全国各省省高中数学竞赛试题及参考答案汇编

1111n?2n
故
b
3
?,b
4
?
. 因此当
n?3
时，均有
b
n
?[,]
，故
a
n
?(n?2)b
n
??
，证毕.
5995910

证法2：
n + 2
证明：用归纳法证明加强命题：a
n
≥
10
?n ≥ 3?．
1? 当n = 3, 4时，
526
a
3
= 1 ≥
10
, a
4
=
3
≥
10
．
结论成立．

2? 假设当n－1时结论成立，当n + 1时，
2


a
n + 1
=
n
?a
0
+ a
1
+ … + a
n
－
1
?
2
=
n
?1 + a
3
+ a
4
+ … + a
n
－
1
?
256n + 1
>
n
?1 +
10
+
10
+ … +
10
?
?n + 6??n－3?
2
=
n
?1 + ?
20
2n
2
+ 3n + 2
=
n

20
n + 3
>
10
．
所以结论对n + 1时亦成立．
n + 2
由归纳法原理及1?, 2? 可知 a
n
≥
10
?n ≥ 3? 成立．
n + 2n
因此a
n
≥
10
>
10
?n ≥ 3? 成立．
从而本题得证．
全国高中数学联赛江苏赛区初赛题
一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上）
1． 复数
(1?i)
4
?(1?i)
4
?
．
2． 已知直线
x?my?1?0
是圆
C:x
2
?y< br>2
?4x?4y?5?0
的一条对称轴，则实数
m?
.
3． 某班共有30名学生，若随机抽查两位学生的作业，则班长或团支书的作业被抽中的概率
是 （结果用最简分数表示）．
1
4． 已知
co s4
?
?
，则
sin
4
?
?cos
4?
?
．
5
5． 已知向量a，b满足< br>a?b?2,?a,b??
π
，则以向量
2a?b
与
3a?b
表示的有向线段
3

为邻边的平行四边形的面积为 ．
6． 设数列{a
n
}的前n项和为S
n
．若{S
n< br>}是首项及公比都为2的等比数列，则数列{a
n
3
}的前
n项和等于 ．
7． 设函数
f(x)?x
2< br>?2
．若f(a)＝f(b)，且0＜a＜b，则ab的取值范围是 ．
8． 设f(m)为数列{a
n
}中小于m的项的个数，其中
a
n< br>?n
2
,n?N*
，
则
f[f(2011)]?
．
9． 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为4的正三棱柱的三条侧棱上，则此直角三角
形的斜边长是 ．
10．已知m是正整数，且方程
2 x?m10?x?m?10?0
有整数解，则m所有可能的值
是 ．
二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）
11．已知圆
x2
?y
2
?1
与抛物线
y?x
2
?h
有公共点，求实数h的取值范围．
12．设
f(x)?x
2
?bx?c(b ,c?R)
．若
x≥2
时，
f(x)≥0
，且
f(x)在区间
?
2,3
?
上的最大值为
1，求
b
2
?c
2
的最大值和最小值．
13．如图，P是
VABC
内一点．
1
（1）若P是
VA BC
的内心，证明：
?BPC?90
o
??BAC
；
2< br>11
（2）若
?BPC?90
o
??BAC
且
?AP C?90
o
??ABC
，证明：P是
VABC
的内心．
22

14．已知
?
是实数，且存在正整数n
0
， 使得
n
0
?
?
为正有理数．
证明：存在无穷多个正整数n，使得
n?
?
为有理数．

全国高中数学联赛江苏赛区初赛题 答案及点评
一、填空题（本题共10小题，满分70分，每小题7分．要求直接将答案写在横线上）
1． 复数
(1?i)
4
?(1?i)
4
?
．答案：－8
2． 已知直线
x?my?1?0
是圆
C:x
2?y
2
?4x?4y?5?0
的一条对称轴，则实数
3

2
3． 某班共有30名学生，若随机抽查两位学生的作业，则班长或团支书的作业被抽中的概率
m?
.答案：
?
是 （结果用最简分数表示）．答案：
19

145
4
1
4． 已知
cos4
?
?
，则
sin
4
?
?co s
4
?
?
．答案：
5
5

5． 已知向量a，b满足
a?b?2,?a,b??< br>π
，则以向量
2a?b
与
3a?b
表示的有向线段
3
为邻边的平行四边形的面积为 ．答案：
103

6． 设数列{a
n
}的前n项和为S
n
．若{S
n
}是首项及公比都为2的等比数列，则数列{a
n
3}的前
n项和等于 ．
1
答案：
(8
n
?48)
7． 设函数
f(x)? x
2
?2
．若f(a)＝f(b)，且0＜a＜b，则ab的取值范围
7是 ．答案：(0,2)
8． 设f(m)为数列{a
n
}中小于m的项的个数，其中
a
n
?n
2
,n?N*
，
则
f[f(2011)]?
．答案：6
9． 一个等腰直角三角形的顶点分别在底边长为4的正三棱柱的三条侧棱上，则此直角三角
形的斜边长是 ．答案：43
10．已知m是正整数，且方程
2x?m10?x?m?10?0
有整 数解，则m所有可能的值
是 ．答案：3,14,30
二、解答题（本大题共4小题，每小题20分，共80分）
11．已知圆
x
2
?y
2
?1
与抛物线
y?x
2
?h
有公 共点，求实数h的取值范围．
解：设公共点（cosθ，sinθ），代入抛物线方程，
1 5
得
h?sin
?
?cos
2
?
?sin
2
?
?sin
?
?1?(sin
?
?)
2
?

24
?
5
?
因为
sin
?
?
?
?1,1
?
，所以
h?
?
?,1
?
?
4
?
12．设
f(x)?x
2
?bx?c (b,c?R)
．若
x≥2
时，
f(x)≥0
，且
f(x)
在区间
?
2,3
?
上的最大值为
1，求
b
2
?c
2
的最大值和最小值．
解：由题 意函数图象为开口向上的抛物线，且
f(x)
在区间
?
2,3
?上的最大值只能在闭端点取得，
故有
f(2)≤f(3)?1
，从而
b ≥?5
且
c??3b?8
．
若
f(x)?0
有实根，则
??b
2
?4c≥0
，
4
?
?
b≤?,
?
?
f(?2)≥0,
?
4?2b?c≥0,
5
?
?
?
在区间
?
? 2,2
?
有
?
f(2)≥0,
即
?
4?2b?c≥ 0,
消去c，解出
?
b≤?4,

?
?
?4≤b≤ 4,
?
?4≤b≤4,
b
?
?
?2≤≤2,
??2
?
即
b??4
，这时
c?4
，且
??0< br>．
若
f(x)?0
无实根，则
??b
2
?4c?0
，将
c??3b?8
代入解得
?8?b??4
．
综上
?5≤b≤?4
．
所以b
2
?c
2
?b
2
?(?3b?8)
2
?10b
2
?48b?64，单 调递减

故
(b
2
?c
2
)
min
?32,(b
2
?c
2
)
max
?74
．
13．如图，P是
VABC
内一点．
1
（1）若P是
VA BC
的内心，证明：
?BPC?90
o
??BAC
；
2< br>11
（2）若
?BPC?90
o
??BAC
且
?AP C?90
o
??ABC
，证明：P是
VABC
的内心．
2 2
证明：（1）
111
?BPC?180
o
?(?ABC??ACB )?180
o
?(180
o
??BAC)?90
o
??BA C
222
A
P
B C

14．已知
?
是实数，且存在正整数n
0
，使得
n
0
?
?
为正 有理数．
证明：存在无穷多个正整数n，使得
n?
?
为有理数．
q
q
2
证明：设
n
0
?
?
?
，其 中p，q为互质的正整数，则
n
0
?
?
?
2
． < br>p
p
设k为任意的正整数，构造
n?p
2
k
2
?2qk?n
0
，
则
n?
?
?pk?2qk?n
0
?
?
?
22
q
2
q
pk?2qk?< br>2
?pk??Q
．
pp
22
浙江省高中数学竞赛试题 一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括
号里 ，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）
1. 已知
?
?[
5
?
3
?
,]
，则
1?sin2
?
?1? sin2
?
可化简为（ ）
42
A．
2sin
?
B.
?2sin
?
C.
?2cos
?
D.
2cos
?

2．如果复数
?
a?2i
??
1?i
?
的模为4，则实数a的值为（ ）
C. 2 B.
22
C.
?2
D.
?22

3. 设A ，B为两个互不相同的集合，命题P：
x?A?B
， 命题q：
x?A
或
x?B
，则p是q
的（ ）
A. 充分且必要条件 B. 充分非必要条件
C. 必要非充分条件 D. 非充分且非必要条件
x
2
?y
2
?1
的右焦点F
2
作倾斜角为
45
o
弦AB，则
AB
为（ ） 4. 过椭圆
2
A.
26464243
B. C. D.
3333
442
?AB?2(x
1
?x< br>2
)
2
?
。正确答案为C。
33
3x
2< br>?4x?0?x
1
?0,x
2
?
?
1?5
? x
5. 函数
f(x)?
?
x
?
5?1
x?0，则该函数为（ ）
x?0
C. 单调增加函数、奇函数 B. 单调递减函数、偶函数
C. 单调增加函数、偶函数 D. 单调递减函数、奇函数
6. 设有一立体的三视图如下，则该立体体积为（ ）
2
2
2
2
2
2
3
1

1

正视图 侧视图 俯视图（圆和正方形）
A. 4+
5
?
3
?
?
B. 4+ C. 4+ D. 4+
?

22
2
7．某程序框图如右图所示，现将输出（
x,y)
值依 次记为：
(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
),L,(x
n
,y
n
),L;
若程序运行中
输出的一个数组是
(x,?10),
则数组中的
x?
（ ）
A．64 B．32 C．16 D．8
8. 在平面区域
(x,y)|x|?1,|y|?1
上恒有
ax?2by? 2
，则动点
P(a,b)
所形成平面区域的面积
为（ ）
A. 4 B.8 C. 16 D. 32
9. 已知函数
f(x)?sin(2x?
??
?
?
?
?
)?m
在
?
0,
?
上有两个零点，则m的取值范围为（ ）
6
?
2
?

A.
?
?
1
?
, 1
?
B
?
2
?
?
1
?
, 1
C.
??
2
??
2
?
1
?
, 1
D.
?
?
2
??
?
1
?
?
, 1
?

?
2
?
10. 已知
a?[?1,1]
，则
x?(a?4)x?4?2a?0
的解为（ ）
A.
x?3
或
x?2
B.
x?2
或
x?1
C.
x?3
或
x?1
D.
1?x?3

二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，共49分）
11. 函数
f(x)?2sin
x
?3cosx
的最小正周期为______ ____。
2
12. 已知等差数列
?
a
n
?
前 15项的和
S
15
=30，则
a
1
?a
8
?a
15
=____ ______.
rr
r
r
13. 向量
a?(1,sin
?
)
，
b?(cos
?
,3 )
，
?
?R
，则
a?b
的取值范围为 。
14. 直三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
，底面
?ABC
是正三角形，P，E分别为
BB
1
，
CC< br>1
上的动点（含端
点），D为BC边上的中点，且
PD?PE
。则直线
AP,PE
的夹角为_ _。
15．设
x,y
为实数，则
5x?4y?10x
max
22
(x
2
?y
2)?
_____ ________。
16. 马路上有编号为1，2，3，…，201 1的2011只路灯，为节约用电要求关闭其中的300只灯，
但不能同时关闭相邻两只，也不能关闭两 端的路灯，则满足条件的关灯方法共有___ ______种。
（用组合数符号表示）
17. 设
x,y,z
为整数，且
x?y?z?3,x?y?z?3
，则x?y?z?
_ _。

18. 设
a?2
，求
y?(x?2)x
在
[a, 2]
上的最大值和最小值。
19. 给定两个数列
333222
?
x
n
?
，
?
y
n
?
满足
x
0
?y
0
?1
，
x
n
?
x
n? 1
(n?1)
，
2?x
n?1
2
y
n?1
y
n
? (n?1)
。证明对于任意的自然数n，都存在自然数
j
n
，使得
y
n
?x
j
n
。
1?2y
n?1
x
2
y
2
20. 已知椭圆< br>2
?
2
?1
，过其左焦点
F
1
作一条直线交 椭圆于A，B两点，D
(a,0)
为
F
1
右侧
54
一点，连AD、BD分别交椭圆左准线于M,N。若以MN为直径的圆恰好过
F
1
，求 a的值。
浙江省高中数学竞赛试题参考解答与评分标准
一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一 个正确答案，将正确答案的序号填入题干后的括
号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分 ）
1. 已知
?
?[
5
?
3
?
,]< br>，则
1?sin2
?
?1?sin2
?
可化简为（ D ）
42

A．
2sin
?
B.
?2sin
?
C.
?2cos
?
D.
2cos
?

解答：因为
?
?[
5
?3
?
,]
，所以
1?sin2
?
?1?sin2
?
=
cos
?
?sin
?
?cos
?
? sin
?

42

?2cos
?
。正确答案为D。
2．如果复数
?
a?2i
??
1?i
?
的模为4，则实数a的值为（ C ）
D. 2 B.
22
C.
?2
D.
?22

解答：由题意得
2?a
2
?4?4?a??2
。正确答案为C。
3. 设A ，B为两个互不相同的集合，命题P：
x?A?B
， 命题q：
x?A
或
x?B
，则p是q
的（ B ）
A. 充分且必要条件 B. 充分非必要条件
C. 必要非充分条件 D. 非充分且非必要条件
解答：P是q的充分非必要条件。正确答案为B。
x
2
?y
2
?1
的右焦点
F
2
作倾斜角为
45
o
弦AB，则
AB
为（ C ） 4. 过椭圆
2
A.
26464243
B. C. D.
3333
解答：椭圆的右焦点为（1，0），则弦AB为
y?x?1,
代入椭圆方程得
3x
2
?4x?0?x
1
?0,x
2< br>?
442
?AB?2(x
1
?x
2
)
2?
。正确答案为C。
33
?
1?5
?x
5. 函数< br>f(x)?
?
x
?
5?1
x?0
，则该函数为（ A ）
x?0
D. 单调增加函数、奇函数 B. 单调递减函数、偶函数
C. 单调增加函数、偶函数 D. 单调递减函数、奇函数
解答：由单调性和奇偶性定义知道函数为单调增加的奇函数。正确答案为A。
6. 设有一立体的三视图如下，则该立体体积为（ A ）
2
2
2
2
2
2
3
1

1

正视图 侧视图 俯视图（圆和正方形）

A. 4+
5
?
3
?
?
B. 4+ C. 4+ D. 4+
?

22
2
解答：该几何体是一个圆柱与一个长方体的组 成，其中重叠了一部分（
积为
2?2?1?3
?
?
?
），所 以该几何体的体
2
?
2
?4?
5
?
。正确答案为A 。
2
7．某程序框图如右图所示，现将输出（
x,y)
值依
次记 为：
(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2),L,(x
n
,y
n
),L;
若程序运行中
输出的一个数组是
(x,?10),
则数组中的
x?
（ B ）
A．64 B．32 C．16 D．8
答案 经计算
x?32
。正确答案为 B。
8. 在平面区域
( x,y)|x|?1,|y|?1
上恒有
ax?2by?2
，则动点
??P(a,b)
所形成平面区域的面积为（ A ）
A. 4 B.8 C. 16 D. 32
解答：平面区域
(x,y)|x|?1,|y|?1
的四个边界点（—1，—1），（—1，
1），（1，—1），（1，1）满足
ax?2by ?2
，即有
??
a?2b?2,a?2b?2,?a?2b?2,?a?2b?2

由此计算动点
P(a,b)
所形成平面区域的面积为4。正确答案为 A。
9. 已知函数
f(x)?sin(2x?
?
?
?
?
)?m
在
?
0,
?
上有两个零点，则m的取值范围为（ C ）
6
?
2
?
A.
?
?
1
??1
??
1
??
1
?
, 1
?
B
?
, 1
?
C.
?
, 1
?
D.
?
, 1
?

?
2
?
?
2
??
2
??
2
?
解答：问 题等价于函数
f(x)?sin(2x?
?
?
?
?
所以m的 取值
)
与直线
y?m
在
?
0,
?
上有两个 交点，
2
6
??
范围为
?
, 1
?
。正确答案为C。
10. 已知
a?[?1,1]
，则
x?(a?4)x?4?2a?0
的解为（ C ）
A.
x?3
或
x?2
B.
x?2
或
x?1
C.
x?3
或
x?1
D.
1?x?3

解答： 不等式的左端看成
a
的一次函数，
f(a)?(x?2)a?(x?4x?4)

2
2
?
1
?
2
?
?

< br>由
f(?1)?x?5x?6?0,f(1)?x?3x?2?0?x?1
或
x ?3
。
正确答案为C。
二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，共49分）
2 2
x
?3cosx
的最小正周期为______4
?
____。
2
解答：最小正周期为4
?
。
11. 函数
f(x)?2sin
12. 已知等差数列
?
a
n
?< br>前15项的和
S
15
=30，则
a
1
?a
8
?a
15
=____6_______.
解答：由
S
15
?30?a
1
?7d?2
，而
a
1
?a
8
?a
15
?3(a
1
?7d)?6
。
rr
r
r
13. 向量
a?(1,sin
?
)，
b?(cos
?
,3)
，
?
?R
，则
a?b
的取值范围为 [1，3] 。
rr
22
解答：
a?b ?(1?cos
?
)?(sin
?
?3)?5?2(cos
?
?3sin
?
)

=
5?4sin(
?
6
?
?
)
，其最大值为3，最小值为1，取值范围为[1，3]。
14. 直三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
，底面
?ABC
是正三角形，P，E 分别为
BB
1
，
CC
1
上的动点（含端
点），D为 BC边上的中点，且
PD?PE
。则直线
AP,PE
的夹角为_
90
_。
解答：因为平面ABC⊥平面
BCC
1
B
1
，AD⊥BC，所以AD⊥平面
BCC
1
B
1
，所以
AD⊥PE，又PE⊥PD，PE⊥平面APD，所以PE⊥PD。即夹角为
90
。
15．设
x,y
为实数，则
22
o
o
5x?4y? 10x
2
max
22
(x
2
?y
2
)?< br>_____4________。
2
解答：
5x?4y?10x?4y?10x?5x?0?0?x?2
4(x
2
?y
2
)?10x?x
2
?25?(5?x)
2
?25?3
2
?x
2
?y
2
?4

16. 马路上有编号为1，2，3，…，2011的2011只路灯，为节约用电要求关闭其中的 300只灯，
但不能同时关闭相邻两只，也不能关闭两端的路灯，则满足条件的关灯方法共有___C
1710
_______
种。（用组合数符号表示）
解答：问题等价 于在1711只路灯中插入300只暗灯，所以共有
C
1710
种关灯方法。
17. 设
x,y,z
为整数，且
x?y?z?3,x?y?z?3
，则
x?y?z?
_3或57_。
解答：将
z?3?x?y
代入
x?y?z?3
得到
333
333222
300
300
xy?3(x?y)?9?
8，因为
x,y
都是整数，所以
x?y

?
x?y ?1
?
x?y?4
?
x?y?2
?
x?y?8
,< br>?
,
?
,
?
,
前两个方程组无解；后两个方程组解得
?
?
xy?2
?
xy?5
?
xy?1
?< br>xy?16
x?y?z?1;x?y?4,z??5
。所以
x
2
?y
2
?z
2
?
3或57。
三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 17 分，共计 51 分）
18. 设
a?2
，求
y?(x?2)x
在
[a, 2]
上的最大值和最小值。
解答：当
x?0,y??(x?1)?1,
当
x?0,y?(x?1)?1,
---- 5分
由此可知
y
max
?0
。 ---------------------------------- 10分
2
当< br>1?a?2,y
min
?a?2a
；当
1?2?a?1,y
m in
??1
；
22
当
a?1?2,y
min
?? a
2
?2a
。 ---------------------------------- 17分
19. 给定两 个数列
?
x
n
?
，
?
y
n
?满足
x
0
?y
0
?1
，
x
n
?
x
n?1
(n?1)
，
2?x
n?1
2
y
n?1
y
n
? (n?1)
。证明对于任意的自然数n，都存在自然数
j
n
，使得
y
n
?x
j
n
。
1?2y
n?1
解答：由已知得到：
12111
?1???1?2(1?)?{?1}
为等比数列，首项为2，公比为2，
x
n
x
n?1
x
n
x
n?1
x< br>n
所以
11
?1?2
n?1
?x
n
?
n?1
。 ----------------- 5分
x
n
2?1
(y
n? 1
?1)
2
y?1y
n?1
?1
2
11
2
又由已知，
y
n
?1??
n
?()?1??(1?)

1?2y
n?1
y
n
y
n?1
y
n< br>y
n?1
n
111
2
由
1?
，
?2?1??2?y
n
?
n
y
0
y
n2
2
?1
所以取
j
n
?2?1
即可。 ------------------- 17分
n
x
2
y
2
20. 已知椭圆
2
?
2
?1
，过其左焦点
F
1
作一条直线交椭圆于A，B两点，D(a,0)
为
F
1
右侧一
54
点，连AD、BD分别交 椭圆左准线于M,N。若以MN为直径的圆恰好过
F
1
，求 a的值。
解答：
F
1
(?3,0),左准线方程为x??
25
;AB 方程为
y?k(x?3)(k为斜率)
。
3

?
y? k(x?3)
?
2222
设
A(x
1
,y
1
),B(x
2
,y
2
)
，由
?
x
2
?(16?25k)x?150kx?225k?400?0
得
y
2
?1
?
?
2516
?
150k
2
225k
2
?400256k
2
2
x
1
?x
2??,x
1
x
2
???y
1
y
2
?k (x
1
?3)(x
2
?3)??
----10分
16?2 5k
2
16?25k
2
16?25k
2
设
M(?< br>(3a?25)y
1
(3a?25)y
2
2525
,同理y< br>4
?
。
,y
3
),N(?,y
4
)
。由M、A、D共线
y
3
?
3(a?x
1
)3(a?x< br>2
)
33
，得又
uuuuruuuuruuuuruuuuruuuu ruuuur
1616
F
1
M?(?,y
3
),F
1
N?(?,y
4
),由已知得F
1
M?F
1
N? F
1
M?F
1
N?0
33
256k
2
25 6
（3a?25)
2
y
1
y
2
256（3a?25 )
2
?
=
?,
整理
y
3
y
4??,而y
3
y
4
?，即
?
2
16?25k< br>9
99(a?x
1
)(a?x
2
)9(a?x
1)(a?x
2
)
得
(1?k)(16a?400)?0?a??5, 又a??3,所以a?5
。-
---
----------17分
22

全国高中数学联合竞赛一试试题（A卷）
考试时间：10月16日 8：00—9：20
一、填空题：本大题共8小题，每小题8分，共64分.把答案填在横线上
．

1．设集合
A?{a
1
,a
2
,a
3
,a
4
}
，若
A
中所有三元子集的三个元素之和组成的集合为
B?{? 1,3,5,8}
，则集合
A?
．

2．函数
f(x)?
x
2
?1
x?1
的值域为 ．

3．设
a,b
为正实数，
??22
，
(a?b)
2
?4(ab)
3
，则
log
a
b?
．
1
a
1
b


4．如果
cos
5
?
?sin
5
?
?7( sin
3
?
?cos
3
?
)
，
?
?[0,2
?
)
，那么
?
的取值范围是 ．

5．现安排7名同学去参加5个运动项目，要求甲、乙两同学不能参加同一个项
目， 每个项目都有人参加，每人只参加一个项目，则满足上述要求的不同安排方案数
为 ．（用数字作答）

6．在四面体
ABCD
中，已知
?ADB??BDC??CDA?60?
，
AD?BD?3
，
CD?2，则
四面体
ABCD
的外接球的半径为 ．

7．直线
x?2y?1?0
与抛物线
y
2
?4x
交于
A,B
两点，
C
为抛物线上的一点，
?ACB?90?
，则点
C
的坐标为 ．

8．已知
a
n
?
C
为 ．
n3
200
?6
??
200?n
?
1
?
?
?
?
??
(n?1,2,?,95)
2
??
n< br>，则数列
{a
n
}
中整数项的个数

二、解答题：本大题共3小题，共56分．解答应写出文字说明、证明过程或演
算步骤．
9． （本小题满分16分）设函数
f(x)?|lg(x?1)|
，实数
a,b(a?b)
满足
f(a)?f(?
f(10a?6b?21)?4lg2
，求
a ,b
的值．
b?1
)
，
b?2

10．（本小题 满分20分）已知数列
{a
n
}
满足：
a
1
?2t ?3(t?
R且
t??1)
，
a
n?1
?
(2t< br>n?1
?3)a
n
?2(t?1)t
n
?1
a
n
?2t?1
n
(n?
N
*
)
．
（1）求数列
{a
n
}
的通项公式；
（2）若
t ?0
，试比较
a
n?1
与
a
n
的大小．

11．（本小 题满分20
1
x
2
y
2
分）作斜率为的直线
l与椭圆
C
：
??1
3
364
y
P
O
B
A
交于
A,B
两点（如图所示），且
P (32,2)
在直线
l
的左上方．
（1）证明：△
PAB
的内切圆的圆心在一条定直线上；
（2）若
?APB?60?
，求△
PAB
的面积．
x

全国高中数学联合竞赛加试试题（A卷
）
10月16日 9：40—12：10

二、（本题满分40分）证明：对任意整数
n?4
，存在一个
n
次多项式
f(x)?x
n
?a
n?1x
n?1
???a
1
x?a
0

具有如下性质：
（1）
a
0
,a
1
,?,an?1
均为正整数；
（2）对任意正整数
m
，及任意
k(k? 2)
个互不相同的正整数
r
1
,r
2
,?,r
k< br>，均有
f(m)?f(r
1
)f(r
2
)?f(r
k
)
．

三、（本题满分50分）设
a
1
,a
2
,?,a
n
(n?4)
是给定的正实数，
a
1
?a
2
???a
n
．对任
意正实数
r< br>，满足
a
j
?a
i
a
k
?a
j?r(1?i?j?k?n)
的三元数组
(i,j,k)
的个数记为
f< br>n
(r)
．
n
2
证明：
f
n
(r)?
．
4

四、（本题满分50分）设A是一个
3?9< br>的方格表，在每一个小方格内各填一个正
整数．称A中的一个
m?n(1?m?3,1? n?9)
方格表为“好矩形”，若它的所有数的和为
10的倍数．称A中的一个
1?1
的小方格为“坏格”，若它不包含于任何一个“好矩形”．求
A中“坏格”个数的最大值．

二Ｏ一一年全国高中数学联赛甘肃省预赛试题
一.填空题(本题满分56分,每小题7分)
1.已知集合
A?{x|(x?2)(x?6)?3,x?Z,0?x?7}
，则A
的非空子集的个数为 .
x
(0?x?
?
)
，则2. 若
f
?
g( x)
?
?sin2x
，
g(x)?tan
2
3. 若底边长 为
2
的正四棱锥恰内切一半径为
?
2
?
f
?
?
2
?
?
?
.
??

1
的球，则此正四棱锥的体积是 .
2
22
4. 在平面直角坐标系中，已知点
A(1,2)
和
B(4,1)
. 圆
x ?y?25
上的动点
P(x,y)
与
A,B
形成
三角形，则 三角形
ABP
的面积的最大值为
.

5.将 正整数
1,2,3,4,5,6,7
任意分成两组，使每组至少有一个数，则第一组数的和与第 二组数的和
相等的概率是 ．
2011
1
1
2
6. 数列满足
a
0
?< br>，及对于自然数
n
，
a
n?1
?a
n
?a< br>n
，则
?
的整数部分是 ．
a?1
4
n?0
n
7. 四次多项式
f(x)
的四 个实根构成公差为2的等差数列，则
f
?
(x)
的所有根中最大根与最小根< br>之差是 .
8.设
[x]
表示不超过实数的最大整数，则在平 面上，由满足
[x]?[y]?50
的点所形成的图形的
面积是 ．
二.解答题 (本题满分64分, 第9、10题每题14分，第11、12题每题18分)
2
9. 已知正项数列
{a
n
}
满足：（1）
a< br>1
?2012
；（2）
a
2
,a
3
是整数； （3）数列
{na
n
?n}
是公比不
22
大于10的等比数 列. 求数列
{a
n
}
的通项公式.
22
10. 已知< br>F
1
、
F
2
为双曲线C:
x?y?1
的左、 右焦点，点
P
在C上， 若
?PF
1
F
2
的面积是
3
，
求
?F
1
PF
2
.
11. 设
a
1
,
a
2
,…,
a
n
为正 数，且
a
1
?a
2
?L?a
n
?1
，求证 ：
2
1
2
1
2
1
2
?
n?1< br>?

(a
1
?)?(a
2
?)?L?(a
n
?)?
．
a
1
a
2
a
n
n
2
12.设
n?11
是一正整数，由不大于
n
的连续10个 正整数的和组成集合
A
，由不大于
n
的连

续11个正整数的和组成集合
B
。若
A?B
的元素个数是181，
求
n
的最大值和最小值。
二Ｏ一一年全国高中数学联赛甘肃省预赛评分参考
一.填空题(本题满分56分,每小题7分)
1.
63
. 2.
42
.
9
3.
161
4
. 4.
(7?510)
.
5．6.
3
．7.
25
. 8.
12
．
92

63
二.解答题 (本题满分64分, 第9、10题每题14分，第11、12题每题18分)
2
9. 已知 正项数列
{a
n
}
满足：（1）
a
1
?2012< br>；（2）
a
2
,a
3
是整数；（3）数列
{nan
?n}
是公比不
大于10的等比数列. 求数列
{a
n
}
的通项公式.
解 由条件（3）知
na
n
?n?c?q
2n?1
c?q
n?1
?n
，n?1,2,L
. ，其中
c,q?0
，于是
a
n
?< br>n
2011q
n?1
?n
，
n?1,2,L
. ………………4分 由条件（1）可得
c?2011
，由此
a
n
?< br>n
2011q2011qk
是整数，于是
q
只能是分数，不妨设
q?
，其中
k
?2
是整数，故
22m
与
m
互素. 注意到
2011
是素数，故
m
的取值只能是
1
和
2011
,
k
只能为偶数.
因为
a
2
?
……………8分
k
2
k
2< br>2011?
2
2011()
m
是整数，于是
m
的取值 只能是
1
且
k
是
3
m
?3
是整数，得知同 理,由
a
3
?
3
3
的倍数,从而
q?k
是
6
的倍数.
q
不大于10, 所以
q?6
，故数列
{a
n
}
的通项公式为
2011?6
n?1
a
n
??n
，
n?1,2,L
. ………………14分
n
22
10. 已知
F
1
、
F
2
为双曲线C:
x?y?1
的左、右焦点，点
P
在C上， 若
?PF
1
F
2
的面积是
3
，
求
?F
1
PF
2
.
解 不妨设点P
(x
0
,y
0
)
在双曲线的右支，由题设易得
FF
12
?22< br>. ………………2分
注意到
S
?PF
1
F
2?
6
11
F
1
F
2
?y
0
? ?22y
0
?3
，解得
|y
0
|?
，……………4 分
2
22
22
22
22
又由
x?y?1
有
x
0
?y
0
?1
，解得
x
0
?1+y
0
=1+
65
=
. ………………6分
42
a
2
由双曲线的第二定义得
|PF
1
|?e[x0
?(?)]?a?ex
0
?1?2x
0
及
c