高中数学竞赛专题之数列

高中数学竞赛专题之数列
一、数列的性质
等差数列与等比数列是中学阶段的 两种重要数列，也是各年高考、竞赛的重点，现将它们的
主要性质及内容对照讨论如下：
性质 1：若
a
1
,a
2
,?,a
n
,?
是等差 （等比）数列，那么
a
i
,a
i?j
,?,a
i?kj,?
仍是等差（等
比）数列。
性质2：若
{a
n
}< br>为等差数列，且
?
i?
?
j
l
l?1l?1
k
l
kk
l
，那么
?
a?
?
a
l ?1
i
l
l?1
kk
j
l
（脚标和相同则对应的< br>项的和相同）；若
{a
n
}
为等比数列，且
应的项的积相同） 。
性质3：若
{a
n
}
为等差数列，记
S
1?
?
i?
?
j
l?1l?1
k
l
，那 么
?
a
i
l
?
?
a
j
l
（脚标和相同则对
l?1l?1
kk
?
a,S
i
i?1k
2
?
?
a
i?k
,?,S
m
??
a
i?(m?1)k
,?
，那么
i?1i?1
kk< br>记
P
{S
m
}
仍为等差数列，
{a
n
}
为等比数列，
1
?
?
a
i
,P
2?
?
a
i?k
,?,P
m
?
?
ai?(m?1)k
,?
，
l?1l?1l?1
kkk
那么
{P
m
}
仍为等比数列。
性质4：若
{a
n
}
为等比数列，公比为q，且|q|〈1，则
limS
n
?
n??a
1
。
1?q

例1、若
{a
n
}
、
{b
n
}
为等差数列，其前n项和分别为
S
n< br>,T
n
，若
S
n
2n
，
?
Tn
3n?1
则
lim
a
n
24
6
C. D.
?
（ ）A.1 B.
n??
b
39
3
n
例2、等差数列
{a
n
}
的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项的和为（ ）
A.130 B. 170 C. 210 D.260

例3、
{a
n
}
、
{b
n
}< br>为等差数列，其前n项和分别为
S
n
,T
n
，若
S< br>n
3n?31

?
T
n
31n?3
（1）求


b
b
28
的值， （2）求使
n
为整数的所有正整数n。
a
n
a
28

例4、在等差数列
{a
n
}
中，若
a
10
?0
，则有等式
a
1
?a
2
?
?
?a
n
?a
1
?a< br>2
?
?
?a
19?n
,(n?19,n?N)
成立， 类比上述性质，相应地：
在等比数列
{b
n
}
中，若
b9
?1
，则有等式 成立。

例5、一个正数，其小数部分、整数部分和其本身成等比数列，则该数为 。

例6、设
M
n
?{(十进制）
T
n
n位 纯小数0.a
1
a
2
?a
n
|a
i
只取0 或1，i?1,2,?n,a
n
?1
}，
是
M
n
的 元素个数，
S
n
是所有元素的和，则
lim
S
n
?
。
n??
T
n
例7、设A={1,2,…n} ,
S
n
是A的所有非空真子集元素的和，
B
n
表示A的子集 个数，求
n??
lim
S
n
nB
n
2
的值 。
例8、设数列
{a
n
}
的前n项和为
S
n
?2a
n
?1,(n?1,2,?)
，数列
{bn
}
满足
b
1
?
3,b
k?1
?a
k
?
b
k
,(k
?
1,2,
?)
，求数列
{b
n
}
的前n项和。
方法：首先找出< br>{a
n
}
的通项式，在找出
{b
n
}
的通项 式

例9、设
{a
n
}
为等差数列，
{b
n
}
为等比数列，且
b
1
?a
1
,b
2
?a
2
,b
3
?a
3
,(a
1
? a
2
)
，
又
lim(b
1
?b
2
???b
n
)?
n??
222
2?1
，试求
{a< br>n
}
的通项公式。
3
(a
n
?1),(n?N)< br>，数列
{b
n
}
的通项
2

例10、设S
n
是等差数列
{a
n
}
的前n项和，且
S< br>n
?
式为
b
n
?4n?3
，
（1）求数列
{a
n
}
的通项公式，
（2）若
d ?{a
1
,a
2
,
?
a
n
,
?< br>}
?
{b
1
,b
2
,
?
b
n
,
?
}
，则称d为数列
{a
n
}
与{b
n
}
的公共项，
按它们在原数列中的先后顺序排成一个新的数列{d
n
}
，证明：
{d
n
}
的通项公式为d
n
?3
2n?1
,(n?N)
。

例11、
n
2
(n?4)
个正数排成n行n列： < br>a
11
,a
12
,
a
13
,
?a
1n

a
21
,a
22
,
a
23
?
a
2n

??????

a
n1
,a
n2
,
a
n3
,
?
a
nn< br>
其中每一行的数成等差数列，每一列的数成等比数列，并且所有的公比相等，已知
13
a
24
?1,a
42
?,a
43
?
，求< br>a
11
+
a
22
+
a
33
?
?
+
a
nn
的值。
816


作业：
1、将正奇数集合{1，3，5，…}由小到大按n组有(2n-1)个奇数进行分组：{1}、{3， 5，7}、
{9，11，13，15，17}….，则1991位于 组中。

2、在等差数列
{a
n
}
中，公差
d?0
，
a
2
是a
1
与a
4
的等比中项，已知数列a
1
,
a
3
,
a
k1
,
a< br>k2
,?,
a
kn
,?
成等比数列，求数列
{kn
}
的通项公式。

3、设正数数列
{a
n
}
满足
2S
n
?a
n
?1,b
n
?an
?2a
n
?3
，（1）求数列
{a
n
}的通项公式，
（2）设
M?a
m
?b
n
?m
2
?n
2
?2(a
m
b
n
?mn)
，试求M 的最小值。


二、数学归纳法
数学归纳法在一定程度上考察了以下能力：（1）从整体上直接领悟数学对象本质的能力；
（ 2）从数学问题、数式结构、数式关系中洞察对象本质的能力；（3）从解题思路和问题结
果中领悟数学 本质的能力。
第一数学归纳法：设
T(n)
是一个关于自然数n的命题，满足以下条 件：（1）
T(1)
是成立的，
（2）假设
T(k)
成立能推出T(k?1)
成立，则命题对一切自然数n都成立。

第二数学归纳法：设T(n)
是一个关于自然数n的命题，满足以下条件：（1）
T(1)
是成立的，
（2）假设
T(1)
，
T(2)
，…
T(k)
成立 能推出
T(k?1)
成立，则命题对一切自然数n都成立。
解题思维过程：尝试—— 观察——归纳、猜想——证明，即从特殊关系中概括一般规律，
建立猜想，给出严格证明。
2 2
2

解题策略：从数学问题、数式结构、数式关系、解题思路和问题结果等特征 去思考问题。
例1、已知对任意自然数n，有
a
n
?0且

例2、用
S
n
表示
1,2,3,?2
n
的各数的最大奇数 因子之和，求证：
S
n
?

例3、设
{a
n
}
是正数数列且满足
S
n
?
?
a
j?1
n
3
j
?(
?
a
j
)
2
，求证< br>a
n
?n
（1989年高中）
j?1
n
1
n
(4?2)

3
11
(a
n
?)
，求数列
{a
n
}
的通项公式。
2a
n
方法：尝试——观察——归纳、猜想——证明


例4、已知数列
{x
n
}
满足：
x
1
?1
，当
n?1
时，
有
4(x
1
x
n
?2x
2
x
n?1
?3x
3
x
n?2
???nx
n
x
1
）?(n?1)(x
1
x
2
?x< br>2
x
3
???x
n
x
n?1
)
，试 求
数列
{x
n
}
的通项公式。方法：尝试——观察——归纳、猜想— —证明



例5、一个数列
{V
n
}
定义如下：
V
0
?2,V
1
?
对于自然数n，有
[ V
n
]?2
方法：变化形式

例6、设数列
{a
n
}
满足：
a
1
?1?a,a
n?1
?
1
n
[2?(?1)
n
]
3
5
,V
n?1< br>?V
n
(V
n
2
?1
?2)?V
1
,(n?1)
，证明：
2
。这里
[V
n
]
表示不超 过
V
n
的最大整数。（IMO18-6）
1
?a
，这里< br>0?a?1
，求证：对所有的自然
a
n
数n，有
a
n
?1
。（1977年加拿大数学奥林匹克）

例7、已知
a
1
,a
2
,?a
n
是n个正数且满足
a
1
a
2
?a
n
?1
，
求证：
（2?a
1
）（?2?a
2
）?（2?a
n
）?3


例8、已知 a, b是正实数，且满足
n
11
??1
，试证：对每一个自然数n，有
ab
(a?b)
n
?a
n
?b
n
?2
2n
?2
n?1

三、递推数列，热点问题是求递推数列的通项公式
1、转化：最常见的转化为等差（等比）数列的通式和求和

类型：
（1）
a
n
?aa
n?1
?b
，化归成
a
n
?
?
?a(a
n?1
?
?
)
型； （2）
a
n?1
?ca
n
?d?b
n
，化归成
a
n
?
?
b
n
?c(a
n?1
?
?
b
n?1
)
型；
（3）
a
n
?ca
n?1
?d?b
n
?r
，化归成
a
n
?
?
b
n
?u?c(a
n?1
?
?
b< br>n?1
?u)
型；
（4）
a
n
?pa
n? 1
?cn?d
，化归成
a
n
?
?
n?u?p[a< br>n?1
?
?
(n?1)?u]
型；
（5）
a
n
?
ca
n?1
11d
，化归成
??
型；
a
n
a
n?1
c
da
n?1
?c
（6）
a
n
?pa
n?1
?qa
n?2
型
例1、、已知数列
{x
n
}
满足：
x
n
?x
n?1
,且4x
n
x
n?1
?(x
n
?x
n?1
?1)
2
，试求数列
{x
n
}
x
1
?1
，
的通项公式。方法：开方转化成等差数列的形式


例2、设数列
{a
n
}
满足：
a
1?1,a
n?1
?3a
n
?4
，求
{a
n}
的通项公式。
例3、设数列
{a
n
}
满足：
a
1
?
a
2
?
1,a
n?2
?
1
a
n?1
?
a
n
,(n
?
1,2,?
)
，求
a
2004
。
例4、设数列
{a< br>n
}
满足：
a
1
?1,(n?1)a
n?1
?a
n
?n
，求
a
2005
。

2、变换（代换）：三角代换、代数代换
例1、已知
a
0
?


例2、数列
{a< br>n
}
满足：
a
1
?1,a
n?1
?
2,a
n
?
1?a
n?1
，求
a
n
。方法 ：观察特点，联想到正切公式
1?a
n?1
1
(1?4a
n
?1?24a
n
)
，求
a
n

16
方法：含根式，通过代换转化为不含根式的递推式


例3、 设
a
1
,a
2
,?a
n
满足关系式
（3? a
n?1
)(6?a
n
)?18,且a
0
?3
，则
1
?

?
i?0
a
i
n

方法：倒数关系不易求解，通过代换转化为熟悉的形式
2
例4、给定 正整数n和正数M，对于满足条件：
a
1
2
?a
n?1
?M
的所有等差数列
a
1
,a
2
,?a
n
，< br>试求
S?a
n?1
?a
n?2
???a
2n?1的最大值。方法：根据特点，三角代换


3、特征方程及特征根求解递推式
对于二阶线性递推数列数列
{x
n
}
满足：
x
n? 2
?ax
n?1
?bx
n
?0
..（1）其中
a, b
为常数，若
有等比数列
{x
n
}
满足等式（1），则x必 满足相应的方程：
f(x)?x
2
?ax?b?0
……（.2），
称 此方程（2）为（1）的特征方程。
数列
{x
n
}
的通项公式与特征方程的根有如下关系：
当
a?4b?0
时，方程（2）有两个不相同的实数根
q
1
,q
2
，则数列
{q
1
}
、
{q
2
}
均是（1）
n
的解，并且对任意常数
c
1
,c
2
有
{c
1
q
1
?c
2
q
2
，c
1
,c
2
由初值确定。
}
也是（1）的解（通解）
n
2
nn

当
a?4b?0
时，方程（2）有两个相同的实数根
q
1
?q
2
，则数列
{q
1
}
、
{nq
1
}
均是（ 1）
n
的解，并且对任意常数
c
1
,c
2
有
{c
1
q
1
?c
2
nq
1
，
c
1
,c
2
由初值确定。
}
也是（1）的解（通解）
n
2
nn

当
a?4b?0
时，方程（2）有两个共轭复根
q
1
,q
2
， 则数列
{q
1
}
、
{q
2
}
均是（1）的 解，
n
并且对任意常数
c
1
,c
2
有
{c
1
q
1
?c
2
q
2
，
c
1
,c
2
由初值确定。
}
也是（1）的解（通解）
n
2
nn

例1、 求 斐波那锲数列
{x
n
}
的通项公式：
x
0
?x1
?1,x
n?2
?x
n?1
?x
n
。
方法：利用特征方程求解




注：设数列
{ x
n
}
是k阶线性递推数列，其特征方程为
f(x)?0
，设其前n 项的和
S
n
，则
{S
n
}
是k+1阶线性递推数列 ，其特征方程为
(x?1)f(x)?0

例2、已知数列
{x
n< br>}
满足：
x
1
?1,x
2
?7,x
n
?2x
n?1
?3x
n?2
,(n?3)
，求此数列的前n项和。

例3、设数列
{a
n
}
、{b
n
}
满足：
a
0
?1,b
0
?0
且
?
?
a
n?1
?7a
n
?6b
n
?3
（
n?0)
，
?
b
n?1
?8a
n
?7b
n
?4
求证：
a
n
是完全平方数 （n=0,1,2,…）方法：将其转化为只与
a
n
有关的递推式

4、利用函数不动点原理求解数列通项公式
定理1：设
f(x)?ax?b,(a? 0,1)
，数列
{a
n
}
由初始值
a
0
? f(x
0
)及a
n
?f(a
n?1
)
确定，
那么当且仅当
x
0
是
f(x)
的不动点时，数列
{an
?x
0
}
是公比为a的等比数列。

定理2：设< br>f(x)?
ax?b
(c?0,ad?bc?0)
数列
{a
n
}
由递推关系
a
n
?f(a
n?1
)
确定 ，
cx?d
设函数
f(x)
有两个不动点
x
1
, x
2
，则：
（1）当
x
1
?x
2
时，则 数列
{
a
n
?x
1
a?cx
1
；
}
是等比数列，公比为
a
n
?x
2
a?cx
2< br>（2）当
x
1
?x
2
时，则数列
{
2c1
。
}
是等差数列，公差为
a?d
a
n
?x
1
n??
例1、设数列
{a
n
}
满足：
( 2?a
n
)a
n?1
?1,(n?N)
，求证：
lima< br>n
?1
。


例2、设数列
{a
n
}
满足：
3a
n?1
?a
n
?4,(n?1),a
1
?9
，前n项和为
S
n
，则满足不等式
|S
n
?n?6|?



1
的最小整数n= 。
125
例3、设正数列
a
1
,a
2
,?an
满足
a
n
a
n?2
?a
n?1
a< br>n?2
?2a
n?1
,(n?2)
，且
a
0
?a
1
?1
，
求数列
{a
n
}
的通项公式 。方法：变形、转化形成熟悉结构


例4、运动会连续开了n天，一共发了m枚奖 牌，第一天发1枚加上剩下的
枚加上剩下的
1
，第二天发2
7
1，以后每天均按此规律发放奖牌，在最后一天，即第n天发n枚而无剩余，
7

问运动会开了几天？共发多少枚奖牌？



5、利用高阶差分数列求数列通式
定义1：（差分数列）对于数列
{a
n< br>}
，称
?
a
n
?
a
n?1
?
a
n
(n
?
1,2,3
?
)
为
{an
}
的一阶差分，
{?a
n
}
为数列
{an
}
的的一阶差分数列；数列
{?a
n
}
的一阶差分：
?
2
a
n
??
a
n?1
??
a< br>n
(n
?
1,2,3
?
)
，称
{?
2
a
n
}
为数列
{a
n
}
的的二阶差分数 列；
一般地，称
?
k
a
n
??
k?1
a
n?1
??
k?1
a
n
(n
?
1,2,3
?
)
为
{a
n
}
的k阶差分，称
{?k
a
n
}
为数列
{a
n
}
的的k阶差 分数列。
例1、求数列0，1，4，11，26，57，…的通项公式。

例2、求数列-2，1，7，16，28，…的通项公式。

定义2（高阶等差数列 ）若数列
{a
n
}
的的k阶差分数列
{?
k
an
}
是一个非零常数列，而k+1
阶差分数列
{?
k?1
a
n
}
是一个零常数列，则称
{a
n
}
的的k阶 等差数列。
定理1：设
{a
n
}
是m阶等差数列，则
a< br>n
?
?
C
i?0
m
i
n?1
m?
i
a
1
，约定
C
n
?0,m?n
。
定理2：数列
{a
n
}
是m阶等差数列的充要条件是
an
是一个关于n的m次多项式。

定理3、数列
{a
n
}
是m阶等差数列，它的前n项之和为
S
n
，则
{S
n< br>}
是m+1阶等差数列，
且
S
n
?
?
Ci?1
n
m?1
i
n
?
i
a
1

例3、求
?
k
k?1
4
的求和公式，并给出证明。
定理4 ：给定
a
1
,且a
n?1
?
?
a
n
?f(n),(n?1)
，其中
?
?0,f(n)
为关于 n的函数，则此一
阶非线性齐次递推数列所确定的数列的通项公式为：
a
n
?
?
n?1
a
1
?
?
n
?
?< br>k?1
n?1
f(k)
k?1

例4、已知数列
{a
n
}
满足：
a
1
?1,a
n
?2a
n?1
?n?2,(n?2)
，求数列
{a
n
}
的通项公 式。

例5、已知数列
{a
n
}
满足：< br>a
1
?1,a
n?1
?2a
n
?n
2
，求数列
{a
n
}
的通项公式。

四、数列的性质（反证法、周期性、有界性、整数性）
1、数列中的反证法问题
例 1、设等差数列
{a
n
}
包含1和
2
，证明：数列
{a
n
}
中任意三项均不构成等比数列。



例2、设
f(n)
是定义在自然数集且取自然数值的严格递增函数，
f(2)?2，当m, n互质时，
有
f(mn)?f(m)f(n)
，求证：对任意自然数n ，都有
f(n)?n
。




例3、数列{a
n
}
为正数数列，满足条件
（a
k?1
?k)a< br>k
?1,k?1,2,?
，求证：对一切自然数
k，
a
k为无理数。






2、数列的周期性
例1、已知整数数列
{a
n
}
满足
a
n
? a
n?1
?a
n?2
(n?3)
，如果前1492项之和为1985 ，而前
1985项之和为1492，则该数列前2006项之和是多少？方法：考察数列的周期性







例2、设数列
{ a
n
}
满足
a
n
?n(n?1)(n?2)(n?1)，
b
n
为
a
n
的个位数，
1992
求
S
1992
?
?
b
k?1
k
的值。 方法：考察数列的周期性

例3、已知数列
{a
n
}
满足：
a
1
?1,a
2
?2,a
n? 2
?
?
?
5a
n?1
?3a
n
,当an
a
n?1
为偶数时
?
a
n?1
?a
n
,当a
n
a
n?1
为奇数时
，求证：
对一切自然 数n，有
a
n
?0
。方法：考察数列的周期性



例4、函数
f
定义在整数集上，且满足
f(n)?
?方法：考察函数的周期性



3、数列的整除性、整数性
例1、设数列
{a
n
}
满足
a
1
??1,
且
a
n?1
?2a
n
?
均为整数。






例2、证明；对任意的自然数n，数
[(3?5)
n
]?1
能被
2
整除，这里[x]表示实数x 的整
数部分。






例3、设数 列
{a
n
}
满足
a
1
?0,
且
2 a
n?1
?3a
n
?
2
5a
n
?4,(n ?1)
，试证：对任何n，
n
)
?
n?2,(n?1000
，求
f(84)

f[f(n?5)],(n?1000)
?
23a
n
?1,(n?1)
，试证：数列
{a
n
}
的各项
1989|a
2n
。

例4、设数列
{a
n
}
满足
a< br>1
?0,
且
a
n?1
?
2
7a
n< br>?45a
n
?36
2
,(n?1)
，
试证：（1）数列
{a
n
}
的各项均为正整数；
（2）对一切自然数n，
a
n
a
n?1
?1
为完全平方数。