高中数学竞赛解题方法篇不等式)

i ) 当n=1时，有
当n=2时，
因为
a1
2
?
a
1
b
1
?
2
?a< br>1
2
b
2
2
，不等式成立。
?
a
1
b
1
?a
2
b
2
?
2
?a1
2
b
1
2
?a
2
2
b
2< br>2
?2a
1
b
1
a
2
b
2

2
222
b
2
?a
2
b
1
?2a
1
b
1
a
2
b
2
，故有
?
a
1
b
1
?a
2
b
2
?
?a< br>1
?a
2
b
1
?b
2
222
???
2
?

当且仅当
a
1
b
2
?a< br>2
b
1
，即
a
1
a
2
?
时 等号成立。
b
1
b
2
ii）假设n=k时不等式成立，即
当且仅当
a
a
1
a
2
????
k
b1
b
2
b
k
时等号成立。
那么当n=k+1时， < br>当且仅当
a
1
b
k?1
?b
1
a
k ?1
,a
2
b
k?1
?b
2
a
k?1,?,a
k
b
k?1
?b
k
a
k?1
时等号成立，
时等号成立。
即
aa
a
1
a
2< br>??
?
?
k
?
k?1
b
1
b
2
b
k
b
k?1
于是n=k+1时不等式成立。
由i ) ii）可得对于任意的自然数n，柯西不等式成立。
利用恒等式证明
先用数学归 纳法证明如下恒等式，然后证明柯西不等式：对于两组实数
a
1
,a
2
,
?
,a
n
;b
1
,b
2
,
?
,b
n
有柯西—拉格朗日恒等式
由实数性质
?
2
?0
?
?
?R
?
可得柯西不等式成立。
以上给出了 柯西不等式的几种证法。不难看出柯西不等式的重要性。它的对称和谐的结构、广泛的应用、简洁明快的解题方法
等特点深受人们的喜爱。所以，若将此定理作进一步剖析，归纳它的各类变形，将会有更多收获。
柯西不等式的推广
命题1
nn
?
n
?
22
若级数
?
a
i
与
?
b
i
收 敛，则有不等式
?
?
a
i
b
i
?
?
?
a
i
?
b
i
。
i?1i?1
i?1 i?1
?
i?1
?
n
2
n
2
2
?
n
??
n
2
??
n
2
?
22证明：
?
?
a
i
,
?
b
i
收 敛，
0?
?
?
a
i
b
i
?
??
?
a
i
??
?
b
i
?
< br>i?1i?1
?
i?1
??
i?1
??
i?1
?
nnn
??
22
?
?
a
i
b
i
收敛，且
?
lim
?
a
i
b
i
?
?lim
?
a
i
lim
?
b
i
n??
i?1
?
n??
i?1
?
n??
i?1i?1
nn
2
n
2

nn
?
n
?
2
2
从而有不等式
?
?
a
i
b
i
?
?
?
a
i
?
b
i
成立。
i?1i?1
?
i?1
?
2
命题2
nn
?
n
?
2
2
若级数
?
a
i
与< br>?
b
i
收敛，且对
?n?N
有
?
?
a
i
b
i
?
?
?
a
i
?
b
i
，则对定义在
?
a,b
?
上的任意连续函数
f
?
x
?
,g
?
x
?
有
i?1i? 1
i?1i?1
?
i?1
?
n
2
n
2[3]
2

bbb
22
?
?????? ?
x
?
dx
不等式
?
fxgxdx?fxdxg
?
?
a
?
?
a
?
a
??
2
证明：因为函数
f
?
x
?
,g
?
x
?< br>在区间
?
a,b
?
上连续，所以函数
f
?
x
?
与g
?
x
?
、f
2
?
x
?
、g
2
?
x
?
在
?
a,b
?
上可积，将
?
a,b
?
区间n等
分，取每个小区间的左端点 为
?
i
，由定积分的定义得：
2
1
令
a?f?
?
1
?
,b?g
?
?
1
?
，则
?
a
i
与
?
b
i
2
2
1
2
2
i?1i?1
nn
2
收敛，由柯西不等式得 ?
n
??
n
2
??
n
2
?
?
?
f
?
?
i
?
g
?
?
i
?
?x
?
?
?
?
f
?
?
i
?
?x
??
?
g
?
?
i
??x
?
,
?
i?1
??
i?1
??
i ?1
?
nnn
??????
2
?
lim
?
f
?
?
i
?
g
?
?
i
?
?x
?
?
?
lim
?
f
?
?
i< br>?
?x
??
lim
?
g
2
?
?i
?
?x
?
?
n??
i?1
??
n? ?
i?1
??
n??
i?1
?
bb
22
?
?
?
a
f
?
x
?
g
?
x
?
dx
?
?
?
?
a
f
?
x
?
dx
?
a
g
?
x
?
dx。
??
b
2
2
2
从而有不等式
赫尔德不等式
设
a
1
[4]
?0,b
1
?0,(i?1,2,?,n),p?0,q?0,
满足
p
11
??????1,
则：
?
a
i
b
i
?
?
?
a
i
p
??
?
b
i
q
?pq
i?1
?
i?1
??
i?1
?
nn
1
p
n
1
q
，等号成立的充分必
要条件是
ai
?
?
b
i
?
i?1,2,
?
,n;
?
?0
?
.

q
证明：首先证明
1111
??1
时，对任何正数A及B，有
A
p
?B
q
?A B
.
pqpq
对凹函数
f
?
x
?
?ln x,
有：
令
A?
a
k
?
n
p
?
?
?
a
i
?
?
i?1
?
1
p
,B?
b
k
?
n
q
?
?
?< br>b
i
?
?
i?1
?
1
q
,
代入以上不等式并对于
k?1,2,?,n
，把这n个不等式相
??
??pq
nn
a
k
b
k
ab
11
kk??
?
1
?
1
?1,
即 加.
?
??
?
11
?
p
n
p
q
n
q
?
pq
k?1k?1
nn
pq
b
i
?
?< br>p
??
q
?
?
?
a
i
?
?
?
a
i
??
?
b
i
?
i?1?
i?1
?
?
i?1
??
i?1
?
?
p
??
q
?
ab?ab
???
???
ii ii
?
i?1
?
i?1
??
i?1
?
nn
1
p
n
1
q
成立。等号成立的充分必要条件是：
a
i
n
i?1
p
?
p
i
b
i
n
i?1
q
,
即
q
i
?
a
?
b
22
2
x
n
x
n
x
1
2
x
2
?1
例7 设
x
1
,x
2
,...,x
n
?R
，求证：
??...???x
1
?x< br>2
?...?x
n
.
x
2
x
3
x
n
x
1
?
思路分析：注意到式子中的倒数关系，考虑运用柯西不等式 来证明.
证明：因为
x
1
,x
2
,...,x
n
?
0，故由柯西不等式，得

22
2
x< br>n
x
n
x
1
2
x
2
?1
所 以
??...???x
1
?x
2
?...?x
n
.
x
2
x
3
x
n
x
1
例8 已知实 数
a,b,c,d
，e满足
a?b?c?d
思路分析：由
a
2
?e?8,a
2
?b
2
?c
2
?d
2< br>?e
2
?16
，求e的取值范围.
?b
2
?c2
?d
2
?e
2
联想到应用柯西不等式.
4a(2
?b
2
?c
2
?d
2
)?(1?1?1?a 1
2
)(b?
2
4(16?e
2
)?(8?e)
2
，

解：因为
c?
2

d?)
即
即
5e
2
?16e?0
，所以
e(5e?1?6)
，
故
0?e?
6
.
5
评述：此题十分巧妙地应用柯西不等式求最值，十分典型，它是将重要不等式应用于求最值问题的一道重要题目.
例9
x
1
,x
2
,x
3
?R
满 足
x
1
?222
?x
2
?x
3
?1
，求
x
3
x
1
x
2
??
22
1 ?x
1
2
1?x
2
1?x
3
取最小值
的最 小值.
解：容易猜到
x
1
?x
2
?x
3
?
1
x
3
x
1
x
2
??
时，22
3
1?x
1
2
1?x
2
1?x
3
33
.
2
为了证明这一点，利用柯西不等式，得
3
x
i
3
322
.x(1?x)?x?1
，
???
iii
2
i?1
1?x
i
i?1i?13
只需要证明
?
x
i
3
(1?x
i
2
)?
i?1
3
2
33
3
等价于
2
33
?
?< br>x?
?
x
i
3
（3-1）
5
i
i?1i?1
3
由几何—算术平均不等式，得
22
2x
1
2
xx
5

?x
1
?3
3
(
1
)(
1
)x< br>1
5
?x
1
3
，
333333
2222x
2
xx
553
22
同理可证， ， < br>?x
2
?3
3
()()x
2
?x
2
333333
222
2x
3
x
3
x
3
55 3
，
?x
3
?3
3
( )()x
3
?x
3
333333
以上三式相加，（3-1）式得证， 进而证得

x
3
x
1
x
2
? ?
22
1?x
1
2
1?x
2
1?x
3的最小值是
1
33
，当且仅当
x
1
?x
2?x
3
?
时。
3
2

评述： 柯西不等式中的
3
?
ab
ii
的项
3
a
i
b
i
如何拆成两个因式
a
i
和
b
i
的积，可以说是应用此不等式的主要技巧（上例
?
x(1?x)?
3
i2
i
i?1
2
33
，我们将
?
x
i< br>2
中的
x
i
2
表示为
i?1
x
i< br>1?x
i
2
和，正因为
a
i
b
i
可 以按照我们的需要加以分
x
i
3
(1?x
i
2
)< br>的积）
解，柯西不等式的应用更为广泛.
例10 试问：当且仅当实数
x0
,x
1
,...,x
n
(n?2)
满足什么条件是， 存在实数
中
z
k
222
?z
1
2
?z2
?...?z
n
y
0
,y
1
,...,y< br>n
使得
z
0
成立，其
?x
k
?iy
k
，i为虚数单位，k=0,1,…,n. 证明你的结论.（高中联赛，1997）
222
?z
1
2
?z
2
?...?z
n
成立转换 到实数范围内求解。根据表达式的特点，结合柯西不等式寻找
x
i
(i?1,2,.. .,n)
的思路分析：将
z
0
范围.
解：将
z
2
0
?z
222
1
?z
2
?...?z
n< br>转化到实数范围内，即
?
nn
?
?
x
2222k
?x
0
?
?
y
k
?y

?
0
,
?
k?1k?1
（3-2）
?
n
?
?
?
x
k
y
k
?x
0
y
0
k?1
n
若存在实数
y0
,y
1
,...,y
n
使（3-2）成立，则
x2
y
2
00
?(
?
x
k
y
k
)
2
.
k?1
2
nn
由柯西不等式可得
xy
2
?(
?
x
2
0k
)(
?1
?
y
2
0k
)
（3-3）
kk?1
n
如果
x
22
n
0
?
?
x
2
k
，由（3-2）可知
y
0
?< br>k?1
?
y
2
k
，从而
k?1
n
x
2
y
22
n
2
00
?(
?
x< br>k
)(
?1
?
y
k
)
与 （3-3）矛盾
kk?1
n
于是得
x
2
0
?
?
x
2
k
（3-4）
k?1
反之若（3-4）成立，有两种情况：
n
⑴
x
2
0
?
?
x
2
k
，则取
y
k
?x
k
，k=0,1,2,…,n，显然（3-2）成立.
k?1n
⑵
x
222
n
0
?
?
x
k
，记
a?
k
?x
0
?0
，则
x
1
,...,x
n
不全为0.
k?1
?
x
22k?1
不妨设
x
n
?0
，
取
y
k
?0,k?0,1,2,...,n?2
，并且取
y
n?1
?
ax
n
x
2
,y
?ax
n?1< br>n
?
n?1
?x
2
n
x
2
n?1< br>?x
2
.

n

易知（3-2）成立.
2
0
综上，所求的条件为
x?
?
x
k
2
.
k?1
n
4．切比雪夫不等式
定理4 设
x
1
, x
2
,...,x
n
，
y
1
,y
2
,...,y
n
为任意两组实数，若
x
1
?x
2
?...?x
n
且
y
1
?y
2
?...?y
n
或
x
1
?x
2
?...?x
n
且y
1
?y
2
?...?y
n
，则
1
n
1
n
1
n

?
x
i
y
i
?(
?
x
i
)(
?
y
i
)
（4-1）
n
i?1
n
i?1
n
i?1
若
x
1
?x
2
?...?x
n
且
y
1?y
2
?...?y
n
或
x
1
?x
2
?...?x
n
且
y
1
?y
2
?...? y
n
，则
1
n
1
n
1
n

?
x
i
y
i
?(
?
x
i
)(
?
y
i
)
（4-2）
n
i?1
n
i?1
n
i?1
当且仅当
x
1
?x
2
?...?x
n
或
y
1
?y
2
?...?y
n
时，（4-1）和（4-2）中的不等式成 立.
证明： 设
x
1
,x
2
,...,x
n,y
1
,y
2
,...,y
n
为两个有相同次序的序列 ，由排序不等式有
…………
把上述n个式子相加，得
n
?
xy
i
i?1
n
i
?(
?
x
i
)(
?
y
i< br>)

i?1i?1
nn
1
n
1
n
1
n
上式两边同除以
n
，得
?
x
i
y
i
?(
?
x
i
)(
?
y
i)

n
i?1
n
i?1
n
i?1
2
等号当且仅当
x
1
例 10 设
a
i
求证：
a
a
1
1
?x
2
?...?x
n
或y
1
?y
2
?...?y
n
时成立.
?0(i?1,2,...,n)
，
a
2
2
a
n
n
1
(a
1
?a
2
?...?a
n
)
n
a...a?(a
1
a
2
...a
n
)

证明：不妨令
a
1
?a
2
?...?a
n
?0
，则
?lga
2
?...?lga
n

lga
1
由切比雪夫不等式，有
a
1
lga
1< br>?a
2
lga
2
?...?a
n
lga
n< br>
?

1
(a
1
?a< br>2
?...?a
n
)(lga
1
?lga
2
?...?lga
n
)
n
a
1
a
2
12< br>即
lg(a...a)?lg(a
1
a
2
...a
n
)
a
n
n
1
(a
1
?a
2
?...?a
n
)
n

从而证得
a

例11 已知< br>a
1
a
1
1
a...a?(a
1
a
2
...a
n
)
a
2
2
a
n
n< br>1
(a
1
?a
2
?...?a
n
)
n
.
?a
2
?...?a
n
?0,b
n
?b
n?1
?...?b
1
?0
.
n
?
b
i1
?n
i?
求证：
?
n
i?1
a
i
n
i?1
a
i
.
i
?
b
证明：取
x
i
?a
i
,y
i
?b
i
，则由
a
2
?a
2
?...?a
n
?0,b
n
?b
n?1
?...?b
1
?0
，
可知
x
i
，
b
i
满足切比雪夫不等式的条件，故
又由均值不等式，正数
b
1
,b
2
,...,b
n
的调和平均数不大于它们的算术平均数，
?
n
b
i
即
n
i?1
?
n
1
?
n
.
i?1
b
i
其中等号仅在
b
1
?b
2
?...? b
n
时成立.
?
n
a
i
这样就有
1
n
b
ii?1
n
?
?
n
， < br>i?1
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