高中数学竞赛预赛答案

114
∴
△ABC
的面积
S?bcsinA??3?5??6
。
2258．若关于
x
的方程
x
2
?ax?b?3?0
（
a
，
b?R
）在区间
?
1，2
?
上有实根，则< br>a
2
?(b?4)
2
的最小值为 。
【答案】
2

【解答】由
x
2
?ax?b ?3?0
知，
b??x
2
?ax?3
。
22
∴
a
2
?(b?4)?a
2
?(?x
2
?ax?1)
2
?a
2
?(x
2
?1)?2ax(
2
x ?1

)?ax
?(x
2
?1)(x
2
?1?2a x?a
2
)?(x
2
?1)(x?a)
2
?x
2< br>?1
。
∵
x?
?
1，2
?
，
2
∴
a
2
?(b?4)
，当
?x
2< br>?1?2
x?1
，
a??1
，
b?3
时，等号成立。
∴
a
2
?(b?4)
2
的最小值为2。
9．函数
f(x)?2x?7?12?x?44?x
的最大值为 。
【答案】
11

【解答】由柯西不等式知，
(2x?7? 12?x?44?x)
2
?(3?
?(3?2?6)(
2x?712?x44 ?x
2
?2??6?)

326
2x?712?x44?x
??)?11
2
。
326
9436
6
??
，即，
x?8
时等号成立。
2x?712?x44?x
44?x
6
当且仅当
32
??< br>2x?712?x
32
∴
f(x)
的最大值为11。
1 0.
A
、
B
、
C
为圆
O
上不同的三点，且
?AOB?120?
，点
C
在劣弧
?
AB
内（点< br>C
与
A
、
B
uuuruuruuur
不重合），若< br>OC?
?
OA?
?
OB
（
?
，
?< br>?R
），则
?
?
?
的取值范围为 。
【答案】
?
1，2
?

【解答】如图，连结
OC
交
AB
于点
D
。
uuuruuur
uuuruuruuur
设
OD?mOC
，则由
OC?
?
OA?
?
OB
，得
uuuruuruuurOD?m
?
OA?m
?
OB
。
∵
A
、
D
、
B
三点共线，
∴
m
?
?m
?
?1
，
?
?
?
?
1< br>。
m
C
A
E
O
D
B
不妨设圆的半 径为1，作
OE?AB
于
E
，由
?AOB?120?
，知< br>OE?

1
。
2
4

?
∵
OD?OE
1
，且点
C
在劣弧
?
，
AB
内（点
C
与
A
、
B
不重合）
2
∴
1
?m?1
。于是，
1?
?
?
?
?2。
2
∴
?
?
?
的取值范围为
?
1，2
?
。 另解：如图，以
O
为原点，线段
AB
的垂直平分线所在直线为
y
轴建立直角坐标系。
不妨设圆
O
半径为2，则由
?AOB?120 ?
，知
A(?3，1)
，
B(3，1)
。
设
C(2cos
?
，2sin
?
)
。
u uuruuruuur
则由
OC?
?
OA?
?
OB
，得
(2cos
?
，2sin
?
)?
?
(?3， 1)?
?
(3，1)
。
?
∴
?
?
?
?2sin
。
∵ 点
C
在劣弧
?
（点
C
与
A
、
B
不重合），
AB
内
??
?
?15
。
0?
∴
30
∴
1
?sin
?
?
，
1
?
?
?
?2sin
?
?
?
1，2
?
。
2
∴
?
?
?
的取值范围为
?
1，2
?
。
二、解答题
11．若数列
?
a
n
?
中的相邻两项
a
n
、
a
n?1
是关于
x
的方程
x
2
?nx?c
n
?0
（
n?
1，2，3，…）< br>的两个实根，且
a
1
?1
。
（1）求数列
?
a
n
?
的通项公式；
（2）设< br>b
n
?c
2n?1
，求数列
?
b
n
?
的通项公式及
?
b
n
?
的前
n
项的和< br>T
n
。
（必要时，可以利用：
1
2
?2
2
?3
2
?L?n
2
?
n(n?1)(2n?1)
）
6
【解答】（1）依题意，由韦达定理，得
a
n
?a
n?1
?n
，
c
n
?a
n
a
n?1
。
∴
(a
n?1
?a
n?2
)?(a
n
?a
n?1
)?(n?1)?n?1
，即
a
n?2
?an
?1
。 ……………… 5分
∴
a
1
，a
3
，
a
5
，…；和
a
2
，
a
4
，
a
6
，…，都是公差为1的等差数列。
又
a
1
?1
，
a
2
?1?a
1
?0
。
∴ 对
?k?N
*
，
a
2k?1
?k
，
a
2k
?k?1
。
?
n?1
，n为奇数?
?
2
即
a
n
?
?
。 ……………………… 10分
?
n?2
，n为偶数
?
?2
（2）由（1）知，
b
n
?c
2n?1
?a
2n?1
?a
2n
?

2n?1?12n?2
??n(n?1)?n
2
?n
。
22
5

……………………………… 15分
∴
T
n
?(1
2
?2
2
?3
2
?L?n
2
)?(1?2?3?L?n)?
?
n(n?1)(n? 1)
。
3
n(n?1)(2n?1)n(n?1)
?

62
……………………………… 20分
x
2
y
2
2
12．已知椭圆
C
：
2
?
2
?1
（< br>a?b?0
）过点
P(?2，
。过点
P
作两条互
1)
，且离心率为
ab
2
相垂直的直线分别交椭圆于
A
、
B
两点（
A
、
B
与点
P
不重合）。求证：直线< br>AB
过定点，并
求该定点的坐标。
41
ca
2
?b
2
2
【解答】依题意，有
2
?
2
?1
，且
?
。
?
ab
aa2
解得
a
2
? 6
，
b
2
?3
。
x
2
y
2
?1
。 …………………………… 5分 ∴ 椭圆
C
的方程为
?
63
易知 直线
AB
斜率存在，设
AB
方程为
y?kx?m
。
?
y?kx?m
?
由
?
x
2
y
2
，得
??1
?
3
?
6
(2k
2
?1) x
2
?4mkx?2m
2
?6?0
……… ①
设
A(x
1
，y
1
)
，
B(x
2
，y2
)
，
4mk
2m
2
?6
则
x1
?x
2
??
2
，
x
1
x
2
?
。
2k?1
2k
2
?1
…
………………………… 10分
uuruur
由
PA?PB
知，
PA?PB?0
。
∴
(x
1
?2)x(
2
?2?)y
1
(?1y
2
)(??1x)
1
?(x
2
2?)(?k2xm (?k
2
x1?)m(
，
?

?1)
1
)?0
即
(k
2
?1)x
1< br>x
2
?(km?k?2)(x
1
?x
2
)?m
2
?2m?5?0
。
2m
2
?64mk
?(km?k? 2)?(?
2
)?m
2
?2m?5?0
。 ∴
(k?1)?
2
2k?12k?1
2
∴
3m
2
?8mk?4k
2
?2m?1?0
。 …………………………… 15分
m?2k?1)m(?k2?
∴
(31?)
。
1)
，知
m?2k?1?0
。 由直线
AB
不过点
P(?2，

6

k?1?
，
0
m?
∴
3m?2
2121
k?
，直线
AB
方程化为
y?kx?k?
。
3333
21
?)
。 …………………………… 20分 ∴ 直线
AB
过定点
D(?，
33
13．如图，
PA
、
PBC
分别是圆
O
的切线和割线，其中
A
为 切点，
M
为切线
PA
的中点，
弦
AD
、
B C
相交于点
E
，弦
AB
延长线上的点
F
，满足?FBD??FED
。
求证：
P
、
F
、
D< br>三点共线的充分必要条件是
M
、
B
、
D
三点共线。
【解答一】由
PA
为圆
O
的切线知，
?PAD??ABD? 180?
。
A
M
P
B
F
D
E
C
又
?FBD??ABD?180?
，
??F
。
E
∴
?PAD??FBD
∥A
。
P
………………… 5分 ∴
EF
（1）若
M
、
B
、
D
三点共线。
设直线
AB
，
DP
交于点
F
1
。
（第13题）

A
M
P
F
F
1
B
E
C
AM
PF
1
DE
则由塞瓦定理知，
? ??1
。
MPF
1
DEA
…………………………… 10分
∵
AM?MP
，
∴
PF
1
AE
，
EF
1
∥AP
。
?
F
1
DED
D
又点
F
、
F
1< br>均在直线
AB
上，因此
F
、
F
1
重合。
∴
P
、
F
、
D
三点共线。 ……………………………… 15分
（2）若
P
、
F
、
D
三点共线。
设直线
DB
、
AP
相交于点
M
1
。 A
M
M
1
B
F
D
E
C
AM< br>1
PFDE
则由塞瓦定理知，
???1
。
M
1
PFDEA
∵
EF∥AP
，
∴
PFAE
?
，
FDED
P
AM
1
?1< br>，
AM
1
?M
1
P
，
M
1
为
PA
的中点
M
1
P
M
、
M
1< br>重合。
∴
M
、
B
、
D
三点共线。 < br>由（1）、（2）可得，
P
、
F
、
D
三点共线的充分 必要条件是
M
、
B
、
D
三点共线。
………………………………………………… 20分

7

【解答二】由
?FBD??FED
知，< br>B
、
F
、
D
、
E
四点共圆。
E
∴
?AFE??BD
。
A
M
P
B
F
D
E
C
由
PA
为圆
O
的切线知 ，
?BDE??PAF
。
??P
。
A
∴
?AFE??BDE
∥A
。
P
………………… 5分 ∴
EF
（1）若
M
、
B
、
D
三点共线。
连结
BM
、
DP
、
DF
。
由
M
为切线
PA
的中点知，
MPMB
?
MP
2
?MA
2
?MB?MD
，即。
MDMP
A
M
P
B
F
E
C
………………… 10分
∽△MDP
∴
△MPB
。
??AP
∴
?MDP??MPB
。
D
又由
B
、
F
、
D
、
E
四点共圆以及
EF∥AP
知，
?MDF??BDF??BEF??APB
。
P
∴
?MDF??MD
。
∴
P
、
F
、
D
三点共线。 ………………… 15分
（2）若
P
、
F
、
D
三点共线。
设直线
DB
、
AP
相交于点
M
1
，则
?PDM< br>1
??FDB??FEB??M
1
PB
。
又
?PM
1
B??DM
1
P
，
∴
△M
1
PB∽△M
1
DP
。
∴
M
1
P?M

BMD
1
?
1
。< br>又
M
1
A
2
?M
1
B?M
1
D
，
∴
M
1
P
2
?M
1
A
2
，
M
1
P?M
1
A
。
因此 ，
M
1
为
PA
的中点，
M
、
M
1
重合。
∴
M
、
B
、
D
三点共线。
P
B
F
D
2
A
M
1
M
E
C
由（1）、（2）可得，
P
、
F
、
D
三 点共线的充分必要条件是
M
、
B
、
D
三点共线。
………………………………… 20分


8

14．已知
a?0
，
f(x)?ln(2x?1)?2ax?4ae
x
?4
。
（1）当
a?1
时，求
f(x)
的最大值；
（2）判断函数
f(x)
零点的个数，并说明理由。
【解答】（1）当a?1
时，
f(x)?ln(2x?1)?2x?4e
x
?4
，
f
?
(x)?
1
4
∵
x??
时，f
??
(x)???4e
x
?0
，
2
2
(2x?1)
1
??)
上为减函数。 ∴
f
?
(x)
在
(?，
2
2
?2?4e
x< br>。
2x?1
又
f
?
(0)?2?2?4?0
，
∴
?
1
?x?0
时，
f
?
(x)?0
；
x?0
时，
f
?
(x)?0
。
2
?
1
?
∴
f(x)
在区间
?
?，0
?
上为增函数，在
?
0，??
?
上为减函数。
?
2
?
∴
a?1
时，
f(x)
的最大值为
f(0)?0
。 ……………………………… 5分
（2）
f
?
(x)?
2
4
?2a?4ae
x
，
f
??
(x)???4ae
x

2
2x?1
(2x?1)
1
当
a?0
，且
x??
时，
f
??
(x)?0
。
2
1
??)
上为减函数。 ∴
f
?
(x)
在
(?，
2
1
∵
x??
时，
f
?
(x)???
；
x???
时，f
?
(x)???
。
2
∴
f
?
(x)
存在唯一实根，设此根为
x
0
。
则
?
1
?x?x
0
时，
f
?
(x)?0
；
x?x
0
时，
f
?
(x)?0
。
2
?
1
?
∴
f(x)
在区间
?
?，

x
0
?
上为增函数，在
?
x
0
，??
?
上为减函数。
f( x)
有最大值
f(x
0
)
。
2
??
……… ……………………………… 10分
① 当a?1时，由（1）知，
f(x)
有唯一零点。
② 当
0?a?1
时，由
f
?
(0)?2?2a?4a?2?2a?0
知，
x
0
?0
。
∴
f(x
。
0f(0?)?a4?4?
0
)?
1
又
x??
时，
f(x)???
；
x???
时，
f(x)???
。
2

9

1
x
0
)
，
(x
0
，
∴
f(x)
在区间
(?，
??)
内各有一个零点。
2
∴ 当
0?a?1
时，
f(x)
有两个零点。 …………………… 15分
③ 当
a?1
时，由
f
?
(0 )?2?2a?0
，知
?
由
f
?
(x
0
) ?
1
?x
0
?0
。
2
22
?2a?4a e
x
0
?0
，知
4ae
x
0
??2a。
2x
0
?12x
0
?1
2
4x?ln?( 2ax?1)2?a(?

00
2x
0
?1
0
）。
∴
f(x
0
)?lnx(
0
2??1ax)
0
?2ae
x
0
?4?2)4
?ln(2x
0
?1) ?2ax
0
?
设
g(x)?ln(2x?1)?2ax?
∵ ?
1
2
?
0
（
??x
?2a?4
，< br>2
2x
0
?1
2
?2a?4
。
2x?1< br>1
24
?x?0
时，
g
?
(x)??2a??0，
2
2x?1(2x?1)
2
?
1
?
∴
g(x)
在区间
?
?，0
?
上为增函数。
2
??
∴
?
1
?x?0
时，
g(x) ?g(0)?2?2a?0
。于是，
f(x
0
)?0
。
2
∴
a?1
时，
f(x)
不存在零点。
综合 得，当
0?a?1
时，
f(x)
有两个零点；当
a?1
时，
f(x)
只有1个零点；当
a?1
时，
f(x)
不存在零点 。 …………………………… 20分













10

15．设
a1
，
a
2
，
a
3
，
a
4，
a
5
是5个正实数（可以相等）。证明：一定存在4个互不相同的
下标
i
，
j
，
k
，
l
，使得
a
i
a
k
1
??
。
a
j
a
l< br>2
【解答】不妨设
a
1
?a
2
?a
3
?a
4
?a
5
，考虑以下5个分数：
a
a
1< br>aaa
，
3
，
1
，
2
，
4
，……………………… ①
a
2
a
4
a
5
a3
a
5
它们都属于区间
?
0，1
?
。 …………………………………… 5分
?
1
??
1
??
1
??
1
?
把区间
?
0，
1
?
，由 抽屉原理知，区间
?
0，
?
或
?
，1
?
中 一
1
?
分成两个区间：
?
0，
?
和
?，
2222
????????
定有一个区间至少包含①中的3个数（记这3个数依 次为
a
，
b
，
c
）。
………………………………………… 10分
将①中的5个数依次围成一个圆圈，则①中任意 三个数中都有两个数是相邻的（
是相邻的）。即
a
，
b
，
c
中至少有两个数是相邻的。
………………………………………… 15分
假设
a
与
b
相邻，则
a?b?
1
。 2
a
1
a
与
4
a
2
a
5另一方面，由①中5个分数的分子、分母的下标特征知，围成的圆圈中，任意相邻两个
分数的分子、 分母的4个下标互不相同。
于是，
a
、
b
对应的分数的分子、分母的4个下标符合要求。
因此，结论成立。 ………………………………… 20分














11

全国高中数学联赛预赛试题（二）参考答案
一、填空题。
x?4
??1．设集合
A?
?
x?0，x?Z
?
，从集合
A
中随机抽取一个元素
x
，记
?
?x
2
，则随
x? 3
??
机变量
?
的数学期望
E
?
?
。
【答案】 5
【解答】
A?
?
?4，?3，?2，?1，， 01，2
?
，随机变量
?
的取值为0，1，4，9，16。
易得，
?
的概率分布列为
?

P

0
1

7
1
2

7
4
2

7
9
1

7
16
1

7
12
∴
E
?
?0??1?77
2
?4?
7
9?
11
?1?6?
。
5

?
77
2．已知
f(x)?x?g(x)
，其中g(x)
是定义在
R
上，最小正周期为2的函数。若
f(x)
在 区
间
?
2，4
?
上的最大值为1，则
f(x)
在区 间
?
10，12
?
上的最大值为 。
【答案】 9
【解答】依题意，有
f(x?2)?(x?2)?g(x?2) ?x?g(x)?2?f(x)?2
。
∵
f(x)
在区间
?
2，4
?
上的最大值为1，
∴
f(x)
在区间
?
4，6
?
上的最大值为3，在区间
?
6，8
?
上的最大值为5，在区间
?
8，10
?
上
的最大值为7，在区间
?
10，12
?
上的最大值为9。 x
2
y
2
3．
F
1
、
F
2< br>为椭圆
C
：
2
?
2
?1
（
a?b? 0
）的左、右焦点，若椭圆
C
上存在一点
P
，
ab
使得
PF
1
?PF
2
，则椭圆离心率
e
的取值范围 为 。
?
2
?
，1
?
【答案】
?

?< br>?
2
?
【解答】设
A
为椭圆
C
的上顶点，依 题意有
?F
1
AF
2
?90?
。
c
c
2
1
2
222
∴
?F
2
AO?45?
，
?1
。
c?a?c
，
2
?
，
?e?1
。
b
a2
2
4．已知实数
x
，
y
，
z
满足
x
2
?2y
2?3z
2
?24
，则
x?2y?3z
的最小值为 。
【答案】
?12

【解答】由柯西不等式，知
222?
?(x
2
?2y
2
?3z
2
)?144。
(x?2y?3z)
2
?(1?x?2?2y?3?3z)
2
?
?
1?(2)?(3)
??

12

∴
x?2y?3z??1
，当且仅当
2
x2y3y
，即
x?y?z??2
时等号成立。
??
1
23
∴
x?2y?3z
的最小值为
?12
。
5．已知函数
f(x )?x
2
cos
?
x
2
，数列
?
a
n
?
中，
a
n
?f(n)?f(n?1)
（
n? N
*
），则数列
?
a
n
?
的前100项之和
S
100
?
。
【答案】
10200

【解答】依题意，有
T
100
?
?< br>f(n)??2
2
?4
2
?6
2
?8
2?L?98
2
?100
2
?4(3?7?L?99)

n?1
100
?4?
3?99
?25?5100
。
2
∴
S
100
?2T
10
?
0
f(1)?f(10?1)?251?00?0?
。
0

10200
6．如图，在四面体
ABCD
中，
DA?DB?DC?2
，
DA? DB
，
DA?DC
，且
DA
与平面
ABC
所成角的 余弦值为
R?
。
6
。则该四面体外接球半径
3
【答案】
3

【解 答】如图，作
DO?面ABC
于
O
，连结
AO
，并延长交< br>BC
于
点
E
，连结
DE
。则
?DAE
是
DA
与平面
ABC
所成的角，
co?sDAE?
6。
3
∵
DA?DB?DC?2
，
DA?DB
，
DA?DC
，
∴
DA?面DBC
，
O
为
△ABC
的外心，且< br>AB?AC?22
。
∴
DA?DE
，
E
为
BC
中点，结合
cos?DAE?
6
知，
3
AE?6，
BE?AB
2
?AE
2
?8?6?2
。
∴
BC?2BE
，DB?DC。
?22
∴
DA
、
DB
、
DC
两两互相垂直，四面体外接球半径
R?
3
。
7．在复平面内，复数
z
1
、
z
2
、
z< br>3
的对应点分别为
Z
1
、
Z
2
、
Z
3
。若
z
1
?z
2
?2
，
uuu ruuur
OZ
1
?OZ
2
?0
，
z
1< br>?z
2
?z
3
?1
，则
z
3
的取值 范围是 。
【答案】
?
1，3
?

【解答】设
z
1
?x
1
?y
1
i
，
z
2
?x
2
?y
2
i
（
i
为虚数单位），

13

∵
z
1
?z
2
uuuru uur
?2
，
OZ
1
?OZ
2
?0
，
22
∴
x
1
2
?y
1
2
?x
2
?y
2
2?
，
x
1
x
2
?y
1
y
2
?0
，
22
z
1
?z
2
?(x
1
?y
1
)
2
?(x
2
?y
2
)
2
?x
1
2
?y
1
2
?x
2
?y
2
?2(x
1
x
2
?y
1
y
2
)?2
。
设复数
z
1
?z
2
对应的点为
P
。由
z
1
?
点
Z
3
在以
P
为圆心，1为半径的圆上。
z
2
?z
3
?1
知，
又
OP?2
，因此，
2? 1?OZ
3
?2?1
，即
z
3
的取值范围是
?1，3
?
。
8．已知函数
f(x)?e
x
(x?ae
x
)
恰有两个极值点
x
1
，
x
2
（
x
1
?x
2
），则
a
的取值范围
为 。
1
【答案】
(0，)

2
【解答】
f?
(x)?e
x
(x?ae
x
)?e
x
(1? ae
x
)?(x?1?2ae
x
)e
x
。
依题意 ，
f
?
(x)?(x?1?2ae
x
)e
x
?0< br>有两个不同的实根。
设
g(x)?x?1?2ae
x
，则
g
?
(x)?1?2ae
x
，
g(x)?0
有两个不同的实根 。
若
a?0
，则
g
?
(x)?1
，
g( x)
为增函数，
g(x)?0
至多1个实根，不符合要求。
若
a? 0
，则当
x?ln
11
时，
g
?
(x)?0
；
x?ln
时，
g
?
(x)?0
。
2a2a
1
???
1
?
∴
g(x)
在 区间
?
??，ln
?
上为增函数，
?
ln，??
?
上为减函数。
2a
???
2a
?
∴
g(x)
的最大值为
g(ln
111
)?ln?1?1?ln
。
2 a2a2a
又
x???
时，
g(x)?x?1?2ae
x
? ??
；
x???
时，
g(x)?x?1?2ae
x
???< br>。
∴ 当且仅当
g(ln
111
)?ln?0
，即
0?a?
时，
g(x)?0
恰有2个不同的实根。
2a2a2
设
g(x)?0
的两根为
x
1
，
x
2
（x
1
?x
2
）。则
x?x
1
时，
g( x)?0
，
f
?
(x)?0
；
x
1
?x? x
2
时，
g(x)?0
，
f
?
(x)?0
；
x?x
2
时，
g(x)?0
，
f
?
(x )?0
。
∴
x
1
为
f(x)
的极小值点，< br>x
2
为
f(x)
的极大值点。
0?a?
1
∴
a
的取值范围为
(0，)
。
2
x)?0
9．已知
f(x)?m?2
x
?x
2
?nx
，若
?
xf(x
?
?
?
1
符合要求。
2
f(f(x)) ?0
?
?
?
，则
m?n
的取值范
围为 。
【答案】
?
0，4
?


14

【解答】设
x
1
?
?
xf(x )?0
?
，则
f(x
1
)?m?2
1
?x
1
2
?nx
1
?0
。
x
∴
f(f(
1
x)?)f(?0)m?
。
0
∴
f(x)?x
2
?nx
，
f(f(x))?f(x
2
?nx )?(x
2
?nx)
2
?n(x
2
?nx)?(x
2
?nx)(x
2
?nx?n)
。
由
?
xf(x )?0
?
?
?
xf(f(x))?0
?
知，方程
x
2
?nx?n?0
的解集
A
是方程
x
2
? nx?0
的解
集
B
的子集。
若
A?
?
， 则
△?n
2
?4n?0
，
0?n?4
。
2
?
?
x
0
?nx
0
?n?0
若
A??
，设
x
0
?A
，则
?
2
，得
n?0
。
?
?
x
0
?nx
0
?0又
0?n?4
时，
?
xf(x)?0
?
?
?< br>，
所以，
0?n?4
。
m?n
的取值范围是
?0，4
?
。
10．若
sin
?
9
?sin< br>2
?
n
?
14
?
?L?sin?tan
，则 正整数
n
的最小值为 。
9929
【答案】 4
【解答】由
cos(
?
?
?
)?cos
?cos
?
?sin
?
sin
?
，
cos(?
?
?
)?cos
?
cos
?
?sin
?
sin
?
，知
2sin
?
sin
?
?cos(
?
?
?
)?cos(
?
?
?
)
。
?
∴
2sin?
9
2sin
sin?< br>18
?
co?s
18
?
3
?
co

s
，
18
2
??
3
?
5
?
?sin?cos?cos
，
9181818
……………
2sinn
??
(2n?1)
?
(2n?1)
?
?sin?co s?cos

9181818
上述各式左右两边分别相加，得
2(sin< br>?
9
?sin
2
?
n
???
(2n?1)< br>?
?L?sin)?sin?cos?cos
。
99181818
cos?
18
∴
2?
14
? ?
tan?sin?
2918
?
(n2?1
?
)
? ?
(2n?1)
?
cos
，
cos?cos?cos
。 < br>18181818
(2n?1
?
)(2n?1)
??
?
，
0?k
?
?
（
k?Z
）∴
cos
，
n?9k?4
（
k?Z
）。
18182
∴ 正整数
n
的最小值为4。


15

二、解答题
11．求函数
y?2x?4x
2
?8x?3
的最小值。
【 解答一】由
4x
2
?8x?3?0
，得
x?
13
或
x?
。
22
1
??
3
??
∴ 函数的 定义域为
?
??，
?
?
?
，??
?
。 ……………………… 5分
2
??
2
??
记
y?f(x )?2x?4x
2
?8x?3
，则
f
?
(x)?2?
当
x?
8x?8
24x?8x?3
2
?2?
4x?44x?8x?3
2

3
?
3
?
时，易知
f
?
(x)?0
。
f(x)?2x?4x
2
?8x?3< br>在
?
，??
?
上为增函数。
2
?
2
?
33
时，
f(x)
的最小值为
f()?3
。 ………………………… 10分
22
∴
x?
当
x?
1
4x?44(1?x)4(1?x)
时，
f
?
(x)?2??2? ?2??0
。
22
2
2(1?x)
4x?8x?34(x?1)? 1
11
1
??
∴
f(x)
在
?
??，
?
上为减函数，
x?
时，
f(x)
的最小值为
f( )?1
。 ……… 15分
22
2
??
综合得，函数
y? 2x?4x
2
?8x?3
的最小值为1。 ……………… 20分
【解答二】函数化为
y?(2x?2)?(2x?2)
2
?1?2
。
由
(2x?2)
2
?1
，知
2x?2?1
，可设< br>2x?2?
1
??
（
??
?
?
，且
?
?0
）
sin
?
22
………………………… 5分
当
0?
?
?
?
2
时，
y?
?3
111?cos
?
1
?
?x?
??1?2??2?? 2
，当，即时，
?
22
sin
?
sin
2
?
sin
?
tan
2
y
取最小值3。 ……………………… 10分
当
?
?
2
?
?
? 0
时，
y?
?
1
111?cos
??
?
? ?x?
，当，即
??1?2??2?tan?2
22
sin
?
sin
2
?
sin
?
2
时，
y
取最小值 1。 ………………………… 15分
综合得，函数
y?2x?4x
2
?8x?3
的最小值为1。 …………………… 20分
或换元后利用导数求解。


【解答三】由
y?2x?4x
2
?8x?3
，得
(y?2x)
2
?4x
2
?8x?3
，

16

y
2
?3
∴
y?4xy?4x?4x?8x?
，。 …………………… 5分
3
x?
4y?8
222
y
2< br>?31
依题意，有
y?2x
，因此，
?y
。 ………………… 10分
4y?82
(y?3)(y?1)
y
2
?3
∴
y?
?0
，解得
1?y?2
或
y?3
。 …………… 15分
?0
，
2(y?2)
2y?4
将
y ?1
代入方程
y?2x?4x
2
?8x?3
，解得
x?1
。
2
∴
y?1
在函数
y?2x?4x
2
?8x?3
的值域内。
∴ 函数
y?2x?4x
2
?8x?3
的最小值为1。























17
20分 …………………………

y
2
?1
于
A
、
B
两点。 12．已知过 点
P(0，1)
斜率为
k
的直线
l
交双曲线
C：
x?
3
2
（1）求
k
的取值范围；
（2） 若
F
2
为双曲线
C
的右焦点，且
AF
2
? BF
2
?6
，求
k
的值。
【解答】（1）设
l
方程为
y?kx?1
。
?
2
y
2
?1
?
x?
由
?
，得
(3? k
2
)x
2
?2kx?4?0
……… ①。
3
?
y?kx?1
?
∵ 直线
l
与双曲线
C
有两个不同的交点，
2
?
?
3?k?0
∴
?
，解得
?2?k?2
，且
k??3
。
22
?
?
△?4k?16(3?k)?0
∴
k
的取值范围为
(?2，?3)?(?3，3)?(3，2)
。 …………… 5分
（2）设
A(x
1
，y
1
)
，
B(x
2
，y
2
)
。则
x
1
? x
2
?
22
?(x?2)?y
∴
AF
211< br>?
2
1
2k?4
xx?
，。又
F
2
(2，0)
，
12
22
3?k3?k
2
x?4x?4?( 3x?3)?2x?
BF
1
2
?2x
2
?1
。
111
，
………………………… 10分
x
1
?1)(x
2
2?
∵
(2?1)x
1
x4
2
?
?16
x
1
2?(x
2?)?1
3?k
2
k4
?
2
3?k
k
2
?4k?13
??1?
2
，
3?k
∴ k
2
?3时，
(2x
1
?1)(2x
2
?1)?0
，
AF
2
?BF
2
?2x
1
?1?2x
2< br>?1?(2x
1
?1)?(2x
2
?1)?2x
1
? x
2

43?4?k
2
。
?2(x
1
? x
2
)?4x
1
x
2
?
2
3?k
2
11
43?4?k
2
2
2
k??3
（舍去）k?1
由
AF
2
?BF
2
?6
，得，解得或。
?6
3
3?k
2
∴
k
2
?1
，
k??1
。 …………………………… 15分
3?k
2
?4时，
(2x
1< br>?1)(2x
2
?1)?0
，
AF
2
?BF
2
?2x
1
?1?2x
2
?1?(2x
1
?1) ?(2x
2
?1)?2x
1
?x
2
?1
?2
由
AF
2
?BF
2
?6
，得
2
2k?1
。
2
3?k
3
1?13
2k
k??2< br>k?
，解得或或，均不符合，
k?
?1?6
2
2
3? k
2
舍去。此时，满足条件的
k
不存在。
综上可得，
k
的值为1或
?1
。 …………………………… 20分


18

13．如图，
I
、
D
分别为
△ABC
的 内心、旁心，
BC
与圆
I
、圆
D
相切，切点分别为
E
、
F
，
G
为
AD
与
BC
的交点 。
A
（1）求证：
AIGE
?
；
ADGF
I< br>M
B
F
G
E
C
（2）若
M
为
EF
中点，求证：
AE∥DM
。
（旁心：三角形旁切圆的圆心，它是三角 形一个内角的平
分线和其它两个内角的外角平分线的交点。）
【解答】（1）设圆
I
、圆
D
的半径分别为
r
、
R
，
则
AIr
?
。 …………………… 5分
ADR
（作
IP?AB
于
P
，
DQ?AB
于
Q
，则< br>AIIPr
??
。）
ADDQR
D
由条件知，
A< br>、
I
、
D
三点共线，
IE?BC
，
DF?B C
。
∥DF
∴
IE
，
A
GEIEr
??
。
GFDFR
P
I
M
B
Q
F
N
G
E
C
∴
AIGE
?
。 ………………… 10分
ADGF
AIGEGIAI?GIGE
???
，得，
ADGFGDAD?GDGF
（2）由
即
AGGE
?
。
AD?GDGF
AG
AD?GD?
?
AG
GE
。 ………… 15分
G?FGE
∴
D
∵
M
为
EF
中点，
GF?GE?MF?MG?(ME?MG)?2MG
，
∴
AGGEAGGE
??
，即。
2DG2MGDGGM
结合?EGA ??MGD，可得
△EGA∽△MGD
。因此，?GEA??GMD。
∥DM
∴
AE
。 ………………………………… 20分
∥DF
，
M
为
EF
中点知，
MN∥IE∥DF
另解：设
ID
的中点为
N
，则由
IE
，且
MN?
1
(DF?IE)
。
2

19

由
AIIEAIIEAIIEAIIE
????
，可得，，即。……… 15分
ADDFAD?AIDF?IE2DN2MNDNNM
又
?AIE??DNM
。
∴
△AIE∽△DN
，
M
?EAI??MDN
。
∥DM
∴
AE
。 ………………………………… 20分
14．在坐标平面内，横纵坐标都是整数的点称为整点，三个顶 点都是整点的三角形称为
整点三角形。求以点
I(2015，7?2015)
为内心且 直角顶点在坐标原点
O
的整点直角三角形
OAB
的个数。
【答案】不妨设点
A
在第一象限。
?
tan
?
?17?13
??
。 设
?xOI?< br>?
，则
tan
?
?7
，直线
OA
的斜率k
OA
?tan(
?
?)?
41?tan
?
1 ?74
4
∴
k
OB
??
。 ……………………… 5分
3
由
A
、
B
为整点，设
A(4t
1
，3t
1
)
，
B(?3t
2
，4t
2
)
，其中
t
1
，
t
2
为 正整数。
∴
OA?5
1
t
，
OB?5t
2
。
∵
△OAB
内切圆的半径
r?
又
r?
AB
2
22
OI??52?2015?5?2015
。
22
OA?OB?AB
，
AB?OA?OB?2r
，
2< br>?(OA?OB?2r)
2
?OA
2
?OB
2
。
22
∴
(5
。。
2

5
………………… 10分
t
1
?5t
2
?2?5?20
2
15?)t2?5t
12
2
∴
(t
1
?t< br>2
?2?2015)
2
?t
1
2
?t
2。
设
t
1
?x?2015
，
t
2
? y?2015
，则
(x?y)
2
?(x?2015)
2
?( y?2015)
2
。
∴
xy?2015x?2015y?20152
，
(x?2015)(y?2015)?2?2015
2
?2?52
?13
2
?31
2
。
…………………………… 15分
由
OA?2r
，
OB?2r
知，
x?2015，
y?2015
为正整数，又
2?5
2
?13
2
?31
2
的正因数
有
2?3?3?3?54
个。
y)
有54组。 ∴ 符合条件的
(x，
∴ 符合条件的三角形有54个。 ……………………… 20分





20

15．若对任意的正整数
m
，集合
?
m，m?1，m?2，L，m?99
?
的任意< br>n
（
n?3
）元子集
中，总有3个元素两两互素，求
n
的最小值。
【答案】考察集合
?
1，，，23L，100
?
（
m?1
时）的67元子集：
。
P?
?
2，，，46L ，100，，，3915，L，99
?
（偶数与被3整除的奇数）
显然
P中不存在3个两两互素的元素。
∴
n?67
不符合要求。 …………………… 5分
引理：对任意的正整数
m
，集合
?
m，m ?1，m?2，m?3，m?4，m?5
?
的任意5元子集中，
总有3个元素两两互素 。
引理的证明：设集合
A
是集合
?
m，m?1，m?2，m?3， m?4，m?5
?
的一个5元子集。
∵
m
，
m?1< br>，
m?2
，
m?3
，
m?4
，
m?5
这6个数中，3奇3偶，恰有1个5的倍
数。
∴ 若
A
中含有3个奇数，则这3个奇数必两两两互素，结论成立。
若
A
中元素为2奇3偶。由于3个偶数中至多有1个为3的倍数，至多有1个为5的倍
数。因此，3个偶数 中必有1个数既不是3的倍数，也不是5的倍数，它与2个奇数两两互
素。结论成立。
∴ 引理成立。 …………………… 10分
对任意的正整数
m
，将集合
?
m，m?1，m?2，L，m ?99
?
划分成如下17个集合：
A
1
?
?
m， m?1，m?2，m?3，m?4，m?5
?
，
A
2
?
?
m?6，m?7，m?8，m?9，m?10，m?11
?
，
……………
A
16
?
?
m?90，m?91，m?92，m?93，m?94， m?95
?
，
A
17
?
?
m?96，m?97， m?98，m?99
?
。 ……………………… 15分
显然上述17个集合的两两交集为空集，并集为集合
?
m，m?1，m?2，L，m?99?
。
设集合
M
是集合
?
m，m?1，m?2，L，m ?99
?
的68元子集。
若集合
M
有4个元素来自集合
A
17
。由于
m
为奇数时，
m?96
、
m?97、
m?98
两两互
素；
m
为偶数时，
m?97
、
m?98
、
m?99
两两互素。因此，
M
中至少有3个元 素两两互素。

21

若集合M
至多3个元素来自集合
A
17
。则
M
至少有65个元 素来自集合
A
1
、…、
A
2
、
A
16。
根据抽屉原理，
M
至少有5个元素来自同一个集合，不妨设它们来自集合
A
1
。由前面的引理
可知，它们中存在3个两两互素的元素。
∴ 集合
M
中总有3个两两互素的元素。
∴
n?68
符合要求，即 对任意的正整数
m
，集合
?
m，m?1，m?2，L，m?99
?< br>的任意
68元子集中，总有3个元素两两互素。
∴
n
的最小值为68。 ………………………… 20分





























22

全国高中数学联赛预赛试题（三）答案


一、填空题
1． 若对于任意实数
x
，
|x?a|?|x?1|?2a
恒成立，则实数
a
的最小值为
1
3
．
2．将5名大学生村官分配到某乡镇的3个村就职，若每个村至少1名，则不同的分配方案种数为
150 ．
3．若
(x
2
?x?2)
3
? a
0
?a
1
x?a
2
x
2
?a
3
x
3
?a
4
x
4
?a
5
x
5
?a
6
x
6
，则
a
1
?a
3
?a
5
?
－4 ．
4．已知顶角为
20?
的等 腰三角形的底边长为
a
，腰长为
b
，则
a
3
?b< br>3
ab
2
的值为 3 ．
5．设
a
n?2
n
,b
n
?5n?1(n?
N
*
，
S?{a
1
,a
2
,?,a
2015
}?{b
1
,b
2
,?,b
a
2015
}
，则集合
S
中的元素的
个数为 504 ．
6．已知点
P
在Rt△< br>ABC
所在平面内，
?BAC?90?
，
?CAP
为锐角，< br>|AP|?2
，
AP?AC?2
，
AP?AB?1
．当
|AB?AC?AP|
取得最小值时，
tan?CAP?
7
2
．
7．已知正三棱锥
P?ABC
的底面的边长为6,侧棱长为
21
，则 该三棱锥的内切球的半径为
1 ．
2
8．函数
f(x)?( 1?x?1?x?2)(1?x?1)
的值域为
[2?2,8]
．
x
2
9．已知
F
1
,F
2
是椭圆
?y
2< br>?1
的两个焦点,
A,B
分别是该椭圆的左顶点和上顶点，点
P
在线段
4
AB
上，则
PF
1
?PF
2
的 最小值为
?
11
5
．
p?1
p
2
?1< br>10．使得和都是完全平方数的最大质数
p
为 7 ．
2
2

二、解答题
11．设平面点集
A?{(x,y) |(y?x)?(y?
18
)?0}
，
B?{(x,y)|(x?1)
2
?(y?1)
2
?1}
．若
25x
(x,y)?A?B
，求
2x?y
的最小值．
解 作出平面点集
A
、
B
所表示的平面区域，
A
图阴影部分
D
.
B
表示如
y
P
z
，
?z
表示直线y?2x?z
的纵令
z?2x?y
，则
y?2x?

23
O
x

截距.
易知：直线< br>y?2x?z
经过区域
D
中的点
P
时，
z?2x?< br>值. ……………（5分）
因为点
P
在圆
(x?1)
2
?(y?1)
2
?1
上，设它的坐标为
(1?cos
?
,1?sin
?
)
，结合 图形可知
取得最小
y
?
?
?(,
?
)
.
2
又点
P
在曲线
y?
1818
上，所以有
(1?cos
?
)(1?sin
?
)?
，
25
25x
7
?0
. ………………………………………（10分）
25
即
sin
?
co s
?
?sin
?
?cos
?
?
in
?cos
设
sin
?
?cos
?
?t
，则
s
（舍），即
sin
?
?cos
?
?
?
?(
1
1
2
1
2
711
1t)?
，
?0
，代入得
(t?1)?t?
解得
t?
或
t??
5
22255
1
. ………………………………………（15分）
5
结合
sin
?
?c os
?
?1
，并注意到
?
?(
22
?
2< br>,
?
)
，解得
sin
?
?
3
4，
cos
?
??
．
5
5
所以，点
P
的坐标为
(,)
，
z?2x?y
的最小值为
z
mi n
?2?


12．设
T
n
是数列
{a< br>n
}
的前
n
项之积，满足
T
n
?1?an
,n?
N
*
．
（1）求数列
{a
n
}
的通项公式；
2
（2）设
S
n
?T
1
2
?T
2
???T
n
2
，求证：
a
n?1
?
29
55
29???1
． ………（20分）
55
11
?S
n
?a
n?1
?
．
23
解 （1）易知
T
1
?a
1
?
1，
T
n
?0,a
n
?1
，且由
T
n? 1
?1?a
n?1
,T
n
?1?a
n
，得
2
a
n?1
?
a
n?1
T
n?1
1?a
n?1
1
11
??1
． ……………（5分） ，即，即
? ?
1?a
n?1
1?a
n
T
n
1?a
n< br>1?a
n?1
1?a
n
所以
11
??n?1?
1?a
n
1?a
1
1
1
1?
2
?n?1 ?n?1
，故
a
n
?1?
1n
?
． ………………………………………（10分）
n?1n?1

24

（2）由（1）得
T
n
?a
1
a
2
?
a
n
?
一方面，
S
n
?< br>1
．
n?1
111

??
?
?
2 22
23(n?1)
111111
??
?
????a
n?1
?
；……………（15分）
2?33?4(n?1)(n?2)2n?22
?
另一方面，
S
n
?
1
1
2
2
?
4
1
n?
2
3
?
1
1
3
2
?
4
?
?
?
1
1
(n?1)
2
?
4
?
1
35
?
22
?
1
57
?
22
?< br>?
?
1
13
(n?)(n?)
22
?
2?
3
1
2
n?
3
．
又
2
?
3
?
21n?111
????a
n?1
?
．
3n?2n?233
所以
a
n?1
?

11
?S
n
?a
n?1
?
． ………………………………………（20分）
23

25

13．过直线
x?2y?13?0
上一动点
A
（
A
不在
y
轴上）作抛物线
y
2
?8x
的两条切线，
M,N
为
切点，直线
AM,AN
分别与
y
轴交于点
B,C
．
（1）证明直线
MN
恒过一定点；
（2）证明△
ABC
的外接圆恒过一定点，并求该圆半径的最小值．
证明 （1）设
A(x
0
,y
0
)
，
M(x
1< br>,y
1
)
，
N(x
2
,y
2
).
抛物线
y
2
?8x
的过点
M(x
1
,y
1
)
的切线方程为
AM
：
yy
1
? 4(x?x
1
)
．而
AM
过
A(x
0
,y
0
)
，故
y
0
y
1
?4(x
0
?x
1
)
①
①式说明 直线
y
0
y?4(x
0
?x)
恒过点
M(x
1
,y
1
)
．
………………………………………（5分）
同理可证得直线
y
0
y?4(x
0
?x)
恒过点
N(x
2
,y
2
)
．
故直线
y
0
y?4(x
0
?x)
过
M,N
两点，则直线
MN
的方程为：
y
0
y?4(x
0
?x)
．
又
x
0
?2y
0
?13< br>，代入
y
0
y?4(x
0
?x)
中，得
y< br>0
(y?8)?4(x?13)
．
所以直线
MN
恒过定点
(13,8)
． ………………………………………（10分）
（2）直线
AM
：
yy
1
?4(x?x
1
)
与
y
轴交于
B(0,
4x
1
)
．
y
1
4x
1
?0
y2x
4
，则
?
1
??
1
，又
k
BA
?
y
1
0?2y
1
抛物线
y
2
?8x
的焦点为
F(2,0)
，则
k
BF
k
BA
?k
BF
??
8x
1
??1
，所以
BF? BA
.
2
y
1
同理可证
CF?CA
．所以
A,B,C,F
四点共圆，且
AF
为直径．
因此，△
ABC
的外接圆恒过定点
F(2,0)
． ………………………………………（15分）
在
AF
和直线
x?2y?13 ?0
垂直时，圆的直径
AF
最小．此时，直线
AF
：
y?0 ??2(x?2)
， 与
x?2y?13?0
联立，求得
A(?1,6)，则
|AF|?35
.
所以，△
ABC
的外接圆的半径的最小值为

35
． ……………………………………（20分）
2







26

全国高中数学联赛预赛试卷（四）参考答案

一、填空题
1．已知数列< br>?
a
n
?
满足
a
1
?32
，
a
n?1
?a
n
?2n
（
n?N
*
）， 则
【答案】
31

3
a
n
的最小值为 。
n
【解答】由
a
1
?32
，
a
n?1
?a
n
?2n
知，
a
n
?a
n?1?2(n?1)
，
a
n?1
?a
n?2
?2(n?2)
，……，
a
2
?a
1
?2?1
，
a
1
?32
。
上述
n
个等式左右两边分别相加，得
an
?n(n?1)?32
。
∴
a
n
aa
325231
?n?1?
，又
n?5
时，
n
?
；< br>n?6
时，
n
?
。
nnn5n3
a
n
31
取最小值。
n3
∴ < br>n?6
时，
2．对于函数
y?f(x)
，
x?D
，若 对任意的
x
1
?D
，存在唯一的
x
2
?D
，使得
f(x
1
)f(x
2
)?M
，则称函数
f( x)
在
D
上的几何平均数为
M
。已知
f(x)?x
3
?x
2
?1
，
x?
?
1，2
?
，
则函数
f(x)?x
3
?x
2
?1
在
?
1，2
?
上的几何平均数
M?
。
【答案】
5

【解答】 ∵ 当
1?x?2
时，
f
?
(x)?3x
2
?2x?x(3x?2)?0
，
∴
f(x)?x
3
?x
2
?1
在区间
?
1， 2
?
上为增函数，其值域为
?
1，5
?
。
∴ 根据函数
f(x)
几何平均数的定义知，
M?5
。
112
3．若三个非零且互不相等的实数
a
、
b
、
c
满足
??
，则称
a
、
b
、
c
是调和的；若
ab c
满足
a?c?2b
，则称
a
、
b
、
c< br>是等差的。已知集合
M?
?
xx?2013，x?Z
?
，集合
P
是集
合
M
的三元子集，即
P?
?
a，， bc
?
?M
。若集合
P
中元素
a
、
b、
c
既是调和的，又是等差
的，则称集合
P
为“好集”。则不同 的“好集”的个数为 。
【答案】 1006
?
112
?
??
【解答】若
a
、
b
、
c
既 是调和的，又是等差的，则
?
abc
，
a??2b
，
c?4 b
。
?
?
a?c?2b
即“好集”为形如
?
?2 b，，b4b
?
（
b?0
）的集合。
由“好集”是集合
M
的三元子集知，
?2013?4b?2013
，
b?Z
，且
b?0
。
∴
?503?b?503
，
b?Z
，且b?0
。符合条件的
b
可取1006个值。

27

∴ “好集”的个数为1006。
4．已知实数
x< br>，
y
满足
xy?1?4x?y
，且
x?1
，则
(x?(1)2)y?
【答案】
27

【解答】由
xy?1?4x?y
知，
y?
∴
(x?1) y(??2)x?(
4x?1
1)(?
x?1
4x?1
。
x?1
?
3x(?
2)
1x)?(21)
。
x?1
的最小值为 。
设
x?1?t
，则
t?0
，
(x?1)(y?2)?3(x?1)(2x?1)3(t?2)(2t?1)1
??6(t?)?15?27
。
x?1tt
1
当且仅当
t?
，即
t?1
，
x?2
，
y?7
时等号成立。
t
∴
(x?1)y(?2)
的最小值为27。
5．如图，在四面体
ABCD中，
AB?平面BCD
，
△BCD
是边长
为3的等边三角形。若
AB?2
，则四面体
ABCD
外接球的面积
为 。
【答案】
16
?

【解答】如图，设正
△BCD的中心为
O
1
，四面体
ABCD
外接球
的球心为
O
。则
OO
1
?平面BCD
取
AB
中点
E
。
由
OA?OB
知，
OE?AB
，
OE∥O< br>1
B
，
OO
1
?EB?1
。
于是，
OA?OB?2
。 ∴ 四面体
ABCD
外接球半径为2，其面积为
16
?
。
6．在正十边形的10个顶点中，任取4个点，则以这4个点为顶点的四边形为梯形的概
率为 。
【答案】
2

7
23
，
BO
1
???3?3
。
OO< br>1
∥AB
，
32
【解答】设正十边形为
A
1
A
2
A
10
。则
以
A
1
A
2< br>为底边的梯形有
A
1
A
2
A
3
A
1 0
、
A
1
A
2
A
4
A
9
、
A
1
A
2
A
5
A
8
共3个。同 理分别以
A
2
A
3
、
A
3
A
4< br>、
A
4
A
5
、…、
A
9
A
10
、
A
10
A
1
为底边的梯形各有3个。这样，合计有3 0个梯形。
以
A
1
A
3
为底边的梯形有
A
1
A
3
A
4
A
10
、
A
1A
3
A
5
A
9
共2个。同理分别以
A
2
A
4
、
A
3
A
5
、
A
4
A
6
、…、
A
9
A
1
、
A10
A
2
为底边的梯形各有2个。这样，合计有20个梯形。
以
A
1
A
4
为底边的梯形只有
A
1
A
4< br>A
5
A
10
1个。同理分别以
A
2
A
5
、
A
3
A
6
、
A
4
A
7
、…、
A
9
A
2
、
A
10
A
3
为底边的梯形各有1个。这样，合计有10个梯形。

28

所以，所求的概率
P?
30?20?102
?
。
4
C
10
7
?x
?
x
?
1
7．方程
sin
?
x?
?
?
??
?
?
2
?
2
?
2
【答案】 12
?
（符
2
?
?
内的所有实根之和为 。
?
在区间
?
0，
?
号
?
x
?< br>表示不超过
x
的最大整数）。
?
x
?
x
?
x
??
x
?
【解答】设
??
??
??，则对任意实数
x
，
0?
??
?1
。
?2
?
2
?
2
??
2
?
?
?< br>x
?
1?
原方程化为
sin
?
x?
?
??
?
?
。
?
?
2
?
2
?< br>?
?
x
?
1?
?
x
?
1
① 若
0?
??
?
，则
sin
?
x?
?
??
?
?
?0
，
?
x?k
?
（
k?Z
）。
22
22
??
?
??
?
∴
x?k
（
k?Z
）。结合
x?
?
0，2
?
?
知，
x?0
，1，2，3，4，5，6。
经检验，
x?0
，2，4，6符合要求。
② 若
1
1?
x
?
?
?
x
?
1?
。
?
??
?1
，则
sin
?
x?
?
??
?
?
?1
，
?
x?2k
?
?
?
（
k?Z
）
2
2
?
2
?
?
?2
?
2
?
1159
∴
x?2k?
（
k?Z
）。结合
x?
?
0，2
?
?
知，
x?
，，。
22
22
经检验，
x?
159
，，均不符合要求。
2
22
∴ 符合条件的
x
为0，2，4，6，它们的和为12。
x
?
f(x)?3
()?
。8．已知
f (x)
为
R
上增函数，且对任意
x?R
，都有
f
?
则
f2

??
?4
，
【答案】 10
【 解答】依题意，
f(x)?3
x
为常数。设
f(x)?3
x
?m
，则
f(m)?4
，
f(x)?3
x
?m
。
∴
3
m
?m?4
，
3
m
?m?4?0
。易知方程
3
m
?m?4?0
有唯一解
m?1
。
∴
f(x)?
x
3?
，
1f(2)?3
2?1?10
。
9．已知集合
A
的元素都是整数，其中最小的为1，最大 的为200。且除1以外，
A
中每
一个数都等于
A
中某两个数（可以 相同）的和。则
A
的最小值为 。（符号
A
表示集合
A
中元素的个数）
【答案】 10
【解答】易知集合
A?
?
1，，，，

23510，20， 40，80，160，200
?
符合要求。此时，
A?10
。
下面说 明
A?9
不符合要求。
假设集合
A?
?
1，x
1
，x
2
，x
3
，x
4
，x
5
，x
6
，x
7
，200
?
，
x
1
?x
2
?x
3
?x
4
?x
5
?x
6< br>?x
7
符合要求。

29

则
x
1
?1?1?2
，
x
2
?2?2?4
，
x
3
?8
，
x
4
?16
，
x5
?32
，
x
6
?64
，
x
7
?128
。
由于
x
6
?x
7
?64?128? 192?200
，因此，
200?x
7
?x
7
，
x
7
?100
。
同理，由
x
5
?x
6?32?64?96?100
，知，
x
7
?100?x
6
?x
6
，
x
6
?50
。
由
x
4
?x
5
?16?32?48?50
，知，
x
6
? 50?x
5
?x
5
，
x
5
?25
。 由
x
3
?x
4
?8?16?24?25
，知，
x
5
?25?x
4
?x
4
，
x
4
?
25
与
x
4
为整数矛盾。
2
∴
A?9
不符合要求，
A?9
。同理，
A?8
也不符合要求。
因此，
A
的最小值为10。
?
x，若x为无理数
?
10．已知函数
f(x)?
?
q?1
，则函数
f(x)
在
q
*
，若x?，其中p，q?N，且p、互质，qp?q
?
pp?
78
区间
(，)
上的最大值为 。
89
【答案】
16

17
78a78
?(，)< br>（
a
，
?
?N
*
）【解答】若
x
为 有理数，且
x?(，)
。设
x?
，
89a?
?
8 9
?
9a?8a?8
?
7a8
?
知，
?
由
?
，
7
?
?a?8
?
。
8a?
?
9
7a?7
?
?8a
?
当
?
?1
时，
a
不存在；
当
?
?2
时，存在唯一的
a? 15
，此时
x?
1516
，
f(x)?
。
1717
7
?
?m?1
。
8
?
?m当
?
?3
时，设
a?7
?
?m
，其中
1?m?
?
?1
，且
m?N
*
，此时
f(x)?< br>∵
16
?
7?m?1
?
9?m?17
?
(?m?)
?
(8?17)
???0?
，
17
?
8?m17
?
(?8m)1
?
7?(m8)
1516
时，< br>f(x)
取最大值。
17
17
∴ 若
x
为有理数 ，则
x?
78816
又
x
为无理数，且
x?(，)
时，
f(x)?x??
。
89917
7816
综合以上可知，f(x)
在区间
(，)
上的最大值为。
89
17
二、解答题
11．将各项均为正数的数列
?
a< br>n
?
排成如下所示的三角形数阵（第
n
行有
n
个数， 同一行

30

中，下标小的数排在左边）。
b
n
表示数阵中，第
n
行、第1列的数。已知数列
?
b
n
?
为等比数列，
且从第3行开始，各行均构成公差为
d
的等差数 列（第3行的3个数构成公差为
d
的等差数
列；第4行的4个数构成公差为
d
的等差数列，……），
a
1
?1
，
a
12
?17
，
a
18
?34
。
（1）求数阵中第
m
行、第
n
列的数
A(m，
。
n)
（用
m
、
n
表示）
（2）求
a
2013
的值；
（3）2013是否在该数阵中？并说明理由。



【解答】（1）设
?
b
n
?
的公比为
q
。
依题意，
a
12
为数阵中第5行、第2列的数；
a
18为
数阵中第6行、第3列的数。
来源学*科*网










a
1







a
2


a
3


a
4


a
5



a
6


a
7

a
8


a
9


a
10


…
… …

… …
∴
b
1
?1
，
b
n
?q
n?1
，
a
12
?q
4
?d?17
，
a< br>18
?q
5
?2d?34
。 …………… 5分
∴
q?2
，
d?1
，
b
n
?2
n?1
。
1
∴
A(m，n)?
m
b?(n?1)d ?
m?
2
。
?n?

1
………………… 10分
?62?63?2016
，
2013?1953?60
知， （2）由
1?2?3??62?1953
，
1?2?3?
a
2013
为数阵 中第63行，第60列的数。
∴
a
2013
?2
62
?59
。 ………………… 15分
（3）假设2013为数阵中第
m
行、第
n
列的数。
∵ 第
m
行中，最小的数为
2
m?1
，最大的数为
2
m ?1
?m?1
，
∴
2
m?1
?2013?2
m?1
?m?1
…………… ① 。
由于
m?10
时，
2
m?1
?m?1?2
9
?9?512?2013
，因此
m?10
不符合①；
由于
m?11
时，
2
m?1
?2
10
?1024?2013< br>，因此
m?11
不符合①；
∴ 上述不等式①无正整数解。
∴ 2013不在该数阵中。 ………………… 20分

12．已知
A
、
B
为抛物线
C
：
y
2
?4x
上的两个动点，点
A
在第一象限，点
B
在第四象限。
l
1
、
l
2
分别过点
A< br>、
B
且与抛物线
C
相切，
P
为
l
1
、
l
2
的交点。
（1）若直线
AB
过抛物线C
的焦点
F
，求证：动点
P
在一条定直线上，并求此直线方程；
（2）设
C
、
D
为直线
l
1
、
l
2
与直线
x?4
的交点，求
△PCD
面积的最小值。 2
y
1
2
y
2
y
1
)
，B(，y
2
)
（
y
1
?0?y
2
）【 解答】（1）设
A(，
。
44

31

y
1
2
易知
l
1
斜率存在，设为
k
1
，则
l
1
方程为
y?y
1
?k
1(x?)
。
4
?
y
1
2
?
y?y< br>1
?k
1
(x?)
22
由
?
4
得，
k
1
y?4y?4y
1
?k
1
y
1
?0
…………… ①
?
y
2
?4x
?
由 直线
l
1
与抛物线
C
相切，知
△?16?4k
1< br>(4y
1
?k
1
y
1
2
)?0
。
于是，
k
1
?
221
，
l
1
方程 为
y?x?y
1
。
y
1
y
1
2
21
x?y
2
。 < br>y
2
2
y
1
y
2
y
1
?y
2
，)
…………………… 5分
42
同 理，
l
2
方程为
y?
联立
l
1
、
l
2
方程可得点
P
坐标为
P(
∵
k
A B
y
1
?y
2
4
y
1
2
4
?
2
?
，
AB
方程为
y?y
1
?(x? )
，
AB
过抛物线
C
的焦点
2
y
1
y
2
y
1
?y
2
y
1
?y
2< br>4
?
44
F(1，0)
。
y
1
2
4
∴
?y
1
?(1?)
，
y
1
y
2
??4
。
y
1
?y
2
4
∴
x
P
?
y
1
y
2
??1
，点
P
在定直线
x?? 1
上。 …………………… 10分
4
或解：设
A(x
1
，y
1
)
，
B(x
2
，y
2
)
，则
l
1
方程为
y
1
y?2(x? x
1
)
，
l
2
方程为
y
2
y?2 (x?x
2
)
。
…………………… 5分
设
P(x0
，y
0
)
，则
y
1
y
0
? 2(x
0
?x
1
)
，
y
2
y
0< br>?2(x
0
?x
2
)
。
∴ 点
A(x< br>1
，y
1
)
，
B(x
2
，y
2)
坐标满足方程
yy
0
?2(x
0
?x)
。
∴ 直线
AB
方程为
yy
0
?2(x
0
?x)
。
由直线
AB
过点
F(1，0)
，知
0? 2(x
0
?1)
。
∴
x
0
??1
。点
P
在定直线
x??1
上。 …………………… 10分
[来源:学科网ZXXK]

8181
（2） 由（1）知，C、
D
的坐标分别为
C(4，?y
1
)
、D(4，?y
2
)
。
y
1
2y
2
2
∴
CD?(
∴ S
△PCD
?
(y
1
y
2
?16)(y?8181
1
y)
2
?y
1
)?(?y
2
)?
。
y
1
2y
2
22y
1
y
2
yy(yy
1
1
?
2
16)(y?
1
y)
2
4?
12
?
。 …………………… 15分
242y
1
y
2
设
y
1
y
2
??t
2
（
t?0
），
y
1
?y2
?m
，

32

由
( y
1
?y
2
)
2
?(y
1
?y
2
)
2
?4y
1
y
2
?m
2
?4t
2
?0
知，
m?2t
，当且仅当
y
1
?y
2
?0
时等号成立。
1t
2
∴
S
△ PCD
?4?
24
(?t
2
?16m)
?
?t2< br>2
m?
2
(t?1
2
6)
??
2
1 t6
t?2
2
t?(
1t
2
6
2
16)t
2
?(
2
16)
?
。
t8
(t
2
?16)
2
2(t
2
?16)?2t?t?(t
2
?16)
2
(3t
2
?16)(t
2
?16)
?
设
f(t)?
，则
f
?
(t)?
。
8t
2
8t
2
8t
∴
0?t?
?43
?
4343
0，
?
上为减函数；时，
f
?
(t)?0
；
t?
时，
f
?
(t)?0
。
f(t)
在区间
?
?
3
?
33
?
?
43
?
，??
?
在区间
?
?
上为增函数 。
3
??
∴
t?
431283
时，
f(t)
取最小值。
39
16
44
，即
y
1
?
，
y
2
??
时，
△PCD
面积取最小值
3
33
∴ 当
y1
?y
2
?0
，
y
1
y
2
? ?
1283
。 ………………… 20分
9
13．如图，在
△ABC
中，
? B?90?
，它的内切圆分别与边
BC
、
CA
、
AB
相切于点
D
、
E
、
F
，连接
AD
，与内 切圆相交于另一点
P
，连接
PC
、
PE
、
PF、
FD
、
ED
。
（1）求证：
FPEP
?
；
FDED
来源学+科+网Z+ X+X+K]
（2）若
PE∥BC
，求证：
PC?PF
。



【解答】（1）由条件知，
?AFP??ADF
，又
? FAP??FA
。
D

∴
△AFP∽△ADF
，
APFP
?
。 ………………… 5分
AFDF
同理，由
?AEP??ADE
，?PAE??EAD
知，
△AEP∽△ADE
，
EPAP
?
。
DEAE
∵
AF?AE
，
∴
∴

EPAPAPFP
???
。
DEAEAFDF
FPEP
?
。 ………………… 10分
FDED
33

∥BC
（2）∵
PE
，
∴
?PED??EDC??DPE??CED
。
∴
△DPE∽△CDE
。
∴
EPPD
?
………………… 15分
EDDC
FPDP
?
。
FDDC
结合（1）可知，
又
?PFD??PDC
，
∴
△PFD∽△PDC
，
?PCB??PDF??PFA
。
∴
P
、
F
、
B
、
C
四点共圆。
又
?B?90?
，
∴
?FPC?90?
，
PC?PF
。 ………………… 20分
14．已知
f(x)?2ln(x?1)?
1
?1
。
x( x?1)
（1）求
f(x)
在区间
?
1，??
?
上 的最小值；
（2）利用函数
f(x)
的性质，求证：
ln1?ln2?ln 3?
（3）求证：
ln1?ln2?ln3?
2222
(n?1)
2
?lnn?
（
n?N
*
，且
n?2
）；
2n
(n?1)
4
*
?lnn?
n?N
（，且
n? 2
）。
3
4n
22x?12x
3
?2x
2
?2x?1(2x
3
?1)?2x(x?1)
【解答】（1）∵
f
?
(x)?
。
???
x?1x
2
(x ?1)
2
x
2
(x?1)
2
x
2
(x?1 )
2
∴
x?1
时，
f
?
(x)?0
， 即
f(x)
在区间
?
1，??
?
上为增函数。
1
∴
f(x)
在区间
?
1，??
?
上 的最小值为
f(1)?2ln2?
。 …………… 5分
2
（2）由（1）知，对任意的实数
x?1
，
2ln(x?1)?
∴ 对任 意的正整数
k
，
2ln(k?1)?
11
?1?2ln2??0恒成立。
x(x?1)2
11
1
)
恒成立。
?1? 0
，即
2ln(k?1)?1?(?
kk?1
k(k?1)
……………… 10分
111111
?)
。 ∴
2ln2?1? (?)
，
2ln3?1?(?)
，……，
2lnn?1?(
1223 n?1n
∴
2ln2?2ln3?
11
?
?2lnn?
?
1?(?)
12
?
11
??
?1?(?)
??< br>23
??
?
?
?
?
11
?
?
?
1?(?)
n?1n
?
?
。
?
?

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