高中数学课堂提问拓展训练浅谈-高中数学 学导式教学
高中数学竞赛中不等式的解法
摘要:本文给出了竞赛数学中常用的排序不等式,平均值
不等式,柯西不等式和切比雪夫不等式的证明过程,并
挑选了一些与这几类不等式相关的一些竞赛题进行
了分析和讲解。 希望对广大喜爱竞赛数学的师生有所帮助。
不等式在数学中占有重要的地位,由于其
证明的困难性和方法的多样性,而成为竞赛数学中的热门题型.在解决
竞赛数学中的不等式问题的过程中
,常常要用到几个着名的代数不等式:排序不等式、平均值不等式、柯西不等式、
切比雪夫不等式.本文
就将探讨这几个不等式的证明和它们的一些应用.
1.排序不等式
定理1 设<
br>a
1
?a
2
?...?a
n
,b
1
?b
2
?...?b
n
,则有
a
1
b
n
?a
2
b
n?1
?...?a
n
b
1 (倒序积和)
?a
1
b
r
1
?a
2
b
r
2
?...?a
n
b
r
n
(乱序积
和)
? a
1
b
1
?a
2
b
2
?...?a
n
b
n
(顺序积和)
其中
r
1,
r
2
,...,r
n
是实数组
b
1,
b<
br>2
,...,b
n
一个排列,等式当且仅当
a
1
(说
明: 本不等式称排序不等式,俗称倒序积和
证明:考察右边不等式,并记
S
不等式
乱序积和
?a
2
?...?a
n
或
b1
?b
2
?...?b
n
时成立.
顺序积和.) <
br>?a
1
b
r
1
?a
2
b
r
2
?...?a
n
b
r
n
。
的意义:当
S?a
1
b
r
1
?a
2
b
r
2<
br>?...?a
n
b
r
n
r
1
?1,r
2
?2,...,r
n
?n
时,S达到最大值
a
1b
1
?a
2
b
2
?...?a
n
b<
br>n
.因此,首先证明
a
n
必须和
b
n
搭配,
才能使
a
k
(k?n)
搭配时有
事实上,
a
n
b
n
S
达到最大值.也即,设
r
n
?n
且
b
n
和某个a
k
b
n
?a
n
b
r
n
?a
k
b
r
n
?a
n
b
n
.
(1-1)
?a
k
b
r
n
?(a
k
b<
br>n
?a
n
b
r
n
)?(b
n
?b<
br>r
n
)(a
n
?a
k
)?0
不等
式(1-1)告诉我们当
r
n
?n
时,调换
b
n
和
b
r
n
的位置(其余n-2项不变),会使和S增加.同理,调整好
a
n
?...?a
n
b
n
,这就证明了和
b
n
后,再调整
a
n?1
和
b
n?1
会使和增加.
经过n次调整后,和S达到最大值
a
1
b
1
?a
2
b
2
a
1
b
r
1
?a
2
br
2
?...?a
n
b
r
n
? a
1
b
1
?a
2
b
2
?...?a
n
b
n
.
再证不等式左端,
由
a
1
得
?a
2
?...?a<
br>n
,?b
n
??b
n?1
?...??b
1
及已证明的不等式右端,
?(a
1
b
n
即
?a
2
b
n?1
?...?a
n
b
1
)
??(a
1
b
r
1
?a
2
b
r
2
?...?a
n
b
r
n
)
a
1
b
n
?a
2
b
n?1
?...?a
n<
br>b
1
?a
1
b
r
1
?a
2
b
r
2
?...?a
n
b
r
n
.
例1 (美国第3届中学生数学竞赛题)设a,b,c是正数,求证:
a
思路分析:考
虑两边取常用对数,再利用排序不等式证明.
证明:不妨设
a?b?c
,则有
lga?lgb?lgc
根据排序不等式有:
abc
bc?(abc)
a?b?c
3
.
alga?blgb?clgc?algb?blgc?clga
alga?blgb?clgc?algc?blga?clgb
以上两式相加,两边再分别加上
有
alga?blgb?clgc
3(alga?blgb?clgc)?(a?b?c)(lgc?lga?lgb)
即
lga
a
b
b
c
c
?
abc
a?b?c
lgabc
3
a?b?c
3
故
abc?(abc)
.
a
2
?b
2
b
2
?c
2
c
2
?a
2
a
3
b
3
c
3
???
??
. 例2 设a,b,c
?R
,求证:
a?b?c?
2c2a2
bbccaab
?
思路分析:中间式子每项都是两个式子之和,将它们拆开,再用排序不等式证
明.
证明:不妨设
a?b?c
,则
根据排序不等式,有
111
a
2
?b
2
?c
2
且
??
cba
a
2
b
2
c
2
111
???a
2
?b
2
?c
2
cababc
a
2
b
2
c
2
111
???a
2
?b2
?c
2
bcaabc
两式相加除以2,得
a
2
?b
2
b
2
?c
2
c
2
?a
2
a?
b?c???
2c2a2b
再考虑
a
3
?b
3
?c
3
,并且
111
??
bccaab
利用排序不等式,
a
3
b
3<
br>c
3
111
???a
3
?b
3
?c
3
bccaabcaabbc
a
3
b
3
c
3111
???a
3
?b
3
?c
3
bccaababbcac
两式相加并除以2,即得
a
2
?b
2
b
2
?c
2
c
2
?a
2
a
3
b
3
c
3
?????
2c2a2bbccaab
综上所述,原不等式得证.
例3 设
0?a
1
nn
?a
2
?...?a
n
,0?b1
?b
2
?...?b
n
,而
i
1,
i
2
,...,i
n
与
j
1,
j
2
,...,j
n
是
1,2,...,n
的两个排列.
求证:??
r?s
r?1s?1
n
a
i
r
b
j
s
?
??
r?1s?1
nn
a
r
bs
.
(1-2)
r?s
思路分析:已知条件中有两组有序实数,而式(1-2)具有“积和”形式
,考虑使用排序不等式.
证明:令
d
r
?
?
s?1b
j
s
r?s
(r=
1,2,...,n
)
显然
d
1
?d
2
?...?d
n
b
1
?b
2
?...?b
n
, 且 因为
111
??...?
r?nr?(n?1)r?1
由排序不等式
b
s
?d
r
?
r?s
s?1
n
又因为
n
a
1
?a
2
?...?a
n
nnn
所以
n
b
s
a
r
d
r<
br>?
?
a
i
r
d
r
且
?
a<
br>r
?
?
?
a
r
d
r
(注意到
a
r
?
0)
?
r?1r?1r?1s?1
r?s
r?1
故
??
r?s
?
?
a
?
r?s
?
?
ad
ir
r?1s?1r?1s?1r?1
i
r
nn
a
i
r
b
j
s
nn
b
j
sn
r
nn
b
s
ab
?
?
a
r
d
r
?
?
a
r
?
?
?
?
rs
r?1r?1s?1
r?s
r?1s?1
r?s
nnn
故
原式得证.
2.均值不等式
定理2 设
a
1
,a<
br>2
,...,a
n
是n个正数,则
H(n)?G(n)?
其中
,
A(n)?Q(n)
称为均值不等式.
<
br>H(n)?
1
111
??...?
a
1
a
2
a
n
,
G(n)?
n
a
1
a
2
...a
n
,
A(n)?a
1
?a
2
?...?a
n
n
,
22
a
1
2
?a
2
?...?a
n
Q(n)?
n
分别称为
a
1
,a
2
,
...,a
n
的调和平均数,几何平均数,算术平均数,均方根平均数.
证明:
先证
G(n)?A(n)
.
,令 记
c?
n
a
1
a
2
...a
n
b
i
?
ai
c
,
则 原不等式
?b
1
?b
2?...?b
n
?n
其中
b
1
b<
br>2
...b
n
?
1
(a
1
a
2...a
n
)?1
c
n
xx
x
1<
br>x
,b
2
?
2
,...,b
n?1
?
n?1
,
则
b
n
?
n
.
x
2
x
3
x
n
x
1
取
x
1
,x
2
,...,x
n
使
b
1
?
由排序不等式,易证
b
1
?b
2
?...?b
n
?
xx
x
1
?...?
n?1
?
n
?n
x
2
x
n
x
1
下证
A(n)?Q(n)
因为
1
2
2
a
1
2
?a
2
?...?a
n
?[(a
1
?a
2
?...?a
n
)
2
?(a1
?a
2
)
2
?(a
1
?a
3
)
2
?...?(a
1
?a
n
)
2
<
br>n
?(a
2
?a
3
)
2
?(a
2<
br>?a
4
)
2
?...?(a
2
?a
n
)
2
?...?(a
n?1
?a
n
)
2
]
?
1
(a
1
?a
2
?...?a
n
)
2
n
22
a
1
?a
2
?...?a
n
a
1
2
?a
2<
br>?...?a
n
?
nn
所以 .
从上述证明知道,当且仅当
a
1
下面证明
?a
2
?...?a
n
时,不等式取等号.
H(n)?G(n)
111
,,...,
a
1
a
2
a
n
,应用 对n个正数
G(n)?H(n)
,得
111
??...?
a
1
a
2
a
n
111
?
n
...
n
a
1
a
2
a
n
即
H(n)?G(n)
(等号成立的条件是显然的).
例4已知
0?
证明:由于
a?1,x
2
?y
2<
br>?0
,求证:
log
a
(a
x
?a
y
)?log
a
2?
1
.
8
0?a?1
,
a
x
?0,a
y
?0
,
有
a
x
?a
y
?2a
x
a
y
?2a
x?y
从而
log
a
(a
x
?a
y
)?loga
(2a
x
a
y
)?log
a
2?
x
?y
2
x?y11
?
, 即
x?y?
。
284
11111
2
又因为
x?y?x?x??(x?)??
,等号在x=(这时y=)时取得
24424
1
xy
所以
log
a
(a?a)?log
a
2?
.
8
下证
例5(IMO)设a,b,c是正实数,且满足abc=1.
证明:
(a?1?
111
)(b?1?)(c?1?)?1
bca
证明:令
a?
yyz
,b?,c?
,其中x,y,z是正实数,将原不等式变形为
xzx
(x?y?z)(y?z?x)(z?x?y)?xyz
(2-1)
记
u?x?y?z,v?y?z?x,w?z?x?y
,
注意到u,v,w任意两个之和是一个正数,所以它们中间至多有一个负数.
如果恰有一个负数,那么
uvw?0?
(2-1)式成立.
xyz
,
如果这三个数都大于0,由算术—几何平均不等式
1
uv?(x?y?z?y?z?x)?x
2
同理可证,
于是
即
vw?y
,
wu?z
uvvwwu?xyz
(2-1)式得证.
uvw?xyz
,
例6 已知
a
1<
br>,a
2
,...,a
n
?0
,且
a
1
?a
2
?...?a
n
?1
.
求证:
a
n
a
1
a
2
n
???
.
1?a
2
?a
3
?...?a
n
1?a
1
?a
3
?...?a
n
1?a
1
?a
2
?...?a<
br>n?1
2n?1
nn
a
i
2
?
?
(
?1)
. 思路分析:左边各项形式较复杂,首先将其化简为
?
i?1
2?a
i
i?1
2?a
i
左边为和的形式,但其各项之和难与右边联系,利
用算术平均大于几何平均难以求证,而左边各项
2
2?a
i
可看为倒
数形式,尝试用调和平均.
证明:不等式左边化为
n
a
i
2
?(?1)
,
??
2?a2?
a
i?1i?1
ii
n
对
222
,,...,
2?
a
1
2?a
2
2?a
n
,利用
A(n)?H(n)
有
1
n
a
i
?
?
n
i?12?a
i
n
n
2?a
i
?
2
i?1<
br>
即
2?a
i
?
?<
br>2
i?1
n
n
2
n
2
2n
2
??
1
2n?1
1
n
n?
?
a
i
n?
2
2
i?1
所以
nn
a
i
2?a
i
n
22n
2
.
?
?(?1)??n??n
???
2n?1
22n?1
i?1
2?a
i
i?1
2?a
i
i?1
n
3.柯西不等式
定理3 设
a
i
,
b
i
?R
(i=1,2,…n),恒有不等式
?
a.
?<
br>b?(
?
a
i
b
i
)
2
,当且仅当
2
i
2
i
i?1i?1i?1
nnn
b
b
1
b
2
??...?
n
a
1
a
2
a
n
时,
等式成立.
构造二次函数证明
当
a
1
?a
2
???a
n
?0
或
b
1
?b
2
??b
n
?0
时,不等式显然成立
n
2
令
A?
?
a
i
i?1
B?
?
a
i
b
i
C?
?
b
i
i?1
i?1
22
n
n
2
,当<
br>a
1
,a
2
,?,a
n
中至少有一个不为零时,可知
A>0
n
构造二次函数
f
?
x
?
?Ax?2Bx
?C
,展开得:
f
?
x
?
?
?
a
i
x?2a
i
b
i
x?b
i
?
?
?
a
i
x?b
i
?
?0
故
2
2
22
i?1i?1
??
n
f
?
x
?
的判别式
??4B
2
?4AC?0
移项得
AC?B
2
,得证。
向量法证明
令
?
?
?
a
1
,a
2
,?,a
n
?<
br>,
?
?
?
b
1
,b
2
,?,bn
?
?
?
.则对向量
?
?
?
,
?
有
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?cos
?
,
?
?1
?
?
?
??
,由
2
?
?
?
2
n
2
?2
n
2
?
n
??
n
2
??
n
2
?
?
?
?
?a
1
b
1
?a
2
b
2
???a
n
b
n
,
?
?
?
a
i
,
?
?
?
b
i
,得
?
?
a
i
b
i
?
?
?
?
a
i
??
?
b
i
?
.
当且仅
?
i?1
??
i?1
??
i?1
?
i?1i?1
?
?
?
?
当
cos
?
,<
br>?
?1
,即
?
,
?
平行时等号成立。
??
数学归纳法证明
i ) 当n=1时,有
当n=2时,
?a
1
b
1
?
2
?a
1
2
b<
br>2
2
,不等式成立。
?
a
1
b
1
?a
2
b
2
?
2
?a
1
2
b1
2
?a
2
2
b
2
2
?2a
1
b
1
a
2
b
2
因为
a
1
2
?
a
2
1
?a
2
b
1
?b
2
?a
1
b
1
?a
2
b
2
?a
1
b
2
?a
2
b
1
2
2
??
22
?
22222222
22
222
b
2
?a
2
b
1
?2
a
1
b
1
a
2
b
2
,故有
?a
1
b
1
?a
2
b
2
?
?a
1
?a
2
b
1
?b
2
22
???
?
当且仅当
a
1
b
2
?a
2
b
1
,即
a
1
a
2
?
时等号成立。
b
1
b
2
ii)假设n=k时不等式成立,即
?
a
1
b
1
?a
2
b
2
???a
k
b
k
?
2
?
?
a
1
2
?
a
2
2
???a
k
2
??
b
1
2
?b
2
2
???b
k
2
?
当且
仅当
a
a
1
a
2
????
k
b
1
b
2
b
k
时等号成立。
那么当n=k+1时,
?
a
1
b
1
?a
2
b
2
???a
k
b
k
?a
k?1
b
k?1
?
2
2
?
?
a
1
b
1
?a
2
b
2
???a
k
b
k
?
?2a
k?1b
k?1
?
a
1
b
1
?a
2
b
2
???a
k
b
k
?
?a
k?1
b
k?1
22
?
?
?
a
?
?
a
?a
1
?a
2
???a
k
b
1
?b
2
???b
k
?2a
k?1
b
k?1
?
a
1
b
1
?a
2
b
2
???a
k
b
k
?
?a
k?1
b
k?1<
br>2
2
2
2
2
2
2
2
2
2<
br>2
2
2
2
1
1
?a
2
???ak
2
?a
2
???a
k?1
???
??
b?b???b
?
?a
??
b?b???b
?
12k2222
12k?1
2
2
1
222222222
bk?1
?b
1
a
k?1
???a
k
b
k?1
?b
k
a
k?1
?a
k?1
b
k?
1
222222
?a
1
?a
2
???a
n
b
1
?b
2
???b
n
??
??
当且仅当
a
1
b
k?1
?b
1
ak?1
,a
2
b
k?1
?b
2
a
k?
1
,?,a
k
b
k?1
?b
k
a
k?1<
br>时等号成立,
时等号成立。 即
aa
a
1
a
2????
k
?
k?1
b
1
b
2
bk
b
k?1
于是n=k+1时不等式成立。
由i )
ii)可得对于任意的自然数n,柯西不等式成立。
利用恒等式证明
先用数学归纳法
证明如下恒等式,然后证明柯西不等式:对于两组实数
a
1
,a
2
,
?
格朗日恒等式
,a
n
;b
1
,b
2
,
?,b
n
有柯西—拉
?
a
2
1
?a
2???a
n
b
1
?b
2
???b
n
?
?
a
1
b
1
?a
2
b
2
???a
n
b
n
?
22222
222
???
2
?
?
a
1
b
2
?a
2
b1
?
?
?
a
1
b
3
?a
3<
br>b
1
?
???
?
a
1
b
n
?a
n
b
1
?
?
?
a
2
b
3
?a
3
b
2
?
2
???
?
a
2
b
n
?a
n
b
2
?
2
???
?
a
n?1
b
n
?a
n
b
n?1
?
2
由实数性质
?
2
?0
?
?
?R
?
可得柯西不等式成立。
以
上给出了柯西不等式的几种证法。不难看出柯西不等式的重要性。它的对称和谐的结构、广泛的应用、简洁明快的解题方法等特点深受人们的喜爱。所以,若将此定理作进一步剖析,归纳它的各类变形,将会有更多收获
。
柯西不等式的推广
命题1
nn
?
n
?
2
2
若级数
?
a
i
与
?<
br>b
i
收敛,则有不等式
?
?
a
i
b
i
?
?
?
a
i
?
b
i
。
i?1i?1
i?1i?1
?
i?1
?
n
2
n<
br>2
2
?
n
??
n
2
??
n
2
?
22
证明:
?
?
a
i
,
?<
br>b
i
收敛,
0?
?
?
a
i
b
i
?
?
?
?
a
i
??
?
bi
?
i?1i?1
?
i?1
??
i?1??
i?1
?
nnn
??
22
?
?
a
i
b
i
收敛,且
?
lim
?
a
i
b
i
?
?lim
?
a
i
lim
?
b
i
n??
i?1
?
n??
i?1
?n??
i?1
i?1
nn
2
n
2
n
n
?
n
?
2
2
从而有不等式
?
?
a
i
b
i
?
?
?
a
i
?
b
i
成立。
i?1i?1
?
i?1
?
2
命题2
[3]
nn
?
n
?
2
2
若级数
?
a
i
与
?
b
i
收敛,且对
?n?N
有
?
?
a
i
b
i
?
?
?
a
i
?
b
i
,则对定义在
?
a
,b
?
上的任意连续函
i?1i?1
i?1i?1
?
i?1
?
n
2
n
2
2
数
bbb
22?
??????
f
?
x
?
,g
?
x<
br>?
有不等式
?
fxgxdx?fxdxg
?
?
a?
?
a
?
a
?
x
?
dx
<
br>??
2
证明:因为函数
f
?
x
?
,g
?
x
?
在区间
?
a,b
?
上连续,所以函数f
?
x
?
与g
?
x
?
、f
2
?
x
?
、g
2
?
x
?
在
?
a,b
?
上可积,将
?
a,b
?
区间n等分,取
每个小区间的左端点为
?
i
,由定积分的定义得:
?
f
?
x
?
dx?lim
?
f
?
?
?
?
x,
?
g
?
x
?
dx?lim
?
g
?
?
?
?x
a
n??
i
i?1
a
n??
i
i?1
b
n
b
n
?
b
a
f
2
?
x
?
dx?lim
?
f
2
?
?
i
?
?x,
?
g
2
?x
?
dx?lim
?
g
2
?
?
i?
?x
n??
i?1
a
n??
i?1
n
b
n
令
a
2
1
?f
?
?1
?
,b?g
?
?
1
?
,则
?
a
i
与
?
b
i
2
2
1
2
2
i?1i?1
nn
2
收敛,由柯西不等式得
?
n??
n
2
??
n
2
?
?
?
f
?
?
i
?
g
?
?
i
?
?
x
?
?
?
?
f
?
?
i
?
?x
??
?
g
?
?
i
?
?x
?<
br>,
?
i?1
??
i?1
??
i?1
?
nnn
??????
2
?
lim
?
f
?
?
i
?
g
?
?
i
?
?x
?
?
?
lim
?
f
?
?
i
?
?x
??
lim
?
g
2
?
?
i
??x
?
?
n??
i?1
??
n??
i?1??
n??
i?1
?
bbb
22
??
????
??
fxgxdx?fxdxg
?
?
a
?
?
a?
a
?
x
?
dx
。
??
2
2
2
从而有不等式
赫尔德不等式
[4]
设
a
1
?0
,b
1
?0,(i?1,2,?,n),p?0,q?0,
满足
pq
11
????
??1,
则:
?
a
i
b
i<
br>?
?
?
a
i
p
??
?
b
i
q
?
pq
i?1
?
i?1
??
i?1?
nn
1
p
n
1
q
,等号
成立的充分
必要条件是
a
i
?
?
b
i
?
i?1,2,
?,n;
?
?0
?
.
证明:首先证明
1111<
br>??1
时,对任何正数A及B,有
A
p
?B
q
?AB
.
pqpq
对凹函数
f
?
x
?
?lnx
,
有:
?
1
P
1
q
?
111
P
1
qpq
?
ln
?
A?B?lnA?lnB?lnAB?A
?B?AB.
?
p
?
pqqpq
??
令
A?
a
k
?
n
p
?
?
?
a
i
?
?
i?1
?
1
p
,B?
b
k
?
n
q
?
?
?
b
i
?
?
i?1
?
1
q
,
代入以上不等式并对于
k?1,
2,?,n
,把这n个不等式相
??
?
pq
?
nn
a
k
b
k
ab
11
kk
??
?
1
?
1
?1,
即 加.
?
??
?
11
?
p
n
p
q
n
q
?
pq
k?1
k?1
nn
pq
b
i
?
?
p
??
q
?
?
?
a
i
?
?
?
a
i
??
?
b
i
?
i?1
?
i?1
?
?
i?1
??
i?1
?
?
p
??
q
?
ab?ab
???
???
iiii
?
i?1
?
i?1
??
i?1
?
nn
1
p
n
1
q
成立。等号成立的充分必要条件是:
a
i
n
i?1
p
?
p
i
b
i
n
i?1
q
,
即
q
i
?
a
?
b
22
2
x
n
x
n
x
1
2
x
2
?1
例7 设
x
1
,x
2
,...,x
n
?R
,求证:
??...???x
1
?x
2
?
...?x
n
.
x
2
x
3
x
n
x
1
?
思路分析:注意到式子中的倒数关系,考虑运用柯西不等式来证明.
证明:因为
x
1
,x
2
,...,x
n
?
0,故由柯西不等式,得
22
2
x
n
x
n
x1
2
x
2
?1
(x
2
?x
3
?...?x
n
?x
1
)(??...??)
x
2
x
3
x
n
x
1
?(x2
.
xx
x
1
x
?x
3
.
2
?...?x
n
.
n?1
?x
1
.
n)
2
x
2
x
3
x
n
x
1
?(x
2
?x
3
?...?x
n
?x
1
)
2
22
2
x
n
x
n
x1
2
x
2
?1
??...???x
1
?x2
?...?x
n
.
x
2
x
3
x
n
x
1
所以
例8 已知实数
a,b,c,d
,e满足
a?b?c?d思路分析:由
a
2
?e?8,a
2
?b
2
?c
2
?d
2
?e
2
?16
,求e的取值范围. ?b
2
?c
2
?d
2
?e
2
联想到应
用柯西不等式.
4(a
2
?b
2
?c
2
?d2
)?(1?1?1?1)(a
2
?b
2
?c
2
?d
2
)
2
解:因为
?(a?b?c?d)
即
,
4(16?e
2
)?(8?e)
2
,
2
64?4e
即
?64?16e?e
2
5e
2
?16e?0
,所以
e(5e?16)?0
,
故
0?e?
6
.
5
评述:此题十分巧妙地应用柯西不等式求最值,十分典型,它是将重要不等式应用于求最值问题的一道重要题目.
22
x
1
,x
2
,x
3
?R<
br>?
满足
x
1
2
?x
2
?x
3
?1
,求例9
x
3
x
1
x
2
??22
1?x
1
2
1?x
2
1?x
3
取
最小值
的最小值.
解:容易猜到
x
1
?x
2
?x
3
?
1
x
3
x
1
x
2
?
?
时,
22
3
1?x
1
2
1?x
2
1?x
3
33
.
2
为了证明这一点,利用柯西不等式,得 3
x
i
3
32
.x(1?x
i
)?
?
x
i
2
?1
,
?
2
?
i
i?1
1?x
i
i?1i?1
3
只需要证明
?
x
i
3
(1?
x
i
2
)?
i?1
3
2
33
3
等价于
2
33
?
?
x?
?
x
i
3
(3-1)
5
i
i?1i?1
3
由几何—算术平均不等式,得 <
br>22
2x
1
2
xx
5
11
?x
1<
br>?3
3
()()x
1
5
?x
1
3
,
333333
222
2x
2
xx
553
22
?x
2
?3
3
()()x
2
?x
2
,
333333
同理可证,
222
2x
3
x
3
x
3
553
,
?x
3
?3
3
()()x
3
?x
3
333333
以上三式相加,(3-1)式得证,进而证得
x
3
x
1
x
2
??
22
1?x
1
2
1?x
2
1?x
3
ii
的最小值是
1
3
3
,当且仅当
x
1
?x
2
?x
3
?
时。
3
2
ii
评述:柯西不等式中的
3
?
ab
的项
ab
如何拆成两个因式
a
和
b
的积,可以说是
应用此不等式的主要技巧(上例
ii
?
x(1?x)?
3
i
2
i
i?1
2
33
,我们将
?
x
i
2
中的
x
i
2
表示为
i?1
3
x
i
1?x
i
2
和
x
i
3
(1?x
i
2
)
的积),正因为
a
i
b
i
可以按
照我
们的需要加以分解,柯西不等式的应用更为广泛.
例10 试问:当且仅当实
数
x
0
,x
1
,...,x
n
(n?2)
满足什么条件是,存在实数
y
0
,y
1
,...,y
n使得
222
z
0
?z
1
2
?z
2?...?z
n
成立,其中
z
k
?x
k
?iy
k
,i为虚数单位,k=0,1,…,n. 证明你的结论.(高中联赛,1997)
222
z
0
?z
1
2
?z
2
?...?
z
n
成立转换到实数范围内求解。根据表达式的特点,结合柯西不等式寻找思路分析:将
x
i
(i?1,2,...,n)
的范围.
解:将
z
0
222
?z
1
2
?z
2
?...?z
n<
br>转化到实数范围内,即
n
?
n
2
222
?
?
x
k
?x
0
?
?
y<
br>k
?y
0
,
?
k?1k?1
?
n
?
x
k
y
k
?x
0
y
0
?
?
k?1
?
n
(3-2)
若存在实数
y
0
,y
1
,...,y
n
使
(3-2)成立,则
xy?(
?
x
k
y
k
)
2
.
2
0
2
0
k?1
2
xy?(?
x)(
?
y
k
)
(3-3)
2
0
2
0
2
k
k?1k?1
nn
由柯西不等式可得
如果
x
2
0
??
x
k?1
n
2
k
,由(3-2)可知
y?<
br>?
y
k
2
,从而
2
0
k?1
2<
br>xy?(
?
x)(
?
y
k
)
与
(3-3)矛盾
2
0
2
0
2
k
k?1k?1nn
n
于是得
x?
?
x
k
2
(3-4)
2
0
k?1
n
反之若(3-4)成立,有两种情况:
2
0
⑴
x?
?
x
k
2
,则取y
k
?x
k
,k=0,1,2,…,n,显然(3-2)成立.
k?1
n
n
⑵
x
2
0
?
?
x<
br>k?1
2
k
,记
a
222
?
?
x<
br>k
?x
0
?0
,则
x
1
,...,x
n
不全为0.
k?1
n
不妨设
x
n
?0
,
取
y
k
?0,k?0,1,2,...,n?2
,并且取
y
n?1
?
ax
n
x
2
n?1
?x
2
n
,y
n
?
?ax
n?1
x
2
n?1<
br>?x
2
n
.
易知(3-2)成立.
综上,所求的条件为
x?
?
x
k
2
.
2
0
k?1
n
4.切比雪夫不等式
定理4 设
x
1
,x
2
,...,x
n
,
y
1
,y
2
,...,y
n
为任意两组实数,若
x
1
?x
2
?...?x
n
且
y
1
?y
2
?...?y
n
或
x
1
?x
2
?..
.?x
n
且
y
1
?y
2
?...?y
n<
br>,则
1
n
1
n1
n
x
i
)(
?
y
i
)
(4-1)
?
x
i
y
i
?(
n
?
n
i?1
n
i?1i?1
若
x
1
?x
2
?...?x
n
且
y
1
?y
2
?...?
y
n
或
x
1
?x
2
?...?x
n
且
y
1
?y
2
?...?y
n
,则
1
n
1
n
1
n
x
i
y
i
?(
?
x
i
)(
?
y
i
)
(4-2)
?
n
i?1n
i?1
n
i?1
当且仅当
x
1
?x
2
?...?x
n
或
y
1
?y
2
?...
?y
n
时,(4-1)和(4-2)中的不等式成立.
证明: 设
x
1
,x
2
,...,x
n
,y
1
,y
2
,...,y
n
为两个有相同次序的序列,由排序不等式有
x
1
y
1
?x
2
y
2
x
1
y
1
?x
2
y
2
x
1
y
1
?x
2
y
2
?...?
x
n
y
n
?x
1
y
1
?x
2y
2
?...?x
n
y
n
?...?xn
y
n
?x
1
y
2
?x
2
y
3
?...?x
n
y
1
?...?x
n
y
n
?x
1
y
3
?x
2
y
4
?...?x
n
y
2
…………
x
1
y
1
?x
2
y
2
?...?x
n
y
n
?x
1
y
n
?x2
y
1
?...?x
n
y
n?1
把上述n个式子相加,得
n
?
x
i
y
i<
br>?(
?
x
i
)(
?
y
i
)
i?1i?1i?1
nnn
上式两边同除以
n
,得
2
1
n
1
n
1
n
x
i
)(
?
y
i
)
?
x
i
y
i?(
n
?
n
i?1
n
i?1i?1
等号当且仅
当
x
1
例 10 设
a
i
求证:
aa
1
1
?x
2
?...?x
n
或
y<
br>1
?y
2
?...?y
n
时成立.
?0(i?1,2,...,n)
,
a
2
2
a
n
n
1
(a
1
?a
2
?...?a
n
)
n
a...a?(a
1
a
2
...a
n
)
证明:不妨令
a
1
?a
2
?...?a
n
?0
,则
lga
1
?lga
2
?...?lga
n
由切比雪夫不等式,有
a
1
lga
1
?a
2lga
2
?...?a
n
lga
n
?
1
(a
1
?a
2
?...?a
n
)(lga
1
?lga
2
?...?lga
n
)
n
a
1
a
2
12
即
lg(a...a)?lg(a
1
a
2
...a
n
)
a
n
n
a
n
n
1
(a
1
?a
2
?...?a
n
)
n
从而证得
例11 已知
a
1
aa...a?(a
1
a
2
...a
n
)
a
1
1
a
22
1
(a
1
?a
2
?...?a
n
)
n
.
?a
2
?...?a
n
?0,b
n
?b
n?1
?...?b
1
?0
.
n
求证:
?
b
i1
?n
i?
?
n
i?1
a
i
n
i?1
a
i
.
i
?
b
证明:取
x
i
?a
i
,y
i
?b
i
,则由
a
2
?a
2
?...?a
n
?0,b
n
?b
n?1
?...?b
1
?0
,
可知
x
i
,
b
i
满足切比雪夫不等式的条件,故
1
n
11
n
1
n
1
?(<
br>?
a
i
)(
?
)
?
a
i
n
i?1
b
i
n
i?1<
br>n
i?1
b
i
又由均值不等式,正数
b
1
,
b
2
,...,b
n
的调和平均数不大于它们的算术平均数,
即
n
1
?
i?1
b
i
n
?
?
b
i?1
n
i
n
.
其中等号仅在
b
1
?b
2
?...?b
n
时成立.
这样就有
1
n
b
i
?
?
n
i?1
a
i
?
a
i?1
n
i?1
n
i
,
i
?
b
即
?
b
i1
?n
i?
?
n
i?1
a
i
n
i?1n
a
i
, 而且等号仅在
b
1
?
b
?b
2
?...?b
n
时成立.
i
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