年深圳市高中数学竞赛试题及答案

年深圳市高中数学竞赛试卷及答案
一、选择题（本大题共小题，每小题分，共分．每小 题各有四个选择支，仅有一个选择支正确．请把正确
选择支号填在答题卡的相应位置．）
．集 合
A?{0,4,a}
，
B?{1,a}
，若
A?B?{0,1,2 ,4,16}
，则
a
的值为
．
0
．
1
．
2
．
4




正视图
4
．一个简单几何体的正视图、侧视图如图所示，则其俯视图不可能
．．．
是 ①长方形；②正方形；③圆；④菱形. 其中正确的是
．
．①② ．②③ ．③④ ．①④



侧视图
2
?
．设
a?0.5,
，则
b?log
0.3
0.4,c?cos
3
．
c?b?a
．
c?a?b
．
a?b?c

?0.5
（第题图）
．
b?c?a

. 平面上三条直线
x?2y?1?0,x?1?0,x?ky?0
，如果这三条直线将平面划分为六部分，则实数
k
的
值为
.
1
.
2
.
0
或
2
.
0
，
1
或
2

．函数
f(x)?As in
|?|
?
(x?
?
（
)
其中
A?0,
?
?
2
）的图象如图所
示，为了得到
g(x )?cos2x
的图像，则只要将
f(x)
的图像
?
?
个单位长度 ．向右平移个单位长度
12
6
?
?
．向左平移个单位长度 ．向左平移个单位长度

12
6
．向右平移
（第题图）

. 在棱长为的正四面体
A
1
A
2
A
3
A
4
中，记
a
ij
?A
1
A
2
?A
i
A
j
(i,j?1,2,3,4,i?j)
，则
a
ij
不同取值的个数
为
． ． ． ．
二、填空题（本大题共小题，每小题分，共分．请把答
案填在答题卡相应题的横线上．）
．已知
a?(m,?1)
，
b?(1,?2)
，若
(a?b )?(a?b)
，则
m
.
．如图，执行右图的程序框图，输出的 .
. 已知奇函数
f( x)
在
(??,0)
上单调递减，且
f(2)?0
，
（第题图）
则不等式
(x?1)?f(x)?0
的解集为 ．
.求值：
11
??
．
?
?
cos70
3sin250
1 10

．对任意实数
x,y
，函数
f(x)
都满足等式
f(x?y)?f (x)?2f(y)
，且
f(1)?0
，则
22
f(2011)?< br> .
.在坐标平面内，对任意非零实数
m
，不在抛物线
y?mx
2
?
?
2m?1
?
x?
?
3m?2
?
上但在直线
y??x?1

上的点的坐标为 .
答 题 卡
一、选择题（本大题共小题，每小题分，共分．）
题号
答案












二、填空题（本大题共小题，每小题分，共分．）
． ． ．
． ． ．
三、解答题（本大题共小题，共分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.）
.（本小题满分分）
为预防
H
1
N
1
病毒暴发， 某生物技术公司研制出一种新流感疫苗，为测试该疫苗的有效性(若疫苗有效
的概率小于，则认为测试没 有通过)，公司选定个流感样本分成三组，测试结果如下表：

疫苗有效
疫苗无效
组


组 组
x


y

z

已知在全体样本中随机抽取个，抽到组的概率是.
（）求
x
的值；
（）现用分层抽样的方法在全部测试结果中抽取个，问应在组中抽取多少个？
（）已知
y?465
,
z?25
,求该疫苗不能通过测试的概率.









2 10

．（本题满分分）
已知函数
f(x)?2cos(x?
2
?
12
)?sin2x
．
（）求
f(x)
的最小正周期及单调增区间；
（）若
f(
?
)?1,
?
?(0,
?
)
，求
?
的值．















．（本题满分分）
如图，在直三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中，
AC,AA< br>1
,AB
的中点．
（）求证：
B
1
C
1< br>
平面
EFG
；
（）求证：
FG?AC
1
；
（）求三棱锥
B
1
?EFG
的体积.










AC?BC?AA
1
?2
，
3 10
?ACB?90?
，
E,F,G
分别是

．（本题满分分）
已知函数
f(x)?x?2x?t?3t
.当
x?
[t,??)
时，记
f(x)
的最小值为
q(t).
()求
q(t)
的表达式；
()是否存在
t?0
，使得
q(t)?q()
？若存在，求出
t
；若不存在，请说明理由.




































4 10
22
1
t

．（本题满分分）
已知圆
M:2x?2y?8x?8y?1?0
和直线
l:x?y?9?0，点
C
在圆
M
上，过直线
l
上一点
A
作
22
?MAC
.
（）当点
A
的横坐标为
4且
?MAC?45
时，求直线
AC
的方程；
（）求存在点C
使得
?MAC?45
成立的点
A
的横坐标的取值范围.


．（本题满分分）
在区间
D
上，若函数
y? g(x)
为增函数，而函数
y?
上的“弱增”函数．已知函数
f(x)?1?
?
?
1
g(x)
为减函数，则称函数
y?g(x)
为区间
D
x
1
．
1?x
1
x
2
?x
1
；
2
（） 判断函数
f(x)
在区间
(0,1]
上是否为“弱增”函数，并说明理由；
（）设
x
1
,x
2
?
?
0,??
?
,x
1
?x
2
，证明
f(x
2
)?f( x
1
)?
（）当
x?
?
0,1
?
时，不等 式
1?ax?







1
恒成立，求实数
a
的取值范围．
1?x
年深圳市高中数学竞赛决赛
参考答案
一、选择题：
二、填空题：.
?2
．
29
.
(??,?2)?(0,1)?(2,??)

.
43
31
2011
． .
(,?),(1,0),(?3,4)

3
2
22
三、解答题：
5 10

. （本题满分分）
解：（）因为在全体样本中随机抽取个，抽到组的概率，
x?90
?0.375
， ………………分
2000
即
x?660
. ………………分
所以
（）组样本个数为＋＝－（＋＋＋）＝， ………………分
现用分层抽样的方法在全部测试结果中抽取个，则应在组中抽取个数为
360
?500?90
个. ………………分
2000
（）设事件“疫苗不能通过测试”为事件.
由（）知 < br>y?z?500
，且
y,z?N
,所以组的测试结果中疫苗有效与无效的可能的 情况有：
（，）、（，）、（，）、……（，）共个. ……………… 分
由于疫苗有效的概率小于时认为测试没有通过，所以疫苗不能通过测试时，必须有
673?660?y
?0.9
， …………………分
2000
即
673?660?y?1800
，
解得
y?467
，
所以事件包含的基本事件有：（，）、（，）共个. …………………分
2
，
11
2
故该疫苗不能通过测试的概率为. …………………分
11
所以
P(M)?

. （本小题满分分）
解：
f(x)?1?cos(2x?
?
6
)?sin2x
…………………分
?sin2xsin?1?cos2xcos
?1?
?
6
?
6
?sin2x

31
cos2x?sin2x
………………… 分
22
?sin(2x?
?
3
)?1
. …………………分
2
?
?
?
； …………………分
2
（）
f(x)
的最小正周期为
T?
又 由
2x?
?
3
?[2k
?
?
?
2
,2k
?
?
?
2
]
， …………………分
5
??
,k
?
?](k?Z)
， …………………分
1212
5
??
,k
?
?](k?Z)
． …………………分 从而
f(x)
的单调增区间为
[k
?
?
1212
得
x?[k
?
?
（）由
f(
?
) ?sin(2
?
?
?
3
)?1?1
得
sin(2< br>?
?
?
3
)?0
， …………………分
6 10

k
??
?
(k?Z)
． …………………分
326
?
5
?
又因为
?
?(0 ,
?
)
，所以
?
?
或． …………………分
6
3
所以
2
?
?
?
? k
?
，
?
?

. （本题满分分）
解：（）因为
G、E
分别是
AB、AC
的中点，所以
GEBC
；……分
又
B
1
C
1
BC
，所以
B
1C
1
GE
； …………分

又< br>GE?
平面
EFG
，
B
1
C
1
?< br>平面
EFG
，
所以
B
1
C
1

平面
EFG
． …………分
（）直三棱柱
ABC?A
1
B
1
C
1
中，因为
?ACB?90?
，








所以
BC?
平面
AA
1
C
1
C
； ……………分
又
GEBC
，所以
GE?
平面
AA
1
C
1
C
，即
GE?AC
1
； ……………分
又因为
AC?AA
1
?2
，所以四边形
AC C
1
A
1
是正方形，即
A
1
C?AC
1< br>； ……………分
又
E,F
分别是
AC,AA
1的中点，所以
EFA
1
C
，从而有
EF?AC
1
， ……………分
由
EF?GE?E
，所以
AC
1< br>?
平面
EFG
，即
FG?AC
1
． ……………分
（）因为
B
1
C
1

平面
E FG
，所以
V
B
1
?EFG
?V
C
1?EFG
?V
G?EFC
1
． ……………分
11
S
?EFC
1
?GE
，且
GE ?BC?1
．…………分
32
13
又由于
S
?EFC1
?S
正方形ACC
1
A
1
?S
?AEF?S
?A
1
FC
1
?S
?ECC
1
? 4?1?1??
，……………分
22
11311
所以
V
G ?EFC
1
?S
?EFC
1
?GE???1?
，即
V
B
1
?EFG
?
． ……………分 < br>33222
由于
GE?
平面
AA
1
C
1C
，所以
V
G?EFC
1
?

. （本题满分分）
解：（）
f(x)?x?2x?t?3t

22
f(x)

?(x?1)
2
?t
2
?3t?1
． ……………分
①当
t?1
时，
f(x)
在
x?
[ t,??)
时为增函数，所以

x

f(x)
在
x?
[t,??)
时的最小值为
q(t)?f(t)?t
；……………分
②当
t?1
时，
q(t)?f(1)??t?3t?1
； ……………分
7 10
2

t(t?1)
?
综上所述，
q(t)?
?
2
． ……………分
?t?3t?1(t?1)
?
（）由（）知，当
t?0
时，
q(t)??t?3t?1
，
2
13
??1
． ……………分
t
2
t
1
13
2
由
q(t )?q()
得：
?t?3t?1??
2
??1
， ……………分
t
tt
所以当
t?0
时，
q()??
即
t?3t?3t?1?0
， ……………分
整理得
(t?1)(t?3t?1)?0
， ……………分
22
1
t
43
解得：
t??1
或< br>t?
3?5
. ……………分
2
又因为
t?0
，所以
t??1
.即存在< br>t??1
，使得
q(t)?q()
成立. ……………分

. （本题满分分）
解：（）圆
M
的方程可化为 ：
(x?2)?(y?2)?
22
1
t
17
，所以圆心M
（，），半径
r
2
34
. ……分
2
由于 点
A
的横坐标为
4
，所以点
A
的坐标为（，），即
AM?13
. ……………分
若直线
AC
的斜率不存在，很 显然直线
AM
与
AC
夹角不是
45
，不合题意，故直线AC
的斜率
一定存在，可设
AC
直线的斜率为
k
，则< br>AC
的直线方程为
y?5?k(x?4)
，即
. ……………分
kx?y?5?4k?0
?
由于
?MAC?45
所以
M
到直线
AC
的距离为
d?
226
|AM|?，此时
d?r
，即这样的
22
点
C
存在. ……………分
由
2k?2?5?4k
k
2
?1< br>?
3?2k
1
2626
，得，解得
k??5 或 k?
. ……………分
?
5
22
k
2
?1
所以所求直线
AC
的方程为
5x?y?25?0
或
x ?5y?21?0
. ……………分
()当
|AM| ?2r
时，过点
A
的圆
M
的两条切线成直角，从而存在圆上的点C
（切点）使得
?MAC?45
?
. ……………分
设点
A
的坐标为
(x,y)
，则有
8 10

?
?
(x?2)
2
?(y?2)
2< br>?2?
34
?17
， ……………分
?
2
?
x?y?9?0
?
解得
?< br>?
x?3
?
x?6
或
?
. ……………分
?
y?6
?
y?3
记点
(3,6)
为
P
，点
(6,3)
为
Q
，显然当点
A
在
线段
PQ
上时，过
A
的圆的两条切线成钝角，从
l

y

A

而必存在圆上的一点
C
使得
?MAC?45
；……分
当点
A
在线段
PQ
的延长线或反向延长线上时，过
?
?
M


A
的圆的两条切线成锐角，从而必不存在圆上的
点
C
使得
?MAC?45
， …………分
?
x

所以满足条件的点
A
为线段
PQ
上 的点，即满足条件的点
A
的横坐标取值范围是
?
3,6
?
. ……分

．（本题满分分）
解：（）由
f(x)?1?
1
可以看出，在区间
(0,1]
上，
f(x)
为增函数. ………………分
1?x
又
11111?x?11x1
f(x)?(1?)???
，……………分
x xx
1?x
x
1?x(1?x?1)1?x?1?x1?x
显然
1< br>f(x)
在区间
(0,1]
上为减函数，
x
?

f(x)
在区间
(0,1]
为“弱增”函数. ………………分
（）
f(x
2
)?f(x
1
)?

11
??
1?x
2
1?x
1
1?x
1?1?x
2
1?x
2
1?x
1
?
x
2
?x
1
1?x
2
1?x
1
(1?x
2?1?x
1
)
.…分
x
1
,x
2
?
?
0,??
?
,x
1
?x
2
,
?
1?x
1
?1
，
1?x
2
?1
，
1?x
1
?1?x
2
?2
，即
1?x
2
1?x
1
(1?x
2
?1?x
1
)?2
，……… ………分

?f (x
2
)?f(x
1
)
?
1
x
2
?x
1
. ………………分
2
（）当
x?0
时,不等式
1?ax?
1
显然成立. ………………分
1?x
9 10

“当
x?
?
0,1
?
时，不等式
1?ax?
1
恒成立”等价于“ 当
x??
0,1
?
时，不等式
1?x
a?
11
1(1?)
即
a?f(x)
恒成立” . ………………分
x
x
1?x
也就等价于:“ 当
x?
?
0,1
?
时，
a?[
1
f(x)]
min
成立” . ………………分
x
由()知
12
1
. ……………分
f(x)
在区间
(0,1]
上为减函数, 所以有
[f(x)]
min
?f(1)?1?
x
x2

?
a?1?
2
2
，即
a?1?
2
2
时，不等式
1?ax?
1
1?x
对
x?
?
0,1
?
恒成立.
















10 10
……………分