高中数学必修一函数值域-高中数学选修一杠一习题的答案
高中数学竞赛 函数练习题
(幂函数、指数函数、对数函数)
一、选择题
1.定义在R上的任意函数f(x)都可以表示为一个奇函数g(x)和一个偶函
数h(x)之和,若
f(x)=lg(10
x
+1),则
A.g(x)=x, h(x)=lg(10
x
+10
-x
+2)
11
[lg(10
x
+1)+x],
h(x)=[lg(10
x
+1)-x]
22
11
C.g(x)=x, h(x)=
lg(10
x
+1)-x
22
11
D.g(x)=-x,
h(x)= lg(10
x
+1)-x
22
B.g(x)=
2.若
(log
2
3)
x
-(log
5
3)
x
≥
(log
2
3)
-y
-(log
5
3)
-y
,则
A.x-y≥0 B.x+y≥0 C.x-y≤0 D.x+y≤0
3.已知f(
x)=ax
2
-c满足-4≤f(1)≤-1,-1≤f(2)≤5,那么f(3)应该是
A.7≤f(3)≤26 B.-4≤f(3)≤15
1023
C.-1≤f(3)≤20 D.-
3835
≤f(3)≤
33
4.已知f(n)=log
n
(n+1) (n?N*且n≥2),设<
br>?
log
n?2
1
f(n)
100
=
q (p,q?N*且(p,q)=1),则p+q=
p
A.3 B.1023
C.2000 D.2001
5.如果y=log
5
6?log
6
7?log
7
8?log
8
9?log
9
10,则
A.y?(0,1) B.y=1 C.y?(1,2) D.y?[2,3]
22
6.若实数a, x满足a>x>1,且A=log
a
(log
a
x),B=log
a
x, C=log
a
x,则
A.A>C>B B.C>B>A C.B>C>A D.C>A>B
7.设a>0,a≠1
,函数f(x)=log
a
|ax
2
-x|在[3,4]上是增函数,则a的
取值范围是
1111
≤a< D.a>1或8464
8.f(x)
是同期为2的奇函数,当x?[0,1)时,f(x)=2
x
-1,则f(
log1
24
)的值是
A.a>1
B.a>1或C.a>1或
2
11
≤a<
64
A.-
23
24
B.-
5
6
C.-
5
2
D.-
1
2
二、填空题
4
x
?b
9.设f(x)=lg(10+1
)+ax是偶函数,g(x)=是奇函数,则a+b的值为 。
x
2
x
三、解答题
10.已知奇函数f(x)满足f(x+2)=
f(-x),且当x?(-1,0)时,f(x)=2
x
。
①证明:
f(x+4)=f(x);②求f(
log
1
18
)的值。
2
11.解方程lg(4
x
+2)=lg2
x
+lg3。
?
2
?x
?1 x?0
?
12.设f(x)=
?<
br>1
,解不等式f(x)>1。
2
?
?
x x?0
13.设f(x)=
1
2?2
x
,求f(-5)+f(-4)+…+f(0
)+…+f(5)+f(6)。
14.求函数f(x)=3?4
x
-2
x
(x≥0)的最小值。
15.设函数f(x)=|lgx|,若0f(b),证明:ab<1。
16.设不等式2(
log
1
x
)
2
+9
log
1
x
+9≤0的解集为M,求当x?M时,函数
22
xx
)
(log
2
)的最大值、最小值。
28
ty
17.已知实数t满足
关系式log
a
3
=log
t
3
(a>0,a≠1) <
br>aa
f(x)=(log
2
①令t=a
x
,求y=f(x)的
表达式;
②若x?(0,2)时,y
min
=8,求a和x的值。
18.解不等式|
3
1
+2|>。
2
log
1<
br>x
2
19.解不等式
log
2
x?1
+
1<
br>log
1
x
3
+2>0。
2
2
35
, log
c
d=,若a-c=9,求b-d。
24
20.已知a、b、c、d均为正整数,且log
a
b=
21.
已知函数f(x)=ln[3
x
-
3
(a
2
?2a?2)x
]的定义域为(0,+∞),求实数a的取值范围。
22.解方程log
5
(3
x
+4
x
)=log
4
(5
x
-3<
br>x
)。
1?2
x
???(n?1)
x
?n
x
a
23.设f(x)=lg,其中a是实数,n 是任意给定的自然数,且n≥2。
n
如果f(x)当x?(-∞,1)时有意义,求a的取值范围。
24.f是定义在(1,+
∞)上且在(1,+∞)中取值的函数,满足条件:对任何x>1,y>1及u>0,v>0,
都有f(
x?y)≤
f(x)
uv
1
4u
?
f(y)
14v
成立,试确定所有这样的函数f。
函数的最值
一、选择题
1.如果在区间[1,2]上,函数f(x)=x
2
+px+q与g(x)=x+f(x)在该区间上的最大值是
A.4+
1
在同一点取相同的最小值,那么x
2
1
3
2
+
3
4
2
D.以上答案都不对
11
3
2
+
3
4
2
B.4-
5
3
2
+
3
4
2
C.1-
2.已知x、y都在区间(-2,2)内,且xy=-1,则函数u=
4
9
+的最小值是
2
2
4?x
9?y
D.A.
8
5
B.
24
11
C.
12
7
12
5
2
3.已知a、b、c?R*,则f(x)=<
br>x
2
?a
+
(c?x)?b
的最小值是
A.
a
+
c
2
?b
C.
B.
c
2
?a
+
b
D.
c?(a?b)
22
2
c+
a
+
b
2
二、填空题
4.f(x)=|x
2
-a|在区间[-1,1]上的最大值M(a)的最小值为
。
5.函数y=(x+1)(x+2)(x+3)(x+4)+5在区间[-3,3]上的最小值是
。
6.若不等式|x-4|+|x-2|+|x-1|+|x|≥a对一切实数x成立,则a的最大可
能值是 。
三、解答题
1x
,2]上,函数f(x)=-x
2+px+q与g(x)=
2
在同一点取得相同的最大值,求
2
x?11
f(x)在区间[,2]上的最小值。
2
7.在区间[
8.已知定义
在R上的函数f(x)对任意实数对(x,y)恒有f(x)+f(y)=f(x+y),且当x>0时,f(x
)<0,
又f(1)=-
2
。
3
ax
+
2
的最小值。
x
x?a
①求证
:f(x)为奇函数;②求证:f(x)在R上是减函数;③求f(x)在[-3,6]上的最值。
9
.已知a为正常数,x>0,求函数y=x+
10.已知f(x)=ax
2
+bx+c
,其中a?N*,b?N,c?Z。
①若b>2a,且f(sinx)
(x?R)的最大值为2,最小值为-4,试求f(x)的最小值;
②若对任意实数x,不等式4x≤
f(x)≤2(x
2
+1)恒成立,且存在x
0
,使得f(x
0)<2(x
0
2
+1)成立,
试求c的值。
x
4
?4x
3
?17x
2
?26x?106
11.求
函数y=的最值,其中|x|≤1。
2
x?2x?7
12.已知f(x)=lg(x+1),
g(x)=2lg(2x+t)
(t?R是参数),如果x?[0,1]时,f(x)≤g(x)恒成立,求
参数t的取值范围。
3x
2
?2x?n
13.已知函数f(x)=log
2
(m,n?R)。
2
mx?1
①若m?N*,x?R且f(x)的最大值为2,最小
值为1,求m,n的值;
②若n=-1,且f(x)的值域为R,求m的取值范围。
14.
求函数f(x)=
x
4
?3x
2
?6x?13
-
x
4
?x
2
?1
的最大值。
15.设f(x)=-x
2
+2tx-t,
x?[-1,1],求[f(x)
max
]
min
。
16.设f(x)=x
2
+px+q
(p,q?R)。若|f(x)|在[-1,1]上的最大值为M,求M的最小值。
17.设关于x的一元二次方程2x
2
―tx―2=0的两个根为????????。
①若x
1
、x
2
为区间????]上的两个不同的点,求证:4x<
br>1
x
2
-t(x
1
+x
2
)-4<0; <
br>②设f(x)=
4x?t
,f(x)在区间????]上的最大值和最小值分别为fmin
(x)和f
max
(x),g(t)=f
max
(x)<
br>x
2
?1
-f
min
(x),求g(t)的最小值。
18.设实数x、y满足4x
2
-5xy+4y
2
=5,设S=x
2
+y
2
,求
1
S
min
+
1
S
max
。
19.若函数f(x)=-
1
2
13
x
+在区间[a,b]上的最小值为2a,最大值为2b,求[a,b]。
22
20.实数a,
b,c和正数?使得f(x)=x
3
+ax
2
+bx+c, f(x)=0有
三个实数根x
1
、x
2
、x
3
,且满足:
1
2a
3
?27c?9ab
①x
2
-x
1
=?;②
x
3
>(x
1
+x
2
);求的最大值。
3
2
?
函数的方程迭代
一、填空题
1.已知f(x)+2f(
1
)=3x,则f(x)的解析式为 。 x
2.已知f(x)=ax
2
+bx+c,若f(0)=0且f(x+1)=f(
x)+x+1,则f(x)= 。
二、解答题
3.设f(x)=x
2
+px+q, A={x|x=f(x)},
B={x|f[f(x)]=x}。
①求证:A?B;②如果A={-1,3},求B。
4.已知f(x)是定义在R上的函数,且f(1)=1,对任意x∈R都有下列两式成立:
①f(x+5)≥f(x)+5;②f(x+1)≤f(x)+1。
若g(x)=f(x)+1-x,求g(6)的值。
5.已知二次函数f(x)=ax
2
+bx
(a,b是常数,且a≠0)满足条件:f(x-1)=f(3-x),且方程f(x)=2x
有等根。
①求f(x)的解析式;
②是否存在实数m,n (m
6.定义在(0,+∞)上的函数f(x)满足:①f(2)=1;②f(xy)=f(x)+f(y),其中x
,y为任意实数;
③任意正实数x,y满足x>y时,f(x)>f(y)。试求下列问题:
(1)求f(1), f(4);
(2)试判断函数f(x)的单调性;
(3)如果f(x)+f(x-3)≤2,试求x的取值范围。
7.已知函数f(x)=6x
-6x
2
,设函数g
1
(x)=f(x),
g
2
(x)=f[g
1
(x)],
g
3
(x)=f[g
2
(x)], …,
g
n
(x)=f[g
n-1
(x)], …。
①求证:如
果存在一个实数x
0
,满足g
1
(x
0
)=x
0<
br>,那么对一切n∈N*,
g
n
(x
0
)=x
0
都成立;
②若实数x
0
,满足g
n
(x
0
)=x
0
,则称x
0
为稳定动点,试求所有这些稳定不动点。
③设区间A=(-∞,0),对于任意x∈A,有g
1
(x)=f(x)=a<0,
g
2
(x)=f[g
1
(x)]=f(0)<0,且n≥2时,
g<
br>n
(x)<0。试问是否存在区间B
(A∩B≠?),对于区间内任意实数x,只要n≥2,都有g
n
(x)<0?
8.
对于函数y=f(x),若存在实数x
0
,满足f(x
0
)=x
0<
br>,则称x
0
为f(x)的不动点。已知F
1
(x)=f(x),
F
2
(x)=f[F
1
(x)],
F
3
(x)=f[F
2
(x)], …,
F
n
(x)=f[F
n-1
(x)] (n∈N*,n≥2)。
①若f(x)存在不动点,试问F
2
(x), F
3
(x),
…,F
n
(x)是否存在不动点?写出你的结论,并加以
证明。
②设f(x)=2x-x
2
。求使所有F
n
(x)<0
(n∈N*,n≥2)成立的所有正实数x值的集合。
9.设函数f(x)的定义域是R,对于任意实
数m,n,恒有f(m+n)=f(m)?f(n),且当x>0时,
0
②判断f(x)在R上的单调性;
③设集合A={(x,y)|f(x
2
)?f(y
2
)>f(1)}
,集合B={(x,y)|f(ax-y+2)=1,a∈R},若A∩B=?,求a的
取值范围。
10设p为奇素数,试求
1
12
+=的正整数解。
x
yp
11求方程组
?
?
xz?2yt?3
的整数解。 <
br>?
xt?yz?1
12求方程2x
2
y
2
+y
2
=26x
2
+1201的正整数解(x,y)。
13求x
2
+y
2
=328的正整数解。
14解方程4x
2
-20[x]+23=0。
15求函数f(x)=[x]
+[2x]+[
5
x]+[3x]+[4x]在0≤x≤100上所取的不同的整数值的个数。
3
?
10
n
?
16当n是怎样的最小自然数时,方程
??
=1989有整数解?
x
??
17设S=1+
1
2
3
+
1
3
+…+
1
980100
,求[S
]。
18已知S=
1?2?
3
3???
3
2006
,求[S]。
3
单元练习题
1、
若{
a
,1}?{1,2,a}?{1,2,4,a
2
},求a的值。
2、 已知集合{0,-1,2a}={a-1,-|a|,a+1},求实数a的值。
3、
集合{x|-1≤
log
1
10
<-
x
1
,
x∈N}的真子集的个数是 。
2
4、 已知集合{1,2,3,4,5,6,7
,8,9,10},求该集合具有下列性质的子集个数:每个子集至少含
有2个元素,且每个子集中任意
两个元素的差的绝对值大于1。
122004
4
x
5、
设f(x)=
x
,求f()+f()+…+ f()。
2
4?2
6、 函数f(k)是定义在正整数集N上,在N中取值的严格增函数,且满
足条件f(f(k))=3k,
试求f(1)+f(9)+f(96)的值。、
7、
设函数y=f(x)的定义域为[0,1],试求G(x)=f(x+a)+f(x-a)的定义域。
8、 设f(x)是定义在实数集上的周期为2的函数,且是偶函数,已知当x∈[2,3]时,f(x
)=x,
求当x∈[-2,0]时,f(x)的解析式。
9、 设函数f(x)=ax
2
+8x+3(a<0),对于给定负数a,有一个最大正数l(a),使得有整个区间
[0
,l(a)]上,不等式|f(x)|≤5都成立。问a为何值时,l(a)最大?求出这个最大的l(a),证
明你的结论。
10、求函数y=
1998?x
+
x
?1997
的值域。
11、函数f(x)=x
2
+3ax-2a+1在区间
[0,1]上的最小值为0,求a的值。
12、
已知函数f(x)=x
2
-2x+2,
x∈[t,t+1]的最小值为g(t),试写出函数s=g(t)的解析式,并画
出函数的图象。
13、 函数f定义在实数集上且对于一切实数x满足等式:f(2+x)=f(2-x)和f(7+x
)=f(7-x),
设x=0是f(x)=0的一个根,记f(x)=0在区间[-1000,1000
]中的根的个数为N,求N的
最小值。
14、
已知a、b、c是实数,函数f(x)=ax
2
+bx+c, g(x)=ax+b,当-1≤
x≤1时,|f(x)|≤1。①
证明:|c|≤1;②证明:当-1≤x≤1时,|g(x)|≤2;
③设a>0,当-1≤x≤1时,g(x)
的最大值为2,求f(x)。
15、
已知x,y>10, xy=1000,求(lgx)(lgy)的取值范围。
16、 设f(x)=
2+log
x
25―
log
x
2
64―
logx
3
8,试确定x的取值范围,分别使f(x)大于零,小
于零,等于零。
17、 设定义域为R的函数f(x)满足下列条件:①对于任意实数x,均有f(x)≥2;②对于任
意实数x
1
、x
2
,均有f(x
1
+x
2
)≤f(x
1
)+f(x
2
)。试证:对于任意实数x
1<
br>、x
2
,均有lgf(x
1
+x
2
)
≤lg
f(x
1
)+lgf(x
2
)。
18、
求方程lg
2
x―[lgx]―2=0的实数根的个数。
19、
设x、y、z为非负的实数,且满足方程
4
的最大值与最小值的积。
20、 方程<
br>5x?9y?4z
-68
2
5x?9y?4z
+256=0,求x+y
+z
lg2x
=2中,a为何实数时,方程无解?有一解?有两解?
lg(x?a)
21、 已知a>0, a≠1,试求方程log
a
(x-a
k)=
log
a
2
(x
2
-a
2
)有解时
k的取值范围。
22、
解方程log
4x
4x
2
?5x?2
=
1
。
2
23、 求方程2
w
+2
x
+2
y
+2
z
=20.625的满足条件w>x>y>z的整数解。
24、 设?、?分别是方
程log
2
x+x-3=0和2
x
+x-3=0的根,求???和log2
?+2
?
。
25、
解方程lg
2
x-[lgx]-2=0。
26、
已知实数x满足方程x=
x?
11
+
1?
,求[2x]。
xx
?
10
93
?
27、
求正整数
?
31
?
的末两倍数字。
?
10?3
?
28、
前1000个正整数中可以表示成[2x]+[4x]+[6x]+[8x]的正整数有多少个?
答案
幂函数、指数函数、对数函数
1、
C;2、B;3、C;4、A;5、C;6、B;7、B;8、D;9、
10、分析:①证明:∵f(x
+2)=f(-x)?f(x+2)=-f(x)
∴f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x)
②f(
log1
18
)=-f(log
2
18)=-f(log
2
1
8-4)=-f(log
2
2
1
;
2
988
)=f(log
2
)=
899
11、分
析:∵lg(4
x
+2)=lg2
x
+lg3? lg(4
x
+2)=lg(3?2
x
)?2
2x
-3?2
x
+2=0
?2
x
=1或2
x
=2?x=0或
x=1
?
x?
0
?
x?0
?
12、分析:∵f(x)>1?
?
?x
或
?
1
?x<-1或x>1
2
?
2?1?1
?
?
x?1
∴所求不等式的解集为(―∞,―1)∪(1,+∞)。
13、分
析:∵f(-x)+f(x+1)=
1
2
?x
?2
+
12
x?1
?2
=
2?2
x
?1
2?2
x
?2
=
2
2
∴f(-5)+f(-4)+…+f(0)
+…+f(5)+f(6)=3
2
。
121000
4
x
学
生思考:设f(x)=
x
,求f()+f()+…+f()。
100110011001
4?2
分析:x+y=1?f(x)+f(y)=1
14、分析:∵f
(x)=3?4
x
-2
x
=3(2
x
-
∵x≥0?
2
x
≥1
∴当2
x
=1?x=0时,f(x)
min
=2
15、分析:∵f(x)=|lgx|=
?
1
2
1
)-
612
?
lgx x?1
0?x?1
?
?lgx
∵0f(b)
∴a、b不能同时在区间[1,+∞)上
∵0∴若b?(0,1),显然ab<1
若b?[1,+∞),则f(a)>f(b)?-lga>lgb?lg(ab)<0?ab<1 16、分析:∵2(
log
1
x
)
2
+9
lo
g
1
x
+9≤0?―3≤
log
1
x
≤―
222
33
?≤log
2
x≤3?2
2
≤x
22<
/p>
≤8
∴M=[2
2
,8]
xx
)(log
2
)=(log
2
x-1)(log
2
x-3)=(log
2
x-2)
2
-1
28
3
∵2
2
≤x≤8?≤log
2
x≤3 2
∵f(x)=(log
2
∴当log
2
x=2?x=4时,y
min
=-1
当log
2
x=3?x=8时,y
max
=0。
17、分
析:①∵log
a
∵t=a
x
?x=log
a
t
ty
=log?log
a
t-3=log
t
y-3log
t
a
t
a
3
a
3
log
a
y3
x
2
?3x?3
-?log
a
y=x
2-3x+3?y=
a
(x≠0)
xx
33
②令u=
x
2
-3x+3=(x-)
2
+(x≠0),则y=a
u
24
∴x-3=
∵x?(0,2]时,y
min
=8
∴当0u
有最小值,则u=(x-
上不存在最值。 当a>1时,y=a
u
有最小值,则u=(x-
3
2
3
)+在(0,2]上应有最大值,但u在(0,2]
24
3
2
3
)+
在(0,2]上应有最小值
24
33
∵当x=时,u
min
=?y
min
=
a
4
24
∴
a
=8?a=16
3
4
3
3
2
333
111
18
、分析:|+2|>?+2<-或+2>?log
2
x<0或log
2
x>2
或
2
log
1
x
22
log
1
xlog<
br>1
x
∴a=16, x=
22
2
2
7
0
x0
7
。
2<
br>19、分析:∵
log
2
x?1
+
令t=
log2
x?1
(t≥0)
13
log
1
x
3<
br>+2>0?
log
2
x?1
-log
2
x+2>0
22
2
∴t-
3
2
1
t+>0 (
t≥0)?0≤t<1?0≤
log
2
x?1
<1?1≤log
2<
br>x<2?2≤x<4
22
35
∴所求不等式的解集为[2,4)
35bd
20、分析:∵log
a
b=,
log
c
d=?b=
a
2
,
d=
c
4
?a=()
2
, c=()
4
(*)?a|b, c|d
24a
c
?
bd
2
?
b
?5
??1
?
?
2
bdbdbd
?
a<
br>?
a
c
∵a-c=9?()
2
-()
4
=9
?[-()
2
][+()
2
]=9?
?
?
?
2
2
aaa
ccc
d
?
b
?
d
?9
?
?4
2
2
?
?
?
c?
a
c
∴代入(*)得:
?
?
a?25
?c?16
,
?
?b-d=93。
?
b?125
?d?32
(a
2
?2a?2)x
21、分析:依题意得:
3-
3
x
(a
2
?2a?2)x
>0?3>
3
x
?x>(a
2
-2a-2)x? a
2
-2a-2<1
? a
2
-2a-3<0?-1∴所求实数a的取值范围(-1,3)。
22、分析:设y= log
5
(
3
x
+4
x
)=log
4
(5
x
-3x
)
∴5
y
=3
x
+4
x
,
4
y
=5
x
-3
x
∴5
y
+4
y
=5
x
+4
x
∵f(t)= 5
t
+4
t
是单调递增函数
∴f(y)=f(x)?y=x
3
x
4
x
)+()=1
55
3434
∵g(x)= ()
x
+()
x
为单
调递减函数且()
2
+()
2
=1
5555
∴5
x
=3
x
+4
x
?(
∴x=2是原方程的唯一解。
学生思考:解方程10
x
+11
x
+12
x
=(
365
)。
23、分析:求a的取值范围,只需分离参数a与变量x,化成a>g(x)。
依题意得:1+2
x
+3
x
+…+(n-1)
x
+
n
x
a>0?a>-[(
∵-(
1
x
2
x
n?1
x
)+()+…+()] (x≤1)
nnn
k
x
),当k=1,2,3,…,(n-1)时,在(-∞,1]上都是增函数
n
12n?1x
∴g(x)=-[()
x
+()
x
+…+()]在(-∞,1
]上都是增函数
nnn
12n?1n?1
++…+)=-
nnn2
n?1n?1
∴a>-,即a的取值范围为(-,+∞)。
22
∴g(x)
max
=g(1)= -(
24、分析:取x=y=
a,u=v=b,则对任何a>1,b>0有f(a)≤
f(a)
令a=10, 2b=lgx
,则对任何x>1有f(x)≤
f(10)
1
lgx
2b
1
2b
1
1
再令a=x,
2b=,则对任何x>1有f(x)≥
f(10)
lgx
lgx
∴满足条件f只能是f(x)=
f(10)
1
lgx
1
lgx
令f(10)=c
(c为大于1的任何实数),则f(x)=
c
经检验知:f(x)=
c
1lgx
(c>1)
(c>1)为所求的函数。
函数的最值
1、B;2、D;3、D;4、
1
;5、4;6、5;
2
7、解析
:∵g(x)=
x
=
x
2
?1
1
2
1
x?
1
x
≤
1
2
∴当x=1时,g
max
(x)=
∴f(x)=-(x-1)
2
+<
br>1
2
1
。
2
∴当x=2时,f
min<
br>(x)=-
8、解析:①令x=y=0,则f(0)=0,令y=-x得f(x)+f(-x)=
f(0)=0?f(-x)=-f(x)?f(x)为奇
函数
②设x
1
、x
2
?R且x
1
>x
2
,则x
1
-x
2
>0?f(x
1
-x
2
)<0
∴f(x
1<
br>)-f(x
2
)=f[(x
1
-x
2
)+x
2
]-f(x
2
)= f(x
1
-x
2
)+f(x
2
)-f(x
2
)=
f(x
1
-x
2
)<0
∴f(x)为减函数
③由②知f
min
(x)=f(-3)=-f(3)=-[f(2)+f(1)]=-3f(1)=2;f
max
(x)=f(6)=6f(1)=-4。
9、解析:∵y=x+
axa
+
2
=
x++
x
x?a
x
1
a
x?
x
∴令t= x+
a
x
a
≥2
a
x
∵a为正常数,x>0? t=
x+
∴y=t+ (t≥2
a
)
∴①当01
t11
时,t+≥2?当t=1≥2
a
时,y
min
=2;
4
t
②当a>
11
1
时,t≥2
a
≥1,
y=t+是增函数?当t=2
a
时,y
min
=2
a
+;
4
t
22
b
<-1?f(x)在[-1,1]上的增函数
2a
10、解析:①∵b>2a?-
∵|sinx|≤1
∴f
min
(sinx)=f(-1)=-4,
f
max
(sinx)=f(1)=2
?a-b+c=-4, a+b+c=2
?b=3
∴a=1, c=-2
∴f(x)=x
2
+3x-2=
(x+
3
2
17
)-
2
4
∴当x=-
317
时,f
min
(x)=-。
2
4
②令x=1代入4x≤f(x)≤2(x
2
+1)得f(1)=
4?a+b+c=4
∵4x≤f(x)?ax
2
+(b-4)x+c≥0恒成立 <
br>∴?≤0?(b-4)
2
-4ac≤0?(-a-c)
2
-4ac≤0
?(a-c)
2
≤0?a=c
∵b?N?a+c≤4?2c≤4?c≤2?c=1或c=2
经检验c=2不合题意,应舍去
∴c=1
64
x
4
?4x
3
?1
7x
2
?26x?106
2
11、解析:∵y==(x+2x+7)+-1
2
2
x?2x?7
x?2x?7
设u=
x
2
+2x+7=(x+1)
2
+6?[6,10]
∵y=u+
64
-1在[6,8]上是减函数;在[8,10]上的增函数
u
47
3
∴y
min
=15;y
max
=
?
x?1?0
?
x?1?0
?
?
12、
解析:∵f(x)≤g(x)?
?
2x?t?0
?
?
t??2x
?
x?1?(2x?t)
2
?
?
?
t??2
x?x?1
∴x?[0,1]时,f(x)≤g(x)恒成立?
x?[0,1]时,t≥-2x+
x?1
恒成立
设h(x)=
-2x+
x?1
,令u=
x?1
?x=u
2
-1
(1≤u≤
2
)
∴h(x)=-2(u-
1
2
17
)+
4
8
∴当u=1?x=0时,h
max
(x)=1
∴t的取值范围为[1,+∞)。
3x
2
?2x?n
2
1
3、解析:①令t=?(3-mt)x+2x+n-t=0
2
mx?1
∵?≥0?4-4(3-mt)(
n-t)≥0?mt
2
-(3+mn)t+3n-1≤0
∵2≤t≤4
9
?
m?
?
4m?2(3?mn)?3n?1?0
?
m?1<
br>?
?
8
∴
?
?
?
或
?
(不
符合题意,舍去)
?
16m?4(3?mn)?3n?1?0
?
n?3?
n?
10
?
3
?
3x
2?2x?1
2
②∵t=?(3-mt)x+2x-1-t=0
2
mx?1
∴?≥0?4-4(3-mt)(
-1-t)≥0?mt
2
-(3-m)t-4≤0
(1)当m=0时,t≥-
4
,符合题意
3
(2)当m≠0时,要
使函数的值域包含(0,+∞),只须m<0时,方程mt
2
-(3-m)t-4=0有两个负
根
?
m?0
?
2
?
[?(3?m)]?4m(?
4)?0
?
∴
?
3?m
?0
?m≤-9或-1≤m<0 <
br>?
m
?
4
?
??0
?
m
∴所求m的
联欢会范围为(-∞,9]∪[-1,0]。
14、解析:∵f(x)=
x
4
?3x
2
?6x?13
-
x
4
?x
2
?
1
=
(x?3)
2
?(x
2
?2)
2
-<
br>x
2
?(x
2
?1)
2
∴函数y=f(x
)的几何意义是抛物线y=x
2
上的点P(x,x
2
)到两定点A(3,2)
, B(0,1)的距离之差
∴|PA|-|PB|≤|AB|=
10
1
5、解析:∵f(x)=-x
2
+2tx-t=-(x-t)
2
+t
2
-t, x?[-1,1]
①当t≤-1时,f(x)
max
=f(-1)
②当-1
=f(t)
③当t≥1时,f(x)
max
=f(1)
?
?3
t?1 t??1
?
2
∴f(x)
max
=
?
t
?t ?1?t?1
?
t?1 t?1
?
∴[f(x)<
br>max
]
min
=-
16、解析:
17、解析:
18、解析:∵x=y=0不满足4x
2
-5xy+4y
2
=5
∴S≠0
1
。
4
x
2
?y
2
∵S=x+y?1=
S
2
2
x
2
?y
2
∴4x-5xy+4y=5?4x-5xy+4y=5?
S
2222
不妨设y≠0
∴(4S-5)(
x
2
x
)-5S?+(4S-5)=0
yy
∵
x
?R
y
10103113
≤S≤?≤≤
13310
S
10
∴?≥0?(5S)
2
-4(4S-5)
2
≥0?
∴
1
S
min
+
1
S<
br>max
=
3138
+=
10105
19、解析:分三种情况讨论
①若0≤a∴
?
?
f(a)?2b
?
a?1
?
?
?
f(
b)?2a
?
b?3
②若a<0?
a??2?17
?
f(0)?2b
?
f(0)?2b
?
∴
?
或
?
?
?
13
?
f(a)?2a
?
f(b)?2a
?
b?
4
?
③若a?
f(a)?2a
∴
?
无解
f(b)?2b
?<
br>∴所求的区间为[1,3]或[―2―
17
,
20、解析:∵f(x
3
)=0
∴f(x)=f(x)-f(x
3
)=(x-x
3
)[x
2
+(a+x
3
)x+x
3
2
+ax
3
+b]
∴x
1
,x
2
是方程x
2
+
(a+x
3
)x+x
3
2
+ax
3
+b=0的两根
?x
1
+x
2
=-(a+x
3
),
x
1
x
2
=x
3
2
+ax
3
+b
∵x
2
-x
1
=??(a+x
3
)-4(x
3
2
+ax
3
+b)=?
?
?3x
3
2
+2ax
3
+?
2
+4b-a
2
=0
?x
3
=
13
]。
4
1
(-a+
4a
2
?12b?3
?
2
)
(*)且4a
2
-12b-3?
?
≥0 (**)
3
a
3
注意:由条件①②可得x
3
>-
a
3
a
2
a2
3
1
∵f(x)=x+ax+bx+
c=(x+)-(-b)(x+)+a+c-ab
33273
3
32
12<
br>3
a
3
a
2
a
∵f(x
3
)=0?
ab-a-c=(x
3
+)-(-b)(x
3
+) (***) 32733
3
11
由(*)得x
3
+a=
33
23
4a?12b?3
?
=
3
22
a
2
?
2
?b?
34
a
2
令p=-b
3
2
3
23
?
2
1
由(**)(***)
得p≥且ab-a-c=
327
4
9
p?
?
2
4<
br>(p-?
2
)
令y=
p?
?
2
4
∴y≥0且
12
3
23
2
3
2
ab-
a-c=y(y-?)
3274
9
∵y(y
2
-
3
2
1
23
3
3
1
2
1
?)+?=y-x
y+?=(y-?)
2
(y+?)≥0
44442
12
3
3
3
33
3
2a
3
?27c?9ab
33
3
∴ab-a-c≥-??2a+27c-9ab≤??≤
327
1822
?
3
取a=2
3
, b=2,
c=0, ?=2,则f(x)=x
3
+2
3
x
2
+2x有
艰-
3
-1, -
3
+1, 0显然假设条件成立
且
2a
3
?27c?9ab
1
33
=(48-36)= 33
8
2
?
3
∴(
2a
3
?27c?
9ab
?
3
2
-x
x
)max=
33
2
函数的方程迭代
1、f(x)=
2、f(x)=
1
2
1
x+x
22
3、解析:①设x
0
是集合A
中的任一元素,即有x
0
∈A
∵A={x|x=f(x)}
∴x
0
=f(x
0
)?f[f(x
0
)]=f(x
0
)
=x
0
?x
0
∈B
∴A?B
②∵A={-1,3}={
x|x
2
+px+q=x}={x|x
2
+(p-1)x+q=0}
?
?1?3??(p?1)
?
p??1
∴
?
?
?
?f(x)= x
2
-x-3
?
(?1)?3?q
?q??3
∵f[f(x)]=x?x
4
-2x
3
-6x
2
+6x+9=0?(x
2
-2x-3)(x
2
-3)=0?x=-
1或3或
3
或-
3
∴B={-1,3,-
3
,
3
}。
4、解析:反复利用②
∵f(x+5)≤f(x+4)+1≤f(x+3)+2≤f(x+2)+3≤f(x+1)+4≤f(
x)+5 (*)
∴f(x+5)=f(x)+5
∴由(*)可以得到f(x+1)=f(x)+1
∴g(6)=f(6)+1-6=[f(1)+5]-5=f(1)=1
5、解析:①∵方程f(x)=2x有等根?⊿=0?b=2
∵f(x-1)=f(3-x)
?f(x)=f(2-x)?图象的对称轴为x=-
∴f(x)=-x
2
+2x
②f(x)=-(x-1)
2
+1≤1
∴4n≤1?n≤
b
=1?a=-1
2a
1
4
∵抛物线y=-x
2
+2x的对称轴为x=1
∴n≤
1
时,f(x)在[m,n]上为增函数
4
若满足题设条件的m,n存在,则
?
f(m)?4m
?
m?0或m??2
?
?
?
?
f(n)?4n
?
n?0或n??2
∵m
4
∴m=-2,n=0,这时定义域为[-2,0],值域为[-8,0]
∴存在m=-2,n=0,满足条件。
6、解析:
①f(1)=0,
f(4)=2;②增函数;③(3,4]。
7、解析:
①数学归纳法:当n
=1时,g
1
(x
0
)=x
0
显然成立;当n=k时,在g
k
(x
0
)=x
0
(k∈N*)成立,则
gk+1
(x
0
)=f[g
k
(x)]=f(x
0
)=g
1
(x
0
)=x
0
,即当n=k+1时,命题成立
。
∴对一切n∈N*,若g
1
(x
0
)=x
0
,
则g
n
(x
0
)=x
0
。
②由①知,稳定不动点
x
0
只需满足f(x
0
)=x
0
,
∵f(x0
)=x
0
?6x
0
-6x
0
2
=x
0
?x
0
=0或x
0
=
5
。
6
③∵f(x)<0?6x-2x
2
<0?x<0或x>1
∴g
n
(x)<0?f[g
n-1
(x)]<0?
g
n-1
(x)<0或g
n-1
(x)>1
要使一切n∈N,n≥
2,都有g
n
(x)<0,必须有g
1
(x)<0或g
1
(
x)>1
∵g
1
(x)<0?6x-2x
2
<0?x<0或x>1
g
1
(x)>1?6x-2x
2
>1?
3?33?3
∴对于区间(-∞,0), (
3?33?3
,)和(1,+
∞)内的任意x,只要n≥2,n∈N*,都有g
n
(x)<0。
66
8、解析:
①y=f(x)存在不动点x
0
,则f(x
0
)=x
0
,下证x
0
是F
n
(x)的不动点。
∵F
2
(x
0
)=f[F
1
(x
0
)]=f[f(x
0
)]f(x
0
)=x
0
∴x
0
也是F
2
(x)的不动点。
若F
n-1<
br>(x)存在不动点x
0
,即F
n-1
(x
0
)=x<
br>0
∴F
n
(x
0
)=f[F
n-1(x
0
)]=f(x
0
)=x
0
?
F
n
(x)存在不动点x
0
综上所述:对于任意n∈N*,n≥2
,F
n
(x)都存在不动点,并且有相同的不动点。
②方法一:
∵f(x)<0?2x-x
2
<0?x<0或x>2
∵要使F
n
(x)<0 (n≥2)?f[F
n-1
(x)]<0?
2F
n-1
(x)-[F
n-1
(x)]
2
<0?F
n-1
(x)<0或F
n-1
(x)>2
依此类推,要使F
2<
br>(x)<0?f[F
1
(x)]<0?f[f(x)]<0?2f(x)-[f(x)]
2
<0?f(x)<0或f(x)>2?2x-
x
2
<0或2x-x
2
>2?x<0(舍去)或x>2或x∈??x>2
∴所求x的取值范围为(2,+∞)。
9、解析:
①∵f(m+n)=
f(m)?f(n) 且当x>0时,0
设m=x<0,n= -x>0
∴f(0)=f(x)f(-x)?f(x)=
1
>1
f(?x)
②设x
1
?x
2
-x
1
>0?0<
f(x
2
-x
1
)<1
∴f(x
2
)-f(x<
br>1
)=f[(x
2
-x
1
)+x
1
]-f(
x
1
)=f(x
2
-x
1
)f(x
1
)-
f(x
1
)=f(x
1
)[f(x
2
-x
1
)-1]<0
∴f(x)在R上单调递减
③∵f(x
2
)?f(y2
)>f(1)?f(x
2
+y
2
)>f(1)?
x
2
+y
2
<1
∵f(ax-y+2)=1=f(0)? ax-y+2=0
∵A∩B=?
∴
2
a
2
?1
≥1?a
2
+1≤4?-<
br>3
≤a≤
3
。
10、解析:∵
1
12
+=
?p(x+y)=2xy?4xy-2p(x+y)+p
2
=p
2
?(2x-
p)(2y-p)=p
2
x
yp
∵p是素数,x>0, y>0
?
2x?p?1
?
2x?p?p
?
2x?p?p
2
∴
?
或
?
或
?
2
?
2
y?p?p
?
2y?p?1
?
2y?p?p
p(p?1)
p
?1
??
x?
x?
?
?
x?p
?
??2
2
?
?
或
?
或
?
p?1
p(p?1)
y?p
?
?
y?
?
y?
?<
br>?
2
2
?
?
11、解析:∵
?
?
x
z?2yt?3
?(xz-2yt)
2
+(xt+yz)
2
=11?
(x
2
+2y
2
)(z
2
+2t
2
)=1
1
?
xt?yz?1
∴x
2
+2y
2
=1或z<
br>2
+2t
2
=1
①x
2
+2y
2
=1?x=±1, y=0
∵xt+yz=1?t=±1
∴z=±3
②z
2
+2t
2
=1?t=0, z=±1
∴y=±1,
x=±3
∴所求方程组有4组解:(1,0,3,1)、(-1,0,―3,―1)、(3,1,1,
0)、(―3,―1,―1,0)。
12、解析:∵2x
2
y
2
+
y
2
=26x
2
+1201?(2x
2
+1)(y
2
-13)=1188=2
2
?3
3
?11
∴2x
2
+1与y
2
-13均为2
2
?3
3
?11的因
数
∵2x
2
+1为奇数?2x
2
+1为3
3
?1
1的因数
由下表可知,所求的正整数为(4,7)和(7,5)。
2x
2
+1 3 9 11 27 33 99 297
x 1
2 4 7
132 36 12
y
2
-13
396
y 7 5
13、解析:显然x≠y,不妨设x>y>0
∵328是偶数?x、y的奇偶性相同?x±y是偶数
令x+y=2u
1
, x-y=2v
1
(u
1
、v
1
∈Z,
u
1
>v
1
>0)?x=u
1
+v
1
,
y=u
1
-v
1
∴u
1
2
+v
1
2
=164
同理,令u
1
+v
1
=2u
2
,
u
1
-v
1
=2v
2
(u
2
、v
2
∈Z, u
2
>v
2
>0)
?u
1
=u
2
+v
2
,
u
1
=u
2
-v
2
∴u
2
2
+v
2
2
=82
同理,令u
2
+v
2
=2u
3
,
u
2
-v
2
=2v
3
(u
3
、v
3
∈Z, u
3
>v
3
>0)
?u
2
=u
3
+v
3
,
u
2
=u
3
-v
3
∴u
3
2
+v
3
2
=41?u
3
、v
3
必为一奇一
偶,且0
3
≤[
41
]=6
依次取v
3
=1,2,3,…,5代入u
3
2
+v
3
2=41得u
3
=5, v
3
=4?x=18, y=2
∴所求的解为x=18,y=2或x=2, y=18。
注意:合理分层换元是解决本题的关键。
14、分析:这个方程不是二次方程,但可利用不等
式x-1<[x]≤x把方程化为不等式,先
求出x的范围,再在给定的范围内把方程转化为二次方程求
解。
解析:∵x-1<[x]≤x?-20x≤-20[x]<-20(x-1)
∴4x<
br>2
-20x+23≤4x
2
-20[x]+23<4x
2
-2
0(x-1)+23
∵4x
2
-20x+23≤0?
5?25?2
≤x≤
22
4x
2
-20(x-1)+23>0?4x
2
-20x+43>0?
x∈R
∴
5?25?2
≤x≤
22
5?2
≤x<2时,
[x]=1,4x
2
-20[x]+23=0?4x
2
+3=0?x∈?;
2
17
;
2
①当
②当2≤x<3时,[x]=2,4x<
br>2
-20[x]+23=0?4x
2
-17=0?x=
③当3≤x<<
br>5?237
时,[x]=3,4x
2
-20[x]+23=0?4x
2
-37=0?x=;
22
1737
和x=。
22
1
(4x
2
+23)的图象,找交点所在的范围求解。
20
∴原方程的解为x=
学生思考:画出y=[x]及y=
15、分析:[x]是一
种跳跃取值的函数,由于[x]、[2x]、[3x]、[4x]在0≤x<1时可分别取到
0、1、2
、3、4个值,而[
5
x]则在0≤x<3上可取到5个值。但在0≤x<3上,当x=0时,
3
这5个取整函数同时“跳跃”,在x=1、2时,[x]、[2x]、[3x
]、[4x]同时“跳跃”,在x=
1
、
2
35
、时,[2x]、[
4x]同时“跳跃”,故在在0≤x<3上f(x)可以取到22个不同的值。
22
解
0,
析:在0≤x<3时,当x递增依次经过
7997125811
,,,,,,1
,,,,,,,,2,,,,,,时,f(x)的值发生跳跃变
432534543234543523
4
化,在x∈[0,3)时,f(x)取得22个不同的值;
同样在x∈[3,6)时,f(x)取得22个不同的值;
∴在x∈[0,99)时,f(x)取得22×33=726个不同的值;
在x∈[99,100]时,f(x)取得8个不同的值;
∴在x∈[0,100]时,f(x)取得726+8=734个不同的值;
16、分析:利用[x]≤x<[x]+1。
?
10
n
?
11
10
n
n
解析:∵
?
=1989?1989≤<199
0?×10
?
19901989
x
?<
br>x
?
∵
11
=0.00050251…, =0.00050276…
19901989
∴当n=7时,5025.1…
17、分析:如能把S限制在两个相邻整数之
间,则S的值可以确定,因此应对S的值适当
放缩以使其较易确定其取值范围。
解析:∵1
n
1
2
<
2
2n
1
3
<<
br>2
n?1?n
=2(
n
-
n?1
)
∴S=
1+++…+
1
980100
<1+2(
2
-1)+2(
3
-
2
)+…+2(
980100
-
980099
)
=1+2(990-1)=1997
∵
1
n
<
2
2n1
2
+
>
2
n?1?n
=2(
n?1
-
n
)
∴S=1+
1
3
+…+
1
980
100
>1+2(
3
-
2
)+2(
4
-
3
)+…+2(
980101
-
980100
)=1+2(
9
80100
-
2
)=1981-2
2
>1978
∴1978∴[S]=1978
18、分析:估算出所求数的大致范围,只要能说明该数介于两个相邻整数之间即可。
解析:∵12
3
=1278<2006<2197=13
3
?12<
3
2006
<13?2017<2005+
3
2006
<2
018
?12<
3
2005?
3
2006
<13?201
6<2004+
3
2005?
3
2006
<2017
?1
2<
2004?
3
2005?
3
2006
<13?…? <
br>?11<
1715?
3
1716???
3
2006
<
12?…?
?1<
1?
3
2?
3
3???
32006
<2
∴[S]=1。
3
3
3
单元练习题
1、a=0,4
2、a=1或a=-1
3、2
90
-1
4、133
5、1002
6、197
11
≤a≤0时,G(x
)的定义域为[-a,1+a];当022
11<
br>a];而当a<-或a>时,G(x)不存在。
22
7、当-
8、f(x)=3-|x+1|
9、当a=-8时,l(a)
max
=
10、[1,
2
]
11、-2
1
(
5
+1)
2
?
t2
?1 t?0
?
0?t?1
12、g(t)=
?t
?
t
2
?2t?2 t?1
?
13、
N
min
=401
14、①|f(x)|≤1?|c|≤1;②|g(x)|≤ma
x{|g(1)|,|g(-1)|}=2;③f(x)=2x
2
-1
15、(2,
9
]
4
16、当0
18、3
19、4
20、当a≥
444
或x>1时,f(x)>0;当
11
时,方程无解;当022
21、(-∞,-1)∪(0,1)
22、x=2
23、∵2
w
+2
x
+2
y
+2
z
=20.625=24
+2
2
+2
-1
+2
-3
?w=4,x=2
,y=-1,z=-3
24、?????和log
2
?+2
?
??。
25、x=
1
3
,x=
10
,x=100
10
26、3
27、08
28、600
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