全国各省高中数学竞赛预赛试题汇编(含答案)

2012各省数学竞赛汇集
2012高中数学联赛江苏赛区初赛试卷
一、填空题（70分）
f(x)?|x
3
?3x|
的最大值为__18___.
uuur uuuruuuruuur
2、在
?ABC
中，已知
AC?BC?12,AC ?BA??4,
则
AC?
___4____.
1、当
x?[?3, 3]
时，函数
3、从集合
?
3,4,5,6,7,8
?
中随 机选取3个不同的数，这3个数可以构成等差数列的概率为
_____
3
______ _.
10
2
4、已知
a
是实数，方程
x
，则?(4?i)x?4?ai?0
的一个实根是
b
（
i
是虚部单位 ）
|a?bi|
的值为_____
22
___.
x
2y
2
5、在平面直角坐标系
xOy
中，双曲线
C:
?? 1
的右焦点为
F
，一条过原点
O
且
124
倾斜角为 锐角的直线
l
与双曲线
C
交于
A,B
两点.若
?F AB
的面积为
83
，则直线的斜
1
率为_______.
2
6、已知
a
是正实数，
k?a
lga
的取值范围是___
[1,??)
_____.
7、在四面体
ABCD
中，
A B?
体积为_____
5
8、已知
AC?AD?DB?5
,
BC?3
,
CD?4
该四面体的
3
_______.
等差 数列
?
a
n
?
和等比数列
?
b
n
?
满足：
a
1
?b
1
?3,a
2
?b2
?7,a
3
?b
3
?15,a
4
?b
4
?35,
则
a
n
?b
n
?
___3
n?1
?2n
___.
（
n?N
）
*71，75
这
7
个数排成一列，使任意连续
4
个数的和为
3
的倍数，9、将
27,37,47,48,55，
则这样的排列有___144_ ____种.
10、三角形的周长为
31
，三边
a,b,c
均为整 数，且
a?b?c
，则满足条件的三元数组
(a,b,c)
的个数为__24 ___.

二、解答题（本题80分，每题20分）
11、在
?AB C
中，角
A,B,C
对应的边分别为
a,b,c
，证明：
（1）
bcosC?ccosB?a

（2）
cosA?cosB< br>?
a?b
2sin
2
c
C
2

< br>12、已知
a,b
为实数，
a?2
，函数
a
f(x) ?|lnx?|?b(x?0)
x
.若
f(1)?e?1,f(2)?
（1） 求实数
a,b
；
（2）求函数
e
?ln2?1
.
2
f(x)
的单调区间；
（3）若实数
c,d
满足
c?d,cd?1
，求证：
f(c)?f(d)

13、如图，半径为
1
的 圆
O
上有一定点
M
为圆
O
上的动点.在射线
OM< br>

上有一动点
B
,
AB?1,OB?1
.线段AB
交圆
O
于另一点
C
，
D
为线段的
OB
中点.求线段
CD
长的取值范围.

14、设是
a,b,c,d
正整数，
a ,b
是方程
x
长是整数且面积为
ab
的直角三角形.


2
?(d?c)x?cd?0
的两个根.证明：存在边

2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案
（高一年级）
说明：评 阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，
只要思路合理、步骤正确， 在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。
一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。）


1．已知集合
A?{x|x?a},B?{x|x?b},a,b?
N，且
A ?B?
N
?{1}
，则
a?b?
1 ．
2．已 知正项等比数列
{a
n
}
的公比
q?1
，且
a2
,a
4
,a
5
成等差数列，则
a
1
?a
4
?a
7
3?5
．
?
a
3
?a
6
?a
9
2
3．函数
f(x)?
6
x ?1
[0,]
． 的值域为
x
2
?4x?7
6
3( sin
?
?cos
?
)
2
?2(sin
?
?cos
?
)
2
?1
，4．已知
3sin
2
?
?2sin
2
?
?1
，则
cos2(
?
?
?
)?
?
1
．
3
5．已知数列
{a
n
}
满足：
a
1
为正整数，
a
n?1< br>?
a
n
?
,a
n
为偶数,
?
?2

?
?
3a
n
?1,a
n
为奇数,
如果
a
1
?a
2
?a
3
?29
， 则
a
1
?
5 ．
6．在△
ABC
中， 角
A,B,C
的对边长
a,b,c
满足
a?c?2b
，且< br>C?2A
，则
sinA?
7
．
4

7 ．在△
ABC
中，
AB?BC?2
，
AC?3
．设
O
是△
ABC
的内心，若
AO?pAB?qAC
，
则
3
p
的值为．
q
2
55
?x
3
8．设
x
1
,x
2
,x
3
是方程
x
3< br>?x?1?0
的三个根，则
x
1
5
?x
2
的 值为 －5 ．
二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分，第11题20分）
29．已知正项数列
{a
n
}
满足
a
n
a
n?1
?a
n
a
n?2
?4a
n
a
n? 1
?a
n?1
?3a
n
a
n?1
且
a1
?1
，
a
2
?8
，求
{a
n
}
的通项公式．
解 在已知等式两边同时除以
a
n
a
n ?1
，得
1?
a
n?2
a
?41?
n?1
?3
，
a
n?1
a
n
所以
1?
an?2
a
?1?4(1?
n?1
?1)
．
a
n?1
a
n
------------------------ ------------------4分
令
b
n
?1?
数列< br>a
n?1
?1
,则
b
1
?4,b
n?1?4b
n
，即数列
{b
n
}
是以
b
1
＝4为首项,4为公比的等比
a
n
，所以
b
n
?b
1
?4
n?1
?4
n
.
------------------------------------------8分 < br>所以
1?
a
n?1
?1?4
n
a
n
,即
a
n?1
?[(4
n
?1)
2
?1]an
.
------------------------------------------12分
于是，当
n?1
时,
a
n
?[(4
n?1
?1)
2
?1]a
n?1
?[(4
n?1
?1)
2
?1]?[(4
n?2
?1)
2
?1]a
n?2


???
?
[(4
k?1
n?1
k? 1
?1)?1]a
1
?
2
?
[(4
k?1
n?1
k?1
?1)
2
?1]
，
因此,
n?1,
?
1,
?
n?1

a
n
?
?
[(4
k?1
?1)
2
?1],n?2.
?
?
k?1
?
---------------- --------------------------16分

10．已知正实数
a,b
满足
a
2
?b
2
?1
，且
a3
?b
3
?1?m(a?b?1)
3
，求
m
的 最小值．
解 令
a?cos
?
,b?sin
?
，
0?
?
?
33
?
2
，则
cos
?
?sin
?
?1
(cos
?
?sin
?
)(co s
2
?
?cos
?
sin
?
?sin
2< br>?
)?1
m??
．-------------------------(cos
?
?sin
?
?1)
3
(cos
?< br>?sin
?
?1)
3

--------------- 5分
令
x?cos
?
?sin
?
，则
x?2 sin(
?
?
?
4
)?(1,2]
，且
x
2
?1
．------------------------------10分
cos
?
sin
?
?
2
于是
x
2
?1
x(1?)?1
2?3x?x
3
2?x?x
2
2?x31
2
． -----------------
m??????
2(x?1)2(x?1)2
(x?1)
3
2(x?1)
3
2(x?1)
2
-------------15分
因为函数
f(x)?< br>因
f(2)?
31
?
在
(1,2]
上单调递减，所以
f(2)?m?f(1)
．
2(x?1)2
此，
m
的最小值为
32?4
． ------------------------------------------20分
2

11．设
f(x)?log
a
(x?2a)?log< br>a
(x?3a)
，其中
a?0
且
a?1
．若在区间< br>[a?3,a?4]
上
f(x)?1
恒成立，求
a
的取值范围 ．
5a
2
a
2
)?]
． 解
f(x)?lo g
a
(x?5ax?6a)?log
a
[(x?
24
22< br>由
?
5a
?
x?2a?0,
3
得
x?3a< br>，由题意知
a?3?3a
，故
a?
，从而
(a?3)?
2
2
?
x?3a?0,
数
3
?(a?2)?0
，
2
调递增. 故函
5a
2
a
2
g(x)?(x?)?
24
在区间
[a?3,a?4]
上单
---- --------------------------------------5分
（1）若< br>0?a?1
，则
f(x)
在区间
[a?3,a?4]
上单调递 减，所以
f(x)
在区间
[a?3,a?4]
上
的最大值为
f(a?3)?log
a
(2a
2
?9a?9)
．
在区间
[a?3,a?4]
上不等式
f(x)?1
恒成立，等价于不等式
l og
a
(2a
2
?9a?9)?1
成立，
从而
2a
2
?9a?9?a
，解得
a?
结
5?75?7
或< br>a?
．
22
合
0?a?1
0?a?1
． ------------------------------------------10分
得
（2）若
1?a?
3
，则
f(x)
在区间
[a? 3,a?4]
上单调递增，所以
f(x)
在区间
[a?3,a?4]
2
上的最大值为
f(a?4)?log
a
(2a
2
?12a ?16)
.
在区间
[a?3,a?4]
上不等式
f(x)?1恒成立，等价于不等式
log
a
(2a
2
?12a?16)?1
成立，

从而
2a
2
?12a?16?a
，即
2a
2
?13a?16?0
，解得
易知
13?4113?4 1
．
?a?
44
13?413
，所以
?
42
合． ------------------------------------------15分
不符
综上可知：
a
的取值范围为
(0,1)
． ------------------------------------------20分
2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题
（高二年级）
说明：评阅试卷时 ，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；解答题的评阅，
只要思路合理、步骤正确，在评卷时 可参考本评分标准适当划分档次评分。

一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。）

1．函数
f(x)?
x?1
的值域为________________．
x
2
?4x?7
2．已知
3sin
2
?
? 2sin
2
?
?1
，
3(sin
?
?cos
?
)
2
?2(sin
?
?cos
?
)
2
?1
，则
cos2(
?
?
?
)?
____ ___________．
3．已知数列
{a
n
}
满足：
a
1
为正整数，
a
n?1
?
a
n
?
,a
n
为偶数,
?
?
2
如果
a
1
?a
2
?a
3
?29
，
?
?
3a
n
?1,a
n
为奇数,
则
a
1
?
．
4．设集合
S?{1,2,3,?,12}
，
A?{a
1
,a
2
,a
3
}
是
S
的子集，且满足
a
1
?a
2
?a
3
，
a
3
?a2
?5
，
那么满足条件的子集
A
的个数为 ．
x
2
y
2
5．过原点
O
的直线
l与椭圆
C
：
2
?
2
?1(a?b?0)
交于< br>M,N
两点，
P
是椭圆
C
上异
ab
于
M,N
的任一点．若直线
PM,PN
的斜率之积为
?
______ _________．
1
，则椭圆
C
的离心率为
3
6．在 △
ABC
中，
AB?BC?2
，
AC?3
．设
O< br>是△
ABC
的内心，若
AO?pAB?qAC
，
则
p
的值为_______________．
q
7．在长方体
ABCD?A< br>1
B
1
C
1
D
1
中，已知
AC?1 ,B
1
C?2,AB
1
?p
，则长方体的体积最大
时，p
为_______________．
2012?2
k
]?
． 8．设
[x]
表示不超过
x
的最大整数，则
?
[
k?1
2
k?0
2012
二、解答题（本大题满分56分，第9题16分， 第10题20分，第11题20分）
2
9．已知正项数列
{a
n
}
满足
a
n
a
n?1
?a
n
a
n? 2
?4a
n
a
n?1
?a
n?1
?3a
n
a
n?1
且
a
1
?1
，

a
2
?8
，求
{a
n
}
的通项公式．











10．已知正实数
a,b
满足
a
2
?b
2
?1
，且
a
3
?b
3
?1?m(a?b?1)
3< br>，求
m
的取值范围．



















11．已知点
E(m,n)
为抛物线
y2
?2px(p?0)
内一定点，过
E
作斜率分别为
k
1
,k
2
的两条
直线交抛物线于
A,B,C,D
，且
M,N
分别是线段
AB,CD
的中点．
（1）当
n?0
且
k
1
?k
2
??1
时，求△
EMN
的面 积的最小值；
（2）若
k
1
?k
2
?
?
（
?
?0,
?
为常数），证明：直线
MN
过定点．

2012年全国高中数学联合竞赛湖北省预赛试题参考答案
（高二年级）
说明：评阅试卷时，请依据本评分标准。填空题只设8分和0分两档；解答题的 评阅，
只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准适当划分档次评分。

一、填空题（本题满分64分，每小题8分。直接将答案写在横线上。）

1．函数
f(x)?
6
x?1
[0,]
． 的值域为
2
x?4x?7
6
3(sin
?
?cos
?
)< br>2
?2(sin
?
?cos
?
)
2
?1，2．已知
3sin
2
?
?2sin
2
?
?1
，则
cos2(
?
?
?
)?
?
1
．
3
3．已知数列
{a
n
}
满足：
a
1
为正整数，
a
n?1
?
a
n
?
,an
为偶数,
?
?
2

?
?
3a
n
?1,a
n
为奇数,
如果
a
1
?a
2
?a
3
?29
，则
a
1
?
5 ．
4．设集合
S?{1,2,3,?,12}
，
A?{a
1
,a
2
,a
3
}
是
S
的子集，且满足
a
1
?a
2
?a
3
，
a
3
?a2
?5
，
那么满足条件的子集
A
的个数为 185 ．
x
2
y
2
5．过原点
O
的直线
l与椭圆
C
：
2
?
2
?1(a?b?0)
交于< br>M,N
两点，
P
是椭圆
C
上异
ab
6
1
于
M,N
的任一点．若直线
PM,PN
的斜率之积为
?
，则椭圆
C
的离心率为．
3
3
6．在△
ABC< br>中，
AB?BC?2
，
AC?3
．设
O
是△
ABC
的内心，若
AO?pAB?qAC
，
则
3
p
的值为．
q
2

7．在长方体
ABCD?A
1
B
1
C
1
D
1
中，已知
AC?1,B
1
C?2,AB
1
?p
，则长方体的体积最大
时，
p
为
1?
23
．
3
2012
2012?2
k
]?
2012 ． 8．设
[x]
表示不超过
x
的最大整数，则
?
[
k?1
2
k?0
二、解答题（本大题满分56分，第9题16分，第10题20分， 第11题20分）
2
9．已知正项数列
{a
n
}
满足a
n
a
n?1
?a
n
a
n?2
?4a
n
a
n?1
?a
n?1
?3a
n
a
n?1
且
a
1
?1
，
a
2
?8
，求
{a
n
}
的通项公式．
解 在已知等式两边同时除以
a
n
a
n?1
，得
1?
a
n?2
a
?41?
n?1
?3
，
a
n?1
a
n
所以
1?
a
n?2
a
?1?4(1?
n?1
?1)
．
a
n?1
a
n
--------------------------- ---------------4分
令
b
n
?1?
数列
a
n?1
?1
,则
b
1
?4,b
n?1
? 4b
n
，即数列
{b
n
}
是以
b
1
＝4为首项,4为公比的等比
a
n
，所以
b
n
?b
1
?4
n?1
?4
n
.
------------------------------------------8分 < br>所以
1?
a
n?1
?1?4
n
a
n
,即
a
n?1
?[(4
n
?1)
2
?1]an
.
------------------------------------------12分
于是，当
n?1
时,
a
n
?[(4
n?1
?1)
2
?1]a
n?1
?[(4
n?1
?1)
2
?1]?[(4
n?2
?1)
2
?1]a
n?2


???
?
[(4
k?1
n?1
k? 1
?1)?1]a
1
?
2
?
[(4
k?1
n?1
k?1
?1)
2
?1]
，
因此,
n?1,
?
1,
?
n?1

a
n
?
?
[(4
k?1
?1)
2
?1],n?2.
?
?
k?1
?
---------------- --------------------------16分

10．已知正实数
a,b
满足
a
2
?b
2
?1
，且
a3
?b
3
?1?m(a?b?1)
3
，求
m
的 取值范围．
解 令
a?cos
?
,b?sin
?
，
0?
?
?
?
2
，则

cos
3< br>?
?sin
3
?
?1
(cos
?
?sin< br>?
)(cos
2
?
?cos
?
sin
??sin
2
?
)?1
．---------------------- ---
m??
(cos
?
?sin
?
?1)
3(cos
?
?sin
?
?1)
3
---------- -----5分
令
x?cos
?
?sin
?
，则 x?2sin(
?
?
?
4
)?(1,2]
，且
x
2
?1
．------------------------------10分
cos
?
sin
?
?
2
于是
x
2
?1
x(1?)?1
2?3x?x
3
2?x?x
2
2?x31
2
． -----------------
m??????
332
2(x?1)2(x?1)2
(x?1)2(x?1)2(x?1)
- ------------15分
因为函数
f(x)?
又
m?[
3 1
?
在
(1,2]
上单调递减，所以
f(2)?m?f(1)
．
2(x?1)2
f(1)?
132?4
,f(2)?
42，所以
32?41
,)
． --------------------------------------20分
24

11．已知点
E(m,n)
为抛物线
y
2< br>?2px(p?0)
内一定点，过
E
作斜率分别为
k
1
,k
2
的两条
直线交抛物线于
A,B,C,D
，且
M,N
分别是线段
AB,CD
的中点．
（1）当
n?0
且
k
1
?k
2
??1
时，求△
EMN
的面积的最小 值；
（2）若
k
1
?k
2
?
?
（
?
?0,
?
为常数），证明：直线
MN
过定点．
解 < br>AB
所在直线的方程为
x?t
1
(y?n)?m
，其中
t
1
?
1
，代入
y
2
?2px
中，得
k
1
y
2
?2pt
1
y?2pt
1
n?2pm?0
，
设
A(x
1
,y
1
),B( x
2
,y
2
)
，则有
y
1
?y
2
?2pt
1
，从而
x
1
?x
2
?t1
(y
1
?y
2
?2n)?2m?t
1
(2p t
1
?2n)?2m
．
2
则
M(pt
1
?nt
1
?m,pt
1
)
．
其中
t
2< br>?
CD
所在直线的方程为
x?t
2
(y?n)?m
，
1
2
，同理可得
N(pt
2
?nt
2
?m ,pt
2
)
．
k
2
----------------- ------------------
-------5分
22
（1）当
n?0
时，
E(m,0)
，
M(pt
1
?m,pt
1
)
，
N(pt
2
?m,pt
2
)
，|EM|?|pt
1
|1?t
1
2
，
2
|EN |?|pt
2
|1?t
2
．
又
k
1
?k
2
??1
，故
t
1
?t
2
??1
，于是△
EMN
的面积

11
2
p
2
22
S?|EM|?|EN|?|pt
1
t
2
|(1?t
1
)(1?t
2
)??2?t
1
2
?t
2
2

222
p
2
??4?p
2
，
2当且仅当
|t
1
|?|t
2
|?1
时等号成立．
所以，△
EMN
的面积的最小值为
p
2
.
------------------------------------------10分
（2）
k
MN
?
p(t
1
?t
2
)
p(t
1
?t
2
)?n(t
1
?t
2< br>)
22
?
1
n
(t
1
?t
2
)?
p
1
n
p
，
MN
所在直线的方程为
y?pt
1
??[x?(pt
1
?nt
1
?m]
，
2
(t
1
?t
2
)?
即
y(t
1
?t
2
?
n
)?pt
1
t
2
?x?m
． ------------------------------------------15分
p
又
k
1
?k
2
?
t?t
n
t? t
11
即
t
1
t
2
?
12
，代入 上式，得
y(t
1
?t
2
?)?p?
12
?x?m
，
??
?
，
t
1
t
2
?
p
?
pny
即
(t
1
?t
2
)(y?)?x??m
．
?
p
p
?
y?
?
ny
p
?
当
y? ?0
时，有
x??m?0
，即
?
为方程的一组解，
np
?
?
x?m?
?
?
所
(m?
以直线
MN
恒过定点
??
n
p
,)
． ------------------------------------------20分

2012年上海市高中数学竞赛
一、填空题（本题满分60分，前4小题每小题7分，后4小题每小题8分）
1.如图,正六 边形
A
1
B
1
C
1
D
1
E
1
F
1
的边长为1,它的6条对角线又
围成一个正六边形
A
2
B
2
C
2
D
2
E
2
F
2
,如此继续下去,则所有这些
六边形的面积和是 .

2.已知正整数
a
1
,a
2
,L,a
10
满足:
B1A2
F2
A1
F1
B2
E2
a
j
3
?,1?i?j?10
,则
a
10
a
i2
C2
C1
D2
E1
的最小可能值是 .


174
3.若
tan
?
?tan
?
?tan
?
?
，
cot
?
?cot
?< br>?cot
?
??
,
cot
?
cot
?

65
17
?cot
?
cot
?
?cot
?
cot
?
??
，则
tan
?
?
??
?
?
?
?
.
5
4．已知关于
x
的方程
lg
?
kx
?
?2lg?
x?1
?
仅有一个实数解，则实数
k
的
取值范围是 .


5．如图，
?AEF
是边长为
x
的正方形
ABCD
的内接三角形，已知
B
A
D1
D
F
E
C
?AEF?90?
，
AE?a,EF?b,a?b
，则
x?
.

6．方程
2
m
?3
n
?3
n?1
?2
m
?13
的非负整数解
?
m,n
?
?
.


7．一个口袋里有5个大小一样的小球，其中两个是红色的，两个是白色的，一
个是黑色的，依次从中摸 出5个小球，相邻两个小球的颜色均不相同的概率
是 .（用数字作答） 8．数列
?
a
n
?
定义如下：
a
1
? 1,a
2
?2,a
n?2
?
2
?
n?1
?
n
a
n?1
?a
n
,n?1,2,
L
.若
n?2n?2
a
m
?2?




2011
，则正整数
m
的最小值为 .
2012

二、解答题
9．（本题满分14分） 如图，在平行四边形ABCD中，
AB?x
，
BC?1
，对角线
AC 与BD的夹角
?BOC?45?
，记直线AB与CD的距离为
h(x)
．
求
h(x)
的表达式，并写出x的取值范围．









10．（本题满分14分）给定实数
a?1
，求函数
f(x)?
值．












11．（本题满分16分）正实数
x,y,z
满足
9x yz?xy?yz?zx?4
，求证：
（1）
xy?yz?zx?
A
D
C
O
B
(a?sinx)(4?sinx)
的最小
1? sinx
4
；
3
（2）
x?y?z?2
．

12．（本题满分16分）给定 整数
n(?3)
，记
f(n)
为集合
?
1,2,L,2n
?1
?
的满足如下
两个条件的子集A的元素个数的最小值：
（a）
1?A,2
n
?1?A
；
（b） A中的元素（除1外）均为A中的另两个（可以相同）元素的和．
（1）求
f(3)
的值；
（2）求证：
f(100)?108
．

2012年上海市高中数学竞赛答案
1、
93
2、92
4
3、11 4、
?
??,0
?
U
?
4
?

5、
a
2
a?(a?b)
22
6、
?
3,0
?
,
?
2,2
?

2
7、 8、4025
5
9．解 由平行四边形对角线平方和等于四条边的平方和得
11
①
OB
2
?OC
2
?(AB
2
?BC
2
)?(x
2
?1)
．
22
…………………（2分）
在△OBC中，由余弦定理
BC
2
?OB
2
?OC
2
?2OB?OCcos?BOC
，
所以
OB
2
?OC
2
?2OB?OC?1
， ②
x
2
?1
由①，②得
OB?OC?
． ③
22
…………………（5分）
1
所以
S
ABCD
?4S
?OBC
?4?OB?OCsin?BOC

2
x
2
?1
?2OB?OC
?
，
2
x
2
?1
故
AB?h(x)
?
，
2
x
2
?1
所以
h(x)?
． …………………（10分）
2x
由 ③可得，
x
2
?1?0
，故
x?1
．
因为
OB
2
?OC
2
?2OB?OC
，结合②，③可得

1
2
x
2
?1

(x?1)?2?
，
2
22
解得（结合
x?1
）
1?x?2?1
．
x
2
?1
综上所述，
h(x)?
，
1?x?2?1
． …………………（14分）
2x
10．解
f(x)?
当
1?a?
(a?sinx)(4?sinx)3(a?1)
?1?sinx??a?2
．
1?sinx1?sinx
7
时，
0?3(a?1)?2
，此时
3
3(a?1)
f(x)?1?sinx??a?2?23(a?1)?a?2
，
1?sinx
且当
sinx?3(a?1)?1
?
?
?
?1,1
?
?
时不等式等号成立，故
f
min
( x)?23(a?1)?a?2
．
…………………（6分）
73(a?1)
当
a?
时，
3( a?1)?2
，此时“耐克”函数
y?t?
在
0,3(a?1)
?< br>?
3t
内是递减，故此时
3(a?1)5(a?1)
．
f
min
(x)?f(1)?2??a?2?
22
?
7
?23(a?1)?a?2,1?a?;
?
?
3
…………………（14分） 综上所述，
f
min
(x)?
?

7
?
5(a?1)
,a?.
?
3
?
211．证 （1）记
t?
xy?yz?zx
，由平均不等式
3
xyz?
?
3
(xy)(yz)(zx)
?
3
2
?
xy?yz?zx
?
?
??
．
3
??
32
3
2

…………………（4分）

于是
4?9xyz?xy?yz?zx?9t?3t
，

所以
?
3t?2
?
3t?3t?2?0
，
2
??
2
，从而
3
4

xy?yz?zx?
． …………………（10分）

3
（2）又因为
而
3t?3t?2?0
，所以
3 t?2?0
，即
t?
2
(x?y?z)
2
?3(xy?yz ?zx)
，

所以
(x?y?z)?4
，
故
x?y?z?2
． …………………（16分）
2
12．解 （1）设集合
A?
?
1,2,L,2
3
?1
?
，且A满足（a），（b）．则
1?A,7?A
．由
于?
1,m,7
??
m?2,3,L,6
?
不满足（b），故A? 3．
又
?
1,2,3,7
?
,
?
1,2,4, 7
?
,
?
1,2,5,7
?
,
?
1,2, 6,7
?
,
?
1,3,4,7
?
,
?
1, 3,5,7
?
,
?
1,3,6,7
?
,
，故A?4．
?
1,4,5,7
?
,
?
1,4, 6,7
?
,
?
1,5,6,7
?
都不满足
（b）
而集合
?
1,2,4,6,7
?
满足（a），（b），所以
f(3)?5
．
…………………（6分）

（2）首先证明
f(n?1)?f(n)?2,n?3,4,L
． ①
事实上，若
A?
?
1,2,L,2
n
?1
?< br>，满足（a），（b），且A的元素个数为
f(n)
．
令
B?AU< br>?
2
n?1
?2,2
n?1
?1
?
，由于< br>2
n?1
?2?2
n
?1
，故
B?f(n)?2．
又
2
n?1
?2?2(2
n
?1),2
n ?1
?1?1?(2
n?1
?2)
，所以，集合
B?
?1,2,L,2
n?1
?1
?
，
且B满足（a），（b）．从而

f(n?1)?B?f(n)?2
．
…………………（10分）

其次证明：
f(2n)?f(n)?n?1,n?3,4,L
． ②
事实上，设
A?
?
1,2,L,2
n
?1
?< br>满足（a），（b），且A的元素个数为
f(n)
．令
B?AU
?< br>2(2
n
?1),2
2
(2
n
?1),L,2
n
(2
n
?1),2
2n
?1
?
，
由于
2(2
n
?1)?2
2
(2< br>n
?1)?L?2
n
(2
n
?1)?2
2n
?1
，
所以
B?
?
1,2,L,2
2n
?1?
，且
B?f(n)?n?1
．而
2
k?1
(2n
?1)?2
k
(2
n
?1)?2
k
(2n
?1),k?0,1,L,n?1
，
2
2n
?1?2
n
(2
n
?1)?(2
n
?1)
，
从而B满足（a），（b），于是

f(2n)?B?f(n)?n?1
．
…………………（14分）

由①，②得
f(2n?1)?f(n)?n?3
． ③
反复利用②，③可得
f(100)?f(50)?50?1?f(25)?25?1?51


?f(12)?12?3?77?f(6)?6?1?92


?f(3)?3?1?99?108
．
…………………（16分）

2012年全国高中数学联合竞赛（四川初赛）
一、单项选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
1、设集合
S?x| x
2
?5x?6?0
，
T?x|x?2|?3
，则
S?T< br>=（ ）
A、
{x|?5?x??1}
B、
{x|?5?x?5}
C、
{x|?1?x?1}
D 、
{x|1?x?5}

2、正方体
ABCD?A
1
B< br>1
C
1
D
1
中
BC
1
与截面
BB
1
D
1
D
所成的角是（ ）
A、
??
??
??
??
B、 C、 D、
6432
2
3、已知
f(x)?x?2x?3
，
g(x)?kx?1
， < br>则“
|k|?2
”是“
f(x)?g(x)
在
R
上恒 成立”的（ ）
A、充分但不必要条件 B、必要但不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件
4、设正三角形
?
1
的面积为
S1
，作
?
1
的内切圆，再作内切圆的内接正三角形，设为
?2
，面
积为
S
2
，如此下去作一系列的正三角形
?3
,?
4
,L
，其面积相应为
S
3
,S
4
,L
，
设
S
1
?1
,
T
n
?S
1
?S
2
?L?S
n
，则
limT< br>n
=（ ）
n???
A 、
643
B 、 C、 D 、2
532
2
5、设抛物线
y?4x
的焦点为
F
，顶点为
O
，
M
是抛物线上的动点，则
为（ ）
A 、
|MO|
的最大值
|MF|
23
3
4
B 、 C、 D 、
3

3
3
3
6、设倒圆锥形容器的轴截面为一个等边三角形，在此容器内注入水， 并放入半径为
r
的一

个实心球，此时球与容器壁及水面恰好都相切，则 取出球后水面高为（ ）
A、
r
B、
2r
C、
3
12r
D、
3
15r

二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）

A



B

7、如图，正方形
ABCD
的边长为3，
E
为
DC
的
D
F
E
C

uuur uuur
中点，
AE
与
BD
相交于
F
，则
FD?DE
的值是 ．
8、
(x?x?)
的展开式中的常数项是 ．（用具体数字作答）
2
1
x
6
(a
n
?1)< br>2
9、设等比数列
{a
n
}
的前
n
项和为< br>S
n
，满足
S
n
?
，则
S
20的值为 ．
4
10、不超过2012的只有三个正因数的正整数个数为 ．
11、已知锐角
A,B
满足
tan(A?B)?2tanA
，则
tanB
的最大值是 ．
12、从1,2, 3,4,5组成的数字不重复的五位数中，任取一个五位数
abcde
，
满足条件“
a?b?c?d?e
”的概率是 ．

三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）
13、设函数
f(x)?sinx?3cosx?1
，
（I）求函数
f(x)
在
[0,
?
2
]
上的最大值与最小值；
bcosc
的值．
a
（II）若实数
a,b,c
使得af(x)?bf(x?c)?1
对任意
x?R
恒成立，求

14、已知
a,b,c?R
，满足
abc(a?b ?c)?1
，
（I）求
S?(a?c)(b?c)
的最小值；
（II）当
S
取最小值时，求
c
的最大值．











1 5、直线
y?kx?1
与双曲线
x?y?1
的左支交于
A
、 直线
l
经过点
(?2,0)
和
AB

B
两 点，
的中点，求直线
l
在
y
轴的截距
b
的取值范围 ．




















n2
16、设函数
f
n
(x)?x(1?x)
在
[,1]
上的最大值为
a
n
（
n?1,2,3,L
）．
?
22
1
2
（I）求数列
{a
n
}
的通项公式；

（II）求证：对任何正整数
n(n?2)
， 都有
a
n
?
1
成立；
2
(n?2)
（I II）设数列
{a
n
}
的前
n
项和为
S
n
，求证：对任意正整数
n
，都有
S
n
?














2012
7
成立．
16
年全国高中数学联合竞赛（四川初赛）
参考解答
一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
1、C 2、A 3、A 4、B 5、B 6、D
二、填空题（本大题共6个小题，每小题5分，共30分）
7、
?
2
32
8、
?5
9、0 10、14 11、 12、
4
215
三、解答题（本大题共4个小题，每小题20分，共80分）
13 、解：（I）由条件知
f(x)?2sin(x?
由
0?x?
?
3< br>
)?1
， （5分）
5
?
1
?
，于是
?sin(x?)?1

233623
?
1
所以
x?
时，
f(x)
有最小值
2??1?2
；
22
?
知，
?
?x?< br>?
?
当
x?
?
6
时，
f(x)
有最 大值
2?1?1?3
． （10分）
（II）由条件可知
2asin(x?)?2bsin(x??c)?a?b? 1
对任意的
x?R
恒成立，
33
∴
2asin(x???
?
)?2bsin(x?)?cosc?2bcos(x?)?sinc?(a?b? 1)?0

333
??
∴
2(a?bcosc)?sin(x??
)?2bsinc?cos(x?)?(a?b?1)?0

33
?

?
a?bcosc?0
?
∴
?
bsinc?0
, （15分）
?
a?b?1?0
?
由
bsinc?0
知b?0
或
sinc?0
。
若
b?0
时，则由
a?bcosc?0
知
a?0
，这与
a?b?1?0
矛盾！
若
sinc?0
，则
cosc?1
（舍去），
cosc??1，
1bcosc
,c?(2k?1)
?
，所以，
??1
． （20分）
2a
1
2
14、解：（I）因为
(a?c)(b?c) ?ab?ac?bc?c
?ab?(a?b?c)c?ab?
（5分）
ab
解得
a?b?

?2ab?
1
?2
，等号成立的条件是
ab?1
，
ab
2?1
时，
S
可取最小值2． （10分） 当
a?b?1,c?
（II）当
S
取最小值时，
ab? 1
，从而
c(a?b?c)?1
，
2
即
c?(a?b)c ?1?0
，令
t?a?b
，则
t?2ab?2
（15分）
?t?t
2
?4?t?t
2
?4
?0
（舍去） 从 而
c?
或者
c?
22
?t?t
2
?42
故
c?
在
t?[2,??)
单减，
?
2
2
t?4?t
所以在
t?2
时，
c
有最大值
2?1
． （20分）

?
y?kx?1
15、解：将直线
y?kx?1与双曲线
x?y?1
方程联立得
?
2

2
?< br>x?y?1
22
化简得
(k?1)x?2kx?2?0
① （5分）
22
?
?
??4k
2
?8(k
2
?1)?0
?
2k
?
?0
，解得
1?k?2
．由 题设知方程①有两负根，因此
?
x
1
?x
2
??
2
（10分）
k?1
?
2
?
x?x??0
122
?
k?1
?
设
A(x
1
,y
1),B(x
2
,y
2
)
，则有
x
1
? x
2
??
2k
，
k
2
?1

2k
2
2
y
1
?y
2
?k(x
1
?x
2
)?2??
2
?2??
2

k?1k?1
k1
,?)
，
22
k?1k?1
? 1?2
所以直线
l
方程为
y?
，其在轴的截距，（15分）
(x?2)?
b
y
2k
2
?k?22k
2
?k? 2
1
2
17
2
当
1?k?2
时，
2k?k ?2?2(k?)?
，其取值范围是
(?1,2?2)

48
?2< br>所以
b
?
的取值范围是
(??,?2?2)U(2,??)
． （20分）
2
2k?k?2
故
AB
的中点为
(?

'n?12nn?1
16、解：（I）
f
n
(x)?nx(1?x) ?2x(1?x)?x(1?x)[n(1?x)?2x]
，
n
， （5分）
n?2
n11111
当
n?1
时，
??[,1]
，又
f
1
()?
，
f
n
(1)?0
，故
a
1
?
；
n?232288
n11111
当
n?2
时，
??[,1]
，又
f
2
()?
，
f
n
(1)?0
，故
a
2
?
； n?22221616
n1
当
n?3
时，
?[,1]
，
n?22
1nn
∵
x?[,)
时，
f
n
'
(x)?0
；
x?(,1)
时，
f
n
'
( x)?0
；
2n?2n?2
'
当
x?[,1]
时，由f
n
(x)?0
知
x?1
或者
x?
1
2
n
n
2
2
4n
n
n
)()?
∴
f
n
(x)
在
x?
处取得最大值，即
a
n
?(

n?2
n?2n?2(n?2)
n?2
?
1
?
8
,(n?1)
?
综上所述，
a
n
?< br>?
． （10分） n
?
4n
,(n?2)
n?2
?
?
(n?2)
4n
n
1
2
n
?
（II）当
n?2
时，欲证 ，只需证明
(1?)?4

(n?2)
n?2
(n?2 )
2
n
2
1
2
22n
nn
n(n?1)4
?
2
?1?2?1?4

?1?2?
2 n
n01
∵
(1?)?C
n
?C
n
?()?Cn
?()?L?C
n
?()

2
n
2
n
n
所以，当
n?2
时，都有
a
n
?
1< br>成立． （15分）
2
(n?2)
（III）当
n?1,2
时，结论显然成立；

当
n?3
时，由（II）知
S
n
?

?
11
??a
3
?a
4
?L?a
n

816
11111
??
2
?
2
?
L< br>?

81656(n?2)
2
11111111
??(?)? (?)?
L
?(?)

8164556n?1n?2
1117

????
．
816416
7
所以，对任意正整数
n
，都有
S
n
?
成立． （20分）
16

?