全国高中数学竞赛专题三角函数-全国高中数学竞赛

竞赛试卷
三角恒等式与三角不等式
一、基础知识
定义1 角：一条射线绕着它的端点旋转得到的图形叫做角。角的大小是任意的。
若旋转方向为逆时针方向，则角为正角，若旋转方向为顺时针方向，则角为负角，若不旋转则为零角。
定义2 角度制：把一周角360等分，每一等分为一度。
弧度制：把等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做一弧度。360度=2π弧度。
若圆心角的弧长为L，则其弧度数的绝对值|α|=
L
,其中r是圆的半径。
r
定义3 三角函数：在直角坐标平面内，把角α的顶点放在原点，始边与x轴的正半轴重合 ，在角的终边上任意取
一个不同于原点的点P，设它的坐标为（x,y），到原点的距离为r,则正弦函 数sinα=
正切函数tanα=
x
y
,余弦函数cosα=,
r< br>r
xr
r
y
，余切函数cotα=，正割函数secα=,余割函数c scα=
.

yy
x
x
111
定理1 同角三角函数的基本关系式，倒数关系：tanα=,sinα=，cosα=；
cot
?< br>csc
?
sec
?
sin
?
cos
?
商数关系：tanα=；
,cot
?
?
cos
?
sin
?
乘积关系：tanα×cosα=sinα,cotα×sinα=cosα；
平方关系：sin
2
α+cos
2
α=1, tan
2
α+1=sec
2
α, cot
2
α+1=csc
2
α.
定理2 诱导公式（Ⅰ）sin(α+π)=-sinα, cos(π+α)=-cosα, tan(π+α)=tanα, cot(π+α)=cotα;
（Ⅱ）sin(-α)=-sinα, cos(-α)=cosα, tan(-α)=-tanα, cot(-α)=cotα;
（Ⅲ）sin(π-α)=sinα, cos(π-α)=-cosα, tan=(π-α)=-tanα, cot(π-α)=-cotα;
（Ⅳ）sin
?
?
?
??
?
??
?
?
?
?
?
=cosα, cos
?
?
?
?
=sinα, tan
?
?
?
?
=cotα（奇变偶不变，符号看象限）。
222
??????
?
?
定理3 正弦函数的性质，根据图象可得y=sinx（x∈R）的性质如下。
单调区间：在区间
?< br>2k
?
?
?
2
,2k
?
?
?
?
2
?
?
上为增函数，在区间
?
2k
?
?
?
?
?
3
?
,2k
?
?
??
上为减函数，
22
?
最小正周期：2
?
. 奇偶性：奇函数
有界性：当且仅当x=2kx+
对称性：直线x=k
?
+
??
时，y取最大值1，当且仅当x=3k
?
-时, y取最小值-1，值域为[-1，1]。
22
?
均为其对称轴，点（k
?
, 0）均为其对称中心。这里k∈Z.
2
定理4 余弦函数的性质，根据图象可得y=cosx(x∈R)的性质。
单调区间：在区间[2kπ, 2kπ+π]上单调递减，在区间[2kπ-π, 2kπ]上单调递增。
最小正周期：2π。 奇偶性：偶函数。
有界性：当且仅当x=2kπ时，y取最大值1；当且仅当x=2kπ- π时，y取最小值-1。值域为[-1，1]。
对称性：直线x=kπ均为其对称轴，点
?< br>k
?
?
?
?
?
?
,0
?
均 为其对称中心。这里k∈Z.
2
?
???
)在开区间(kπ-, kπ+)上为增函数,
222
?
最小正周期为π，值域为（-∞，+∞），点（k π，0），（kπ+，0）均为其对称中心。
2
定理6 两角和与差的基本关系式：cos (α
?
β)=cosαcosβ
?
sinαsinβ,
sin(α
?
β)=sinαcosβ
?
cosαsinβ;
(tan
?
?tan
?
)
.
tan(α
?
β)=
(1
?
tan
?
tan
?
)2222
两角和与差的变式：
sin
?
?sin
?
?cos
?
?cos
?
?sin(
?
?
?
)sin(
?
?
?
)

2222

cos
?
?sin
?
?cos
?
?sin
?
?cos(
?
?
?
)cos(
?
?
?< br>)

定理5 正切函数的性质：由图象知奇函数y=tanx(x
?
kπ+

竞赛试卷

三角和的正切公式：
tan(
?
?
?
?
?
)?
定理7 和差化积与积化和差公式:
tan
?
?tan< br>?
?tan
?
?tan
?
tan
?
tan< br>?

1?tan
?
tan
?
?tan
?tan
?
?tan
?
tan
?
?
?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
?
?
?
cos
??
, sinα-sinβ=2sin
??
cos
??
,
2222
????????
?
?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
?
??
?
?
?
?
cosα+cosβ=2cos
??
cos
??
, cosα- cosβ=-2sin
??
sin
??
,
2222
??? ?????
11
sinαcosβ=[sin(α+β)+sin(α-β)], cosαsinβ=[sin(α+β)-sin(α-β)],
22
11
cosαcosβ=[cos(α+β)+cos(α-β)], sinαsinβ=-[cos(α+β)-cos(α-β)].
22
sinα+sinβ=2sin
?
定理8 二倍角公式：sin2α=2sinαcosα, cos2α=cos
2
α-sin
2
α=2cos
2
α-1=1-2sin
2
α, tan2α=三倍角公式及变式：
sin3
?
?3sin
?
?4sin
?
，
cos3
?
?4cos
?
?3cos
?
33
2tan
?
.

2
(1?tan
?
)
11
，
cos(60si?n(
?
60?)
?
sin3?
?
)cos
?
cos(60?
?
)? cos3
?

44
(1?cos
?
)(1?cos
?
)
??
定理9 半角公式: sin=
?
, cos=
?
,
22
22
sin
?
(1?cos< br>?
)
?
(1?cos
?
)
?.
tan=< br>?
=
(1?cos
?
)sin
?
2
(1?c os
?
)

sin(6?0
?
)
?sin
?
?
??
?
??
?
?
1?ta n
2
??
2tan
??
2tan
??
?
2
?
,
tan
?
?
?
2
?
.

?
2
?
,
cos
?
?
定理10 万能公式:
sin
?
?
?
?
??
?
?< br>?
?
?
1?tan
2
??
1?tan
2??
1?tan
2
??
?
2
??
2
?
?
2
?
定理11 辅助角公式：如果a, b是实数且a
2
+b
2
?
0，则取始边在x轴正半轴，终边经过点(a, b)的一个角为β， < br>ba
则sinβ=,cosβ=，对任意的角α.asinα+bcosα=
(a
2
?b
2
)
sin(α+β).
a
2
?b2
a
2
?b
2
abc
定理12 正弦定理：在任意△ABC中有
???2R
，
sinAsinBsinC
其中a, b, c分别是角A，B，C的对边，R为△ABC外接圆半径。
定理13 余弦定理：在任意△ABC中 有a
2
=b
2
+c
2
-2bcosA，其中a,b,c分别 是角A，B，C的对边。
定理14 射影定理：在任意△ABC中有
a?bcosC?cc osB
，
b?acosC?ccosA
，
c?acosB?bcosA

定理15 欧拉定理：在任意△ABC中，
OI?R?2Rr
，其中O,I分别为△ABC的外心和内心。
定理16 面积公式：在任意△ABC中，外接圆半径为R,内切圆半径为r，半周长
p?< br>则
S?
22
a?b?c

2
11abc
ah
a
?absinC??rp?2R
2
sinAsinBsinC?rR(si nA?sinB?sinC)

224R
1
2
)(p?b)(p?c )?
2
(acotA?
2
bco?tBc

coCt)

?p(p?a
4


定理17 与△ABC三个内角有关的公式：
ABC
coscos;

222
ABC
（2）
cosA?cosB?cosC?1?4sinsinsin;

222
（1）
sinA?sinB?sinC?4cos

竞赛试卷
（3）
tanA?tanB?tanC?tanAtanBtanC;

ABBCCA
tan?tantan?tantan?1;

222222< br>（5）
cotAcotB?cotBcotC?cotCcotA?1;

（6）
sin2A?sin2B?sin2C?4sinAsinBsinC.

（4）
tan
定理18 图象之间的关系：y=sinx的图象经上下平移得y=s inx+k的图象；经左右平移得y=sin(x+
?
)的图象（相位
1
，得 到y=sin
?
x
(
?
?0
)的图象（周期变换）；横坐标 不变，
?
纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin(< br>?
x+
?
)(
?
>0)的图象（周期变换）；
横坐标 不变，纵坐标变为原来的A倍，得到y=Asinx的图象（振幅变换）；y=Asin(
?
x +
?
)(
?
,
?
>0)(|A|
变换）；纵坐标 不变，横坐标变为原来的
?
个单位得到y=Asin
?
x的图象。
?
?
?
??
?
?
定义4 函数y=sinx
?
的反函数叫反正弦函数，记作y=arcsinx(x∈[-1, 1])，
x??,
?
?
??
?
?
22
?
??
叫作振幅)的图象向右平移
函数y=cosx(x∈[0, π]) 的反函数叫反余弦函数，记作y=arccosx(x∈[-1, 1]).
函数y=tanx?
?
x?
?
?
?
?
?
??
?
?
,
?
?
?
的反函数叫反正切函数。记作y=arctan x(x∈[-∞, +∞]).
22
??
?
函数y=cotx(x∈[0, π])的反函数称为反余切函数，记作y=arccotx(x∈[-∞, +∞]).
定理19 三角方程的解集，如果a∈(-1,1)，方程sinx=a的解集是{x|x=nπ+(-1)
narcsina, n∈Z}。
方程cosx=a的解集是{x|x=2kx
?
arccosa, k∈Z}.
如果a∈R，方程tanx=a的解集是{x|x=kπ+arctana, k∈Z}。
恒等式：arcsina+arccosa=
定理20 若干有用的不等式：
（1 ）若
x?
?
0,
??
；arctana+arccota=.
22
?
，则sinx2
?
sinxta nx
?
（2）函数
y?
在
(0,
?
)
上为 减函数；函数
y?
在
(0,)
上为增函数。
xx
2
（3）嵌入不等式：设A+B+C=π，则对任意的x,y,z∈R，
有
x?y?z?2yzcosA?2xzcosB?2xycosC

等号成立当且仅当yzsinA=zxsinB=xysinC.


二、方法与例题
1．结合图象解题。
例1 求方程sinx=lg|x|的解的个数。
【解】在同一坐标系内画出函数y=sinx与y=lg| x|的图象，由图象可知两者有6个交点，故方程有6个解。
2．三角函数性质的应用。
例2 设x∈(0, π), 试比较cos(sinx)与sin(cosx)的大小。
【解】 若
x?
?
222
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
,
?
?
，则-1 x?
?
?,0
?
，
?
2
?
?
2
?
所以sin(cosx) ≤0,又00，所以cos(sinx)>sin(cosx).
若
x?
?
0,
?
?
?
?
2
?
?
，则因为sinx+cosx=
2
sin(x+
?
?
??
)≤
2
<，所以04222所以cos(sinx)>cos(
?
-cosx)=sin(cosx).
2
综上，当x∈(0,π)时，总有cos(sinx)3．最小正周期的确定。
例3 求函数y=sin(2cos|x|)的最小正周期。

竞赛试卷
【解】 因为cos(-x)=cosx，所以cos|x|=cosx, 所以T=2π是函数的周期；
4．三角最值问题。
例4 已知函数y=sinx+
1?cos
2
x
，求函数的最大值与最小值。
【解法一】 令sinx=
2cos
?
,1?cosx?
则有y=
2cos
?
?
因为
2
3
??
?
2 sin
?
?
?0?
?
?
,
4
??
4
2sin
?
?2sin(
?
?
?
4
) .

3
??
?
?0?
?
，所以
?
?
??
?
，所以
0?sin(
?
?)
≤1， 44244
3
?
??
所以当
?
?
?
， 即x=2kπ-(k∈Z)时，y
min
=0，当
?
?
，即x=2k π+(k∈Z)时，y
max
=2.
44
22
?
【解法二】 因为y=sinx+
1?cosx?2
2(sin
2
x?1?cos
2
x)
=2（因为(a +b)
2
≤2(a
2
+b
2
)），
且|sinx |≤1≤
1?cos
2
x
，所以0≤sinx+
1?cos
2
x
≤2，
所以当
1?cos
2
x
=sinx， 即x=2kπ+
当
1?cos
2
x
=-sinx，即x=2kπ-< br>5．换元法的使用。
?
(k∈Z)时, y
max
=2，
2
?
(k∈Z)时, y
min
=0。
2
sinxcosx
的值域。
1?sinx?cosx
?
2
?
2
?
?
?2sin(x?).
【解】 设t=si nx+cosx=
2
?
sinx?cosx
?
2
?
24
??
例5 求
y?
因为
?1?sin(x?
?
4
)?1,
所以
?2?t?2.

x
2
?1?2?12?1
t
2
?1
t?1
2
?y?.
又因为t=1+2sinxcosx,所以sinxcosx=，所以
y?
2
?
，所以
22
2
1?t2
?
t?1
2?1
??2?1
?
?
?1,,?1
?
?
因为t
?
-1，所以
??1
，所以y
?
-1.所以函数值域为
y?
?
?
?
.

??
22
?
2
???
6．图象变换：y=sinx(x∈R)与y=Asin(
?
x+
?
)(A,
?
,
?
>0).
?
3
?
? ?
?
?
,0
?
对称，且在区间
?
0,
?< br>上例6 已知f(x)=sin(
?
x+
?
)(
?
>0, 0≤?
≤π)是R上的偶函数，其图象关于点
M
?
?
4
??
2
?
是单调函数，求
?
和
?
的值。
【解】 由f(x)是偶函数，所以f(-x)=f(x)，所以sin(
?
x+?
)=sin(-
?
x+
?
)，
?
所以co s
?
sinx=0，对任意x∈R成立。又0≤
?
≤π，解得
?=，
2
33
?
3
?
?
,0
?
对称，所以
f(
?
?x)?f(
?
?x)
=0。 因为f (x)图象关于
M
?
44
?
4
?
?
?33
??
2
?
3
?
?
?
?
? 0.
所以
?
?k
?
?
(k∈Z)，即
?
= (2k+1) (k∈Z). 取x=0，得
f(
?
)
=0，所以sin?
2
?
4423
?
4
??
又
?
>0，取k=0时，此时f(x)=sin(2x+)在[0，]上是减函数；
22
??< br>取k=1时，
?
=2，此时f(x)=sin(2x+)在[0，]上是减函数；
22

竞赛试卷
取k=2时，
?
≥
综上，< br>?
=
10
??
，此时f(x)=sin(
?
x+)在 [0，]上不是单调函数，
3
22
2
或2。
3
7．三角公式的应用。
55
?
?
??
3
?
?
,2
?
?
，求sin2α,cos2β的值。 ，sin(α+β)=- ，且α-β∈
?
,
?
?
，α+β∈
?
1313
?
2
??
2
?
12
?
?
?
2
【解】 因为α-β∈
?
,
?
?，所以cos(α-β)=-
1?sin(
?
?
?
)??.
13
?
2
?
12
?
3
?
?
,2
?
?
，所以cos(α+β)=
1?sin
2
(
?
?
?
)?.
又因为α+β∈
?
13
?
2
?
120
所以sin2α=sin[(α+β)+(α-β)]=sin (α+β)cos(α-β)+cos(α+β)sin(α-β)=,
169
例7 已知 sin(α-β)=
cos2β=cos[(α+β)-(α-β)]=cos(α+β)cos(α- β)+sin(α+β)sin(α-β)=-1.
例8 已知△ABC的三个内角A，B，C成等差数列，且
【解】 因为A=120
0
-C ，所以cos
112
A?C
???
，试求
cos
的值。 < br>cosAcosCcosB
2
A?C
=cos(60
0
-C) ，
2
1111cos(120
0
?C)?cosC
又由于
????
cosAcosC
cos(120
0
?C)
cosCcosCcos(120
0
?C)
=
???22
，
1 1
[cos120
0
?cos(120
0
?2C)]cos(120
0
?2C)?
22
A?C32
A?C2
A?C
2< br>A?C
??
?
所以
42cos
或
cos
。
?2cos?32
=0。解得
cos
28
22
22
A?C2
A?C
?
又
cos
>0，所以
cos
。
22
2
??
例9 求证：tan20+4cos70=
3

sin20
?
sin20
?
?4sin20
?
co s20
?
sin20
?
?2sin40
?
???
?
【解】 tan20+4cos70=+4sin20
?

???
cos20cos20cos20
sin20
?
?sin40
?
?s in40
?
2sin30
?
cos10
?
?sin40?
??

cos20
?
cos20
?
sin8 0
?
?sin40
?
2sin60
?
cos20
?
???3.

??
cos20cos20

7
2c os60
0
cos(60
0
?C)2cos(60
0
?C)
例10 证明：
cos7x?7cos5x?21cos3x?35cosx?64cosx

分析：等号左边涉及角7
x
、5
x
、3
x
、
x右边仅涉及角
x
，可将左边各项逐步转化为
sinx
、
cosx
的表达式，但相对较繁. 观察到右边的次数较高，可尝试降次.
证明：因 为
cos3x?4cosx?3cosx,所以4cosx?cos3x?3cosx,

从而有
16cos
6
x?cos
2
3x?6co s3xcosx?9cos
2
x

33

竞赛试卷

?
1?cos6x9
?3(cos4x?cos2x)?(1?cos2x)

22

32cos
6
x?1?cos6x?6cos4x?6co s2x?9?9cos2x,
64cosx?2cos6xcosx?12cos4xcosx?30c os2xcosx?20cosx
7

?cos 7x?cos5x?6cos5x?6cos3x?15cos3x?15cosx?20cosx
< br>?cos7x?7cos5x?21cos3x?35cosx.
评述：本题看似“化简为繁”， 实质上抓住了降次这一关键，很是简捷. 另本题也可利用复数求解. 令
11
z?cos?
?isin
?
,则2cos
?
?z?,从而,128cos< br>7
?
?(z?)
7
，展开即可.
zz
已知
1?tan
?
?2001,求证:sec2
?
?tan2
?
?2001.
1?tan
?
例11
1?tan
?
1? cos(?2
?
)
1?tan
?
1?sin2
??
2
1?tan
?
证明：
sec2
?
?tan2
?< br>?

??tan(?
?
)
?
?2001.
?
cos2
?
4
1?tan
?
sin(?2
?
)
2
?2001.
?
?
例12 证明：对任一自然数n及任意实 数
x
?
m
?
(k
?
0,1,2,
?
,n,m
为任一整数），
k
2
有
111
n
?? ???cotx?cot2x.
n
sin2xsin4x
sin2x

思路分析：本题左边为n项的和，右边为2项之差，故尝试将左边各项“裂”成两项之差，并希冀能消去其中许 多
中间项.
12cos
2
x?cos2x2cos
2
xc os2x
证明：
????cotx?cot2x,

sin2xsin2x2sinxcosxsin2x
1
1
n?1n
……
?cot2x?cot2x

?cot2x?cot4x
n
s in2x
sin4x
评述：①本题裂项技巧也可通过数学归纳法获得.
②“裂项相消”在解题中具有一定的普遍性，类似可证下列各题：
同理
tan?
tan2
?
?tan2
?
tan3
?
??? tan(n?1)
?
tann
?
?
tann
?
?n
.
tan
?
tan
?
?2tan2
?
? 2
2
tan2
2
?
?
?
?2
n
t an2
n
?
?cot
?
?2
n?1
cot2
n?1
?
.

111
??
??
?
??c os1cot1
??????
cos0cos1cos1cos2cos88cos89
例13 设
?ABC
的内角
A,B,C
所对的边
a,b,c成等比数列，则
A.
(0,??)
B.
(0,
sinAcotC?cosA
的取值范围是（ ）
sinBcotC?cosB
5?15?15?15?1
)
C.
(,)
D.
(,??)

2222
sinAcotC?cosAsinAcosC?cosAsinC
[解] 设
a,b,c
的公比为
q
，则
b?aq,c?aq
2
，而
?
sinBcotC?cosBsinBcosC?cosBsinC

?
sin(A?C)sin(
?
?B)sinBb
????q
．
sin(B?C)sin(
?
?A)sinAa

竞赛试卷
因此，只需求
q
的取值范围．
因
a,b,c
成等比数列， 最大边只能是
a
或
c
，因此
a,b,c
要构成三角形的三边 ，必需且只需
a?b?c
且
b?c?a
．即有不等式组
?
1?55?1
?q?,
22
?
?
?
a?aq?aq,
?
?
q?q?1?0,
?
22
即
?
解得
?

?
22
??
?
aq?aq?a
?
q? q?1?0.
?
q?
5?1
或q??
5?1
.
?< br>?22
从而
5?15?1
5?15?1
?q?
，因此所求的取 值范围是
(,)
．故选C
22
22
例14 △ABC内接于单 位圆，三个内角A、B、C的平分线延长后分别交此圆于A
1
、B
1
、C1
，
AA
1
?cos






则
A．2
ABC
?BB
1
?cos ?CC
1
?cos
222
的值为（ ）
sinA?sinB?sinC
B．4 C．6 D．8
解：如图，连BA
1
，则AA
1
=2sin(B+
AA?B?CBCBC
)?2sin (??)?2cos(?)

222222
ABCAA?B?CA?C?B
?
?AA
1
cos?2cos(?)cos?cos?cos?cos(?C)

2222222
?cos(?B)?sinC?sinB,
同理
BB
1
cos
B
?sinA?sinC,
CC
1
cos
C
?sinA?sinB,

2
2
2
ABC2(sinA? sinB?sinC)
?AA
1
cos?BB
1
cos?CC
1
cos?2(sinA?sinB?sinC),
原式=
?2.
选A.
222sinA?sinB?sinC
kkk
?
例15 若对所有实数x
，均有
sinx?sinkx?cosx?coskx?cos2x
，则
k?
（ ）.
A
、
6
；
B
、
5
；
C
、
4
；
D
、
3
．
解：记
f
?
k
x?
?sinx?sinkx?c
k
osx?coks?x
k
< br>s
，则由条件，
f
?
x
?
恒为
0
， 取
x?
cox2
?
2
，得
?
?
k
?
k
?
sin?
?
?
?
1
，则
k
为奇数，设
k?2n?1
，上式成为
sin
?
n
?
?
?
??1
，因此
n
为偶数，令
n?2m
，则
2
?
2
?
k?4m?1
，故选择支中只有
k? 3
满足题意．故选D
例16 已知
f
?
x
?
? x
2
?a
2
?b
2
?1x?a
2
?2ab ?b
2
是偶函数，则函数图象与
y
轴交点的纵坐标的最大值是
A．
2
B. 2 C.
22
D. 4
解：由已知条件可知，
a?b?1?0
，函数图象与
y
轴 交点的纵坐标为
a?2ab?b
。令
a?cos
?
,b?sin?
，
则
a?2ab?b?cos
?
?2sin
?
cos
?
?sin
?
?cos2
?
?sin2
?
?
例17 已知
?
,
?
?R
，直线
2222
??
2222
2
。因此 选 A。
xyxy
??1
与
??1

sin
?
?s in
?
sin
?
?cos
?
cos
?
?s in
?
cos
?
?cos
?
的交点在直线
y??x
上，则
sin
?
?cos
?
?sin
?
? cos
?
?
。

竞赛试卷
解： 由已知可知，可设两直线的交点为
(x
0
,?x
0
)
，且< br>sin
?
,cos
?
为方程
x
0
?x
0
??1
，
t?sin
?
t?cos
?
2的两个根，即为方程
t?(cos
?
?sin
?
)t?sin< br>?
cos
?
?x
0
(cos
?
?sin?
)?0
的两个根。
因此
sin
?
?cos
?
??(sin
?
?cos
?
)
，即
sin
?
?cos
?
?sin
?
?cos
?
?
0。


1、
cos(1?x?5x?7?
2、已知函数
f(x)?
2
x
2
?5x?6)
＝ 。
sin(
πx
)?cos(
πx
)?215
(?x?)，则
f
(
x
)的最小值为_____。
44
x
3、已知
tan(
?
?
?
)
sin(
?
?2
?
)1
?
的值是_ __.
?3
，且?
?k
?
,
?
?
?
?n
?
? (n,k?Z)
。则
tan
?
sin
?
22
4、设 函数
f
(
x
)=3sin
x
+2cos
x
+1。若实数
a
、
b
、
c
使得
af
(x
)
+bf
(
x?c
)=1对任意实数
x
恒成 立，则
5、设0<
?
<π，求sin
bcosc
=
a
?
2
(1?cos
?
)
的最大值。
6 、求证：
3tan18
?
?tan18
?
tan12
??3tan12
?
?1.

7、已知a
0
=1, a< br>n
=
1?a
n?1
2
?1
a
n?1
(n∈N
+
)，求证：a
n
>
?
2
n?2
.
sin
?
.
cos
?
?A

9、若A，B，C为△ABC三个内角，试求sinA+sinB+sinC的最大值。
8、 已知
sin
?
?Asin(
?
?
?
),|A|?1 ,求证:tan(
?
?
?
)?
10、证明：
sin
?
?sin(
?
?
?
)?sin(
?
?2
?
)???sin(
?
?n
?
)?
sin(
??
nn?1
?
)sin
?
22
.
sin
?
2
x

?
cos
?
?
?
co s
?
?
?
11、已知α，β为锐角，且x·（α+β-）>0，求证：
?
?
sin
?
?
?
?
?
sin
?
?
?2.

2
?
??
?
12、求证：①
cos6
?
cos42
?
cos66
?
cos78
?
?
x
1
45
1
②sin1°sin2°sin3°…sin89°=
()?610.

4
16
全国高中数学竞赛专题-三角恒等式与三角不等式 实战演练答案
1 、解：根据题意要求，
x?5x?6?0
，
0?x?5x?7?1
。于是有< br>x?5x?7?1
。因此
222
cos(1?x
2
?5x? 7?x
2
?5x?6)?cos0?1
。因此答案为 1。
π
2s in(
πx
?)?2
15
π
15
4
(?x?)，设
g
(
x
)?2sin(
πx
?)(?x?)
，则
g
(
x
)≥0，
g
(
x
)
2、解：实际上
f(x)?
44
444
x

竞赛试卷
在
[,]
上是增函数，在
[,]
上是减函数，且
y
=
g
(
x
)的图像关于直线
x?
313
1335< br>对称，则对任意
x
1
?[,]
，存在
444
4444
35
35
g(x
1
)?2g(x
2
)?2g(x< br>2
)?2
x
2
?[,]
，使
g
(
x
2
)=
g
(
x
1
)。于是
f(x
1
)????f(x
2
)
，而
f
(
x
)在
[,]
上是减
44
44
x
1
x
1
x
2
5
4
45
45
15
，即
f
(
x
)在
[,]
上的最小值是。
5
5
44
sin(
?
?2
?
)
1
?1
[sin(
?
?2
?
)?sin
?
]
tan(
?
??
)sin(
?
?
?
)?cos
?
2
3?1
sin
?
?????2.
3、解：
1sin(
?< br>?2
?
)
tan
?
cos(a?b)?sin
?3?1
[sin(
?
?2
?
)?sin
?
]? 1
2sin
?
1
4、解：令
c=
π，则对任意的
x
∈
R
，都有
f
(
x
)
+f
(x?c
)=2，于是取
a?b?
，
c=
π，则对任意的
x
∈
R
，
af
(
x
)
+bf
(< br>x?c
)=1，
2
bcosc
由此得
??1
。 a
π
2
一般地，由题设可得
f(x)?13sin(x?
?)?1
，
f(x?c)?13sin(x?
?
?c)?1
，其中
0?
?
?
且
tan
?
?
，
23< br>于是
af
(
x
)
+bf
(
x?c
) =1可化为
13asin(x?
?
)?13bsin(x?
?
?c) ?a?b?1
，即
函数，所以
f(x)?f()?
13asin(x??
)?13bsin(x?
?
)cosc?13bsinccos(x?
?
)?(a?b?1)?0
，
所以
13(a?bcosc)sin(x?< br>?
)?13bsinccos(x?
?
)?(a?b?1)?0
。
?
a?bcosc?0(1)
?
(2)
， 由已知条件，上式对任意
x
∈
R
恒成立，故必有
?
bsinc?0
?
a?b?1?0(3)
?
若
b
=0，则由(1)知
a
=0 ，显然不满足(3)式，故
b≠
0。所以，由(2)知sin
c
=0，故c=
2
k
π
+
π或
c=
2
k
π(
k
∈
Z
)。当
c=
2
k
π时，cos
c
=1，则(1)、(3)两式矛盾。故
c=
2
k
π
+
π(
k
∈
Z
)，cos
c
=?1。由(1)、 (3)知
a?b?
5、【解】因为0<
?
<π，所以
0?
b cosc
1
，所以
??1
。
2
a
?
22
?
???
?cos?cos
2
所以sin（1+cos
?
）=2sin·cos
2
=
2?2sin
222
222< br>?
?
，所以sin
??
>0, cos>0.
22
2
?
2
?
??
??
2
?
?cos
2
?cos
2
??
2sin
222
?
=
1 6
?
43
.
≤
2?
?
279
3
??
??
??

当且仅当2sin
2
3
2243
????
=cos
2, 即tan=,
?
=2arctan时，sin(1+cos
?
)取得最大值。
2 9
222
2
2
????
6、思路分析：等式左边同时出现
t an18tan12
、
tan18?tan12
，联想到公式
tan(
?
?
?
)?
证明：
3tan18
?
?tan18
?
tan12
?
?3tan12
?


tan
?
?tan
?
.
1?tan
?
t an
?
?3(tan18
?
?t
?3(tan18
?
?tan12
?
)?tan18
?
tan12
?

?tan(18
?
??3
??????
?3(tan18
?
?tan12
?
)?tan18
?
tan12
?
?3?t an(18?12)(1?tan18tan12)?tan18tan12
?1
?3?tan (18
?
?12
?
)(1?tan18
?
tan12
?
)
?
?
1
tan18
?
tan12
?
?1
评述：本题方法具有一定的普遍性. 仿此可证
(1
?
tan1 )(1
?
tan2)
?
(1
?
tan43)(1?tan4 4)?2
等.
????
22

竞赛试卷
7、【证明】 由题设知a
n
>0，令a
n
=tana
n
, a
n
∈
?
0,
?
?
?
?
， 2
??
则a
n
=
1?tan
2
a
n? 1
?1
tana
n?1
?
seca
n?1
?11? cosa
n?1
a
??tan
n?1
?tana
n
.

2
tana
n?1
sina
n?1
n
a
1
?
?
?
?
1
?
因为
n?1< br>，a
n
∈
?
0,
?
，所以a
n
=< br>a
n?1
，所以a
n
=
??
a
0
.

2
2
?
2
?
?
2
?
?
?
?
1
?
又因为a
0
=tana
1
=1，所以a
0
=，所以
a
n
?
??
·。 44
?
2
?
??
?
又因为当0x ，所以
a
n
?tan
n?2
?
n?2
.

2
22
注：换元法的关键是保持换元前后变量取值范围的一致性。另外当x∈
?
0,
知的结论，暂时不证明，学完导数后，证明是很容易的。
8、分析：条件涉及 到角
?
、
?
?
?
，而结论涉及到角
?
?< br>?
，
?
.故可利用
?
?(
?
?
?< br>)?
?
或
?
?(
?
?
?
)?
?
消除条
件与结论间角的差异，当然亦可从式中的“A”入手.
证法1：
?sin
?
?Asin(
?
?
?
),

?sin(
?
?
?
?
?
)?Asin(
?
?
?
),

n
?
?
?
?
时，有tanx>x>sinx，这是个熟
?
2
?
sin(
?
?
?
)cos
?
?cos(
?
?
?
)s in
?
?Asin(
?
?
?
),
?
|A| ?1,

?cos
?
?A?0,
sin(
?
??
)(cos
?
?A)?sin
?
cos(
?
?
?
),

从而cos(
?
?
?
)?0,

?
|A| ?1,
?
|A|?1,
sin
?
?cos
?
?A? 0,
tan(
?
?
?
)?.
?
|A|?1,
?cos
?
?A?0,
从而cos(
cos
?
?A
?
?
?
)?0,
sin(
?
?
?
)si n
?
?cos
?
?A?0,
从而cos(
?
??
)?0,
?
sin
?
sin(
?
?
?
)sin
sin
?
?
证法2：
sin
?
??
tan(
?
?
?
)?
cos
?
si n(
?
?
?
)?sin[(
?
?
?
)?< br>?
]
cos(
?
?
?
)?
sin
0 ,
?
sin
cossin
从而
?
?A
?
s in(
?
?
?
cos
)?sin
?
?
?< br>?A
sin(
?
?
?
)sin
?
cos?
?
?
?
?
)?tan(
sin(
?
?
?
)sin
?
?
sin(
?
)
?
?A
sin
?
?
?
cos
?
cos
?< br>sin(
?
?
?
)?sin[(
?
?
?)?
?
]
tan(
?
?
?
)?
cos (
?
?
?
)sin
?
cos
?
?A
sin(
?
?
?
)s in
?
sin(
?
?
?
)sin
?
??
?tan(
?
?
?
).
cos
?
s in(
?
?
?
)?sin[(
?
?
?
)?
?
]
cos(
?
?
?
)sin
?
sin(
?
?
?
sin
A
)
?B
?
A?BA?
?
B
tan(
?
?
?
).
?
9、【解】 因为sinA+sinB=2s
cos(
?
in
?< br>?
)
2
sin
co
?
s
2
?2si n
2
, ①
?tan(
?
?
?
).
?? ?
C?C?C?
?
3
cos
3
?2sin
3
, ② sinC+sin
?2sin
3222
A?B
?sin
2
C?
2
?
3
?2sin
A?B?C?
?
3
cos
A?B?C?
?
3
?2sin
?
，③ 3
又因为
sin
44
?
?
由①，②，③得sinA+s inB+sinC+sin≤4sin,
33
33
?
33
?
所以sinA+sinB+sinC≤3sin=,当A=B=C=时，（sinA+sinB+sinC）< br>max
=.
22
33
注：三角函数的有界性、|sinx|≤1、| cosx|≤1、和差化积与积化和差公式、均值不等式、柯西不等式、函数的单调
性等是解三角最值的 常用手段。
10、证明：
sin
?
sin
?
1
? ?
??[cos(
?
?)?cos(
?
?)],

2222

竞赛试卷
类似地sin(
?
?
?
)sin

13
?
??[cos(
?
?
?
)?cos(
?
?)],< br>2222
?
153
sin(
?
?2
?
)si n??[cos(
?
?
?
)?cos(
?
?
?)],
2222

??
?
12n?12n?1
sin(
?
?n
?
)sin??[cos(
?
?
?
)?cos(
?
?
?
)],
2222
?


??[cos(
?
?
?
)?cos(
?
?)]222

12n?1
?
??[cos(
?
?
?
)?cos(
?
?)]
?sin(
?
?
n
?
)sin
n?1
?
.
222
22
n n?1
?sin(
?
?
?
)sin
?
.
n n?1
sin(
?
?
?
)sin
?
22
2 2
所以，
sin
?
?sin(
?
?
?
)? ??sin(
?
?n
?
)?.

?
sin
2
各项相加得,sin
?
2
[sin
?
?sin(
?
?
?
)?sin(
?
?
?
1
sin(< br>?
?n
?
)]
?
1
?2
?
)?2n?
评述：①类似地，有
cos
?
?cos(
?
?< br>?
)???cos(
?
?n
?
)?
sin
n ?1n
?
cos(
?
?
?
)
22
.

sin
?
2

772

?
3571< br>?
351
cos?cos
?
?cos
?
?.
cos?cos
?
?cos
?
?cos
?
?等.
9 9992
9772
?
3571
cos
?
?
?cos
?
?等.
?
cos
?
?cos
?
?cos
?
11、【证明】 若α+β>
9
，则
9
x>0，由α< br>9
>-β>0
9
得cos
2
αsin
?
222
?
cos
?
又s inα>sin(-β)=cosβ, 所以0<<1，
2sin
?

x
x
0
0
nn?1
sin
?
cos
?
22
②利用上述公式可快速证明下列各式：
cos
?
?cos 2
?
?cos3
?
???cosn
?
?

?
?
351
sin
2
cos?cos
?
?cos< br>?
?.
9
?
cos
?
?
?
cos< br>?
?
?
cos
?
?
?
cos
??
???
???
?
所以
?
???
?2.

?
sin
?
???
??
?
sin
?
?
?
sin
?
?
?
sin
?
?< br>cos
?
?
??
?
若α+β<，则x<0，由0<α<-β< 得cosα>cos(-β)=sinβ>0,所以>1。
sin
?
2222
?
cos
?
又01，
2 sin
?
?
cos
?
?
?
cos
?
?
?
cos
?
?
?
cos
?
?
???
???
?
所以
?
???
?2
，得证。 ?
sin
?
???
??
?
sin
?
?
?
sin
?
?
?
sin
?
?
注： 以上两例用到了三角函数的单调性和有界性及辅助角公式，值得注意的是角的讨论。
cos18

?
cos42
?
cos78
?
?
4cos54?
cos42cos78
?
12、证明：①cos6°cos42°cos66° cos78°=cos6°cos54°cos66°
?
cos18
?
cos 42cos78
?
1
?
?
cos54
?

cos(3?18
?
)
4cos54
4

?
1
4cos54
?
?
cos18
?
cos42
?
cos78
?
4
cos(3?18)
1
?
?
?
?.
?
4cos54
4cos54
16
?
x< br>x
0
0
?
1
cos(3?18
?
)
?
4
4cos54
?
1
?
1
.
16

竞赛试卷
②sin1°sin2°sin3°…sin89°
=(si n1°sin59°sin61°)(sin2°sin58°sin62°)…(sin29°sin31°s in89°)sin30°sin60°
=
()
1
4
29
sin3
?
sin6
?
?
sin87
?
?
3

4
1
?(
)
30
3(sin3
?sin57
?
sin63
?
)(sin6
?
sin54
?
sin66
?
)?(sin27
?
sin33
?
sin87
?
)sin30
?
sin60
?
4
1
40
?(
1
)
40
?3sin9
?
?
?sin18
?
?
?
sin81
?
?
1
42
32
?()?sin18
?
sin36
?< br>sin54
?
sin72
?
?(
4
)?3sin9? sin18
?
sin81
4
42
1
42
3
?
2
1
40
?

?
??????
?
?
?
?()?sin18sin36sin54sin72
?(
1
)
40
?
3
3?
2
(sin9
?
sin1 8
?
)(sin18
?
sin72)(sin27sin63)(sin36 sin54)?45
1
42
?
3
??
?
?
2
??
?
?
?
18)(sin
??
4
si n?sin182763)(sin36sin54)?
18
sin45
?
? (
sin
)
72
?
)(sin
2cos72cos54co s36cos
?
(
(
4
)
)
42
?
?
3?(sin
sin
9
18sin36
?
sin54s in72
1
42
32
???
4
42
4
42
3
2
2
1
)
42
?
3
sin18
?
sin
1
?(
?
36sin
?
54si n
?
72
????
?(
1
)?
3
sin1 8sin36sin54
1
sin72
3
?(
4
)?
2
2cos72cos54cos36cos18
?
4
18
?cos
2
36
?
cos72
?
cos54
?< br>2
2cos72
?
cos54
?
cos
?(
36
)
?
42
?
18
?
2cos
?(4
)
42
?cos
132
1
42
3
4 2
???
????
2
4
)
42
?(
1?
2
36
?
sin54
4
sin
3
s in18sin
???
72
?
?(
1
)
42
?
3
2cos72
?
cos54
?
cos36
?
cos18
?
?(
1
cos
3
18
?(< br>4
)?
2
2cos18cos36cos72cos54
4
) ?
3
2
2cos72cos54cos36
1
42
42???
4
18
?
cos
2
36
?
si n18
?
cos54
?
?(
4
)
42
?< br>2
2cos18
?
cos36
?
cos
?(
72
)
?
cos
?
54
?
?
2cos13
3
????
4
)
42
?
2
2?(
1
cos54cos
4
36cos18
?
?(1
1
)
42
3
2cos72
42
?
3
2cos18
?
cos36
?
cos72
?
cos 54
?
???
?(
4
)?
2
2cos18cos3 6sin18cos54
4
)?
3
2
2cos18cos36cos 72?(
1
cos
3
54
1
?
43
42< br>???
4
72
?
cos
2
54
?
4 2
?(
1
)
42
?
3
2cos18
?cos36
?
sin
?
18
()
?
cos?
54
?
2sin
1
42
3
4
)?< br>2
42
?(
1
2cos18cos36cos72cos54
1
)
43
?
3
2cos18
?
?
cos3 6
?
?
sin18
?
cos54
?
3
?(
42
????

?(
4
)?
2
2sin7 2cos54
4
)?
3
2
2cos18cos36sin18?(< br>1
cos54
13
43
??
43
4
18?
sin
2
36
?
?(
4
)
42?
2
2sin72
?
cos54
?
?()
?< br>?
?
2cos
13
3
??
4
)?
2

?(
1
4
cos
2
cos36sin1854< br>?(
1
1
)
43
1
3
2cos18
43
?
3
2sin72
?
cos54
?
??
43
??
4
)?
3
2
2sin72
1
c os54
?()?2cos18sin36
?(1?cos36?cos72?cos36?(
1
42
43
?
??
?2??
4
4 2
4
?(?
2
2cos36
又
(cos18sin)
18
?
?
sin
(1?cos36)(1?cos72)

1
)
43
3
36
?
1
43
3
4 2
?(
1
)
43
?
3
2sin72
?4
cos54
1

?
1
?
sin36
?
?
?
?
?
?()?2cos18
?

?
?(1?cos36cos72)
42
?(1?cos36?cos72? cos36cos72)
?()?2cos18sin36
42
4
4
4
1
43
2
3
??
?()?2cos18
1
sin36
5
1
????
??
?
?(1?cos36?c os72?cos36cos72)
?(1?cos36cos72)
42
16
4
4
5
1
?
?
.

(1?cos36
?
cos72
?
)
即
cos1 8
?
sin36
?
?
5
16
4
4
5
?
16
1
所以
sin1
?
sin2
?
?
sin89
?
?()
45
?610.

4