2019高中数学竞赛试卷及答案

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2019年全国高中数学联合竞赛加试试题A卷

一、（本题满分40分 ）如图，在锐角△ABC中，M是BC边的中点。点P地△ABC内，使得AP平分∠
BAC。直线MP 与△ABP，△ACP的外接圆分别相交于不同点P的两点D,E。证明：若DE=MP，则BC=2BP。（答题时请将图画在答题纸上）


二、（本题满分40分）设整数a
1
,a
2
,…,a
2019
满分1=a
1
≦a2
≦…≦a
2019
=99
.f =( a
1
2+a
2
2
+…+a
2019
2
)- ( a
1
a
3
+a
2
a
4
+ a
3
a
5
+…+ a
2017
a
2019
).
求f 的最小值f
0
，并确定使f = f
0
成立的数组( a
1
,a
2
,…,a
2019
)的个数。
三、（ 本题满分50分）设m为整数，|m|≧2。整数数列a
1
,a
2
,…,满足 ：a
1
,a
2
不全为零，且对任意正
整数n均有a
n+2< br>=a
n+1
-ma,

证明：若存在整数r,s(r﹥s≧2)使得 a
r
=a
s
=a
1
,则r-s≧|m|。
四、（ 本题满分50分）设V是空间中2019个点构成的集合，其中任意四点不共面，某些点之间连有
线段， 设E为这些线段构成的集合。试求最小的正整数n,满足条件：若E至少有 n个元素，则E一
定含有9 08个二元子集，其中每从此二元子集中的两条线段有公共端点，且任意两个二元子集的交为
空集。






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2019年全国高中数学联合竞赛一试试题A卷答案

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