2017年浙江省高中数学竞赛(带答案)

6
??
13?1
?
?
?
4,??
?
。
答案：
?
??,
13
??
????
O
解析：将向量
b,c
的起点平移至原点，再以
b,c
分别为
x,y
轴正向建立平面直角坐标系，
则向量
?
b?
?
1?< br>?
?
c
对应的点坐标为
P
?
2
?
, 3
?
1?
?
?
?
。
于是
OP?13?
2
?18
?
?9
，
OP
min
?< br>613

13
而
a?
?
b?
?
1?
?
?
c
表示的是点
P
到单位圆周上的距离
d
，则
d
的最大值为
4
，最小值为
6
6
??
13?1
?
?
?
4,??
?
。
13?1
，因此所有取不到的值得集合为
?
??,
13
13
??

?
?2x,x?0
10．已知
f
?
x
?
?
?
2
，方程
f
?
x
?
?21?x
2
?f
?
x
?
?21?x
2
?2ax?4?0有三个实
?
x?1,x?0
根
x
1
?x
2?x
3
，若
x
3
?x
2
?2
?
x
2
?x
1
?
，则实数
a?
______．
答案：
17?3
。
2
解析：设
g
?
x< br>?
?21?x
2
，定义域为
?1≤x≤1
，
max
?
f
?
x
?
,g
?
x
?
?
?
1
f
?
x
?
?g
?
x
?
?f
?
x
?
?g
?
x
?
< br>2
??
方程可变形为
max
?
f
?
x
?
,g
?
x
?
?
?ax?2

?
?
2
?
?2x,x??1,?
?
??
2
?
2
??
由
?2x≥21?x
2
得
x≤?
，从而有
max
?
f
?
x
?
,g
?
x?
?
?
?
，于是
2
?
2
?
?
2
21?x,x?,1
??
?
?
2
??
?
?2x?ax?2?x??
2
?
2
?
0≤a≤22?2< br>，
?1≤x≤?
??
?
，可得
a?2
?
2
??
21?x
2
?ax?2?x?0
，
x??
4a
，由于
x
1
?x
2
?x
3
，
x< br>3
?2
2
?2
?
x
2
?x
1
?
，可得
2x
1
?3x
2
，
2
a?4< br>17?3
412a
，有
a?
。
?
2
2a?2a?4
二、解答题：本大题共5个小题，满分120分，将答案填在答题纸上）
即
11.设
f
1
(x)?
的实数解．
x
2
?32
，
f
n?1
(x)?x
2
?
16
．对每个
n
，求
f
n
(x)
?3x
fn
(x)
，
n?1,2?
，
3
11.证明：利用数学归 纳法．

（1）
x?2
是
f
n
(x)?3x
的解．
当
n?1
时，
x?2
是
f
1< br>(x)?x
2
?32
?3x
的解.
当
n?k
时，设
f
k
(2)?6
，则
f
k?1
(2)?4 ?
16
f
k
(2)?6
.
3
由此可得
x ?2
是
f
n
(x)?3x
的解（对于所有的
n
）.
3
2
x
．
2
3
22
当
n?1< br>时，
f
1
(x)?x?32?3x?x(x?2)
．
2（2）当
x?2
时，
f
n
(x)?3x?
当
n ?k
时，设
f
k
(x)?3x?
3
2
16
x
，则
f
k?1
(x)?x
2
?f
k
(x )?x
2
?8x
2
?3x
．
2
3
由此可 得
x?2
都不是
f
n
(x)?3x
的解（对于所有的
n
）．
（3）当
0?x?2
时，
f
n
(x)?3x
． < br>当
n?1
时，
f
1
(x)?x
2
?32?x
2
?8x
2
?3x
（
0?x?2
）.
当
n?k
时，设
f
k
(x)?3x
，则
f
k ?1
(x)?x
2
?
16
f
k
(x)?x
2
?1?3x
．
3
由此可得
0?x?2
都不是
f
n
(x)?3x
的解（对于所有的
n
）．
因此，对每个< br>n
，
f
n
(x)?3x
的实数解为
x?2
．
x
2
y
2
??1
的右焦点为
F
，过
F
的直线
y?k(x?2)
交椭圆于
P
，
Q
两点 12.已知椭圆
62
(k?0)
．若
PQ
的中点为原点，直线
ON
交直线
x?3
于
M
．
（1）求
?MFQ
的大小；
（2）求
PQ
的最大值． < br>MF
?
x
2
y
2
?1,
?
?
2222
12.解：（1）联立
?
6
可得
(3k?1)x?12k x?12k?6?0
．
2
?
y?k(x?2),
?
设P
点的坐标为
(x
p
,y
p
)
，
Q< br>点的坐标为
(x
q
,y
q
)
，

12k
2
12k
2
?6
则
x
p
?x< br>q
?
2
，
x
p
x
q
?
．
3k
2
?1
3k?1
于是有
y
p
?yq
?k(x
p
?x
q
)?4k?
?4k
．
2
3k?1
1
6k
2
?2k
,
2
)
，因此
ON
的斜率
k
ON
??
， 因为
PQ
的中点为
N
，所以
N(
2
3k
3k?13k? 1
因为直线
ON
交直线
x?3
于
M
，所以
M(3,?)
，故
MF
的斜率为
k
MF
??
即得< br>k
MF
?k
PQ
??1
，因此
MF
与
PQ
垂直，
?MFQ?
1
k
1
，
k
?
2
．
222
PQ
2
(x
p
?x
q
)?k(x
p
?x
q
)
2
(x?x)?4x
p
x
q
?
)??k
2
(x
p
?x
q
)
2
?k
2
?
（2）
I?(

pq
??
1
MF
1?
2
k
?
144k
4
k
2
?1
2k
2
?1?
2
．
?k
?
2
?24
2
?
?24k
22
2
(3k?1)
3k?1
??
(3k?1)
2
2
令
u?3k?1
，则
I?8
(u?1)(u? 2)
1611116
?
11
2
9
?
??(??)? ?(?)?
?
，
3u
2
3u
2
2u23
?
16
??
u4
1
?1
.
u
由于< br>u?3k?1?1
，故
0?
2
因此
I
max
?3
（当
u?4
时取到最大值，也即
k??1
）．
综上所述，
PQ
的最大值为
3
．
MF
13.设数 列
?
a
n
?
满足：
|a
n?1
?2an
|?2
，
|a
n
|?2
，
n?1,2,3, ?
．
证明：如果
a
1
为有理数，则从某项后
?
a
n
?
为周期数列．
13.证明：（1）若
a
1
为 有理数，则
?
a
n
?
为一个有理数数列．
（2）对于任意 的
n
，设
a
n
?
y
，
(y,x)?1，由已知条件，有且仅有下述一个等式成立：
x
2y?2x2y?2x
a
n?1
?2a
n
?2?
或
a
n?1
?2a
n
?2?
． (*)
xx
．
a
n
与
a
n?1
有相同的分母（不进行约分）
（3）设
a
1
?b
q
，
(p,q)?1
，则
a
n
?
n
，
b
n
为整数，由于
|a
n
|?2
，n?
1，2,3，…，因
pp
此
?2p?b
n
?2p< br>．

（4）若存在两个自然数
k?l
，使得
a
k
?a
l
，则由（2）中得到的（*）递推公式以及
|a
n
|?2
，
n?
1,2,3，…，可得
?
a
n
?从第
k
项开始是一个周期数列，周期为
l?k
．
（5）由（3 ）可知对于任意的
n
，（有限个），故总能找到
k?l
，使得
bk
?b
l
，
b
n
的值只有
4p?1
从 而有
a
k
?a
l
．
综上所述，如果
a
1
为有理数，则从某项后
?
a
n
?
为周期数列．

14.设
a
1
，
a
2
，
a
3；
b
1
，
b
2
，
b
3
?Z< br>?
，证明：存在不全为零的数
?
1
，
?
2
，
?
3
?
?
0,1,2
?
，
使得
?
1
a
1
?
?
2
a
2
?
?
3
a
3
和
?
1
b
1
?
?
2
b
2
?
?
3
b
3
同时被
3
整除．
14.证明：不妨设
a
i
?k
k
(m od3)
，
b
i
?l
i
(mod3)
，
k
i
，
l
i
?
?
0,1,2
?
，< br>i?1,2,3
．则要证明
结论正确，只要证明存在不全为零的数
?
1
，
?
2
，
?
3
?
?
0,1,2< br>?
，使得
?
1
k
1
?
?
2
k
2
?
?
3
k
3
?
?
1
l
1
?
?
2
l
2
?
?
3
l
3
(mod3)?0(mod3)
．(*)
记
k
1l
2
?k
2
l
1
?c(mod3)
，这里c?
?
0,1,2
?
．
情形（1）当
c?0
时，则
k
1
?l
1
?0
，或者
k
1
，
l
1
不全为零．
若
k
1
?l
1?0
，则取
?
1
?1
，
?
2
?
?
3
?0
，有（*）式成立．
若
k
1
，
l
1
不全为零，不妨设
k
1
?0
，则取
?
1
?k
2
,
?
2
??k
1
,
?
3
?0
,且
?
?
1
k
1
??
2
k
2
?
?
3
k
3
?k< br>2
k
1
?k
1
k
2
?0(mod3),即(*)式.
?
?
?
1
l
1
?
?< br>2
l
2
?
?
3
l
3
?k
2
l
1
?k
1
l
2
?0(mod3),
情形 （2）当
c?1
或2时，即
c?1(mod3)
．
记
c( k
2
l
3
?k
3
l
2
)?c
1< br>(mod3)
，
c(k
3
l
1
?k
1
l
3
)?c
2
(mod3)
，这里
c
1
，
c
2
?
?
0,1,2
?
．
令
?
1
?c
1
，
?
2
?c
2
，?
3
?1
，则
?
1
，
?
2
，
?
3
?
?
0,1,2
?
且不全为零，且
2
?
1
k
1
?
?
2
k
2
?
?
3
k
3
?c
1
k
1
?c
2
k
2
?k
3
?c(k
2
l
3
?k
3
l
2
)k
1
?c(k
3
l
1
?k
1
l
3
)k
2
?k
3
(m od3)
?ck
3
(k
2
l
1
?k
1l
2
)?k
3
(mod3)
?(1?c
2
)k
3
(mod3)?0(mod3)
，
类似可以证明
?
1< br>l
1
?
?
2
l
2
?
?
3< br>l
3
?0(mod3)
．

综上所述，可以取到不全为 零的数
?
1
，
?
2
，
?
3
??
0,1,2
?
，使得（*）式成立．
15.设
?
?
?
a
1
,a
2
,…,a
n
?
为< br>?
1,2,…,n
?
的一个排列，记
F(
?
)??
aa
i?1
n
ii?1
，
a
n?1
?a
1
，求
minF(
?
)
．
15.解：问题等 价于圆周上放置
n
个数，使得相邻数的乘积之和为最小，最小值记为
T
n．
不妨设
a
1
?n
，则数字1必与它相邻，否则设
a
j
?1
（
j?2
，
n
），则可将
a
2
，
a
3
，…，
a
j
的数字改变为
a< br>j
，
a
j?1
，…，
a
2
上的数字，则相邻 数的乘积和的该变量为
a
1
a
j
?a
2
a
j?1
?a
1
a
2
?a
j
a
j?1?(a
1
?a
j?1
)(a
j
?a
2
)?0
．
于是可确定
a
2
?1
．再说明数字2也必与数字
n
相邻，即
a
n
?2
．
事实上，若
a< br>j
?2
（
j?n
），则交换
a
n
，
a
n?1
，…，
a
j
为
a
j
，
a
j?1
，…，
a
n
，此时的目
标改变值为
a1
a
j
?a
n
a
j?1
?a
1
a
n
?a
j
a
j?1
?(a
1
?aj?1
)(a
j
?a
n
)?0
．
因此目标 取到最小值时，
a
1
?n
，
a
2
?1
，< br>a
n
?2
．由此出发，依次可得
a
3
?n?1
，
a
n?1
?n?2
． 在已安排好的两端数字，若剩下的数比两端数字都 小，则在剩下的数中找
两个最小的数字，按小对大，大对小放置；若剩下的数比两端数字大，则在剩下的 数字中找
两个最大的数，按大对小，小对大放置．由此规律即得
a
4
?3，
a
n?2
?4
，
a
5
?n?3
，< br>a
n?3
?n?4
，…．
下面用递推法计算
T
n
．
考虑
n?2
个数字， 我们在
T
n
的数字排序中，将每个数字加1，再放置1，
n?2
这两 个数字，
在
2
，
n?1
的中间插入
n?2
，1，即 可得到
T
n?2
．
因此，
T
n?2
?T
n
'?(n?1)?(n?2)?2(n?2)?2(n?1)
，
其中
T< br>n
'?
?
(a?1)(a
i
i?1
n
i?1
?1)?T
n
?n(n?2)
，
由此可得
T
n?2
?T
n
?n?4n?5
， 2

?
1
3
1
2
5
n?n?n? 1,n?2m,
?
?
626
可以推出
T
n
?
?

?
1
n
3
?
1
n
2
?
5
n?
1
,n?2m?1.
?
262
?
6