最新人教版高中数学选修2-2第一章《定积分的概念》教材梳理

庖丁巧解牛
知识·巧学
一、曲边梯形的面积
1.曲边梯形
我们把直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形.
2.曲边梯形面积的算法
把区间［a,b］分成许多小区间,进而把曲边梯形拆分为一些小曲 边梯形,每个小曲边梯形“以
直代曲”,即用矩形的面积近似替代小曲边梯形的面积,得到每个小曲边梯 形面积的近似值,对
这些近似值求和,就得到曲边梯形面积的近似值.
方法点拨 拆 分越来越细,近似程度就会越来越好,即用划归为计算矩形面积和逼近的思
想方法求出曲边梯形的面积.
3.求曲边梯形面积的步骤
b?ab?a2(b?a)
］,［a+,a+］,…,< br>nnn
(n?1)(b?a)(i?1)(b?a)i(b?a)
［a+,b］.第i个 区间为［a+,a+］.
nnn
(1)分割:将［a,b］等分成n个小区间:［a,a+< br>分别过n个小区间的端点作y轴的平行线将曲边梯形分成n个小曲边梯形,每个小曲边梯形
的面积 记作ΔS
1
、ΔS
2
,…,ΔS
n
.S=
n
?
?S
i?1
i
.
(2)近似代替:当Δx很小时,可用小矩形 的面积ΔS
i
′近似地代替ΔS
i
,
即ΔS
i
≈ ΔS
i
′=f［a+
n
(i?1)(b?a)
］Δx.
n
i
n??
n
(3)求和:S
n
=
?
?S< br>?
.(4)取极限:S=
limS
i?1
?lim
?
?S
i
?
.
n??
i?1
n
深化升华 ①近似代替时,用第i个小区间左端点对应的函数值与Δx相乘求出的为不足
近似值.用右端点对应的函 数值与Δx相乘求出的为过剩近似值;当n→∞时这两种取法求得的
曲面面积是相同的,实质上只要取区 间［a+
(i?1)(b?a)i(b?a)
,a+］内任何一点对应的函
nn
数值计算小曲面的面积,只要n→∞,求得的结果都一样.
②求和时首先可提公因式
1
,再将和进行处理,算出S
n
.
n
③取极限时注意n→∞.
二、汽车行驶的路程
一般地,如果物体做变速 直线运动,速度函数为v=v(t),那么我们可以采用分割、近似代替、求
和、取极限的方法,求出它 在a≤t≤b内所做的位移s.
方法点拨 其解决的方法与求曲边梯形面积类似,我们采取“ 以不变代变”的方法,把求变
速直线运动的路程问题,化归为求匀速直线运动的路程问题.
三、定积分的概念
1.定积分的概念
如果函数f(x)在区间［a,b］上连续, 用分点a=x
0
1
<…i
-1i<…n
=b,将区间［a,b］等分成
n个小区间,在每个小区间［x
i
-1,x
i
］上任取一点ξ
i
(i=1,2,…,n),作和式

x=
?
f(
?
)?x?
?
i
i?1i?1
nn
b?a
f(ξ
i
),当n→∞时,上 述和式无限接近于某个常数,这个常数叫做函数
n
f(x)在区间［a,b］上的定积分,记作
?
b
a
f(x)dx
,即
?
f(x)dx?
?
a
i?1
b
n
b?a
f(
?
i
)
.这里a与b分
n
别叫做积分下限和积分上限,区间［a,b］叫做积分区间,函 数f(x)叫做被积函数,x叫做积分变
量,f(x)dx叫做被积式.
疑点突破 ①定积分是一种“和”的极限.在定积分的定义中,含着分割、近似代替、求和、
取极限这种解决问题的 思想.这种思想方法来源于“计算底在区间［a,b］上,高为y=f(x)的曲边
梯形的面积”等问题 .
②定积分上限和下限之间的关系.
在定义中假设ab时,不难验证
?
a
a
f(x)dx
=0,
?
f(x)dx
=
?
?
f(x)dx
.
ab
ba
③定积分的值 仅与被积函数f(x)及积分区间［a,b］有关,与积分变量用什么字母无关.
④定积分
?
b
a
f(x)dx
存在的必要条件是函数f(x)在区间［a,b］上有界. 因此,当函数f(x)在区间
［a,b］上无界时,定积分
⑤定积分是一个常数.
?
b
a
f(x)dx
是不存在的.
bb
因为定积 分是一种“和”的极限值,所以是一个常数,因此,(
2.定积分的几何意义
?
a< br>f(x)dx
)′=0,d
?
f(x)dx
=0.
a

图1-5-1
当函数f(x)在区间［a,b］上恒为正时,定积分< br>?
b
a
f(x)dx
的几何意义是以曲线f(x)为曲边的曲
b
a
边梯形的面积.一般情况下(如图1-5-1),定积分
?
f(x)dx
的几何意义是介于x轴、函数f(x)
的图象以及直线x=a、x=b之间各部分面积的代数和 ,在x轴上方的面积取正号;在x轴下方
的面积取负号.
3.定积分的性质
由定积分的定义,可得到定积分的如下性质:
(1)
(2)
(3)
?
b
a
b
kf(x)dx
=k
?
f(x)dx(k为常数).
a
b
?
a
b
[f
1
(x)?f
2
(x)]dx?
?
f
1
(x)dx?
?
f
2
(x)dx
.
aa
bb
?
af(x)dx?
?
f(x)dx?
?
f(x)dx

ac
cb

深化升华 不论a,b,c三点的相互位置如何,恒有
一性质表明定积分对于积分区间具有可加性.
知识拓展 性质4.若在区间［a,b］上,f(x)≥0,则
推论1.若在区间［a,b］上,f(x )≤g(x),则
?
b
a
f(x)dx?
?
f(x)dx ?
?
f(x)dx
.这
ac
cb
?
b
a< br>f(x)dx
≥0.
?
b
a
f(x)dx
≤
?
g(x)dx
.
a
b
推论2.|
?
b
a
f(x)dx
|≤
?
|f(x)|dx
.
a
b
性质5.(估值定理)设函数 f(x)在区间［a,b］上的最小值与最大值分别为m与M,则
m(b-a)≤
?
b
a
f(x)dx
≤M(b-a).
bb
证明:因为m≤f(x)≤M,由性质4的推论1得
?
b
a< br>mdx
≤
?
f(x)dx
≤
?
Mdx
, < br>aa
即m
?
b
a
dx
≤
?
f(x) dx
≤M
?
dx
.
a
b
b
a
故 m(b-a)≤
?
b
a
f(x)dx
≤M(b-a).
利用这个性质,由被积函数在积分区间上的最小值及最大值,可以估计出积分值的大致范围.
问题·探究
问题1 火箭发射后t s的速度为v(t),假定0≤t≤10,对函数v(t )按f(x
1
)Δx+f(x
2
)Δx+…+f(x
n
)Δ x式
所作的和具有怎样的实际意义?
思路:本题考查“近似代替”“无限细分”和“无穷积累”的数学思想方法.
探究:将区间［ 0,10］等分成n个小区间,每个小区间的长度为Δt,在每个小区间上取一点,依次
为t
1
,t
2
,…,t
i
,…,t
n
,虽然火箭的速度不 是常数,但在一个小区间内其变化很小,所以可以用v(t
1
)来
代替火箭在第一个小 区间上的速度,这样v(t
1
)Δt≈火箭在第一个时段内运行的路程;同
理,v(t
2
)Δt≈火箭在第二个时段内运行的路程,从而S
n
=v(t
1< br>)Δt+v(t
2
)Δt+…+v(t
n
)Δt≈火箭在10 s
内运行的总路程.
这就是函数v(t)在时间区间［0,10］上按f(x
1)Δx+f(x
2
)Δx+…+f(x
n
)Δx所作的和的实际背景.
当Δt无限趋近于0,S
n
就是无限趋近于火箭在10 s内所运行的总路程.
问题2 定积分的几何意义是什么?
思路:利用定积分的定义,先分割,再近似代替,然后作和,求出极限即得所求.
探究:从几 何上看,如果在区间［a,b］上函数f(x)连续且恒有f(x)≥0,那么定积分
?
ba
f(x)dx
表
示由直线x=a,x=b(a≠b),y=0和曲线y=f(x )所围成的曲边梯形的面积.这就是定积分
的几何意义.
典题·热题
例
l im
n
(1?)?(1?)
?
(1?)
=____________ _____.
n??
?
b
a
f(x)dx
1
n< br>2
2
n
2
n
n
2

思路解析:
lim
n
(1?)?(1?)
?
(1?)

n??
1
n
i
lim
n
?
ln(1?)
2
n??
i?1
n
1
n
2
2
n
2
n
n
2
=
e
=
e

=
e

2
?
1
2
lnxdx
1
n
i
li m
n
?
2ln(1?)
n??
i?1
n

答案:e
e
2
?
1
2
lnxdx
例2用定积分的定 义求出由y=3x,x=0,x=1,y=0围成的图形的面积.
思路分析:利用定积分的定义,先分割,再近似代替,然后作和,求出极限即得面积.
解:( 1)分割:把区间［0,1］等分成n个小区间［
i?1i1
,
］(i=1,2,…n ).其长度为Δx=,把曲边
nnn
代替小曲边梯形面
梯形分成n个小曲边梯形,其面 积记为ΔS
i
(i=1,2,…n).
(2)近似代替:用小矩形面积
积, ΔS
i
=f(
(3)作和:
i?1i?113
)Δx=3·
·=
2
(i-1),(i=1,2,…n).
nn
n
n
n n
?
?S
i
?
?
i?1i?1
n
n??< br>3n?1
33
?
［1+2+…+(n-1)］=.
(i?1)?2n
n
2
n
2
(4)求极限:S=
lim
?< br>n
i?1
33n?13
(i?1)?lim??
.
2
n??
2n2
深化升华 本题考查的是用定积分的方法求面积,用 定积分的定义求面积是定积分的一
个应用方式,也是定积分产生的源泉.通常的做法就是将图形分成一些 非常小的图形,然后求
出这些小图形面积的和,最后再求极限.
例3已知某运动的物体做变速 直线运动,它的速度v是时间t的函数v(t),求物体在t=0到t=t
0
这段时间内所经过 的路程s.
思路分析:利用定积分的定义,先分割,再近似代替,然后作和,求出极限即得路程. < br>解:(1)分割:将时间区间［0,t
0
］分成n等份:［
i?1i
t
0
,
t
0
］(i=1,2,…,n),每个小区间所表示的
nn
时间为Δt=
t
0
;各区间物体运动的距离记作Δs
i
(i=1,2,…,n).
n
(2)近似代替:在每个小区间上以匀速直线运动的路程近似代 替变速直线运动的距离.在小区
间［
i?1i
t
0
,t
0< br>］上任取一时刻ξ
i
(i=1,2,…,n).用时刻ξ
i
的速度v( ξ
i
)近似代替第i个小区间
nn
上的速度.由匀速直线运动的路程公式,每 个小区间上物体运动所经过的距离可以近似地表示
为Δs
i
≈v(ξ
i
)Δt(i=1,2,…,n).
(3)求和:因为每个小区间上物体运动的距离可以用这一区间上 做匀速直线运动的路程近似代
替,所以在时间［0,t
0
］内物体运动的距离s,就可 以用这一物体分别在n个小区间上作n个匀
速直线运动的路程和近似代替,即s=
?
? S?
?
v(
?
)?t
.
ii
i?1i?1
nn

n
t
0< br>(4)求极限:当所分时间区间越短,即Δt=越小时,
?
v(
?
i< br>)?t
的值越接近于s.因此,当n→∞,
n
i?1
n
t0
即Δt=
→0时,
?
v(
?
i
)?t
的极限,就是所求的物体在时间区间［0,t
0
］上经过的路程.由此
n
i ?1
n
得到s=
lim
n??
?
v(
?
) ?t
.
i
i?1
n??
深化升华 s=
lim< br>?
v(
?
)?t
为做变速直线运动的物体在［0,t］这段时间内所运 动的路
i
0
n
i?1
n
i?1ii?1
i?1t
0
,t
0
］上的任意值,取ξ
i
=程,其中ξ
i
为区间［t
0
时,s=
lim
?
v(t
0)?t
;
n??
nn
n
n
i?1
n
(i?1)t
0
it
0
t
0
i
i
取ξi
=t
0
时,s=
lim
?
v(t
0
)?t
;取ξ
i
=
??
n??
n
n
nnn
i?1
n
(i?1)i
时,
s=
lim
n??< br>?
v[
i?1
t
0
i(i?1)]?t
.当物体做匀 速直线运动时,上面的结论仍成立.
n
1
例4利用定积分的几何意义,说明下列等式.
(1)
?
1
0
2xdx
=1;(2)
?
1?x
2
dx?< br>?1
?
2
.
思路分析:定积分的几何意义是指曲边梯形的面积,只要 理解被积函数和积分极限的意义,并
作出图形,即可得到解决.
解:(1)如图1-5-2,
积,
由S
Δ
=
1
1
×2×1=1,故
?
2xdx
=1.
0
2
?2xdx
表示由曲线y=2x,直线x=0,x=1,y=0所围成的图形(直角三角形)的面0
1
(2)如图1-5-3,
?
1
?1
1?x
2
dx
表示圆x
2
+y
2
=1在第一、二象限的上半圆的面 积.
1
?
?
2
由S
半圆
=,又在x轴上方,故< br>?
1?xdx?
.
?1
2
2

图1-5-2 图1-5-3
例5利用定积分计算

?
2
0
x
3
dx
的值.
思路分析:令f(x)=x
3
,按分割、近似代替、作和、求极限四步求解.

解:令f(x)=x
3
.
?
2
0
xdx
≈
?
f(a?
3
i?1
n
2?i
2
)
·
n
n
4
3
2n
3
16
3
2
n
2i
3
22
3333
=?
()
=
[()?()???()]?
4
[1?2?3???n ]

nnnn
n
n
i?1
n
44(n?1)
2
2
?
2
?(n?1)?

nn
2
取极 限
?
2
0
4(n?1)
2
=4.
xdx
=
lim
2
n??
n
3
误区警示 将区间［0,2］分成n个小区间,每个区间长为
2
,并且第i个区间是
n
2(i?1)2i1
,
］,习惯上按计算ξ.
nnn
?
1
dx
的值. 例6估计定积分
?
3［
0
2?sin
2
x
思路分析:首先计算出被积函数在给定区间 上的最大值和最小值,然后利用估值定理求解.
解:∵当x∈［0,π］时,0≤sinx≤1,∴0≤
sin
x≤1,
因 此有2≤2+
sin
x≤3,
3
2
3
2
1
≤
3
?
1
2?sinx
1
2?sinx
3
2
3
2
≤
1
,
2
于是由估值定理有

?
3
?
?
0
dx?
?
2
.