高中数学竞赛讲义

──复数
一、基础知识
2
1．复数的定义：设i为方程x=-1的 根，i称为虚数单位，由i与实数进行加、减、乘、
除等运算。便产生形如a+bi（a,b∈R）的数 ，称为复数。所有复数构成的集合称复数集。
通常用C来表示。
2．复数的几种形式。对任意 复数z=a+bi（a,b∈R），a称实部记作Re(z),b称虚部记
作Im(z). z=ai称 为代数形式，它由实部、虚部两部分构成；若将(a,b)作为坐标平面内点
的坐标，那么z与坐标平面 唯一一个点相对应，从而可以建立复数集与坐标平面内所有的点
构成的集合之间的一一映射。因此复数可 以用点来表示，表示复数的平面称为复平面，x轴
称为实轴，y轴去掉原点称为虚轴，点称为复数的几何 形式；如果将(a,b)作为向量的坐标，
复数z又对应唯一一个向量。因此坐标平面内的向量也是复数 的一种表示形式，称为向量形
式；另外设z对应复平面内的点Z，见图15-1，连接OZ，设∠xOZ =θ,|OZ|=r，则a=rcos
θ,b=rsinθ,所以z=r(cosθ+isinθ)，这 种形式叫做三角形式。若z=r(cosθ+isinθ)，
则θ称为z的辐角。若0≤θ<2π，则θ 称为z的辐角主值，记作θ=Arg(z). r称为z的模，
iθiθ
也记作|z|，由勾股 定理知|z|=.如果用e表示cosθ+isinθ，则z=re，称为复数的指数
形式。
3．共轭与模，若z=a+bi，（a,b∈R）,则a-bi称为z的共轭复数。模与共轭的性质有：
（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）||z
1
|-|z
2
||≤|z
1
±z
2
|≤|z
1
|+|z2
|；
2222
（8）|z
1
+z
2
|+|z
1
-z
2
|=2|z
1
|+2|z
2
|； （9）若|z|=1，则。
4．复数的运算法则：（1）按代数形式运算加、减、乘、除运算法则与实 数范围内一致，
运算结果可以通过乘以共轭复数将分母分为实数；（2）按向量形式，加、减法满足平行 四
边形和三角形法则；（3）按三角形式，若z
1
=r
1
(cosθ
1
+isinθ
1
), z
2
=r
2
(c osθ
2
+isinθ
2
)，
则z
1
z
2
=r
1
r
2
[cos(θ
1
+θ
2
)+isin(θ
1
+θ
2
)]；若[cos(θ
1
-θ
2
)+isin(θ
1
-θ
2
)]，用指数形式记
i(θ1+θ2)
为z
1
z
2
=r
1
r
2
e,
nn
5.棣莫弗定理：[r(cosθ+isinθ)]=r(cosnθ+isinnθ).
6.开方：若r(cosθ+isinθ)，则，k=0,1,2,…,n-1。
n
7．单位根：若w=1，则称w为1的一个n次单位根，简称单位根，记Z
1
=，则全部单位< br>根可表示为1,,.单位根的基本性质有（这里记，k=1,2,…,n-1）：（1）对任意整数k，若
k=nq+r,q∈Z,0≤r≤n-1，有Z
nq+r
=Z
r
；（ 2）对任意整数m，当n≥2时，有=特别1+Z
1
+Z
2
+…
n- 1n-2
+Z
n-1
=0；（3）x+x+…+x+1=(x-Z
1
)(x-Z
2
)…(x-Z
n-1
)=(x-Z
1
)(x- )…(x-).
8.复数相等的充要条件：（1）两个复数实部和虚部分别对应相等；（2）两个复数 的模
和辐角主值分别相等。
9．复数z是实数的充要条件是z=;z是纯虚数的充要条件是：z+=0（且z≠0）.
10.代数基本定理：在复数范围内，一元n次方程至少有一个根。
11．实系数方程虚根成 对定理：实系数一元n次方程的虚根成对出现，即若z=a+bi(b
≠0)是方程的一个根，则=a- bi也是一个根。
22
12．若a,b,c∈R,a≠0，则关于x的方程ax+bx+c= 0，当Δ=b-4ac<0时方程的根为
二、方法与例题
1．模的应用。
2n2n
例1 求证：当n∈N
+
时，方程(z+1)+(z-1)=0只有纯虚根。
2n2n2n2n
[证明] 若z是方程的根，则(z+1)=-(z-1)，所以|(z+ 1)|=|-(z-1)|,即
22
|z+1|=|z-1|,即(z+1)(+1)=(z- 1)(-1)，化简得z+=0，又z=0不是方程的根，所以z是纯
虚数。
2
例2 设f(z)=z+az+b,a,b为复数，对一切|z|=1，有|f(z)|=1，求a,b的值。

[解] 因为4=(1+a+b)+(1-a+b)-(-1+ai+b)-(-1-ai+b)
=|f(1)+f(-1)-f(i)-f(-i)|

≥|f(1)|+|f(-1)|+|f(i)|+|f(-i)|=4，其中等号成立。
所以f(1),f(-1),-f(i),-f(-i)四个向量方向相同，且模相等。
所以f(1)=f(-1)=-f(i)=-f(-i)，解得a=b=0.
2.复数相等。
2
例3 设λ∈R，若二次方程(1-i)x+(λ+i)x+1+λi=0有两个虚根，求λ满足的充要
条件。
[解] 若方程有实根，则方程组有实根，由方程组得(λ+1)x+λ+1=0.若λ=-1，则方
2
程x-x+1=0中Δ<0无实根，所以λ≠-1。所以x=-1, λ=2.所以当λ≠2时，方程无实根。
所以方程有两个虚根的充要条件为λ≠2。
3．三角形式的应用。
n
例4 设n≤2000,n∈N，且存在θ满足(sin θ+icosθ)=sinnθ+icosnθ，那么这样
的n有多少个
[解] 由题设得
，所以n=4k+1.又因为0≤n≤2000，所以1≤k≤500，所以这样的n有500个。
4．二项式定理的应用。
例5 计算：（1）；（2）
1
[解] (1+i)=[(1+i)]=(2i)=-2,由二项式定理(1+i)= =)+()i，比较实部和虚
50
部，得=-2，=0。
5．复数乘法的几何意义。
例6 以定长线段BC为一边任作ΔABC，分别以AB，AC为腰，B，C为直角顶点向外作
等腰直角ΔABM、等腰直角ΔACN。求证：MN的中点为定点。
[证明] 设|BC|=2a ，以BC中点O为原点，BC为x轴，建立直角坐标系，确定复平面，
则B，C对应的复数为-a,a, 点A，M，N对应的复数为z
1
,z
2
,z
3
,，由复数乘 法的几何意义得：，
①，②由①+②得z
2
+z
3
=i(z
1
+a)-i(z
1
-a)=2ai.设MN的中点为P，对应的复数z=,为定值， 所
以MN的中点P为定点。
例7 设A，B，C，D为平面上任意四点，求证：ABAD+BCAD≥ACBD。
[证明] 用A，B ，C，D表示它们对应的复数，则(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D)=(A-C)(B-D)，因为|A-B||C-D|+|B-C||A-D|≥(A-B)(C-D)+(B-C)(A-D).
所以|A-B||C-D|+|B-C||A-D|≥|A-C||B-D|, “=”成立当且仅当，即=π，即A，B，C，
D共圆时成立。不等式得证。
6．复数与轨迹。
例8 ΔABC的顶点A表示的复数为3i，底边BC在实轴上滑动，且 |BC|=2，求ΔABC
的外心轨迹。
[解]设外心M对应的复数为z=x+yi(x,y ∈R)，B，C点对应的复数分别是b,b+2.因为外
心M是三边垂直平分线的交点，而AB的垂直平 分线方程为|z-b|=|z-3i|，BC的垂直平分线
的方程为|z-b|=|z-b-2|，所以 点M对应的复数z满足|z-b|=|z-3i|=|z-b-2|，消去b解得
所以ΔABC的外心轨迹是轨物线。
7．复数与三角。
例9 已知cosα+c osβ+cosγ=sinα+sinβ+sinγ=0，求证：cos2α+cos2β+cos2
γ =0。
[证明] 令z
1
=cosα+isinα,z
2
=co sβ+isinβ,z
3
=cosγ+isinγ，则

z
1
+z
2
+z
3
=0。所以又因为|z
i
|=1,i =1,2,3.
所以z
i
=1，即
由z
1
+z
2
+z
3
=0得 ①
又
所以
所以cos2α+cos2β+cos2γ+i(sin2α+sin2β+sin2γ)=0.
所以cos2α+cos2β+cos2γ=0。
000
例10 求和：S=cos20+2cos40+…+18cos18×20.
0018000
[解] 令w=cos20+isin20,则w=1，令P=sin20+2sin40+…+18sin18×20, 则
218231819
S+iP=w+2w+…+18w. ①由①×w得w(S+iP)=w+2w+…+17w+18w，②由①- ②得
21819
(1-w)(S+iP)=w+w+…+w-18w=，所以S+iP=，所以
8．复数与多项式。
nn-1
例11 已知f(z)=c
0
z+ c
1
z+…+c
n-1
z+c
n
是n次复系数多项式(c< br>0
≠0).
求证：一定存在一个复数z
0
,|z
0
|≤1，并且|f(z
0
)|≥|c
0
|+|c
n
|.
nn-1iθ
[证明] 记c
0
z+c
1
z+…+cn-1
z=g(z),令=Arg(c
n
)-Arg(z
0
)， 则方程g(Z)-c
0
e=0为n
iθ
次方程，其必有n个根，设为z
1
,z
2
,…,z
n
，从而g(z)-c
0
e= (z-z
1
)(z-z
2
)…(z-z
n
)c
0< br>，令z=0
iθn
得-c
0
e=(-1)z
1
z2
…z
n
c
0
，取模得|z
1
z
2< br>…z
n
|=1。所以z
1
,z
2
,…，z
n
中必有一个z
i
使得|z
i
|≤
iθiθ
1,从而 f(z
i
)=g(z
i
)+c
n
=c
0
e =c
n
，所以|f(z
i
)|=|c
0
e+c
n< br>|=|c
0
|+|c
n
|.
9.单位根的应用。
例12 证明：自⊙O上任意一点p到正多边形A
1
A
2
…An
各个顶点的距离的平方和为定
值。
[证明] 取此圆为单位圆，O为原点， 射线OA
n
为实轴正半轴，建立复平面，顶点A
1
23n
对应复数设 为，则顶点A
2
A
3
…A
n
对应复数分别为ε，ε，…，ε .设点p对应复数z,则|z|=1,
且=2n-
=2n-命题得证。
10．复数与几何。
例13 如图15-2所示，在四边形ABCD内存在一点P，使得Δ PAB，ΔPCD都是以P为
直角顶点的等腰直角三角形。求证：必存在另一点Q，使得ΔQBC，ΔQ DA也都是以Q为直角
顶点的等腰直角三角形。
[证明] 以P为原点建立复平面，并用A ，B，C，D，P，Q表示它们对应的复数，由题
设及复数乘法的几何意义知D=iC,B=iA；取， 则C-Q=i(B-Q)，则ΔBCQ为等腰直角三角形；
又由C-Q=i(B-Q)得，即A-Q=i (D-Q)，所以ΔADQ也为等腰直角三角形且以Q为直角顶点。
综上命题得证。
例14 平面上给定ΔA
1
A
2
A
3
及点p
0
，定 义A
s
=A
s-3
,s≥4，构造点列p
0
,p
1
,p
2
,…,使得p
k+1
0
为绕中心A
k+1< br>顺时针旋转120时p
k
所到达的位置，k=0,1,2,…,若p
1986< br>=p
0
.证明：ΔA
1
A
2
A
3
为
等边三角形。
[证明] 令u=，由题设，约定用点同时表示它们对应的复数，取给定平面 为复平面，
则p
1
=(1+u)A
1
-up
0
,
p
2
=(1+u)A
2
-up
1
,
p
3
=(1+u)A
3
-up
2
,
22
①×u+②×(-u)得p
3
=(1+u)(A
3
-uA
2
+uA
1
)+p
0
=w+p
0
,w为与p
0
无关的常数。同理得
22
p
6
=w+p
3
=2w +p
0
,…,p
1986
=662w+p
0
=p
0
，所以w=0，从而A
3
-uA
2
+uA
1
=0. 由u=u-1得A
3
-A
1
=（A
2
-A
1
）
u，这说明ΔA
1
A
2
A
3
为正三角形。
三、基础训练题

1．满足(2x+5x+2)+(y-y-2)i=0的有序 实数对(x,y)有__________组。
2．若z∈C且z2=8+6i,且z3-16z-=__________。
3.复数z满足|z|=5，且(3+4i)z是纯虚数，则__________。
21992
4．已知，则1+z+z+…+z=__________。
5.设复数z使得的一个辐角的绝对值为，则z辐角主值的取值范围是__________。
6．设z,w,λ∈C,|λ|≠1，则关于z的方程-Λz=w的解为z=__________。
7.设02
8.若α，β是方 程ax+bx+c=0（a,b,c∈R）的两个虚根且，则__________。
222222< br>9．若a,b,c∈C,则a+b>c是a+b-c>0成立的__________条件。
2 2
10．已知关于x的实系数方程x-2x+2=0和x+2mx+1=0的四个不同的根在复平面上对 应
的点共圆，则m取值的集合是__________。
2
11．二次方程ax+x+1=0的两根的模都小于2，求实数a的取值范围。
1 2．复平面上定点Z
0
，动点Z
1
对应的复数分别为z
0
, z
1
，其中z
0
≠0，且满足方程
|z
1
-z0
|=|z
1
|，①另一个动点Z对应的复数z满足z
1
z=- 1，②求点Z的轨迹，并指出它在复
平面上的形状和位置。
13．N个复数z
1,z
2
,…,z
n
成等比数列，其中|z
1
|≠1，公 比为q,|q|=1且q≠±1,复数
w
1
,w
2
,…,w
n
满足条件：w
k
=z
k
++h，其中k=1,2,…,n,h为已 知实数，求证：复平面内表示
w
1
,w
2
,…,w
n
的点p
1
,p
2
,…,p
n
都在一个焦距为4的椭圆上。
四、高考水平训练题
1．复数z和cosθ+isinθ对应的点关于直线|iz+1|=| z+i|对称，则z=__________。
2.设复数z满足z+|z|=2+i，那么z=__________。
3．有一个人在草 原上漫步，开始时从O出发，向东行走，每走1千米后，便向左转角
度，他走过n千米后，首次回到原出 发点，则n=__________。
4.若，则|z|=__________。
5.若 a
k
≥0,k=1,2,…,n，并规定a
n+1
=a
1
， 使不等式恒成立的实数λ的最大值为
__________。
6．已知点P为椭圆上任意一点 ，以OP为边逆时针作正方形OPQR，则动点R的轨迹方
程为__________。
7． 已知P为直线x-y+1=0上的动点，以OP为边作正ΔOPQ(O，P，Q按顺时针方向排列)。
则 点Q的轨迹方程为__________。
8．已知z∈C,则命题“z是纯虚数”是命题“”的__________条件。
n+1n
9．若n∈N，且n≥3,则方程z+z-1=0的模为1的虚根的个数为__________。 < br>2n
10．设(x+x+3)=a
0
+a
1
x+a
2
x+…+a
n
x，则+…+a
3k
-__________。
11.设复数z
1
,z
2
满足z1,其中A≠0，A∈C。证明：
2
（1）|z
1
+A||z
2
+A|=|A|； （2）
432
12．若z∈C,且|z|=1,u=z-z-3zi-z+1.求|u|的最 大值和最小值，并求取得最大值、最
小值时的复数z.
13.给定实数a,b,c,已知复数 z
1
,z
2
,z
3
满足求
|az
1
+bz
2
+cz
3
|的值。
五、联赛一试水平训练题
1．已知复数z满足则z的辐角主值的取值范围是__________。
2．设复数z=c osθ+isinθ(0≤θ≤π)，复数z,(1+i)z，2在复平面上对应的三个点
分别是P，Q ，R，当P，Q，R不共线时，以PQ，PR为两边的平行四边形第四个顶点为S，则
S到原点距离的最 大值为__________。
22

3．设复平面上单位圆内接正20边形的 20个顶点所对应的复数依次为z
1
,z
2
,…,z
20
, 则
复数所对应的不同点的个数是__________。
4．已知复数z满足|z|=1，则|z+iz+1|的最小值为__________。
0
5．设，z
1
=w-z,z
2
=w+z,z
1
,z
2
对应复平面上的点A，B，点O为原点，∠AOB=90，|AO|=|BO|，
则 ΔOAB面积是__________。
379
6．设，则(x-w)(x-w)(x-w) (x-w)的展开式为__________。
mn
7．已知()=(1+i)(m,n∈N
+
)，则mn的最小值是__________。
8．复平面上，非零复数z1,z 2在以i为圆心，1为半径的圆上，z
2
的实部为零，z
1
的辐
角主 值为，则z
2
=__________。
9.当n∈N,且1≤n≤100时，的值中有实数__________个。
10．已知复 数z
1
,z
2
满足，且，，，则的值是__________。
1 848
11．集合A={z|z=1},B={w|w=1},C={zw|z∈A,w∈B}，问：集 合C中有多少个不同的
元素
12．证明：如果复数A的模为1，那么方程的所有根都是不相等 的实根（n∈N
+
）.
13.对于适合|z|≤1的每一个复数z，要使0<|αz +β|<2总能成立，试问：复数α，β
应满足什么条件
六、联赛二试水平训练题
1．设非零复数a
1
,a
2
,a
3
,a
4
,a
5
满足

其中S为实数且|S|≤2，求证：复数a
1
,a
2
,a
3
,a
4
,a
5
在复平面上 所对应的点位于同一圆
周上。
2．求证：。
nn-1n-2
3．已知p( z)=z+c
1
z+c
2
z+…+c
n
是复变量z的实系数 多项式，且|p(i)|<1，求证：存
2222
在实数a,b,使得p(a+bi)=0且( a+b+1)<4b+1.
4．运用复数证明：任给8个非零实数a
1
,a
2
,…,a
8
，证明六个数a
1
a
3
+a
2
a
4
, a
1
a
5
+a
2
a
6
,
a
1
a
7
+a
2
a
8
, a
3
a
5
+a
4
a
6
, a
3< br>a
7
+a
4
a
8
,a
5
a
7
+a
6
a
8
中至少有一个是非负数。
109
5．已知复数z满足11z+10iz+10iz-11=0，求证：|z|=1.
6.设z
1
,z
2
,z
3
为复数，求证：
|z
1
|+|z
2
|+|z
3
|+|z
1
+z
2
+z
3
|≥|z
1
+z
2
|+| z
2
+z
3
|+|z
3
+z
1
|。
高中数学竞赛讲义（十六）
──平面几何
一、常用定理（仅给出定理，证明请读者完成）
梅涅劳斯定理 设分别是ΔABC的三边BC，CA，AB或其延长线上的点，若三点共线，
则

梅涅劳斯定理的逆定理 条件同上，若则三点共线。
塞瓦定理 设分别是ΔABC的三边BC，CA，AB或其延长线上的点，若三线平行或共点，
则
塞瓦定理的逆定理 设分别是ΔABC的三边BC，CA，AB或其延长线上的点，若则三线
共点或互相平行。
角元形式的塞瓦定理 分别是ΔABC的三边BC，CA，AB所在直线上的点，则平行或共
点的充要条件是
广义托勒密定理 设ABCD为任意凸四边形，则ABCD+BCAD≥ACBD，当且仅当A，B， C，
D四点共圆时取等号。

斯特瓦特定理 设P为ΔABC的边BC上任意一点，P不同于B，C，则有
222
AP=AB+AC- BPPC.
西姆松定理 过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足
共线。
西姆松定理的逆定理 若一点在三角形三边所在直线上的射影共线，则该点在三角形
的外接圆上。
九点圆定理 三角形三条高的垂足、三边的中点以及垂心与顶点的三条连线段的中点，
这九点共圆。
蒙日定理 三条根轴交于一点或互相平行。（到两圆的幂（即切线长）相等的点构成
集合为一 条直线，这条直线称根轴）
欧拉定理 ΔABC的外心O，垂心H，重心G三点共线，且
二、方法与例题
1．同一法。即不直接去证明，而是作出满足条件的图形或点，然后证明它与 已知图形
或点重合。
000
例1 在ΔABC中，∠ABC=70，∠ACB=3 0，P，Q为ΔABC内部两点，∠QBC=∠QCB=10，
0
∠PBQ=∠PCB=20， 求证：A，P，Q三点共线。
0
[证明] 设直线CP交AQ于P
1
，直 线BP交AQ于P
2
，因为∠ACP=∠PCQ=10，所以，①
在ΔABP，ΔBP Q，ΔABC中由正弦定理有
，②，③④
由②，③，④得。又因为P
1
， P
2
同在线段AQ上，所以P
1
，P
2
重合，又BP与CP 仅有一
个交点，所以P
1
，P
2
即为P，所以A，P，Q共线。
2．面积法。
例2 见图16-1，◇ABCD中，E，F分别是CD，BC上的点，且B E=DF，BE交DF于P，
求证：AP为∠BPD的平分线。
[证明] 设A点到BE，DF距离分别为h
1
,h
2
，则

又因为S
◇ABCD
=S
ΔADF
，又BE=DF。
所以h
1
=h
2
，所以PA为∠BPD的平分线。
3．几何变换。
例3 （蝴蝶定理）见图16-2，AB是⊙O的一条弦，M为AB中点， CD，EF为过M的任
意弦，CF，DE分别交AB于P，Q。求证：PM=MQ。
[证明] 由题设OMAB。不妨设。作D关于直线OM的对称点。
连结，则要证PM=MQ，只需证，又∠MDQ=∠PFM，所以只需证F，P，M，共圆。
000
因为∠=180-=180-∠=180-∠。（因为OM。AB又-π<β-α<π,所以β= α。所以，所
以A=π。
5．向量法。
例6 设P是ΔABC所在平面上的一点，G是ΔABC的重心，求证：PA+PB+PC>3PG.
[证明] 因为
，又G为ΔABC重心，所以
（事实上设AG交BC于E，则，所以）
所以，所以
又因为不全共线，上式“=”不能成立，所以PA+PB+PC>3PG。
6．解析法。

例7 H是ΔABC的垂心，P是任意一点，HLPA，交PA于L，交BC于X，H MPB，交PB
于M，交CA于Y，HNPC交PC于N，交AB于Z，求证：X，Y，Z三点共线。
[解] 以H为原点，取不与条件中任何直线垂直的两条直线为x轴和y轴，建立直角
坐标系 ，用(x
k
,y
k
)表示点k对应的坐标，则直线PA的斜率为，直线HL斜 率为，直线HL的
方程为x(x
P
-x
A
)+y(y
P-y
A
)=0.
又直线HA的斜率为，所以直线BC的斜率为，直线BC的方程 为xx
A
+yy
A
=x
A
x
B
+y
A
y
B
,②又
点C在直线BC上，所以x
C
x
A
+y
C
y
A
=x
A
x
B
+yA
y
B
.
同理可得x
B
x
C
+y< br>B
y
C
=x
A
x
B
+y
A
y
B
=x
A
x
C
+y
A
y
C.
又因为X是BC与HL的交点，所以点X坐标满足①式和②式，所以点X坐标满足
xx
P
+yy
P
=x
A
x
B
+y
A< br>y
B
.④同理点Y坐标满足xx
P
+yy
P
=xB
x
C
+y
B
y
C
.⑤点Z坐标满足xxP
+yy
P
=x
C
x
A
+y
C
y
A
.
由③知④，⑤，⑥表示同一直线方程，故X，Y，Z三点共线。
7．四点共圆。
例8 见图16-5，直线l与⊙O相离，P为l上任意一点，PA，PB 为圆的两条切线，A，
B为切点，求证：直线AB过定点。
[证明] 过O作OCl于C， 连结OA，OB，BC，OP，设OP交AB于M，则OPAB，又因为
OAPA，OBPB，OCPC 。
所以A，B，C都在以OP为直径的圆上，即O，A，P，C，B五点共圆。
AB与OC是此圆两条相交弦，设交点为Q，
又因为OPAB，OCCP，
所以P，M，Q，C四点共圆，所以OMOP=OQOC。
22
由射影定理OA=OMOP，所以OA=OQOC，所以OQ=（定值）。
所以Q为定点，即直线AB过定点。
三、习题精选
1．⊙O
1
和 ⊙O
2
分别是ΔABC的边AB，AC上的旁切圆，⊙O
1
与CB，CA的延 长线切于E，
G，⊙O
2
与BC，BA的延长线切于F，H，直线EG与FH交于点P ，求证：PABC。
2．设⊙O的外切四边形ABCD的对角线AC，BD的中点分别为E，F，求证 ：E，O，F三
点共线。
3．已知两小圆⊙O
1
与⊙O
2
相外切且都与大圆⊙O相内切，AB是⊙O
1
与⊙O
2
的一条外公
切 线，A，B在⊙O上，CD是⊙O
1
与⊙O
2
的内公切线，⊙O
1< br>与⊙O
2
相切于点P，且P，C在直
线AB的同一侧，求证：P是ΔABC的内 心。
4．ΔABC内有两点M，N，使得∠MAB=∠NAC且∠MBA=∠NBC，求证：

5．ΔABC中，O为外心，三条高AD，BE，CF相交于点H，直线ED和AB相交于点 M，直
线FD和AC相交于点N，求证：（1）OBDF，OCDE；（2）OHMN。
6． 设点I，H分别是锐角ΔABC的内心和垂心，点B
1
，C
1
分别是边AC， AB的中点，已
知射线B
1
I交边AB于点B
2
(B
2≠B)，射线C
1
I交AC的延长线于点C
2
，B
2
C
2
与BC相交于点K，
A
1
为ΔBHC的外心。试证：A，I，A< br>1
三点共线的充要条件是ΔBKB
2
和ΔCKC
2
的面积相等 。
7．已知点A
1
，B
1
，C
1
，点A
2
，B
2
，C
2
，分别在直线l
1
,l
2
上 ，B
2
C
1
交B
1
C
2
于点 M，C
1
A
2
交
A
1
C
2
于点N ，B
1
A
2
交B
2
A
1
于L。求证：M， N，L三点共线。
00
8．ΔABC中，∠C=90，∠A=30，BC=1，求ΔABC的 内接三角形（三个顶点分别在三条
边上的三角形）的最长边的最小值。
9．ΔABC的垂心为 H，外心为O，外接圆半径为R，顶点A，B，C关于对边BC，CA，AB
的对称点分别为，求证：三 点共线的充要条件是OH=2R。