴
f(x)?0
或
f(x)?
，即
f(x)
既无最大值，也无最小值．
4
1
（2）对于函数
f(x)?
2
．
(a?0)
，令u=ax2+bx+c（a＞0）
ax?bx?c
当0＜u≤4时，
①当 Δ＞0时，u有最小值，
u
min
4ac?b
2
??0
，
4a
4ac?b
2
14a4a
?u?0
时，
?当，即；当u＞0时，即
f(x)?0
．
f(x)?
22
4a
u4ac?b4ac?b
∴
f(x)?0
或
f(x)?
4a
，即
f(x)
既无最大值，也无最小值．
2
4ac?b
4ac?b
2
??0
，
4a
②当Δ=0时，u有最小值，
u
min
此时，u≥0，∴＜
1
?0
，即
f(x)?0
，
f(x)
既无最大值，也无最小值．
u
4ac?b
2
??0
，
4a
③当Δ＜0时，u 有最小值，
u
min
4ac?b
2
?0
． 即
u?
4a
14a4a
，即．
?0?f(x)?
22u4ac?b4ac?b
b4a
∴当
x??
时，
f(x)
有最大值，没有最小值．
2
2a4ac?b
∴
0?
综上，当Δ≥ 0时，
f(x)
既无最大值，也无最小值．
当Δ＜0时，
f(x)
有最大值
4ab
x??
，此时，没有最小值．
2
4ac?b2a< br>【总结升华】研究性学习是新课标所倡导的教学理念，是培养创新能力的重要途径，因而也是新课
标高考的重点考查对象．解决像本例这样的研究性问题，关键是透彻理解题目中所提供的材料，准确地
把 握题意，灵活地运用所学的基本知识和基本方法分析解决问题．
举一反三：
【变式1】（1 ）已知函数
y?1?x?x?3
的最大值为M，最小值为m，则
m
的值为（ ）
M
知识必备

考点必考
A．
2
3
11
B． C． D．
2
2
42
【答案】 C
【解析】 函数的定义域为[－3，1]．
又
y
2
?4?2(1?x)(x?3)?4 ?2?x
2
?2x?3?4?24?(x?1)
2
．
而
0?4?(x?1)
2
?2
，∴4≤y
2
≤8．
又y＞0，∴
2?y?22
．∴
M?22
，m=2．
∴
m2
?
．故选C项．
M2
?
x
2
, |x|?1
（2）设
f(x)?
?
，
g(x)
是二次函数，若
f[g(x)]
的值域是[0 ，+∞），则
g(x)
的值域
?
x, |x|?1
是（ ）
A．（－∞，－1]∪[1，+∞） B．（－∞，－1]∪[0，+∞）
C．[0，+∞） D．[1，+∞）
【答案】C 【解析】要使
f[g(x)]
的值域是[0，+∞），则
g(x)
可取（ －∞，－1]∪[0，+∞）．又
g(x)
是二次
函数，定义域连续，故
g( x)
不可能同时取（－∞，－1]和[0，+∞）．结合选项只能选C项．
【总结升华】 函数的值域问题每年高考必考，而且既有常规题型[如本例（1）]，也有创新题[如
本例（2）]．解 答这类问题，既要熟练掌握求函数值域的基本方法，更要根据具体问题情景，灵活地处
理．如本例（2） 中，其背景函数属常规函数（分段函数、二次函数、复合函数），但给出
f[g(x)]
的值< br>域，要求
g(x)
的值域，就在常规题型基础上有所创新，解答这类问题，应利用基本方 法、基本知识来
分析解决问题．
类型三：函数的零点问题
例7．若函数
f (x)?x?kx?4
在区间（1，6）内有零点，求
k
的取值范围．
【答案】
?
4,
2
?
20
?
?

?
3
?
【答案】 二次函数在区间（
x
1
，
x
2
）上有零点，分以下四种情况：
知识必备

考点必考

【解析】
（1）
f(1)?f(6)?0
，解得
5?k ?
20
，如图1
3
?
??0
?
f(1)?0?
?
（2）
?
f(6)?0
，解得
4?k?5
，如图2
?
?
1?
k
?6
?
?2
???0
?
（3）
?
，解得
k?4
，如图3
k
1??6
?
?2
?
f(1)?0
?
f(6)?0< br>??
（4）
?
，解得
k?5
，如图4或5
k7或
?
7k
1????6
?
?22
?
?22综上所述
k
的取值范围是
?
4,
?
20
??
．
3
??
2
【总结升华】二次函数
f(x)?ax ?bx?c
（不妨设
a?0
）在有限的开区间
(x
1
,x< br>2
)
内有零点的
?
??0
?
f(x)?0
?
f(x
1
)?0
?
??0
1
?
?
??
条件是：（1）
f(x
1
)?f(x
2
)?0
（2）
?
f(x
2
)?0
（3）
?
（4）
b
?
b
x
1
?x
2
x???x
x???< br>12
1
?
??
2a
2a2
?
?
b< br>?
x
1
???x
2
?
2a
?
?f(x
2
)?0
?
或
?
x?x

b< br>12
???x
2
?
2a
?
2
举一反三：
【变式1】试讨论函数
f(x)?x?2|x|?a?1(a?R)
的零点个数．
【解析】
2
知识必备

考点必考
2
?< br>?
x?2x,x?0,
由
f(x)?x?2|x|?a?1?0
得x?2|x|?a?1
，令
g(x)?
?
2
h(x)?a?1< br>
?
?
x?2x,x?0,
2
2
g(x),h(x)
的图象如图所示，

g(?2)?g(0)?g(2)?0,g(?1)?g(1)??1
．
当
a?1??1,
即
a??2
时，
g(x)
与
h(x)
无公共点．
当
a?1??1
或
a?1?0
，即
a??2
或
a??1
时，
g(x)
与
h(x)
有两个交点．
当
?1?a?1?0,
即
?2?a??1
时，
g(x)与
h(x)
有四个交点．
当
a?1?0
，即
a??1
时，
g(x)
与
h(x)
有三个交点．
所以，当
a??2
时，函数
f(x)
无零点．
当
a??2
或
a??1
时，函数
f(x)
有两个零点．
当
?2?a??1
时，函数
f(x)
有四个零点．
当
a??1
时，函数
f(x)
有三个零点．
【总结升华】 体现了函数与方程的互相转化，体现了数形结合思想的应用，它对于解决有更多限制
条件的问题提供了一 种新的途径．
?
1
?
1?,x?0
例8．已知
a?R,函数
f
?
x
?
?
?
.
x
?
?
?
a?1
?
x?1,x?0
??
?
上 单调递增； （Ⅰ）证明：函数
f
?
x
?
在
?
0< br>，
（Ⅱ）求函数
f
?
x
?
的零点．
【答案】（Ⅰ）略 ；（Ⅱ）详见解析
【证明】（Ⅰ）在
?
0,??
?
上任取两个实数
x
1
,x
2
,且
x
1
?x
2
,
知识必备

考点必考
则
f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?
?
?
1?
?
?
1
??
1
?< br>11
x?x
?1?
?
12
．
???
??< br>x
1
??
x
2
?
x
2
x
1
x
1
x
2
∵
0?x
1
?x
2
, ∴
x
1
?x
2
?0,x
1
x
2
?0
．
x
1
?x
2
?0
, 即
f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?
?0
. ∴
f
?
x
1
?
?f
?
x
2
?
． ∴
x
1
x
2
∴函数
f
?
x
?
在
?
0,??
?
上单调递增．
（Ⅱ）(ⅰ)当
x?0
时, 令
f
?
x
?
?0
, 即
1?
∴
x ?1
是函数
f
?
x
?
的一个零点．
（ⅱ）当
x?0
时, 令
f
?
x
?
?0
, 即
?
a?1
?
x?1?0
．(※)
①当
a?1
时, 由(※)得
x?
∴
x?
1
?0
, 解得
x?1?0
.
x
1
?0
,
1?a
[
1
是函数
f
?
x
?
的一个零点；
1?a
②当
a?1
时, 方程(※)无解；
1
③当
a?1
时, 由(※)得
x??0
,(不合题意,舍去)
1?a
1
综上, 当
a?1
时, 函数
f
?
x
?
的零点是
1
和；
1?a
当
a?1
时, 函数
f
?
x
?
的零点是
1
．
类型四：函数的综合问题
例9．（1）已知函数
f(x)?ax?2ax?1
在区间[－1，2]上最大值为4，求实数a的值；
（2）已知函数
f(x)?x?2ax ?2
，x∈[－1，1]，求函数
f(x)
的最小值．
【思路点拨】第（1 ）小题中应对二次项系数进行全面讨论，即按a=0，a＞0，a＜0三种情况分析；
第（2）小题中的抛物线开口方向确定，对称轴不稳定．
【答案】（1）－3或
【解析】
（1）
f(x)?a(x?1)?1?a
．
①当a=0时，函数
f(x)
在区间[－1，2]上的值为常数1，不合题意； ②当a＞0时，函数
f(x)
在区间[－1，2]上是增函数，最大值为
f(2) ?8a?1?4
，
a?
2
2
2
3
；（2）略
8
3
；
8
③当a＜0时，函数
f(x)
在区间[ ―1，2]上是减函数，最大值为
f(?1)?1?a?4
，a=―3．
知识必备

考点必考
综上，a的值为－3或
2
3
．
8
22
（2）
f(x)?x?2ax?2?(x?a)?2?a
，对称轴为直 线x=a，且抛物线的开口向上，如下图
所示：

当a≥1时，函数
f(x )
在区间[―1，1]上是减函数，最小值为
f(1)?3?2a
；
当―1 ＜a＜1时，函数
f(x)
在区间[－1，1]上是先减后增，最小值为
f(a)?2 ?a
；
当a≤―1时，函数
f(x)
在区间[―1，1]上是增函数，最小 值为
f(?1)?3?2a
．
【总结升华】 求二次函数在闭区间上的最值的方法是 ：一看抛物线的开口方向；二看对称轴与已
知闭区间的相对位置，作出二次函数相关部分的简图，利用数 形结合方法就可得到问题的解．对于“定
区间、动对称轴”这一类型，依对称轴在定区间左侧、右侧和在 区间内三种情况，运用函数的单调性进
行讨论，即可得到函数的最值．
举一反三：
【变式1】设函数
f(x)?x?2x?2
，x∈[t，t+1]，t∈R，求函数
f (x)
的最小值．
2
2
?
t
2
?2t?2,t? 1
?
【答案】
f(x)?
?
1,0?t?1

?
t
2
?1,t?0
?
【解析】 二次函数是确定的，但定 义域是变化的，依t的大小情况作出对应的图象（抛物线的一
段），从中发现规律．
f(x) ?x
2
?2x?2?(x?1)
2
?1
，x∈[t，t+1]，t∈ R，对称轴为x=1，作出其图象如下图所示：

当t+1＜1，即t＜0时，如上图①，函 数
f(x)
在区间[t，t+1]上为减函数，所以最小值为
f(t?1)?t
2
?1
；
当1≤t+1≤2，即0≤t≤1时，如上图②，最小值为
f(1)?1
；
知识必备

考点必考
当t＞1时，如上图③，函数
f(x)
在区间[t，t+1]上为增函数，所以最小值为
f(t)?t?2t?2
．
2
?
t
2
?2t?2,t?1
?
综上有
f(x) ?
?
1,0?t?1

?
t
2
?1,t?0
?
【总结升华】这里区间是变化的，但整个区间长度为1个单位长度，用运动观点来看，让区间从左< br>向右沿x轴正方向移动，看移动到不同位置时对最值有什么影响．借助图形，可使问题的解决显得直观、< br>清晰．
例10．设a为实数，函数
f(x)?2x?(x?a)|x?a|
．
（1）若
f(0)?1
，求a的取值范围；
（2）求
f(x)
的最小值；
（3）设函数
h(x)?f(x)< br>，x∈（a，+∞），直接写出（不需要给出演算步骤）不等式
h(x)?1
的
解集．
2
?
?2a
2
, a?0
?
【答案】（ 1）（―∞，－1]；（2）
g(a)?
?
2a
2
；（3）略．
, a?0
?
?
3
【解析】（1）因为
f(0)?? a|?a|?1
，所以－a＞0，即a＜0．
由a
2
≥1知a≤―1．因此a的取值范围为（―∞，－1]．
（2）记
f(x)
的最小值为
g(a)
，我们有
?
a
2
2a
2
, x?a
①
?
3(x?)?

f(x)?2x
2
?(x?a )|x?a|?
?
33
?
(x?a)
2
?2a
2< br>, x?a
②
?
2
（i）当a≥0时，
f(? a)??2a
，由①②知
f(x)??2a
，此时
g(a)??2a
．
22
2
2
2
a
．若x＞a，则由①知
f(x) ?a
2
；若x≤a，则x+a≤2a＜0，由②
33
2
2
2
22
知
f(x)?2a?a
．此时
g(a)?a
．
33
（ii）当a＜0时，
f()?
a
3
?
?2a
2
, a?0
?
综上得
g(a)?
?
2a
2
．
, a?0
?
3
?
（3）（i）当
a?(??,?< br>62
][,??)
时，解集为（a，+∞）；
22
知识必备

考点必考
?
a?3?2a
2
?
?
22
?
,??
?
； （ii）当
a?
?
?
时，解集为
?
,
?
?
?
3
?
?
2 2
?
??
?
a?3?2a
2
?
62
?a,
（iii）当
a?
?
?
?
2
,?
2
?
?
时，解集为
?
?
3
??
?
?
?
?
?
?
a?3?2a
2
?
,???
．
?
?
3
?
??
类型五：函数的实际应用
【高清课堂：函数模型的应用实例392115 例3】
例11．提高过江大桥的车辆通行能 力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下，大桥上的车流
速度
v
（单位：千米小时 ）是车流密度
x
（单位：辆千米）的函数．当桥上的的车流密度达到200辆
千米时， 造成堵塞，此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆千米时，车流速度为60千米小时，
研究表明； 当
20?x?200
时，车流速度
v
是车流密度
x
的一次函 数．
（Ⅰ）当
20?x?200
时，求函数
v(x)
的表达式；
（Ⅱ）当车流密度
x
为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观点的车辆数，单位： 辆每小时）
f(x)?xv(x)
可以达到最大，并求出最大值（精确到1辆小时）
【思路点拨】
首先应根据题意，建立车密度
x
与车流速度
v
之间的函 数关系，然后再转化
为求函数的最大值问题。求解本题的关键是建立目标函数及求最值的方法,配方法是 求二次
函数最值的常用方法，同学们一定要熟练掌握。
?
60,0?x?20,?
【答案】（Ⅰ）
v(x)?
?
1
（Ⅱ）100 3333
(200?x),20?x?200
?
?
3
【解析】
（Ⅰ ）由题意：当
0?x?20时，v(x)?60
；当
20?x?200时,设v(x) ?ax?b



1
?
a??
?
?
200a?b?0,
?
3
解得
?
再由已知得
?

?
20a?b?60,
?
b?
200
?
3
?
?
60,0?x?20,
?
故函数
v(x)
的表达式为< br>v(x)?
?
1

(200?x),20?x?200
??
3
?
60x,0?x?20,
?
（Ⅱ）依题意并由（Ⅰ）可得
f(x)?
?
1

x(200?x),20?x?200
?
?
3
当
0?x? 20时，f(x)
为增函数，故当
x?20
时，其最大值为60×20=1200；
1110000
2
当
20?x?200时
，
f(x)?x(200?x)??(x?100)?

333
10000
所以，当
x?100
时，
f(x)
在区间[20，200]上取得最大值
3
10000
综上，当
x?100
时，
f(x)
在区间[0，200]上取得最大值
?3333
．
3
即当车流密度为100辆千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆小时．
知识必备

考点必考
举一反三：
【变式1】某公司以每吨10万元的 价格销售某种化工品，每年可售出1000吨，若将该产品每吨的
价格上涨
x%
，则每 年的销售量将减少
mx%(m?0)
。
1
时，求销售额的最大值；
2
（2）如果涨价能使销售额增加，求
m
的取值范围。
（1）当< br>m?
【思路点拨】本题的关键是根据题意列出函数关系式，然后利用配方法求函数的最大值．
【答案】（1）
11250万元；（2）
（0，1）
x
)(1000?10mx)

10
100
??mx
2
?100(1?m)x?10000

(0?x?)

m
1
2
1
（1）当
m?
时，
y??x?50x?10000

2
2
1
2

??(x?50)?11250
(0?x?200)

2
∴
x?50
时销售额最大，最大值为11250万元。
【解析】销售总额
y?(10?
（2）
涨价能使销售额增加也就是当
x?0
时，
y?10000
即
?mx
2
?100(1?m)x?0

亦即
?mx?100(1?m)?0

100(1?m)
?x?0
，解得
0?m?1

m
∴
m
的取值范围是（0，1）
∴






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