高中数学竞赛教案集.

第六章
不等式

第一教时

教材：不等式、不等式的综合性质
目的：首先让学生掌握不等式的一个等价关系，了解并会证明不等式的基本性质ⅠⅡ。
过程：
一、引入新课
1．世界上所有的事物不等是绝对的，相等是相对的。
2．过去我们已经接触过许多不等式 从而提出课题
二、几个与不等式有关的名称 （例略）
1．“同向不等式与异向不等式”
2．“绝对不等式与矛盾不等式”
三、不等式的一个等价关系（充要条件）
1．从实数与数轴上的点一一对应谈起
a?b?a?b?0

a?b?a?b?0

a?b?a?b?0

2．应用：例一 比较
(a?3)(a?5)
与
(a?2)(a?4)
的大小
解：（取差）
(a?3)(a?5)
2

(a?2)(a?4)

2

?(a?2a?15)?(a?2a?8)??7?0

∴
(a?3)(a?5)
<
(a?2)(a?4)

例二 已知
x
42
0, 比较
(x?1)
与
x?x?1
的大小
22
22
解 ：（取差）
(x?1)
4
(x
4
?x
2
?1)
2422

?x?2x?1?x?x?1?x

242
∵
x?0
∴
x?0
从而
(x?1)
>
x?x?1

22
小结：步骤：作差—变形—判断—结论

例三 比较大小1．
1
3?2
和
10

解：∵
1
3?2
?3?2

∵
(3?
∴
2)
2
?(10)
2
?26?5?24?25?0

<
10

1
3?2
2．
bb?m
?
和
(a,b,m?R)

aa?m
b
a
b?m
m(b?a)
?
?
∵
(a,b,m?R)

a?m
a(a?m)
解：（取差）
bb?mbb?mbb?m
>；当
b?a
时=；当
b?a
时< < br>aa?maa?maa?m
1t?1
3．设
a?0
且
a?1< br>，
t?0
比较
log
a
t
与
log
a
的大小
22
∴当
b?a
时
t?1(t?1)
2
t?1
?t??0
∴解：
?t

22
2
当
a?1
时
1t?11t?1
；当
0?a?1
时
log
a
t
≥
log
a

log
a
t
≤
log
a
2222
四、不等式的性质
1．性质1：如果
a?b
，那么
b?a
；如果
b?a
，那么
a?b
（对称性）
证：∵
a?b
∴
a?b?0
由正数的相反数是负数

?(a?b)?0

b?a?0

b?a

2．性质2：如果
a?b
，
b?c
那么
a?c
（传递性）
证：∵
a?b
，
b?c
∴
a?b?0
，
b?c?0

∵两个正数的和仍是正数 ∴
(a?b)?(b?c)?0

a?c?0
∴
a?c

由对称性、性质2可以表示为如果
c?b
且
b? a
那么
c?a

五、小结：1．不等式的概念 2．一个充要条件
3．性质1、2
六、作业：P5练习 P8 习题6.1 1—3
补充题：1．若
2x?4y?1
，比较
x? y
与
22
1
的大小
20

1?4y
22
解：
x?
x?y
2
2．比较2sin
略解：2sin
当
当
与si n2
=2sin
(5y?1)
2
11
?0
∴
x
2
?y
2
≥=……=
5
2020
的 大小(0<<2
(1
(1
(1
cos
cos
)
)≥0 2sin
)<0 2sin
≥sin2


)
sin2
(0,)时2sin
(,2)时2sincos
32
3．设
a?0
且
a?1
比较
log
a
(a?1)
与
log
a
(a?1)
的大小
解：
(a?1)?(a?1)?a(a?1)

32
32
当
0?a?1
时
a?1?a?1
∴
log
a
(a?1)
>
log
a
(a?1)

32
32
当
a?1
时
a?1?a?1
∴
log
a
(a?1)
>
log
a
(a?1)

32
∴总有
log
a
(a?1)
>
loga
(a?1)

322
第二教时
教材：不等式基本性质（续完）
目的：继续学习不等式的基本性质，并能用前面的性质进行论 证，从而让学生清楚事物内部是具有固有规律的。
过程：
一、复习：不等式的基本概念，充要条件，基本性质1、2
二、1．性质3：如果
a?b
，那么
a?c?b?c
（加法单调性）反之亦然
证：∵
(a?c)?(b?c)?a?b?0
∴
a?c?b?c

从而可得移项法则：
a?b?c?a?b?(?b)?c?(?b)?a?c?b

推论：如果
a?b
且
c?d
，那么
a?c?b?d
（相加法则）
证：
a?b?a?c?b?c
?
?
?a?c?b?d
c?d?b?c?b?d
?
推论：如果
a?b
且
c?d
，那么
a?c?b?d
（相减法则）
证：∵
c?d
∴
?c??d

?
?
a?b
?a?c?b?d

?
?c??d
或证：
(a?c)?(b?d)?(a?b)?(c?d)

?
a?b
?
c?d

?a?b?0
?
?
?
上式>0 ………
?c?d?0
?
2．性质4：如果
a?b
且
c?0
, 那么
ac?bc
；

如果
a?b
且
c?0< br>那么
ac?bc
（乘法单调性）
证：
ac?bc?(a?b)c
∵
a?b
∴
a?b?0

根据同号相乘得正，异号相乘得负，得：
c?0
时
(a?b)c?0
即：
ac?bc

c?0
时
(a?b)c?0
即：
ac?bc

推论1 如果
a?b?0
且
c?d?0
，那么
ac?b d
（相乘法则）
证：
a?b,c?0?ac?bc
?
?
?ac?bd

c?d,b?0?bc?bd
?
ab
?
（相除法则）
cd
推论1’（补充）如果
a?b?0
且
0?c?d
，那么
11
?
ab
??0
?
证：∵
d?c?0
∴
cd
?
?
?

cd
a?b?0
?
?
推论2 如果
a?b?0
, 那么
a?b

(n?N且n?1)

3．性质5：如果
a?b?0
，那么
n
a?
证：（反证法）假设
n
a?
n
n
n
nn
b

(n?N且n?1)

b

则：若
n
a?
a?
n
n
b? a?b
这都与
a?b
矛盾 ∴
n
a?
n
b

b?a?b
三、小结：五个性质及其推论
口答P8 练习1、2 习题6.1 4
四、作业 P8 练习3 习题6.1 5、6
五、供选用的例题（或作业）
1．已知
a?b?0
，
c?d?0< br>，
e?0
，求证：
ee

?
a?cb?d
1 1
?
a?b?0
?
ee
?
?
证：
??
?a?c?b?d?0?
a?cb?d
?
?
c?d?0
?
a?cb?d
?
e?0
?
2．若
a,b?R
， 求不等式
a?b,
11
?
同时成立的条件
ab
11b?a
?
???0
?
解：
ab
?
?ab?0
< br>ab
a?b?b?a?0
?
?

3．设
a,b, c?R
，
a?b?c?0,abc?0
求证
222
111
???0

abc
证：∵
a?b?c?0
∴
a?b?c
?2ab?2ac?2bc?0

又∵
abc?0
∴
a?b?c
>0 ∴
ab?ac?bc?0

222
111ab?bc?ca

abc?0
∴
ab?ac?bc?0

???
abcabc
111
∴
???0

abc
11
4．
ab?0,|a|?|b|
比较与的大小
ab
11b?a
解： 当
a?0,b?0
时∵
|a|?|b|
即
a?b

?
abab
b?a11

b?a?0

ab?0
∴
?0
∴< abab
∵
当
a?0,b?0
时∵
|a|?|b|
即< br>a?b

b?a?0

ab?0
∴
5．若
a,b?0
求证：
解：
b?a11
?0
∴>
abab
b
?1?b?a

a
bb?a
?1??0
∵
a?0
∴
b?a?0
∴
a?b

aa
b?abb
??1?0
∴
?1

b?a?b?a?0
∵
a?0
∴
aaa
lo g
sin
?
?
log
sin
?
?
?

a?cb?d
6．若
a?b?0,c?d?0
求证：
证：∵
0?sin
?
?1
>1 ∴
log
sin
?
?
?0

又∵
a?b?0,?c??d?0
∴
a?c?b?d

∴
11
∴原式成立
?
a?cb?d
第三教时
教材：算术平均数与几何平均数
目的：要求学生掌握算术平均数与几何平均数的意义，并掌握“平均不等式”及其推导过程。
过程：
一、 定理：如果
a,b?R
，那么
a?b?2ab
（当且仅当
a?b
时取“=”）
证明：
a?b?2ab?(a?b)

222
22

当a?b时，(a?b)
2
?0
?
22
a?b?2ab

?
?
2
当a?b时，(a?b)?0
?
1．指出定理适用范 围：
a,b?R

2．强调取“=”的条件
a?b

二、定 理：如果
a,b
是正数，那么
a?b
?ab
（当且仅当
a? b
时取“=”）
2
22
证明：∵
(a)?(b)?2ab
∴
a?b?2ab

即：
a?ba?b
?ab
当且仅当
a?b
时
?ab

22
?
注意：1．这个定理适用的范围：
a?R

2．语言表述：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
三、推广：
定理：如果
a,b,c?R
，那么
a?b?c?3abc

（当且仅当
a?b?c
时取“=”）
证明：∵
a?b?c?3abc?(a?b)?c?3ab?3ab?3abc
3333322
?
333
?(a?b?c)[(a?b)
2
?( a?b)c?c
2
]?3ab(a?b?c)

?(a?b?c)[a
2
?2ab?b
2
?ac?bc?c
2
?3ab]
?(a?b?c)(a
2
?b
2
?c
2
?ab?bc? ca)

?
1
(a?b?c)[(a?b)
2
?(b?c)
2
?(c?a)
2
]

2
?
∵
a,b,c?R
∴上式≥0 从而
a?b?c?3abc

指出：这里
a,b,c?R
∵
a?b?c?0
就不能保证
推论：如果
a,b,c?R
，那么
?
333
a?b?c
3
?abc

3
（当且仅当
a?b?c
时取“=”）
?
333
证明：
(
3
a)?(
3
b)?(
3
c)?3
3
a?
3
b?
3
c
?
a?b?c?3
3
abc


a?b?c
3
?abc

3
四、关于“平均数”的概念
??
1．如果
a
1
,a
2,
?
,a
n
?R,n?1且n?N
则：

a
1
?a
2
???a
n
n
叫做这n个正数的算 术平均数
n
a
1
a
2
?a
n
叫做这n个 正数的几何平均数
2．点题：算术平均数与几何平均数
3．基本不等式：
a
1
?a
2
???a
n
n
≥
n
a
1
a
2
?a
n


n?N
*
,a
?
i
?R,1?i?n

这个结论最终可用数学归纳法，二项式定理证明（这里从略）
语言表述：n个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数。
4．
a?b
2
?ab
的几何解释：
D
以
a?b
为直径作圆，在直径AB上取一点C，
则
CD
2
?CA?CB?ab

A
a C b
B
从而
CD?ab

D’
而半径
a?b
2
?CD?ab

五、例一 已知
a ,b,c
为两两不相等的实数，求证：
a
2
?b
2
?c2
?ab?bc?ca

证：∵
a
2
?b
2
?2ab

b
2
?c
2
?2bc

c
2
?a
2
?2ca

以上三式相加：
2 (a
2
?b
2
?c
2
)?2ab?2bc?2ca

∴
a
2
?b
2
?c
2
?ab?bc?ca

六、小结：算术平均数、几何平均数的概念
基本不等式（即平均不等式）
七、作业：P11-12 练习1、2 P12 习题5.2 1--3
补充 ：1．已知
6?a?8,2?b?3
，分别求
a?b,a?b,
a
b
的范围
2．
x?R
试比较
2x
4
?1
与
2x
3
?x
2
（作差
2x
4
?1>
2x
3
?x
2
）
3．求证：
a
2
?b
2
?b
2
?c
2
?c
2
?a
2
?2(a?b?c)

证：
a
2
?b
2
?
2
(a?b)

b
2
22
2
?c
2
?
2
(b?c )

c
2
?a
2
?
2
(ca)
过 C作弦DD’AB
(8,11) (3,6) (2,4)

三式相加化简即得
第四教时
教材：极值定理
目的：要求学生在掌握平均不等式的基础上进而掌握极值定理，并学会初步应用。
过程：
一、复习：算术平均数与几何平均数定义，平均不等式
二、 若
x,y?R
，设
Q(x,y)?
?
x?y
x
2
?y
2

A(x,y)?

G(x,y)?xy

2
2
H(x,y)?
2
1?
?
xy
求证：
Q(x,y)?A(x,y)?G(x,y)?H(x,y)

加权平均；算术平均；几何平均；调和平均
x?y
2
x
2
?y2
?2xyx
2
?y
2
?x
2
?y
2
x
2
?y
)???
证：∵
(

2442< br>x
2
?y
2
x?y
∴即：
Q(x,y)?A(x,y )
（俗称幂平均不等式）
?
22
由平均不等式
A(x,y)?G(x,y)

H(x ,y)?
2xy2xy
??xy?G(x,y)
即：
G(x,y)?H(x, y)

x?y
2xy
综上所述：
Q(x,y)?A(x,y)?G( x,y)?H(x,y)

1
2
125

)?(b?)2
?
ab2
11
(a??b?)
2
1
2
1
2
ab
证：由幂平均不等式：
(a?)?(b?)?
ab2< br>a?ba?b
2
ba
(1??)(3??)
2
(3?2)2
25
abab

????
2222
例一、若
a?b?1,a,b?R
求证
(a?
?
三、 极值定理
已知
x,y
都是正数，求证：
1
2
如果积
xy
是定值
p
，那么当
x?y
时和
x?y
有最小值
2p

如果和
x?y
是定值
s
，那么当
x?y
时积
xy
有最大值
1
2
s

4

证：∵
x,y?R
∴
1
x?y
?xy

2
x?y
当
xy?p
(定值)时，
?p
∴
x?y
?2p

2
?
∵上式当
x?y
时取“=” ∴当
x?y
时有
(x?y)
min
?
2p

2当
x?y?s
(定值)时，
xy?
s1
2
∴
xy?s

24
1
2
s

4
∵上式当
x?y
时取“=” ∴当
x?y
时有
(xy)
max
?
注意强调：1最值的含义（“≥”取最小值，“≤”取最大值）
用极值定理求最值的三个必要条件：
一“正”、二“定”、三“相等”
2
四、 例题
1．证明下列各题：
⑴
lgx?log
x
10?2

(x?1)

证：∵
x?1
∴
lgx?0

log
x
10?0

于是
lgx?log
x
10?2lgxlg
x
10?2

⑵若上题改成
0?x?1
，结果将如何？
解：∵
0?x?1

lgx?0

log
x
10?0

于是
(?lgx)?(?log
x
10)?2

从而
lgx?log
x
10??2

⑶若
a?b?1
则
ab?
?
1

4
1

4
1

4
解：若
a,b? R
则显然有
0?ab?
若
a,b
异号或一个为0则
ab?0
∴
ab?
2．①求函数
y?x(1?x)
的最大值
(0?x?1)

②求函数
y?x(1?x)
的最大值
(0?x?1)

解：①∵
0?x?1
∴
1?x?0
∴当
2
2
x2
?1?x
即
x?
时
23
xx
??1?x
24
xx4
22
< br>y?4??(1?x)?4?(
即
x?
时
y
max
?

)
3
?
327
22327

②∵< br>0?x?1
∴
0?1?x?1

∴
y?x (1?x)?
2222
2
1
?2x
2
?(1?x
2
)(1?x
2
)

2
12x
2
?(1?x
2
)?(1?x
2
)
3
4
?()?

2327
∴当
2x?1?x,x?
22
323
4
2
时
y
max
?

y
max
?

39
27
3．若
x??1< br>，则
x
为何值时
x?
1
有最小值，最小值为几？
x?1
1
解：∵
x??1
∴
x?1?0

?0

x?1
∴
x?
11
1
?1?2(x ?1)??1?2?1?1
=
x?1?
x?1x?1
x?1
当且仅当
x?1?
11
即
x?0
时
(x?)
min
?1

x?1x?1
五、 小结：1．四大平均值之间的关系及其证明
2．极值定理及三要素
六、 作业：P12 练习3、4 习题6.2 4、5、6
补充：下列函数中
x
取何值时，函数取得最大值或最小值，最值是多少？
1
2

y?x(2?3x)

x?
11
时
y
max
?

33
y?1?4x?
1

x?1,y
min
??2

5?4x
6
3
,y
min
?1?6

x??
2
x
第五教时
3
x?0
时
y?1?2x?
教材：极值定理的应用
目的：要求学生更熟悉基本不等式和极值定理，从而更熟练地处理一些最值问题。
过程：
一、 复习：基本不等式、极值定理
二、 例题：1．求函数
y?2x?
2
2
3
,(x?0)
的最大值，下列解法是否正确？为什么？
x
解一：
y?2x?
31112
?2x
2
??? 3
3
2x
2
???3
3
4

xxxxx
∴
y
min
?3
3
4

3
3
12
3
2
3
2
解二：
y?2x??22x??26x
当
2x?
即
x?
时
xx
2
x
2
3

y
min< br>?26?
12
?23
3
12?2
6
324

2
2
答：以上两种解法均有错误。解一错在取不到“=”，即不存在
x
使得
2x?
是定值（常数）
正确的解法是：
y?2x?
2
12
?
；解二错在
26x
不
xx
3333393
?2x
2
???3
3
2x
2
???3
3
?
3
36

x2x2x2x2x22
3
6
33
当且仅当
2x?
即
x?
时
y
min
?
3
36

2
2x2
2
x
2
?2x?2
2．若
?4?x?1
，求的最值
2x?2
x
2
?2x? 21(x?1)
2
?11111
???[(x?1)?]??[?(x?1)?] 解：
2x?22x?12x?12?(x?1)
∵
?4?x?1
∴
?(x?1)?0

1
?0

?(x?1)
从而
[?(x?1)?
111
]?2

?[?(x?1)?]??1

?(x?1)2?(x?1)
x
2< br>?2x?2
)
min
??1
即
(
2x?2
y
2
?1
，求
x1?y
2
的最大值 3．设
x?R
且
x?
2
?
2
1y
2
解：∵
x? 0
∴
x1?y?2?x(?)

22
22
1y2
y
2
13
2
)?(x?)??
又
x?(?
22222
2
∴
x1?y?
2
1332
2(?)?

224

即
(x1?y)
max
?
2
32

4
4．已知
a,b,x,y?R
且
?ab
??1
，求
x?y
的最小值
xy
abayxb
?)?a?b??

xyxy
解：
x?y
?(x?y)?1?(x?y)(

?a?b?2
ayxb
??(a?b)
2

xy
当 且仅当
ayxb
x
?
即
?
xy
y
a
2
时
(x?y)
min
?(a?b)

b
三、关于应用题
1．P11例（即本章开头提出的问题）（略）
2．将 一块边长为
a
的正方形铁皮，剪去四个角（四个全等的正方形），作成一个无盖的铁盒，要使其 容
积最大，剪去的小正方形的边长为多少？最大容积是多少？
解：设剪去的小正方形的边长为
x

则其容积为
V?x(a?2x),(0?x?
2
a
)

2
V?
1
?4x?(a?2x)?(a?2x)

4
14x?(a?2x)?(a?2x)
3
2a
3
?[]?

4327
当且仅当
4x?a?2x
即
x?
a
时取“=”
6
2a
3
a
即当剪去的小正方形的边长为时，铁盒的容积为
27
6
四、 作业：P12 练习4 习题6.2 7
补充：
1．求下列函数的最值：
1
y?2x?
2
4
,(x?R
?
)
(min=6)
x
2
2
2a
3
a
)
y?x(a?2x),(0?x?)
(
max?
27
2
2．1
x?0
时求
y?
669
?3x
2
的最小值，
y?
2
?3x< br>的最小值
(9,
3
4)

x2
x

2设
x?[,27]
，求
y?log
3
42
1
9
x
?log
3
(3x)
的最大值(5)
27
423
,x?)

273
3若
0?x?1
, 求
y?x(1?x)
的最大值< br>(
4若
x,y?R
且
2x?y?1
，求
?
1 1
?
的最小值
(3?22)

xy
3．若
a?b? 0
，求证：
a?
1
的最小值为3
b(a?b)
4．制作一 个容积为
16
?
m
的圆柱形容器(有底有盖)，问圆柱底半径和
高各取多少时，用料最省？（不计加工时的损耗及接缝用料）
(R?2m,h?4m)

第六教时
教材：不等式证明一（比较法）
目的：以不等式的等价命题为依据，揭示 不等式的常用证明方法之一——比较法，要求学生能教熟练地运用作
差、作商比较法证明不等式。
过程：
一、 复习：
1．不等式的一个等价命题
2．比较法之一（作差法）步骤：作差——变形——判断——结论
二、作差法：（P13—14）
1． 求证：
x
+ 3 > 3
x

证：∵(
x
+ 3) 3
x
=
x?3x?()?()?3?(x?)?
2
2
3
2
3< br>2
2
3
2
2
3
2
2
3
?0

4
∴
x
+ 3 > 3
x

2． 已知
a
,
b
,
m
都是正数，并且
a
<
b
，求证：
2
a?ma
?

b?mb
证：
a?mab(a?m)?a(b?m)m(b?a)
???

b?mbb (b?m)b(b?m)
∵
a
,
b
,
m
都是正数， 并且
a
<
b
，∴
b
+
m
> 0 ,
b

a
> 0
∴
m(b?a)
a?ma
?0
即：
?

b(b?m)
b?mb
变式：若
a
>
b
，结果会怎样？若没有“
a
<
b
”这个条件，应如何判断？
3． 已知
a
,
b
都是正数，并且
a

b
，求证：
a
+
b
>
ab
+
ab

证：(
a
+
b
) (
ab
+
ab
) = (
a

ab
) + (
b

5523325325
552332

ab
)
23

=
a
(
a

b
)
2
322

b
(
a

2
32

b
) = (
a

b
) (
a

2
2223

b
)
3
= (
a
+
b
)(
a

b
)(
a
+
ab
+
b
)
∵
a
,
b
都是正数，∴
a
+
b
,
a
+
ab
+
b
> 0
又∵
a

b
，∴(
a

b
) > 0 ∴(
a
+
b
)(
a

即：
a
+
b
>
ab
+
ab

4． 甲乙两人同时同地沿同一路线走到同一地点，甲有一半时间以速度
m
行走，另一半时间以速度
n
行
走；有一半路程乙以速度
m
行走，另一半路程以速度
n
行走，如果
m

n
，问：甲乙两人谁先到达
指定地点？
解：设从出发地到指定地点的路程为
S
，
甲乙两人走完全程所需时间分别是
t
1
,
t
2
，
则：
552332
2
22

b
)(
a
+
ab
+
b
) > 0
222
t
1
t
m?
1
n?S,
22
SS
2SS(m?n)
??t
2
可得：
t
1
?

,t
2
?
2m2n
m?n2mn
2SS(m?n)S[4mn?(m?n)
2
]S(m?n)
2
????
∴
t
1
?t
2
?

m?n2mn2(m?n)mn2mn(m?n)
∵
S
,
m
,
n
都是正数，且
m

n
，∴
t
1

t
2
< 0 即：
t
1
<
t
2
从而：甲先到到达指定地点。
变式：若
m
=
n
，结果会怎样？
三、作商法
5． 设
a
,
b
R，求证：
ab?(ab)
+
ab
a?b
2
?a
b
b
a

证：作商：
a
a
b
b
(ab)
a?b
2
? a
a?b
2
b
b?a
2
a
?()
b
a?b
2
a
当
a
=
b
时，
()
b
a?b
2
?1

a?ba
?0,()
2b
a?b
2
a
当
a
>
b
> 0时，
?1,
b
?1

a?b
2
a
当
b
>
a
> 0时，
0??1,
b
∴
ab?(ab)
ab
a?b< br>2
a?ba
?0,()
2b
?1

（其余部分布置作业）
作商法步骤与作差法同，不过最后是与1比较。
四、小结：作差、作商
五、作业： P15 练习
P18 习题6.3 1—4

第七教时
教材：不等式证明二（比较法、综合法）
目的：加强比商法的训练，以期达到熟练技巧，同时要求学生初步掌握用综合法证明不等式。
过程：
一、比较法：
a) 复习：比较法，依据、步骤
比商法，依据、步骤、适用题型
b) 例一、证明：
y?2
x
2
? 4x?3
在
[2,??)
是增函数。
x
1
2
?4 x
1
?3
y
1
2
x
2
2
?4x< br>2
?x
1
2
?4x
1
证：设2≤
x
1
<
x
2
, 则
?
2
?2?2
(x2
?x
1
)(x
1
?x
2
?4)
< br>y
2
2
x
2
?4x
2
?3
∵
x
2

x
1
> 0,
x
1
+
x
2
4 > 0 ∴
y
1
?2
0
?1

y
2
又∵
y
1
> 0， ∴
y
1
>
y
2
∴
y?2
x
二、 综合法：
2
?4x?3
在
[2,??)
是增函数
定义：利用某些已 经证明过的不等式和不等式的性质，推导出所要证明的不等式，这个证明方法叫综合
法。
i. 已知
a
,
b
,
c
是不全相等的正数，
求证：
a
(
b
+
c
) +
b
(
c
+
a
) +
c
(
a
+
b
) > 6
abc

证：∵
b
+
c
≥ 2
bc
,
a
> 0 , ∴
a
(
b
+
c
) ≥ 2
abc

同理：
b
(
c
+
a
) ≥ 2
abc
,
c
(
a
+
b
) ≥ 2
abc

∴
a
(
b
+
c
) +
b
(
c
+
a
) +
c
(
a
+
b
) ≥ 6
abc

当且仅当
b
=
c
,
c
=
a
,
a
=
b
时取等号，而
a
,
b
,
c
是不全相等的正数
∴
a
(
b
+
c
) +
b
(
c
+
a
) +
c
(
a
+
b
) > 6
abc

ii. 设
a
,
b
,
c
1

R
，
22
222222
222222
2222
2 222
222222
求证：
a?b?
2
(a?b)

2
2求证：
a
2
?b
2
?b
2
?c2
?c
2
?a
2
?
若
a
+
b
= 1, 求证：
a?
2(a?b?c)

3
11
?b??2

22
证：1
a
2
?b
2
a?b
2
a
2
?b
2
a ?ba?b
?()?0
∴∵
?||?
22
222

∴
a?b?
22
2
(a?b)

2
2
2同 理：
b?c?
2
22
(b?c)
，
c
2
?a
2
?(c?a)

22
三式相加 ：
a
2
?b
2
?b
2
?c
2
?c
2
?a
2
?
3由幂平均不等式：
2(a?b?c)

111
(a??b?)?
222
∴a?
11
(a?)?(b?)
22
?
2
(a?b?1)
?
2
2
?1

2
11
?b??2

22
R
, 求证：1
2
3
iii.
a
,
b
,
c
111
(a?b?c)(??)?9

abc
1119
(a?b?c)(??)?

a?bb?cc?a2
abc3
???

b?cc?aa?b2
1111
???3
3
, 两式相乘即得。
abcabc
证：1法一：
a?b?c?3
3
abc
,
法 二：左边
?
a?b?ca?b?ca?b?cbacacb
???3?(?)?(?) ?(?)

abcabacbc
≥ 3 + 2 + 2 + 2 = 9
2∵
a?bb?cc?a3
3
???(a?b )(b?c)(c?a)

2222

1111

???3
3
a?bb?cc?a(a?b)(b?c)(c?a)
两式相乘即得
3
1119
??)?

a?bb?cc?a2
cab9
?1??1??
∴
1?
a?bb?cc?a2
abc3
???
即：
b?cc?aa?b2
由上题：
(a?b?c)(
三、小结：综合法
四、作业： P15—16 练习 1，2
P18 习题6.3 1，2，3

补充：
1． 已知
a
, b
a
2
2
b
2
2
R
且
a
b
，求证：
()?()?a
2
?b
2
（取差）
ba
+
1111
2． 设
R
，
x
, y
+
R
，求证：
x
sin
2
?
?y< br>cos
2
?
?x?y
（取商）
3． 已知
a
,
b
a?b
3
a
3
?b
3
)?
R
，求证：
(

22
R
+
∴
(a?b)
2
?0
∴
a
2
?ab?b
2
?ab

322
证：∵
a
,
b
3
∴
a?b?(a?b)(a?ab?b)?ab(a?b)

∴
3(a?b)?3ab(a?b)

∴
4(a?b)?a?3ab(a?b)?b?(a?b)

3333333
a?b
3
a
3
?b
3
)?
∴(

22
4． 设
a
>0,
b
>0，且
a
+
b
= 1，求证：
(a?
1
2
125

)?(b?)
2< br>?
ab2
a?b111
证：∵
ab??
∴
ab?
∴
?4

224ab
11
?11
???
a??b?
?
1??
???
1
2< br>1
2
ab
?
?2
?
ab
?
∴
(a?)?(b?)?2
?
ab22
????
????
? ???
22
a?b
?
1
???
2
1?1?
????
1?425
??
ab
?
?2
?
ab
?
?2?2
?

??
?
222
???
2
?
??
????
????
第八教时
教材：不等式证明三（分析法）
目的：要求学生学会用分析法证明不等式。
过程：
一、 介绍“分析法”：从求证的不等式出发，分析使这个不等式成立的充分条件，把证明不等式转化为 判定
这些充分条件是否具备的问题。
二、 例一、求证：
3?7?25

22

证： ∵
3?7?0,
只需证明：
(3?
25?0
综合法：
7)
2
?(25)
2
∵21 < 25
展开得：
10?221?20
∴
21?5

即：
221?10
∴
221?10

∴
21?5
∴
10?221?20

即： 21 < 25（显然成立） ∴
(3?7)
2
?(25)
2

∴
3?7?25
∴
3?7?25

例二、设
x
> 0，
y
> 0，证明不等式：
(x?y)?(x?y)

证一：（分析法）所证不等式即：
(x?y)?(x?y)

即：
x?y?3xy(x?y)?x?y?2xy

即：
3xy(x?y)?2xy

222233
6622226633
223332
22
1
2
3
1
3
3
2xy

3
2
22
∵
x?y?2xy?xy
成立
3
只需证：
x?y?
22
223
∴
(x?y)?(x?y)

1
2
1
3
3
证 二：（综合法）∵
(x?y)?x?y?3xy(x?y)?x?y?6xy


?x?y?2xy?(x?y)

223
∵
x
> 0，
y
> 0， ∴
(x?y)?(x?y)

1
2
1
3
3
6633332
2236622226633
例三、 已知：
a
+
b
+
c
= 0，求证：
ab
+
bc
+
ca
≤ 0
2
证一：（综合法）∵
a
+
b
+
c
= 0 ∴(
a
+
b
+
c
) = 0
a
2
?b
2
?c
2
展开得：
ab?bc?ca??

2
∴
ab
+
bc
+
ca
≤ 0
证二：（分析法）要证
ab
+
bc
+
ca
≤ 0 ∵
a
+
b
+
c
= 0
2
故只需证
ab
+
bc
+
ca
≤ (
a
+
b
+
c
)
即证：
a?b?c?ab?bc?ca?0

222

即：
[(a?b)?(b?c)?(c?a)]?0
（显然）
∴原式成立
证三：∵
a
+
b
+
c
= 0 ∴
c
=
a
+
b

2
∴
ab
+
bc
+
ca
=
ab
+ (
a
+
b
)
c
=
ab
(
a
+
b
) =
1
2
222
a
2

b
2

ab

b
2
3b
2
]?0
=
?[(a?)?
24
例四、（课本例）证明：通过水管放水，当流速相等时，如果水管截面（ 指横截面）的周长相等，那么
截面的圆的水管比截面是正方形的水管流量大。
l
?
l
?
证：设截面周长为
l
，则周长为l
的圆的半径为，截面积为
?
??
，
2?
?
2?
?
l
?
l
?
周长为
l
的正方形边长为 ，截面积为
??

4
?
4
?
2
2
?
l
?
?
l
?
问题只需证：
?
??
>
??

?
2?
?
?
4
?
?l
2
l
2
即证：>
2
16
4?
两边同乘
22
411
，得：
?

2
?4
l
22
因此只需证：4 > （显然成立）
?
l
?
?
l
?
∴
?
?
>
?
??
也可用比较法（取商）证，也不困难。
?
2?
?
?
4
?
三、 作业： P18 练习 1—3 及 习题6.3 余下部分
补充作业：
1． 已知0 < < ，证明：
2sin2??cot

略证：只需证：
4sin?cos??2
?
2
1?cos?
∵0 < < ∴sin
sin?
> 0
故只需证：
4sin?cos??1?cos?

即证：
4(1?cos?)(1?cos?)cos??1?cos?
∵1 + cos
只需证：
4(1?cos?)cos??1

即只需证：
4cos??4cos??1?0

即：
(2cos??1)?0
（成立）
2
> 0
2

2． 已知
a
>
b
> 0，为锐角 ，求证：
asec??btan??
略证：只需证：
(asec??btan?)?a ?b

222
a
2
?b
2

即：
atan??bsec??2abtan?sec??(atan??bsec?)?0
（ 成立）
3． 设
a
,
b
,
c
是的△ABC 三边，S是三角形的面积，求证：
c?a?b?4ab?43S

略证：正弦、余弦定理代入得：
?2abcosC?4ab?23absinC

即证：
2?cosC?23sinC

即：
3sinC?cosC?2

即证：
sin(C?
22 2
22222
?
)?1
（成立）
6
第九教时
教材：不等式证明四（换元法）
目的：增强学生“换元”思想，能较熟练地利用换元手段解决某些不等式证明问题。
过程：
一、 提出课题：（换元法）
二、 三角换元：
例一、求证：
?
11
?x1?x
2
?

22
2
证一：（综合法）
?
x
2
?(1?x2
)
?
1
2222
∵
|x1?x|?|x|1?x?x (1?x)?
?

?
?
22
??
111
2 2
即：
|x1?x|?
∴
??x1?x?

222
证二：（换元法） ∵
?1?x?1
∴令
x
= cos , [0, ]
1
2
则
x1?x?cos?sin??sin2?

2
11
2
∵
?1?sin??1
∴
??x1?x?

22
例二、已知
x
> 0 ,
y
> 0，2
x
+
y
= 1，求证：
11
??3?22

xy
证一：
?
?< br>?
11
?
11
2xy
??3?22
即：
?
?
(2x?y)?3???3?22
?
xy
xyyx
??
1
2
sin?,
2
y?cos
2
?
证二：由
x
> 0 ,
y
> 0，2
x
+
y
= 1，可设
x?

则
1121
22
????2(1?cot?)?(1?tan?)

22
xy
sin?cos?
?3?(2cot
2
??tan
2
?)?3?22

22
22
例三：若
x?y?1
，求证：
|x?2xy?y|?2

证：设
x?rsin?,
2
y?rcos?,(0?r?1)
，
222222
则
|x?2xy?y|?|rcos??2rcos?sin??rsin?|

?< br>??
?r
2
|cos2??sin2?|?2r
2
cos?
2??
?
?2r
2
?2

4
??
例四：若
x
> 1，
y
> 1，求证：
xy?1?(x?1)(y?1)

证：设
x?sec?,
2
?
y?sec
2
?,(0??,??)

2
cos(???)1
??xy

cos?cos?cos?cos?
则
1?(x?1)(y?1)?1?tan?tan??
例五：已知：
a
> 1,
b
> 0 ,
a

b
= 1，求证：
0?
1
?
1
??
1
?
?a???b???1
????
a
?
a
??
b
?
2
证：∵
a
> 1,
b
> 0 ,
a

b
= 1 ∴不妨设
a?sec?,
?
b?tan
2
?,(0???)

2
则
1
?
1
??
1
?
1
?
1
??
1
?
?a???b???sec??tan??
????

???
sec
2
?
a
?
sec?tan?
a
??
b
?
????
?
1ta n
2
?sec
2
?
??sin?

?
sec
2
?
sec?tan?
∵
0???
?
, ∴0 < sin
2
< 1 ∴
0?
(
0???
1
?
1
??
1
?
?a???b??
???
?1

a
?
a
??
b
??
小结：若0≤
x
≤1，则可令
x
= sin
22
???
2
)或
x
= sin (
????
)。
222
(
0???2?
)。
(
0???2?
)。
若
x?y?1
，则可令
x
= cos
若
x?y?1
，则可令
x
= sec
若
x
≥1，则可令
x
= sec
22
,
y
= sin
,
y
= t
a
n
(
0???
?
)。
2

若
x
三、 代数换元：
R，则可令
x
= t
a
n (
?
??
???
)。
22
例六：证明：若
a
> 0，则
a?
2
11
?2?a??2

2
a
a
1
,(a?0,x?2,y?2)

2
a
2
证：设
x?a?
1
,
a
y?a
2
?
2
1
?
?
2
1
?< br>?
22
则
x?y?
?
a?
?
?
?< br>a?
2
?
?2

a
?
?
a
?
?
??
x?y?a?
11
?a
2
?
2< br>?2?2
（ 当
a
= 1时取“=” ）
a
a
x
2
?y
2
2
??2?2
∴
x?y?
x?y
2?2
即
y?2?x?2
∴原式成立
四、 小结：
还有诸如“均值换元”“设差换元”的方法，有兴趣的课后还可进一步学习。
五、 作业：
1． 若
a?b?1
，求证：
asinx?bcosx?1

2． 若|
a
| < 1，|
b
| <1，则
|ab?(1?a)(1?b)|?1

3． 若|
x
|≤1，求证：
(1?x)?(1?x)?2

4． 若
a
> 1,
b
> 0 ,
a

b
= 1，求证：
0?
nnn
22
22
1
?
1
??
1
?
?a???b???1

????
a
?
a
??
b
?
5． 求证：
0?1?x?x?1

6． 已知|
a
|≤1，|
b
|≤1，求证：
|a1?b
2
?b1?a
2
|?1

第十教时
教材：不等式证明五（放缩法、反证法）
目的：要求学生掌握放缩法和反证法证明不等式。
过程：
一、 简要回顾已经学习过的几种不等式证明的方法
提出课题：放缩法与反证法
二、 放缩法：

例一、若
a
,
b
,
c
,
d
abcd
????2

a?b?db?c?ac?d?bd?a?c
abcd
证：记
m
=
???
a?b?db?c?ac?d?bd?a?c
R
+
，求证：< br>1?
∵
a
,
b
,
c
,
d
∴
m?
R
+

abcd
????1

a?b?c?da?b?c?ac?d?a?bd?a?b?c
abcd

m?????2

a?ba?bc?dd?c
∴1 < m < 2 即原式成立
例二、当
n
> 2 时，求证：
log
n
(n?1)log
n
(n?1)?1

证：∵
n
> 2 ∴
log
n
(n?1)?0,log
n
(n?1)?0
< br>2
2
?
log
n
(n
2
?1)
?< br>?
log
n
(n?1)?log
n
(n?1)
? ∴
log
n
(n?1)log
n
(n?1)??
?

?
?
?
22
??
??
?
log
n
n
2
?

?
??
?1

?
2
?
∴
n
> 2时,
log
n
(n?1)log
n
(n?1)?1

例三、求证：
2
1111
???
?
??2

2222
123n
证：
1111
???

n
2
n(n?1)n?1n
∴
1111111111< br>???
?
??1?1????
?
???2??2

2 23n?1nn
1
2
2
2
3
2
n
2
1

4
三、 反证法：
例四、设0 <
a
,
b
,
c
< 1，求证：(1
a
)
b
, (1
b
)
c
, (1
c
)
a
,不可能同时大于
证：设(1
a
)
b
>
111
, (1
b
)
c
>, (1
c
)
a
>,
444
1
①
64
2
则三式相乘：
ab
< (1
a
)
b
?(1
b
)
c
?(1
c
)
a
<
1
?
(1?a)?a
?
又∵0 <
a
,
b
,
c
< 1 ∴
0?(1?a)a?
?

?
?
24
??
同理：
(1?b)b?
11
,
(1?c)c?

44

c
)
c
≤以上三式相乘： (1
a
)
a
?(1
b
)
b
?(1
∴原式成立
1
与①矛盾
64

例五、已知
a
+
b
+
c
> 0，
ab
+
bc
+
ca
> 0，
abc
> 0，求证：
a
,
b
,
c
> 0
证：设
a
< 0, ∵
abc
> 0, ∴
bc
< 0
又由
a
+
b
+
c
> 0, 则
b
+
c
=
a
> 0
∴
ab
+
bc
+
ca
=
a
(
b
+
c
) +
bc
< 0 与题设矛盾
又：若
a
= 0，则与
abc
> 0矛盾， ∴必有
a
> 0
同理可证：
b
> 0,
c
> 0
四、 作业：证明下列不等式：
1． 设
x
> 0,
y
> 0,
a?
x?yxy
?
,
b?
，求证：
a
<
b

1?x?y1?x1?y
放缩法：
x?yxyxy
????

1?x?y1?x?y1?x?y1?x1?y
2． lg9?lg11 < 1
?
lg9?lg11
??
lg99
??
2
?
< br>lg9?lg11?
??
?
??
?
??
?1

2
???
2
??
2
?
3．
log
n
(n?1)log
n
(n?1)?1

2 22
?
log
n
(n
2
?1)
??
log
n
n
2
?

log
n
(n?1)lo g
n
(n?1)?
??
?
??
?1

2
???
2
?
4． 若
a
>
b
>
c
, 则
22
114
???0

a?bb?cc?a
??
24
??
?

?
(a?b)?(b?c)
?
a?c
??
2
111
??2?2

a?bb?c(a?b)(b?c)
5．
1111
????
?
2
?1(n?R
?
,n?2)

nn?1n?2
n
11111n
2
?n
?1
左边
??
2
?
2
?
?
?
2
? ?
n
n
n
nnn
2
1111
???
???1

2n?1n?22n
11

?n?中式??n?1

2nn?1
6．
7．已知
a
,
b
,
c
> 0, 且
a
+
b
=
c
，求证：
a
+
b
<
c
(
n
≥3,
n
22n2n
222
nnn
R
*
)
2< br>?
a
??
b
??
a
??
a
??b
??
b
?
∵
??
?
??
?1
，又
a
,
b
,
c
> 0, ∴
??
?
??
,
??
?
??

?
c
??
c
??
c
??
c
??
c< br>??
c
?
?
a
??
b
?
∴
??
?
??
?1

?
c
??
c
?
8．设0 <
a
,
b
,
c
< 2，求证：(2
a
)
c
, (2
b
)
a
, (2
c
)
b
,不可能同时大于1
nn

仿例四
9．若
x
,
y
> 0，且
x
+
y
>2，则
1?y
1?x
和中至少有一个小于2
y
x
反设
1?x
1?y
≥2，≥2 ∵
x
,
y
> 0，可得
x
+
y
≤2 与
x
+
y
>2矛盾 第十一教时
y
x
教材：不等式证明六（构造法及其它方法）
目的：要求学生逐步熟悉利用构造法等方法证明不等式。
过程：
一、 构造法：
1．构造函数法
例一、已知
x
> 0，求证：
x?
1
?
x
1
x?
1
x
?
5

2
证：构造函数
f(x)?x?
由
f(?)?f(?)???
显然 ∵2≤
11
(x?0)
则
x??2
， 设2≤<
xx
?
11
?
(???)(???1)11

?( ??)?(???)?
?
?
?
?
??
????
?< br>??
?
> 0, 1 > 0, > 0 ∴上式 > 0 < ∴
∴f (
x
)在
[2,??)
上单调递增，∴左边
?f (2)?
例二、求证：
y?
5

2
x
2
?10
x
2
?9
?
10

3
t
2
?1
证：设
t?x?9(t?3)
则
f(t)?y?

t
2
用定义法可证：f (
t
)在
[3,??)
上单调递增
t?1t
2
? 1(t
1
?t
2
)(t
1
t
2
?1)令：3≤
t
1
<
t
2
则
f(t
1
)?f(t
2
)?
1
???0

t
1
t
2
t
1
t
2
∴
y ?
22
x
2
?103
3
?110
?f(3)??< br>
2
33
x?9
2．构造方程法：
例三、已知实数
a
,
b
,
c
，满足
a
+
b
+
c
= 0和
abc
= 2，求证：
a
,
b
,
c
中至少有一个不小于2。
证：由题设：显然
a
,
b
,
c
中必有一个正数，不妨设
a
> 0，
?
b?c??a
2
2
2
则
?
即
b
,
c
是二次方程
x?ax??0
的两个实根。 ?
bc?
a
a
?

∴
??a?
2
8
?0
即：
a
≥2
a
1sec
2
??tan??
?3(??k??,k?Z)
例四、求证：
?
3
sec
2
??tan?
2
sec
2
??tan?
2
证：设
y?
则：(
y
1)tan + (
y
+ 1)tan
2
sec??tan?
当
y
= 1时，命题显然成立
2
当
y
1时，△= (
y
+ 1) 4(
y

∴
2
+ (
y
1) = 0
1) = (3
y
1)(
y
3)≥0
1
?y?3
3

综上所述，原式成立。（此法也称判别式法）
3．构造图形法：
例五、已知0 <
a
< 1，0 <
b
< 1，求证：
a
2
?b
2
?(a?1)< br>2
?b
2
?a
2
?(b?1)
2
?(a?1 )
2
?(b?1)
2
?22

证：构造单位正方形，
O
是正方形内一点
D

O
到
AD
,
AB
的距离为
a
,
b
，
则|
AO
| + |
BO
| + |
CO
| + |
DO
|≥|
AC
| + |
BD
|
1
C
其中
|AO|?a?b
，
22
b
O
|BO|?(a?1)
2
?b
2

b

|CO|?

|DO|?
(a?1)
2
?(b?1)
2

A
a
22
1
B
a?(b?1)
又：
|AC|?|BD|?2

a
∴
a
2< br>?b
2
?(a?1)
2
?b
2
?a
2
?(b?1)
2
?(a?1)
2
?(b?1)
2
?22< br>
1x
2
?x?1
?3
5． 作业：证明下列不等式：?
2
3
x?x?1
x
2
?x?1
2
令
y?
2
，则 (
y
1)
x
+ (
y
+ 1)
x
+ (
y
1) = 0
x?x?1
用△法，分情况讨论
22
6． 已知关于
x
的不等式(
a
1)
x
(
a
1)
x
1 < 0 (
aR
)，对任意实数< br>x
恒成立，求证：
?
5
?a?1
。
3
2
?
a
2
?1?0
分
a
1 = 0和
?
讨论
?
??0

7． 若
x
> 0,
y
> 0,
x
+
y
= 1，则
?
x?
?
?
1
?
?
1
?
25
??

y??
?
??
x
?
?
y
?
4
2
xy11
1
?< br>x?y
?
?2?xy?
左边
???xy?
令
t
=
xy
，则
0?t?
??
?
yxxyxy
4
?
2
?
11117
f(t)?t?在
(0,]
上单调递减 ∴
f(t)?f()?

t444
11
2
*
8． 若
0?a?(k?2,k?N)
，且
a
<
a

b
，则
b?

kk?1
111
2
令
f(a)?a?a
，又
0?a??
，
f(a)
在
(0,)
上单调递增
k22
111k?1k?11
2
∴
b?a?a ?f()??
2
?
2
?
2

?
kk
kkk?1
k?1
9． 记
f(x)?1?x
2
，
a
>
b
> 0，则| f (
a
)
构造矩形
ABCD
,
F
在
CD
上，
使|
AB
| =
a
, |
DF
| =
b
, |
AD
| = 1,
则|
AC
| |
AF
| < |
CF
|
10． 若
x
,
y
,
z
> 0，则
x?y?xy?
作
22
f (
b
) | < |
a

D
F

b
|
C
A
B
y
2
?z2
?yz?z
2
?x
2
?zx

AOB
=
BOC
=
COA
= 120
第十二教时
, 设|
OA
| =
x
, |
OB
| =
y
, |
OC
| =
z

教材：不等式证明综合练习
目的：系统小结不等式证明的几种常用方法，渗透“化归”“类比”“换元”等数学思想。
过程：
四、 简述不等式证明的几种常用方法
比较、综合、分析、换元、反证、放缩、构造
五、 例一、已知0 <
x
< 1, 0 <
a
< 1，试比较
|log
a
(1?x)|和 |log
a
(1?x)|
的大小。
22
解一：
|log
a
(1?x)|? |log
a
(1?x)|?
?
log
a
(1?x)?log
a
(1? x)
??
log
a
(1?x)?log
a
(1?x)
?

1?x

1?x
1?x1?x
2
?1
∴
log
a
(1?x
2
)log
a
?0
∵0 < 1
x
< 1,
0?
1?x1?x

?log
a
(1?x)log
a
2
∴
|log
a
(1?x)|? |log
a
(1?x)|

解二：
log
a
(1?x)
11?x
?log
1? x
(1?x)??log
1?x
(1?x)?log
1?x
?log
1?x

log
a
(1?x)1?x
1?x
2
2

?1?log
1?x
(1?x)

2
∵0 < 1 ?
x
< 1, 1 +
x
> 1, ∴
?log
1?x
(1?x)?0

2
2
∴
1?log
1?x
(1?x)?1
∴
|log
a
(1?x)|? |log
a
(1?x)|

解三：∵0 <
x
< 1, ∴0 < 1 ?
x
< 1, 1 < 1 +
x
< 2,
∴
log
a
(1?x)?0,log
a
(1?x)?0

2
∴左 右 =
log
a
(1?x)?loga
(1?x)?log
a
(1?x)

2
∵0 < 1 ?
x
< 1, 且0 <
a
< 1 ∴
log
a
(1?x)?0

2
∴
|log
a
(1?x)|? |log
a
(1?x)|

变题：若将
a
的取值范围改为
a
> 0且
a
1，其余条件不变。
222222
例二、已知
x
=
a
+
b
，
y
=
c
+
d
，且所有字母均为正，求证：
xy
≥
ac
+
bd

证一：（分析法）∵
a
,
b
,
c
,
d
,
x
,
y
都是正数
∴要证：
xy
≥
ac
+
bd

22
只需证：(
xy
)≥(
ac
+
bd
)
222222 22
即：(
a
+
b
)(
c
+
d
)≥
ac
+
bd
+ 2
abcd

22 22222222 22
展开得：
ac
+
bd
+
ad
+
bc
≥
ac
+
bd
+ 2
abcd
2222
即：
ad
+
bc
≥2
abcd
由基本不等式，显然成立
∴
xy
≥
ac
+
bd

证二：（综合法）
xy
=
a
2
?b
2
2 2
c
2
?d
2
?a
2
c
2
?b< br>2
c
2
?a
2
d
2
?b
2
d
2

22
≥
ac?2abcd?bd?(ac?bd)
2
?ac?bd

证三：（三角代换法）
222
∵
x
=
a
+
b
，∴不妨设
a
=
x
sin,
b
=
x
cos
y
2
=
c
2
+
d
2
c
=
y
sin,
d
=
y
cos
∴
ac
+
bd
=
xy
sinsin +
xy
coscos =
xy
cos( )≤
xy

例三、已知
x
1
,
x
2
均为正数，求证：
1?x
1
?1?x
2
2
22
?
x?x
2
?
?1?
?
1
?

2
??
2
证一：（分析法）由于不等式两边均为正数，平方后只须证：

1?x
1
?1?x
2
?21?x
1< br>4
22
222
1?x
2
2
x?x
2
?2x
1
x
2

?1?
1
4
22
即：
(1?x
1
)(1?x
2
)?1?x
1
x2

再平方：
(1?x
1
)(1?x
2< br>)?1?2x
1
x
2
?x
1
x
2

化简整理得：
x
1
?x
2
?2x
1< br>x
2
（显然成立）
∴原式成立
22
222 2

证二：（反证法）假设
2
1?x
1
?1?x
2
2
2
22
?
x?x
2
?
?1?
?
1
?

?
2
?
D
C
2
化简可得：
x
1
?x
2
?2x1
x
2
（不可能）
∴原式成立
证三：（构造法）构造矩形
ABCD
，
使
AB
=
CD
= 1,
BP
=
x
1
,
PC
=
x
2
当
APB
=
DPC
时，
AP
+
PD
为最短。
取
BC
中点
M
，有
A
P
M
B
AMB
=
DMC
,
BM
=
MC
=
x
1
?x
2

2
∴
AP
+
PD
≥
AM
+
MD

即：
1?x
1
?1?x
222
?
x?x
2
??
x?x
2
?
?1 ?
?
1
?
?1?
?
1
?

22
????
2
22
∴
1?x
1?1?x
2
2
22
?
x?x
2
?
?1 ?
?
1
?

2
??
六、 作业： 2000版 高二课课练 第6课

第十三教时
教材：复习一元一次不等式
目的： 通过复习要求学生能熟练地解答一元一次和一元二次不等式，尤其是对含有参数的一元一次和一元二次
不 等式，能正确地对参数分区间讨论。
过程：
一、 提出课题：不等式的解法（复习）：一元一次与一元二次不等式
板演：1．解不等式：
2(x?1)?
x?27x
??1

(x?2)

32
?
x??1
?
10?2x?11?3x
?
2．解不等式组：
?
（
?
x?2??1?x?1
）
?
5x?3?4x?1
?
x?1
?
3．解不等式：
?x? 5x?6

(2?x?3)

4．解不等式：
x?4x?4?0

(x?R,x?2)

5．解不等式：
x?2x?3?0

(???8?0,x?
?
)

二、含有参数的不等式
例一、解关于
x
的不等式
a(x?ab)?b(x?ab)

2
2
2

解：将原不等式展开，整理得：
(a?b)x?ab(a?b)

讨论：当
a?b
时，
x?
ab(a?b)

a?b
当
a?b
时，若
a?b
≥0时
x?
?
；若
a?b
<0时
x?R

当
a?b
时，
x?
ab(a?b)

a?b
2
例二、解关于
x
的不等式
x?x?a(a?1)?0

解：原不等式可以化为：
(x?a?1)(x?a)?0

1
则
x?a
或
x?1?a

2
11
2
1
若
a??(a?1)
即
a?
则
(x?)?0

x?,x?R

222
1
若
a??(a ?1)
即
a?
则
x?a
或
x?1?a

2
若
a??(a?1)
即
a?
例三、关于
x
的不等式
ax?bx?c?0
的解集为
{x|x??2或x??}

求关于
x
的不等式
ax?bx?c?0
的解集．
解：由题 设
a?0
且
?
2
2
2
1
2
b5c
??
，
?1

a2a
2
从而
ax? bx?c?0
可以变形为
x?
即：
x?
2
bc
x? ?0

aa
51
x?1?0
∴
?x?2
< br>22
2
例四、关于
x
的不等式
ax?(a?1)x?a?1? 0
对于
x?R
恒成立，
求
a
的取值范围．s
解：当
a
>0时不合
a
=0也不合
?
a? 0
?
a?0
?
a?0
1
∴必有：
?

???a??
??
22
??(a?1)?4a(a?1)?03a?2a?1 ?0(3a?1)(a?1)?0
3
???
例五、若函数
f(x)?
取值范围
解：显然
k
=0时满足 而
k
<0时不满足
kx
2
?6kx?(k?8)
的定义域为R，求实数
k
的
?
k?0
?0?k?1

?
2
?
??36 k?4k(k?8)?2
∴
k
的取值范围是[0,1]

三、 简单绝对不等式
例六、（课本6.4 例1）解不等式
|x?5x?5|?1

解集为：
{x|1?x?2或3?x?4}

四、 小结
五、 作业：6.4 练习 1、2 P25 习题6.4 1
补充：1．解关于
x
的不等式：
1
2
x?2x?3
?1?
2
2
k
k
2

2x?ax?2?0

2
2． 不等式
ax?bx?2?0
的解集为
{x|?
?
a??12
11
)
?x?}
，求
a
,
b
(
?
23
b??2
?
3．不等式
ax?4x?a?3
对于
x?R
恒成立，求
a
的取值 (
a
>4)
2
2
4．已知
A?{x|x?x?2?0}
,
B?{x|4x?p?0}
且
B
?
A
, 求p的取值范围
(p≥4)
5．已知
y?ax?2a?1
当-1≤
x
≤1时y有正有负，求
a
的取值范围

(?1?a?
第十四教时
教材：高次不等式与分式不等式
目的：要求学生能熟练地运用列表法和标根法解分式不等式和高次不等式。
过程：
一、 提出课题：分式不等式与高次不等式
1
)

2
x
2
?3x?2
?0
二、 例一(P22-23) 解不等式
2
x?2x?3
略解一（分析法）
?
x
2
?3x?2?0
?
x?1或x?2
?
?
??1?x?1或2?x? 3

?
2
?1?x?3
?
x?2x?3?0
??
x
2
?3x?2?0
?
?1?x?2
?
?< br>?
?
或
?
2
?
x?2x?3?0
?
x??1或x?3
∴
?1?x?1或2?x?3

解二：（列表法）原不等 式可化为
(x?1)(x?2)
?0
列表（见P23略）
(x?3)(x?1)

注意：按根的由小到大排列
解三：（标根法）作数轴；标根；画曲线，定解


-2 -1 0 1 2 3 4
小结：在某一区间内，一个式子是大于0（还是小于0）取决于这个式子的各因式在此区间 内的符号；而
区间的分界线就是各因式的根；上述的列表法和标根法，几乎可以使用在所有的有理分式与 高次不等
式，其中最值得推荐的是“标根法”
例二 解不等式
x?3x?2x?6

解：原不等式化为
(x?3)(x?
∴原 不等式的解为
x?
2
32
2)(x?2)?0

2或?3?x??2

2
例三 解不等式
(x?4x?5)(x?x?2)?0

解：∵
x?x?2?0
恒成立
∴原不等式等价于
x?4x?5?0
即-1<
x
<5
例四 解不等式
(x?2)(x?1)(x?1)(x?2)?0

解：原不等式等价于
(x?1)(x?1)(x?2)?0
且
x??2,x?1

∴原不等式的解为
{x|1?x?2或?2?x??1或x??2}

若原题目改为
(x?2)(x?1)(x?1)(x?2)?0
呢？
例五 解不等式
(x?5)(x?2)(x?1)(x?4)??80

解：原不等式等价于
(x?x?20)(x?x?2)?80?0

即：
(x?x)?22(x?x)?120?0

222
22
23
23
2
2
(x
2
?x?12)(x
2
?x?10)?0

(x?4)(x?3)(x?
?1?41?1?41
)(x?)?0

22
1?41?1?41
或?x?3

22
∴
?4?x??

三、 例六 解不等式
16
?x?1

x?1
(x?5)(x?3)
解：原不等式等价于
?0

x?1
∴原不等式的解为：
?3?x?1或x?5

2x
2
?2kx?k
?1
例七
k
为何值时， 下式恒成立：
4x
2
?6x?3
2x
2
?(6?2k)x? (3?k)
?0
解：原不等式可化为：
2
4x?6x?3
而
4x?6x?3?0

∴原不等式等价于
2x?(6?2k)x?(3?k)?0

由
??(6?2k)?4?2?(3?k)?0
得1<
k
<3
四、 小结：列表法、标根法、分析法
五、 作业：P24 练习 P25 习题6.4 2、3、4
补充：
2
2
2
3x
2
?kx?6
?6
对任意实数
x
恒成立 1．
k
为何值时，不等式
0?
x
2
?x?1

(k??6)

(x?2)
4
(x?1)
3
2．求不等式的解集
(3x? 2)
3
(x?2)
2
(x
2
?x?2)

({x|x??或x?1且x??2})

3．解不等式
2
3
1111

???
x?4x?5x?6x?3
9
2

x?(??,?6)?(?5,?)?(?4,?3)

(x?1)
2
?1
的
x
的整数解 (
x
=2) 4．求适合不等式
0?
x?1
5．若不等式
x ?ax?b1
??x?1
,求
a,b
的值 的解为
22
2
x?x?1x?x?1

(a?4,b?2)

第十五教时
教材：无理不等式
目的：通过分析典型类型例题，讨论它们的解法，要求学生能正确地解答无理不等式。
过程：
一、 提出课题：无理不等式 — 关键是把它同解变形为有理不等式组
?
f(x)?0
?
??定义域
二、
f(x)?g(x)型?
?
g(x)?0
?

?
?
f(x)?g(x)
?
例一 解不等式
3x?4?x?3?0

解：∵根式有意义 ∴必须有：
?
?
3x?4?0
?x?3

?
x?3?0
x?3
又有 ∵ 原不等式可化为
3x?4?
两边平方得：
3x?4?x?3
解之：
x?
∴
{x|x?3}?{x|x?}?{x|x?3}

1

2
1
2
?
f(x)?0
?
f (x)?0
?
三、
f(x)?g(x)型?
?
g(x)?0

或
?
g (x)?0
?
f(x)?[g(x)]
2
?
?
例二 解不等式
?x
2
?3x?2?4?3x

解：原不等式等价于下列两个不等式组得解集的并集：
?
4?3x?0
?< br>?x
2
?3x?2?0
?
2
Ⅰ：
?
?x?3 x?2?0
Ⅱ：
?

?
4?3x?0
?< br>?x
2
?3x?2?(4?3x)
2
?

4
?
x?
?
3
4
64
?
解Ⅰ：
?
1 ?x?2??x?
解Ⅱ：
?x?2

3
53
?< br>6
?x?
3
?
52
?
6
∴原不等式的解集为
{x|?x?2}

5
?
f(x)?0
?
四、
f(x)?g(x)型?
?
g(x)?0

?
f(x)?[g(x)]
2
?

例三 解不等式
2x
2
?6x?4?x?2

?
2x
2< br>?6x?4?0
?
解：原不等式等价于
?
x?2?0

?
2x
2
?6x?4?(x?2)
2
?
?
x?2 或x?1
?
?{x|2?x?10或0?x?1}

?
?< br>x??2
?
0?x?10
?
特别提醒注意：取等号的情况
五、 例四 解不等式
2x?1?x?1?1

1
?
2x?1?0
?
1
?
x??
解 ：要使不等式有意义必须：
?

?
?
?x??
2
x ?1?0
2
?
?
?
x??1
原不等式可变形为
2x?1?1?x?1
因为两边均为非负
22
∴
(2x?1?1)?(x?1)
即
22x?1??(x?1)

∵
x
+1≥0 ∴不等式的解为2
x
+1≥0 即
x??
例五 解不等式
9?x
2
?6x?x
2
?3

1

2
?
9?x
2
?0
?
?3?x?3
??0 ?x?3
解：要使不等式有意义必须：
??
2
?
6x?x?0< br>?
0?x?6
在0≤
x
≤3内 0≤
9?x
2
≤3 0≤
6x?x
2
≤3
∴
9?x
2
>3
6x?x
2
因为不等式两边均为非负
两边平方得：
9?x
2
?9?6x?x
2
?66x?x
2
即
6x?x
2
>
x

因为两边非负，再次平方：
6x?x?x
解之0<
x
<3
综合 得：原不等式的解集为0<
x
<3
例六 解不等式
3
2?x?
22
x?1?1

解：定义域
x
-1≥0
x
≥1
原不等式可化为：
x?1?1?
3
x?2

两边立方并整理得：
(x?2)x?1?4(x?1)

在此条件下两边再平方, 整理得：
(x?1)(x?2)(x?10)?0

解之并联系定义域得原不等式的解为
{x|1?x?2或x?10}

六、 小结
七、 作业：P24 练习 1、2、3 P25 习题 6.4 5
补充：解下列不等式
1．
2x?3?3x?5?
2．
3x?3?
5x?6

(x?2)

x?3?3x?x?3

(x??3)

3．
4?1?x?2?x
(
?5?13
?x?1
)s
2
4．
(x?1)x
2
?x?2?0

(x?2或x??1)

5．
2?x?x?1?1

(?1?x?
1?5
)

2
第十六教时（机动）
教材：指数不等式与对数不等式
目的：通过复习，要求学生能比较熟练地掌握指数不等式与对数不等式的解法。
过程：
一、 提出课题：指数不等式与对数不等式
强调：利用指数不等式与对数不等式的单调性解题
因此必须注意它们的“底”及它们的定义域
二、 例一 解不等式
2
x
2
?2x?3
1
?()
3(x?1)

2
x
2
?2x?3
解：原不等式可化为：
2
2
?2
?3(x?1 )
∵底数2>1
2
∴
x?2x?3??3(x?1)
整理得：
x?x?6?0

解之，不等式的解集为{
x
|-3<
x
<2}
例二 解不等式
3
x?1
?18?3
?x
?29

2x
解：原不等式可化为：
3?3
xx
?29?3
x
?1 8?0

x
x
即：
(3?9)(3?3?2)?0
解之：
3?9
或
3?
2

3
∴
x
>2或
x?log
3
22
∴不等式的解集为{
x
|
x
>2或
x?log
3
}
33

例三 解不等式
log
x?3
(x?1)?2

?
x?1?0
?
x?1?0
??
解：原不等式等价于
?
x?3?1
或
?
0?x?3?1

?
x?1?(x?3)
2
?
x?1?(x?3)
2
??
解之得：4<
x
≤5
∴原不等式的解集为{
x
|4<
x
≤5}
2
例四 解关于
x
的不等式：
log
a
(4?3x?x)?log
a
(2x?1)?log
a
2,(a?0,a?1)

2
解 ：原不等式可化为
log
a
(4?3x?x)?log
a
2(2x? 1)

1
?
x?
?
2x?1?0
?
21
??
2
当
a
>1时有
?
4?3x?x?0?
?
?1?x?4??x?2

2
?
4?3x?x
2
?2(2x?1)
?
?3?x?2
?
?
?
（其实中间一个不等式可省）
1
?
x?
?
2x?1?0
?
2
??
2
当0<
a
<1时有
?
4?3x? x?0?
?
?1?x?4?2?x?4

?
4?3x?x
2
?2(2x?1)
?
x??3或x?2
?
?
?
1< br>∴当
a
>1时不等式的解集为
?x?2
；
2
当0<
a
<1时不等式的解集为
2?x?4

例五 解关于
x
的不等式
5?log
a
x?1?log
a
x

解：原不等式等价于
?
1?log
a
x?0
?
5 ?log
a
x?0
?
2
Ⅰ：
?
5?log
a
x?(1?log
a
x)
或 Ⅱ：
?

?< br>log
a
x?1?0
?
5?logx?0
a
?
解Ⅰ：
?1?log
a
x?1
解Ⅱ：
log
a
x??1
∴
log
a
x?1

当
a
>1时有0<
x
<
a
当0<
a
<1时有
x
>
a

∴原不等式的解集为{
x
|0<
x
<
a
,
a
>1}或{
x
|
x
>
a
, 0<
a
<1}
例六 解不等式
x
log
a
x
x
4
x
?

a
2
解：两边取以
a
为底的对数：

当0<
a
<1时原不等式化为：
(log
a
x)?
∴
(l og
a
x?4)(2log
a
x?1)?0

2
9
log
a
x?2

2
1
?log
a
x?4
∴
a
4
?x?a

2
9
2
当
a< br>>1时原不等式化为：
(log
a
x)?log
a
x?2
2
∴
(log
a
x?4)(2log
a
x? 1)?0

∴
log
a
x?4或log
a
x?
∴原不等式的解集为
1
4
∴
x?a或0?x?a

2
{x|a
4
?x?a,0?a?1}
或
{x|x?a
4
或0?x?a,a?1}

三、 小结：注意底（单调性）和定义域s
四、 作业： 补充：解下列不等式
1．a
x
2
?2x
?a
x?4
,(a?0且a?1)

(当
a
>1时
x?(??,?1)?(4,??)
当0<
a
<1时
x?(?1,4)
)
2．
log
1
(x?3x?4)?log
1
(2x?10)

33
2
(-2<
x
<1或4<
x
<7)
3．
()
12
x
2
?3
?4
?x
(-1<
x
<3)
1
?22

(?x?1)

2
4．
2
3
x
2
?x?2
2
5．当
0?a?1
，求不等式：
log
a
(log
a
x)?0
(
a
<
x
<1)
6．
a?1,0?b?1
，求证 ：
a
7．
log
a
log
b
(2x?1)
?1

1?x
?0,(a?0,a?1)
(-1<
x
<0)
1?x
2x
8．
a?1
时解关 于
x
的不等式
log
a
[a?2
x
(a
x
?2
x?1
)?1]?0

(a?2,x?log
a
2
；
1?a?2,x?log
a
2
；
a?2,x?
?
)
22
第十七教时
教材：含绝对值的不等式
目的：要求学生掌握和、差的绝对值与绝对值的和、差的性质，并能用来证明有关含绝对值的不等式。
过程：一、复习：绝对值的定义，含有绝对值的不等式的解法

当
a
>0时，
|x|?a??a?x?a

|x|?a?x?a或x ??a
二、定理：
|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|

?|a|?a?|a|
?
证明：∵
?
??(|a|?|b|)?a?b?|a|?|b|

?|b|?b?|b|
?

?|a?b|?|a|?|b|
①
又∵
a
=
a
+
b
-
b
|-
b
|=|
b
|
由①|
a
|=|
a< br>+
b
-
b
|≤|
a
+
b
|+|-< br>b
| 即|
a
|-|
b
|≤|
a
+
b
| ②
综合①②:
|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|

注意：1
2
左边可以“加强”同样成立，即
|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|

这个不等式俗称“三角不等式”——三角形中两边之和大于第三边，两边之差小于第三
边
3
a
,
b
同号时右边取“=”，
a
,
b
异号 时左边取“=”
推论1：
|a
1
?a
2
???a
n
|
≤
|a
1
|?|a
2
|???|a
n
|

推论2：
|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|

证明：在定理中以-
b
代
b
得：
|a|?|?b|?| a?(?b)|?|a|?|?b|

即：
|a|?|b|?|a?b|?|a|?|b|

三、应用举例
例一 至 例三见课本P26-27略
例四 设|
a
|<1, |
b
|<1 求证|
a
+
b
|+|
a
-
b
|<2 证明：当
a
+
b
与
a
-
b
同号时，|
a
+
b
|+|
a
-
b
|=|
a< br>+
b
+
a
-
b
|=2|
a
|<2
当
a
+
b
与
a
-
b
异号时，|< br>a
+
b
|+|
a
-
b
|=|
a+
b
-(
a
-
b
)|=2|
b
|<2
∴|
a
+
b
|+|
a
-
b
|<2
例五 已知
f(x)?1?x
2
当
a
证一：
|f(a)?f(b)|?|
2
b
时 求证：
|f(a)?f(b)|?|a?b|

2
a?1?b?1|?
a
2
?1?b
2
?1
a?1?b?1
22


?
|a
2
?b
2
|
a
2
?1?b
2
?1
?
|(a?b)(a?b)|
a
2
?b
2
?
|a?b||(a?b)|

|a|?|b|

?
(|a|?|b|)|a?b|
?|a?b|

|a|?|b|
证二：（构造法）
如图：
OA?f(a)?1?a
2


OB?f(b)?1?b
2


|AB|?|a?b|

1
O
A B
a
b
由三角形两边之差小于第三边得：
|f(a)?f(b)|?|a?b|

四、小结：“三角不等式”
五、作业：P28 练习和习题6.5
第十八教时
教材：含参数的不等式的解法
目的：在解含有参数的不等式时，要求学生能根据参数的“位置”正确分组讨论，解不等式。
过程：一、课题：含有参数的不等式的解法
二、例一 解关于
x
的不等式
log
解：原不等式等价于
log
a
x?log
x
a

a
x?
(log
a
x?1)(log
a
x?1)
1
?0
即：
log
a
x
log
a
x
∴
log
a
x??1或0?log
a
x?1

若
a
>1
0?x?
若0<
a
<1
x?
1
或1?x?a

a
1
或a?x?1

a
3x
例二 解关于
x
的不等式
2
解：原不等 式可化为
2
即：
(2
2x
4x
?2
x
?m (2
x
?2
?x
)

?(1?m)?2
x
?m?0

?1)(2
2x
?m)?0
s
2x
当
m
>1时
1?2
当
m
=1时
(2
?m
∴
0?x?
1
log
2
m

2
2x
?1)
2
?0
∴
x
2x
φ
当0<
m
<1时
m?2
当
m
≤0时
x
<0
1
?1
∴
log
2
m?x?0

2

例三 解关于
x
的不等式
x
2
?4mx?4m
2
?m?3

解：原不等式等价于
|x?2m|?m?3

当
m?3?0
即
m??3
时
x?2m?m?3或x?2m??(m?3)

∴
x?3m?3或x?m?3

当
m?3?0
即
m??3
时
|x?6|?0
∴
x
当
m?3?0
即
m??3
时
x
例四 解关于
x
的不等式
(cot
?
)< br>解：当
cot
?
?1
即
当
cot
?
?1
即=
(0,
R
6
?x
2
?3x?2
?1,(0?
?
?
?
2
)

?
2
)时
?x?3x?2?0
∴
x
>2或
x
<1
4
?
时
x
φ
4
?
?
2
当
cot
??(0,1)
即(,)时
?x?3x?2?0
∴1<
x
<2
42
例五 满足
3?x?
的集合为
B
1
值范围 3
x?1
的
x
的集合为
A
；满足
x
2
?(a ?1)x?a?0
的
x
若
A
?
B
求
a
的取值范围 2 若
A
?
B
求
a
的取
若
A
∩
B
为仅含一个元素的集合，求
a
的值。
解：
A
=[1,2]
B
={
x|(
x
-
a
)(
x
-1)≤0}
当
a
≤1时
B
=[
a
,1] 当
a
>1时
B
=[1,
a
]
当
a
>2时
A
?
B

当1≤
a
≤2时
A
?
B

当
a
≤1时
A
∩
B
仅含一个元素
例六 方程
asinx?
求
a
的取值范围
解：原不等式可化为
2acosx?cosx?1?0

令：
t?cosx
则
t?[?1,1]

设
f(t)?2at?t?1
又∵
a
>0
2< br>2
11
cosx??a?0,(0?a?1,0?x?
?
)
有 相异两实根，
22
2
?
??1?8a?0
1
?
a ??
?
?
8
f(?1)?2a?0
?
?
??
a?0
?a?1

?
f(1)?2a?2?0
?
?
??
a?1
1
?
?1?
?
a?
1
或a? ?
1
?1
4a
?
?
44
?
?

三、小结
四、作业：
1．
log
1
x?( a?
2
2
1
)log
1
x?1?0

a
2
1
??
11
a
?
当a?1或?1?a?0时( )?x?()
a
?
22
,a??1时x?
?
?

?
1
??
1
a
1
a
?
当0?a? 1或a??1时()a?x?()
?
22
??
2．
A?{x|3?x ?x?1}

B?{x||x?1|?a,a?0}
若
A?B?
?

求
a
的取值范围 (
a
≥1)
3．
a
2
?3x
2
?x?a,(a?0)

(?
4．
x
log
a
x?1
a
?x?0)

2
?a
2
x,(a?0)

2

(当0?a?1时a
2
?x?a
?2
,当a?1时x?a
2
或0?x?a
?2
)

1
2
log
2
a?1?0
有两个
4
?< br>?
5．当
a
在什么范围内方程：
x?(log
2
a? 4)x?
不同的负根
?
(0,)?(4,42)
?

6．若方程
x?(m?2) x?5?m?0
的两根都对于2，求实数
m
的范围
2
?
?
1
4
??
?5,4
?
?

第七章 直线和圆的方程
直线的倾斜角和斜率
一、教学目标
(一)知识教学点
知道一次函数的图象是直线，了解直线方程的概念，掌握直线的倾斜角和斜率的概念以及直线的斜率公式．
(二)能力训练点
通过对研究直线方程的必要性的分析，培养学生分析、提出问题的能力；通 过建立直线上的点与直线的方
程的解的一一对应关系、方程和直线的对应关系，培养学生的知识转化、迁 移能力．

(三)学科渗透点
分析问题、提出问题的思维品质，事物之间相互联系、互相转化的辩证唯物主义思想．
二、教材分析
1．重点：通过对一次函数的研究，学生对直线的方程已有所了解，要对进一步 研究直线方程的内容进行
介绍，以激发学生学习这一部分知识的兴趣；直线的倾斜角和斜率是反映直线相 对于x轴正方向的倾斜程度的，
是研究两条直线位置关系的重要依据，要正确理解概念；斜率公式要在熟 练运用上多下功夫．
2．难点：一次函数与其图象的对应关系、直线方程与直线的对应关系是难点．由 于以后还要专门研究曲
线与方程，对这一点只需一般介绍就可以了．
3．疑点：是否有继续研究直线方程的必要？
三、活动设计
启发、思考、问答、讨论、练习．
四、教学过程
(一)复习一次函数及其图象
已知一次函数y=2x+1，试判断点A(1，2)和点B(2，1)是否在函数图象上．
初中我们是这样解答的：
∵A(1，2)的坐标满足函数式，
∴点A在函数图象上．
∵B(2，1)的坐标不满足函数式，
∴点B不在函数图象上．
现在我们问：这样解答的理论依据是什么？(这个问题是本课的难点 ，要给足够的时间让学生思考、体会．)
讨论作答：判断点A在函数图象上的理论依据是：满足函数关 系式的点都在函数的图象上；判断点B不在
函数图象上的理论依据是：函数图象上的点的坐标应满足函数 关系式．简言之，就是函数图象上的点与满足函
数式的有序数对具有一一对应关系．
(二)直线的方程
引导学生思考：直角坐标平面内，一次函数的图象都是直线吗？直线都是一次函数的图象吗？
一次函数的图象是直线，直线不一定是一次函数的图象，如直线x=a连函数都不是．

一次函数y=kx+b，x=a都可以看作二元一次方程，这个方程的解和它所表示的直线上的点一一对 应．
以一个方程的解为坐标的点都是某条直线上的点；反之，这条直线上的点的坐标都是这个方程的解 ．这时，
这个方程就叫做这条直线的方程；这条直线就叫做这个方程的直线．
上面的定义可简 言之：(方程)有一个解(直线上)就有一个点；(直线上)有一个点(方程)就有一个解，即方
程的解 与直线上的点是一一对应的．
显然，直线的方程是比一次函数包含对象更广泛的一个概念．
(三)进一步研究直线方程的必要性
通过研究一次函数，我们对直线的方程已有了一些了解， 但有些问题还没有完全解决，如y=kx+b中k的
几何含意、已知直线上一点和直线的方向怎样求直线 的方程、怎样通过直线的方程来研究两条直线的位置关系
等都有待于我们继续研究．
(四)直线的倾斜角
一条直线l向上的方向与x轴的正方向所成的最小正角，叫做这条直线的 倾斜角，如图1-21中的α．特
别地，当直线l和x轴平行时，我们规定它的倾斜角为0°，因此，倾 斜角的取值范围是0°≤α＜180°．

直线倾斜角角的定义有下面三个要点：(1)以x 轴正向作为参考方向(始边)；(2)直线向上的方向作为终边；
(3)最小正角．
按照这个定义不难看出：直线与倾角是多对一的映射关系．
(五)直线的斜率
倾斜角不是90°的直线．它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率．直线的斜率常用k表示，即

直线与斜率之间的对应不是映射，因为垂直于x轴的直线没有斜率．
(六)过两点的直线的斜率公式
在坐标平面上，已知两点P1(x1，y1)、P2(x2， y2)，由于两点可以确定一条直线，直线P1P2就是确定的．当
x1≠x2时，直线的倾角不等于9 0°时，这条直线的斜率也是确定的．怎样用P2和P1的坐标来表示这条直线的
斜率？

P2分别向x轴作垂线P1M1、P2M2，再作P1Q⊥P2M，垂足分别是M1、M2、Q．那么：
α=∠QP1P2(图1-22甲)或α=π-∠P2P1Q(图1-22乙)



综上所述，我们得到经过点P1(x1，y1)、P2(x2，y2)两点的直线的斜率公式：

对于上面的斜率公式要注意下面四点：(1)当x1=x2时，公式右边无意 义，直线的斜率不存在，倾斜角为
90°；(2)k与P1、P2的顺序无关；(3)以后求斜率可不通 过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；(4)求直
线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到．
(七)例题
例1 如图1-23，直线l1的倾斜角α1=30°，直线l2⊥l1，求l1、l2的斜率．


∵l2的倾斜角α2=90°+30°=120°，

本例题是用来复习巩固直线的倾斜角和斜率以及它们之间的关系的，可由学生课堂练习，学生演板．
例2 求经过A(-2，0)、B(-5，3)两点的直线的斜率和倾斜角．

∴tgα=-1．
∵0°≤α＜180°，

∴α=135°．
因此，这条直线的斜率是-1，倾斜角是135°．
讲此例题时，要进一步强调k与P1P2 的顺序无关，直线的斜率和倾斜角可通过直线上的两点的坐标求得．
(八)课后小结
(1)直线的方程的倾斜角的概念．
(2)直线的倾斜角和斜率的概念．
(3)直线的斜率公式．
五、布置作业
1．(1.3练习第1题)在坐标平面上，画出下列方程的直线：
(1)y=x
(2)2x+3y=6
(3)2x+3y+6=0
(4)2x-3y+6=0
作图要点：利用两点确定一条直线，找出方程的两个特解，以这两个特解为坐标描点连线即可．
2．(1.4练习第2题)求经过下列每两个点的直线的斜率和倾斜角：
(1)C(10，8)，D(4，-4)；

解：(1)k=2 α=arctg2．

(3)k=1，α=45°．
3．(1.4练习第3题)已 知：a、b、c是两两不相等的实数，求经过下列每两个点的直线的倾斜角：(1)A(a，
c)，(b ，c)；(2)C(a，b)，D(a，c)；(3)P(b，b+c)，Q(a，c+a)．

解：(1)α=0°；(2)α=90°；(3)α=45°．
4．已知三点A(a，2)、B(3，7)、C(-2，-9a)在一条直线上，求实数a的值．

∵A、B、C三点在一条直线上，
∴kAB=kAC．



直线方程的点斜式、斜截式、两点式和截距式

一、教学目标
(一)知识教学点
在直角坐标平面内，已知直线上一点和直线的斜率或已知直线上两点，会求 直线的方程；给出直线的点斜
式方程，能观察直线的斜率和直线经过的定点；能化直线方程成截距式，并 利用直线的截距式作直线．
(二)能力训练点
通过直线的点斜式方程向斜截式方程的过渡、 两点式方程向截距式方程的过渡，训练学生由一般到特殊的
处理问题方法；通过直线的方程特征观察直线 的位置特征，培养学生的数形结合能力．
(三)学科渗透点
通过直线方程的几种形式培养学生的美学意识．
二、教材分析
1．重点：由于斜截 式方程是点斜式方程的特殊情况，截距式方程是两点式方程的特殊情况，教学重点应
放在推导直线的斜截 式方程和两点式方程上．
2．难点：在推导出直线的点斜式方程后，说明得到的就是直线的方程，即直 线上每个点的坐标都是方程
的解；反过来，以这个方程的解为坐标的点在直线上．

的坐标不满足这个方程，但化为y-y1=k(x-x1)后，点P1的坐标满足方程．
三、活动设计
分析、启发、诱导、讲练结合．
四、教学过程
(一)点斜式
已知直线l的斜率是k，并且经过点P1(x1，y1)，直线是确定的，也就 是可求的，怎样求直线l的方程(图
1-24)？

设点P(x，y)是直线l上不同于P1的任意一点，根据经过两点的斜率公式得

注意方程(1)与方程(2)的差异：点P1的坐标不满足方程(1)而满足方程(2)，因此，点P1不在方程 (1)表
示的图形上而在方程(2)表示的图形上，方程(1)不能称作直线l的方程．
重复 上面的过程，可以证明直线上每个点的坐标都是这个方程的解；对上面的过程逆推，可以证明以这个
方程 的解为坐标的点都在直线l上，所以这个方程就是过点P1、斜率为k的直线l的方程．
这个方程是由直线上一点和直线的斜率确定的，叫做直线方程的点斜式．
当直线的斜率为0°时(图1-25)，k=0，直线的方程是y=y1．

当直线的斜率为90°时(图1-26)，直线的斜率不存在，它的方程不能用点斜式表示．但因l上每 一点的
横坐标都等于x1，所以它的方程是x=x1．

(二)斜截式
已知直线l在y轴上的截距为b，斜率为b，求直线的方程．
这个问题，相当于给出了直线上 一点(0，b)及直线的斜率k，求直线的方程，是点斜式方程的特殊情况，
代入点斜式方程可得：
y-b=k(x-0)
也就是

上面的方程叫做直线的斜截式方程．为什 么叫斜截式方程？因为它是由直线的斜率和它在y轴上的截距确
定的．
当k≠0时，斜截式方 程就是直线的表示形式，这样一次函数中k和b的几何意义就是分别表示直线的斜
率和在y轴上的截距．