高中数学竞赛讲义-高斯函数

§28高斯函数
数论函数
y?[x]
，称为高斯函数，又称取整函数. 它是数学竞赛热点之一. < br>定义一：对任意实数
x,[x]
是不超过
x
的最大整数，称
[ x]
为
x
的整数部分.与它相伴随的
是小数部分函数
y?{x},{ x}?x?[x].

由
[x]
、
{x}
的定义不难得到如下性质：
（1）y?[x]
的定义域为R，值域为Z；
y?{x}
的定义域为R，值域为
[0,1)

（2）对任意实数
x
，都有
x?[x]?{x},且0 ?{x}?1
.
（3）对任意实数
x
，都有
[x]?x?[x]? 1,x?1?[x]?x
.
（4）
y?[x]
是不减函数，即若
x
1
?x
2
则
[x
1
]?[x
2
]
，其图像如图I －4－5－1；
y?{x}
是以1为周期的周期函数，如图I －4－5－2.










图Ⅰ—4—5—1 图Ⅰ—4—5—2
（5）
[x?n]?n?[x];{x?n}?{x}
.其中x?R,n?N
.
（6）
[x?y]?[x]?[y];{x{x}?{y}? {x?y};[
?

?
x]?
?
[x],x
ii< br>i?1i?1
nn
i
?R
；特别地，
[
naa
]?n[].

bb
（7）
[xy]?[ x]?[y]
，其中
x,y?R
?
；一般有
[
?
x ]?
?
[x],x
ii
i?1
i?1
n
n
i
?R
?
；特别地，
[
n
x]
n
?[x],x?R?,n?N
?
. < br>（8）
[]?[
x
n
[x]
]
，其中
x?R ?,n?N
?
.
n

例题讲解
1．求证：
2
n?1
n!?n?2
k?1
,
其中k为某一自然数.






n?2
k
2．对任意的
n?N,计算和S?
?
[
k?1
].

2
K?0
?
?






3．计算和式
S?






4．设M为一正整数，问方程
x?[x]?{x}
，在[1，M]中有多少个解？






5．求方程
4x?40[x]?51?0的实数解.






2
222
?
[
n?0
502
305n
]的值.

503

6．
x?R?,n?N,
证明
:[nx]?








?
[x][2x][3x][nx]
???
?
?.

123n
7．对自然数n及一切自然数x，求证：
12n?1
[x]?[x?]?[x?]???[x?]?[nx].
.
nnn









10
20000
]
的个位数字 8．求出
[
100
10?3

例题答案：
1．证明：2为质数，n!中含2的方次数为
?
2(n!)?
?
[
t?1
n
].
t
2
?
k?t?1
若
n?2
k?1
,则2(n !)?
?
[2
t?1
]?
?
[2
k?t?1
]?1?2?2
2
???2
k?2
?2
k?1
?1?n? 1

t?1
k?1
故
2
n?1
|n!.

反之，若n不等于2的某个非负整数次幕，可设n=2
s
p，其中p>1为奇数，这时 总可以找
出整数t，使
2
t
?
2
s
p?
2
t?1
,
于是n
!
中所含
2
的方次数为
2 (
n
!)
?
[2
s?1
p
]
?
[ 2
s?2
p
]
?
?
?

[2
s? t
p]
?
0
?
?
?
[(2
s?1
?2
s?2
???2
s?t
)p]?[2
s?t
(2
t
?1)p]?[2
s
p?2
s?t
p]?n?[?2
s ?t
p].

n!.这与已知由于
1?2
s?t
p?2,则 [?2
s?t
]??2,故n!中含2的方次数2(n!)?n?2,则2
n?1矛盾，故必要性得证.
2．解：因
[
n?2n1
]?[?]
对 一切k=0,1,…成立，因此，
2
k?1
2
k?1
2
n 1nn
[
k?1
?]?[2?
k?1
]?[
k?1
].

2
222
又因为n为固定数，当k适当大
?
nnn n
时,
k
?1,
从而
[
k
]?0,
故S?
?
([
k
]?[
k?1
])?
?
?n.

222
K?0
2
3．解：显然有：若
{x}?{y }?1,则[x?y]?[x]?[y]?1,x,y?R.

305n
305(50 3?n)
503是一个质数，因此，对n=1,2,…,502,
305n
都不会是整数，但+
?305,

503
503< br>503
可见此式左端的两数的小数部分之和等于1，于是，[
502
305n3 05(503?n)
]?304.
故 ]+
[
503503
251< br>305n305n305(503?n)
S?
?
[]?
?
([ ]?[]),?304?251?76304.

503503503
n?1n?1< br>4．解：显然x=M是一个解,下面考察在[1，M]中有少个解.
设x是方程的解.将
x?[x]?2{x}?{x}?{x}
代入原方程，化简得
2[x]{x}?
< br>222
[2[x]{x}?{x}
2
].由于0?{x}?1,
所以上 式成立的充要条件是2[x]{x}为一个整数.

设[x]?m?N,则必有{x}?
k
(k?0,1,
?
,2m?1),即在[m,m?1)中方程有2m个解.
2m
又由于1?m?M?1,可知在[1,M)中方程有2(1?2?
?
?( M?1))?M?(M?1)个解.

因此,原方程在[1,M]中有M(M?1)?1个解.
5．解：
因[x]?x?[x]?1,又[x]?0不是解.

2
?
?
4([x]?1)?40[x]?51?0,
?
?
2
?< br>?
4[x]?4[x]?51?0.

?
(2[x]?5)(2[x] ?11)?0.
?
?
(2[x]?3)(2[x]?7?0.
511
??
[x]?,[x]?,
??
22
??
33
??
?
[x]?,或
?
[x]?,
22
??
17
?17
?
[x]?;[x]?.
??
2
?
2
?< br>解得[x]?2或[x]?6或7或8,分别代入方程得:
29
;
2
1 89
4x
2
?189?0,x?;
2
229
4x
2
?229?0,x?;
2
269
4x
2
?269?0,x? .
2
4x
2
?29?0,x?

经检验知，这四个值都是原方程的解.
6．这道题的原解答要极为复杂，现用数学归纳法证明如下.
【证明】
令A
k
?[x]?
[2x][kx]
???,k?1,2,?.

2k
由于
A
1
?[x],则n?1时,命题成立.

设n?k?1时命题成立,即有A
1
?[x],A
2
?[2 x],
?
,A
k?1
?[(k?1)x].因为,
[kx]
,即kA
k
?kA
k?1
?[kx]对一切k成立,所以kA
k?kA
k?1
?[kx],(k?1)
k
A
k?1
?( k?1)A
k?2
?[(k?1)x],
?
,2A
2
?2A
1
?[2x],A
1
?[x].相加得:
A
k
?A
k?1
?
kA
k
?(A
1
?A
2
?
?
?A
k?1
)?[x]?[2x]?
?
?[(k?1) x]?[kx]
故kA
k
?[x]?[2x]?
?
?[(k?1)x ]?[kx]?A
k?1
?A
k?2
?
?
?A
2< br>?A
1
?[x]?[2x]?
?
?[(k?1)x]?[kx]?[( k?1)x]?[(k?2)x]?
?
?[2x]?[x]
?([x]?[(k?1) x]?([2x]?[(k?2)x])?
?
?([(k?1)x]?[x])?[kx]?[ kx]?[kx]?
?
[kx]?[kx]
?k[kx]
?A
k?[kx],即n?k时,命题成立,故原不等式对一切n?N
?
均成立,证毕.

7．解：M＝|f(x)|
a
max
＝max{|f⑴|，|f(－1)|， |f(－
2
)|}
⑴若|－
a
2
|≥1 (对称轴不在定义域内部)
则M＝max{|f⑴|，|f(－1)|}
而f⑴＝1＋a＋b
f(－1)＝1－a＋b
|f⑴|＋|f(－1)|≥|f⑴＋f(－1)|＝2|a|≥4
则|f⑴|和|f(－1)|中至少有一个不小于2
∴ M≥2＞
1
2

⑵|－
a
2
|＜1
M＝max{|f⑴|，|f(－1)|，|f(－
a
2
)|}
＝max{|1＋a＋b|，|1－a＋b|，|－
a
2

4
＋b|}
＝max{|1＋a＋b|，|1－a＋b|，|－
a
2
a
2
4
＋b|，|－
4
＋b|}
1
a
2
≥
4
(|1＋a＋b|＋|1－a＋b|＋|－
a
2< br>
4
＋b|＋|－
4
＋b|)
≥
1
4[(1＋a＋b)＋(1－a＋b)－(－
a
2
4
＋b)－(－
a
2

4
＋b)]
1a
2
＝
4
(2?
2
)

≥
1
2

综上所述，原命题正确.
10
20000
8．先找出
10
100
?3
的整数部分与分数部分.