高中数学竞赛(排列组合概率)

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概率、统计
【知识精要】
1． 排列、组合问题的基本原理：加法（分类）和乘法（分步）原理。解
决此类问题常见要点：（1）不重复 ，不遗漏；（2）正面考虑比较麻烦时，
考虑间接法；（2）特殊位置、元素优先考虑；（3）转化思想 ，对于陌生问
题，尽量转化为熟悉模型。
2．隔板法模型：将
m
个名额分 给
k
个人
(m?k)
，每人至少一个的方法
是
C
k ?1
?
m?1
；引申1：方程
x
1
?x
2
?????x
k
?m
(x
i
?1,x
i
?Z,m? Z)
的解有
C
k?1
?
m?1
组；引申2：方程
x
1
?x
2
?????x
k
?m
(x
i?0,x
i
?Z,m?Z)
的解有
C
k?1
m?k?1
组。
【例题精讲】+【习题精练】
例1：3个人传球，由甲发球，5次传球之后，仍回到甲手中，有多少种
传球方法？
解：将 问题转化为右图填图问题。中间可能
有甲或无甲，则有
C
112
A
2
2
C
2
A
2
?
2
?10
种不同< br>甲
甲
的传球方法。
练习1：（2000全国高中数学联赛）如果：(1)a ,b,c,d都属于
{1,2,3,4};(2)a?b,b?c,c?d,d?a;(3)a是a,b ,c,d中的最小值，那么，可以组成的
不同的四位数
abcd
的个数是______ ___.


例2：使直线
ax?by?1
和圆
x
2
?y
2
?50
只有整数公共点的有序实数对
(a,b)< br>的个数为：（ ） A、72 B、74 C、78 D、82
解： 第一象限圆上有
(7,1),(5,5),(1,7)
三个整点，故平面上有12个整点，分割线或切线，共
C
2
12
?12?78
条，但该直线不过原点 ，减去6条，共有
72条，选A。
练习2：（05年江苏高中数学竞赛）由三个数字
1
、
2
、
3
组成的
5
位
数中,
1
、
2
、
3
都至少出现
1
次, 这样的
5
位数共有 .



例3：（2005全国高考试题改编）过三棱柱任意两个顶点的直线共15条，
任选两条为异面直线的概率是： 。
解：全部情况有
C
2
15
?105
种，记“15条直线中任选两条为异面直线”为
事件A，而要使两直线 异面，只需四点不共面，且不共面的四点可连成3
组异面直线，则事件A的可能情况有
3(C< br>4
6
?3)?36
种，故
P(A)?
36
105?
12
35
。即任选两条为异面直线的概率为
12
35
。
练习3：（02年全国联赛题改编）已知点
P
1
,P
2
,?,P
10
分别是四面体的顶

学习必备 欢迎下载 < br>点或棱的中点，那么四点组
(P
1
,P
i
,P
j,P
k
)
（
1?i?j?k?10
）在同一平
面上的概 率为 ．

练习4：（09安徽高考）考察正方体6个面的中心，甲从这6个点 中任意选
两个点连成直线，乙也从这6个点中任意选两个点连成直线，则所得的
两条直线相互平 行但不重合的概率等于 （ ）
（A）
1
75
（B）
2
75
（C）
3
75
（D）
4
75



例4：（2005全国高中数学联 赛）如果自然数
a
的各位数字之和为7，那么
称
a
为“吉祥数”。将 所有“吉祥数”从小到大排成一列
a
1
,a
2
,a
3
,a
4
,???,
若
a
n
?2005
，则
a
5n
?
。
解：设
x
1
x
2
???x
k
为
k
为吉祥数，
x
1
?1, x
i
?0(i?2,3,???,k)
，则
x
1
?x
2
?????x
k
?7
（1）令
y
1
?x
1
，
y
i
?x
i
?1(i?2,3,???,k)
，则（1）
为
y
1
?y
2
?y
3
??? ??y
k
?k?6
（2）方程（2）正整数解个数即
k
为吉祥
数的个数，记为
P(k)
。利用隔板法有
P(k)
?C
k?16< br>k?5
?C
k?5
个。而2005是
形如
2x
2x
3
x
4
数中最小吉祥数，且
P(1)?1,P(2)?7,P (3)?28.
对于四位
吉祥数
1x
2
x
3
x4
，其个数为满足
x
2
?x
3
?x
4
?6
的非负整数解的个数，即
C
6
8
?28
个，故2005 是第
1?7?28?28?1?65
个吉祥数，即
n?65
，
5n? 325
，又
P(4)?C
6
?C
6
9
?84,P( 5)
10
?210
，故

?
5

P( k)?1?7?28?84?210?330
。而5位吉祥数中最后的5个倒过
k?1
来依次为70000，61000，60100，60010，52000，则第325个吉祥数为52000，
即
a
5n
?
52000。
练习5：从数
1,2, 3,???,14
中，按从小到大的排序取出
a
1
,a
2
, a
3
三个数，
且
a
2
?a
1
?3,a3
?a
2
?3
，则符合条件的不同取法有多少种？


练习6：将一个四棱锥的每个顶点染上一种颜色，并使同一条棱的两端
点异色，如果只有五种颜 色可供使用，求不同的染色方法的总数。



练习7： 从给定的6种不 同颜色中选用若干种颜色，将一个正方体的6
个面染色，每面恰染一种颜色，每两个具有公共棱的面染不 同的颜色，
则不同的染色方法有多少种？

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