全国高中数学联赛实施细则

对③由求根公式得
x
1
1
，
x
2
?
2
?
?
k?2?k
2
?4k
?
?
④
??k
2
?4k≥0?k≤0
或
k≥4
．
(ⅰ)当
k?0
时，由③得
?
?
x
1
? x
2
?k?2?0
?
x

1
x
2
?1?0
所以
x
1
，
x
2
同为负根．
又由④知
?
?
x
1
?1?0
?
x

2
?1?0
所以原方程有一个解
x
1
．
(ⅱ)当
k?4
时，原方程有一个解
x?
k
2
?1?1
．
(ⅲ)当
k?4
时，由③得
?
?
x
1
?x
2
?k?2?0
?
x

1
x
2
? 1?0
所以
x
1
，
x
2
同为正根，且
x< br>1
?x
2
，不合题意，舍去．
综上可得
k?0
或
k?4
为所求．
7． 一个由若干行数 字组成的数表，从第二行起每一行中的数字均等于其肩上的两个数之和，
最后一行仅有一个数，第一行是 前
100
个正整数按从小到大排成的行，则最后一行的数是
（可以用指数表示）

101?2
98

易知：
(ⅰ)该数表共有100行；
(ⅱ)每一行构成一个等差数列，且公差依次为
d< br>1
?1
，
d
2
?2
，
d
3
?2
2
，…，
d
99
?2
98

(ⅲ)
a
100
为所求．
设第
n
?
n≥2
?
行的第一个数为
a
n
，则

a< br>n
?a
n?1
?
?
a
n?2
n?1
?2
?
?2a
n?1
?2
n?2

?2
?
?
2a
n?3n?2
n?2
?2
?
?
?2

?2
2
?
?
2a
n?4n?2n?2
n ?3
?2
?
?
?2?2?2

?2
3
a
n?3
?3?2
n?2

……
?2
n?1
a
1
?
?
n?1
?
? 2
n?2

?
?
n?1
?
2
n?2

故
a
100
?101?2
98
．
8． 某车站每 天
8∶00~9∶00
，
9∶00~10∶00
都恰有一辆客车到站，但到站 的时刻是随机的，且
两者到站的时间是相互独立的，其规律为
到站时刻
8∶10

8∶30

8∶50

9∶10

9∶30

9∶50

概率
1
6

1
2

1
3

一旅客
8∶20
到车站，则它候车时间的数学期望为 （精确到分）．
【答案】 27
【解析】 旅客候车的分布列为
候车时间（分）
10 30 50 70 90
概率
1

1
111
1
2
3

6
?
6

2
?
1
6

3
?
1
6

候车时间的数学期望为
10?
1
2
?30?
1111
3
?50?
36
?70?
12
?90?
18
?27

二、解答题
1． （ 本小题满分14分）设直线
l:y?kx?m
（其中
k
，
m
为整数）与椭圆
x
2
y
2
16
?
12
?1
交于不同
x
2
A
，
B
，与双曲线
4
?
y
2
两点
12
?1
交于不同两点
C
，
D
，问是否存在直线
l
，使得向量
AC?BD?0
，若存在 ，指出这样的直线有多少条？若不存在，请说明理由．
?
y?kx?m
【解析】 由
?

?
?
x
2
y
2
消去
y
?
16
?
12
?1
化简整理得
?
3 ?4k
2
?
x
2
?8kmx?4m
2
?48?0< br>
7
设
A
?
x
8km
1
，y1
?
，
B
?
x
2
，y
2
?< br>，则
x
1
?x
2
??
3?4k
2

?8km
?
2
1
?
?
?4
?
3? 4k
2
??
4m
2
?48
?
?0
① …………………………………………4分
?
y?kx?
由
?
m
?
?
x
2
y
2
?4
?
12?1
消去
y
化简整理得
?
3?k
2
?
x
2
?2kmx?m
2
?12?0

设
C
?
x
3
，y
4
?
，
D
?
x2km
4
，y
4
?
，则
x
3
?x4
?
3?k
2

?
2
?
?
? 2km
?
2
?4
?
3?k
2
??
m
2
?12
?
?0
② ………………………………………………8
分
因为
AC?B?D0
，所以< br>?
x
4
?x
2
?
?
?
x
3
?
?
x
1
0?
，此时
?
y
4?y
2
?
?
?
y
3
?
?
y< br>1
0?
．由
x
1
?x
2
?x
3?
得
x

?
8km2km
3?4k
2
?
3?k
2
．
所以
2km?0
或
?
41
3?4k
2
?< br>3?k
2
．由上式解得
k?0
或
m?0
．当
k?0
时，由①和②得
?23?m?23
．因
m
是整数，所以
m
的值为
?3
，
?2
，
?1
，
0
，
1
，
2
，
3
．当
m?0
，

【答案】
【解析】

由①和②得
?3?k ?3
．因
k
是整数，所以
k??1
，
0
，
1
．于是满足条件的直线共有9
条．………14分
2． （本小题15分）已知p
，
q
?
q?0
?
是实数，方程
x
2
?px?q?0
有两个实根
?
，
?
，数列
?
a
n
?
满足
a
1
?p
，
a
2< br>?p
2
?q
，
a
n
?pa
n?1
? qa
n?2
?
n?3，4，
?

(Ⅰ)求数列
?< br>a
n
?
的通项公式（用
?
，
?
表示）； < br>(Ⅱ)若
p?1
，
q?
1
4
，求
?
a
n
?
的前
n
项和．
方法一：
(Ⅰ)由韦达 定理知
?
?
?
?q?0
，又
?
?
?
?p
，所以
a
n
?px
n?1
?qx
n?2< br>?
?
?
?
?
?
a
n?1
?
??
a
n?2
，
?
n?3，4，5，
?

整理得
a
n
?
?
a
n?1
?
?
?
a
n?1
?
?
a
n?2
?

令< br>b
n
?a
n?1
?
?
a
n
，则b
n?1
?
?
b
n
?
n?1，2，
?
．所以
?
b
n
?
是公比为
?
的等比数列．
数列
?
b
n
?
的首项为：
b
1
?a
2
2
?
?
a
1
?p?q?
?
p?
?
?
?
?
?
2
?
??
??
?
?
?
?
?
?
?
2
． < br>所以
b
n
?
?
2
?
?
n?
?
1
?
n?
，即
a
n?1
?
?
a
n
?
?
n?1
?
n?1，2，
?
．所以< br>a
n?1
n?1
?
?
a
n
?
??
n?1，2，
?
．
①当
??p
2
?4q? 0
时，
?
?
?
?0
，
a
1
?p?
?
?
?
?2
?
，
a
n?1
??
a
n
?
?
n?1
?
n?1，2，
?
变
为
a
?1
?
．整理得，
a
n?1
a
n
n?1
?
?
a
n
?
?
n< br>?
n?1，2，
?
n?1
?
?
n
?1
，
?
n?1，2，
?
．所以，数
列
?
?
a
n
?
a2
?
?
?
n
?
?
成公差为
1
的等差数列，其首项为
1
?
?
?
?2
．所以
a
n
?
n
?2?1
?
n?1?
?n?1
．
于是数列
?
a
n
?
的通项公式为
a
n< br>?
?
n?1
?
?
n
；…………………………………… ……………………………5分
②当
??p
2
?4q?0
时，
?
?
?
，
a
1
n?1
?
?
a< br>n
?
?
n?

?
?
a
?
?
?
n?1
??
n
?
?
?
?
??
?
a
n
?
?
?
?
?
n?1
?
?
?
?
?
n?1
?
n?1，2，
?
．
整理得
n?2n?1
a
n?1
?
??
?
?
?
?
?
?
?
a
??
n
?
?
?
?
?
?
，
?n?1，2，
?
．
所以，数列
?
?
n?1
?
?
a
?
n
?
?
?
?
?
?
成公比为
?
的等比数列，其首项为
a
?
2
?
2
?
2
?
n?1
?
2
n
?
?< br>?
?
?
?
?
?
?
?
?
?< br>?
?
．所以
a
n
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?1
1
??
．
于是 数列
?
a
n
?
的通项公式为
a
?
n?1< br>?
?
n?1
n
?
?
?
?
．………… ……………………………………10分
(Ⅱ)若
p?1
，
q?
1< br>4
，则
??p
2
?4q?0
，此时
?
??
?
1
2
．由第(Ⅰ)步的结果得，数列
?
a
n
?
的
n
通项公式为
a
?
1
?
n ?1
n
?
?
n?1
?
?
?
2
?< br>?
?
2
n
，所以，
?
a
n
?
的前
n
项和为
s?
234nn
2
?
?1
n
2
2
?
2
3
??
2
n?1
?
2
n

1
2
s?
234nn?1
n
2
2
?
2
3
?
2
4
??
2n< br>?
2
n?1

以上两式相减，整理得
13n?3
2< br>s
n
?
2
?
2
n?1

所以
s
n?3
n
?3?
2
n
．…………………………………… ………………………………………15分
方法二：
(Ⅰ)由韦达定理知
?
?
?
?q?0
，又
?
?
?
?p
，所以 < br>a
1
?
?
?
?
，
a
2
?< br>?
2
?
?
2
?
??
．
特征方程< br>?
2
?p
?
?q?0
的两个根为
?
，
?
．
①当
?
?
?
?0
时，通项
an
?
?
A
1
?A
2
n
?
?< br>n
?
n?1，2，
?
由
a
1
?2
?
，
a
2
?3
?
2
得
?
?
?
A
1
?A
2
?
?
?2
?
8
?
?

?
?
A
22
1
?2A2
?
?
?3
?
解得
A
1
?A
2
?1
．故
a
n
n
?
?
1?n
?
?
．………………………………………… …5分
②当
?
?
?
时，通项
a
n
?A< br>1
?
n
?A
2
?
n
?
n?1，2，
?
．由
a
1
?
?
?
?
，
a
2
2
?
?
?
?
2
?
??
得

?
?
?
A
1
?
?A
2
?
?
?
?
?
?
?
A
1
?
2
?A
2
?
2
?
?
2
?
?
2
?
??

解得
A
?
?
?
1
?
?
?
?
，
A
2
?
?
?
?
．故

a
?
?
n?1
?
n?1
?
n?1
?
?
n?1
n
?
?
?
?
?
?
?
?
?
?
??
．……………………………………………10分
(Ⅱ)同方法一．
3． （本小题满分15分）求函数
y?x?27?13?x?x
的最大和最小值．
函数的定义域为
?
0，13
?
.因为
y?x?x?27?13?x?x?27?13?2x
?
13?x
?


≥27?13


?33?13

当
x?0
时等号成立．故
y
的最小 值为
33?13
．………………………………………5分
又由柯西不等式得
【解析】
【解析】

y?
2
?
x?x?27?13?x
?
2

【解析】 ⑴连
NI
，
MI
．由于
PC∥MN
，< br>P
，故
PCMN
是等腰梯形．因此
NP?MC
，
C< br>，
M
，
N
共圆，

≤
?
?
1
?
2
?1?
1
?
3
?
?
?< br>2x?
?
x?27
?
?3
?
13?x
??
?121

所以
y≤11
． …………………………………………………………………………10分
由柯西不等式等号成立的条件， 得
4x?9
?
13?x
?
?x?27
，解得
x?9
．故当
x?9
时等号成
立．因此
y
的最大值
为
11
．…………………………………………………………………………………15分




2009年全国高中数学联合竞赛加试试题参考答案
及评分标准（A卷）
说明：
1．评阅试卷时，请严格按照本评分标准的评分档次给分．
2．如果考生的解答方法和本解答 不同，只要思路合理、步骤正确，在评卷时可参考本评分标准
适当划分档次评分，10分为一个档次，不 要增加其他中间档次．

（共4小题，每小题50分，共200分）



9． 如图，
M
，
N
分别为锐角三角形
?ABC
（
?A??B
）的外接圆
?
上弧
BC
、
A C
的中点．过
点
C
作
PC∥MN
交圆
?
于
P
点，
I
为
?ABC
的内心，连接
PI
并 延长交圆
?
于
T
．
⑴求证：
MP?MT?NP?NT
；
⑵在弧
AB
（不含点
C
）上任取一点
Q
（
Q≠A
，
T
，
B
），记
?AQC
，
△QCB
的内心分别
为
I< br>1
，
I
2
，
P
C
N
M
I
B
T
A
Q
求证：
Q
，
I
I

1
，
2
，
T
四点共圆．


PM?NC
．
P
C
N
M
I
B
T
A
连
AM
，
CI
，则
AM
与
CI
交于
I
，因为

?MIC??MAC??ACI??MCB??BCI??MCI
，
所以
MC?MI
．同理
NC?NI
．
于是
NP?MI
，
PM?NI
．
故四边形
MPNI
为 平行四边形．因此
S
△PMT
?S
△PNT
（同底，等高）． 又
P
，
N
，
T
，
M
四点共圆，故?TNP??PMT?180?
，由三角形面积公式
S
1
△PMT
?
2
PM?MTsin?PMT


?S
1
△PNT
?
2
PN?NTsin?PNT


?
1
2
PN?NTsin?PM

T
于是
PM?MT?PN?NT
．
⑵因为
?NCI
1
??NCA??ACI
1
??NQC??QCI
1
??CI1
N
，
P
C
N
M
I
I
2< br>I
B
1
T
A
Q

所以
NC?NI< br>1
，同理
MC?MI
2
．由
MP?MT?NP?NT
得
NTMT
MP
?
NP
．
由⑴所证
MP?NC
，
NP?MC
，故
NTMT
NI
?
．
1
MI
2
9

又因
?I
1
NT??QNT??QMT??I
2
MT
，
有
?I
1
NT∽?I
2
MT
．
故
?NTI
1
??MTI
2
，从而
?I
1
QI
2
??NQM??NTM??I
1
TI
2
．
n1
??
?ln1?
??

2
n?1
?
n?1
?
n1

?
2
?

n?1n
1

??
2
?0

(n?1)n
1
因此
x
n
?x
n?1
??x
1
?
． x
n
?x
n?1
?
因此
Q
，
I
1
，
I
2
，
T
四点共圆．















10． 求证不等式：
?1?
?
n
?
?
?
k
?
n≤
1
2
?ln
，
n?1
，2
k?1
k?1
?
?
2
，…
证明：首先证明一个不等式：
⑴
x
1?x
?ln(1?x)?x
，
x?0
．
事实上，令
h(x)?x?ln(1?x)
，
g(x)?ln(1?x)?
x
1?x
．
则对
x?0
，
h
?
(x)?1?
1
1?x
?0
，
g
?
(x)?1
1?x
?
1
(1?x)
2
?
x
(1 ?x)
2
?0
．
于是
h(x)?h(0)?0
，
g(x)?g(0)?0
．
在⑴中取
x?
1
n
得
⑵
1
n?1
?ln
?
?
?
1?
1
?
n
?
?
?
1
n
．
令
n
x
k
n
?
?
2
?lnn
，则
x
1
1
?
，
k?1
k?1
2
2
又因为

lnn?(lnn?ln(n?1))?(ln(n?1)?ln(n?2))??(ln2?ln1) ?ln1?
?
n?1
ln
?
?
1?
1
?< br>?
．
k?1
?
k
?

从而
n
x
?
k
n?1
ln
?
?
1?
n
?
2
?
k?1
k?1
?
k?1< br>?
1?
k
?
?

n?1

?
?
?
?
k
?
1
?
?n
n?1
?
k1
?
2
?ln
?
k?1
?k?1
?
1?
k
?
?
?
?
?
n
2
?1
?
?
?
2
?
?

k?1
?
k?1k
?
n?1n?

??
?
1
1
1
2
≥?
k

k?1
(k?1)k
?
k?1
(k?1)

??1?
1
n
??1
．
11． 设
k
，
l
是给定的两个正整数．证明：有无穷多个正整数
m≥k
，使得
C< br>k
m
与
l
互素．
证法一：对任意正整数
t
，令
m?k?t?l?(k!)
．我们证明
?
C
k
m
，l
?
?1
．
设
p
是
l
的任一素因子 ，只要证明：
p?
C
k
m
．
若
p?k!
，则由
k
k!C
k
m
?
?
(m?k?i)

i?1
k

?
?
[(i?tl(k!

)]
i?1
?
k

?i

i?1

?k!
?
modp
?
?1
?
．
及
p
?
|k!
，且
p
?
?1
?
k !
，知
p
?
|
k
!C
k
?
?1< br>m
且
p
?
k!C
k
m
．从而
p?< br>C
k
m
．
证法二：对任意正整数
t
，令
m?k?t?l?(k!)
2
，我们证明
?
C
k
m
，l
?
?1
．
设
p
是
l
的任一素因子，只要证明：
p?C
k
m
．
若
p?k!
，则由
【解析】











10
【解析】

k
k!C
k
m
?
?
(m?k?i)

i?1
k

?
?
[(i?tl(k
2
!)

]
i?1
k

?
?
i

i?1

?k!
?
mopd
?
．
即
p
不整除上式，故
p?C
k
m
．
若
p|k!
，设
?
≥1
使
p
?
|k!，但
p
?
?1
?
k!
．
p
?
?1
|(k!)
2
．故由
k?1
k!C
k
m
?
?
(m?k?i)

i?1
?
k

?[(i?tl(k
2
!)

]
i?1
k

?
?
i

i?1

?k!
?
modp
?
?1
?

及
p
?
|k!
，且
p
?
?1
?
k !
，知
p
?
|
k
!C
k
?
?1< br>m
且
p
?
k!C
k
m
．从而
p?< br>C
k
m
．
12． 在非负数构成的
3?9
数表
?
x
7
?
x

P?
?
x
11
x
12
x
13
x
14
x
1
x
51
x
61
?
x
21
xx
?< br>1
22
x
23
x
2425
x
2
x< br>62
x
7
?

x
?
2829
?x
31
x
32
x
33
x
34
x
3
x
53
x
6
x
37
?
?
x< br>3839
中每行的数互不相同，前6列中每列的三数之和为1，
x
17
?x
28
?x
39
?0
，
x
27，
x
37
，
x
18
，
x
38
，
x
19
，
x
29
均大于．如果
P
的前三 列构成的数表
?
x
11
x
12
x
?
13

S?
?
?
xx
?
?
2122
x
?
2

3
?
x
31
x
32
x
?
?
33
?
满足下面的性质
(O)
：对 于数表
P
中的任意一列
?
x
1k
?
?
x< br>?
2k
?
（
k?1
，2，…，9）均存在某个
??
x
3k
?
?
i?
?
1，2，3
?< br>
使得
⑶
x
ik
≤u
i
?min
?
x
i1
，x
i2
，x
i3
?
．
求证：
（ⅰ）最小值
u
i
?min
?
x
i1
，x
i2
，x
i3
?
，
i?1
，2， 3一定自数表
S
的不同列．
?
x
1k
*
?
（ⅱ）存在数表
P
中唯一的一列
?
?
x
?
*?
2k
*
?
，
k≠1
，2，3使得
3?3数表
?
?
x
?
3k
?
*
?
?
x
11
x
12
x
1k
*
?
S< br>?
?
?
?
x
?
?
21
x
2 2
x
2k
*
?

?
?
x
31x
32
x
?
3k
?
*
?
仍然具有性质
(O)
．
（ⅰ）假设最小值
u
i
?min
?< br>x
i1
，x
i2
，x
i3
?
，
i? 1
，2，3不是取自数表
S
的不同列．则存在一
列不含任何
u
i
．不妨设
u
i
≠x
i2
，
i?1
，2 ，3．由于数表
P
中同一行中的任何两个元素都不
等，于是
u
i?x
i2
，
i?1
，2，3．另一方面，由于数表
S
具 有性质
(O)
，在⑶中取
k?2
，则
存在某个
i
0
?
?
1，2，3
?
使得
x
i
0
2
≤u
i
0
．矛盾．
（ⅱ）由抽届原理知

min
?
x
11
，x
1
?
2
，< br>min
?
x
21
，x
22
?
，
mi n
?
x
31
，x
32
?

中至少有两个值取在同一列．不妨设

min
?
x
21
，x
22
?
?x
22
，
min
?< br>x
31
，x
32
?
?x
32
．
由前面的结论知数表
S
的第一列一定含有某个
u
i
，所以只能是x
11
?u
1
．同样，第二列中
也必含某个
u
i
，
i?1
，2．不妨设
x
22
?u
2
． 于是
u
3
?x
33
，即
u
i
是数表
S
中的对角线上数
11
字．
?
x
11
x
12
x

S ?
?
13
?
?
x
?
21
x
22< br>x
23
?

?
?
x
31
x
32
x
33
?
?
记
M?
?
1，2，，9
?
，令集合

I?
?
k?M|x
ik
?min
?
x
i1
，x
i2
?
，i?1，3
?
．
显然
I?
?
k?M|x
1k
?x
11
，x
3k
?x
32
?
且1，2
3?I
．因为
x
18
，
x
38
?1≥x
11
，
x
32，所以
8?I
．
故
I≠?
．于是存在k
*
?I
使得
x
*
2k
*
?max< br>?
x
2k
|k?I
?
．显然，
k≠1
，2， 3．
下面证明
3?3
数表
?
x
11
x
12
x
1k
*
?

S
?
?
?
?
x
?
?
21
x
22
x
2k
*
?

?
?
x
31< br>x
32
x
?
3k
?
*
?
具有性质
(O)
．
从上面的选法可知
u
i?
:?min
?
x
i1
，x
i2
，x
ik
*
?
?min
?
x
i1
，x
i2?
，
(i?1，3)
．这说明

x
1k
*
?min
?
x
11
，x
12
?≥u
1
，
x
3k
*
?min
?
x31
，x
32
?
≥u
3
．
又由
S
满足性质
(O)
．在⑶中取
k?k
*
，推得
x
2k
*
≤u
2
，于是


【解析】

u
?
2
?min
?
x
2 1
，x
22
，x
2k
*
?
?x
2k
*
．下证对任意的
k?M
，存在某个
i?1
，2，3使得
u
i
?
≥x
ik
．假
若不然，则
x
ik< br>?min
?
x
i1
，x
i2
?
，
i ?1
，3且
x
2k
?x
2k
*
．这与
x< br>2k
*
的最大性矛盾．因此，数
表
S
?
满足性质(O)
．
下证唯一性．设有
k?M
使得数表
?
x
11
x
12
x
1k
?

S?
?
?
x
?
21
x
22
x2k
?

?
?
x
31
x
32
x
3k
?
?
具有性质
(O)
，不失一般性，我们假定

u< br>1
?min
?
x
1
，
1
x
1
，
2
x
?
1
?
3
x

11
⑷
u
2
?min
?
x
21
，x
22
，x
23
?
?x
22


u
3
?min
?
x
3
，
1
x
3
，
2
x
?
3
?
3
x

33

x
32
?x
3
．
1

由于
x
32
?x
31
，
x
22
?x
21
及（ⅰ），有
u
1
?min
?
x
11
，x
12
，x
1k
?
?x
11
．又由（ⅰ）知： 或者
(a)
u
3
?min
?
x
31
，x< br>32
，x
3k
?
?x
3k
，或者
(b)u< br>2
?min
?
x
21
，x
22
，x
2k
?
?x
2k
．
如果
(a)
成立，由数表
S
具有性质
(O)
，则

u
1
?min
?
x
11
，x
1
，
2k
x
?
1
?x
，
1

1
⑸
u
2
?min
?
x< br>21
，x
22
，x
2k
?
?x
22
，

u
3
?min
?
x
31
，x
3
，
2
x
k
?
3
?x
k
．
3

由数表
S
满足性 质
(O)
，则对于
3?M
至少存在一个
i?
?
1， 2，3
?
使得
u
i
≥x
ik
*
．由
k
*
?I
及⑷和⑹式知，
x
1k
*
?x
11
?u
1
，
x
3k
*
?x
32
?u
3
．于是只能有
x
2k
*
≤u
2
?x
2k
．类似地，由
S
?
满足性质
(O)
及
k?M
可推得
x
2k
≤u
?
2
?x
2k< br>*
．从而
k
*
?k
．




2009年湖南省高中数学竞赛A卷试题

一、 选择题（本大题共6个 小题，每小题5分，共30分，在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的。）
1、设
z
是复数，
a(z)
表示满足
z
n
?1的最小正整数
n
，则对虚数单位
i
，
a(i)?
（ C）

A. 8 B. 6 C. 4 D. 2


【解析】
a(i)?
i
n
?1
，则最小正整数
n
为4，选C. < br>2、函数
f(x)
的定义域为R，若
f(x?1)
与
f(x? 1)
都是奇函数，则( C)
(A)
f(x)
是偶函数 (B)
f(x)
是奇函数
(C)
f(x?3)
是奇函数 (D)
f(x?3)
是偶函数
f
?
x?1
?
为奇函数??f
?
x?1
?
?f
?
?x?1
?
??f
?
t
?
?f
?
2?t
?
f
?
x?1
?
为奇函数? ?f
?
x?1
?
?f
?
?x?1
?
??f
?
t
?
?f
?
?t?2
?
?f
?
2?t
?
?f
?
?t?2
?
?f
?
x
?
?f
?
x?4
?
?T?4,

?f
?
x?3
?
为奇函数?f
?
?x?3
?
? f
?
?x?1
?
??f
?
x?1
?
??f
?
x?3
?
3、在区间
[?1,1]
上随机取一个数
x
，
cos
?
x
2
的值介于
0
到
1
2
之间的概率为( A ).
A.
1
3
B.
2
?
C.
12
2
D.
3

【解析】:在区间
[?1,1]
上随机取一个数
x
,即
x?[?1,1]
时,要使
cos
?
x
的值 介于
0
到
1
22
之间,需使
?
?
2
?
?
x
2
??
?
3
或
?
3?
?
x
2
?
?
2
∴
?1?x??22
3
或
3
?x?1
，区间长度为
2
3
，由几何概型知
cos
?
x
12
2
2
的值介于
0
到
1
2
之间的概率为
3
2
?
1
3
.故选A.
4.设f
?
x
?
为R?R，且对任 意实数有f
?
x
2
?x
?
?2f
?
x2
?3x?2
?
?
9x
2
?15x，则f
?< br>50
?
的值为（）A72B73C144D146

分析：x
2
?x?50x ?
?1?201
2
?x
2
?3x?2?54?2201
x< br>2
?3x?2?50x?
3?201
2
?x
2
?x? 54?2201
?f
?
50
?
?2f
?
54?22 01
?
?
?1?201
?
2
?9
?
?1? 201
?
?15?
?
2
?
?
?
2
?
1
?

f
?
54?2201
?
?
3
2
?2f
?
50
?
?9
?
?201< br>?
3?201
?
?
2
?
?
?15?
?
2
?
2
?
?
2
?
?2?
?1
?
?f
?
50
?
?146
5.已知数列?
a
n
?
满足a
1
=0，a
n?1
= a
n
+1+21?a
n
?
n?1,2,
?
,则a< br>2009
=
??
A4036080B4036078C4036082D403 6099

分析：两边加1得a
n?1
?1?a
n
?1?1 ?a
n
?n
2
?1,?a
2009
=4036080

?
6.已知非零向量AB与AC满足
?
ABAC
?
?< br>?
?BC＝0且
AB
?
AC
＝
1
，则?AB C为
??
?
AB
＋
AC
?
?
ABAC2
A三边均不相等的三角形，B　直角三角形，　
C　等腰非等边三角形，　D　等边三角 形。
??
分析：
?
AB
＋
AC
?
?
?BC＝0??ABC为等腰三角形，
AB
?
AC
＝
1
? ?BAC＝
?
?
。
?
ABAC
?
ABAC
23

二、选择题（本大题共8个小题，每小题7分，满分56分，请将正确的答
案填在横线上。）
7、
对于n?N
?
,C
1594n?1
4n?1
n
2?
4n?1
?C
4n?1
?C
4n?1
??C< br>4n?1
?_________.

2?
?
?1
?
?2
n

1
.8、
在三角形ABC中，D是BC边的中点，若AD?AC＝0，则tanC- cotA的最小值为＿＿。



分析：以DC所在的直线为x轴，DC的垂 直平分线为y轴建立直角坐标系。
不妨设A
?
cos
?
,sin?
?
?
?
?
?
?
?
?
?0,
?
?
2
?
?
?
?
?
,y ?tanC-cotA?tanC+tan?BAD
=
sin
?
k?k
AB
sin
?
sin
?
cos
?
?3

1?cos
?
?
AD
1?k
???
AD
k
AB
1?cos
?
2
?
1?cos
?
?< br>2sin
?
?2ysin
?
?cos
?
?3,?si n
?
?
?
?
?
?
3
4y
2
?1
?y?2.
9、
计算：444＋111－666＝＿＿＿＿。
?
?
2n位
n?1位
n
?
＝4448889＝6667
?< br>?

位
?
n位
n－1位n－1位
?
?
10.已知函数f
?
x
?
=
?
?
?
?< br>3?m
?
x?m,x?1,
log
在实数集R上单调递增，则实数m的 取值范围是＿＿＿。
?
?
m
x,x?1
分析：lim
3?
x?1
?
f
?
x
?
?3?2m?limx?1
?
f
?
x
?
?0?m?
2
,3 ?m?0,?m?
?
3
?
2
,3
?
?
?< br>.

x
2
以双曲线
4
?
y
2
11.
b
2
?1
?
b?0
?
的离心率为半径，右 焦点为圆心的圆与双曲线

的渐近线相切，则双曲线的离心率为＿＿＿＿＿。
13 < br>分析：由双曲线的示意图可知b?e?
c4?b
2
23
a
?< br>2
?b?e?
3
.

12、
方程x
2
?3x?2+x
2
?2x?3=11的所有实数根之和为＿＿＿。

分析： 分段讨论知
?
1
?
?
?
x??3
?1
?< br>x
2
?3x?2?x
2
?2x?3?2x
2
?x?1 ?11
?x?
?97
4
?
2
?
?
?
?3?x?1
?x
6
?
x
2
?3x?2?x
2< br>?2x?3??5x?5?11
??
5
?
3
?
??
1?x?2

?
?x
2
?3x?2?x
2< br>?2x?3?5x?5?11
?x?
16
5
?
舍去
?
?
4
?
?
?
x?2
x?2?x?2x?3?2x? x?1?11
?x?
?1＋97
?各根之和为－
7
?
x2
?3
22
410
13.已知多项式
?
1?x
?
+
?
1?x
?
2
+?
?
1?x
?
n
=b
2n
0
+b
1
x+b
2
x++b
n
x,
且b
1
+b
2
++b
n< br>=1013，则正整数n的一个可能值是＿＿＿。

分析：2
n
?2?n?1013,?n?9.

14 .正方体ABCD－A
1
B
1
C
1
D
1
的 面ABCD、ADD
1
A
1
的中心分别为M、N，则
异面直线MN和 BD

1
所成的角的正弦值为＿＿＿＿。
3
3


三、解答题（本大题共5个小题，满分64分）
15、（本小题满分12分）
已知 向量a=
?
x
2
,x?1
?
，b=
?
1? x,t
?
,若函数f
?
x
?
=a?b在区间
??1,1
?
上是

单调增函数，求t的取值范围。
分析：f?
x
?
?x
2
?
1?x
?
?
?
x?1
?
t??x
3
?x
2
?tx?t
?f

?
x
?
??3x
2
?2x?t?0在x??
?1,1
?
上恒成立，

?t?3x
2
?2 x在x?
?
?1,1
?
上恒成立，?t?5.

16、（本小题满分12分）
如图，圆内接四边形ABCD的一条对角线将一对对角分成四个 角
?
1
、
?
2
、
?
3
、
?
4
。
求证：sin
?
?
1
?
?
2
?
sin
?
?
2
?
?
3
?sin
?
?
3
?
?
4
?
sin
?
?
4
?
?
1
?
?4sin
?
1
sin
?
2
sin
?
3
sin
?
4
.
分析：由正弦定理知只要证：BD
2
?AC
2
?4A B?BC?AD?CD.
由托列密定理知AC?BD=AB?CD+AD?BC,?只要证：
?
AB?CD+AD?BC
?
2
?4AB?BC?AD?CD.?
?< br>AB?CD－AD?BC
?
2
?0

此式成立。故原式成立。
A
?
?
2
1
D
B
?
3
?
4
C




17、（本小题满分12分） 如果一个数列
?
a
2
n
?
的任意相邻三项a
i ?1
,a
i
,a
i?1
满足a
i?1
?a
i?1
?a
i
，则称该数列为
“对数性凸数列”，设正项数列a
0< br>,a
1
,a
2
,,a
n
是“对数性凸数列”，求证：

?
1
n
?
?
1
n?1
?
?
1
n?1
?
?
??
?
?
?
j ?1
?
?
?
1
n
?
n?1
?
a< br>i
?
?
n?1
?
a
j
?
n
?
a
i
i?0
?
?
?
?
n?1
?
a
j
?
i?0j?1
?
分析：?
1
n2
?1
?
a
0
?a
1
??a
n
??
a
1
?a
2
??a
n?1
?
?1
n
2
?
a
0
?a
1
??a
n?1
??
a
1
?a
2
??a
n
?
?n
2
?
a
0
?a
1
??a
n?1??
a
1
?a
2
??a
n?1
?
?n
2
a
n
?
a
1
?a
2
??an?1
?
?
?
n
2
?1
?
?
a
0
?a
1
??a
n?1
??
a
1
?a
2
??a
n?1
?
?
?
n
2
?1
?
a
n
?
a
0
?a
1
?a
2
??a
n?1
?
?
?
a
0
?a
1
??a
n?1
??
a
1
?a
2
??a
n?1
?
?a
n
?
a
1
?a
2
??a
n?1
?
?
?
n
2
?1
?
a
0
a
n
?0
?
?
a
0?a
n
??
a
1
?a
2
??a
n?
?
?
a
1
?a
2
??a
2
n
?
?
?
n
2
?1
?
a
0
a
n
?0
左边?2a
0
a
n
?
2a1
a
n?1
?2a
2
a
n?2
?
?< br>?
?
2a
1
a
n?1
?2a
2
a< br>n?2
?
?
2
?
?
n
2
?1
?
a
0
a
n
?
?
?
1
?
?
a
0
?a
2
?a
2
1
a
2< br>?
aa
2
1
?a
3
?
2
i?1?a
i?1
?a
i
?
?
?a
0
an
?a
1
a
n?1
?a
2
a
n?2< br>?
14
?
?
?
a
n?2
?a
n< br>?a
2
n?1
?
?
?
?
?2a
0< br>a
n
?
?
n?1
?
a
0
a
n
?
?
n?1
?
2
a
0
a
n?0,故原式成立。
8、（本小题满分14分）某建筑物内一个水平直角型过道如图所示，两过道的 宽度均为3米，有一个
水平截面为矩形的设备需要水平移进直角型过道，若该设备水平截面矩形的宽为1 米，长为7米，试
问：该设备能否水平移进直角型过道？（AB＝7米，BC＝1米）
3m< br>3m
D
Q
A
M
D
A
M
F
C
3m
C
3m
O
B
O
BP

分析：如图，建立直角坐标系。
设AB的方程为
x
a
?
y
b
?1,?a
2
?b
2
?49,设直线OM 交CD于F，
只要判断OF32。BP＝
BC77
max
?OM＝
s in?P
?
b
,AQ?
a
,
?CD的方程为：
x< br>a?
7
?
y
7
?1?x
ab?7
F
?y
F
?
a
,
b
b?
?b
a
< br>设t=a?b?ab?
t
2
?49
2
,t=a?b?2
?
a
2
?b
2
?
?72
t
2
? 49
?OF?2?
ab?7
?7
t
a?b
?2?
2
353563
t
?
2
?
2t
?7?
14< br>?
14
?32.
?不能通过。
19、（本小题满分14分）
设有2009个人站成一排，从第一名开始1至3报数，凡报到3的就退出队伍，其余的向前靠拢站成
新 的一排，再按此规则继续进行，直到第p次报数后只剩下3人为止，试问最后剩下3人最初在什么
位置？
分析:易知最后剩下的3人中前2人分别为最初的第1名和第2名。设第3人是最初的第k名。用下面的方法可得k＝1600。
每次减去该数的三分之一的整数部分：
2009－669? 1340－446?894－298?596－198?398－132?266
－88?178－59 ?119－39?80－28?54－18?36－12?24
－8?16－5?11－3?8－2?6 －2?4－1?3，?p?17,
从后开始每次加上前次被删去的个数。

1?1?2 ?2?1?3?3?2?5?5?3?8?8?4?12?12?6?18
?18?9?27?27?1 4?41?41?21?62?62?31?93?93?47?140
?140?70?210?21 0?105?315?315?158?473?473?237?710
?710?355?1065 ?1065?533?1598?k?1598?2?1600.







二00八年湖南省高中数学竞赛试题
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个答案中，只有一项
是符合题目要求的.）
1.定义集合运算:
A?B?
?
z|z?xy,x?A,y?B
?
.设
A?
?< br>2,0
?
，
B?
?
0,8
?
，则集合
A?B
的所有元素
之和为（ ）
A.16 B.18 C. 20 D.22
2.已知
?
a
n
?
是等比数列，
a
2
?2,a
5< br>?
1
4
，则
a
1
a
2
?a
2
a
3
?????a
?
n
a
n?1
?n?N
?
的取值范围是（ ）
A.
?
12,16
?
B.
?
8,16
?
C.
?
?32
??
1632
?
?
8,
3
?
?< br> D.
?
?
3
,
3
?
?

3.5名志愿者随进入3个不同的奥运场馆参加接待工作，则每个场馆至少有一名志愿者的概率为（ ）
A.
3
5
B.
1
15
C.
5
8
D.
50
81

４．已知
a
、
b
为非零的 不共线的向量，设条件
M:
b?
?
a?b
?
；条件
N:
对一切
x?R
，不等式
a?xb?a?b
恒成立．则
M
是
N
的（ ）
15
Ａ．必要而不充分条件 Ｂ．充分而不必要条件
Ｃ．充分而且必要条件 Ｄ．既不充分又不必要条件
5．设函数
f(x)
定义在
R
上，给出下述三个命题：
① 满足条件
f(x?2)?f(2?x)?4
的函数图象关于点
?
2,2
?
对称；②满足条件
f(x?2)?f(2?x)
的
函数图象关于直线x?2
对称；③函数
f(x?2)
与
f(?x?2)
在同一坐标 系中，其图象关于直线
x?2
对称.其中，
真命题的个数是
（ ）
A.0 B.1 C.2 D.3
6.连结球面上两点的线段称为球的弦. 半径为4的球的两条弦AB、CD的长度分别等于< br>27
和
43
，
M
、
N
分
别为
AB
、
CD
的中点，每两条弦的两端都在球面上运动，有下面四个命题：
①弦
AB
、
CD
可能相交于点
M
②弦
AB
、
CD
可能相交于点
N

③
MN
的最大值为5 ④
MN
的最小值为1
其中真命题为（ ）
A.①③④ B.①②③ C.①②④ D.②③④
7.设
a?sin(sin 2008
0
)
，
b?sin(cos2008
0
)
，
c?cos(sin2008
0
)
，
d?cos(cos2008
0
)
,则
a,b,c,d

的大小关系是（ ）
Ａ．
a?b?c?d
Ｂ．
b?a?d?c

Ｃ．
c?d?b?a
Ｄ．
d?c?a?b


8. 设函数
f(x)?x
3
?3x
2
?6x? 14
，且
f(a)?1
，
f(b)?19
，则
a?b?（ ）
A.2 B.1 C.0 D.
?2


二、填空题（本大题共6个小题，每小题8分，共48分. 请将正确的答案填在横线上.）
9．在平面直角坐标系中，定义点
P
?
x< br>1
,y
1
?
、
Q
?
x
2
, y
2
?
之间的“直角距离”为
d(P,Q)?x
1
?x< br>2
?y
1
?y
2
.
若
C
?
x,y
?
到点
A
?
1,3
?
、
B
?
6,9
?
的“直角距离”相等，其中实
数
x
、
y
满足
0?x?10
、
0?y?10
，则所有满足条件的点
C
的轨迹的长度之和为 ．
10.已知集合
??
?
?
x ,y
?
|x
2
?y
2
?2008
?
，若点
P(x,y)
、点
P
?
(x
?
,y
?)
满足
x?x
?
且
y?y
?
，则称点
P
优于
P
?
. 如果集 合
?
中的点
Q
满足：不存在
?
中的其它点优于
Q< br>，则
所有这样的点
Q
构成的集合为 ．
11.多项式
?
1?x?x
2
?????x
100
?
3
的展开式在合并同类项后，
x
150
的系数为 .（用数字作答）
12.一个六棱柱的底面是正六边形,其侧棱垂直于底面.已知该六棱柱的顶点都在 同一球面上，且该六棱柱的体积为
9
8
，
底面周长为3，则这个球的体积为 .
13.将一个
4?4
棋盘中的8个小方格染成黑色，使得每行、每列都恰有两个黑 色方格，则有 不同的
染法.（用数字作答）
14.某学校数 学课外活动小组，在坐标纸上某沙漠设计植树方案如下：第
k
棵树种植在点
P
k
?
x
k
,y
k
?
处，其中
x
1
?1,y
1
?1
，当
k?2
时，
?
?< br>?
x
k
?x
?
k?1
??
k?
k? 1
?1?5
?
?5
2
?
;
?
?
5
?
?
?
?
5
?
?

?
?
?
y
k
?y
?
1
?
k?1
??
k?
?
5
?
?
?
?
?
k? 2
?
?
5
?
?
.
其中，
?
a?
表示实数
a
的整数部分，例如
?
2.6
?
? 2
，
?
0.6
?
?0.
按此方案，第2008棵树种植点的坐标
为 .




三、解答题（本大题共4小题，共62分. 要求有必要的解答过程.）
15．（本小题满分14分）设实数
a,b?
?
?
,
?
?
，求证：
b
?
a
?
??
ab
?
?
?

其中等号当且仅当
a?
?< br>,b?
?
或
a?
?
,b?
?
成立，
?
,
?
为正实数.

１6．（本小题满分14分）甲、乙两人进行 乒乓球单打比赛，采用五局三胜制（即先胜三局者获冠军）．对于每局比赛，
甲获胜的概率为
2
3
，乙获胜的概率为
1
3
．如果将“乙获得冠军”的事件称为“爆出 冷门”．试求此项赛事爆出冷门的
概率．
17. （本小题满分16分）已知函数
f (x)?ln
?
1?x
?
?x
在区间
?
0,n?
?
n?N
?
?
上的最小值为
b
n
， 令
a
n
?ln
?
1?n
?
?b
???a< br>2k?1
n
，
p
a
1
a
3
k
?
a??a
?
k?N
?
?
，
2
a4
?
2k
求证：
p
1
?p
2
???? ?p
n
?2a
n
?1?1.

18. （本小题满分18分 ）过直线
l:5x?7y?70?0
上的点
P
作椭圆
x
2< br>y
2
25
?
9
?1
的切线
PM
、< br>PN
，切点
16
分别为
M
、
N
，联结
MN.

（1）当点
P
在直线
l
上运动时，证明：直线
MN
恒过定点
Q
；
（2）当
MN
∥
l
时，定点
Q
平分线 段
MN.

二00八年湖南省高中数学竞赛试题参考答案及评分标准
说明：
1.评阅试卷时,请依据本评分标准. 选择题和填空题严格按标准给分，不设中间档次分.
2.如果考生的解答方法和本解答不同，只要思路合理，步骤正确，在评卷时参照本评分标准适当档次给分.

一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共40分. 在每小题给出的四个答案中，只有一项是符合题目要求的.）
图象上，则
4?y?f(4?x )
，即点
?
x,y
?
关于点
?
2,2
?< br>的对称点
?
4?x,4?y
?
也在
y?f(x)
的图 象上.反之亦
得
f(x)?f(4?x)
.如果点
?
x,y
?
在
y?f(x)f(x?2)?f(2?x)
中的
x
，然，故①是 真命题.用
x?2
代替
的图象上，则
y?f(4?x)
，即点
?
x,y
?
关于点
x?2
的对称点
?
4?x,y
?
也在
y?f(x)
的图象上，故②是真
命题.由②是真命题，不难 推知③也是真命题.故三个命题都是真命题.选D.
1.解：集合
A?B
的元素：< br>z
1
?2?0?0
，
z
2
?2?8?16
，
z
3
?0?0?0
，
z
4
?0?8?0
， 故集合
A?B
的所有元素之和为16. 选A.
1
2. 解: 设
?
a
3
a
5
n
?
的公比为
q
，则
q?
a
?
4
2
?
1
8
，进而q?
1
2
.
2
所以，数列
?
a
2< br>n
a
n?1
?
是以
a
1
a
2
?8
为首项，以
q?
1
4
为公比的等比数列.
8?
?
1?
1
?
a
1
a
2
?a
2
a
3
?????a
n
a
n?1
?
?
4
n
?
?
?
32
?
1?4
? n
1
?
.
1?
3
4
显然，
8?a
1
a
2
?a
1
a
2
?a
2
a< br>3
?????a
n
a
n?1
?
32
3
. 选C.
3. 解：5名志愿者随进入3个不同的奥运场馆的方法数为
3
5
?243
种. 每个场馆至少有一名志愿者的情形可分两类
考虑：第1类 ，一个场馆去3人，剩下两场馆各去1人，此 类的方法数为
C
1
3
?C
3
A
2
5
?
2
?60
种；第2类，一场馆
去1人，剩下两场馆各2人，此类的方法数 为
C
1
?C
12
35
?C
4
?90
种. 故每个场馆至少有一名志愿者的概率为
P?
60?90
243
?50
81
.选D.
４． 解：设
OA?a
，
OB?b
，则
xb
表示与
OB
共线的任一向量，
a?xb
表 示点
A
到直线
OB
上任一点
C
的距离
AC
，而
a?b
表示点
A
到
B
的距离. 当
b?
?
a?b
?
时，
AB?OB.
由点与直线之间垂直距离最短知，< br>AC?AB
，即对一切
x?R
，不等式
a?xb?a?b
恒成 立．反之，如果
AC?AB
恒成立，则
?
AC
?
min?AB
，故
AB
必为点
A
到
OB
的垂直距离，
OB?AC
，即
b?
?
a?b
?
. 选C. 5．解：用
x?2
代替
f(x?2)?f(2?x)?4
中的
x
，得
f(x)?f(4?x)?4
.如果点
?
x,y
?在
y?f(x)
的


6. 解：假设
AB
、
CD
相交于点
N
，则
AB
、
CD
共面，所 以
A
、
B
、
C
、
D
四点共圆，而过圆的弦
CD
的
中点
N
的弦
AB
的长度显然有
AB ?CD
，所以②是错的．容易证明，当以
AB
为直径的圆面与以
CD
为直径的
圆面平行且在球心两侧时，
MN
最大为５，故③对．当以
AB
为直径的圆面与以
CD
为直径的圆面平行且在球心同
侧时，
MN
最 小为1，故④对.显然是对的．①显然是对的.故选Ａ．
7. 解：因为
2008
0
?5?360
0
?180
0
?28
0
，所以， < br>a?sin(?sin28
0
)??sin(sin28
0
)?0；
b?sin(?cos28
0
)??sin(cos28
0
) ?0
；
c?cos(?sin28
0
)?cos(sin28
0< br>)?0
；
d?cos(?cos28
0
)?cos(cos28
0
)?0
．
又
sin28
0
?cos28
0< br>，故
b?a?d?c.
故选B.
8. 解：由
f(x)?x
3
?3x
2
?6x?14?
?
x?1
?
3
?3
?
x?1
?
?10
，令
g(y)?y
3
?3y
，则
g(y)
为奇函数
17
且单调递增.
而
f(a)?
?
a?1
?
3
?3
?
a?1< br>?
?10?1
,
f(b)?
?
b?1
?
3< br>?3
?
b?1
?
?10?19
,
所以
g( a?1)??9
,
g(b?1)?9
,
g(?b?1)??9
,从而
g(a?1)?g(?b?1)
,
即
a?1??b?1
,故
a?b??2
.选D.
二、填空题（本大题共6个小题，每小题8分，共48分. 请将正确的答案填在横线上.）
9． 解：由条件得
x?1?y?3?x?6?y?9
①
当
y?9
时，①化为
x?1?6?x?6
，无解；
当
y?3
时，①化为
x?1?6?x?6
，无解；
当
3?y?9
时，①化为
2y?12?x?6?x?1
②
若
x?1
，则
y?8.5
，线段长度为１；若
1?x? 6
，则
x?y?9.5
，线段长度为
52
；若
x?6
，则
y?3.5
，线段长度为４．综上可知，点
C
的轨迹的构成的线段长度 之和为
1?52?4?5
?
2?1
?
．填

5
?
2?1
?
．
10. 解:
P
优于
P< br>?
，即
P
位于
P
?
的左上方，“不存在
?< br>中的其它点优于
Q
”，即“点
Q
的左上方不存在
?
中 的点”.
故满足条件的点的集合为
?
?
x,y
?
|x2
?y
2
?2008,x?0且y?0
?
.填
?
?
x,y
?
|x
2
?y
2
?2008,x?0且 y?0
?
．
11.解：由多项式乘法法则可知，可将问题转化为求方程
s?t?r?150
①
的不超过去100的自然数解的组数.显然，方程①的自然数解的组数为
C
2152
.

下面求方程①的超过100自然数解的组数.因其和为150，故只能 有一个数超过100，不妨设
s?100
.将方程①
化为
(s?101)?t?r?49

记
s
?
?s?101，则方程
s
?
?t?r?49
的自然数解的组数为
C
2
51
.

因此，
x
150
的系数为
C2
?C
12
1523
C
51
?7651
.填7 651.
12.解：因为底面周长为3，所以底面边长为
1
2
，底面面积为
S?
33
8
.
又因为体积为
9
，所以高为
3
.该球的直径为
1
2
2
8
?
?
3?
?2
，球的体积
V?
44
4
3
?
R
3
?
3
?
.填
3
?
.
13.解 ：第一行染2个黑格有
C
2
4
种染法.第一行染好后，有如下三种情况：
（1）第二行染的黑格均与第一行的黑格同列，这时其余行都只有一种染法；
（2）第二行染 的黑格与第一行的黑格均不同列，这时第三行有
C
2
4
种染法，第四行的染法 随之确定；
（3）第二行染的黑格恰有一个与第一行的黑格同列，这样的染法有4种，而在第一、第二 这两行染好后，第三
行染的黑格必然有1个与上面的黑格均不同列，这时第三行的染法有2种，第四行的 染法随之确定.
因此，共有染法为
6?
?
1?6?4?2
?
?90
种.填90.
14.解：令
f(k)?
?
?
k? 1
?
?
5
?
?
?
?
?
k?2?
?
5
?
?
，则
f(k?5)?
?
?
k?5?1
?
?
5
?
?
?
?
?
k?5?2
??
k?1
??
k?2
??
k?1??
k?2
?
?
5
?
?
?
?
?
1?
5
?
?
?
?
?
1?
5?
?
?
?
?
5
?
?
?
??
5
?
?
?f(k)
故
f(k)
是周期为5的 函数.


计算可知：
f(2)?0
；
f(3)?0< br>；
f(4)?0
；
f(5)?0
；
f(6)?1
. 所以，
x
2008
?x
2007
?1?5f(2008)
；
x
2007
?x
2006
?1?5f(2007)
；…；
x
2
?x
1
?1?5f(2)
.
以上各式叠加， 得
x
2008
?x
1
?2007?5
?
f(2)? f(3)?????f(2008)
?

?x
1
?2007?5?
401
?
f(2)?f(3)?????f(6)
?
?f(2 )?f(3)
?

?x
1
?2007?5?401?3
；
同理可得
y
2008
?402
.
所以，第2008棵树的 种植点为
?
3,402
?
.填
?
3,402
?.

三、解答题（本大题共4小题，共62分. 要求有必要的解答过程.）
15．证明：由对称性，不妨设
a?b
，令
a
b
?t
，则因
?
?a?b?
?
，可得
?
?
?t?
a< br>b
?
?
?
.
…………………………（3分）
18
设
f(t)?t?
1
?
??
?
t
?
?
，则对求导，得
?
1
6分）
?
?
?t??
?
?
t
f(t)?1?
t
2
.…………（< br>?
易知，当
t?
?
?
?
?
时，
?< br>?
,1
?
?
?
f
?
(t)?0
，< br>f(t)
单调递减；当
t?
?
?
?
?
?1,
?
?
?
时，
f
?
(t)?0
，< br>f(t)
单调递
增. …………………………………………………………………（9分）
故
f(t)
在
t?
?
?
或
t?
?
?
处有最大值且
f
?
?
?
?
?
? ?
?
?
?
?
?
?
?
及
f
?
?
?
?
??
??
?
?
?
??
?
?
?
两者相等.
故
f(t)
的最大值为
??
?
?f(t)?t?
1
??
?
，即
t
?
?
?
?
.………………（12分）
由
a
b
?t
，得
ba
??
a
?
b
?
?
?
?
，其中等号仅当
a?
?
,b?
?
或
a?
?
,b?
?
成立.
…………………………………………………………………………（14分）
１6． 解：如果 某方以
3:1
或
3:0
获胜，则将未比的一局补上，并不影响比赛结果．于是 ，问题转化为：求“乙
在五局中至少赢三局的概率”．…………（3分）