【数学】高中数学学习方法+八大函数问题总结

初高中数学差异



首先大家要了解两个词——“素质教 育”与“选拔考试”，初中强调素质
教育，肯定不会发生辣手摧花的事情，但是高中将要面临的是选拔考 试，
就是要选拔出优秀的人。这注定了高中三年有一行艰难的仗要打。
1
初中五 门课，高中九门课，而且在高一有些省市九门课并学。
初中数学3年6本书，高中数学2年（高三全年复 习）10本书。
初一上学期学习一本书，高一上学期学习两本书，有些进度快
的学校会学习两本 半的数学书。从以上数字可以看出，高中与
初中相比，学习量很大。如果学生短时间之内不能做出相应的
调整，没有一个合理的时间安排，可以想象孩子的成绩应该不
是很乐观。

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从数学的角度来看，初中数学强调的是“直观感知”意思是只要
知道，能够感受到 即可，所以我们经常可以听到“中考前冲刺三
个月也考到很好地成绩”这样的话；而高中强调“理性思维 ”，思
维量大大增加，数学的抽象性增加。所以高中不能靠考前冲刺，
你用很短的时间能够背下 来相关知识内容，但是别人用了三年
时间培养的思维能力，是短时间赶不上的。




2
高中数学成绩差的原因

从前有一个跳水运动员 ，半年后要参加一次比赛，在这
期间他练习过几次，有时候跳的很好，有时候则不太理

< br>想，但是他没有再练了，觉得在比赛的时候可以跳好，
可以想到，比赛的时候他失败了。他说是自 己状态不好，
没有发挥好。


我们可能会觉得这不可能，运动员怎么可能这 样呢？但是，我要跟大家
说，这是真的。真正的案例就发生在我们身边，每当我们问孩子考试成
绩为什么这么差的时候，孩子们给家长的话不就是“马虎、粗心、我出
来就会了···”这样的话吗？因 为咱们的孩子之前也做过类似的题，有时
候做对过，有时候做错过，但是他认为考试的时候能做对，这和 那名运
动员一样。每次都说粗心，阻止了我们找寻真正原因的欲望，没有找到
表象背后的本质问 题，下次依然会出现同样的问题。


世界上没有粗心


分析原因
以粗心为借口会阻止我们进步

从上面的数据和例子，我们可以想 到，其实很多时候是因为知识太多，
孩子们概念不清晰。概念不清就会产生概念混淆，尤其是在高中阶段 ，
数学中同一个符号在不同语境有不同的含义，所以孩子们会找粗心、马
虎之类的借口，而作为 家长又不是很理解。学生就在这条道路上越走越
远。


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学习建议
1
重视例题.
课本上的例题是为了强化概念的，所以学生如果例题都不会做，
那么他一定有问题.


2
背诵黑体.

课本上黑体字部分是重要的定理定义，孩 子们必须牢记，才能
在高中数学中达到举一反三，咱们很多孩子也刷了很多题目，
但是几乎没有 效果，而老师很少刷题，去还能做对，是因为他
们能够厘请每个概念，知道每个概念的应用与变式。




3
总结错题
我们说过，本来没有粗心，所以题目做错就要挖掘为什么错，
分析本质问题，减少同类错误。

函数是高中数学中重要内容， 学习函数时如果概念不清，
性质理解不深刻，就会造成许多后遗症，影响后续知识的
掌握。下面 提出有关的若干疑难问题进行剖析。
一、表达式相同的两个函数是否相同?
很多学生容 易把具有相同表达式的两个函数看作同一个
函数。其实，由函数的表达式相，只能知道它们的对应法则相同，但还有定义域是否相同的问题，例如，f(x)=3x+1
与g(x)=3x+1(x∈Z ),尽管f(x)和g(x)的表达式相同，但由于它
们的定义域分别为R和Z，故它们是不同的两个函 数．
二、定义域和值域分别相同的两个函数是否是同一函数？
有些同学认为，两个函数 定义域和值域分别相同，那么
这两个函数必相等．其实不然，例如f(x)=x, x∈
{0,1},g(x)=(x-1)2, x∈{0,1},这两个函数定义域和值域分别
相同，但由于f(0)≠g(0), f(1)≠g(1 ),即当自变量x取相同值x
?0时，f(x?0)≠g(x?0),故f(x)≠g(x)．
事实上，两个函数相等的意义也可叙述成：如果两个函
数f(x)和g(x)的定义域为D， 且对于任一x?0∈D,都有f(x?
0)=g(x?0),那么f(x)=g(x)．
三、两个表达式不同的函数某些同变量函数值是否一定不相
等？
两个表达式不同的函数某些同变量函数值不相等，这是
一种比较常见的错误看法．例如，f(x)=x, x∈{0,1},g(x)=x2,
x∈{0,1},尽管两个函数的表达式不同，但f(0)= g(0)=0,
f(1)=g(1)=1．
四、复合函数y =f[g(x)]的定义域与y =f(x)的定义域一致吗？
复合函数的定义域受原函数的定义域制约．
已知函数y=f(x)的定义域为[a,b]，求函数y =f[g(x)]的定义
域，是指求满足a≤g(x)≤b的x的取值域范围；而已知
y=f[ g(x)]的定义域是[a,b]，指的是x∈[a,b]．
五、函数的定义域可以是空集吗？

教材中指出：“设A、B是非空的数集，?”．由此，不
存在定义域为空集的 函数．当函数存在（给定）时，则其
定义域一定不是空集；反之，当定义域为空集时，这样的
函 数不存在．
六．用解析法表示函数时，一个函数可以有两个或多个解析式
吗？如果有，各解 析式对自变量有何限制？函数定义域如何得
到？
可以有两个或两个以上的解析式，这样的函 数称为分段
函数，但各解析式对自变量的取值范围不能出现公共部分，
否则可能出现一个自变量 的值求出两个函数值与函数定义
矛盾．这时函数的定义域就是各个解析式中自变量取值范
围所确 定的集合的并集．
七．为什么说，函数的解析式和定义域给出之后，它的值域相
应被确定？
因为函数的定义域是自变量x的取值范围的集合，而函
数解析式就是确定函数关系即定义域 到值域的对应法则，
在这个法则下，每一个x都有唯一的y与之对应，因此可由
定义域确定值域 ．
八．表示函数的常用方法有几种？各有什么优点？
(1)表示函数的记号是y=f(x)，常用方法是解析法、列表
法、图象法．
(2)把 函数的两个变量之间的函数关系，用一个等式来表
示，这个等式就叫做这个函数的解析表达式，简称解析 式，
用解析法表示函数的优点是①函数关系清楚，②给自变量
一个值，可求它的函数值，③便于 研究函数的性质．
(3)列表法就是列出表格来表示两个变量的函数关系．其
优点是不必 计算，查表可得到自变量与函数的对应值．
(4)图象法就是用函数的图象表示两个变量之间的函 数
关系，其优点是直观形象地表示出函数值随自变量的变化
规律．