数学概念学习方法

初中数学概念教学例谈
关键词：数学概念、概念教学、基本概念、数学思维

内容提要：数学概念是数学教学的重点内容，也是学生必须掌握的重要基础知识之一，是数学基本技能的 形成与提高的必要条件。
在概念教学中，教师要要讲究教学方法，注重概念的形成过程，多启发学生的主 动性与创造性；同时要求学生理解概念的
根本内涵，弄清概念之间的区别与联系，记忆概念注意关键词语 和分析概念。

概念是客观事物本质属性（本质特征）在人们头脑中的反映。数学概念是反映现 实世界的空间形式和数量关系的本质属性的
思维形式。在初中数学教学中，加强概念课的教学，正确理解 数学概念是掌握数学基础知识的前提，是学好定理、公式、法则和数
学思想的基础，搞清概念是提高解题 能力的关键。只有对概念理解得深透，才能在解题中作出正确的判断。因此在数学教学过程中，
数学概念 的教学尤为重要。

学生数学能力的发展取决于他对数学概念的牢固掌握与深刻理解与否。而在 现实中，许多学生对数学的学习，只注重盲目的
做习题，不重视数学概念的掌握，对基本概念含糊不清。 做习题不懂得从基本概念入手，思考解题依据，探索解题方法。这样的学
习，必然越学越糊涂。因而笔者 认为数学概念的教学在整个数学教学中有其不可替代的作用与地位。

下面我就教与学两个方面谈谈我肤浅的认识：

一、在概念教学中，要讲究教学方法。

1. 概念的引入：通过多途径引入概念

数学概念有些是由生产、生活实际问题中抽象出来的，有些 是由数学自身的发展与需要而产生的，许多数学概念源于生活实
际，但又依赖已有的数学概念而产生。根 据数学概念产生的方式及数学思维的一般方法，结合学生的认知特点，可以通过创设数学
概念形成的问题 情景，采用猜想、归纳的方法来引入。引入是概念教学的第一步，也是形成概念的基础。概念引入时教师要鼓励学
生猜想，即让学生依据已有的材料和知识作出符合一定经验与事实的推测性想象，让学生经历数学家发现 新概念的最初阶段。猜想
作为数学想象表现形式的最高层次，属于创造性想象，是推动数学发展的强大动 力，因此，在概念引入时培养学生敢于猜想的习惯，
是形成数学直觉，发展数学思维，获得数学发现的基 本素质，也是培养创造性思维的重要因素。

概念的引入是在教师的引导下，师生共同观察一类 事物的实例，并通过猜想、判断并概括出它们的特征，形成某个概念的过程。
例如圆的概念的引出前，可 让同学们联想生活中见过的年轮、太阳、五环旗、圆状跑道等实物的形状，再让同学用圆规在纸上画圆，
也可用准备好的定长的线绳，将一端固定，而另一端带有铅笔并绕固定端旋转一周，从而引导同学们自己发现圆的 形成过程，进而

总结出圆的特点：圆周上任意一点到圆心的距离相等，从而猜想归纳出圆 的概念。

引入概念时，教师要很好的体现主导作用，要注意引好路，注意培养学生的观察事物 及数学归纳推理的严密性。第一：选择实
例应注意代表性。；在引入平行四边形这一概念时，可以列举一 些生活中常见的平行四边形物体，如：汽车防护链、门框、国旗等。
除了画一般的平行四边形外，还要画 矩形、菱形、正方形。一可说明这类图形的特点是两组对边分别平行，与夹角的大小、边的长
短变化无关 ；二可使学生直观地认识到矩形、菱形、正方形均是平行四边形的特例，为学生后面学习埋下伏笔。第二：概括特 点要
注意准确性。例如在讲正比例函数的表达式时，只能归纳为y=kx (k≠0)，而不能归纳为（ k≠0），因为这样正比例函数的自
变量的取值范围缩小了。第三：引进概念要突出必要性。引入概念的 必要性可以从实际应用与数学本身的需要两方面进行分析。

2、概念的形成：让学生体验概念的形成

要改变传统教学中结论及结论的运用的教学 方法，要注意概念的形成过程，让学生体验概念的形成过程，即概念在什么条件
下蕴藏着，在什么背景下 初露端倪，如何经过分析、对比、归纳、抽象，最后形成理性的概念。这个过程，如果处理得当，对发展
学生的数学思维很有利。

几何概念是进行判断、推理和建立定理的依据，也是思维的起点，应 当向学生揭示概念间的相互联系及其本质属性。因此在几
何教学中，不仅应注意概念与图形的结合，更要 重视引导学生观察、发现、探索并概括出概念的形成过程。例如在《四边形》一章
的四边形定义教学中， 若只停留在对四边形定义的文字表述上是浮浅的，应当加深对四边形图形的认识。因为四边形的概念的教学
是联系《三角形》一章与《四边形》一章的纽带。教学时要切实注意启发学生观察图形，探索四边形的组成，由 学生概括：

1）四边形可以看着是由两个具有公共边的任意三角形组成的。（见图1）

2）四边形也可以看作是一个大三角形任意截取一个小三角形后的剩余部分。（见图2）
通过上面的认识，学生很自然的从三角形的概念过渡到四边形的学习上了。至于给四边形下定义就轻而易举的 可以完成了，对
认识四边形的边、对角线、顶点、内角都是顺理成章的事。同时我们就不必再为后面帮助 学生理解“把四边形的有关问题转化为三
角形的问题来解决”的原因而多费口舌了。

3、概念的运用——多启发学生的主动性与创造性。

概念的形成是一个由个别到一般 的过程，而概念的运用则是一个由一般到个别的过程，它们是学生掌握概念的两个阶段。通过
运用概念解 决实际问题，可以加深、丰富和巩固学生对数学概念的掌握，并且在概念运用过程中也有利于培养学生思维的深刻 性、
灵活性、敏捷性、批判性和独创性等等，同时也有利于培养学生的实践能力。启发学生主动性与创造 性的关键在于“创设问题的情

景”，即要创设一种使学生能积极思维的环境，使学生处于 跃跃欲试的起跳点上；在于“给学生表达、交流的机会”；在于“教学处
置的发散性”；还在于“不要扑 灭学生思维的火花”。有时学生对概念的归纳总结表现出不十分完备，此时教师要善于区分胡思乱想
和直 觉猜测，应该鼓励，因为创造性成果往往就来源于直觉思维。

1）.运用概念的方法

（1）复述概念或根据概念填空。

（2）运用概念进行判断。

（3）运用概念进行推理

2）.运用概念的教学中应注意的问题

教学中主要是通过练习达到运用概念的目的的。练习是使学生掌握基础知识和技能，培养和发展学生思维能力的重 要手段。练
习时需要注意以下几点：

（1）练习的目的要明确。在练习时必须明确每 项练习的目的，使每项练习都突出重点，充分体现练习的意图，做到有的放矢，
使练习真正有助于学生理 解新学概念，有利于发展学生的思维。如为了帮助学生巩固新学概念和形成基本技能，可以设计针对性练
习；为了帮助学生克服定式的干扰，进一步明确概念的内涵和外延，可以设计变式练习；为了帮助学生分清容易混 淆的概念，可以
设计对比练习；为了帮助学生扩展知识的应用范围，加深学生对新学概念的理解，培养学 生的创造性思维，可以设计开放性练习；
为了帮助学生沟通新学概念与其他知识的横向、纵向联系，促进 概念系统的形成，培养学生综合运用知识的能力，可以设计综合性
练习等。

（2）练 习的层次要清楚。鉴于初中生的年龄特点，认识事物往往不能一次完成，需要一个逐步深化和提高的过程。因此练 习时要
按照由简到繁、由易到难、由浅入深的原则，逐步加深练习的难度。

①基本练 习，在刚学完新课之后的单项的、带有模仿性的练习，它可以帮助学生巩固知识，形成正确的认知结构。

②发展练习，在学生已基本掌握了概念和初步形成一定的技能之后的练习，它可以帮助学生形成熟练的技 能技巧。

③综合练习，可以使学生进一步深化概念，提高解题的灵活性，培养学生的数学思维 能力，实现由技能到能力的转化。

（3）要注意引导学生形成概念系统。数学是一门结构性很 强的学科，任何一个数学概念都存在于一定的系统之中，并与其它有关

概念有着区别与联 系。因此在进行运用概念的教学时，要注意引导学生将所获得的每一新概念及时地纳入相应的概念系统，这样新< br>旧概念才能融会贯通，才能真正透彻地理解新概念，才能使相关联的概念形成概念系统。这样做也有利于学 生所获得的概念的保持
与运用，有利于学生概念系统的形成，有利于学生认知系统结构的形成。如在学过 菱形面积计算公式后，可以通过练习，联系正方
体是特殊的菱形，通过类比，可以发现正方形的面积计算 公式可概括为“对角线的平方的一半”。这样就沟通了知识间的内在联系，
巩固了这一类概念的系统知识 。

二、在基本概念教学中，应培养学生做到“五会”即：会理解、会记识、会表达、会比较、 会举例。

1、会理解——理解概念要透彻

要记住数学概念，首先要理解透 彻，不能囫囵吞枣，要求在讲概念时讲清、讲透。对课本上的精练的概念应该字斟句酌，帮助
他们彻底认 清关键性的字眼，逐字逐句理解透彻，力求真正弄懂。

例如：“含有两个未知数，并且未知数 项的次数是1的方程叫二元一次方程”。对这个定义，除了讲清楚“元”与“次”的含义
外，还要抓住“ 项”这个字眼做文章，使学生懂得这个定义如果丢了“项”字，则方程xy＝5也是二元一次方程。

2、会记识——记识概念要深刻

数学概念不仅仅要理解，还要对重要的概念、定理、 定义、数学思想方法进行必要的识记。识记应当在理解的基础上进行，
通过理解来帮助记忆，通过记忆来 加深理解。

教学中教师要指导学生记忆：① 利用顺口溜帮助记忆。如：讲全等三角形的判定 定理时，我编了：“要全等，三条件，至少
要有一条边；如果具有二条边，夹角必须在中间”。纠正了学 生在证三角形全等时常犯的“边边角”推全等的错误。

②数形结合法帮助记忆。如：讲实数的 绝对值时，既讲其代数定义，又讲其几何定义“数轴上表示一个数的点，它到原点的
距离叫做这个数的绝 对值”，让学生看着数轴上的图示记忆这一概念。特别是对于 “三角函数”中的概念、公式，更要充分利用图< br>形帮助学生记忆。如讲基本函数时；利用函数的图象帮助学生记忆其性质等等。

不理解 的记忆是机械记忆，是鹦鹉学舌，当然无用，只会加重学生的负担；但是没有记忆去谈理解掌握，肯定是空话一句 ，
也是不行的。课前预习与课后复习要安排时间让学生熟悉巩固有关的基本概念、定理、定义，必要时要 检查，还要结合新课复习讲
解让学生有一个循环的记忆过程。在例题讲解中，尽可能联系学生已往学过的 概念。在学生稍有遗忘的时候，又刺激记忆，不断加
深印象，使学生真正记住，在需要时能立刻浮现脑际 ，脱口而出。

3、会表述——表述概念要准确

概念形成 之后，应及时让学生用语言表述出来，以加深对概念的印象，促进内化。语言作为思维的物质载体，教师可从学生 的
表述中得到反馈信息，了解、评价学生的思维结果。表述概念可以要求学生用自己的语言叙述，可以不 按课本原文，按一个角度表
达。例如：“如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程”。可以 简述为“有相同的解的方程叫同解方程”。由于数学概
念是用科学的、精练的数学语言概括表达出来的， 它所揭示事物的本质属性必须确定、无矛盾，有根有据和合情合理。因此培养学
生正确的表述概念，能促 进学生思维的深刻性。

如概括分式的基本性质时，学生常常会概述为：“分式的分子与分母同 时乘以（或除以）同一个整式，分式的值不变。”总是忽略整
式不等于零则一关键性的规定，类似的“比 例的基本性质”、“分母有理化”都要防止丢了“零除外”这个条件。又如认识梯形时，
教师从直观的模 型或水坝横截面的形状引入，抽象出图形，然后让学生对大小、形状、位置不同的梯形进行观察、比较、分析，找
出它们的共有本质属性，发现用“只有”就可以说明梯形的另一组对边是不平行的。最后用准确简练的语 言表达为“只有一组对边
平行的四边形叫做梯形”。这样学生在给概念下定义时就会斟字酌句，不随意添 字丢字。通过对重点字词的剖析，体会数学语言的
严谨。学生在组织语言给概念下定义的过程中，既培养 了语言表达能力，也锻炼了思维能力。

4、会比较——比较概念要鉴别

有 比较才有鉴别。许多数学概念相互之间联系密切，讲新概念时，要联系已讲的概念，比较它们之间的异同点。例如 一元一次不等
式与一元一次方程，在“一元”与“一次”上是相同的，不同的是前者含不等号，后者含等 号。对于易混淆的概念的最主要区别要
特别强调。例如多项式与单项式的区别，主要是含不含加减运算； 整式乘法与因式分解的区别，主要是积化和差或和差化积。

5、会举例——运用概念要灵活

在提问数学概念时，有的学生会按课本内容回答得一 字不差，但是要他举个例子，想了半天却举不出来或举错例子，更谈不
上灵活应用了，这说明学生不是真 懂。

先看这样一个例子：学习了“三角形的内切圆”后，让学生试着解决这个问题： “工人师傅要将一块三角形铁片加工成一个圆
形零件。请你帮他设计：如何才能制作最大面积的零件？” 学生分析题意后，发现了此题的实质：要从三角形余料中剪出－个与三
角形三边都相切的内切圆。再让学 生画图验证。由于把枯燥的概念同学生的生活实际结合起来，对概念的理解就更透彻了，还认识
到了数学 的价值，获得了运用知识的能力。

培养学生的实践能力对于提高学生的创造力起着 至关重要的作用。只有积极参与实践，才能发现新问题，提出新见解、新思想、
新方法，才能把握创造的 机会进行成功的创造，提高创新能力。让学生用学到的数学概念解决日常生活中的实际问题，是概念教学
中培养学生的创造性思维的有力手段。

概念的形成是一个由个别到一 般的过程，而概念的运用是一个由一般到个别的过程，它们是学生掌握概念两个阶段。通过运用
概念解决 实际问题，可以加深、丰富和巩固学生对数学概念的掌握，并且在概念的运用过程中培养学生的实践能力。

综上所述，概念教学至关重要，概念教学的模式多种多样，数学概念教学的最终目的不仅仅是使学生 掌握概念本身，而应努力
通过揭示概念的形成、发展和应用的过程，培养学生的辩证唯物主义观念，完善 学生的认知结构，发展学生的思维能力。若在课堂
教学中只要求学生记住它的定义，然后反复练习，这样 做，虽然学生也能理解这部分知识，但实际上是降低了对能力的要求。所以
在教学过程中还应特别注意对 例题和教学方法等方面的选择和改进。例如：应尽可能地使用启研法，即在教师的主导作用下，将
启（启 导）、读（阅读）、研（研究）、讲（精讲）、练（练习），有机地结合起来并贯穿于课堂教学之中，启发诱导学 生去
领会概念，运用概念，从而使他们学到研究数学问题的思想和方法。这样做，有利于提高学生的数学 素质。

为了不断地改进和完善学生的数学认知结构，增强数学意识，让我们在先进的教育教学 理论的指导下，不断优化数学教学策略，
使我们的数学教学任务完成得更加出色。只要我们遵循认识规律 ，注意概念教学的研究与实践，就不难提高数学的教学质量。