高中数学竞赛讲义(免费)

高中数学竞赛资料
一、高中数学竞赛大纲
全国高中数学联赛
全国高中数学联赛（一试）所涉及的知识范围不超出教育部2000年 《全日制
普通高级中学数学教学大纲》中所规定的教学要求和内容，但在方法的要求上有所提高。
全国高中数学联赛加试
全国高中数学联赛加试（二试）与国际数学 奥林匹克接轨，在知识方面有所扩
展；适当增加一些教学大纲之外的内容，所增加的内容是：
1.平面几何
几个重要定理：梅涅劳斯定理、塞瓦定理、托勒密定理、西姆松定理。三角形中 的几个
特殊点：旁心、费马点，欧拉线。几何不等式。几何极值问题。几何中的变换：对称、平移、旋转。圆的幂和根轴。面积方法，复数方法，向量方法，解析几何方法。
2.代数
周期函数，带绝对值的函数。三角公式，三角恒等式，三角方程，三角不等式，反三角
函数。递归，递归数列及其性质，一阶、二阶线性常系数递归数列的通项公式。
第二数学归纳法。平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，切比雪夫不等式，一元凸函数。
复数及其指数形式、三角形式，欧拉公式，棣莫弗定理，单位根。多项式的除法定理、因式
分解定理，多 项式的相等，整系数多项式的有理根*，多项式的插值公式*。
n次多项式根的个数，根与系数的关系，实系数多项式虚根成对定理。
函数迭代，简单的函数方程*
3. 初等数论
同余，欧几里得除 法，裴蜀定理，完全剩余类，二次剩余，不定方程和方程组，高斯函
数[x]，费马小定理，格点及其性 质，无穷递降法，欧拉定理*，孙子定理*。
4.组合问题
圆排列，有重复元素的 排列与组合，组合恒等式。组合计数，组合几何。抽屉原理。容
斥原理。极端原理。图论问题。集合的划 分。覆盖。平面凸集、凸包及应用*。
注：有*号的内容加试中暂不考，但在冬令营中可能考。
三、高中数学竞赛基础知识

第一章 集合与简易逻辑
一、基础知识
定义1 一般地，一组确定的、互异的、无序的对象的全体构成集合，简称集，用大写字母
来 表示；集合中的各个对象称为元素，用小写字母来表示，元素
x
在集合
A
中， 称
x
属于
A
，
记为
x?A
，否则称
x不属于
A
，记作
x?A
。例如，通常用
N
，
Z
，
Q
，
B
，
Q
分别表示自然
数集、整数集 、有理数集、实数集、正有理数集，不含任何元素的集合称为空集，用
?
来
表示。集合 分有限集和无限集两种。
集合的表示方法有列举法：将集合中的元素一一列举出来写在大括号内并用逗 号隔开表示集
合的方法，如{1，2，3}；描述法：将集合中的元素的属性写在大括号内表示集合的方 法。
+
例如{有理数}，
{xx?0}
分别表示有理数集和正实数集。
定义2 子集：对于两个集合
A
与
B
，如果集合
A
中的任何一个元素都是集合
B
中的元素，
则
A
叫做
B的子集，记为
A?B
，例如
N?Z
。规定空集是任何集合的子集，如果< br>A
是
B
的子集，
B
也是
A
的子集，则称A
与
B
相等。如果
A
是
B
的子集，而且
B
中存在元素不属于

A
，则
A
叫
B
的真子集。
定义3 交集，
A?B?{xx?A且x?B}.

定义4 并集，
A?B?{xx?A或x?B}.

定义5 补集，若
A?I,则C
1
A?{xx?I,且x?A}
称为
A
在
I
中的补 集。
定义6 差集，
AB?{xx?A,且x?B}
。
定义7 集合
{xa?x?b,x?R,a?b}
记作开区间
(a,b)
，集合 {xa?x?b,x?R,a?b}
记作闭区间
[a,b]
，R记作
(? ?,??).

定理1 集合的性质：对任意集合
A
，
B
，
C
，有：
（1）
A?(B?C)?(A?B)?(A?C);
（2）
A?(B?C)?(A?B)?(A?C)
；
（3）
C
1< br>A?C
1
B?C
1
(A?B);
（4）
C
1
A?C
1
B?C
1
(A?B).

【证明】这里仅证（1）、（3），其余由读者自己完成。
（1）若
x?A?(B? C)
，则
x?A
，且
x?B
或
x?C
，所以
x?(A?B)
或
x?(A?C)
，
即
x?(A?B)?(A?C )
；反之，
x?(A?B)?(A?C)
，则
x?(A?B)
或x?(A?C)
，
即
x?A
且
x?B
或
x?C
，即
x?A
且
x?(B?C)
，即
x?A?(B?C).< br>
（3）若
x?C
1
A?C
1
B
，则
x?C
1
A
或
x?C
1
B
，所以
x?A
或
x?B
，所以
x?(A?B)
，
又
x?I
，所以
x?C
1
(A?B)
，即
C
1
A?C1
B?C
1
(A?B)
，反之也有
C
1
(A? B)?C
1
A?C
1
B.

定理2 加法原理：做一件事 有
n
类办法，第一类办法中有
m
1
种不同的方法，第二类办法
中有
m
2
种不同的方法，…，第
n
类办法中有
m
n
种不同的方法，那么完成这件事一共有
N?m
1
?m
2
? ??m
n
种不同的方法。
定理3 乘法原理：做一件事分
n
个步 骤，第一步有
m
1
种不同的方法，第二步有
m
2
种不同的方法，…，第
n
步有
m
n
种不同的方法，那么完成这件事一共 有
N?m
1
?m
2
???m
n
种不
同的方 法。
二、方法与例题
1．利用集合中元素的属性，检验元素是否属于集合。

例1 设
M?{aa?x?y,x,y?Z}
，求证：
（1）
2k?1?M,(k?Z)
；
（2）
4k?2?M,(k?Z)
；
（3）若
p?M,q?M
，则
pq?M.


[证明]（1）因为
k,k?1?Z
，且
2k?1?k?(k?1 )
，所以
2k?1?M.

（2）假设
4k?2?M(k?Z)，则存在
x,y?Z
，使
4k?2?x?y
，由于
x?y
和
x?y
有相同的奇偶性，所以
x?y?(x?y)(x?y)
是奇数或4 的倍数，不可能等于
4k?2
，
假设不成立，所以
4k?2?M.

（3）设
p?x?y,q?a?b,x,y,a,b?Z
，则
pq?(x?y )(a?b)

22222222
22
22
22
22
?a
2
a
2
?y
2
b
2
?x
2
b
2
?y
2
a
2
?(xa?yb)
2?(xb?ya)
2
?M

（因为
xa?ya?Z,xb?ya?Z
）。
2．利用子集的定义证明集合 相等，先证
A?B
，再证
B?A
，则
A
=
B
。
例2 设
A
，
B
是两个集合，又设集合M满足
。
A?M?B?M?A?B,A?B?M?A?B
，求集合M（用
A
，
B
表示）
【解】先证
(A?B)?M
，若
x?(A?B)
， 因为
A?M?A?B
，所以
x?A?M,x?M
，
所以
(A ?B)?M
；


再证
M?(A?B)
，若
x?M
，则
x?A?B?M?A?B.
1）若
x?A
，则
x?A? M?A?B
；2）若
x?B
，则
x?B?M?A?B
。所以
M?(A?B).

综上，
M?A?B.

3．分类讨论思想的应用。
例3
A?{xx
2
?3x?2?0 },B?{xx
2
?ax?a?1?0},C?{xx
2
?mx?2?0}< br>，若
A?B?A,A?C?C
，求
a,m.

2
【解 】依题设，
A?{1,2}
，再由
x?ax?a?1?0
解得
x?a ?1
或
x?1
，
因为
A?B?A
，所以
B?A< br>，所以
a?1?A
，所以
a?1?1
或2，所以
a?2
或3。
2
因为
A?C?C
，所以
C?A
，若
C ??
，则
??m?8?0
，即
?22?m?22
，

若
C??
，则
1?C
或
2?C< br>，解得
m?3.

综上所述，
a?2
或
a?3
；
m?3
或
?22?m?22
。
4．计数原理的应用。
例4 集合
A
，
B
，
C
是
I
= {1，2，3，4，5，6，7，8，9，0}的子集，（1）若
A?B?I
，求
有序 集合对（
A
，
B
）的个数；（2）求
I
的非空真子集的个数 。
【解】（1）集合
I
可划分为三个不相交的子集；
A

B
，
B

A
，
A?B,I
中的每个元素恰属于其
中一个子集，10个元素共有3种可能，每一种可能确定一个满足条件的集合对，所以集合
10
对有3个。
（2）
I
的子集分三类：空集，非空真子集，集合
I
本身，确定一个子集分十步，第一步，1
或者属于该子集或者不属于，有两种；第二步，2也有两种，… ，第10步，0也有两种，由
乘法原理，子集共有
2
10
?1024
个，非空真子集有1022个。
5．配对方法。
例5 给定集合
I?{1,2,3 ,?,n}
的
k
个子集：
A
1
,A
2
,? ,A
k
，满足任何两个子集的交集非
空，并且再添加
I
的任何一个其 他子集后将不再具有该性质，求
k
的值。
【解】将
I
的子集作如下 配对：每个子集和它的补集为一对，共得
2
n?1
10
对，每一对不能同在< br>这
k
个子集中，因此，
k?2
n?1
；其次，每一对中必有一 个在这
k
个子集中出现，否则，若
有一对子集未出现，设为
C
1A
与
A
，并设
A?A
1
??
，则
A< br>1
?C
1
A
，从而可以在
k
个子
集中再添加
C
1
A
，与已知矛盾，所以
k?2
n?1
。综上，
k?2
n?1
。
6．竞赛常用方法与例问题。
定理4 容斥原 理；用
A
表示集合
A
的元素个数，则
A?B?A?B?A?B,
A?B?C?A?B?C?A?B?A?C?B?C?A?B?C
，
需要xy< br>此结论可
以推广到
n
个集合的情况，即
?

?
A
i?1
n
i
?
?
A
i
?
?< br>A
i
?A
j
?
i?1i?j
n
1?i?j? k?n
?
A
i
?A
j
?A
k
???(?1 )
n?1
?
n
A
i
.

i?1
定义8 集合的划分：若
A
1
?A
2
?? ?A
n
?I
，且
A
i
?A
j
??(1?i ,j?n,i?j)
，则
这些子集的全集叫
I
的一个
n
-划 分。
定理5 最小数原理：自然数集的任何非空子集必有最小数。
定理6 抽屉原理： 将
mn?1
个元素放入
n(n?1)
个抽屉，必有一个抽屉放有不少于
m?1
个
元素，也必有一个抽屉放有不多于
m
个元素；将无穷多个元素放入
n
个抽屉必有一个抽屉

放有无穷多个元素。
例6 求1，2，3，…，100中不能被2，3，5整除的数的个数。
【解】 记
I?{1,2,3,?,100},A?{x1?x?100,且x能被2整除（记为2x）}
，B?{x1?x?100,3x},C?{x1?x?100,5x}
，由容斥原理，
?< br>100
??
100
?
A?B?C?A?B?C?A?B?B?C?C? A?A?B?C?
?
?
?
?
??
?
2
??
3
?
?
100
??
100
??
100??
100
??
100
?
?
?
?
?< br>?
?
?
?
?74
，所以不能被2，3，5整除的数有
??????
56101530
??????????
I?A?B?C?26
个。
例7 S是集合{1，2，…，2004}的子集，S中的任意两个数的差不等于4或7，问S 中最多
含有多少个元素？
【解】将任意连续的11个整数排成一圈如右图所示。由题目条件可 知每相邻两个数至多有
一个属于S，将这11个数按连续两个为一组，分成6组，其中一组只有一个数， 若S含有
这11个数中至少6个，则必有两个数在同一组，与已知矛盾，所以S至多含有其中5个数。< br>又因为2004=182×11+2，所以S一共至多含有182×5+2=912个元素，另一方面，当
恰有
S?912
，且S满足题目条件，
S?{rr?11k?t,t?1,2 ,4,7,10,r?2004,k?N}
时，
所以最少含有912个元素。
例8 求所有自然数
n(n?2)
，使得存在实数
a
1
,a
2,?,a
n
满足：
{a
i
?a
j
}1?i? j?n}?{1,2,?,
n(n?1)
}.

2
【解】 当n?2
时，
a
1
?0,a
2
?1
；当
n?3
时，
a
1
?0,a
2
?1,a
3
? 3
；当
n?4
时，
a
1
?0,a
2
?2 ,a
3
?5,a
4
?1
。下证当
n?5
时，不存在
a
1
,a
2
,?,a
n
满足条件。
令< br>0?a
1
?a
2
???a
n
，则
a
n
?
n(n?1)
.

2
所以必存在某两个下标
i ?j
，使得
a
i
?a
j
?a
n
?1
，所以
a
n
?1?a
n?1
?a
1
?a
n?1
或
a
n
?1?a
n
?a
2
，即a
2
?1
，所以
a
n
?
（ⅰ）若
a< br>n
?
n(n?1)n(n?1)
，
a
2
?1
。
,a
n?1
?a
n
?1
或
a
n
?
22
n(n?1)
,a
n?1
?a
n
?1，考虑
a
n
?2
，有
a
n
?2?a
n ?2
或
a
n
?2?a
n
?a
2
，
2
即
a
2
?2
，设
a
n?2
?a
n
?2
，则
a
n?1
?a
n?2
?a
n< br>?a
n?1
，导致矛盾，故只有
a
2
?2.

考虑
a
n
?3
，有
a
n
?3?a
n?2
或
a
n
?3?a
n
?a
3
，即
a
3
?3
，设
a
n
?3?a
n?2
，则a
n?1
?a
n?2
?2?a
2
?a
0
，推出矛盾，设
a
3
?3
，则
a
n
?a
n?1
?1?a
3
?a
2
，又推出矛盾，

所以
a
n?2
?a
2
,n?4< br>故当
n?5
时，不存在满足条件的实数。
（ⅱ）若
a
n?
n(n?1)
,a
2
?1
，考虑
a
n
?2
，有
a
n
?2?a
n?1
或
a
n< br>?2?a
n
?a
3
，即
2
a
3
?2
，这时
a
3
?a
2
?a
2
?a
1
，推出矛盾，故
a
n?1
?a
n
?2
。考虑
a
n
?3
，有
a
n
?3?a
n?2
或< br>a
n
?3?a
n
?a
3
，即
a
3< br>=3，于是
a
3
?a
2
?a
n
?a
n?1
，矛盾。因此
a
n?2
?a
n
?3
，所以< br>a
n?1
?a
n?2
?1?a
2
?a
1，这又矛盾，所以只有
a
n?2
?a
2
，所以
n?4< br>。故当
n?5
时，不
存在满足条件的实数。
例9 设
A< br>={1，2，3，4，5，6}，
B
={7，8，9，……，
n
}，在
A
中取三个数，
B
中取两个数
组成五个元素的集合
A
i
，
i?1,2,?,20,A
i
?A
j
?2,1?i? j?20.
求
n
的最小值。
【解】
n
min
?16.

设
B
中每个数在所有
A
i
中最多重复出现
k
次，则必有
k?4
。若不然，数m
出现
k
次
（
k?4
），则
3k?12.在
m
出现的所有
A
i
中，至少有一个
A
中的数 出现3次，不妨设它是
1，就有集合{1，
a
1
,a
2
,m ,b
1
}
{1,a
3
,a
4
,m,b
2< br>},{1,a
5
,a
6
,m,b
3
}
，其中
a
i
?A,1?i?6
，
为满足题意的集合。
a
i
必各不相同，但只能是2，3，4，5，6这5个数，这不可能，所以
k?4.
20个
A
i
中，
B
中的数有40个，因此至少是10个不同的， 所以
n?16
。当
n?16
时，如下
20个集合满足要求：
{1，2，3，7，8}， {1，2，4，12，14}， {1，2，5，15，16}， {1，2，6，9，10}，
{1，3，4，10，11}， {1，3，5，13，14}， {1，3，6，12，15}， {1，4，5，7，9}，
{1，4，6，13，16}， {1，5，6，8，11}， {2，3，4，13，15}， {2，3，5，9，11}，
{2，3，6，14，16}， {2，4，5，8，10}， {2，4，6，7，11}， {2，5，6，12，13}，
{3，4，5，12，16}， {3，4，6，8，9}， {3，5，6，7，10}， {4，5，6，14，15}。
例10 集合{1，2，…，3< br>n
}可以划分成
n
个互不相交的三元集合
{x,y,z}
，其 中
x?y?3z
，
求满足条件的最小正整数
n.

【解】 设其中第
i
个三元集为
{x
i
,y,z
i
},i? 1,2,?,n,
则1+2+…+
3n?
?
4z
i?1
n< br>i
,

n
3n(3n?1)
?4
?
z
i
。所以当
n
为偶数时，有
83n
，所以
n?8
，当
n
为奇数时，有
83n?1
，
2
i?1
所以< br>n?5
，当
n?5
时，集合{1，11，4}，{2，13，5}，{3，15 ，6}，{9，12，7}，{10，
14，8}满足条件，所以
n
的最小值为5。

第二章 二次函数与命题
一、基础知识
22
1．二次函数：当
a?
0时，
y
=
ax
+
bx
+
c
或
f
(
x
)=
ax
+
bx
+
c
称为关于
x
的二次函数，其对称轴为直线
x
=-
bb
2
，另外配方可得
f
(x
)=
a
(
x
-
x
0
)+
f
(
x
0
)，其中
x
0
=-，下同。
2a 2a
2．二次函数的性质：当
a
>0时，
f
(
x
) 的图象开口向上，在区间（-∞，
x
0
]上随自变量
x
增
大 函数值减小（简称递减），在[
x
0
, -∞）上随自变量增大函数值增大（简称递增）。当
a
<0
时，情况相反。
222
3．当
a
>0时，方程
f
(
x
)=0即ax
+
bx
+
c
=0…①和不等式
ax
+bx
+
c
>0…②及
ax
+
bx
+
c
<0…③与
2
函数
f
(
x
)的关系如下（记△=< br>b
-4
ac
）。
1）当△>0时，方程①有两个不等实根，设
x
1
,
x
2
(
x
1
<
x
2
)，不等式②和不等式③的解集分别是
{
x
|
x
<x
1
或
x
>
x
2
}和{
x
|
x
1
<
x
<
x
2
}，二次函数
f
(
x
)图象与
x
轴有两个不同的交点，
f
(
x
)还可写
成
f
(
x
)=
a
(
x
-
x
1
)(
x
-
x
2
). < br>2）当△=0时，方程①有两个相等的实根
x
1
=
x
2
=
x
0
=
?
{
x
|
x
??b
,不等式②和不等式③的解集分别是
2a
b
}和空集
?
，
f
(
x
)的图象与
x
轴有唯一公共点。
2a
3）当△<0时，方程①无解，不等式②和不等式③的解集分别是R和
?
.
f
(
x
)图象与
x
轴无
公共点。
当
a
<0时，请读者自己分析。
4ac?b
2
4．二次函 数的最值：若
a
>0，当
x
=
x
0
时，
f
(
x
)取最小值
f
(
x
0
)=,若
a
<0，则当
4a
4ac?b
2
b
x
=
x
0
=
?
时，
f
(
x
)取最大值
f
(
x
0
)=.对于给定区间[m,
n
]上的二次函数4a
2a
f
(
x
)=
ax
2
+
bx
+
c
(
a
>0)，当
x
0
∈[m,
n
]时，
f
(
x
)在[m,
n
]上的最小值为
f
(
x
0
); 当
x
0
f
(
x
)
在[m, n
]上的最小值为
f
(m)；当
x
0
>
n时，
f
(
x
)在[m,
n
]上的最小值为
f
(
n
)（以上结论由二
次函数图象即可得出）。
定义1 能判断 真假的语句叫命题，如“3>5”是命题，“萝卜好大”不是命题。不含逻辑联
结词“或”、“且”、“ 非”的命题叫做简单命题，由简单命题与逻辑联结词构成的命题由复合
命题。
注1 “p
或
q
”复合命题只有当
p
，
q
同为假命题时 为假，否则为真命题；“
p
且
q
”复合命
题只有当
p
，
q
同时为真命题时为真，否则为假命题；
p
与“非
p
” 即“
p
”恰好一真一假。
定义2 原命题：若
p
则
q< br>（
p
为条件，
q
为结论）；逆命题：若
q
则
p
；否命题：若非
p
则
q
；
逆否命题：若非
q则非
p
。
注2 原命题与其逆否命题同真假。一个命题的逆命题和否命题同真假。
注3 反证法的理论依据是矛盾的排中律，而未必是证明原命题的逆否命题。
定义3 如果命题“若
p
则
q
”为真，则记为
p
?
q
否则记作
p
?
q
.在命题“若
p
则
q
”中，
如果已 知
p
?
q
,则
p
是
q
的充分条件；如果< br>q
?
p
，则称
p
是
q
的必要条件；如果p
?
q
但
q
不
?
p
，则称
p
是
q
的充分非必要条件；如果
p
不
?
q
但
p
?
q
，则
p
称为
q
的必要非充
分条件；若
p
?
q
且
q
?
p
，则
p
是
q
的充要条件。
二、方法与例题
1．待定系数法。

例1 设方程
x
-
x
+1= 0的两根是α，β，求满足
f
(α)=β,
f
(β)=α,
f
(1)=1的二次函数
f
(
x
).
2
【解】 设f
(
x
)=
ax
+
bx
+
c
(
a
?
0),
则由已知
f
(α)=β,
f
(β)=α相减并整理得（α-β）[（α+β）
a
+
b
+1]=0，
2
因为方程
x
-
x
+1=0中△
?
0，
所以α
?
β，所以(α+β)
a
+
b
+1=0.
又α+β=1,所以
a
+
b
+1=0.
又因为
f
(1)=
a
+
b
+
c
=1，
所以
c
-1=1，所以
c
=2.
2
又
b
=-(
a
+1)，所以
f
(
x
)=
ax< br>-(
a
+1)
x
+2.
2
再由
f
(α)=β得
a
α-(
a
+1)α+2=β,
22
所以< br>a
α-
a
α+2=α+β=1，所以
a
α-
a
α+1=0.
2
即
a
(α-α+1)+1-
a
=0,即 1-
a
=0，
所以
a
=1,
2
所以
f
(
x
)=
x
-2
x
+2.
2．方程的思想。
2
例2 已知
f
(
x
)=< br>ax
-
c
满足-4≤
f
(1)≤-1, -1≤
f
(2)≤5，求
f
(3)的取值范围。
【解】 因为-4≤
f
(1)=
a
-
c
≤-1,
所以1≤-
f
(1)=
c
-
a
≤4.
2
85
f
(2)-
f
(1),
33
8585
所以×(-1)+≤
f
(3)≤×5+×4,
3333
又-1≤
f
(2)=4
a
-
c
≤5,
f
(3)=
所以-1≤
f
(3)≤20.
3．利用二次函数的性质。
2
例3 已知二次函数
f
(
x
)=
ax
+
bx
+
c
(
a
,< br>b
,
c
∈R,
a
?
0)，若方程
f
(
x
)=
x
无实根，求证：方程
f
(
f
(
x
))=
x
也无实根。
【证明】若
a
>0，因 为
f
(
x
)=
x
无实根，所以二次函数
g
(
x
)=
f
(
x
)-
x
图象与
x
轴无公共点且
开口向上，所以对任意的
x
∈R,
f
(
x
)-
x
>0即
f
(
x
)>
x
，从而
f
(
f
(
x
))>
f
(
x
)。
所以
f
(
f
(
x
))>
x
，所以方程
f
(
f
(
x
))=
x
无实根。
注：请读者思考例3的逆命题是否正确。
4．利用二次函数表达式解题。
例4 设二次函数
f
(
x
)=
ax
+
b x
+
c
(
a
>0)，方程
f
(
x
)=
x
的两根
x
1
,
x
2
满足0<x
1
<
x
2
<
（Ⅰ）当
x
∈(0,
x
1
)时，求证：
x
<
f
(
x
) <
x
1
；
（Ⅱ）设函数
f
(
x
)的图象 关于
x
=
x
0
对称，求证：
x
0
<
2
1
,
a
x
1
.

2
【证明】 因为
x
1
,
x
2
是方程< br>f
(
x
)-
x
=0的两根，所以
f
(
x
)-
x
=
a
(
x
-
x
1)(
x
-
x
2
)，
即
f
(
x
)=
a
(
x
-
x
1
)(
x-
x
2
)+
x
.
（Ⅰ）当
x
∈(0,
x
1
)时，
x
-
x
1
<0,
x
-
x
2
<0,
a
>0，所以
f
(
x
)>
x
.
其次
f
(
x
)-
x
1
=(
x
-< br>x
1
)[
a
(
x
-
x
2
) +1]=
a
(
x
-
x
1
)[
x
-
x
2
+
1
]<0，所以
f
(
x
) <
x
1
.
a
综上，
x
<
f
(< br>x
)<
x
1
.
（Ⅱ）
f
(
x)=
a
(
x
-
x
1
)(
x
-
x
2
)+
x
=
ax
2
+[1-
a
(
x
1
+
x
2
)]
x
+
ax
1
x
2
,

a(x
1
?x
2
)?1x
1
?x
2
1
??,
2a22a
x
1
x
11
?
1
?< br>?
2
??
?
x
2
?
?
?0
，
222a2
?
a
?
所以
x
0
=
所以
x
0
?
所以
x
0
?
x
1< br>.

2
5．构造二次函数解题。
222
例5 已知关于< br>x
的方程(
ax
+1)=
a
(
a
-
x
),
a
>1，求证：方程的正根比1小，负根比-1大。
222
【证明】 方程化为2
ax
+2
ax
+1-
a
=0.
222
构造
f
(
x
)=2
ax
+2
ax
+1-
a
,
f
(1)=(
a
+1)
2
>0,
f
(-1)=(
a
-1)
2
>0,
f
(0)=1-
a
2
<0, 即△>0，
所以
f
(
x
)在区间（-1,0）和（0，1）上各有一根。
即方程的正根比1小，负根比-1大。
6．定义在区间上的二次函数的最值。
x
4
?x
2
?5
例6 当
x
取何值时，函数
y
=取最小值？求出这个最小值。
22
(x?1)
【解】
y
=1-
15
1
?
,令
?
u,则0222
2
x?1(x?1)
x?1
2
1
?
1919
?
y
=5u-u+ 1=5
?
u?
?
?
,
?
10
?
2020
?
2
且当
u?
119
即
x
=?
3时，
y
m
in
=.
1020
22
例7 设变量
x
满足
x
+
bx
≤-
x
(
b
<-1)，并且
x
+
bx
的最小值是
?
【解】 由
x
+
bx
≤-
x
(
b
<-1)，得0≤
x
≤-(
b
+1).
2
1
，求
b
的值。
2
b
2
b< br>2
1
b
22
??
，ⅰ)-≤-(
b
+1)， 即
b
≤-2时，
x
+
bx
的最小值为-
,?
所以
b
=2，所以
b??2
442
2
（舍去）。
b
2
>-(
b
+1)，即
b
>-2时，
x
+
bx
在[0，-(
b
+1)]上是减函数，
2
13< br>2
所以
x
+
bx
的最小值为
b
+1,
b
+1=-,
b
=-.
22
3
综上，
b
=-.
2
ⅱ) -
7.一元二次不等式问题的解法。
?
x
2
?x?a?a
2
?0
例8 已知不等式组
?
①②的整数解恰好有两个，求
a
的取值范围。
?
x?2a?1

【解】 因为方程
x
-
x
+
a
-
a
=0的两根为
x
1
=
a
,
x
2
=1-
a
,
若< br>a
≤0，则
x
1
<
x
2
.①的解集为
a
<
x
<1-
a
，由②得
x
>1-2
a
.
因为1-2
a
≥1-
a
，所以
a
≤0 ,所以不等式组无解。
若
a
>0，ⅰ）当0<
a
<
22< br>1
时，
x
1
<
x
2
,①的解集为
a
<
x
<1-
a
.
2
因为0<
a
<
x
<1-
a
<1，所以不等式组无整数解。
1
时，
a
=1-
a
，①无解。
2
1ⅲ）当
a
>时，
a
>1-
a
，由②得
x
>1-2
a
，
2
ⅱ）当
a
=
所以不等式组的解 集为1-
a
<
x
<
a
.
又不等式组的整数解恰有2个，
所以
a
-(1-
a
)>1 且
a
-(1-
a
)≤3，
所以1<
a
≤2，并且 当1<
a
≤2时，不等式组恰有两个整数解0，1。
综上，
a
的取值范围是1<
a
≤2.
8．充分性与必要性。
例9 设定数
A
，
B
，
C
使得不等式
A
(x
-
y
)(
x
-
z
)+
B
(
y
-
z
)(
y
-
x
)+
C
(
z
-
x
)(
z
-
y
)≥0 ①
对一切实数
x
,
y
,
z
都成立，问
A，
B
，
C
应满足怎样的条件？（要求写出充分必要条件，而且
限 定用只涉及
A
，
B
，
C
的等式或不等式表示条件）
222
【解】 充要条件为
A
，
B
，
C
≥0且
A
+
B
+
C
≤2(
AB
+
BC
+
CA
).
22
先证必要性，①可改写为
A
(
x
-
y
)-(
B
-
A
-
C)(
y
-
z
)(
x
-
y
)+
C
(
y
-
z
)≥0 ②
若
A
=0， 则由②对一切
x
,
y
,
z
∈R成立，则只有
B=
C
，再由①知
B
=
C
=0，若
A
?
0，则因为②
2222
恒成立，所以
A
>0，△=(
B-
A
-
C
)(
y
-
z
)-4
AC
(
y
-
z
)≤0恒成立，所以(
B
-
A
-
C
)-4
AC
≤0，即
A
2
+
B
2
+
C
2
≤2(
AB
+
BC
+
CA
)
同理有
B
≥0，
C
≥0，所以必要性成立。
222
再证充分性，若
A
≥0，
B
≥0，
C
≥0且
A< br>+
B
+
C
≤2(
AB
+
BC
+CA
)，
222
1）若
A
=0，则由
B
+< br>C
≤2
BC
得(
B
-
C
)≤0，所以
B
=
C
，所以△=0，所以②成立，①成立。
2）若
A
>0，则由③知△≤0，所以②成立，所以①成立。
综上，充分性得证。
9．常用结论。
定理1 若
a
,
b
∈R, |
a
|-|
b
|≤|
a
+b
|≤|
a
|+|
b
|.
【证明】 因为-|a
|≤
a
≤|
a
|,-|
b
|≤
b< br>≤|
b
|，所以-(|
a
|+|
b
|)≤
a
+
b
≤|
a
|+|
b
|,
所以|
a
+
b
|≤|
a
|+|
b
|（注：若m>0，则 -m≤
x
≤m等价于|
x
|≤m）.
又|
a
|= |
a
+
b
-
b
|≤|
a
+
b|+|-
b
|,
即|
a
|-|
b
|≤|a
+
b
|.综上定理1得证。
定理2 若
a
,
b
∈R, 则
a
+
b
≥2
ab
；若
x
,
y
∈R,则
x
+
y
≥
2xy.

22+
(证略)
注 定理2可以推广到
n
个正数的情况，在不等式证明一章中详细论证。

第三章 函数
一、基础知识
定义1 映射，对于任意两个集合
A< br>，
B
，依对应法则
f
，若对
A
中的任意一个元素x
，在
B

中都有唯一一个元素与之对应，则称
f
:
A
→
B
为一个映射。
定义2 单射，若
f
:
A
→
B
是一个映射且对任意
x
,
y
∈
A
,
x
?
y
, 都有
f< br>(
x
)
?
f
(
y
)则称之为
单射。
定义3 满射，若
f
:
A
→
B
是映射且对任意
y
∈
B
，都有一个
x
∈
A
使得
f
(
x
)=
y
，则称
f
:
A
→
B
是
A
到
B
上的满射。
定义4 一一映射，若
f
:
A
→
B
既是单射又 是满射，则叫做一一映射，只有一一映射存在逆
-1-1
映射，即从
B
到A
由相反的对应法则
f
构成的映射，记作
f
:
A
→
B
。
定义5 函数，映射
f
:
A
→
B
中，若
A
，
B
都是非空数集，则这个映射为 函数。
A
称为它的定
义域，若
x
∈
A
,
y
∈
B
，且
f
(
x
)=
y
（即< br>x
对应
B
中的
y
），则
y
叫做
x< br>的象，
x
叫
y
的原象。
集合{
f
(
x
)|
x
∈
A
}叫函数的值域。通常函数由解析式给出，此时函数定 义域就是使解析式有
意义的未知数的取值范围，如函数
y
=3
x
-1 的定义域为{
x
|
x
≥0,
x
∈R}.
定义6 反函数，若函数
f
:
A
→
B
（通常记作
y
=
f
(
x
)）是一一映射，则它的逆映射
f
:
A
-1
→
B
叫原函数的反函数，通常写作
y
=
f< br>(
x
). 这里求反函数的过程是：在解析式
y
=
f
(
x
)中反
-1-1
解
x
得
x
=
f
(
y
)，然后将
x
,
y
互换得
y=
f
(
x
)，最后指出反函数的定义域即原函数的值域。
例如： 函数
y
=
-1
1
1
的反函数是
y
=1-(
x
?
0).
1?x
x
定理1 互为反函数的两个函数的图象关于直线
y
=
x
对称。
定理2 在定义域上为增（减）函数的函数，其反函数必为增（减）函数。
定义7 函数的性质。
（1）单调性：设函数
f
(
x
)在区间
I
上满足对任意的< br>x
1
,
x
2
∈
I
并且
x
1
<
x
2
，总有
f
(
x
1
)<
f
(
x
2
)
(
f
(
x
)>
f
(
x
2
))，则称
f
(
x
)在区间
I
上是 增（减）函数，区间
I
称为单调增（减）区间。
（2）奇偶性：设函数
y< br>=
f
(
x
)的定义域为D，且D是关于原点对称的数集，若对于任意的
x
∈D，都有
f
(-
x
)=-
f
(
x
)，则称
f
(
x
)是奇函数；若对任意的
x
∈ D，都有
f
(-
x
)=
f
(
x
)，则称< br>f
(
x
)是偶函数。奇函数的图象关于原点对称，偶函数的图象关于
y
轴对称。
（3）周期性：对于函数
f
(
x
)，如果存在一 个不为零的常数
T
，使得当
x
取定义域内每一个
数时，
f< br>(
x
+
T
)=
f
(
x
)总成立，则 称
f
(
x
)为周期函数，
T
称为这个函数的周期，如果周期 中存
在最小的正数
T
0
，则这个正数叫做函数
f
(
x
)的最小正周期。
定义8 如果实数
a
<
b
，则数集 {
x
|
a
<
x
<
b
,
x
∈R}叫做开区间，记作（
a
,
b
），集合{
x
|
a
≤
x
≤
b
,
x
∈R}记作闭区间[
a
,
b
]，集合{
x
|
a
<
x
≤< br>b
}记作半开半闭区间（
a
,
b
]，集合{
x
|
a
≤
x
<
b
}记作
半闭半开区间[
a
,
b
)，集合{
x
|
x
>
a
} 记作开区间（
a
, +∞），集合{
x
|
x
≤
a< br>}记作半开半闭区间
（-∞,
a
].
定义9 函数的图象，点集{ (
x
,
y
)|
y
=
f
(
x
),
x
∈D}称为函数
y
=
f
(
x
) 的图象，其中D为
f
(
x
)
的定义域。通过画图不难得出函数
y
=
f
(
x
)的图象与其他函数图象之间的关系(
a,
b
>0)；（1）
向右平移
a
个单位得到
y
=
f
(
x
-
a
)的图象；（2）向左平移
a
个单位得到
y
=
f
(
x
+
a
)的图象； （3）
向下平移
b
个单位得到
y
=
f
(
x
)-
b
的图象；（4）与函数
y
=
f
(-
x
)的图象关于
y
轴对称；（5）
-1
与函数
y
= -
f
(-
x
)的图象关于原点成中心对称；（6）与函数
y
=
f
(
x
)的图象关于直线
y
=
x
对称；
（7）与函数
y
=-
f
(
x
)的图象关于
x
轴对称。
定理3 复合函数
y
=
f
[
g(
x
)]的单调性，记住四个字：“同增异减”。例如
y
=
在（ -∞,2）上是减函数，
y
=
1
, u=2-
x
2?x11
在（0，+∞）上是减函数，所以
y
=在（-∞,2）上是
u2?x
增函数。
注：复合函数单调性的判断方法为同增异减。这里不做严格论证，求导之后是显然的。

二、方法与例题
1．数形结合法。
1
的正根的个数.
x
1
【解】 分别画出
y
=|
x
-1|和
y
=的图象，由图象可知两者有
x
例1 求方程|
x
-1|=
唯一交点，所以方程有一个正根。

例2 求函数
f
(
x
)=
x?3x?6x?13?
最大值。
42
y
1
1
x
x
4
?x
2
?1
的
【解】
f
(
x
)=
(x?2)?(x?3)?(x?1)?(x?0)
，记点
P
(
x
,
x
)，
A
（3，2），
222 222
-2
B
（0，1），则
f
(
x
)表示动点< br>P
到点
A
和
B
距离的差。
2
因为|
PA
|-|
PA
|≤|
AB
|=
3
2
? (2?1)
2
?10
,当且仅当
P
为
AB
延长线与 抛物线
y
=
x
的交点
时等号成立。
所以
f
(
x
)
m
ax
=
10.

2.函数性质的应用。
2
?
?
(x?1)?1997(x?1)??1
例3 设
x
,
y
∈R，且满足
?
，求
x
+
y
.
3
?
?
(y?1)?1997(y?1)?1
【解】 设
f
(
t
)=
t
+1997
t
，先证
f(
t
)在（-∞，+∞）上递增。事实上，若
a
<
b
， 则
f
(
b
)-
f
(
a
)=
b3
-
a
3
+1997(
b
-
a
)=(
b
-
a
)(
b
2
+
ba
+
a
2
+1997)>0，所以
f
(
t
)递增。
由题设
f
(
x
-1)=-1=
f
(1-
y
)，所以
x
-1=1-
y
，所以
x
+
y
= 2.
2
例4 奇函数
f
(
x
)在定义域（-1，1）内 是减函数，又
f
(1-
a
)+
f
(1-
a
)<0，求
a
的取值范围。
222
【解】 因为
f
(
x
) 是奇函数，所以
f
(1-
a
)=-
f
(
a
-1)，由题设
f
(1-
a
)<
f
(
a
-1)。
2
又
f
(
x
)在定义域（-1，1）上递减，所以-1<1-
a
<
a
-1< 1，解得0<
a
<1。
例5 设
f
(
x
)是定 义在（-∞，+∞）上以2为周期的函数，对
k
∈
Z
, 用
I
k
表示区间(2
k
-1,
2
2
k< br>+1]，已知当
x
∈
I
0
时，
f
(
x
)=
x
，求
f
(
x
)在
I
k< br>上的解析式。
【解】 设
x
∈
I
k
，则2
k
-1<
x
≤2
k
+1，
2
所以
f< br>(
x
-2
k
)=(
x
-2
k
).
又因为
f
(
x
)是以2为周期的函数，
2
所以当
x
∈
I
k
时，
f
(
x
)=
f
(
x
-2
k
)=(
x
-2
k
).
例6 解方程：(3
x
-1)(
9x?6x?5?1
)+( 2
x
-3)(
4x?12x?13
+1)=0.
【解】 令m=3
x
-1,
n
=2
x
-3，方程化为
2
2
3

m(
m
2?4
+1)+
n
(
n
2
?4
+1)=0. ①
若m=0，则由①得
n
=0，但m,
n
不同时为0，所以m
?
0,
n
?
0.
ⅰ)若m>0，则由①得
n
<0，设
f
(
t
)=
t
(
t
2
?4
+1),则
f
(
t
)在（0，+∞）上是增函数。又
f
(m)=
f
(-
n
)， 所以m=-
n
，所以3
x
-1+2
x
-3=0，所以
x
=
.

ⅱ)若m<0，且
n
>0。同理有m+
n
=0,
x
=
综上，方程有唯一实数解
x
=
3.配 方法。
例7 求函数
y
=
x
+
2x?1
的值域。
4
5
4
,但与m<0矛盾。
5
4
.

5
1
[2
x
+1+2
2x?1
+1]-1
2
111
=(
2x?1
+1)-1≥-1=-.
222< br>111
当
x
=-时，
y
取最小值-，所以函数值域是[-，+ ∞）。
222
【解】
y
=
x
+
2x?1
=
4．换元法。
2
例8 求函数
y
=(
1?x
+
1?x
+2)(
1?x
+1),
x
∈[0,1]的值域。
2
2< br>【解】令
1?x
+
1?x
=u，因为
x
∈[0,1] ，所以2≤u=2+2
1?x
≤4,所以
2
≤u≤2,
u
2
2?2
u?2u?2
2
所以≤≤2，1≤≤2，所以
y
=, u∈[
2
+2，8]。
2
2
22
所以该函数值域为[2+
2
，8]。
5．判别式法。
x
2
?3x?4
例9 求函数
y
=
2
的值域。
x?3x?4
【解】由函数解析式 得(
y
-1)
x
+3(
y
+1)
x
+4< br>y
-4=0. ①
当
y
?
1时，①式是关于
x
的方程有实根。
所以 △=9(
y
+1)-16(
y
-1)≥0，解得
22
21
≤
y
≤1.
7
又当
y
=1时，存在
x
=0使解析式成立，
所以函数值域为[
1
，7]。
7
6．关于反函数。
例10 若函数
y
=
f
(
x
)定义域、值域均为 R，且存在反函数。若
f
(
x
)在(-∞,+ ∞)上递增，
-1< br>求证：
y
=
f
(
x
)在(-∞,+ ∞)上也是增函数。

【证明】设
x
1
<
x
2
, 且
y
1
=
f
(
x
1
),
y2
=
f
(
x
2
)，则
x
1
=
f
(
y
1
),
x
2
=
f
(
y
2
)，若
y
1
≥
y
2
，则 因为
f
(
x
)
在(-∞,+ ∞)上递增，所以
x
1
≥
x
2
与假设矛盾，所以
y
1
<
y2
。
-1
即
y
=
f
(
x
)在(-∞,+ ∞)递增。
例11 设函数
f
(
x
)=
4
-1 -1
4x?1
-1
，解方程：
f
(
x
)=
f
(
x
).
3x?2
21
）∪[-，+∞）；其次，设
x
1
,
x
2
是定义域内变量，
34
【解】 首先
f
(< br>x
)定义域为（-∞，-
且
x
1
<
x
2<-
5(x
2
?x
1
)
2
4x
2?14x
1
?1
;=>0,
?
3
3x
2?23x
1
?2(3x
2
?2)(3x
1
?2)
21
）上递增，同理
f
(
x
)在[-，+∞）上递增。
34
-1-1
所以
f
(
x
)在（-∞，-
-1在方程
f
(
x
)=
f
(
x
)中，记< br>f
(
x
)=
f
(
x
)=
y
，则
y
≥0，又由
f
(
x
)=
y
得
f
(
y
)=
x
，所以
x
≥0,
所以x
,
y
∈[-
1
，+∞）.
4
若
x
?
y
，设
x
<
y
，则
f
(
x
)=
y
<
f
(
y
)=
x
，矛 盾。
同理若
x
>
y
也可得出矛盾。所以
x
=y
.
54
即
f
(
x
)=
x
，化简得3
x
+2
x
-4
x
-1=0,
432< br>即(
x
-1)(3
x
+5
x
+5
x
+5
x
+1)=0,
432
因为
x
≥0，所以3
x
+5
x
+5
x
+5
x
+1>0，所以
x
=1.

第四章 几个初等函数的性质
一、基础知识
x1．指数函数及其性质：形如
y
=
a
(
a
>0, a
?
1)的函数叫做指数函数，其定义域为R，值域为
xx
（0，+∞） ，当0<
a
<1时，
y
=
a
是减函数，当
a
>1时，
y
=
a
为增函数，它的图象恒过定点（0，
1）。 2．分数指数幂：
a
1
n
?
n
a,a
m
n
?a,a
n
m?n
1
?
?
n
,an
?
a
m
1
n
a
m
。
3． 对数函数及其性质：形如
y
=
log
a
x
(
a>0,
a
?
1)的函数叫做对数函数，其定义域为（0，+
∞），值域 为R，图象过定点（1，0）。当0<
a
<1，
y
=
log
a
x
为减函数，当
a
>1时，
y
=
log
a
x
为
增函数。
4．对数的性质（M>0,
N
>0）；
x
1）
a
=M
?
x
=
log
a< br>M(
a
>0,
a
?
1)；
2）
log
a
(M
N
)=
log
a
M+
log
a

N
；
3）
log
a
（
M
n
）=
log
a
M-
log
a

N
；4）
log
a
M=
n

log
a
M；，
N
5）
log
a
< br>n
M
=
log
c
b
1
log
a M；6）
a
loga
M
=M; 7)
log
a

b
=(
a
,
b
,
c
>0,
a
,
c
?
1).
n
log
c
a
5. 函数
y
=
x
+（
a
>0）的单调递增区间是
??,?a
和
和
0,a。（请读者自己用定义证明）
a
x
?
?
?
a,??< br>，单调递减区间为
?a,0
?
?
?
?
?

6．连续函数的性质：若
a
<
b
,
f
(
x
)在[
a
,
b
]上连续，且f
(
a
)·
f
(
b
)<0，则
f(
x
)=0在（
a
,
b
）
上至少有一个实根。
二、方法与例题
1．构造函数解题。
例1 已知
a
,
b
,
c
∈(-1, 1)，求证：
ab
+
bc
+
ca
+1>0.
【证明】 设
f
(
x
)=(
b
+
c
)
x
+
bc
+1 (
x
∈(-1, 1))，则
f
(
x
)是关于
x
的一次函数。
所以 要证原不等式成立，只需证
f
(-1)>0且
f
(1)>0（因为-1<a
<1）.
因为
f
(-1)=-(
b
+
c< br>)+
bc
+1=(1-
b
)(1-
c
)>0， f
(1)=
b
+
c
+
bc
+
a
=(1+
b
)(1+
c
)>0，
所以
f
(a
)>0，即
ab
+
bc
+
ca
+1>0.
例2 （柯西不等式）若
a
1
,
a
2
,…,< br>a
n
是不全为0的实数，
b
1
,
b
2,…,
b
n
∈R，则（
?
a
i?1
n
2
i
）（·
?
b
i?1
n
2
i
）
≥(
?
ab
i
i?1
n
i
)，等号当且仅 当存在
?
?
R，使
a
i
=
?
b
i
,
i
=1, 2, …,
n
时成立。
2
【证明】 令
f
(
x
)= （
?
a< br>i?1
n
2
i
）
x
-2(
2
?ab
i
i?1
n
i
)
x
+
?
b
=
?
(a
2
i
i?1
n
n
i< br>x?b
i
)
2
,
i?1
因为
?
a
i?1
n
2
i
>0，且对任意
x
∈R,
f
(
x
)≥0，
所以△=4(
?
ab
i
i?1
n
2
i
n
i
)-4（
?
a
i?1
n
2
i
）(
?
b
i?1
n
2
i
)≤0.
展开得（
?
a
i?1
）(
?
b
i?1
n
2
i
)≥(
?
ab
i
i?1
n
i
)。
2
等号成立等价于
f
(
x
)=0有实根，即存在
?
，使
a
i
=
?
b
i
,
i
=1, 2, …,
n
。
例3 设
x
,
y
∈R,
x
+
y
=
c
,
c
为常数且
c
∈(0, 2]，求u=
?
x?
+< br>?
?
1
?
?
1
?
?
的最小值。 < br>y?
?
?
??
x
?
?
y
?
【解】u=
?
x?
?
?
1
xy1
1
??
1
?
xy
?
??
=
xy
+≥
xy
++2·
y?
?

?
?
?
xyyxxy
yx
x
?
?
y
??
=
xy< br>+
1
+2.
xy
c
2
(x?y)
2
c
2
1
.

?
令
xy
=
t，则0<
t
=
xy
≤,设
f
(
t
)=
t
+,0<
t
≤
4
44
t
?
c< br>2
?
c
2
0,
?
上单调递减。 因为0<
c
≤2，所以0<≤1，所以
f
(
t
)在
?
?
4
?
4
?

c
2
c< br>2
4
c
2
4
所以
f
(
t
)
m
in
=
f
()=+，所以u≥++2.
44
c
2
4
c
2
c
2
4
c
当
x
=
y
=时，等号成立. 所以u的最小值为++2.
4
c
2
2
2．指数和对数的运算技巧。
例4 设
p
,
q
∈R且满足
log
9
p
=
log
12
q
=
log
16
(
p
+
q
)，求

t
+
q
的值。
p

t
【解】 令
log
9
p
=
log
12
q
= log
16
(
p
+
q
)=
t
，则p
=9 ,
q
=12 ,
p
+
q
=16，
t
?
4
??
4
?
所以9 +12 =16，即1+
??
?
??
.

?
3
??
3
?

t

t

t
t2t
1?5
q12
t
?
4
?
2
.
记
x
=
?
t
?
??
，则1 +
x
=
x
，解得
x?
2
p
9
3< br>??
又
t
qq
1?5
.
>0，所以=
2
pp
xyzw
例5 对于正整数
a
,
b
,
c
(
a
≤
b
≤
c
)和实数
x
,
y
,
z
,
w
，若a
=
b
=
c
=70，且
求证：
a
+< br>b
=
c
.
xyzw
【证明】 由
a
=< br>b
=
c
=70取常用对数得
xlga
=
ylgb=
zlgc
=
wlg
70.
所以
1111
? ??
，
xyzw
1
1
1
11
1
lga=
lg
70,
lgb
=
lg
70,
lgc
=
lg
70，
y
xz
www
相加 得
?
111
?
1111
1
???
，
?< br>(
lga
+
lgb
+
lgc
)=
?
lg
70，由题设
??
??
xyzw
w
?
xyz< br>?
所以
lga
+
lgb
+
lgc
=
lg
70，所以
lgabc
=
lg
70.
所以
abc
=70=2×5×7.
若
a
=1，则因为xlga
=
wlg
70，所以
w
=0与题设矛盾，所以
a
>1.
又
a
≤
b
≤
c
，且
a
,
b
,
c
为70的正约数，所以只有
a
=2,
b
=5,
c
=7.
所以
a
+
b
=
c
.
2
logab
例6 已知
x
?
1,
ac
?
1,
a
?
1,
c
?
1. 且
log
a
x
+
log
c
x
=2
log
b
x
，求证
c
=(ac
).
【证明】 由题设
log
a
x
+
log
c
x
=2
log
b
x
，化为以
a< br>为底的对数，得
log
a
x?
log
a
x2log
a
x
，
?
log
a
clog
a
b
22
因为
ac
>0,
ac
?
1，所以
log
a
b
=
log
ac
c
，所以
c=(
ac
).
注：指数与对数式互化，取对数，换元，换底公式往往是解题的桥梁。
3．指数与对数方程的解法。
logab

解此 类方程的主要思想是通过指对数的运算和换元等进行化简求解。值得注意的是函数单调
性的应用和未知数 范围的讨论。
x x x x
例7 解方程：3+4 +5 =6.
?
1
??
2
??
5
??
1
??
2
? ?
5
?
【解】 方程可化为
??
?
??
?
??
=1。设
f
(
x
)=
??
?
??
?
??
, 则
f
(
x
)在
?
2
??
3
??
6
??
2< br>??
3
??
6
?
(-∞,+∞)上是减函数，因为
f
(3)=1，所以方程只有一个解
x
=3.
x?y
?
?y
12
?
x
+
例8 解方程组：
?
（其中
x
,
y
∈R）.
x?y
?
?x
3
?
y
xxxxxx
【解】 两边取对数，则原方程组可化为
?
?
(x?y)lgx?12lgy
.
①②
(x?y)lgy?3glx
?
2
把①代入②得(
x< br>+
y
)2
lgx
=36
lgx
，所以[(
x
+
y
)-36]
lgx
=0.
2+
由
l gx
=0得
x
=1，由(
x
+
y
)-36=0(< br>x
,
y
∈R)得
x
+
y
=6，
22
代入①得
lgx
=2
lgy
，即
x
=
y
，所以
y
+
y
-6=0.
又
y
>0，所以
y
=2,
x
=4.
?
?
x
1
?1
?
?
x
2
?4
所以方程组的解为
?
.
;
?
?
?
y
1
?1
?
?
y
2
?2
例9 已知
a
>0,
a
?
1，试求使方程
log
a(
x
-
ak
)=
log
a
(
x
-
a
)有解的
k
的取值范围。
222
?
(x? ak)
2
?x
2
?a
2
?
【解】由对数性质知，原 方程的解
x
应满足
?
x?ak?0
.①②③
?
x
2
?a
2
?0
?
若①、②同时成立，则③必成立，
?
(x?ak)
2
?x
2
?a
2
故只需解
?
.
x?ak?0
?
由①可得2
kx
=
a< br>(1+
k
)， ④
2
a(1?k
2
)1?k2
当
k
=0时，④无解；当
k
?
0时，④的解是
x
=，代入②得>
k
.
2k2k
若
k
<0，则
k
>1，所以
k
<-1；若
k
>0，则
k
<1，所以0<
k
<1.
综上，当
k
∈(-∞,-1) ∪(0, 1)时，原方程有解。

第五章 数列
一、基础知识
定义1 数列，按顺序给出的一列数，例如1，2，3，…，
n
，…. 数列分有穷数列和无穷数
列两种，数列{
a
n
}的一般形式通常记作
a
1
,
a
2
,
a
3
,…，
a
n
或
a
1
,
a
2
,
a
3
,…，
a
n
…。其 中
a
1
叫
做数列的首项，
a
n
是关于
n< br>的具体表达式，称为数列的通项。
定理1 若S
n
表示{
a
n
}的前
n
项和，则S
1
=
a
1
, 当
n
>1时，
a
n
=S
n
-S
n
- 1
.
定义2 等差数列，如果对任意的正整数
n
，都有
a
n
+1
-
a
n
=d（常数），则{
a
n
}称为等差数列，
d叫做公差。若三个数
a
,
b
,
c< br>成等差数列，即2
b
=
a
+
c
，则称
b为
a
和
c
的等差中项，若公
22

差为d, 则
a
=
b
-d,
c
=
b
+d.
定理2 等差数列的性质：1）通项公式
a
n
=
a
1
+(
n
-1)d；2）前
n< br>项和公式：
S
n
=
n(a
1
?a
n
)
n(n?1)
?na
1
?d
；3）
a
n
-
a
m
=(
n
-m)d，其中
n
, m为正整数； 4）若
n
+m=
p
+
q
，
22
则
a
n
+
a
m
=
a
p
+
a
q
；5）对任意正整数
p
,
q
，恒有
a
p
-
a
q
=(
p
-
q
)(
a
2< br>-
a
1
)；6）若
A
，
B
至少有一个不2
为零，则{
a
n
}是等差数列的充要条件是S
n
=< br>An
+
Bn
.
定义3 等比数列，若对任意的正整数
n
，都有
比。
a
n?1
?q
，则{
a
n
}称为等比数列，
q
叫做公
a
n
a
1
(1?q
n
)
定理3 等比数列的性质：1）a
n
=
a
1
q
；2）前
n
项和Sn
，当
q
?
1时，S
n
=；当
1?q
n
-1
q
=1时，S
n
=
na
1
；3）如 果
a
,
b
,
c
成等比数列，即
b
2< br>=
ac
(
b
?
0)，则
b
叫做
a< br>,
c
的等比中项；
4）若m+
n
=
p
+< br>q
，则
a
m
a
n
=
a
p
a
q
。
定义4 极限，给定数列{
a
n
}和实数
A
，若对任意的
?
>0，存在M，对任意的
n
>M(
n∈
N
),都
有|
a
n
-
A
|<
?
，则称
A
为
n
→+∞时数列{
a
n
} 的极限，记作
lima
n
?A.

n??
定义5 无穷递 缩等比数列，若等比数列{
a
n
}的公比
q
满足|
q
|<1，则称之为无穷递增等比数
列，其前
n
项和S
n
的极限（即 其所有项的和）为
a
1
（由极限的定义可得）。
1?q
定理3 第一数学归纳法：给定命题
p
(
n
)，若：（1）
p
(n
0
)成立；（2）当
p
(
n
)时
n
=
k
成立时
能推出
p
(
n
)对
n
=
k
+1成立，则由（1），（2）可得命题
p
(
n
)对一 切自然数
n
≥
n
0
成立。

竞赛常用定理
定理4 第二数学归纳法：给定命题
p
(
n
)，若：（1）
p
(
n
0
)成立；（2）当
p
(
n
)对 一切
n
≤
k
的自然数
n
都成立时（
k
≥< br>n
0
）可推出
p
(
k
+1)成立，则由（1），（2 ）可得命题
p
(
n
)对一切自
然数
n
≥
n
0
成立。
2
定理5 对于齐次二阶线性递归数列
x
n< br>=
ax
n
-1
+
bx
n
-2
，设它 的特征方程
x
=
ax
+
b
的两个根为α,
n
-1
n
-1
β:(1)若α
?
β，则
x
n
=
c
1
a
+
c
2
β，其中
c
1
,
c
2
由初始条件
x
1
,
x
2
的值确定；(2)若α=β，
n
-1
则
x
n
=(
c
1
n
+
c
2
) α，其中
c
1
,
c
2
的值由
x
1
,
x
2
的值确定。
二、方法与例题
1．不完全归纳法。
这种方法是从特殊情况出发去总结更一般的规律，当然结论未必都是正确的，但却是人类探
索未知世界的 普遍方式。通常解题方式为：特殊→猜想→数学归纳法证明。
例1 试给出以下几个数列的通项（不 要求证明）；1）0，3，8，15，24，35，…；2）1，5，
19，65，…；3）-1，0， 3，8，15，…。
nn
2
【解】1）
a
n
=
n
2
-1；2）
a
n
=3-2；3）
a
n
=
n
-2
n
.
例2 已知数列{
a
n
}满足
a
1
=
【解】 因为< br>a
1
=
1
2
,
a
1
+
a< br>2
+…+
a
n
=
na
n
,
n
≥1，求通项
a
n
.
2
1
2
,又
a
1
+
a
2
=2·
a
2
,
2

a?a
1
1
1
，< br>a
3
=
?
2
2
?
,猜想
a
n
?
(
n
≥1).
3?4
n(n?1)
3?1< br>3?2
1
，猜想正确。2）假设当
n
≤
k
时猜想成立 。
2?1
2
所以
a
2
=
证明；1）当
n
=1时，
a
1
=
当
n
=
k
+1时 ，由归纳假设及题设，
a
1
+
a
1
+…+
a
1
=[(
k
+1)-1]
a
k
+1
,，
所以
111
????
=< br>k
(
k
+2)
a
k
+1
,
2? 13?2k?(k?1)
11111
=
k
(
k
+2)
a
k
+1
,
??????
223kk?1
即
1 ?
所以
1
k
.
=
k
(
k
+2)
a
k
+1
,所以
a
k
+1
=
(k ?1)(k?2)
k?1
1
.

n(n?1)
1
， 求证：对任意
n
∈
N
+
,有
a
n
>1.
a
n
由数学归纳法可得猜想成立，所以
a
n
?
例3 设0<
a
<1，数列{
a
n
}满足
a
n
= 1+
a
,
a
n
-1
=
a
+
【证明】 证明更强的结论：1<
a
n
≤1+
a
.
1)当
n
=1时，1<
a
1
=1+
a
，①式成立；
2)假 设
n
=
k
时，①式成立，即1<
a
n
≤1+
a
，则当
n
=
k
+1时，有
1?a?a
k?1
111?a?a
2
1?a
??a??a???1.

1?a1?a1?a
a
k
由数学归纳法可得①式成立，所以原命题得证。
2．迭代法。
数列的通项
a
n
或前
n
项和Sn
中的
n
通常是对任意
n
∈
N
成立，因此可将 其中的
n
换成
n
+1或
n
-1等，这种办法通常称迭代或递 推。
例4 数列{
a
n
}满足
a
n
+
pa
n
-1
+
qa
n
-2
=0,
n≥3，
q
?
0，求证：存在常数
c
，使得
22n
a
n?1
?pa
n?1
·
a
n
+
qa< br>n
?cq?0.

22
22
【证明】
a
n? 1
?pa
n?1
·
a
n+
1
+
qa
n?1
?a
n?2
(
pa
n
+1
+
a< br>n
+2
)+
qa
n?1
=
a
n
+2
·(-
qa
n
)+
qa
n?1
=
222 2
q(a
n?1
?a
n
a
n?2
)?q[a
n?1
+
a
n
(
pq
n
+1
+
qa
n
)]=
q
(
a
n?1
?pa
n?1
a
n
?qa
n
).
2
2
22
若
a
2
?pa
2
a
1
?qa
1
=0 ，则对任意
n
,
a
n?1
?pa
n?1
a
n
+
qa
n
=0，取
c
=0即可.
22
2
2
22
若
a
2
?pa
2
a
1
?qa
1
?
0，则{
a
n?1
?pa
n? 1
a
n
+
qa
n
}是首项为
a
2
?pa
2
a
1
?qa
1
，公式为
q
的等比 数列。
2
2
所以
a
n?1
?pa
n?1
a
n
+
qa
n
=
(a
2
?pa
2
a
1
?qa
1
)
·
q
.
n
22

1
即可.
q
取
c??(a
2
?pa
1
a
2
?qa
1< br>)
·
综上，结论成立。
22
例5 已知
a
1
=0,
a
n
+1
=5
a
n
+
24a
n
?1
，求证：
a
n
都是整 数，
n
∈
N
+
.
【证明】 因为
a
1
=0,
a
2
=1，所以由题设知当
n< br>≥1时
a
n
+1
>
a
n
.
又由< br>a
n
+1
=5
a
n
+
24a
n?1
移项、平方得
22
a
n?1
?10a
n
a
n?1
?a
n
?1?0.
①
22
?10a
n
a
n?1
?a
n
当
n
≥2时 ，把①式中的
n
换成
n
-1得
a
n?1
?1?0< br>，即
22
a
n?1
?10a
n
a
n?1< br>?a
n
?1?0.
②
2
2
2
因为
a
n
-1
<
a
n
+1
，所以①式和 ②式说明
a
n
-1
,
a
n
+1
是方程< br>x
-10
a
n
x
+
a
n
-1=0的 两个不等根。由韦
2
达定理得
a
n
+1
+
an
-1
=10
a
n
(
n
≥2).
再由
a
1
=0,
a
2
=1及③式可知，当
n
∈
N
+
时，
a
n
都是整数。
3．数列求和法。
数列求和法主要有倒写相加、裂项求和法、错项相消法等。
例6 已知
a
n
=
1
(
n
=1, 2, …)，求S99
=
a
1
+
a
2
+…+
a
99
.
n100
4?2
2?2
100
?4
n?4
100?n
1
1
1
【解】 因为
a
n+
a
100-
n
=
n
+=，
?
10 0
100?n100
100100n100?n100
4?2
4?2
4?2?2(4?4)2
1
99
19999
所以S
99
=< br>?
(a
n
?a
100?n
)??
100
?< br>101
.

2
n?1
2
22
例7 求和：
S
n
?
1
11
.
+…+
?
n(n?1)(n?2)
1?2?32?3?4
【解】 一般地，
1k?2?k
?

k(k?1)(k?2)2k(k?1)(k?2 )
?
1
?
11
?
，
?
?
???
2
?
k(k?1)(k?1)(k?2)
?
所以
S
n
=
1

?
k(k?1)(k?2)
k?1
n
?
?
1
?
111111

?????????
2
?
1?22?32?33?4n(n?1)(n?1)(n?2)
?

?
?
1
?
11

?
??
2
?
2(n?1)(n?2)
?
11
?.

42(n?1)(n?2)
?
例8 已知数列{
a
n
}满 足
a
1
=
a
2
=1，
a
n
+2< br>=
a
n
+1
+
a
n
, S
n
为数列
?
?
a
n
?
的前
n
项和，求证： S
n
<2。
n
?
?
2
?
【证明】 由递推公式可知，数列{
a
n
}前几项为1，1，2，3，5，8，13。
因为
S
n
?
a
112358
， ①
?
2
?
3
?
4
?
5
?
6
???
n
n
2
222222
所以
a
112 35
。 ②
S
n
?
2
?
3
?
4
?
5
???
n
n
?1
2
22222
?
11
a
?2
?
?
2
???
n
?
2
22
n?2
?
?
a
n
?
?
n?1
，
?
2
?
111
由①-②得
S
n
??
2
22
2
所以
a
111
S
n
??Sn?2
?
n
n
。
?1
224
2
a
n
>0,
2
n?1又因为S
n
-2
n
且
所以
111
11
S
n
??
S
n
, 所以
S
n
?
，
42
224
所以S
n
<2，得证。
4．特征方程法。
例9 已知数列{
a
n
}满足
a
1
=3,
a
2
=6,
a
n
+2
=4
n
+ 1
-4
a
n
，求
a
n
.
2
【解】 由特征方程
x
=4
x
-4得
x
1
=
x
2
=2.
?
3?
?
?
?
故设
a
n
=(α+β
n
)·2，其中
?
，
6?(
?
?2
?
)?2
?
n
-1所以α=3，β=0，
n
-1
所以
a
n
=3·2.
例10 已知数列{
a
n
}满足
a
1
=3,
a
2
=6,
a
n
+2
=2
a
n
+1
+3
a
n
，求通项
a
n
.
2
【解】 由特征方程
x
=2
x
+3得
x
1
=3,
x
2
=-1,
?
3?3
?
?
?
所以
a
n
=α·3+β·(-1)，其中
?
，
6?9?
?
?
?
nn
解得α=
3
3
，β??
，
4
4

所以
an
?
1
n?1
[3?(?1)
n?1
·3]。
4
5．构造等差或等比数列。
例11 正数列
a
0
,< br>a
1
,…,
a
n
,…满足
a
n
a< br>n?2
?a
n?1
a
n?2
=2
a
n
-1
(
n
≥2)且
a
0
=
a
1
=1，求通项。
【解】 由
a
n
a
n?2
?a
n?1
a
n?2
?2a
n?1
得
a
n
a< br>?2
n?1
=1，
a
n?1
a
n?2
?< br>a
?
a
nn?1
?
即
?1?2?1
?
.

?
a
n?2
?
a
n?1
??
令
b
n
=
a
n
a
1
+1，则{
b
n
}是首项为+1=2，公比为2的等比数列，
a
0
a
n?1
所以
b
n
=
a
a
n
nn
2
+1=2，所以
n
=（2-1），
a
n?1
a
n ?1
n
a
n
a
n?1
a
2
a
1< br>所以
a
n
=·…··
a
0
=
?
(2
k
?1)
2
.

a
n?1
a
n? 2
a
1
a
0
k?1
n
注：
?
C< br>i?1
i
?
C
1
·
C
2
·…·C
n
.
2
x
n
?2
例12 已知数列{
x
n
}满足
x
1
=2,
x
n
+1
=,
n
∈
N
+
, 求通项。
2x
n
x
2
?2x
2
?2
【解】 考虑 函数
f
(
x
)=的不动点，由=
x
得
x
=
?2.

2x2x
2
x
n
?2
因为
x
1
=2,
x
n
+1
=,可知{
x
n
}的每项均为正数。 < br>2x
n
2
又
x
n
+2≥
22x
n< br>，所以
x
n
+1
≥
2
(
n
≥1)。 又
2
x
n
?2
(x
n
?2)
2
X
n
+1
-
2
=, ①
?2
=
2x
n
2x
n
2
x
n
?2(x
n
?2)
2
X
n
+1
+
2
=, ②
?2
=
2x
n
2x
n
x
n?1
?2
?
x
n
?2
?
?
?
由①÷②得
?
。 ③
x
n ?1
?2
?
?
x
n
?2
?
?
2< br>

又
x
1
?2
x
1
?2
>0，
?
x
n?1
?2
??
x
n
?2
?
由 ③可知对任意
n
∈
N
+
，>0且
lg
??
?2lg
??
,
x
n
?2
??
?
xn?1
?2
?
??
x
n
?2
?
?x
n
?2
所以
lg
?
?
x
n
?2
?
?
2?2
?
是首项为
lg
?
??< br>，公比为2的等比数列。
?
?
2?2
?
?
x
n
?2
?
?
所以
lg
x
n
?2
x
n
?2
?2
n?1
?
2?2
?
x
n
?2
?
2?2
?
·
lg
?
?
?
?
，所以
?
x?2
2?2
2?2
??
n
??
2
n?1
2
n?1
2
n?1
， 解得
x
n
?2
·
(2?2)
(2?2)
?(2 ?2)
?(2?2)
2
n?1
2
n?1
。
注：本例解法是借助于不动点，具有普遍意义。

第六章 三角函数
一、基础知识
定义1 角，一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。若旋转方向为逆 时针方向，则
角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。角的大小是任意的 。
定义2 角度制，把一周角360等分，每一等价为一度，弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。若圆心角的弧长为
L
，则其弧度数的绝对值| α|=
L
,
r
其中r是圆的半径。
定义3 三角函数，在直角坐 标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与
x
轴的正半轴重合，
在角的终边上任意取一 个不同于原点的点
P
，设它的坐标为（
x
,
y
），到原点的 距离为r,则正
弦函数s
in
α=
x
yy
x
,余弦 函数
co
sα=,正切函数
tan
α=，余切函数
cot
α =，正割函数
y
rx
r
se
c
α=
r
r< br>,余割函数
c
s
c
α=
.

y
x< br>11
,s
in
α=，
co
sα
cot
?csc
?
定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：
tan
α=
=
1
sin
?
cos
?
；商数关系：
ta n
α=；乘积关系：
tan
α×
co
sα=s
in
α,
cot
,cot
?
?
sec
?
cos
?
sin
?
222222
α×s
in
α=
cosα；平方关系：s
in
α+
co
sα=1,
tan
α+1=se
c
α,
cot
α+1=
c
s
c
α.
定理2 诱导公式（Ⅰ）s
in
(α+π)=-s
in
α,
co
s(π+α)=-
co
sα,
tan
(π+α)=
tan
α,
cot
(π+α)=cot
α;（Ⅱ）s
in
(-α)=-s
in
α,
co
s(-α)=
co
sα,
tan
(-α)=-
tan
α,
cot
(-
α)=
cot
α; （Ⅲ）s
in
(π-α)=s
in
α,
co
s(π-α)=-
co
sα,
tan
=(π-α)=-
tan
α,
cot
(π-
α)=-
cot
α; （Ⅳ）s
in
?
?
?
??
?
??
?
?
?
??
=
co
sα,
co
s
?
?
?
?
=s
in
α,
tan
?
?
?
?
=
cot
α（奇
?
2
??
2
??
2
?

变偶不变，符号看象限）。
定理3 正弦函数的性质，根据图象可得
y
= s
inx
（
x
∈R）的性质如下。单调区间：在区间
?
3< br>?
??
??
?
上为增函数，在区间
2k
?
? ,2k
?
?
?
?
上为减函数，最小正周期
2k
?< br>?,2k
?
?
?
??
22
22
?
? ?
?
为2
?
. 奇偶数. 有界性：当且仅当
x
=2
kx
+
取最小值-1。对称性：直线
x
=
k
?
+
?
?
时，
y
取最大值1，当且仅当
x
=3
k
?
-时,
y
22
?
均为其对称轴，点（
k
?
, 0）均为其 对称中心，值域
2
为[-1，1]。这里
k
∈
Z
.
定理4 余弦函数的性质，根据图象可得
y
=
co
s
x< br>(
x
∈R)的性质。单调区间：在区间[2
k
π,
2
k
π+π]上单调递减，在区间[2
k
π-π, 2
k< br>π]上单调递增。最小正周期为2π。奇偶性：
偶函数。对称性：直线
x
=k
π均为其对称轴，点
?
k
?
?
?
?
?
?
,0
?
均为其对称中心。有界性：当
2
?
且仅 当
x
=2
k
π时，
y
取最大值1；当且仅当
x=2
k
π-π时，
y
取最小值-1。值域为[-1，1]。
这里
k
∈
Z
.
?
??
)在开区间(
k
π-,
k
π+)
222
?
上为增函数, 最小正周期为π，值域为（-∞，+∞）， 点（
k
π，0），（
k
π+，0）均为其
2
定理5 正切函 数的性质：由图象知奇函数
y
=
tanx
(
x
?
k
π+
对称中心。
定理6 两角和与差的基本关系式：
co
s(α
?
β)=
co
sα
co
sβ
?
s
in
αs
in
β,s
in
(α
?
β)=s
in
α
co
sβ
?
co
sαs
in
β;
tan
(α
?
β)=
定理7 和差化积与积化和差公式:
s
in
α+s
in
β=2s
in
?
(tan?
?tan
?
)
.

(1?tan
?
tan
?
)
?
?
?
?
?
2
??< br>?
?
?
?
co
s
?
??
2
??
?
?
?
?
,s
in
α-s
in
β=2s
in
?
??
2
??
?
?
??
co
s
?
??
2
?
?
,
?
co
sα+
co
sβ=2
co
s
?
s< br>in
α
co
sβ=
?
?
?
?
??< br>?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
?
?
?
co
s
??
,
co
s α-
co
sβ=-2s
in
??
s
in
??
,
2222
????????
11
[s
in
(α+β) +s
in
(α-β)],
co
sαs
in
β=[s
in
(α+β)-s
in
(α-β)],
22
11
co< br>sα
co
sβ=[
co
s(α+β)+
co
s(α- β)],s
in
αs
in
β=-[
co
s(α+β)-co
s(α-β)].
22
定理8 倍角公式:s
in
2α=2s
in
α
co
sα,
co
s2α=
co
sα-s
in
α=2
co
sα- 1=1-2s
in
α,

2222
tan
2α=
2tan
?
.

2
(1?tan
?
)
定理9 半角公式:s
in
?
(1?cos
?
)(1?cos
?
)
?
?
??
?
?
,
co
s
??
=
?
,
?
=
?
22
?
2
??
2
?