高中数学必修1 幂函数新旧教材的对比

幂函数新旧教材的对比


旧教材：幂函数
y?x
?
(
?
?Q)
，
?
的情况比较复杂，
?
=0 ，1
正偶数，正奇
数，负奇数，负偶数正分数，负分数，其中还包括分母为奇数，分子为偶数； 分
子为奇数，分母为偶数；分子分母均为奇数，综合起来从函数的图像来分类有九
种情况：

?
的变化繁多，学生学习起来难度较大，最终从教材中删减。
对于函数的 奇偶性最早的教材中是作为一个单独的知识点学习的，是先给出
定义，根据定义通过具体函数的性质研究 得到函数奇偶性的相关性质。后来教材
改革把函数的奇偶性的学习放在了三角函数的学习当中，依然是先 给出定义，然
后通过三角函数的学习研究得到函数奇偶性的相关性质。但是由于函数的奇偶性
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在研究当中会给问题的研究带来很大的方便，从另外一个角度来说，早晚 要学习
这个内容而且这个内容的学习对学生不困难，有些老师也有把这个内容提前学
习，放在函 数性质研究中进行，从现在的新教材来看这种选择是正确的。
新教材：此次新课改革，幂函数又被重新 编入教材，名称改为简单的幂函数
（课时为一课时）。教材考虑到学生已有的数学知识基础只从
y?x,y?x
?1
,y?x
2
等指数是整数的情况引入幂函数
y? x
?
(
?
为常数)
而把
?
是实数的情况放在今后< br>的学习当中。对幂函数的教学目标定格为：了解指数是整数的简单幂函数的概念。
通过研究简单的 幂函数的图像和性质，发挥图形在数学学习中的作用，挖掘函数
图形对函数概念的性质的理解以及数学思 考的辅助功能。教材重在对简单幂函数
图像的观察，着重从对称的角度引出函数的奇偶性。教学目标要求 通过学习使学
生会利用定义证明简单函数的奇偶性，了解利用奇偶性画函数图像的的方法，培
养 学生从特殊归纳出一般的意识，学会利用图像研究函数奇偶性等能力。课程标
准明确规定了对幂函数教学 的原则：通过实例，了解幂函数的概念。结合函数
1
1
?1
y?x,y?x, y?x,y??x,y=x
2
,
的图像，了解它们的变化情况，了解奇偶性
x
23
的含义。习题不可搞得过分。
对新教材安排的理解：人类对量的认识是从常量、 等量开始的，但是事物是
变化的，是在等与不等的对立统一中发展的，而函数就反映了人们的认识的一次
重大飞跃：研究两个量依赖中的变化，研究它们的等与不等，所以数学是人类认
识世界，改造世 界的重要工具。虽然幂函数本身情况比较繁杂，但是从培养学生
的数学思维品质和能力来说，从让学生通 过简单的幂函数的研究，对学生体会研
究函数加深学生对函数的理解很有必要。函数的奇偶性无论怎么改 教材，它在研
究函数问题时所起到的作用是无可替代的。

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简单幂函数教案
1．教学目标
知识目标：（1）掌握幂函数的形式特征，掌握简单幂函数的图像和性质。
（2）通过简单幂函数的图像了解函数奇偶性的概念。
能力目标：培养学生发现问题，分析问题，解决问题的能力。
情感目标：（1）加深学生对研究函数性质的基本方法和流程的经验。
（2）渗透辨证维物主 义观点和方法论，培养学生运用具体问题具
体分析的方法分析问题、解决问题的能力。
（3）
体会幂函数的变化规律及蕴含其中的对称性．

2．教学重点：从具 体函数归纳认识幂函数的概念以及简单幂函数的一些性质；
利用一些简单幂函数的图像引出函数奇偶性的 概念。
教学难点：引导学生概括出简单幂函数的性质；函数奇偶性的
引出；体会图像的变化规 律
．

3．教学方法和教学手段：探索发现法。
4．教学过程：
（一）问题情境
方案（一）
问题：写出下列y关于x的函数解析式：
①正方形边长x、面积y
②正方体棱长x、体积y
③正方形面积x、边长y
④某人骑车x秒内匀速前进了1m,骑车速度为y
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①
y?x
②
y?x
③
y?x
④
y?x
?1

方案（二）
问题：（I）
y?ax(a?0)当a?1时?y?x


23
1
2

（2）
y?ax
2
(a?0)当a?1时?y?x
2



（3）
y?
k
(k?0)
当
k?1时?y?x
?1

x


师：观察这些函数从形式上有什么共同特点？
生：x为底数，指数为常数
（二）新知探究
1.幂函数的定义：形如
y?x
?
(
?< br>为常数)
的函数叫做幂函数。
说明：只有这种形式的函数才叫做幂函数，这种形式是幂函数的标准形式。
2.实践理解：下列函数哪些是幂函数？
（1）
y?2x
（2）
y?
1
2
?2
x
（3）
y?x
3
（4）
y?

2x
小结：一个函数 是否是幂函数，要看这个函数的解析式是否符合幂函数的标
准形式。幂函数的幂指数不仅仅可以去整数和 分数，也可以取其它的实数，这些
情况会在今后的学习中慢慢接触到，我们目前只要掌握指数为整数的简 单的幂函
数的图像及性质，了解研究幂函数的方法即可。
3，探索简单幂函数的图形及性质
师；请同学们思考，我们目前研究函数一般从哪些方面入手？
生：我们目前研究函数一般是从 函数的定义域、值域、图像、单调性这几个
方面对函数进行研究。
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师：我们现在讨论问题中的那几个幂函数的性质。（学生说，教师板书）
师：实践理解中我们判断
y?x
3
是幂函数，我们可以作出它的函数图像吗？
动动手：做出
y?x
3
的函数图像。
师：整数是怎么分类的？
生：正整数、负整数。
师：还可以怎样细分？
生：正负奇数、正负偶数。
师：指数如果取4、6………的时候可以分别得到哪些幂函数？它们具有哪
些性质？与幂函数
y?x
2
之间什么关系？当指数分别取3、5…….的时候分别得
到哪些幂函数？它们 具有哪些性质？与幂函数
y?x
3
之间有哪些性质？当指数
取-1、-3.. ..呢？当指数取-2、-4....呢？
师：请同学们仔细观察，指数为偶数时图像有什么特点？当指数为奇数时有
什么特点？
学生观察，师生共同归纳小结：幂指数是偶数时图像关于
y轴
对称；幂指数
是奇数时 图像关于原点对称。
4.函数奇偶性的学习
（1）定义：一般地，图像关于原点对称的函数 叫奇函数。在奇函数
f(x)
中，
f(x)
和
f(?x)
的 绝对值相等，符号相反，即
f(x)
=-
f(?x)
，反之，满足
f (?x)??f(x)
的函数
y?f(x)
一定是奇函数；图像关于
y轴对称的函数叫偶函
数。在偶函数
y?f(x)
中，
f(?x)和f(?x )
的值相等，即
f(?x)?f(x)
，反之，
满足
f(?x)? f(x)
的函数
y?f(x)
一定是偶函数。
当函数
y?f(x)
是奇函数或偶函数时，称函数具有奇偶性。
师：请同学们思考在实际问题解决当中，如何判断给定的函数的奇偶性？
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小结：（1）判断函数的奇偶性可以通过函数图像的对称性。
（2）还可以考察
?x与x
的函数值的关系。
实践与思考:
例2：判断下列函数的奇偶性
（1）
f(x)??2x
5
（2）
f(x)?x
4
?2
（3）
f(x)?x
2
(?1?x?1)

小结：判断函数的奇偶性首先要考虑函数的定义域是否对称。
生生互动：请同学们进行P49页动手实践活动，并与同桌交换实践结果，思
考实践心得。
（三）课堂小结；
通过这堂课你学到了什么？掌握了那些数学方法？你体会研究函数时
的快捷方式是什么？
小结：内容 幂函数的概念，简单幂函数及其性质
数学方法 数形结合 分类讨论 类比

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