2015年高中数学竞赛决赛试题及答案

2015年高中数学竞赛 复赛试题及答案
一、选择题（本大题共6小题， 每小题6分，共36分．每小题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请
把正确选择支号填在答题卡的 相应位置．）
1．从集合｛1，3，6，8｝中任取两个数相乘，积是偶数的概率是
A．

5

6
B．
2

3
C．
1

2
D．
1

3，则2．若
?
是第四象限角，且
sin
?
2
?cos< br>?
2
?1?2sin
?
2
cos
?
2
?
是
2
A．第一象限角 B．第二象限角
C．第三象限角 D．第四象限角
3. 已知点
O、A、B
不在同一条直线上，点
P
为该平面上一点， 且
2OP?2OA+BA
，则
A．点
P
不在直线
AB
上 B．点
P
在线段
AB
上
C．点
P
在线段
AB
的延长线上 D．点
P
在线段
AB
的反向延长线上
4．设
m,n?R< br>?
，若直线
(m?1)x?(n?1)y?4?0
与圆
(x?2)?( y?2)?4
相切，则
m?n
的取值范
围是
A.
(0,1?3]
B.
[1?
22
3,??)
C.
[2?22,??)
D.
(0,2?22]

5. 已知正方体C
1
的棱长为
182
，以C
1
的 各个面的中心为顶点的凸多面体记为C
2
，以C
2
的各个面的中
心为 顶点的凸多面体记为C
3
，则凸多面体C
3
的棱长为
A．18 B．
92
C．9 D．
62

6. 已知定义在
R
上的奇函数
f(x)
，满足
f(x?3 )??f(x)
,且在区间
[0,
3
]
上是增函数,若方程
2
f(x)?m(m?0)
在区间
?
?6,6
?
上有四个不 同的根
x
1
,x
2
,x
3
,x
4
,则
x
1
?x
2
?x
3
?x
4
?

A．
?6
B．
6
C．
?8
D．
8

二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．请把答案填在答题卡相应题的横线上．） ?
1
ln,x?0
?
?
x
7．已知
f(x)?
?
，则不等式
f(x)??1
的解集为 ▲ .
?
1
,x?0
?
?
x
8．随机抽查某中学高二年级100 名学生的视力情况，发现学生的视力全部介于4.3至5.2.现将这些数据分
成9组，得其频率分布直 方图如下.又知前4组的频数成等比数列，后6组的频数成等差数列，则视力
在4.6到5.0之间的学 生有 ▲ 人.


高中数学竞赛试题 第 1 页 共 13 页

0.3
0.1
4.3 4.4 4.5 4.6 4.7 4.8 4.9 5.0
5.1.
5.2
视力
222
频率组距
c
，则
cosC
的最小值为 ▲ . 9．在< br>?ABC
中，角
A,B,C
所对应的边长分别为
a,b,c
， 若
a?b?2
10．给出下列四个命题：
（1）如果平面
?
与平面
?
相交，那么平面
?
内所有的直线都与平面
?
相交； （2）如果平面
?
⊥平面
?
，那么平面
?
内所有直线都 垂直于平面
?
；
（3）如果平面
?
⊥平面
?
，那 么平面
?
内与它们的交线不垂直的直线与平面
?
也不垂直；
（4） 如果平面
?
不垂直于平面
?
，那么平面
?
内一定不存在直线 垂直于平面
?
．
其中真命题的序号是 ▲ ．（写出所有真命题的序号）
．．．
11．若动点
M(x
0
,y< br>0
)
在直线
x?y?2?0
上运动，且满足
(x
0< br>?2)
2
?(y
0
?2)
2
≤8，则
x0
2
?y
0
2
的取值范围是
▲ ．
1
?
1
?
12．设函数
f
?
x
?
?x
??
?
，
A
0
为坐标原点，
A
n
为函数
y?f
?
x
?
图象上横坐标为n（n∈N*）的 点，向
x?1
?
2
?
x
量
a
n
?
?
n
n
?
5
A
k?1
A
k
，向量
i?(1,0)
，设
?
n
为向量
a
n与向量
i
的夹角，满足
?
tan
?
k
?
的最大整数
n
是
k?1
k?1
。
3
▲ ．


答 题 卡
一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）
题号
答案
1

2

3

4

5

6

二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）
7． 8． 9．
10． 11． 12．



高中数学竞赛试题 第 2 页 共 13 页

三、解答题（本大题共6小题，共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
13.（本小题满分12分）
已知函数
f(x)?2sin
xxx
cos?23sin
2
?3
．
222
（1）求函数
f(x)
的单调减区间；
（2）该函数的图象可由
y?sinx(x?R)
的图象经过怎样的变换得到?
（3）已知
?
?
?



































6
?
?
?
2π
?
,
，且，求
f(
?
)?f(
?
?)
的值．
?
63
56
??
高中数学竞赛试题 第 3 页 共 13 页

14.（本小题满分12分）
菱形
ABCD
中，
A(1,2)
，
AB?(6,0)
，点
M
是线段
A B
的中点，线段
CM
与
BD
交于点
P
.
（1）若向量
AD?(3,7)
，求点
C
的坐标；
（2）当点
D
运动时，求点
P
的轨迹.









































高中数学竞赛试题 第 4 页 共 13 页

15．（本题满分13分）
如图，四边形ABCD是边长为2的正方形，△ABE为等腰三角形，AE
＝BE，平面ABCD⊥平面ABE，点F在CE上，且BF⊥平面ACE.
（1）判断平面ADE与平面BCE是否垂直，并说明理由；
（2）求点D到平面ACE的距离.








































高中数学竞赛试题 第 5 页 共 13 页
D
C
F
A
B
E

16．（本题满分13分）
如图，某化 工集团在一条河流的上、下游分别建有甲、乙两家化工厂，其中甲厂每天向河道内排放污
水2万m
3
，每天流过甲厂的河水流量是500万m
3
（含甲厂排放的污水）；乙厂每天向河 道内排放污水
1.4万m
3
，每天流过乙厂的河水流量是700万m
3
（含乙厂排放的污水）.由于两厂之间有一条支流的
作用，使得甲厂排放的污水在流到乙厂时，有20 %可自然净化.假设工厂排放的污水能迅速与河水混合，
且甲厂上游及支流均无污水排放. 根据环保部 门的要求，整个河流中污水含量不能超过0.2%，为此，
甲、乙两个工厂都必须各自处理一部分污水.
（1）设甲、乙两个化工厂每天各自处理的污水分别为x、y万m
3
，试根据环保部门 的要求写出x、y
所满足的所有条件；
（2）已知甲厂处理污水的成本是1200元万m< br>3
，乙厂处理污水的成本是1000元万m
3
，在满足环保
部门要求 的条件下，甲、乙两个化工厂每天应分别各自处理污水多少万m
3
，才能使这两个工厂处理污
水的总费用最小？最小总费用是多少元？
支流




















高中数学竞赛试题 第 6 页 共 13 页
甲厂
乙厂
500万m
3
天
700万m
3
天

17．（本题满分14分）
已知
f(x)?ax?2bx?4c(a,b,c?R)
.
（1）当
a?0
时，若函数
f(x)
的图象与直线
y??x
均无公共点，求 证：
4ac?b
2
?
（2）
b?4,c?
2
1;

4
3
时，对于给定的负数
a??8
，记使不等式< br>|f(x)|?5
成立的
x
的最大值为
M(a)
.
4
问
a
为何值时，
M(a)
最大，并求出这个最大的
M(a)
，证明你的结论.


2014年高中数学竞赛决赛参考答案
11.24
一、选择题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）
题号
答案
1
A
2
B
3
D
4
C
5
D
6
B
二、填空题（本大题共6小题，每小题6分，共36分．）
7．
(??,?1)?(0,e)
8． 78 9．
1
2


10． （3）（4） 11． [2，8] 12． 3
三、解答题（本大题共6小题，共78分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
13.（本小题满分12分）
解：（1）
π
?
x
?
f(x)?sinx?3(1?2sin
2
)
?sinx?3cosx
?2 sin
?
x?
?
． …………………2分
3
?< br>2
?
令
?
23
?
7
?
得
?2k
?
?x??2k
?
，
k?Z
．
66
?
7
?
?2k
?
]
，
k?Z
． …………………5分
?f(x)
的单调减区间为
[?2k
?
,
66
?
?
（2）先把函数
y?si nx(x?R)
的图象向左平移个单位，就得到函数
y?sin(x?)(x?R)
的 图象；
3
3
再把其纵坐标伸长为原来的
2
倍 ，横坐标不变，就得到
y?2sin
?
x?
象．…………7分
?2k
?
?x?
?
?
3
?
?2k
?
，
k?Z
．
2
?
?
π
?
?< br>(x?R)
的图
3
?

高中数学竞赛试题 第 7 页 共 13 页

（3）由
f(
?
)?
因为
?
?
?
6
π6
π3
得：
2sin(< br>?
?)?,
即
sin(
?
?)?,
…………………8分
535
35
π
?
?
?
2π< br>?
,
?
,所以
(
?
?)?(,
?
)
.
32
?
63
?
从而
cos(
?
?
于是
f(
?
?
ππ34
)??1?sin
2< br>(
?
?)??1?()
2
??
…………………10分
3355
?
)?2sin[(
?
?)?]? 2[sin(
?
?)cos?cos(
?
?)sin]

6363636
3
5
34133?4
??]?
. …………………12分
2525
??????

?2[?


14.（本小题满分12分）
解：（1）菱形
ABCD
中，
AC?AD?AB?(3,7)?(6,0)?(9,7)
，且
A(1,2)
，所以
C(10,9)
.…4分

（2）设
P(x,y)
，则
BP?AP?AB?(x?1,y?2)?(6,0)?(x?7,y?2)
. …………………5分
又因为点
M
是线段
AB
的中 点，线段
CM
与
BD
交于点
P
，即点
P
是
?ABC
的重心，从而有
MC?3MP
,所以
AC?AM?MC ?
111
AB?3MP?AB?3(AP?AB)?3AP?AB

222
?3(x?1,y?2)?(6,0)?(3x?9,3y?6)
…………………7分
菱形
ABCD
的对角线互相垂直，所以
BP?AC
，
即
(x?7,y?2)?(3x?9,3y?6)?0
，
亦即
(x?7)?(3x?9)?(y?2)(3y?6)?0
，
整理得：
(x?5)?(y?2)?4
（
y?2
）， …………………11分
故
P
点的轨迹是以
(5,2)
为圆心，2
为半径的圆，除去与
y?2
的交点. …………………12分

15．（本题满分13分）
解：（1）平面ADE与平面BCE垂直. …………………1分
证明如下：
D
C
22
因为BF⊥平面ACE，所以BF⊥AE. …………………3分
因为平面ABCD⊥平面ABE，且ABCD是正方形，BC⊥AB，
F

高中数学竞赛试题 第 8 页 共 13 页
A
B
E

平面ABCD∩平面ABE＝AB，所以BC⊥平面ABE，
从而BC⊥AE. …………………6分
于是AE⊥平面BCE，故平面ADE⊥平面BCE. ………………7分
（2）连结BD交AC与点M，则点M是BD的中点，
所以点D与点B到平面ACE的距离相等. …………………8分
因为BF⊥平面ACE，所以BF为点B到平面ACE的距离. …9分
因为AE⊥平面BCE，所以AE⊥BE.
又AE＝BE，所以△AEB是等腰直角三角形. …………………10分
因为AB＝2，所以BE＝
2sin45??
在Rt△CBE中，
F
2
. …………………11分
A

G

B
D
M
C
CE?BC?BE?6

BF?
BC?BE2223
??
CE3

6
22
E
故点D到平面ACE的距离是

16．（本题满分13分）
23
. …………………13分
3
?
2?x0.2
?
500
?100
?
?
0.8(2?x)?
?
1.4?y
?
0.2
?
解：（1）据题意，x、y所满足的所有条件是
?
， …………………4分
700100
?
?
0?x?2
?
0? y?1.4
?
?
4x?5y?8
?
即
?
1?x?2
. …………………5分
?
0?y?1.4
?
（2）设甲、乙两厂处理污水的总费用为z元，则
目标函数z＝1200x＋1000y＝200(6x＋5y).…………7分
l
作可行域，如图. ……………10分
1.4
平移直线l：6x＋5y=0，当直线经过点A(1，0.8)时，
z取最大值，此时
o
y
A
2
1
x
4x＋5y=8

高中数学竞赛试题 第 9 页 共 13 页

z＝1200×1＋1000×0.8＝2000（元）. ……………12分
故甲、乙两厂每天应分别处理1万m3、0.8万m3污水，才能使两厂处理污水的总费用最小，且
最 小总费用是2000元. …………………13分

17．（本题满分14分）
解：(1)由
f(x )?ax?2bx?4c(a,b,c?R)
与直线
y??x
均无公共点（
a ?0
），
可知
ax?2bx?4c??x
无解， ………………1分
由
ax?(2b?1)x?4c?0
无解，得：
??(2 b?1)?16ac?0
，
整理得：
4ac?b
2
?
2< br>22
2
2
1
?b
(1) ………………3分
4
2
由
ax?(2b?1)x?4c?0
无解， 得：
??(2b?1)?16ac?0
，
1
?b
(2) ………………5分
4
1
由(1),(2)得:
4ac?b
2
?
. ………………6分
4
3
2
(2) 由
b?4,c?
，所以
f(x)?ax?8x?3
………………7分
4
416416
因为
f(?)?3?
, 由
a??8
得，
f(?)?3??5
………………9分
aaaa
整理得：
4ac?b
2
?
所以
f(x)?5
恒成立，
故不等式
|f(x)|?5
成立的
x
的最大值也就是不等式
f(x)??5
成立的
x
的最大值，……… …10分
因此
M(a)
为方程
ax?8x?3??5
的较大根，
2
即
M(a)?
?4?24?2a
（
a??8
） ………………11分
a
当
a??8
时，
M(a)?
?4?2 4?2a4
是关于
a
的增函数， ………………13分
?
a
4?2a?2
1?5
. ………………14分
2
所以，当
a??8
时，
M(a)
取得最大值，其最大值为
M(a)?

18．（本题满分14分）
n2n
解：（1）由条件 可得
x
n
?3
，
y
n
?4n?5
，根据题 意知，
c
n
?3
． …………………1分 由
c
k
为数列
{y
n
}
中的第m项，则有3
2k
?4m?5
， …………………2分
2(k?1)
?9?3
2k
?9?(4m?5)?36 m?45?4(9m?10)?5
， …………………4分 那么
c
k?1
?3

高中数学竞赛试题 第 10 页 共 13 页

因
9m?10?N
,所以
c
k?1< br>是数列
{y
n
}
中的第
9m?10
项． …………………5分
（2）设在区间
[1,2]
上存在实数b使得数列
{x
n
}
和
{y
n
}
有公共项，
?
a
s
?b
即存在正整数s，t使
a?(a?1)t?b
，∴
t?
，
a?1
s
因自然数
a≥2
,s，t为正整数，∴< br>a?b
能被
a?1
整除． …………………6分
s
a
s
?b
a
?
①当
s?1
时，
t?
?N
?
．
a?1
a?1
②当
s?2n

(n?N)
时，
若
b?1
，
?
a
s
?ba
2n
?11?a
2n
?????[1?(?a)?(?a)
2
?
a?1a ?11?(?a)
?(a?1)[1?a
2
?a
4
即
as
?(?a)
2n?1
]

?a
2n?2
]?N
?
，
?b
能被
a?1
整除， …………………8分
2n
?
此时数列
{x
n
}
和
{y
n
}
有公共项组成的数列
{z
n
}
， 通项公式为
z
n
?a
(n?N)
；
若
b?2
，
a
s
?ba
2n
?2a2n
?11
s
????N
?
，即
a?b
不能被
a?1
整除． ………………9分 显然，
a?1a?1a?1a?1
b
a(a
2n
?)
a?b
?
a
， …………………10分 ③当
s?2n?1
(n?N)
时,
t??
a?1a?1
b
a(a
2n
?)
b
2n?
a
?N
?
． ………………11分 若
a?2
，则
a??N
，又
a
与
a?1
互质，故此时
t?
a
a?1
bb
2n?2 n2n
若
a?2
，要
a??N
，则要
b?2
，此时
a??a?1
， …………………12分
aa
b< br>a(a
2n
?)
2n
a
?N
?
，即
a
s
?b
能被
a?1
整除． 由②知，
a?1
能被
a?1
整除， 故
t?
a?1
s
当且仅当
b?a?2
时，
a?b
能被
a?1
整除 ． …………………13分
2n?1
(n?N
?
)
. 此时数列
{x
n
}
和
{y
n
}
有公共项组成的数列
{z
n
}
，通项公式为
z
n
?2
S
综上所述，存在
b? {1,2}
，使得数列
{x
n
}
和
{y
n
}
有公共项组成的数列
{z
n
}
，
2n2n?1
?
(n?N
?
)
. ……………14分 且当
b?1
时,数列
z
n
?a
(n?N)
；当
b?a?2
时,数列
z
n
?2

高中数学竞赛试题 第 11 页 共 13 页

18．（本题满分14分）
n?
已知数列
?
x
n
?
和
?
y
n?
的通项公式分别为
x
n
?a
和
y
n
?
?
a?1
?
n?b,n?N
.
2
（1）当a?3,b?5
时，记
c
n
?x
n
，若
ck
是
?
y
n
?
中的第
m
项
( k,m?N
?
)
，试问：
c
k?1
是数列
?
y
n
?
中
的第几项？请说明理由．
（2）对给定自然数
a?2
，试问是否存在
b?
?
1,2
?
，使得数列
?
x
n
?
和
?
y
n
?
有公共项？ 若存在，求出
b
的值及相应的公共项组成的数列
?
z
n
?< br>，若不存在，请说明理由．

高中数学竞赛试题 第 12 页 共 13 页

高中数学竞赛试题 第 13 页 共 13 页