高中数学竞赛讲义之集合及性质

第一讲 集合的概念与运算

例题精讲

板块一 元素与子集
元素与子集是集合中最基本的概念.其基本题型如下：
1、 根据给定的集合性质确定某元素是否属于某集合或确定某待定元数值；
2、 对数集中的元素按某种规律排序并找出其中某个特定元素；
3、 对某集合中元素按特定运算规则进行计算
4、 确定满足某条件的子集个数
基本解题思路有：利用集合的互异性；分类讨论或枚举；对数集的元素排序；反证法等

【例1】 已知
A?{1,3，x}
,
B?{1,x}
,且
AB?{1,3,x}
. 求x的所有可能值个数



n≥2
?
具有性质
P
：对任意的 【例2】 已知数集
A?|a
1
，a
2
，，a
n
}
?
1≤a
1
?a
2
??a
n
，
2
i
，
j
?
1≤i≤j≤n
?
，
a
i
a
j
与
a
j
a
i
两数中至少有一个属于
A
．
（Ⅰ）分别判断数集
{1，3，4}
与
{1，2，3 ，6}
是否具有性质
P
，并说明理由；
a?a
2
??a< br>n
（Ⅱ）证明：
a
1
?1
，且
?1
1
?a
n
；
a
1
?a
2
?1
??a
n
?1




【例3】 已知集合
A?x5x?a?0
，
B?x6x?b?0
,
a,b?N
，且
A
对
?
a, b
?
的个数为 （ ）
????
BN?
?
2,3,4
?
，则整数
A. 20 B. 25 C. 30 D. 42

【例4】 已知任意的记集合
T??0,1,2,3,4,5,6}
，M?
?
元素按从大到小顺序排列，则第2005个数是
?
a
1
a
2
a
3
a
4
?
?
2
?
3
?
4
a
i
?T,i?1,2,3,4
?
，将M中的
?
7777
?
55635562
?
2
?
3
?
4
B.
?
2
?
3
?
4

77777777
11041103
C.
?
2
?
3
?
4
D.
?
2
?
3
?
4

77777777
A.

【例5】 设
A?[?2,4)
，
B?{xx
2
?ax?4?0}
，若
B?A
，则实数a
的取值范围为 （ ）
A．
[0,3)
B．
[0,3]
C．
[?1,2)
D．
[?1,2]


22
【例6】 已知a为给定的实数，那么集合M＝{x|x－3x－a＋2＝0，x∈R}的子集的个数为( )
A.1 B.2 C.4 D.不确定
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1

【变式】 一个n元集的子集个数有多少个？非空子集个数有多少个？

【例7】 对于集合
{1,2,...,n}
和它的每一个非空子集，定义“交替和”如下：
把集合中的数按从大到小的顺序排列，然后从最大的数开始交替地加减各数.
例如：
{1,2,4,6,9}
的交替和为
9?6?4?2?1?6
，{5}的交替和为5.
对于n=7,求所有这些交替和之和.

板块二 集合的运算
集合的基本运算包括交并补运算，.其基本题型如下：
1、 给定两个或多个集合对其做复杂 的复合运算，只要先利用函数或解析几何等相关知识确定原始集合，
就可以按部就班地计算出最后结果.
2、 题目中对集合定义某种新运算，要求按新运算来进行计算.
但第一类题型往往要用到很多高中的知识作为基础，因此放在以后的章节中逐渐渗透.
【例8】 集合A=
{x|x?[x]?2}
，B=
{x||x|?2}
，求
AB
,
AB




【例9】 定义集合运算：
A?B?{z|z?xy,x?A,y?B}
，设A={2,0},B={0,8}，则集合
A?B
的所有元
素之和为（）
A.16 B.18 C.20 D.22

【例10】 已知集合
S
n
?{X|X?(x
1
,x
2
,…，x
n
),x
1
?{0,1},i? 1,2,…,n}(n?2)

对于
A?(a
1
,a
2,…a
n
,)
，
B?(b
1
,b
2
, …b
n
,)?S
n
，定义A与B的差和距离分别为
2
A? B?(|a
1
?b
1
|,|a
2
?b
2
| ,…|a
n
?b
n
|);

d(A,B)?
?
d(a
i
?b
i
)
< br>i?1
n
（Ⅰ）当n=5时，设
A?(0,1,0,0,1),B?(1,1, 1,0,0)
，求
A?B
，
d(A,B)
；
（Ⅱ）证明：
?A,B,C?S
n
,有A?B?S
n
，且
d(A?C,B ?C)?d(A,B)
;
(Ⅲ) 证明：
?A,B,C?S
n
,d (A,B),d(A,C),d(B,C)
三个数中至少有一个是偶数






板块三 有限集的阶

定义：有限集A的元素数目叫做这个集合的阶，记作|A|.
注：高考中常记作card(A),本讲义中一律写作|A|.
求集合的阶的问题通常与组合 相关，特别是求满足某给定条件的子集的阶的最大值问题通常难度很大.
这类问题在竞赛中变化极多，难 以掌握.此处仅举数例说明，更深层次的问题将在学完组合基础之后再来
学习.


2
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【例11】 设集合
A?{x|1?x?2000,x?4k?1,k?Z},集合 B?{y|1?y?3000,

y?3k?1,k?Z},求|AB|
.




【例12】 S是
{1,2,...,1989}
的一个子集，且S中任两数之差不能为4或7,
（1） 证明：原集合中任11个连续整数中最多有5个能是S中元素.
（2） 试求
s
max




【例13】 已知
A
与
B
是集合{1，2，3，…，100}的两个子集，满足：
A
与
B
的元素个数相同，且
A
∩
B
为空
集。若
n
∈
A
时总有2
n
+2∈
B
，则集合
A< br>∪
B
的元素个数最多为（ ）
A. 62 B. 66 C. 68 D. 74




【例14】 已知集合
B
是 集合
{1,2,?,100}
的子集，且对任意
x?B
，都有
3x? B
，则集合
B
中的元素最多
有多少个？



【变式】 已知集合
B
是集合
{1,2,?,100}
的子集，且对 任意
x?B
，都有
2x?B
，则集合
B
中的元素最
多有（ ）
（A）67个 （B）68个 （C）69个 （D）70个


大显身手

1． 集合M=
{u|u? 12m?8n?4l;m,n,l?Z}
，N=
{u|u?20p?16q?12r;p,q, r?Z}
.M,N的关系
为
（A）M=N （B）
M?N,N?M
（C）M为N的真子集 （D）N为M的真子集


2． 设集合A的元素都是正整数，满足以下条件：
(1) A的元素个数不小于3；
(2) 若
a?A
，则a的所有因数都属于A；
(3) 若
a?A,b?A
，11?ab?A
.
试解答：（1）证明1,2,3,4,5均为A中元素；
（2）试确定2005是否为A中元素.





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3

3． 设A所有可表为两个整数平方和的的数所组成的集合，即
A?{x|x?m
2
?n
2
,m,n?Z}
．证明：若
s,t?A
,则
st?A





4． 求集合M=
{1,2,...,n}
的所有非空子集的元素和之和.




5． 设全集
U?{x|1?x?7,x?N},A?{1,2,3}< br>，若
AB?{1,2,4,5,6,7}
(注：补集符号)
则集合B可能为：
（A）
{2,3,4}
（B）
{3,4,5}
（C）
{4,5,6}
（D）
{5,6,7}




22222
6． 设集合A=
{a
1
,a
2
,a
3
,a
4< br>,a
5
}
,
B?{a
1
,a
2
, a
3
,a
4
,a
5
}
,且
a
1< br>?a
2
?a
3
?a
4
?a
5
，a
1
?a
4
?10
，
AB?{a
1
, a
4
}
，
AB
中所有元素之和为224.求集合A .
4
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译者序： 本文译自澳大利亚数学家 Terence Tao 的近作 “What is Good Mathematics?”。
Tao 是调和分析、 微分方程、 组合数学、 解析数论等领域的大师级的年轻高手。 2006
7．
年，设
M
,A是M的子集且满足条件：当
?{1,2,...,1995}
x

?A
时，
15x?A
，求
A
max
.若 将15换为
31 岁的 Tao 获得了数学界的最高奖 Fields 奖，成为该奖项七十年来最年轻的获
17,19又如何
奖者之一。
.

美国数学学会 (AMS) 对 Tao 的评价是： “他将精纯的技巧、 超凡入圣的独创及

令人惊讶的自然观点融为一体”。

著名数学家 Charles Fefferman (1978 年的 Fields 奖得主) 的评价则是： “如果你有
那么找到出路的办法之一就是引起 Terence Tao 的兴趣”。

解决不了的问题，
学习之外 陶哲轩谈什么是好数学

1. 数学品质的诸多方面

我们都认为数学家应该努力创造好数学。 但 “好数学” 该如何定义？ 甚至是否该斗胆
试图加以定义呢？ 让我们先考虑前一个问题。 我们几乎立刻能够意识到有许多不同种类

的数学都可以被称为是 “好” 的。 比方说， “好数学” 可以指 (不分先后顺序)：
好的数学题解 (比如在一个重要数学问题上的重大突破)；

好的数学技巧 (比如对现有方法的精湛运用， 或发展新的工具)；
好的数学理论 (比如系统性地统一或推广一系列现有结果的概念框架或符号选择)；

好的数学洞察 (比如一个重要的概念简化， 或对一个统一的原理或主题的实现)；
好的数学发现 (比如对一个出人意料、 引人入胜的新的数学现象、 关联或反例的揭示)；

好的数学应用 (比如应用于物理、 工程、 计算机科学、 统计等领域的重要问题， 或将
一个数学领域的结果应用于另一个数学领域)；

好的数学展示 (比如对新近数学课题的详尽而广博的概览， 或一个清晰而合理的论证)；
好的数学教学 (比如能让他人更有效地学习及研究数学的讲义或写作风格， 或对数学教

育的贡献)；
好的数学远见 (比如富有成效的长远计划或猜想)； 待续

好的数学品味 (比如自身有趣且对重要课题、 主题或问题有影响的研究目标)；
好的数学公关 (比如向非数学家或另一个领域的数学家有效地展示数学成就)；

好的元数学 (比如数学基础、 哲学、 历史、 学识或实践方面的进展)； [
严密的数学 (所有细节都正确、 细致而完整地给出)；

美丽的数学 (比如 Ramanujan 的令人惊奇的恒等式； 陈述简单漂亮， 证明却很困难的
结果)；

优美的数学 (比如 Paul Erdos 的 “来自天书的证明” 观念； 通过最少的努力得到困难

的结果)；

创造性的数学 (比如本质上新颖的原创技巧、 观点或各类结果)；

有用的数学 (比如会在某个领域的未来工作中被反复用到的引理或方法)；
强有力的数学 (比如与一个已知反例相匹配的敏锐的结果， 或从一个看起来很弱的假设
推出一个强得出乎意料的结论)；
深刻的数学 (比如一个明显非平凡的结果， 比如理解一个无法用更初等的方法接近的微
妙现象)；
直观的数学 (比如一个自然的、 容易形象化的论证)；
明确的数学 (比如对某一类型的所有客体的分类； 对一个数学课题的结论)；
其它。
如上所述， 数学品质这一概念是一个高维的 (high-dimensional) 概念， 并且不存在显而
易见的标准排序[注二]。 我相信这是由于数学本身就是复杂和高维的， 并且会以一种自
我调整及难以预料的方式而演化； 上述每种品质都代表了我们作为一个群体增进对数学
的理解及运用的不同方式。 至于上述品质的相对重要性或权重， 看来并无普遍的共识。
这部分地是由于技术上的考虑： 一个特定时期的某个数学领域的发展也许更易于接纳一
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种特殊的方法； 部分地也是由于文化上的考虑： 任何一个特定的数学领域或学派都倾向
5

于吸引具有相似思维、 喜爱相似方法的数学家。 它同时也反映了数学能力的多样性： 不
同的数学家往往擅长不同的风格， 因而适应不同类型的数学挑战。