最新人教版高中数学选修1-1《导数的概念》教材梳理

庖丁巧解牛
知识·巧学
一、函数的平均变化率、瞬时变化率 1.对于函数y=f(x)，我们把式子
f(x
2
)?f(x
2
)

x
1
?x
2
f(x
1
)?f(x2
)
.
x
1
?x
2
?y
.
?x
称为函数y=f(x)从x
1
到x
2
的平均变化率，这种变化率 还可以写成
习惯上用Δx表示x
2
-x
1
，即Δx= x
2
-x
1
.可把Δx看作相对于x
1
的一个“增量”，可用x
1
+Δx代
替x
2
；类似的，Δy=f（x
2
）-f（x< br>1
）.于是函数y=f(x)从x
1
到x
2
的平均变化率可以 表示为
显然函数的平均变化率的几何意义是过（x
1
，f（x
1
）） 、（x
2
，f（x
2
））两点的斜率.
误区警示
?y
中Δx、Δy的值可正、可负，但Δx的值不能为0，Δy的值可以为0.Δx
?x?y?y
f(x??x)?f(x)
→m（常数）即
=
?x?x
?x
是一个整体符号，而不是Δ与x相乘，Δy也如此.
2.瞬时变化率：当Δx→0时，
→m（常数）
求瞬时变化率的一般步骤：求函数y =f(x)的增量Δy=f（x+Δx）-f（x）；求函数y=f(x)的平均
变化率
?y? y
；求函数y=f(x)的瞬时变化率，当Δx→0时，
→（常数).
?x?x
二,函数y=f(x)在x=x
0
处的导数
一般地，函数y=f(x)在x=x
0
处的瞬时变化率是
?r?0
lim
f(x
0
??x)?f(x
0
)
?f
=lim
，我们称它为函数y=f(x)在x=x
0
处的导数.记作f′(x)或
?r?0
?x
?x
?f
存在则称y=f(x)在x=x
0< br>处可导
?r?0
?x
y′|
x
=x
0
. < br>函数y=f(x)在x=x
0
处的导数的概念包括两层含义：①
lim
并且导数即为极限值；
②
lim
?f
不存在则称y=f(x)在x=x0
处不可导.
?r?0
?x
?y
；
?x
由 导数的定义知，求函数y=f(x)在x
0
处的导数的步骤：求函数y=f(x)的增量Δy= f（x+Δx）
-f（x）；求函数y=f(x)平均变化率
取函数y=f(x)平均变化率< br>?y
的极限，得导数f′(x).
?x
深化升华 Δx称为自变量的增量，Δx可正可负，但不能为0.
令x=x
0
+Δx,得Δx= x-x
0
.于是f′(x
0
)=
x?x
0
lim< br>f(x)?f(x
0
)
x?x
0
与定义中的
f′(x
0
)=
lim
x?x
0
f(x
0
??x) ?f(x
0
)
意义相同.
?x
问题·探究

问题 试举例说明平均变化率、瞬时变化率与导数的概念之间的关系.例如：物体自由落 体的
运动方程是s=s(t)=
1
2
gt.其中位移单位是m,时间单位是s ,g=9.8 ms
2
.怎样求物体在t=3这一
2
时刻的速度呢?
探究：物体在t=3临近时间间隔内的平均速度可以看作物体在t=3这一时刻速度的近似值.
取一小 段时间［3,3+Δt］,物体的位置改变量Δs=
11
g(3+Δt)
2
- g·3
2
=g2
22
g
(6??t)?t
?s
2
g
(6+Δt)Δt,相应的平均速度
v???
(6+Δt).
?t?t2
当Δt=1时
v
=3.5g；当Δt=0.1时,
v= 3.05g；当Δt=0.01时,
v
=3.005g；……当这段时间很短,也就是Δt很小 时,这个平均速度就
接近时刻t的速度,Δt越小,v就越接近时刻t的速度,当Δt→0时,这个平均 速度的极限
?sg
?lim
(6+Δt)=3g=29.4(ms)就是物体在t=3 这一时刻的速度,也叫做瞬时速度.
?t?0
?t
?t?0
2
?s
?s
由以上例子可以看出,平均速度
v?
,在某一时刻的瞬时速度为
lim

?t?0
?t
?t
v=
lim
就是在该时刻的导数. 对任一函数f(x)来说在x
0
到x
0
+Δx的平均变化率为
. 瞬时变化率为
lim
f(x
0
??x)?f(x
0
)

?x
f(x
0
??x)?f(x
0
)
. ?r?0
?x
f(x
0
??x)?f(x
0
)
在x=x
0
处的导数为f′(x
0
)=
lim
.
?r?0
?x
典题·热题
例1如果一个质点从定点A开始运动,在时间t的 位移函数为y=f(t)=t
3
+3.
(1)当t
1
=4且Δt= 0.01时,求Δy和
(2)当t
1
=4时,求
lim
?y
.
?t
?y
的值.
?t?0
?x
思路分析：主要利用Δ y=f(t
0
+Δt)-f(t
0
).
解：(1)Δy=f(4+ Δt)-f(4)=(4+Δt)
3
+3-4
3
-3=Δt
3
+48Δt+12Δt
2

=(0.01)
3
+48(0.01) +12(0.01)
2
=0.481 201.
?y0.481201
?
=48.120 1.
?t0.01
?y
(2)当Δt=0.001时,=48.012 01,
?t
?y
当Δt=0.000 1时,=48.001 201.
?t
?y
所以当Δt→0时
lim
=48.
?t?0
?t
∴
方法归纳 平均变化率指函数值的增量与自变量的增量的比,即

?y
,而瞬时速度指平均变化率的极限,两者应区别开.
?t
例2在自行车比赛中,运动员的位移与比赛时间t存在函数关系s=10t+5t
2
(s的单 位：m,t的单
位：s),求:
(1)t=20,Δt=0.1时的Δs与
?s
；
?t
(2)求t=20时的速度.
思路分析：主要利用平均变化率与瞬时速度的求法 .Δs=s(20+Δt)-s(20)代入s=10t+5t
2
.
解：Δs=s( 20+Δt)-s(20)=10(20+0.1)+5(20+0.1)
2
-10×20-5 ×20
2

=1+20+5×0.01=21.05.
∴
?s21.05
?
=210.5.
?t0.1
(2)由导数的定义,在t=20时的瞬时速度即为
?s10(t??t )?5(t??t)
2
?10t?5t
2
?lim
v=
li m

?t?0
?t
?t?0
?t
?t
2
? 10t?t?10?t
?lim
=
lim
(Δt+10t+10)=10×2 1=210(m).
?t?0
?t?0
?t
例3 (1)已知质点运动方程 是s(t)=
1
2
gt+2t-1,求质点在t=4时的瞬时速度,其中s的单位是m ,t
2
的单位是s.
(2)已知某质点的运动方程是s(t)=3t
2-2t+1,求质点在t=10时的①瞬时速度；②动能(设物体的
质量为m).
思路分析：瞬时速度是路程对时间的变化率,而动能=
解：(1)质点在t=4时的瞬时速度为
1
2
mv.
2
11
g(4??t)
2
? 2(4??t)?1?g?4
2
?2?4?1
s(4??t)?s(t)
2< br>v
(t=4)
?lim

?lim
2
?t?0?t? 0
?t?t
1
g?t
2
?4g?t?2?t
1
?l im
2
?lim
(
gΔt+4g+2)4g+2.
?t?0?t? 0
2
?t
所以质点在t=4时的瞬时速度为4g+2(ms).
(2)质点在t=10时的瞬时速度,
v
(t=10)
s(10??t) ?s(10)3(10??t)
2
?2(10??t)?1?3?10
2
?2 ?10?1

?lim?lim
?t?0?t?0
?t?t
?lim
3?t?58?t
?lim
(3Δt+58)=58.
?t?0?t?0< br>?t
1
2
1
mv=m×58
2
=1 682m(J).
22
所以质点在t=10时的瞬时速度为v=58(ms),所以质点在t =10时的动能为
u=
拓展延伸 瞬时速度是路程对时间的变化率,某时刻的瞬时速度就是路程在某时刻的导

数,加速度是速度的导数,动量是动能的导数.
此级HS4的大图若接排前加，若另面则不加