全国高中数学竞赛试卷及答案

2008年全国高中数学联赛四川赛区初赛试题
2008年5月18日(14：30一16：30)
一、选择题(本大题满分30分，每小题5分)
1. 设集合
A?xx
2< br>?x?6?0,且x?Z
，则集合
A
的非空真子集的个数为 （ ）
（A）13 （B） 14 （C） 15 （D） 16
??
2. 在公差为4的正项等差数列中，
a
3
与2的算术平均值等 于
S
3
与2的几何平均值，其中
S
3
表示数列
的前 三项和，则
a
10
为 （ ）
（A）38 （B） 40 （C） 42 （D） 44
3. 某学校的课外数学小组有8个男 生和6个女生，要从她们中挑选4个组成代表队去参加比赛，则代
表队包含男女各2人的概率为 （ ）
10306070
（B） （C） （D）
3
4. 设有一个体积为54的正四面体，若以它的四个面的中心为顶点做一个四面体，则所作四面体的体
积为 （ ）
（A）1 （B） 2 （C） 3 （D） 4
??
x
2
y
2
5. 已知椭圆
??1
的左顶点为
A
1
，右焦点为
F
2
，点
P
为 椭圆上的一点，则当
PA
1
?PF
2
取最小值
43
（A）
的时候，
PA
1
?PF
2
的值为 （ ）
（A）
22
（B）3 （C） 5 （D）
??
13

sin
3
?
cos
3
?
6. 设
?
?(0,)
则的最小值为 （ ）
?
cos
?
sin
?
2
27
3
（A） （B）
2
（C） 1
5
64
二、填空题（本大题满分30分，每小题5分）
?
（D）
5
3

6
7. 函数
f(x)?x?1?x?3?x ?5?x?7
的最小值为__________________ .

8. 函数
f(x)
对任意的
x
满足
f(x ?3)??
1
1
，且
f(1)?
，则
f(2008)
＝______________________.
f(x)
2
9. 设数列< br>{a
n
}
满足：
a
n
?(2n?1)(2n?1)( 2n?3)
，则
a
1
,a
2
,L,a
2008的最大公约数
d
为
________________ .
10. 已 知正实数
x,y
满足
x?2y?4
，则
11
?
的最 小值为__________________ .
xy
1
4
7
2
5
8
3
6
9
11. 用红、黄、蓝 三种颜色之一去涂途中标号为
1,2,L,9
的9个小正方形（如图），
使得任意相邻 （有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且“3、5、7”号
数字涂相同的颜色，则符合条件的所有 涂法共有 _______ 种。
?
a
n?1
?b
n< br>?2a
n
a
12. 数列
{a
n
}
、
{b
n
}
满足：
a
1
?1,b
1
?7< br>，且
?
，则
lim
n
＝_________.
n ??
b
?
b
n?1
?3b
n
?4a
nn
三、解答题（本大题满分80分，每小题20分）
L
3
5
13. 是否存在一个二次函数
f(x)
，使得对任 意的正整数
k
，当
x?55
12
k个5
A
L
3
5
成立？请给出结论，并加以证明． 时，都有
f(x)?55
12
2k个5
B
C
F

14. 设
F
是抛物线
y
2
?4x
的焦点，橙子奥 数欢迎您，
A、B
为抛物线上
uuuruuur
异于原点
O
的两点，且满足
FA?FB?0
．延长
AF、BF
分别交抛物
线于点
C、D
（如图）．求四边形
ABCD
面积的最小值．

15. 已知⊙
O
与
?ABC
的边
AB、AC
分别 相切于
P
和
Q
，与
?ABC
外接圆
相切于
D
，
M
是
PQ
的中点（如图）．求证：
?POQ?2?MD C
．

16. 已知
1?a
i
?7
，
i ?1,2,L,n
，其中正整数
n?2
．
（1）求证：对于一切的正整数< br>i
，都
P
A
D
M
O
Q
C
D
112
??
；
a
i
2
?17?a
i2
3
B
（2）求
S?
?
i?1
n
1< br>（a?1)(7?a)
2
i
2
i?1
的最小值，其中约定a
n?1
?a
1
．

2008年高中数学联赛四川赛区初赛试题

参考答案及评分标准
说明：
1、评阅试卷时，请依据评分标准.选择题和填空题只设5分和0分两档；其它各
题的评阅，请严格按照评分标准规定的评分档次给分，不要再增加其它中间档次.
2、如果考生的解答题方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评阅时
可参考本评分标准适当划分档次评分，5分一个档次，不要再增加其它中间档次.

一、选择题(本大题满分30分，每小题5分)
1、B 2、A 3、C 4、B 5、B 6、C
二、填空题（本大题满分30分，每小题5分）
7、8 8、
?2
9、3 10、
三、解答题（本大题满分80分，每小题20分）
3?22
1
11、108 12、
4
4
L
3
5
时，都 1 3、是否存在一个二次函数
f(x)
，使得对任意的正整数
k
，当
x ?55
12
k个5
L
3
5
成立？请给出结论，并加以证明． 有
f(x)?55
12
2k个5
解：存在符合条件的二次函数． …5分
设
f(x)?ax
2
?bx?c
，则当
k?1,2 ,3
时有：
f(5)?25a?5b?c?55
①；
f(55)?3025a?55b?c?5555
②；
f(555)?308025a?555b?c?555555
③．
9
5
9
下面证明：二次函数
f(x)?x
2
?2x
符合条件．
5
联立①、②、③，解得
a?,b?2,c?0
．于是，
f(x)?
9
2
x?2x
．
10分
5
5
kk?1< br>L5?（51?10?100?L?10)?(10?1)
， 因为
55
123
9
k个5
5
2k
L5?(10?1)
； …15分 同理：
55
123
9
2k个5
5955
f(55 L5)?f((10
k
?1))?[(10
k
?1)]
2
? 2?(10
k
?1)

123
9599
k个5
5< br>555
L
3
5
．
?(10
k
?1)
2
?2?(10
k
?1)?(10
k
?1)(10
k?1)
?(10
2k
?1)?55
12
9
999
2k个5
所以，所求的二次函数
f(x)?
9
2
x?2x
符合条件． ……20分
5

uuuruuur
14、设
F
是抛物线
y?4x
的焦点，
A 、B
为抛物线上异于原点
O
的两点，且满足
FA?FB?0
．延长< br>2
．求四边形
ABCD
面积的最小值．
AF、BF
分别交抛 物线于点
C、D
（如图）
解：设
A（x
1
,y
1< br>)、C(x
2
,y
2
)
，由题设知，直线
AC
的斜率存在，设为
k
．
B
A
因直线
AC
过焦点
F(1,0)
，所以，直线
AC
的方程为
y?k(x?1)
．
C
F
?
y?k(x?1)
联立方程组
?
2，消
y
得
k
2
x
2
?2(k
2
?2)x?k
2
?0

?
y?4x
D
2k
2
?4
由根与系数的关系知：
x
1
?x
2
?，
x
1
x
2
?1
……5
2
k
分
于是
|AC|?（x
1
?x< br>2
)
2
?（y
1
?y
2
)
2
?1?k
2
（x
1
?x
2
)
2
?4x< br>1
x
2

?1?k
2
?
2k
2?4
?
4(1?k
2
)
……10分 < br>??
?4
?
2
2
k
k
??
2
又因为
AC?BD
，所以直线
BD
的斜率为
?
1
，
k
从而直线
BD
的方程为：
y??(x?1)
，同理可得
|BD|?4(1?k
2
)
．……15分
故
S
A BCD
1
k
18(1?k
2
)
2
1
2?|AB|?|CD|??8(k??2)
?8?(2?2)?32

2k
2
k
2
当
k??1
时等号成立．所以，四边形
ABCD< br>的最小面积为32． ……20分
15、已知⊙
O
与
? ABC
的边
AB、AC
分别相切于
P
和
Q
，与?ABC
外接圆相切于
D
，
M
是
PQ
的中点（如图）．橙子奥数工作室欢迎您．求证：
?POQ?2?MDC
．
A
证明：如图，连结
AO、AD、DO和DQ
．
∵
AP、AQ
分别与⊙
O
相切于
P、Q

∴
AP?AQ

∵
OP
和
OQ
都是⊙
O
的半径，
PM
O
D
B
Q
C
K
?APO??AQO?90< br> ……5分
∴ 由对称性知
?POQ?2?AOQ
，且
OA?PQ
于
M
．
∴
OD
2
?OQ
2
?OM?OA
，即
o
ODOA
……10分
?
OMOD
又∵
?DOM??AOD
，∴
?DOM
∽
?AOD

∴
?ODM??OAD
……15分

过
D
作两圆的公切线
DE
， 则
?CDE??CAD

又∵
OD?DE
，即
?ODE?90
o

∴ ?MDC?90
o
??ODM??COE?90
o
??OAD??DAC


?90
o
??OAQ??AOQ

故
?POQ?2?MDC
． ……20分

16、已知
1?a
i
?7
，
i?1 ,2,L,n
，其中正整数
n?2
．
（1）求证：对于一切的正整数
i
，都有
112
a
2
1
?
7?a
2?
；
i
?
i
3
n
（2）求
S??
1
a
1
．
i?1
（a
2
的最小值 ，其中约定
?1)(7?a
2
a
n?1
?
ii?1
)
（1）证明：对于一切的正整数
i
，
116
6
a
2
?1
?
7?a
2
?
2
??
2
．5分
ii
(a
i
?1)(7?a
2
i
)
?
?
a
2
i
?1?7?a
2
i
?
2
3
?
2
?
?
n
2
（2）由
C auchy
不等式知
S?
?
1
?
n
n
i? 1
（a
2
?1)(7?a
2
ii?1
)
?
(a
2
i
?1)(7?a
2
i?1
)
i?1

?
n
2
n
2
n
?
n
(a
2
?1)?(7?a
2
?
n
?a
2
? ……15分
ii?1
)a
2
ii?1
3
i?1
2
?
（?3）
i?1
2
当
a
1
? a
2
?L?a
n
n
?2
时，等于成立，所以
S有最小值
3
．…20分

2008年全国高中数学联赛一试试题
一、选择题（本题满分36分，每小题6分）
1．函数在上的最小值
是 （C ）
A．0 B．1 C．2
2．设，，若，则实数的取值范围为
A． B． C．
……10分

（ ）
D．
D．3