高中数学联赛二试概念集锦

1、平面几何
基本要求：掌握高中数学竞赛大纲所确定的所有内容。
补充要求：面积和面积方法。
梅涅劳斯定理（Menelaus' theorem）是由古 希腊数学家梅涅劳斯首先证明的。
它指出：如果一条直线与△ABC的三边AB、BC、CA或其延长线 交于F、D、E点，
那么(AFFB)×(BDDC)×(CEEA)=1。或：设X、Y、Z分别在△ ABC的BC、CA、
AB所在直线上，则X、Y、Z共线的充要条件是(AZZB)*(BXXC)* (CYYA)=1。



塞瓦定理
在△ABC内任取一点O，
直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、F，则 (BDDC)*(CEEA)*(AFFB)=1
托勒密定理:指圆内接凸四边形两对对边乘积的和等于两条对角线的乘积。
西姆松定理: 有 三角形ABC，平面上有一点P。P在三角形三边上的投影（即由
P到边上的垂足）共线（此线称为西姆 松线, Simson line）当且仅当P在三角
形的外接圆上。

几个重要的极值：到三角形三顶点距离之和最小的点--费马点。
（1）对于任意三角形△A BC，若三角形内或三角形上某一点E,若EA+EB+EC有最
小值,则取到最小值时E为费马点。（ 2）如果三角形有一个内角大于或等于120°，
这个内角的顶点就是费马点；如果3个内角均小于12 0°，则在三角形内部对3
边张角均为120°的点，是三角形的费马点。

到三角形三顶点距离的平方和最小的点--重心。
三角形内到三边距离之积最大的点-- 重心。
几何不等式。

简单的等周问题。
等周定理，又称等周不等式，是一个几何中的不等式定理，说明了欧几里得平面上的
封闭图形的 周长以及其面积之间的关系。其中的“等周”指的是周界的长度相等。等周定理说
明在周界长度相等的封 闭几何形状之中，以圆形的面积最大；另一个说法是面积相等的几何
形状之中，以圆形的周界长度最小。

解释：不完全凸的封闭曲线的话，能以“翻折”凹的部分以成为凸的图形，以增
加面 积，而周长不变
一个狭长的图形可以通过“压扁”来变得“更圆”，从而使得面积更大而周长不
变。
了解下述定理：
在周长一定的n边形的集合中，正n边形的面积最大。
在周长一定的简单闭曲线的集合中，圆的面积最大。
在面积一定的n边形的集合中，正n边形的周长最小。
在面积一定的简单闭曲线的集合中，圆的周长最小。
几何中的运动：反射、平移、旋转。
复数方法:
由于复数与平面上的点存在着一一对应关系,所以许多平面几何问题,特别是涉< br>及规则图形(如正多边形、等腰直角三角形、矩形、圆等)的几何问题,都可以通
过建立坐标系, 利用复数方法求解。
向量方法
平面凸集、凸包及应用
凸集 实数 R （或复数 C 上）在向量空间中，集合 S 称为凸集，如果 S 中任两点的
连线内的点都在集合 S 内。 对欧氏空间，直观上，凸集就是凸的。

点集Q的凸包（convex hull）是指一个 最小凸多边形，满足Q中的点或者在多边形边上或者
在其内。右图中由红色线段表示的多边形就是点集Q ={p0,p1,...p12}的凸包
。
2、代数
在一试大纲的基础上另外要求的内容：
周期函数与周期，带绝对值的函数的图像。
三倍角公式
sin3α=4sinasin(60°+a)sin(60°-a)
cos3α=4cosacos(60°-a)cos(60°+a)
tan3a = tan a · tan(π3+a)· tan(π3-a)
三角形的一些简单的恒等式，三角不等式。
|a|-|b|≤|a±b|≤|a|+|b| (定理)，

第二数学归纳法。
第二数学归纳法原理是设有一个与自然数n有关的命题，如果：
（1）当n＝1时，命题成立；
（2）假设当n≤k时命题成立，由此可推得当n＝k+1时，命题也成立。
那么，命题对于一切自然数n来说都成立。
第二数学归纳法和第一数学归纳法一样，也是数学归纳法的 一种表达形式，而且可以
证明第二数学归纳法和第一数学归纳法是等价的，之所以采用不同的表达形式， 旨在更便于
我们应用。

递归，递归，就是在运行的过程中调用自己。
在数学和计算机科学中，递归指由一种（或多种）简单的基本情况定义的一
类对象或方法，并规定其他所 有情况都能被还原为其基本情况。
例如，下列为某人祖先的递归定义：
某人的双亲 是他的祖先（基本情况）。某人祖先的双亲同样是某人的祖先（递
归步骤）。斐波纳契数列（Fibon acci Sequence），又称黄金分割数列，指的是
这样一个数列：1、1、2、3、5、8、 13、21..... I
斐波纳契数列是典型的递归案例
一阶、二阶递归，特征方程法。
特征方程，实际上就是为研究相应的数学对象而引入的一些等 式，它因数学对象不同
而不同，包括数列特征方程，矩阵特征方程，微分方程特征方程，积分方程特征方 程等等


函数迭代，求n次迭代，简单的函数方程。

n个变元的平均不等式，柯西不等式，排序不等式及应用
【柯西不等式】
二维形式
(a^2＋b^2)(c^2 + d^2)≥(ac+bd)^2 等号成立条件：ad=bc
三角形式
√(a^2＋b^2)＋√(c^2＋d^2)≥√*(a+c)^2＋(b+d)^2] 等号成立条件：ad=bc 注：“√”
表示平方根，
向量形式
|α|| β|≥|α·β|，α=(a1,a2,…,an)，β=(b1,b2,…,bn)（n∈N，n≥2） 等号成立条件：β
为零向量，或α=λβ（λ∈R）。
一般形式
(∑ai^2)(∑bi^2) ≥ (∑ai·bi)^2 等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn，或ai、bi均为零.

排序不等式
设有两组数 a 1 , a 2 ,…… a n, b 1 , b 2 ,…… b n 满足 a 1 ≤ a 2 ≤……≤ a n, b 1 ≤ b 2 ≤……≤ b
n 则有 a 1 b n + a 2 b n?1 +……+ a n ≤ a 1 b t + a 2 b t +……+ a n b t ≤ a 1 b 1 + a 2 b 2 + a n b n
式中t1，t2，……，tn是1，2，……，n的任意一个排列， 当且仅当 a 1 = a 2 =……= a n 或 b
1 = b 2 =……= b n 时成立。
以上排序不等式也可简记为： 反序和≤乱序和≤同序和.
例1在△ABC中，ha , hb ,hc 为边长a,b,c上的高，求证：asinA+bsinB+csinC>= h
a
+ h
b
+h
c
解：简单画下图形可知:ha=csinB, hb=asinC, hc=bsinA
原不等式即证: asinA+bsinB+csinC>=csinB+asinC+bsinA
正弦定理: asinA=bsinB=csinC, ∴a,b,c和sinA,sinB,sinC大小顺序相同
排序不等式:顺序和>=乱序和>=反序和
∴asinA+bsinB+csinC(顺序和 )>=csinB+asinC+bsinA(乱序和)
∴asinA+bsinB+csinC>=ha+hb+hc


复数的指数形式，

欧拉公式是指以欧拉命名的诸多公式。其中最著名的有，复变函 数中的欧拉幅角
公式，即将复数、指数函数与三角函数联系起来。拓扑学中的欧拉多面体公式。
初等数论中的欧拉函数公式。欧拉公式描述了简单多面体顶点数、面数、棱数特

有的规律，它只适用于简单多面体。常用的欧拉公式有复数函数
e^ ix=cosx+isinx，三角公式d＾2=R＾2-2Rr ， 物理学公式F=fe^ka等。
欧拉公式，

特殊的：

分式
分式里的欧拉公式：
a＾r(a-b)(a-c)+b＾r(b-c)(b-a)+c＾r(c-a)(c-b)
当r=0,1时式子的值为0
当r=2时值为1
当r=3时值为a+b+c
三角公式
三角形中的欧拉公式：
设R为三角形外接圆半径，r为内切圆半径，d为外心到内心的距离，则：
d＾2=R＾2-2Rr
拓扑学里的欧拉公式：

V是多面体P的顶点个数，F是多面体P的面数，E是多
面体P的棱的条数

棣莫佛定理，

把复数用三角式（具体参见复数）表示：
c=r(cosa+isina)
或者表示为：
r(cos+isina) 的n次方根＝n次根号下,r×*cos((a+2k)n)+isin((a+2kπ)n)+- 其中
k=0,1,2...n-1
单位根，单位根的应用。
单位根（unit root） 设n 是正整数，当一个数的n 次乘方等于1 时，称此数为n 次
“单位根”。在复数范围内，n 次单位根有n 个。例如，1、－1、i、－i 都是4次单位根。
确切的说，单位根指模为1的根，一般的x^n=1的n个根可以表示为: x=cos(2kπn)+sin(2kπn)i ，
其中:k=0,1,2,..,n-1 ，i是虚数的单位。

圆排列，有重复的排列与组合，简单的组合恒等式。
从n个 不同元素中不重复地取出m（1≤m≤n）个元素在一个圆周上，叫做这n
个不同元素的圆排列。如果一 个m-圆排列旋转可以得到另一个m-圆排列，则认
为这两个圆排列相同。
计算公式：
n个不同元素的m-圆排列数为 n![(n-m)!*m]
特别地，当m=n时，n个不同元素作成的圆排列总数为 （n-1）！。

一元n次方程（多项式）根的个数，根与系数的关系，实系数方程虚根成
对定理。
简 单的初等数论问题，除初中大纲中所包括的内容外，还应包括无穷递降
法，同余，欧几里得除法，非负最 小完全剩余类，高斯函数，费马小定理，欧
拉函数，孙子定理，格点及其性质。
高斯函数的形式为：

其中 a、b 与 c 为实数常数 ，且a > 0.
c^2 = 2 的高斯函数是傅立叶变换的特征函数。这就意味着高斯函数的傅立叶变换不仅
仅是另一个高斯函数，而且是进行傅立叶变换的函数的标量倍。
费马小定理(Fermat Theory)是数论中的一个重要定理，其内容为： 假如p是质数，
且Gcd(a,p)=1，那么 a
(p-1)
≡1（mod p）。即：假如a是整数，p是质数，且a,p互质(即
两者只有一个公约数1)，那么a的(p-1)次方除以p的余数恒等于1。

欧拉函数
:在数论，对正整数n，欧拉函数是少于或等于n的数中与 n互质的数的数目。
此函数以其首名研究者欧拉命名，它又称为Euler's totient function、φ函数、欧拉商数等。 例
如φ(8)=4，因为1,3,5,7均和8互质。 < br>孙子定理
:
若某数x分别被d1、、?、dn除得的余数为r1、r2、?、rn，则< br>可表示为下式：
x=R1*r1+R2*r2+?+Rn*rn+R*D
其中R1是 d2、d3、?、dn的公倍数，而且被d1除，余数为1；（称为R1
相对于d1的数论倒数）
R1、R2、?、Rn是d1、d2、?、dn-1的公倍数，而且被dn除，余数为1；
D是d1、d2、?、的最小公倍数；
R是任意整数（代表倍数），可根据实际需要决定；且 d1、d2、d3?、dn
必须互质，以保证每个Ri(i=1,2，?，n)都能求得.
（ 注：因为R1对d1求余为1，所以R1*r1对d1求余为r1，这就是为什么
是R1对d1求余为1 的目的，其次，R2*r2,R3*r3?Rn*rn对d1求余都是0）

无穷递降法是证明方程无解的一种方法。其步骤为：
假设方程有解，并设X为最小的解。
从X推出一个更小的解Y。
从而与X的最小性相矛盾。所以，方程无解。
同余是数论中的重要概念。给定一个正整数m，如果两个整数a和b满足a-b能
被m整除，即 m|(a-b)，那么就称整数a与b对模m同余，记作a≡b(modm)。对
模m同余是整数的一个 等价关系。
用欧几里德算法（辗转相除法）求两个正整数的最大公约数。
先将其中 较大的数除以较小的数，如果余数为0，则其中较小的数就是所求
的最大公约数，如果余数不为0，就用 较小的数再去去除以余数，再看余数是否
为0，这样一直做下去，直到余数为0为止，此时除数就是所求 的最大公约数。
例：48,64

64÷48=1??16

48÷16=3

所以16即为48和64的最大公约数。

3、立体几何
多面角，多面角的性质。三面角、直三面角的基本性质。
正多面体，欧拉定理。
[3]

体积证法。
截面，会作截面、表面展开图。

4、平面解析几何
直线的法线式，直线的极坐标方程，直线束及其应用。
二元一次不等式表示的区域。
三角形的面积公式。
圆锥曲线的切线和法线。
圆的幂和根轴。
?
?
相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。
切割线定 理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条
割线定理：从圆外一点P引两条 割线与圆分别交于A、B；C、D，则有PA·PB=PC·PD
?
?
?
?
?
?
?
线段长的比例中项。
?
定义：圆幂

（称为P点对圆O的幂）
符号：圆内的点的幂为负数，圆外的点的幂为正数，圆上的点的幂为零。
[1]

合），则有

考虑经过P点与圆心O的直线，设PO交⊙O于M、N，R为圆的半径，则
有
< br>根轴：在平面上任给两不同心的圆，则对两圆圆幂相等的点的集合是一条直线，这
条线称为这两个 圆的根轴。
?
?
?
?
另一角度也可以称两不同心圆的等幂点的轨迹为根轴，或者称作等幂轴。

5、其它
抽屉原理。
桌上有十个苹果，要把这十个苹果放到九个抽屉里，无论怎样放，我们会
发 现至少会有一个抽屉里面至少放两个苹果。这一现象就是我们所说的“抽屉原理”。 抽
屉原理的一般含 义为：“如果每个抽屉代表一个集合，每一个苹果就可以代表一个元素，假
如有n+1或n+(n-1) 个元素放到n个集合中去，其中必定至少有一个集合里有两个元素。”
抽屉原理有时也被称为鸽巢原理。它是组合数学中一个重要的原理。

容斥原理。
在计数时，必须注意无一重复，无一遗漏。为了使重叠部 分不被重复计算，
人们研究出一种新的计数方法，这种方法的基本思想是：先不考虑重叠的情况，把包含 于某
内容中的所有对象的数目先计算出来，然后再把计数时重复计算的数目排斥出去，使得计算
的结果既无遗漏又无重复，这种计数的方法称为容斥原理。

极端原理。
直接抓住全体 对象中的极端情形或它们所具有的某种极端性质加以研究、
解决问题的思想方法称为极端性原则。

集合的划分。
覆盖。
梅涅劳斯定理
托勒密定理
定理的内容 托勒密(Ptolemy)定理指出，圆的内接凸四边形两对对边乘积
的和等于两条对角线的乘积

西姆松线的存在性及性质(西姆松定理)。
西姆 松定理是一个几何定理。表述为：
过三角形外接圆上异于三角形顶点的任意一点作三边的垂线，则三垂足 共线。（此线常称
为西姆松线）。西姆松定理的逆定理为：若一点在三角形三边所在直线上的射影共线， 则该
点在此三角形的外接圆上。

赛瓦定理及其逆定理。
在△ABC内任取 一点O，直线AO、BO、CO分别交对边于D、E、
F，则 (BDDC)×(CEEA)×(AFFB)=1。