浙江省高中数学竞赛试题及详细解析答案

2011年浙江省高中数学竞赛试卷
一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个 正确答案，将正确答案的序号填入题干后
的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）
1. 已知
?
?[
5
?
3
?
,]
，则
1?sin2
?
?1?sin2
?
可化简为（ ）
42
A．
2sin
?
B.
?2sin
?
C.
?2cos
?
D.
2cos
?

2．如果复数
?
a?2i
??
1?i
?
的模为4，则实数a的值为（ ）
A. 2 B.
22
C.
?2
D.
?22

3. 设A ，B为两个互不相同的集合，命题P：
x?A?B
， 命题q：
x?A
或
x?B
，则p
是q的（ ）
A. 充分且必要条件 B. 充分非必要条件
C. 必要非充分条件 D. 非充分且非必要条件
x
2
?y
2
?1
的右焦点F
2
作倾斜角为
45
弦AB，则
AB
为（ ） 4. 过椭圆
2
A.
26464243
B. C. D.
3333
?
1?5
?x
5. 函数
f(x)??
x
?
5?1
x?0
，则该函数为（ ）
x?0
A. 单调增加函数、奇函数 B. 单调递减函数、偶函数
C. 单调增加函数、偶函数 D. 单调递减函数、奇函数
6. 设有一立体的三视图如下，则该立体体积为（ A ）
2
2
2
2
2
2
3
1
1

正视图 侧视图 俯视图（圆和正方形）
A. 4+
5
?
3
?
?
B. 4+ C. 4+ D. 4+
?

22
2
,(x
n
,y
n< br>),;
7．某程序框图如右图所示，现将输出（
x,y)
值依次记为：
(x
1
,y
1
),(x
2
,y
2
),若程序运行中输出的一个数组是
(x,?10),
则数组中的
x?
（ ）
1 23

A．64 B．32 C．16 D．8
8. 在平面区域
(x,y)|x|?1,|y|?1上恒有
ax?2by?2
，则动点
P(a,b)
所形
成平面区域 的面积为（ ）
A. 4 B.8 C. 16 D. 32
9. 已知函数
f(x)?sin(2x?
为（ ）
A.
?< br>??
?
?
?
?
则m的取值范围
)?m
在?
0,
?
上有两个零点，
6
?
2
?
?
1
?
, 1
?
B
?
2
?
?
1
?
, 1
C.
??
2
??
2
?
1
?
, 1
?
D.
?
2
??
?
1
?
, 1

?
?
2
??
10. 已知
a?[?1,1]
，则
x?(a?4)x?4?2a?0
的解为（ ）
A.
x?3
或
x?2
B.
x?2
或
x?1
C.
x?3
或
x?1
D.
1?x?3

二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，
共49分）
11. 函数
f(x)?2sin
x
?3cosx
的最小正周期为_ _________。
2
12. 已知等差数列
?
a
n
?
前15项的和
S
15
=30，则
a
1
?a
8
?a
15
=__________.
13. 向量
a?(1,s in
?
)
，
b?(cos
?
,3)
，
?< br>?R
，则
a?b
的取值范围为。
14. 直三棱柱
ABC? A
1
B
1
C
1
，底面
?ABC
是正三角形 ，P，E分别为
BB
1
，
CC
1
上的动点
（含端点 ）,D为BC边上的中点，且
PD?PE
。则直线
AP,PE
的夹角为__。
15．设
x,y
为实数，则
5x?4y?10x
max
22
(x
2
?y
2
)?
____________。
16. 马路上有编号为1，2，3，…，2011的2011只路灯，为节约用电要求关闭其中的30 0
只灯，但不能同时关闭相邻两只，也不能关闭两端的路灯，则满足条件的关灯方法共有
___ ______种。（用组合数符号表示）
17. 设
x,y,z
为整数，且
x?y?z?3,x?y?z?3
，则
x?y?z?
__。
三、解答题（本大题共 3 小题，每小题 17 分，共计 51 分）
18. 设
a?2
，求
y?(x?2)x
在
[a, 2]
上的最大值和最小值。


19. 给定两个数列
33322 2
?
x
n
?
，
?
y
n
?
满足
x
0
?y
0
?1
，
x
n
?< br>x
n?1
(n?1)
，
2?x
n?1
2 23

2
y
n?1
y
n
? (n?1)
。证明对于任意的自然数n，都存在自然数
j
n
，使得
y
n
?x
j
n
。
1?2y
n?1


x
2
y
2
20. 已知椭圆
2
?
2
?1
，过其左焦点
F
1
作一条直线交椭圆于A，B两点，D
(a, 0)
为
F
1
右
54
侧一点，连AD、BD分别交椭圆左准线 于M,N。若以MN为直径的圆恰好过
F
1
，求 a的
值。





2011年浙江省高中数学竞赛参考解答与评分规范
1．解答：因为
?
?[
5
?
3
?
所以
1?sin2
?
?1?si n2
?
=
cos
?
?sin
?
?cos
?
?sin
?

,]
，
42
?2cos
?
。正确答案为D。
2．解答：由题意得
2?a
2
?4?4?a??2
。正确答案为C。
3．解答：P是q的充分非必要条件。正确答案为B。
4. 解答：椭圆的右焦点为（1，0），则弦AB为
y?x?1,
代入椭圆方程得
3x< br>2
?4x?0?x
1
?0,x
2
?
442
? AB?2(x
1
?x
2
)
2
?
。正确答案为C。
33
5. 解答：由单调性和奇偶性定义知道函数为单调增加的奇函数。正确答案为A。 6.解答：该几何体是一个圆柱与一个长方体的组成，其中重叠了一部分（
体的体积为
2? 2?1?3
?
?
?
），所以该几何
2
?
2
?4?
5
?
。正确答案为A。
2
7. 答案 经计算
x?32
。正确答案为 B。
8. 解答：平面区域
(x,y)|x |?1,|y|?1
的四个边界点（—1，—1），（—1，1），（1，—1），
（1，1） 满足
ax?2by?2
，即有
a?2b?2,a?2b?2,?a?2b?2,?a? 2b?2
,由此计算
动点
P(a,b)
所形成平面区域的面积为4。正确答案 为 A。
??
9. 解答：问题等价于函数
f(x)?sin(2x?
?< br>?
?
?
)
与直线
y?m
在
?
0,< br>?
上有两个交点，所以
6
?
2
?
3 23

m的取值范围为
?
, 1
?
。正确答案为C。
10. 解答：不等式的左端看成
a
的一次函数，
f(a)?(x?2)a? (x?4x?4)

由
f(?1)?x?5x?6?0,f(1)?x?3x?2?0 ?x?1
或
x?3
。正确答案为C。
11. 解答：最小正周期为4
?
。
12.解答：由
S
15
?30 ?a
1
?7d?2
，而
a
1
?a
8
?a< br>15
?3(a
1
?7d)?6
。
13. 解答：
2 2
?
1
?
2
?
?
2
a?b?(1?cos
?
)
2
?(sin
?
?3)
2
?5?2( cos
?
?3sin
?
)
=
5?4sin(?
?< br>)
，
6
其最大值为3，最小值为1，取值范围为[1，3]。
14. 解答：因为平面ABC⊥平面
BCC
1
B
1
，AD ⊥BC，所以AD⊥平面
BCC
1
B
1
，所以AD⊥
PE， 又PE⊥PD，PE⊥平面APD，所以PE⊥PD。即夹角为
90
。
15. 解答：
5x?4y?10x?4y?10x?5x?0?0?x?2

2222
?
4(x
2
?y
2
)?10x?x
2
?25?( 5?x)
2
?25?3
2
?x
2
?y
2
? 4

16. 解答：问题等价于在1711只路灯中插入300只暗灯，所以共有
C< br>1710
种关灯方法。
17. 解答：将
z?3?x?y
代入
x?y?z?3
得到
xy?3(x?y)?9?
333
300
8< br>，因为
x,y
x?y
都是整数，所以
?
?
x?y?1
?
x?y?4
?
x?y?2
?
x?y?8
,
?
,
?
,
?
,
前两个方程组无解；后两个
?xy?2
?
xy?5
?
xy?1
?
xy?16
222
方程组解得
x?y?z?1;x?y?4,z??5
。所以
x?y?z ?
3或57。
18. 解答：当
x?0,y??(x?1)?1,
当
x?0,y?(x?1)?1,

由此可知
y
max
?0
。
2
当
1?a?2,y
min
?a?2a
；当
1?2 ?a?1,y
min
??1
；
22
当
a?1?2,y
min
??a?2a
。
19. 解答：由已知得到：
2
12111
?1???1?2(1?)?{? 1}
为等比数列，首项
x
n
x
n?1
x
n
x
n?1
x
n
4 23

为2，公比为2， 所以
11
?1?2
n?1
?x
n
?
n?1
。
x
n
2?1
(y
n?1
?1)
2
y?1y
n?1
?1
2
11
2
又由已知，
y
n?1??
n
?()?1??(1?)

1?2y
n?1
y
n
y
n?1
y
n
y
n?1
n
1 11
n
2
由
1?
， 所以取
j
n
?2?1
即可。
?2?1??2?y
n
?
n
y
0
y
n
2
2?1
2520. 解答：
F
1
(?3,0),左准线方程为x??;AB方程为
y ?k(x?3)(k为斜率)
。
3
?
y?k(x?3)
?
?(16?25k
2
)x
2
?150k
2
x?225k2
?400?0
得 设
A(x
1
,y
1
),B (x
2
,y
2
)
，由
?
x
2
y< br>2
?1
?
?
?
2516
设
M(?
( 3a?25)y
1
(3a?25)y
2
2525
,同理y
4
?
。
,y
3
),N(?,y
4
)
。由M 、A、D共线
y
3
?
3(a?x
1
)3(a?x
2
)
33
又
F
1
M?(?
得
1616
,y
3
),F
1
N?(?,y
4
),由已知得F
1
M?F
1
N?F
1
M?F
1
N?0
，
33
256k
2
256
（3a?25)
2
y
1
y
2
256（3a?25)
2
?
=
?,
y
3
y
4
??,而y
3
y
4
?，即?
2
16?25k
9
99(a?x
1
)(a?x
2
)9(a?x
1
)(a?x
2
)
整理得
(1?k)(16a?400)?0?a??5,又a??3,所以a?5
。









22
2010年浙江省高中数学竞赛试卷


说明：
本试卷分为A卷和B卷：A 卷由本试卷的22题组成，即10道选择题，7道填空题、3
道解答题和2道附加题；B卷由本试卷的前 20题组成，即10道选择题，7道填空题和3道
解答题。

一、选择题（本大题共有10小题，每题只有一个正确答案，将正确答案的序号填入题干后
5 23

的括号里，多选、不选、错选均不得分，每题5分，共50分）
cos
4
x?sin
4
x?sin
2
xcos
2
x
1．化简三角有理式的值为
sin
6
x?cos
6
x? 2sin
2
xcos
2
x
A．1
2
2．若
p:(x?x?1)x?3?0,q:x??2
，则
p
是
q
的
（ ）
B．
sinx?cosx
C．
sinxcosx
D．1+
sinxcosx

（ ）


A
．充分而不必要条件

C
．充要条件

B
．必要而不充分条件

D
．既不充分也不必要条件

}
，则集合
C
R
P
为

（ ）
3
．集合
P={


xx?R,x?3?x?6?3
A．
{xx?6,或x?3}

C．
{xx??6,或x?3}

B．
{xx?6,或x??3}

D．
{xx??6,或x??3}

4．设
a
,
b
为两个相互垂直的单位向量。已知
OP
=
a
，
OQ
=
b
，
OR
=r
a
+k
b
.若△PQR为
等边三角形，则k，r的取值为
A．
k?r?
（ ）
?1?31?31?3
,r?
B．
k?

222
C ．
k?r?
1?3?1?3?1?3
,r?
D．
k?
222

5．在正三棱柱ABC—A
1
B
1
C
1
中，若AB=
2
BB
1
，则CA
1
与C
1
B所成的角的大小是（ ）
A．60°B．75°C．90°D．105°

6．设
?
a
n
?
，
?
b
n
?< br>分别为等差数列与等比数列，且
a
1
?b
1
?4,a
4
?b
4
?1
，则以下结论正确
的是
A．
a
2
?b
2

?

B．
a
3
?b
3

15

C．
a
5
?b
5


D．
a
6
?b
6



（ ）
7．若
x?R,则(1?2x)
的二项式展开式中系数最大的项为
A．第8项
C．第8项和第9项
8．设
f(x)?cos
，
a?f(log
e
B．第9项
D．第11项
（ ）
x
5
11
),b?f(lo g
?
),c?f(log
1
2
)
，则下述关系式正确
?
e
e
?
（ ）
1
的是
A．
a?b?c
B．
b?c?a

C．
c?a?b
D．
b?a?c

9．下面为某一立体的三视图，则该立体的体积为
6 23
（ ）

正视图： 半径为1
的半圆以及高为1
的矩形
侧视图： 半径为1的
以及高为1的矩形
1
圆
4
俯视图：
半径为1的圆

A．
3
?

2
B．
2
?

3
C．
4
?

3
D．
3
?

4








10．设有算法如下：

如果输入A=144,B=39,则输出的结果是 （）
A．144 B．3 C． 0 D．12
二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，共49分）
11．满足方程
x?2009?2x?2010?
12．
x?R,
函数
f(x)?2sin
22
x?2009?2x?2010?2
所有实数解 为。
xx
?3cos
的最小正周期为．
23
13．设P是圆x?y?36
上一动点，A点坐标为
?
20,0
?
。当P在圆上 运动时，线段PA的
7 23

中点M的轨迹方程为.
14．设锐 角三角形ABC的边BC上有一点D，使得AD把△ABC分成两个等腰三角形，试
求△ABC的最小内 角的取值范围为 .
15．设z是虚数，
w?z?
2
1< br>，且
?1?w?2
，则z的实部取值范围为.
z
44
16． 设
f(x)?k(x?x?1)?x(1?x)
。如果对任何
x?[0,1]
，都有
f(x)?0
，则k的最
小值为 .
17．设
p,q?R
，
f(x)?x?p|x|?q
。当函数
f(x)
的零点多于1个时 ，
f(x)
在以其最
小零点与最大零点为端点的闭区间上的最大值为.





三、解答题（本大题共有3小题，每题17分，共51分）
18．设数列
,,,,,,?,,
2
112123
12132112k
,?,,?
，
kk?11
问：（1）这个数列第2010项的值是多少；
（2）在这个数列中，第2010个值为1的项的序号是多少.





19．设有红、黑、白三种颜色的球各10个。现将它们全部放入甲、乙两个袋子 中，要求每
个袋子里三种颜色球都有，且甲乙两个袋子中三种颜色球数之积相等。问共有多少种放
法。



x
2
2
20．已知椭圆
2
?y?1(a?1)
，
Rt?ABC
以
A
（0，1）为直角 顶点，边AB、BC与椭
a
圆交于两点B、C。若△ABC面积的最大值为
27
，求
a
的值。
8




四、附加题：（本大题共有2小题，每题25分，共50分。）
21．设D，E，F分别为△ ABC的三边BC，CA，AB上的点。记
?
?
8 23
BDCEAF< br>。
,
?
?,
?
?
BCCAAB

证明：
S
?DEF
?
???
S
?ABC
。




22．（1）设
a?0
，平面上的点如其 坐标都是整数，则称之为格点。今有曲线
y?ax
过格
点（n，m），记
1? x?n
对应的曲线段上的格点数为N。证明：
3
?
k
?
3
?
N?
?
?
ak?
??
?
?
a< br>?
?mn
。
k?1k?1
??
n
3
m
（2）进而设a是一个正整数，证明：
?
k
?
a
2
?3
?
?n?(n?1)n(3n?1)
。
?
4
k?1
?
a
?
（注
[x]
表示不超过x的最大整数）
an
3
参考答案

1．解答为 A。
分母=(sin
2
x?cos
2
x)( sin
4
x?cos
4
x?sin
2
xcos
2< br>x)?2sin
2
xcos
2
x

?sin
4
x?cos
4
x?sin
2
xcos
2
x
。

也可以用特殊值法

2
．解答为
B
。
p
成立
?x??3
，所以
p
成立，推不出
q
一定成立。

3
．解答：
D
。

画数轴，由绝对值的几何意义可得
?6?x??3
，

P?
?
x?6?x??3
?
,C
R
P?{xx??6,或x??3}。
4．解答．C．
PQ?QR?P
，
R

1?3
。
2
即
r?(k?1)?
22
(r?1)
2
?k
2
?2，解得r=k=
5．解答：C。建立空间直角坐标系， 以
A
1
B
1
所在的直线为
x
轴，在平面
A
1
B
1
C
1
上垂直于
A
1
B1

的直线为
y
轴，
BB
1
所在的直线为z
轴。则
A
1
(2,0,0),C
1
(
26 26
,,0),C(,,1),

2222
9 23

B(0,0,1)
，
CA
1
?(
6．解答：A。
26 26
,?,?1),C
1
B?(?,?,1),CA
1
?C
1
B?0
。
2222
3
设等差数列的公差为d，等比数列公比为q ,由a
1
?b
1
?4,a
4
?b
4
?1， 得d=-1,q=
3
24
得a
2
?3,b
2
?22 ;a
3
?2,b
3
?4;a
5
?0,b
5
?;a
6
??1,b
6
?
。
24
33
3
2
2
2932
，r=10，第11项最大。
?r?
33
x
?
8．解答： D。函数
f(x)?cos< br>为偶函数，在（0，）上，
f(x)?cosx
为减函数，而
2
57．解答：D．
T
r?1
?C
15
2,由T
r
?T
r?1
，T
r?2
?T
r?1
?
rr
log
e
1
?
??log
e
?
,log
?
111
??,log
1
2
?2log
e
?
，
elog
e
?
e
?
0?
log
e?
2log
e
?
?
1
???
，所以
b ?a?c
。
5log
e
?
554
9．解答：C．根据题意 ，该立体图为圆柱和一个14的球的组合体。
10．解答 B （1）A=144，B=39，C= 27：（2）A=39，B=27，C=12：（3）A=27，B=12，
C=3：（4）A=12， B=3，C=0。所以A=3。
二、填空题（本大题共有7小题，将正确答案填入题干后的横线上，每空7分，共49分）
11．
2010?x?2011
。
解答 变形得
(x?2010?1)?(x?2010?1)?2?0?
22
解得
x?2010?1
，
2010?x?2011
。
12．
12
?
．
解答
2sin的周期为
?< br>4，3co的周期为s6
?
，所以函数fx的周期为()
13．
(x? 10)?y?9
.
解答 设M的坐标为
(x,y)，设P点坐标为(x
0
,y
0
),则有
x?
22
x
2
x
3

2
?
。
1
x
0
?20y
,y?
0

22?x
0
?2x?20,y
0
?2y
，因为P点在圆上，所以(2x?20)
2
?(2y)
2
?36
所以P点轨
迹为
(x?10)?y?9
。
14．30解答 如图，（1）AD=AC=BD；（2）DC=AC，AD=BD。
22
10 23

A

B
D
（1）
C

A

B
D
（2）
C

在（1） 中，设最小的角为x，则2x<90,得x<45,又x+180-4x<90,得x>30,所以30在（2）中，设最小的角为x，则3x<90,得x<30,又180-4x<90,得x>22 .5,所以22.515．
?
1
?a?1
.
2
解答 设
z?a?bi??1?a?bi?
a?bib
?2?b ??0
a
2
?b
2
a
2
?b
2

?b?0或a
2
?b
2
?1

当
b?0< br>，无解；当
a?b?1??
16．
22
1
?a?1
。
2
1
.
192
答 解
x
4
(1?x)< br>2
13313
k?
2
因为x
2
?x?1?(x?)< br>2
??,x?时x
2
?x?1最小值为

x?x?1
24424
分子
x(1?x)?
17．0或q.
解答 因为函数
f(x)?x?p|x|?q
为偶函数，由对称性以及图象知道，< br>f(x)
在以
11 23
2
111
8
1
,x?时，x
4
(1?x)
4
取最大值（）
，所以k的最小值为。
192
222

其最小零点与最大零点为端点的闭区间上的最大值0或q 。
三、解答题（本大题共有3小题，每题17分，共51分）
18．解（1）将数列分组：
(),(,),(,
1
1
12
21
12312k
, ),?,(,,?,),?

321kk?11
57
。 --------- 10分
7
因为1+2+3+…+62=1953；1+2+3+…+63=2016，
所以数列的第2010项属于第63组倒数第7个数，即为
（2）由以上分组可以知道， 每个奇数组中出现一个1，所以第2010个1出现在第4019
组，而第4019组中的1位于该组第 2010位，所以第2010个值为1的项的序号为
（1+2+3+…+4018）+2010=809 428。 ------------ 17分
19．解：设甲袋中的 红、黑、白三种颜色的球数为
x,y,z
，则有
1?x,y,z?9
，且
xyz?(10?x)(10?y)(10?z)
（*1）
----------------- 5分
即有
xyz?500?50(x?y?z)?5(xy?yz?zx)
。 （*2）
于是有
5xyz
。因此
x,y,z
中必有一个取5。不 妨设
x?5
，代入（*1）式，得到
y?z?10
。 ----------------10分
此时，y可取1，2，…，8，9（相应地z取 9，8， …，2，1），共9种放法。同理可得
y=5或者z=5时，也各有9种放法，但有
x?y?z
时二种放法重复。因此可得共有
9×3－2 = 25种放法。 ---------------------17分
20．解： 不妨设
AB
的方 程
y?kx?1
?
k?0
?
，则
AC
的方程为y??
1
x?1
。
k
?
y?kx?1
?2a
2
k
?
2
2222
,
由
?
x< br>得：
(1?ak)x?2akx?0
?x
B
?
22
2
1?ak
?
2
?y?1
?
a
1
?
y??x?1
?
2a
2
k
?
k
2222
,
由
?
2
得：
(a?k)x?2akx?0
?x
C
?
22
a?k
x
?
?y
2
?1
?
?
a
2
从而有
2a
2
k12a
2
k
AB?1?k,AC?1?
22
,
--------5分
222
1?akka?k

2
1k(1?k
2
)
44
于是
S
?ABC
?ABAC?2a
。
?2a
2222
1
2(1?ak)(a?k)
a
2
(k
2
?
2)?a
4
?1
k
12 23
k?
1
k

令
t?k?
1
?2
，有
k
2a
4
,
--------- 10分
22(a?1)
a
2
t?
t
2a
4
t
S< br>?ABC
?
22
?
at?(a
2
?1)
2< br>(a
2
?1)
2
a
2
?1
2
?2a (a?1),
t?
因为
at?
时等号成立。
a
t
2
a
2
?1a
3
,(S
?ABC
)
max
?
2
,
------------- 14因此当
t=
aa?1
分
a
3< br>273?297
??(a?3)(8a
2
?3a?9)?0?a?3,a?令
2

a?1816
a
2
?13?297
?2 ?a?1?2,?a?(不合题意，舍去)，?a?3.
--------- 17
a16
分
四、附加题：（本大题共有2小题，每题25分，共50分。）
21．证明 由
S
?BFD
BD?BFsinB
??
?< br>(1?
?
).
---------5分
S
?ABC
BC?BAsinB
同理
分
S
?DEC
S
?
?
(1?
?
),
?AEF
?
?
(1?
?
)
。 ---------- 10
S
?ABC
S
?ABC
所以，
S
?DEF
S
?ABC
?S
?BFD
?S
?DEC
?S
?AEF
??1?
?
(1?
?
)?
?
(1?
?
)?
?
(1?
?
)

S
?ABC
S
?ABC
=
(1?
?
)(1?
?
)(1?
?
)?
???
?
???
,等号成立?< br>?
?1或
?
?1或
?
?1
。 ----20分
因此
S
?DEF
?
???
S
?ABC
，等号成立，当且仅当，D与C重合，
或E与A重合，或F与B重合。 ----- 25分
22．证明 （1）考虑区域
0?x?n,0?y?m,
且该区域上的格点为nm个。
又该区域由区域E：
0?x?n,0?y?ax
3
,
以及区域F：
0?y?m,0?x?
?
3
y
组成。
a
3
在区域E上，直线段
x?k(k?N,1?k?n)
上的格点为
[ak]
个 ，
13 23

所以区域E上的 格点数为
?
k?1
n
[ak
3
]
。 ----------------- 5分
同理区域F上的格点数为
n
?
k?1
3
m
[
3
m
k
]
。 ----------------- 10分
a
由容斥原理，
N?
?< br>k
?
3
??
ak?
?
??
?
?a
?
?mn
。 -------------------------15分
k?1k?1
??
33?
（2）当a是一个正整数时，曲线
y ?ax
上的点（
k,ak
）
(k?N,1?k?n)
都是格点，所以（1）中的N=n。同时，
m?an
。将以上数据代入（1）得
3
?
k?1
an
3
n
a
k
4
[
3< br>]?an?a
?
k
3
?n?
n?(n?1)n
2(3n?1)
。 ----------------- 25分
4
a
k?1













14 23

15 23

16 23

17 23

18 23

19 23

20 23

21 23

22 23

23 23