【校本教材】高中数学校本课程---数学文化

【高中数学校本课程】
数学文化
目 录

总体规划…………………………………………………………
课程实施…………………………………………………………
第一节 有趣的数学谜语………………………………………
第二节 鸡兔同笼问题…………………………………………
第三节 九宫图的应用…………………………………………
第四节 大衍求一术……………………………………………
第五节 让梨游戏………………………………………………
第六节 幻方与魔阵……………………………………………
第七节 数学中的简单逻辑推理问题…………………………
第八节 欺骗眼睛的几何问题…………………………………
第九节 抽屉原理的简单应用…………………………………
第十节 帕斯卡三角形与道路问题…………………………
第十一节 数 独………………………………………………

第二部分 课程实施

实施对象：高二学生
实施时间：校本选修课2
实施步骤：
分四步：1）自行研读，思考
2）合作探究、推理
3）老师指导、解答
4）创新运用、提高
实施计划：

拟在高二实施，共需18课时。高二年级每周2课时。
课时安排：
第一节 有趣的数学谜语………………………………………2课时
第二节 鸡兔同笼问题…………………………………………1课时
第三节 九宫图的应用…………………………………………1课时
第四节 大衍求一术……………………………………………2课时
第五节 让梨游戏………………………………………………1课时
第六节 幻方与魔阵……………………………………………2课时
第七节 数学中的简单逻辑推理问题…………………………1课时
第八节 欺骗眼睛的几何问题…………………………………2课时
第九节 抽屉原理的简单应用…………………………………2课时
第十节 帕斯卡三角形与道路问题……………………………1课时
第十一节 数 独………………………………………………2课时
体会与反思………………………………………………………1课时
评价与考核
本课程采用考核与考试相结合的评价方式。
作业：结合课本知识及相关内容，以作业形式，考 查学生的解决问题的能力，以了解学

生对该校本课程的掌握。
学习反思与体会 ：由学生撰写学习反思与体会，以评价学生的思辨能力和表达能力。了
解学生对该校本课程的接受程度， 对下期教学进行必要的改进。


第一节 有趣的数学谜语

猜谜是一种非常有趣有益的智力活动，猜谜语也是锻炼思维能力的一种好方法。听了谜
语以后，就会动脑 筋想：这说的是什么东西呢？“思源于疑”，“疑”是思维的开始,是创造的
基础，大家觉得是不是呢？ 今天我们就来猜谜语！
先看几个简单例子：
1．一加一不是二。（打一字）
“一”字、加号“＋”、再来一个“一”字，组合在一起，得到的字不是“二”，而是
“王 ”。谜底是王。
2．一减一不是零。（打一字）
“一”字、减号“-”、再来一个 “一”字，组合在一起，得到的字不是“零”，而是“三”。
谜底是三。
3．八分之七。（打一成语）
“八分之七”用数学符号写出来，把数字7写在分数线上面，8写在 分数线下面，谜底
是成语“七上八下”。
在上面这些谜语里，用一些很简单的数学知识，对谜 语的文字作出新的理解，可以帮助
猜出答案。
另外一类谜语，谜底是数学名词。还是来看几个例子：
4．七六五四三二一。（打一数学名词）
平常报数目，是从小到大顺着数，就像流行歌曲里唱的，“一二三四五六七，我的朋友
在哪 里”。现在他说“七六五四三二一”，是从大到小，倒过来数了，所以谜底是“倒数”。
5．讨价还价。（打一数学名词）
买东西讨价还价，要经过反复协商，才能达成双方都同意的钱数 。这种协商钱数的过程，
可以戏称为“商数”。谜底是商数。
6．你盼着我，我盼着你。（打一数学名词）

“你盼着我”，是你在等候我；“我 盼着你”，是我在等候你。两人互相等候，可谓“相
等”。谜底是相等。
7．成绩是多少？（打二数学名词）
学习成绩是用得分的数目计算的。问“多少”，可以换一个说 法，改问“几何？”在中
国古代数学书里，问一种物品有多少个，总是问“物有几何？”直到现在，有些 地区的方言
里，买东西问价钱，还是说“几何？”所以，问“成绩多少”，等于是问“分数，几何？”< br>谜底是两个数学名词：分数、几何。
今天我们见到的谜语都与数学有关，被我们称为数学谜语， 根据谜面和谜底的不同，数
学谜语有不同的分类。同学们不妨一猜，可在紧张学习之余博得一乐，还可以 提高学习数学
的兴趣。请同学们在说谜底的时候，将你的猜谜思路和过程有条理地向大家展示。
一、以数学用语为谜底的谜语
1. 五角一趟 2. 两羊打架 3. 完全合算 4. 勤点钞票
5. 两边清点 6. 有情人终成眷属 7. 合法开支 8. 打得鸳鸯各一方
9. 垂钓 10. 马术 11. 戽 12. 岁岁重阳今又重阳
13. 追本溯源 14. 对症下药 15. 多十分 16. 集体钓鱼
17. 协议离婚 18. 打成和局 19. 团体赛 20. 刮胡子
21. 摩拳擦掌 22. 谁押林冲去沧州（打两个数学用语）
二、以数字为谜面的谜语
23. 一（打一成语） 24. 十百千（打一成语）
25. 一二三四五六七九十（打一字） 26. 壹贰叁肆伍陆柒捌玖（打一古书名）
27. 三八二十四（打一体育用语） 28. 7×9（打一古军事书名，卷帘格）
三、以方程为谜面的谜语
29. x=只-吾（打一工业用语） 30. x=旭÷3（打一化学用语）
四、以数学家为谜底的谜语
31. 东坡游春 32. 回眸一笑百媚生
五、以数学科目为谜面的谜语
33. 解析几何（打一口头用语）
六、以运算符号为谜面的谜语
34. +-×（打一成语）
谜底：

1.一元二次（推算法） 2.对顶角 3.绝对值 4.常数（通假法） 5.分数 6.同心圆 7.有
理数 8.公分母 9.等于（通假法） 10.乘法 11.内角（分解法） 12.循环节 13.求根 14.
开方 15.余角（换算、通假） 16.公垂线 17.约分 18.平角 19.公共角 20.平角（词性通假）
21.等角22.两个解、差（问答法。答曰：两个解差，分开即是） 23.大有人在 24.万无一失
（别解为没有“一”和“万”） 25.口（谜面意为“只”少“八”） 26.《拾遗记》（意为
忘记写“拾”） 27.女子双打（双打即两打，二十四） 28.三十六计（7×9计六十三，反序
读之即得） 29.成品（八口减五口为三口，三口即成“品”字） 30.结晶（九日除以3得3
日，结合为“晶”） 31.苏步青 32.杨乐 33.十八斤（谜面别解为把“析”分解开是多少？）
34.支离破碎（把支分解开即为“+、-、×”）
你能总结出猜数学谜语的基本方法吗？

【猜一猜，练一练】
第一组：
1.群策群力 2.裁判职责 3.批准法规 4.弹簧弹性
5.人人富裕 6.啦叭套子 7.主动争取 8.听候下令
9.财政赤字 10.伪造账目 11.追问到底 12.准备参赛
13.交换赛场 14.热身赛 15.团体赛 16.互相呼喊
17.中秋明月 18.平原铁道 19.货真价实 20.提弦调音
谜底：
1.公理 2.定理 3.定律 4.有限5.无穷 6.大于号 7.不等号 8.等号9.负数 10.无理数
11.求根 12.等比13.更比 14.相似 15.合比 16.对称17.圆 18.直径 19.绝对值 20.正弦
第二组：
1.断纱接头 （打一数学名词）
2.抬头望月 正好初八 （打一三角函数名）
3.一笔债务 （打一数学名词） 4.两牛打架 （打一数学名词）
5.大甩卖 （打一数学名同） 6.再见吧妈妈 （打一数学名词）
7.医生提笔 （打一数学名词） 8.99 （打一成语）
9.110 （打一成语） 10.103与1002 （打一成语）
11.大同小异 （打一数学名词） 12.并驾齐驱 （打一数学名词）
13.周而复始 （打一数学名词） 14.考试不作弊 （打一数学名词）
15.夏周之间 （打一数学名词） 16.捷道 （打一数学名词）

17.算盘珠 （打一数学名词） 18.联合国宪章 （打一数学名词）
19.岁岁重阳，今又重阳 （打一数学名词）
谜底：
1.延长线；2.正弦；3.负数；4.对顶角；5.绝对值；6.分子分母；7 .开方；8.百无一是；
9.一成不变； 10.千变万化；11.近似；12.平行；13.循环；14.真分数； 15.商； 16.直径；
17.代数；18.最大公约数； 19.循环节。
【数学谜语集锦】
（一）、打数学名词方面的
1.五四三二一； 2.缺了会计； 3.邮寄账本； 4.信件统计；
5.替人查账； 6.查账； 7.开奖； 8.算术老师的教鞭；
9.一笔债务； 10.商店盘货； 11.用； 12.同室操戈；
13.团体赛； 14.兵对兵，将对将； 15.左右夹攻； 16.重判；
17.轻判； 18.车站告示； 19.背着喇叭； 20.待命冲锋；
21.朱元璋登基； 22.婚姻法； 23.演员招考制度； 24.五角；
25.员；26.刀口； 27.海峡两岸盼统一； 28.有情人终成眷属；29.马路没弯儿；
30.两个寨子隔条岗，南寨没有北寨强；南寨好汉有五条，不及北寨人一双。
31.健全法制； 32.儿童储蓄； 33.聚散无常； 34.千丝万缕；
35.身高； 36.会谈； 37.欲言又止； 38.保持距离，同时起飞；
39.五角钱一趟； 40.浮萍； 41.互盼； 42.合家欢；
43.恰如其分； 44.一望无际； 45.一模一样； 46.哨声响了；
47.减法没算对； 48.垂钓； 49.走致富之路； 50.北；
51.抬头望月，正好初八； 52.二胡调音；
53.时刻盼望上战场（打数学二名词）； 54.丞（打数学三名同）；
55.一个邮递员掀起了信箱的盖子，在清点有多少信件。你能根据这 一情况猜出三个数学
名词吗？
（二）、打数学家名字方面的
1.虎丘游春； 2.博览群书。
（三）、打其它方面的
1.八十五（打一影片名）； 2.三八二十四（打一体育名词）；3.四加四（打一字）；
4.+-×÷（打一政治名词）； 5.圆规画鸡蛋（打一城市名称）； 6.力（打一珠算口诀）；
7.千古兴亡多少事（打三学科名称）；

8.向阳 村和青松村比赛篮球。向阳队是东方乡的冠军，而青松队是长丰乡的冠军，这场
两个冠军队的比赛打得非 常激烈、精彩，每球必争，比分不相上下，直到最后一分钟，
向阳队罚进一球才分出胜负。当有人问起胜 负情况和比分时，向阳队的球员说，这次比
赛是“白”字比“杂”字，我们只赢了一分。你知道两个队各 得几分？
谜底：
（一）、1.倒数：2.无理数；3.函数；4.函数；5.代数；6 .对数；7.对数；8.指数：9.
负数；10.复数； 11.半角； 12. 内角； 13.公共 角；14.同位角；15.两面角；16.加法（谜
面意即“加罚”，“罚”与“法”谐音）；17.减 法；18.乘法（乘车方法，取乘法）；19.
负号；20.等号；21.消元；22.结合律；23. 优选法；24.半圆；25.圆心；26.切点；27.同心
圆；28.同心圆；29.直径；30.算 盘；31.圆规；32.微积分；33.不定积分；34.繁分式；35.
立体几何；36.集合论；3 7.控制论；38.平行；39.一元二次；40.不定根；41.相等；42.共圆；
43.精确值； 44.无穷大；45.全等；46.集合；47.误差；48.等于（“于”与“鱼”谐音）；
49.趋 向无穷；50.反比（反扣法，“北”反为“比”）；51.正弦（假借法，因为初八月亮是
上弦，“上 ”含“正”，故为“正弦”）；52.正弦；53.等角、正切；54.大于、小于、分子
（用增损法猜 测）；55.开立方、函数、几何。
（二）、1.苏步青；2.张广厚。
（三）、1.月到 中秋；2.女子双打（“三八”扣“女子”，“二十四”扣“双打”，因
为十二为一打）；3.积（“四 加四”和是八，再由“和八”拼成“积”字）；4.分裂主义；
5.太原（“原”与“圆”谐音）；6. 二一添作五；7.历史、代数、几何；9.九十九比九十八
（“白”是“百”减“一”：“杂”是“九” 、“十”、“八”的组合）。
注：1、不同的谜面有时有相同的谜底；
2、同一个谜面它的 谜底有时是由几部分组成的，且这几部分都是并列的，必须都猜
出来才算全对；
3、第五十五个谜语属哑谜，最后一个谜语属故事谜。
猜数学谜语可锻炼思维能力，提高学习 数学的兴趣。在猜谜的过程中，有时需要一步步
地深入，前面猜测的结果可能成为下一步的前提。因此， 算法思想始终渗透在数学谜语中，
条理清晰，理由充分，推理正确，才能一步步地贴近谜面。同时，请学 生表述答案的过程是
提高表达能力的过程。

第二节 鸡兔同笼问题
鸡兔同笼，这个问题，是 我国古代著名趣题之一。大约在1500年前，《孙子算经》中就
记载了这个有趣的问题。书中是这样叙 述的：“今有雉兔同笼，上有三十五头，下有九十四
足，问雉兔各几何？”这四句话的意思是：有若干只 鸡兔同在一个笼子里，从上面数，有35
个头；从下面数，有94只脚。求笼中各有几只鸡和兔？
第一类：列表举例法。
方法1：根据鸡和兔共20只的条件，假设鸡只有1只，那么兔有19 只，腿共有78条。。。在
这样的逐一举例中，直至寻求到所求的答案。

方法2：先作一些分析，比较后再试。

方法3：先假设鸡和兔各占一半，再列表。

60>54，说明兔子多了，应减少兔子的只数。
上面三 种方法中，第一张表格是常规的逐一列举法，即根据鸡与兔共20只的条件，假设
鸡只有1只，那么兔就 有19只，腿共有78条；假设鸡有2只，那么兔就有18只，腿共有
76条。。。，再这样的逐一举例 中，直至找到所求的答案。
第二类：作图分析法。
方法1：先画20个圆圈表示20个头。 再为每个动物画两条腿，20只动物只用完40条腿，还
多出了14条腿。把剩下的14条腿用完，要给 其中的7只动物加2条腿，这7只就是
兔子，另外的13只就是鸡。
方法2：先画20个头， 接着假设全部是兔，共画80条腿，多出了26条腿，要给其中的13
只动物去掉2条腿，这13只就是 鸡，另外的7只就是兔了。
第三类：方程解答法。
解法1：设其中有X只兔，有Y只鸡。列式为：X＋Y＝20 ，4X+2Y=54。
最后算出X=7，Y=13。
解法2：设其中有X只兔，有（20－X）只鸡。列式为：2X+4x（20－X）=54,最 后算出X＝7，
得出兔的只数是7只，那么20－X＝13就是鸡的只数。
第四类：假设推理法。
方法1： 假设这20只全部是兔子，那么就应该有80条腿，而题目只告诉我们 有54条
腿，我们算的8 0与实际相比多算了26条腿，这是为什么呢？因为一只鸡是两条腿，
而我们把它当成四条腿算了，如果 用一只鸡来换一只兔，就要减少2条腿，也就是
我们把多少只鸡当成了兔子，显然26÷2＝13(只） ，所以鸡有13只，兔子有7只。
可以列式为：（20X4-54)÷(4-2)=13（只），20- 13=7(只）。
方法2：假设这20只全部是鸡，那么就应该有40条腿，比实际少了14条腿，是 因为每只兔
子少算了2条腿，这样共有兔子是7只，鸡则是13只。列式如下：（54-20x4)÷( 4
－2）=13(只），20－13＝7（只）。
解决鸡兔同笼问题通常使用假设法 ，可以假设所有的动物都是兔子，并求出在假设情况
下的总腿数，再把实际的腿数和假设情况下的腿数相 比较，看看多出了多少，每多2只腿说

明有一只鸡，将多出的腿数除以2就算出共有多少 只鸡。也可以假设全部是兔子来解。
方法3：把一只鸡和一只兔看做一个整体，一个整体中就有（ 4＋2=6）条腿，54条腿应该是
几个这样的整体呢？54÷6＝9(个），在9个这样的整体里兔子 的只数应该不是9只，
因为9只兔和11只鸡的腿的条数超过了总条数54。那么就把兔看成8只，还是 偏
大，最后把兔的只数看成7只，鸡是13只，腿的总条数就正好是54了。列式为：4
＋2＝ 6（只），54÷6＝9(个），9－1＝8（只），9－2＝7（只），20－7＝13（只），7X4
＝28（条），13X2＝26（条）28+26=54(条）
第五类：“金鸡独立”法
此方法是：每只鸡都用一只脚站着，而每只兔子都用后脚站起来”。
显然，在这种情况下，总 脚数出现了一半，是27，此时，鸡的脚数与鸡的头数是相等的，
兔子的脚数是兔子的头数的2倍。所以 ，从27中减去总的头数20得7，就是兔子的头数。
当然，20-7=13，鸡就是13只了。 鸡兔同笼问题早在我国古代数学名著《孙子算经》中就出现过，社会发展到今天，鸡和
兔同装一笼的 此类事件应该不多见了。但学生可以借助“鸡兔同笼”这个载体经历尝试、创
新的过程， 让学生感受到数学思想的运用与解决实际问题的联系，体会到数学的价值。
作业：设计一个算法，输入鸡兔的头和脚数，输出鸡和兔的数量。

第三节 九宫图的应用
一、数学故事：任意写一个三位数
做几次简单运算，可以发现一个小小规律。任意写一个三位数，例如135。把它的数字
倒过来写，成为 531。用其中较大的减去较小的，得到
531-135=396。
换几个另外的三位数，也做同样的计算，分别得到
876-678=198， 995-599=396， 963-369=594。
以上4个式子里得到的差，有一个明显 的共同点：差的中间一位数字都是9。再仔细看
看，还发现一个共同点：差的首、尾两位数字的和等于9 。这样，通过观察和归纳，就发现
了三位数颠倒相减的规律。还可以再随意写很多三位数颠倒相减的例子 ，来验证上面得到的
规律，结果大部分都完全符合，只有两种例外情形。
第一种例外，如594-495=99，差是两位数99，不是三位数。
第二种例外，如323-323=0，这时的差是0。
由此可见，刚才初步归纳出来的规律，需要作两点小补充：
第一，如果差的末位数字是9，这个差一定是99；
第二，如果差的末位数字是0，这个差一定是0。
在其他情形下，差都是三位数。
这样一来，规律就完整了。你可以让你的朋友转过身去，在纸上任意写三位数，然后颠
倒相减，只要把差 的末位数字告诉你，就能猜出差是多少。
无论哪种情形，只要掌握规律，总能应答如流，一猜就准。
二、九宫图的应用
历史
古老而悠久的中华文化的宝殿中，有两颗璀璨夺目的明珠--河图洛书，至今吸引着众多
学者的研究热情 ，人们为河图洛书的神话般的传说，高深的奥义，丰富的内容，简洁的形式
万分惊讶，对河图洛书与中国 的思想文化、社会科学、自然科学的密切联系更是迷惑不解。
种种论述表明，河图洛书是中华文化的总源 头，对中国及世界文化的发展，都有过深刻的影
响。然而，令我们每个人吃惊和迷惑不解的是，河图洛书 只是两个简单的数字图。
龙马载河图，神龟背洛书
河图洛书是我们祖先创造出来的， 翻遍祖国的各种古典著作，我们根本找不到这位创始
人。河图洛书的产生，至少要追溯到四千五百多年以 前，那时，人类尚处于无文字时代，人

类的认识水平还十分低，很难想象那时就有人能够 制造出如
此高深莫测的图书。在我国各种古籍中，对河图洛书的起源，
仅有两个龙马载河图，神 龟背洛书的传说。
（一）龙马载河图
相传远古时期的孟津河边，一天河水忽然大涨， 波浪滔
天，水中有一巨兽，似龙非龙，似马非马，浪里飞腾。当时的伏羲黄帝与众臣听到有人报告，立即去河边观看，只见河中洪涛巨浪，波浪中一巨兽踏水如登平地，大体象马却身有鱼鳞，
高八九尺 ，有两翼，形体象骆驼，身上负有由花点构成的图案，黄帝命人走近河边，将图案
记录下来，刚刚记下， 怪兽即没而不见。后伏羲皇帝认真研究了这副图发现它正是由十种花
点组成，这十种花点代表1-10这 10个数，两种花点构成一组，布局在东西南北中五个位置
上，每组花点所表示的数，其差均是5.这种 和谐统一，四方对称的特征，黄帝越研究越感到
奇妙无比，后来他就依此画八卦，建甲历，定时辰，治理 国家。由于此幅图是在孟津河中发
现的，故称此图为河图。
（二）神龟背洛书
公 元前23世纪，大禹治水的时候，在黄河支流洛水中，有一天突然浮规出一个大乌龟，
当时，大禹与治水 士兵正在河边现察洛河水情，商议治理黄河大计，遇到乌龟在河里上下翻
腾就十分奇怪，只见此龟行走水 面，游来游去，其身形庞大，甲背平圆。近处仔细观看，发
现甲上载有9种花点的图案，大禹令士兵们将 图案中的花点布局记了下来，带回去作了深入
的研究，他惊奇地发现，9种花点数正好是1-9这9个数 ，各数的位置排列也相当奇巧，纵
横六线及两条对角线上三数之和都为15，既均衡对称，又深奥有趣， 在奇偶数的交替变化之
中似有一种旋转运动之妙。大禹受到启发，他参照九数而划分天下雨九别，并且把 一般政事
也区分为九奥。据《史记．夏本纪》写道：夏禹治水时，“左准通、右规矩，载四时，以开九州，通九道，陂九泽……”大禹治水以九宫为据，应用到测量、气象、地理与交通运输之
中，从而 治理黄河，大获成功，受到黄河两岸人们的拥戴。由于神龟所背图是在黄河支流洛
水中发现，且图中内容 如书一样深奥，故人们称此为洛书。
应用：如何分班？
为师各班成绩均匀，我们给先学生排 序，然后按照一定的规律将学生分组。如分3个班，
将学生排序后，按照图1的行（或列）从上到下一次 编号132321213为一组，向下重复。所
有编号为1的一个班，编号为2的一个班，编号为3的一 个班。如分4个班则按图2处理；5
个班按图3处理；6个班按图4处理。

1
3
2
3
2
1
2
1
3
1 4 3 2
3 2 1 4
2 3 4 1
4 1 2 3
图1

图2

1 3 4 5 2
2 4 5 1 3
5 2 3 4 1
3 5 1 2 4
4 1 2 3 5
3 1 6 5 2 4
6 2 5 3 4 1
5 4 1 2 3 6
1 6 3 4 5 2
4 5 2 1 6 3
2 3 4 6 1 5

图3
图4

作业：按照示例4图，请与同学合作，编制一张分7个班的分班表。

第四节 大衍求一术

第五节 让梨游戏

第六节 幻方与魔阵

第七节 数学中的简单逻辑推理问题
一、“被墨水盖住”的算式

如果要想具备福尔摩斯 那样神奇的破译密码的本领，不但应具有非凡的推理
能力，还要懂得大量的其他知识。然而，只要你有心 ，也可以破译一些简单的
密码。
现在我们来看一个例子：
据传说，英国 物理学家牛顿（1642－1727）小的时候，学习成绩几乎在学
校是倒数第一。后来他下决心改变这 一令人沮丧的状况。有一次，他把自己的
作业做得干净整齐，没有任何错误，但正当他把笔和本子收起来 时，糟糕的事
情发生了：墨水洒了，正好在他的一道算
一块墨迹。下图显示了这个令人不快的结

式中只剩下了3个数字较为清晰。小牛顿尽了一切努力，最后终于记起来
整 道题凑巧用了0、1、2、3、4、5、6、7、8、9全部10个数字，一样一个。
如果这是一种从0 到9这10个数字编制的密码，你能破译出被墨水盖住的都是
哪些数字吗？
2 8 ？
由于被墨水盖住的是10个数
+？？4
以原式应为：
────—

我们可以把这个算式写成：
28A
+CB4
────—
？？？？
字，所
术题上留下了
果。

GFED
其中每个英文字母分别表示数字0、1、3、5、6、7、9中的某一个。
我们先考虑千 位上的G。两个三位数相加，和是四位数，由于两个百位上
的数相加，和最多向千位进1，所以，G只能 是1，这时，算式就成了：
28A
+CB4
────
1FED

再看百位上的C和F。如果要保证向千位进1，C不能小于7，即C只可能
是7或9中的一个。设C=9，那么如果十位不进位到百位，F=1；如果十位进位
到百位，F =2。这都和已知的数字重复。所以C≠9。
所以C=7，F=0。即
28A
+7B4
────
10ED
这时，B可能是3、5、6、7中的某一个。如果B=3，那么应有E=1或2，但
这不可能；
如果B=5，那么E=3，但6+4≠9，9+4≠6；如果B=6，那么E=5，这时令A=9，则有D=3。

整理出来就是：A=9，B=6，C=7，D=3，E=5，F=0，G=1。
于是，小牛顿的算式应为：
289
+764
────
1053

二、问路问题
有这样一个故事：在太平洋中有AB两 个相邻的小岛。A岛居民都是诚实的
人，B岛的居民都是骗子。当你问一个问题时，A岛的居民会告诉你 正确的答案，
而B岛的居民给你的答案都是错误的。一天，一个旅游者独自登上了两岛中的
某个 岛。他分辨不清这个岛是A岛还是B岛，只知道这个岛上的人既有本岛的
居民又有另一岛的来客。他想问 岛上的人“这是A岛还是B岛？”却又无法判
断被问者的答案是否正确。旅游者动脑筋想了会一儿，终于 想出一个办法，他
只需要问他所遇到的任意一人一句话，就能从对方的回答中准确无误地断定这
里是哪个岛。你能猜出旅游者所问的问题吗？
如果旅游者直接问“这是A岛还是B岛？”那么当被 问者是A岛人时，他
会得到正确的回答；当被问者是B岛人时，他会得到错误的回答。两种回答截
然相反，而旅游者又无法知道他得到的答案对不对，因此这样问话达不到问路
的目的。聪明的旅游者的 问话是，“你是这个岛的居民吗？”如果对方回答
“是”，那么这个岛一定是A岛；如果对方回答“不是 ”，那么这个岛一定是B
岛。你能说出这是为什么吗？
下面我们就对上面的问题进行分析 ：我们知道，旅游者提出问题时并不知

道提问地是何岛，也不知道被问者是何岛居民。他 要从所听到的第一句回答来
判断问话地是何岛。因此，所提问题的答案必须是因提问地而异，而不由被问
者是A岛居民或是B岛居民发生变化。
根据上述特点，我们设法找到这样的问题：
1、使得在A岛提问时，被问者（不论是何岛居民）都回答同样的一种答案；
2、在B岛提问时，被问者都回答另一种答案。
于是，我们就可以根据任一人的回答来判断提 问地为何岛了。显然，这样的
问题必须与提问地相关，并且还要与被问者有关，如果在A岛提出这样的问 题
时，A岛居民应作肯定回答（B岛居民也会作肯定回答，但这种回答与客观实际
相反），那么 在B岛提出同一问题时，A岛居民应作否定回答（B岛居民也会做
否定回答，但回答与实际情况相反）。
“你是这个岛的居民吗？”这一问题就是一个满足以上要求的问题，我们通
过下表表示在不同的 提问地的不同的被问者对问题的相应回答。
问题：你是这个岛的居民吗？
被问者
问话地
A岛居民
回答
A岛
是
B岛 不是
是
不是
B岛居民
由上表可以一目了然地发现：在A岛提问时，回答总为 “是”；在B岛提
问时，回答总为“不是”。这就为旅游者判断提问地是哪个岛提供了依据，于
是“问路问题”得以解决。
请想一想，如果旅游者的问题为“你是相邻的另一岛上的居民吗？”， 那

么能根据任一人的回答来判断提问地是何岛吗？为什么？试通过列表的方式说
明理由。
数学中有个分支叫做数理逻辑，它通过数学方法来研究逻辑规律。在数理逻
辑中，列 表法是一种基本的研究方法，只是其中表的形式与本文中的表有许多
不同，使用了一些有关命题、真值的 抽象符号，但其基本思想与我们用表讨论
问题的思想是大体一致的，都是通过列表来分析和说明问题。
数学是以逻辑推理为重要研究方法的学科。所谓逻辑推理，就是合乎事理的、
有根有据的推导判 断。上面的两个问题正是运用到逻辑推理的问题，同学们应
在数学学习中注意提高自己的逻辑推理能力， 使自己勤于思考并且善于思考，
成为聪明人。

第八节 欺骗眼睛的几何问题

生活中我们常常相信亲眼所见，但又常常为自己的眼睛所骗，魔术就是一个很好的例子。
数学中也有这种 欺骗我们眼睛的奇妙的数学魔术，我们先看一个问题：
问题1：在下面的两个图形中，如果将图1中的 四块几何图形裁剪开来重新拼接成图2，
我们会发现，与图1相比，图2多出了一个洞！这怎么可能呢？ 我们自然会提出这样的疑问。
奥妙何在我们姑且按下不表，让同学们先动动脑子！

上面的题目有些复杂，下面我们来看一个简单一些的问题。
问题2：将图3中面积为13×1 3=169的正方形裁剪成图中标出的四块几何图形，然后重
新拼接成图4，计算可知长方形的面积为8 ×21＝168，比正方形少了一个单位的面积，非常不
可思议，这是为什么呢？

这两个问题是这样的令人惊奇和难以理解，值得我们花费一些时间动手按照所说的剪裁
方法做一做。 < br>我们先来分析一下问题2：我们在白纸上将正方形量好画出，剪成四块，重新安排后拼
成长方形， 除非图形做得很大并且作图和剪裁都十分精确，我们一般是不会发现拼接成的长
方形在对角线附近发生了 微小的重叠，正是沿对角线的微小重叠导致了一个单位面积的丢失。
要证实这一点我们只要计算一下长方 形对角线的斜率和正方形拼接各片相应边的斜率，比较
一下就会清楚了。

问题2中涉及到四个数据5、8、13和21，有一定数学基础的同学会认出这是著名的斐
波那契数列中 的四项，斐波那契数列的特征是它的每一项都是前两项之和：1，1，2，3，5，
8，13，21，3 4，……。我们还可以使用这个数列中的其他相邻四项来试验这个过程，无论选
取哪四项，都可以发现正 方形和长方形的面积是不会相等的，有时正方形的面积比长方形多
一个单位面积，有时则正好相反。多做 几次上述实验，我们就会得出斐波那契数列的一个重
要性质：这个数列任意一项的平方等于它前后相邻两 项之积加1或减1。用公式表示就是：
f
n
2
?f
n?1
? f
n?1
?1
。其中
f
n
2
表示正方形的面积，< br>f
n?1
?f
n?1
表示长方形的面积。知道了这个事实，
我 们就可以自己构造类似于问题2的几何趣题。
上面的这个斐波那契数列是以1，1两数开始的，广 义的斐波那契数列可以从任意两数开
始。比如说，用广义斐波那契数列2，2，4，6，10，16，… …做上述试验，就会多得或丢失
四个单位的面积。如果用a、b、c表示广义斐波那契数列的相邻三项， 以x表示“得”或“失”
?
a?b?c
的数字，则下列两式成立：
?
2
。我们还可以来研究这样一个有趣的问题：把正方
?
b?ac?x
形按上 述方法剪成四块，是否会拼接成一个与它面积相等的长方形？要回答这个问题，可以
b1?51?5令方程组中的x等于零，再解之得唯一正解是：
?
。其中恰是著名的黄金分割
a2 2
比，通常用来表示，它是一个无理数，等于1.618033……。这就是说，唯一的每项平方等于< br>前后相邻两项之积的斐波那契数列是：1，
?
，
?
2
，
?
3
，
?
4
，……。要证明它的确是斐波那
契数列，只要 证明它等价于数列1，
?
，
?
+1，2
?
+1，3
?
+2，……就可以了。只有用这个数
列相邻项数表示的长度来分割正方形，才可以拼出面积不 变的长方形。
我们再回到问题1，题中涉及到的数据1，1，2，3，5，8，13恰是斐波那契数列 的前七
项，因此问题1实际上是问题2的一个复杂化版本，计算一下图中两个大小三角形斜边的斜
率，那么一开始的疑问已不讲自明。

最后再给喜欢思考的同学提出一个与前两个问题略有不同的问题 3，图5这个正方形按

图中标出的数据分割成了五块几何图形，剪开后重新拼接成图6，奇怪，又多出了一个洞！
这次 斜线处并无叠合，少掉的一个单位面积哪里去了呢？这个问题最初是由美国魔术师保罗
卡瑞提出的，虽然 它曾经难倒了许多美国人，但相信它难不倒聪明的中国学生。为帮助大家
思考，提示一下：不要忘了计算 ！
最后送给大家一句华罗庚教授的话：“数缺形时少直观，形少数时难入微”。

第九节 抽屉原理的简单应用

“任意367个人中，必有生日相同的人。”
“从任意5双手套中任取6只，其中至少有2只恰为一双手套。”
“从数1，2，…，10中任取6个数，其中至少有2个数为奇偶性不同。”……
大家都会认为上 面所述结论是正确的。这些结论是依据什么原理得出的呢？这个原理叫
做抽屉原理。抽屉原理又称鸽笼原 理或狄利克雷原理，它是数学中证明存在性的一种特殊方
法。它的内容可以用形象的语言表述为：“把m 个东西任意分放进n个空抽屉里（m>n），那
么一定有一个抽屉中放进了至少2个东西。”举个最简单 的例子，把3个苹果按任意的方式
放入两个抽屉中，那么一定有一个抽屉里放有两个或两个以上的苹果。 这是因为如果每一个
抽屉里最多放有一个苹果，那么两个抽屉里最多只放有两个苹果。运用同样的推理可 以得到：
原理1 把多于n个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有2个或2个以上的
物体。
原理2 把多于mn个的物体放到n个抽屉里，则至少有一个抽屉里有m+1个或多于m+l
个的物体。
下面我们用抽屉原理来分析前面的例子：第一个结论中，由于一年最多有366天，因此
在 367人中至少有2人出生在同月同日。这相当于把367个东西放入366个抽屉，至少有2
个东西在 同一抽屉里。在第二个结论中，不妨想象将5双手套分别编号，即号码为1，2，…，
5的手套各有两只 ，同号的两只是一双。任取6只手套，它们的编号至多有5种，因此其中
至少有两只的号码相同。这相当 于把6个东西放入5个抽屉，至少有2个东西在同一抽屉里。
例：利用上述原理证明：“任意7个整数中，至少有3个数的两两之差是3的倍数。”
分析： 因为任一整数除以3时余数只有0、1、2三种可能，所以7个整数中至少有3个
数除以3所得余数相同 ，即它们两两之差是3的倍数。
如果问题所讨论的对象有无限多个，抽屉原理还有另一种表述：“ 把无限多个东西任意
分放进n个空抽屉（n是自然数），那么一定有一个抽屉中放进了无限多个东西。”
抽屉原理的内容简明朴素，易于接受，它在数学问题中有重要的作用。许多有关存在性
的证明都 可用它来解决。
一、抽屉原理和六人集会问题
1958年67月号的《美国数学月刊》上有这样一道题目：
“证明在任意6个人的集会上，或者 有3个人以前彼此相识，或者有三个人以前彼此不

相识。”
这个问题可以用如下方法简单明了地证出：
在平面上用6个点A、B、C、D、E、F分别代表参 加集会的任意6个人。如果两人以前彼
此认识，那么就在代表他们的两点间连成一条红线；否则连一条蓝 线。考虑A点与其余各点
间的5条连线AB，AC，...，AF，它们的颜色不超过2种。根据抽屉原 理可知其中至少有3
条连线同色，不妨设AB，AC，AD同为红色。如果BC，BD，CD3条连线中 有一条（不妨设为
BC）也为红色，那么三角形ABC即一个红色三角形，A、B、C代表的3个人以前 彼此相识：
如果BC、BD、CD3条连线全为蓝色，那么三角形BCD即一个蓝色三角形，B、C、D 代表的3
个人以前彼此不相识。不论哪种情形发生，都符合问题的结论。

图1

六人集会问题是组合数学中著名的拉姆塞定理的一个最简单的特例，这个简单问题的证
明思想可用来得出另外一些深入的结论。这些结论构成了组合数学中的重要内容----- 拉姆塞
理论。从六人集会问题的证明中，我们又一次看到了抽屉原理的应用。
二、抽屉原理与“电脑算命”
“电脑算命”看起来挺玄乎，只要你报出自己出生的年、月 、日和性别，一按按键，屏
幕上就会出现所谓性格、命运的句子，据说这就是你的“命”。
其实这充其量不过是一种电脑游戏而已。我们用数学上的抽屉原理很容易说明它的荒谬。
如果以7 0年计算，按出生的年、月、日、性别的不同组合数应为70×365×2＝51100，
我们把它作为 “抽屉”数。我国现有人口11亿，我们把它作为“物体”数。由于1.1×
=21526×51100 +21400，根据原理2，存在21526个以上的人，尽管他们的出身、经历、天资、
机遇各不相同 ，但他们却具有完全相同的“命”，这真是荒谬绝伦！
在我国古代，早就有人懂得用抽屉原理来揭 露生辰八字之谬。如清代陈其元在《庸闲斋
笔记》中就写道：“余最不信星命推步之说，以为一时（注： 指一个时辰，合两小时）生一

人，一日生十二人，以岁计之则有四千三百二十人，以一甲 子（注：指六十年）计之，止有
二十五万九千二百人而已，今只以一大郡计，其户口之数已不下数十万人 （如咸丰十年杭州
府一城八十万人），则举天下之大，自王公大人以至小民，何啻亿万万人，则生时同者 必不少
矣。其间王公大人始生之时，必有庶民同时而生者，又何贵贱贫富之不同也？”在这里，一
年按360日计算，一日又分为十二个时辰，得到的抽屉数为60×360×12＝259200。
所谓“电脑算命”，不过是把人为编好的算命语句象中药柜那样事先分别一一存放在各
自的柜子里，谁要 算命，即根据出生的年月、日、性别的不同的组合按不同的编码机械地到
电脑的各个“柜子”里取出所谓 命运的句子。这种在古代迷信的亡灵上罩上现代科学光环的
勾当，是对科学的亵渎。

第十节 帕斯卡（杨辉）三角形与道路问题

苏珊很为难，她步行去学校，路上老是遇到斯廷基。 斯廷基：“嘿嘿，苏珊，我可以陪你
一起走吗？”苏珊：“不！请走开。”
苏珊心想：我 有办法了，每天早上我走不同的路线去学校，这样斯廷基就不知道在哪儿
找到我了。下面这张地图表示苏 珊的住所和学校之间的所有街道，苏珊去学校时，走路的方
向总是朝南或朝东，她总共有多少条路线呢?
苏珊：“我真想知道有多少条路线可走，让我想一想，要算出多少条路线看来并不简单。
嗯，啊 哈！一点不难，简单得很！”苏珊想到了什么好主意呢？
她的推理如下：苏珊：“在我家这个角点 上写一个1，因为我只能从这一点出发，然后在
与此相隔一个街区的两个角点上各写一个1，因为到那里 只有一条途径。现在，我在这个角
点上写上2，因为到达那里可以有两条途径。苏珊发现2是1加1之和 ，她忽然领悟：若到
某一个仅有一条途径，则该角点上的数字为前一个角点上的数字；若有两条途径，则 为前两
个角点上的数字之和。
苏珊：“瞧，又有四个角点标上了数字，我马上把其他角点 也标上数字。”请你替苏珊把
剩下的角点标上数字，并且告诉她步行到学校共有多少条不同的路线。
苏珊的家H
1

1


？
1

2


3
1

3


６
1 1

？ ？


？ ？
学校G
剩下的5个点，自上而下，从左至右分别标以1，4，10，5，15。最后一点上的15 表示
苏珊去学校共有十五条最短路径。
苏珊所发现的是一种快速而简单的算法，用来计算 从她家到学校的最短路径共有多少条。
要是她把这些路径一条一条地画出来，然后再计数，这样肯定麻烦 ，还容易出错。如果街道
的数目很多，那么这种方法根本就行不通。你不妨把这十五条路线都画出来，这 样你就更能
体会到苏珊的算法是多么地有效了。

你对这种算法是否已经理 解，可以再画一些不同的街道网络，然后用这种算法来确定从
任意点A到另一任意点B的最短路线共有多 少条。网络可以是矩形网格，三角形网格，平行
四边形网格和蜂窝状的正六边形网格。也可以用其他方法 (例如组合公式)求解，但这种方法
十分复杂，需要很高的技巧。
在国际象棋棋盘上，“车” 从棋盘的一角到对角线上另一角的最短路径共有多少条？就像
苏珊给街道交点标上数字一样，把棋盘上所 有格子也都填上数字，于是问题就迎刃而解了。
“车”只能沿着右上方向朝另一个角的目标移动，便可以求出共有多少条最短路径。
如图所示：
1
1
1
1
1
1
1
8
7
6
5
4
3
2
36 120 330 792 1716 3432
28 84 210 462 924 1716
21 56 126 252 462 792
15 35 70 126 210 330
10 20 35 56 84 120
6
3
1
10 15 21 28 36
4
1
5
1
6
1
7
1
8
1
车
1
把整个棋 盘正确标号，根据所标的数字，一眼就能看出在棋盘上从一个角出发到任意一
角，有多少条最短路线.右 上角的数字是3432，所以“车”从一角到对角线的另一角的最短
路径共有3432条。
让 我们把棋盘沿着左上至右下的对角线一截为二，使其成为如下图所示的阵列。此三角
形上的数字与著名的 帕斯卡三角形(我国叫做杨辉三角形)的数字是相同的，当然，计算街道
路径条数的算法，恰恰就是构造 帕斯卡三角形所依据的过程。这种同构现象使得帕斯卡三角
形成为无数有趣特性的不竭的源泉。
1
11
121
1331
14641
……
利用帕斯卡三角形立即可以求出二项式展开的系数，即求(a+b)的任意次幂 ，同样也可以
用来解出初等概率论中的许多问题。请注意，上图中自顶部至底部，从边沿一格来说是1，

随着向中间移动，数字逐渐增加。也许你见过根据怕斯卡三角形所制成的一种装置：在一 快
倾斜的板上，成百个小球滚过木钉进入各格的底部。全部小球呈现出一条钟形的二项式分布
曲 线，因为到达每个底部孔位的最短路径的条数就是二项式展开的系数。
显然，苏珊的算法同样适用 于由矩阵格子组成的三维结构。设有一个边长为3的立方体，
分成27个立方体单元，把它看成棋盘，处 于某一个角格上的“车”可以向三个坐标上的任何
位置作直线移动，试问“车”到空间对角线的另一个角 格有多少条最短路径？

第十一节 数 独

数独是一种源自18世纪末的瑞士，后在 美国发展、并在日本得以发扬光大的数学智力
拼图游戏。拼图是九宫格（即3格宽×3格高）的正方形状 ，每一格又细分为一个九宫格。
在每一个小九宫格中，分别填上1至9的数字，让整个大九宫格每一列、 每一行的数字都不
重复。
数独的基础是数字魔方，它的解也一定是数字魔方。
制 作一个数独，便是使用一个一般的数字魔方，盖住部分数字，
成为一个拥有唯一解的数独。
数独前身为“九宫格”，最早起源于中国。数千年前，
我们的祖先就发明了洛书，其特点较之现在的数独 更为复杂，
要求纵向、横向、斜向上的三个数字之和等于15，而非简单的
九个数字不能重复。 中国古籍《易经》中的“九宫图”也源于此，故称“洛书九宫图”。而
“九宫”之名也因《易经》在中华 文化发展史上的重要地位而保存、沿用至今。 现在已有多
种手机装有数独游戏。
1783年，瑞士数学家莱昂哈德·欧拉发明了
一种当时称作“拉丁方块”（Latin Square ）的游戏，
这个游戏是一个n×n的数字方阵，每一行和每一列都
是由不重复的n个数字或者字 母组成的。
19世纪70年代，美国的一家数学逻辑游戏
杂志《戴尔铅笔字谜和词语游戏》（Dell Puzzle
Mαgαzines）开始刊登现在称为“数独”的这种游
戏，当时人们称之为 “数字拼图”（Number Place），
在这个时候，9×9的81格数字游戏才开始成型。
填充完整后
1984年4月，在日本游戏杂志《字谜通讯Nikoil》（《パズル通信ニコリ》）上 出现了“数
独”游戏，提出了“独立的数字”的概念，意思就是“这个数字只能出现一次”或者“这个< br>数字必须是唯一的”，并将这个游戏命名为“数独”（sudoku）。
一位前任香港高等法院的新西兰籍法官高乐德（Wayne Gould）在1997年3月到日
本东京 旅游时，无意中发现了。他首先在英国的《泰晤士报》上发表，不久其他报纸也发表，
很快便风靡全英国 ，之后他用了6 年时间编写了电脑程式，并将它放在网站上，使这个游戏

很快在全世界 流行。从此，这个游戏开始风靡全球。后来更因数独的流行衍生了许多类似的
数学智力拼图游戏，例如： 数和、杀手数独。
中国大陆是在2007年2月28日正式引入数独. 2007年2月28日 ，北京晚报智力
休闲数独俱乐部(数独联盟sudokufederation前身)在新闻大厦举行加 入世界谜题联合会的
颁证仪式，会上谜题联合会秘书长皮特-里米斯特和俱乐部会长在证书上签字，这标 志着北京
晚报智力休闲俱乐部成为世界谜题联合会的39个成员之一，这也标志着俱乐部走向国际舞台，它将给数独爱好者带来更多与世界数独爱好者们交流的机会。
元素构成


数独基本元素示意图

单元格：数独中最小的单元，标准数独中共有81个；
行：横向9个单元格的集合；
列：纵向9个单元格的集合；
宫：粗黑线划分的区域，标准数独中为3×3的9个单元格的集合；
已知数：数独初始盘面给出的数字；
候选数：每个空单元格中可以填入的数字。
规则
标准数独的规则为：数独每行、每列及每宫填入数字1-9且不能重复。
对于数独游戏的解法，通常采用直观法和候选数法
。
我们在这里主要介绍直观法。
< br>直观法，顾名思义，就是通过对谜题中现有的数字进行分析，继而逐一确定剩余空格中
的数字的方 法。它是最常用并且相对简单的方法，对于比较容易的谜题，可以快速求解并收
到良好的效果。但是遇到 比较复杂的题目，直观法就稍显力不从心了。
经常在报章、杂志上看到的数独谜题，一般就算再难都可 以用直观法来解决。你只要有
相对锐利的眼光和一定的逻辑分析能力，就可以准确地把空余的数字逐个填 出来。实际上，
直观法就是对数独游戏规则的充分利用。它不需要任何辅助工具，从接到数独谜题的那一 刻

起就可以立即开始解题，绝不猜测。数独直观法解题技巧主要有：基础摒除法、唯一解 法、
唯余解法、区块摒除法、单元摒除法、余数测试法。
一、基础摒除法：
基础摒除法就是利用的数字1 ～ 9在每一行、每一列、每一个九宫格都只能出现一次的
规则 进行解题的方法。基础摒除法可以分为行摒除、列摒除、九宫格摒除。
实际寻找解的过程为：
寻找行摒除解：找到了某数在某行可填入的位置只余一个的情形即找到了该数在该行中
的填入位置；寻 找列摒除解：找到了某数在某列可填入的位置只余一个的情形即找到了该数
在该列中的填入位置；寻找九 宫格摒除解：找到了某数在某一个九宫格可填入的位置只余一
个的情形即找到了该数在该九宫格中的填入 位置。
利用基础摒除法解题的过程就是依次从数字1 ～ 9 在行、列、九宫格寻找能放入该数
唯一的一个位置，需要综合用到行摒除、列摒除、九宫格摒除的方法。
例如：利用基础摒除法解决数独问题。
基础
摒除法确定题目如下：B2、C8、E7、F6、I5的数字吗？
题目如下：

**29*****
******8*5
*58***7**
1*9*3****
****78***
**6****3*
94**5***1
*****7**9
68***35**
分析：（见左图）
A9=9，则Ａ行其它格排除9
G1=9，第1列排除数字9
D3=9，第3列排除数字9

由基础摒除法，第A1所在的九宫格内9只有一个唯一的位置，
即确定B2=9。

分析：（见左图）
A4=9，则4列其它格排除9
G1=9，第G行排除数字9
H9=9，第H行排除数字9


由基础摒除法，第G4所在的九宫格内9只有一个唯一的位置，
即确定I5=9。

分析：（见左图）
A4=9，则4列其它格排除9
D3=9，第D行排除数字9
I5=9，第5列排除数字9


由基础摒除法，第D4所在的九宫格内9只有一个唯一的位置，
即确定F6=9。

分析：（见左图）
A4=9，则A行其它格排除9
B2=9，第B行排除数字9
H9=9，第9列排除数字9

由基础摒除法，第A7所在的九宫格内9只有一个唯一的位置，
即确定C8=9。

分析：（见左图）
C8=9，则8列其它格排除9
D3=9，第D行排除数字9
F6=9，第F行排除数字9
H9=9，第9列排除数字9


由基础摒除法，第D7所在的九宫格内9只有一个唯一的位置，
即确定E7=9。

确定F6、I5所在位置的数字作为练习。

二、唯一解法：
例如：

（1）当某行已填数字的宫格达到8个，那么该行剩余宫格能填的数
字 就只剩下那个还没出现过的数字了，这个数字称为行唯一解。
A行已经填入了8个数字，A行只有数字3没有出现过，所以A9=3,
这是行唯一解。

（2）第1列已经添入8个数字，第1列只有数字5没有出现过，
所以E1=5，这 是列唯一解。

（3）在A8所在九宫格区域已经添入8个数字，只有数字。


三、唯余解法：
唯余解法就是某宫格可以添入的数已经排除了8个,那么这个宫格 的数字就只能添入那
个没有出现的数字。唯余解法道理非常简单,但在实际使用是比较困难，要注意识别 。
例如：

A5的值是多少？
其实这就是唯余解法的原理，很简单吧。但是实际使用
时就不会容易发现了。



能使用唯余解法确定B7的值吗?
能确定E9,A9,B9,C9的值吗?
本题题目：
*********
*531*8*7*
8**4**9**
96**1*5*7
*********
**4**5**3
**67****5
4**8****1
*7*3****6

由区块摒除法可以得出E9=9，在区块摒除法没有举这个例子，
这里补充。

由唯余解法，C9=2

同样，可得出B9=4，A9=8。


四、区块摒除法：
区块摒除法是基础摒除法的提升方法，是直观法中使用频率最高 的方法之一。所谓区块，
就是将行分成3个三个相连的小方块构成，列也是分成3个三个相连的小方块构 成。九宫格
同样被看成由3个三个相连的小方块构成，如下面示意图：

区块摒除法的核心思想如下面解释(以行为例),对于在列也是相同的道理。
假如(G1~G3)黄色区域区块其中之一是数字9。

则(H4~H6)蓝色区域可能含有数字9，
否则(I4~I6)绿色区域含有数字9。

假定我们已确定(G1~G3)黄色区域区块其中之一是数字9，
(H4~H6)蓝色区域含有数字9，则在(I7~I9)绿色区域一定含有数字
9， 如果再 通过其它方法确定(I7~I9)绿色区域中某两个宫格不能为
数字9，则就能确定数字9在(I7~I 9)区块的具体位置。

例如 ：

能使用区块摒除法确定F6的数字吗?
本题题目
***81****
2**37****
81*****4*
**1****72
*******63
*73*6****
**92**6**
4****6**9

*****17**

D2=2，则E1~E3蓝色区块，或F1~F2绿色区块必包含数字2。

又有B1=2，利用列摒除法，E1,F1不能为数字1，有F2、F3
已填有数字，所以，E2~E3蓝色区块必有数字2。

由上面得出黄色区块，蓝 色区块包含数字2，这是典型的区块摒
除法，得到绿色区块必包含数字2。

又G4=2，F5已添入数字，所以F6=2。


五、单元摒除法
单元摒除法是比较基本的排除方法,下面举例解释：
能确定A8的数字吗?
本题题目：
8***92***
5***3**6*
*1*****9*
*8**7****
**9****82
**5*2**4*
6*35**4**
***1****7
*****79**

由D5=7，得出D8?
7，H9=7，得出G8、H8、I8
?
7显然A8=7


六、余数测试法：
所谓余数测试法就是在某行、列或九宫格所填数字比较多、剩余 2个或3个时,在剩余宫
格填入数字进行测试的解题方法。

例如：
本题题目：
*32****7*
1****89*2
*9*64****
8***245**
*513*****
**7****31
******74*
***5*6***
3***8***6
在B行，C行剩余未填的数字只有两三个了，这时可以使用余数

测试法进行解题。
我们看B行，B3可能添入的数为5或者6，我们从5开始测试
。

我们 在B3添入5进行测试,得到左图，没有得出出错的推断，所
以B3=5可能是正确的判断，如果能判断 出B3
?
6，则才能肯定B3=5。
所以下面我们还需要用B3=6进行测试。

在B3添入6，推出B8=5，观察C行，C7,C8,C9必含有数字5，
证明B3=6是错误的从而得出B3=5。



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