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高中数学竞赛典型题目(一)

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-16 06:56
tags:高中数学竞赛

高中数学题海-高中数学向量例题及解析


数学竞赛典型题目(一)
1.(2004美国数学竞赛)设
a
1,a
2
,
?
,a
n
是整数列,并且他们的最大公因子是 1.
令S是一个整数集,具有性质:
(1)
a
i
?
S(i
?
1,2,
?
,n)

(2)
a
i?
a
j
?
S(i,j
?
{1,2,
?
,n})
,其中
i,j
可以相同
(3)对于
x,y?S
, 若
x?y?S
,则
x?y?S

证明:S为全体整数的集合。
2.(2004美国数学竞赛)
a,b,c
是正实数,证明:
(a
5
?a
2
?3)(b
5
?b
2
?3)(c
5
?c
2
?3)?(a?b?c)
3

3.(2004加拿 大数学竞赛)T为
2004
100
的所有正约数的集合,求集合T的子集
S中 的最大可能的元素个数。其中S中没有两个元素,一个是另一个的倍数。
4.(2004英国数学竞赛)证明:存在一个整数
n
满足下列条件:
(1)
n
的二进制表达式中恰好有2004个1和2004个0;
(2)2004能整除
n
.
5.(2004英国数学竞赛)在0和1之间, 用十进制表示为
0.a
1
a
2
?
的实数
x

足:在表达式中至多有2004个不同的区块形式,
a
k
a
k?1
?
a
k?2003
(1?k?2004)

证明:
x
是有理数。
6.(2004亚太地区数学竞赛)求所有由正整数组成的有限非空数集S,满 足:
如果
m,n?S
,则
m?n
?S

(m,n)
7.(2004亚太地区数学竞赛)平面上有2004个点,并且无三点共线,S为通过
任何两 点的直线的集合。证明:点可以被染成两种颜色使得两点同色当且仅当
S中有奇数条直线分离这两点。
?
(n?1)!
?
*
(n?N)
是 偶数。 8.(20 04亚太地区数学竞赛)证明:
?
2
?
?
n?n
?
9.(2004亚太地区数学竞赛)
x,y,z
是正实数,证明:


( x
2
?2)(y
2
?2)(z
2
?2)?9(xy?yz? zx)

10.(2003越南数学竞赛)函数
f
满足
f(cotx )?cos2x?sin2x(0?x?
?
)
,令
g(x)?f(x)f( 1?x)(?1?x?1)
,求
g(x)
在区间
[?1,1]
的上最 值。
11.(2003越南数学竞赛)定义
p(x)?4x
3
?2x
2
?15x?9,q(x)?12x
3
?6x
2
?7x?1
,证明:
(1)每个多项式都有三个不同的实根;
(2)令A为
p(x)
的最大实根,B为
q(x)
的最大实根,证明:
A
2
?3B
2
?4

12.(2003越南数学竞赛)令F为所有满足
f:R
?
?R
?

f(3x)?f[f(2x)]?x
对任意
x? R
?
成立的函数
f
的集合。求最大实数A使得
f(x)?Ax
对所有
f?F,x?R
?
都成立。
13.(2003美国数学竞赛)证明 :对于每个
n
,我们可以找到一个
n
位数,他
的所有数字都是奇数, 并且可以被
5
n
整除。
14.(2003美国数学竞赛)一个凸多边形的所 有边和所有对角线都是有理数,
连接所有的对角线将多边形分成若干的小凸边形,证明:所有小多边形的 边长
都是有理数。
15.(2003巴尔干数学竞赛)一个矩形ABCD的边
AB? m,AD?n,
其中
m,n

互质的奇数。矩形被分成了
mn
个单位正方形,对角线AC交单位正方形于点
AC
A
1
?A,A
2
,A
3
,
?
,A
N
?C
,证明:
A
1
A
2
?A
2
A
3
?A
3A
4
??(?1)
N
A
N?1
A
N
?

mn
16.(2002美国数学竞赛)S为含有2002个元素的集合,并且P是S 所有子集
的集合,证明:对于任意
n(0?n?P)
,我们可以将P的
n< br>个元素染成白色,
其余染成黑色,使得P的任何两个具有相同元素的并集仍有相同的颜色。 17.(2002美国数学竞赛)求所有定义在实数集上的实值函数满足:
f(x
2
?y
2
)?xf(x)?yf(y)
对于任意实数
x,y
成立。
18.(2001美国数学竞赛)非负实数
x,y,z
满足
x
2?y
2
?z
2
?xyz?4
,证明:


x yz?xy?yz?zx?xyz?2

19.(2002巴尔干数学竞赛)数列
{ a
n
}:a
1
?20,a
2
?30,a
n?1?3a
n
?a
n?1
,求所有
n
使
5a
n
a
n?1
?1
是完全平方数。
20.(2002巴尔干数学竞 赛)N为正整数的集合,求所有
f:N?N
使得
f(f(n))?f(n)?2n?2 001或2n?2002

21.(2009年协作体)求证:存在无穷多个棱长都是整数的长 方体,使其满足
每个面的面积都是两个数的平方和,并且其体积等于对角线的平方。
22.( 2001巴尔干数学竞赛)一个凸五边形的边长是有理数,并且5个角相等,
证明:它是正五边形。 < br>23.(2001巴尔干数学竞赛)正实数
a,b,c
满足
abc?a?b?c
,证明:
a
2
?b
2
?c
2
?3abc< br>
24.(2001加拿大数学竞赛)
A
0
,A
1
, A
2
位于半径为1的圆上,并且
A
1
A
2
不是直径,点列
{A
n
}
定义如下:
A
n

?A
n?1
A
n?2
A
n?3
的外心,证明:
A
1
,A
5
,A
9
,A
13
?
共线 ,并求所有的
A
1
,A
2
使得
A
1
A1001
是一个整数的50次幂。
A
1001
A
200125.(2002年越南数学竞赛)
n
为正整数,证明:方程
1111
?
2
?
?
?
2
?
有唯一的解
x
n< br>?1
,且
n??
时,
x
n
?4

x ?1
2x?1nx?1
2
26.(2001年越南)对于实数
a,b
定义如下数列:
x
0
,
x
1
,
x
2
,
?
.

x
0
?a

x
n?1
?x
n
?bsinx
n
确定
(1)若
b?1.
证明:对于任何a,数列有极限;
(2)若
b?2.
证明:对于某些a,数列没有极限.
27.(2000年 越南)定义一个正实数序列:
x
0
,
x
1
,
x2
,
?
.
x
0
?b

x
n? 1
?c?c?x
n
.
求所有实数c,使得对所有
b?(0,c),数列存在极限.
28.(2002波兰数学竞赛)数列
{a
n
}:a
1
?k?1,a
n?1
?a
n
?ka
n
? k

k
是正整数,
2


证明:数列中的任两项互质。
29.(2001波兰数学竞赛)数列
{x
n
}:x
1
?a ,x
2
?b,x
n?2
?x
n?1
?x
n
,一个数
c

果在数列中出现的次数超过1次,就称它是“重复的”,证明:我们可以 选择
a,b
使数列中有超过2000个重复值,但没有无穷多个重复值。
30.(2 001波兰数学竞赛)
a,b
都是整数,使得
2
n
a?b
对 所有非负整数
n
都是
完全平方数,证明:
a?0

31.( 2001波兰数学竞赛)数列
{a
n
}
定义如下:
a
1
a
2
为素数,
a
n

a
n?1?a
n?2
?2000
的最大素因子。证明:数列
{a
n
}
有界.
32.(2001波兰数学竞赛)
p(x)
是一个多项式,次数 为奇次,满足
p(x
2
?1)?p
2
(x)?1
对所有x
成立。证明:
p(x)?x

33.(1978年国际数学竞赛)将集 合
S?{1,2,3,?,1978}
分成六个不同的集合
A
i
(i ?1,2,3,4,5,6)
,即
S?A
1
?A
2
???A
6

A
i
?A
j
??
,求证:在某个A
i

存在一个元素是其他两个元素的和或者一个元素是另一个元素的2倍。 < br>34.(1999年国际数学竞赛)设n是一个固定的正偶数.考虑一块
n?n
的正方< br>板,它被分成
n
2
个单位正方格.板上两个不同的正方格,如果有一条公共边,
就称它们为相邻的.将板上N个单位正方格作上标记,使得板上的任意正方格
(作上标记的或者 没有作上标记的)都与至少一个作上标记的正方格相邻.确
定N的最小值.
35.一个
9?9
方格能否被15个
2?2
方格和6个L型方格(由3个小方格组成)
和3个单位方格覆盖?
36.已知边长为
n
的正方形及其内部的
(n?1)
2
个点,其中无3点共线,证明:
必存在3个点,以其为顶点的三角形的面积不大于< br>1

2
37.已知
x
是循环节为
p
的纯循 环小数,
y
是无限小数,其小数点后的第
n

与数
x
小数点后的第
n
n
位的数字相同,问:
y
是否是有理数?


38.求所有的正整数
a,b
使得
ab
2
?b?1 ,ba
2
?a?1

39.
{x
n
}:x
0
?1,x
1
?3,x
n?1
?6x
n
?x
n?1
,证明:除第一项外,
{x
n
}
中无完全平
方数。
40.
f(x)?ax
2
?bx?c
是实系数多项式,且对于任何整 数
x
0
,f(x
0
)
是完全平
方数,证明:
f(x)?(ex?d)
2
,其中
e,d
是整数。
41.能否找到含有1990个正整数的集合S,使
(1)S中任意两个数互质;
(2)S中任意
k(k?2)
个数的和是合数。
42.(1998年越南数 学竞赛)是否存在
?
(0?
?
?1)
,使得有一个无穷的正数列{a
n
}
满足:
1?a
n?1
?a
n
?
?
n
a
n
,
(n?1,2,?)
.
43.一个整数有限序列
a
0
,a
1
,
?
,an
称为一个二次序列,如果对于每个
i?{1,2,
?
,n},a
i
?a
i?1
?i
2

(1)证明:对于任何两个整数
b,c
,都存在一个正整数
n
和一个二次序列使
a
0
?b,a
n
?c

(2)求满足下列条件的最小正整数
n
,使
a
0
?0,a
n
?1996

44.
x,y,z
是正实数,求证:
(xy?yz?zx)(
1119
??)?

4
(x?y)
2
(y?z)
2
(z?x)
2
45.用16个
1? 3
矩形和一个
1?1
正方形拼成一个
7?7
正方形,求证:
1?1

方形要么在大正方形中心,要么在大正方形边界上。
46.环形公路上有< br>n
个加油站,每个加油站有汽油若干桶,
n
个站的总存油量
够一辆汽车 行驶一周,证明:必存在一站,从该站起,汽车逆时针行驶(每到
一站装上所有汽油)可回到原站。 < /p>


47.正实数
a,b,c
满足
abc?1
,求证:1a(c?b)
2
b(c?a)
2
c(b?a)
2
[? ?]

4c?bc?ab?a
1113
???

333a(b?c)b(c?a)c(a?b)
2
48.
x
i
?
R
?
(i
?
1,2,
?
,n)
,证明:
x
1
x
1
??
2
1?x
1
2
1 ?x
1
2
?x
2
?
x
n
?n
< br>2
1?x
1
2
??x
n
2
n
an
1
49.数列
{a
n
}:a
1
?,a
n?1
?
2
,证明:
?
a
k
?1
2
a
n
?a
n
?1
k?1
50.求方程
x!?y!?x
y
的正整数解
51.求所有三次多项式
p(x)
使得对任意的非负实数
x,y

p(x?y)?p(x)?p(y)

52.
S?{x
2
?2y
2
|x,y?Z}
,对于整数a ,若
3a?S
,证明:
a?S

53.
{x
n}:x
0
?1,x
n?1
?3x
n
?x
n5
,已知
x
1
?5,x
2
?26,x
3
?136,x
4
?712
,求
x
2007

??
54.(波兰)数列
{a
n
}

a
0
?? 1,a
n
?

a
n
?0(n?0)

a
n?1
a
a
?
?
1
?
0
?0( n?1)
确定,证明:
2nn?1
55.非负实数
x,y,z
满足
x
2
?y
2
?z
2
?1
,证明:
1?
xyz
???2

1?yz1?zx1?xy
56.圆周上有7 个点,将他们两两连线,求这些直线在圆内部交点个数的最小
值。
57.是否存在一个能被1 03整除的正整数
n
,满足
2
n?1
?2(modn)
< /p>


58.正实数
x,y,z
满足
xy?yz?zx?x?y?z< br>,证明:
111
???1

x
2
?y?1y
2
?z?1z
2
?x?1
59.(2009塞尔维亚数学竞赛)求能被整除且 数字和是的最小的正
整数。
60.对
2007?2007
方格染色,使得任 意
2?2
方格中最多有2个方格被染色,
问:最多可以将多少个方格染色?
61.空间中有9个点,其中任意4点不共面。在这9个点间连接若干条线段,
但图中不存在四面体,问 :图中三角形最多多少个?
62.(2009加拿大数学竞赛)由一个纸板裁剪出两个半径不同的圆, 每个圆再
分成个相等的扇形,且每个圆的个扇形涂成白色的,另个扇形涂成
黑色的。将小圆叠放 在大圆的上面,使得它们的圆心重合。
求证:总可以旋转小圆,使得这两个圆的扇形上下对齐,且小圆 至少有个
扇形位于大圆的同色扇形上。
2n
63.(2009年印度尼西亚数学竞赛 )
n
是大于1的奇数,证明:
8n?4|C
4n

64.( 2009年英国数学竞赛)求定义在实数集上的函数使
f(x
3
)?f(y
3
)?(x?y)(f(x
2
)?f(xy)?f(y
2
))

65.(2009年英国数学竞赛)将不大于2500的正整数写成二进制,其中以
1开头的数 字串所表示的整数的不同个数记为
b(n)
,求证:
n?2500
时,
b(n)?39
,并确定取等条件。
66.一个圆桌周围有
n
个位置,第 一个人任意坐下,第二个人从第一个人逆时
针开始数2个位置坐下,即第二个人坐在第一个人旁边,第< br>k?1
人从第
k
个人
n
个人恰好坐满
n
个位 置,逆时针开始数
k?1
个位置坐下。如果按照这种坐法,

n
得所 有可能值。
67.(2009加拿大数学竞赛)已知为完全平方数,求所有的有序整数
对。
68.求所有的质数
p,q
使
pq|(5
p
?5
q
)

69.求所有的质数
p,q
使
pq|(5
p< br>?2
p
)(5
q
?2
q
)

70. 数列
{a
n
}:a
1
?k,a
2
?5k?2,a< br>n?2
?3a
n?1
?2a
n
,其中
k
是常 数。
(1)求所有
k
使数列收敛;


(2)若
k? 1
,求证:
a
n?2
2
?
7a
n
?
?1
?8a
n
a
n?1
?
??

1?a ?a
nn?1
??
71.数列
{y
n
}:y
1?y
2
?1,y
n?2
?(4k?5)y
n?1
?y< br>n
?4?2k
,求所有的正整数
k

使得数列中的每一项都是 完全平方数。
72.求证:数列
a
n
?n2
中有无穷多个完全平方数。
73.
a
n
?
??
?
(n?1)
2
?n< br>2

?
(1)证明:存在无穷多个
m
使得
a
m?1
?a
m
?1

(2)证明:存在无穷多个
m
使得
a
m?1
?a
m
?1

74.(2006 全国高中数学联赛)设
n?1
f(x)?x
2
?a,

f< br>1
(
x
)
?f
(
x
),
f
n
(
x
)
?f
(
f
(
x
)),< br>n?
2,3?

M?{a?R|f
n
(0)?2,?n?N< br>*
}

1
证明:
M?[-2,]

4
1
2
2
75.实数列
{a
n
}(n?0,1,2?)满足
a
n?1
?
a
n
?
(n
?
0,1,2
?
)
,证明:
a
n?5
?a
n?5< br>
5
76.P为边长为1的正四面体内一点,证明:P到各个顶点的距离和至多为3。
77.
x?y?1
,证明:
x
x?y
?
y
y?1
?
1
1?x
?
y
x?y
?
x
x?1
?
1
y?1

78.
x
i
?R
?
(i
?
1,2,
?
,n)
是否一定有 < br>xxxx
x
1
x
2
x
2
x
3
??
?
n?1n
?
n1
?x
1
?x
2< br>?
?
?x
n

x
3
x
4
x
1
x
2
79.证明:
a
5n
?a
n
?1(a,n?N
*
)
是合数。
80.
f
1
? f
2
?1,f
n
?f
n?1
?f
n?2
( n?2)
,若正整数
a,b
满足
min{
f
n
f
n?1
,
f
n?1
ff
a
}??max{
n
,
n?1
}
,证明:
b?f
n?1

f
n
bf
n?1
f
n
81.把一个实数用与它相岭的两个整数 之一代替称为“整化”,证明:对于给


定的
n
个实数,存在一种整化方 式,使得这些数中任意若干个数的和与这些数
n?1
整化后对应的和之差不大于。
4
82.(1997美国数学竞赛)求证:存在无穷多个正整数
n
,使得
n19
?n
99
可以
用两种不同的方式表示为两个平方数的和。
83.(1996年保加利亚)数列
{a
n
}

a
1
?1

a
n?1
?
2
]?n.

n?4
时,
[a
n
a
n
n
?

(n?1 ,2,?)
证明:
na
n
84.在正三角形三个顶点上各放置一个整数使得: 三个数的和是整数,若某个
顶点上的数
x?0
,三个顶点上的数
x,y,z< br>相应变换为
?x,y?x,z?x
,只要有
负数,操作就一直进行下去。问:操 作能否在有限步之后停止?
85.(2003年德国数学竞赛)数列
{a
n
}

a
1
?1

a
2
?1,a
3
?2,a
n?3
?
1
(a
n?1
a
n? 2
?7)
,证明:
a
n
是正整数.
a
n
86.(2004年克罗地亚数学竞赛)求使数列:
cos
?
,cos2
?
,cos2
2
?
,?,cos2
n
?
?
每 一项均为负数的所有实数
?
.

87.(2003瑞典数学竞赛)求所有实数
x
满足方程
x
2
?2x?2
?
x
?
?
?
x
?

2
??
88.(2004俄罗斯数学 竞赛)求所有的正整数
n
使得不等式
sinnA?sinnB?sinnC?0
对于任何锐角三角形的三个内角
A,B,C
都成立。
89.(2004台湾数学竞 赛)正实数
a,b,c
满足
abc?2
9
,证明:
1
1?a
?
1
1?b
?
1
1?c
?
31?abc
3

?
n(n?1)
??
n?1
?
?
?
90.(2003克罗地亚数学竞赛)对于大于2的整数
n
,证 明:
?

??
4n?24
????
91.数列
{a
n
}(n?0,1,2?)
满足
a
m?n
?
am?n
?
1
(a
2m
?
a
2n
)(m ,n
?
0,1,2
?
)
,若
2


a< br>1
?1
,求
a
2003

2
?1.
证明:对所有
n

(n,a
n
)?1.
92.数列
{a
n
}
定义如下:
a
1
?2

an?1
?2a
n
93.求整数
c
,使
?2007?c? 2007.
且存在
x?N
,使
x
2
?c

2
2007
整数倍.
94.(2003年德国竞赛)证明:存在无穷多个正整数
a,b
使
(1)
a|b
2
?5
,(2)
b|a
2
?5
,( 3)
(a,b)?1
.
95.已知射线
y?(4?15)x(x?0).< br>现将该射线绕
O
点逆时针转动
?
角,形成
一个区域
D
,试证:无论
?
多么小,区域
D
中总存在无穷多个格点
(m ,n)
满足:
(1)
1?6mn

1?10mn
均为完全平方数;
(2 )
n|m
2
?1

m|n
2
?1
. 96.(2003保加利亚数学竞赛)求实数
a
,使得等式
4
?
an
?
?n?
?
a
?
an
??
对于任意< br>的正整数
n
成立。
97.(2002芬兰数学竞赛)设
n
是 大于2的整数,
a
n
是最大的
n
位数,满足其
既不是两个数 的平方和也不是两个数的平方差。
(1)求
a
n

(2)求n
的最小值,使
a
n
的各位数字的平方和是一个完全平方数。
98.设
a,b,c
是一个三角形的三边长,且
a?b?c?1
,若
n?2
,证明:
n
a?b?b?c?c?a?1?
nn
n
n n
n
nn
n
2

2
99.(2002
1< br>2
?x
n
,令年芬兰数学竞赛)
{x
n
}:x
1
?,x
n?1
?x
n
3


S?
1 11
????
,求
?
S
?

x
1
?1x
2
?1x
2002
?1
100.设正数
a,b,c, x,y,z
满足
cy?bz?a,az?cx?b,bx?ay?c
,求 求函数x
2
y
2
z
2
f(x,y,z)???
的最小 值.
1?x1?y1?z
101
.正实数
a
i
(i
?
1,2,3,
?
,n)
满足:
a
1
a
2
a
3
?a
n
?
1
,证明:
111
??
?
??1

n?1?a
1
n? 1?a
2
n?1?a
n
102.
a,b,c
是正实数,证明 :
a?3c4b8c
的最小值.
??
a?2b?ca?b?2ca?b?3 c
x?y
?S
,求证:
x?y
103.S是至少有4个元素的实数集 ,对任意
x,y?S(x?y),

对于所有这样的集合S,存在
x?S使
2001?x?2002

104.在
?ABC
中,求
f?sinA?sinB?5sinC
的最大值
105.已知正整数
a,b,x, y
满足
ax?by

a
2
?b
2
的倍数, 若
p?x
2
?y
2
是质数,
证明:
pa
2
?b
2

a
2
b
2
c
2
???3(a
2
?b
2
?c
2
)
106.正实数
a,b,c
满足
a?b?c?1
,证明:
bca
107.在 一个
m?n
的方格表中填上互不相等的
mn
个数,并且把每列数值交大的
a(?m)
个数作上标记,在把每行数值交大的前
b(?n)
个数作上 标记,证明:至
少有
ab
个数作了两次标记.
108.在一个由十进制数字 组成的数码中,如果它含有偶数个数字,则称它“好
数码”(如,等),则长度不超过(为正整数)的所 有“好数
码”有多少个?
109.(2008罗马尼亚数学竞赛)存在无穷个使
不能整除.
,存在无穷多个使


110.设
n?4
是一个给定的正整数,
S?{P
1
,P
2
,?,P
n
}
是平面上的
n
个点, 无三
点共线,无四点共圆,设
a
t
是使
?P
i
P< br>j
P
k
的外接圆包含
P
t

?P
i
P
j
P
k
的个数,记
m(s)?a
1
?a
2
???a
n
,证明:存在一个仅依赖于
n
的函数
f(n)
,使得S中的点
为一个凸多边形的顶点当且仅当
m(s)?f(n)

111.定义
a(modm)?{a?mk|k?Z}
,设
m
1,m
2
,?,m
10
是大于1的10个正整数,
且他们两两的最 大公约数都不相同但都大于1,求证:存在整数
a
1
,a
2
,?,a
10
使
a
i
(modm
i
)
互不相同.
112.(1)
n
1
,n
2
,?
是每项都大于等于 2的正整数列,数列
{q
n
}
满足:
q
i
?{1, 2}

证明:数列
a
k
?
n
1
q
1
?
n
2
q
2
???
n
k
qk
收敛,并且它的极限在
(1,2]

(2) 证明:对
x?(1,2]
存在满足条件(1)的数列,其极限是
x
.
113.(1998年印度)设正整数
n,p
满足
3?p?
n
,一 个正
n
边形有
p
个顶点
2
?
p
?
涂红色,其余涂蓝色,证明:存在两个至少有
??
?1
个顶点的全等多边形满
?
2
?
足:一个多边形全是红顶点,另一个多边形全是蓝顶点。
114.考 虑
1,2,?,n
每个数正偶数因子的个数,并且相加得到一个数,类似考察
每个数的 正奇数因子得到另一个数,证明:这两个数的差至少是
n

115.(1998年波 兰数学竞赛)数列
{a
n
}:a
1
?
1,a
n?
a
n?1
?
a
?
n
?
(n
?
2,3,
?
)
,证明:
?
2
?
??数列中有无限项是7的倍数。
116.(1995年保加利亚数学竞赛)已知
n?2
0
?
x
i
?
1(i
?
1,2,?
,n)
,证明:
?
x?
?
xx
ii
i?1i?1
nn
i?1
?
n
?
?
??

x
n?1
?x
1

?
2
?
11 7.(2002年俄罗斯数学竞赛)正整数
n?m
,证明:对一切
x?(0,)
,都有
2
?


2sin
n
x?cos
nx?3sin
m
x?cos
m
x

?
x?y? z?u
x
118.正整数
x,y,z,u
满足
?
,求最大的 常数
m
使得
m?
,这里
y
?
2xy?zu
(x,y,z,u)
是满足上面方程组得解且
x?y

119.(2005亚 太数学竞赛)正实数
a,b,c
满足
abc?8
,证明:
a
2
(1?a
3
)(1?b
3
)
+
b
2(1?b
3
)(1?c
3
)
+
c
2
( 1?c
3
)(1?a
3
)
?
4

3
120.(2006罗马尼亚)证明:数列
{a
n
}:a
n
?n2 ?n3
中有无穷多个偶数,
也有无穷多个奇数。

????

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