学习数学有什么好的方法及常见的数学四大思想,高中数学解题基本方法

学习高中数学有什么好的方法
1掌握好公式定理
（如果这步不做，想学好数学就是在做白日梦，想一
想没有武器的士兵如何去打战。）
不管学数学的目的是为考试，还是兴趣，都要
掌握公式定理这个必备的武器，这样才 能在题目的战
场上施展拳脚。

学习数学时，对于公式定理一般要经历三个过程：
1
认识；○
2
理解；○
3
应用 ○
1
认识：能认出,识别公式定理 ○
2
理解：能明白公式定理的内容及其推导方法，适用○
范围
3
应用：懂得在题目中如何应用公式定理来解题，应○
用什么公式定理来解题
所谓掌握是指是指达到应用水平，

2按时完成作业
（要按时认真完成学校定的配套，这是基本功，想一
想没有训练的士兵如何上得了战场）
适当的训练是培养考试能力必不可少的的途径
（考试能力是指思维能力，做题技巧，得分技巧，做
题速度，答题规范等）

但切忌不要搞题海战术，因为这只对简单的题
有效，稍微改变一下条件就可能蒙了。
（题海战术是指不停的做题，做大量的题，而不进行
必要的总结思考，对错题只做修改而不查找 原因）
而且人的生命是有限的，没有无限的时间做题，只有
总结规律才是王道
（规律即答题的固定步骤，解题的方法等，这可避免
想题时没有方向）

3养成独立思考的习惯
不懂时一定要先自己思考一下，实在不行时再问同学
或老师，
不能一遇到不懂的就立 即问同学老师，这样会使大脑
得不到锻炼，对他人产生依赖，成绩就会不升反降。
（不懂也不能放弃，如果不懂就放弃的话就永远学不
好数学）



4要总结自己的强项和弱项，及时查漏补缺
(即知道考试时什么题目自己能做得又快又准，什 么题
目自己做的出来但较慢，什么题目自己做不出来，并
进行有针对性的练习，
这样考试才不会太紧张）


中学数学的基本知识分三类：
①是纯粹数的知识，如实数、代数式、方程（组）、不等式（组）、
数列等；
②是关于纯粹形的知识，如平面几何、立体几何等；
③是关于数形结合的知识，主要体现是解析几何，函数等
根据这三类来分类自己的强弱项。

形成一套属于自己的学习流程
（学习流程即知道上课前，上课时，上课后该干什么，
在学校，在家里该干什么）





5合理安排考试时的时间
考试时合理安排好答题时间，不要因一道小题而没做
大题，
也不要害怕答大题，往往大题的第一问都较容易，有
时根据条件推出一些简单的结论也能得分
（你可能不知道这些结论有什么用）
掌握几个考试时放松的技巧，防止怯场
平时可自己模拟考试场景练习一下

6要肯脚踏实地的去努力
不要因为一些同学学数学看起来很轻松就认为他们
有秘籍或他们是天才，不用努力。
对于学习有一定的方法（指适合他们自己的方法）的
人，学习初中数学还较轻松
但到了高中就不一定了， 很多初中数学130分以上
的同学，到高中都很少得120分以上， 而一些高一高
二数学不错的同学，到高三时成绩不升反降，出现了
因不重视基础，知识出现漏洞 的现象。
所以只有基础知识扎实，刻苦努力才能学好数
学。



7没有捷径
要明确一点：学数学并没有什么一夜成才的方法
（要是有的话早就在全世界推广了）

8注重课堂
不要盲目的请家教，这可能会浪费课余时间而无效
果，
即使有效果也绝对比不上自己摸索的适合自己的
学习方法，
珍惜课堂上的时间更有意义，你的老师不一定比
家教差。
（这也是为什么学习好的学生不用请家教但学习好
的原因）


可能 你因为不喜欢你的老师而不认真的听课，但
这对老师来说并没有太大伤害，反而是使自己的成绩
变差。
如果觉得你的老师教得不好，可以向班上的尖
子生请教，看看他们是如何听 课学习的，如何在老师
不好的情况下仍保持好成绩。

学好数学的几个建议
1、记数学笔记，
特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师为备
战高考而加的课外知识。
2建立数学纠错本。
把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再
犯。争取做到：找错 、析错、改错、防错。达到：能
从反面入手深入理解正确东西；能由果朔因把错误原
因弄个水落 石出、以便对症下药；解答问题完整、推
理严密。
3、学会总结归类，记忆数学规律和数学小结论。
4①从数学思想分类②从解题方法归类③从知识应用
上分类。





数学解题时是有思想和方法的，绝对不是瞎猫
碰上死耗子，凑巧想到解题方法的.

常见的数学四大思想为：
函数与方程、转化与化归、分类讨论、数形结
合。

函数与方程
函数思想就是用用运动和变化的观点、几何与对应的的思
想，去分析 和研究数学中的的数量关系，建立函数关系或构造函
数，运用函数的图像和性质去分析问题，转化问题， 使问题获得
解决。
方程思想就是分析数学问题中的变量间的等量关系，从而建立方程或方程组或构造方程，通过解方程或方程组，或运用
方程的性质去分析、转化问题，使问 题获得解决。

应用函数与方程思想的几种常见题型是：
遇到变量，构造函数关系解题；
有关的不等式、方程、最小值和最大值之类的问题，用函数观点
加以分析；
含有多个变量的数学问题中，选定合适的主变量，从而揭示其中
的函数关系；
实际应 用问题，翻译成数学语言，建立数学模型和函数关系式，
应用函数性质或不等式等知识解答；
等差、等比数列中，通项公式、前n项和的公式，都可以看成n

的函数，数列问题也可以 用函数方法解决。
解析几何、立体几何中的计算中常需要建立方程组，构造函数关
系来解题；
函数f(x)=(a+bx)
n
(n∈N*)与二项式定理密切相关


方程与函数关系密切，方程问题也可以转换为函数问题来求解，
反之亦然。


设不等式2x－1>m(x
2
－1)对满足|m|≤2的一切实 数m的取值都成立。求x
的取值范围。
【分析】 此问题由于常见的思维定势，易把它看成关 于x的不等式讨论。
然而，若变换一个角度以m为变量，即关于m的一次不等式(x
2
－1)m－(2x－1)<0
在[-2,2]上恒成立的问题。对此的研究，设f(m)＝(x
2
－1)m－(2x－1)，则问题
转化为求一次函数（或常数函数）f(m)的值在[-2, 2]内恒为负值时参数x应该
?
f(2)?0
满足的条件
?
。 f(?2)?0
?
【解】问题可变成关于m的一次不等式：(x
2
－1) m－(2x－1)<0在[-2,2] 恒
成立，设f(m)＝(x
2
－1)m－(2x－1),
2
?
?
f(2)?2(x?1)?(2x?1)?0
则
?

2
?
f(?2)??2(x?1)?(2x?1)?0
?
解得x∈（
7?1
3?1
,）
2
2
【注】 本 题的关键是变换角度，以参数m作为自变量而构造函数式，不等
式问题变成函数在闭区间上的值域问题。 本题有别于关于x的不等式2x－1>m(x
2

－1)的解集是[-2,2]时 求m的值、关于x的不等式2x－1>m(x
2
－1)在[-2,2]上
恒成立时求m 的范围。
一般地，在一个含有多个变量的数学问题中，确定合适的变量和参数，从而揭
示函数 关系，使问题更明朗化。或者含有参数的函数中，将函数自变量作为参
数，而参数作为函数，更具有灵活 性，从而巧妙地解决有关问题。







转化与化归


数学的解题过程，就是从未知向已知、从复杂到简单的化归
转换过程。


转化与化归思想方法的特点是具有灵活性和多样性。它可
以在数与数、形与形、数与形之间进行转换；它 可以在宏观上进
行转化与化归，如在分析和解决实际问题的过程中，普通语言向
数学语言的翻译 ；它可以在符号系统内部实施转化，即所说的恒
等变形。消去法、换元法、数形结合法、求值求范围问题 等等，
都体现了转化与化归的思想，我们更是经常在函数、方程、不等
式之间进行转化与化归。
即把我们遇到的较陌生的问题，通过转化变成我们比较熟悉
的问题来处理；或者将较为繁琐、复 杂的问题，变成比较简单的
问题，比如从超越式到代数式、从无理式到有理式、从分式到整

式…等；或者比较难以解决、比较抽象的问题，转化为比较直观
的问题，以便准确把握问题的 求解过程，比如数形结合法；或者
从非标准型向标准型进行转化。按照这些原则进行数学操作，转
化过程省时省力，有如顺水推舟，经常渗透等价转化思想，可以
提高解题的水平和能力。

转化与化归的基本类型：
1) 正与反、一般与特殊的转换；
2) 常量与变量的转换；
3) 数与形的转换；
4) 数学各分支之间的转换；
5) 相等与不相等之间的转换：
6) 实际问题与数学模型之间的转换。

x
2
y
2
2
2
如： 1.设椭圆
a
＋
b
＝1 （a>b>0）的半焦距为c，直线l过(0,a) 和(b,0)，
221
已知原点到l的距离等于
7
c，则椭圆的离心率为__ ___。
11
3
2
A.
4
B.
2
C.
3
D.
2


221c
22
42
画图分析得ab＝
7
×
a?b
，变形为12(ca)-31(ca)+7=0
不要急于求出a与c的关系，而是根据e=ca得12e－31e＋7＝0，
再解出e，选B；
42

1
1
1
2.若x、y、z∈R
?
且x＋y＋z＝1，求(－1)( －1)( －1)的最小值。 < br>x
z
y
【分析】由已知x＋y＋z＝1而联想到，只有将所求式变形为含代数式 x＋y
＋z，或者运用均值不等式后含xyz的形式。所以，关键是将所求式进行合理的
变形， 即等价转化。
1
1
1
1
【解】(－1)( －1)( －1)＝（1－x）(1－y)(1－z)
x
z
y
xyz
＝
1
1
(1－x－y－z＋xy＋yz＋zx－xyz)＝(xy＋yz＋zx－xyz) < br>xyz
xyz
3
1
11
3
1
＝＋＋－1≥3
3
－1＝－1≥－1＝9
3
x?y?z
xz
y
x yz
xyz
3
【注】对所求式进行等价变换：先通分，再整理分子，最后拆分。将问题 转
1
11
化为求＋＋的最小值，则不难由平均值不等式而进行解决。此题属于代
xz
y
数恒等变形题型，即代数式在形变中保持值不变。



分类讨论


引起分类讨论的原因主要是以下几个方面：
① 问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。
如|a|的定义分a>0、a=0、a<0三种情况。
这种分类讨论题型可以称为概念型。
② 问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或
者条件限制，或者是分类给出的。
如等比数列的前n项和的公式，分q=1和q≠1两种情况。
这种分类讨论题型可以称为性质型。

③ 解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨
论。
如解不等式ax>2时分a>0、a=0和a<0三种情况讨论。
这称为含参型。
另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定
的结论等，都主要通过分类讨论，保证其 完整性，使之具有确定
性。




进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：
分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学 地
划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。
解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：
①要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；
②确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、
分类互斥（没有重复）；
③再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；
④进行归纳小结，综合得出结论。

如：

1.过点P(2,3)，且在坐标轴上的截距相等的直线方程是_____。
A. 3x－2y＝0 B. x＋y－5＝0 C. 3x－2y＝0或x＋y－5＝
0 D.不能确定
分截距等于零、不等于零两种情况，选C。


2.设函数
f(x)=x+bln(x+1)
，其中b≠0。
2
求函数
f(x)
的极值点。
解：
f(x)
在定义域上是增函数， ①当b>
1
时，函数函数无极
2
值点；
②当
b?
1
时，
2
1
2(x?)
2
2
?0
恒成立，
f

(x)?
x?1
∴函数在定义域上单调递增，无极值点；
③当
b?
1
时，
f
2
x
1
?
< br>(x)?0
有两个不同的解
?1?1?2b
2
1
，
x
2
?
?1?1?2b

2
A
显然
?b?0
时，
x
○
??1
，
x
2
?0< br>，即
x
1
?(??,?1),x
2
?(?1,??),

?b?0
时，
f

(x),f(x)
的变化情况如下表：
x

f

(x)

f(x)

(?1,x
2
)

x
2

(x
2
,??)

-
单调递减
0
极小值
+
单调递

增
?b?0
时，由此 表可知：当
f(x),f(x)
有唯一的极小值

点
x
2?
?1?1?2b

2
?
?1?1?2b
??1
，
x
1
,x
2
?(?1,??),

2
B
当
0?b?
1
时，
x
○
2
1
此 时
f

由
表
f(x)


(x),f(x)
的变化情况如下表：
x
1

x

(?1,x
1
)

(x
1
,x
2
)

x
2

(x
2
,??)


f

(x)

+
单调
递增

0
极大
值
-
单调
递减
0
极小
值
1
+
单调
递增
?
?1?1?2b
2
此
可
知： 当
0?b?
1
时，
f(x),f(x)
有一个的极大值点
x
2
，
一个的极小值点
x
2
?
?1?1?2b

2

综上所述：①当
?b?0
时
f
，
(x),f(x)
有唯一的极小值点
x
2
?
?1?1?2b
2
?1?1?2 b
2
②当
0?b?
1
时，
f(x),f(x)
有一个的极大值点
2

x
1
?
，一个的极小值点
x< br>2
?
?1?1?2b

2
f(x)
无极值点 ③当
b?
1
时，函数
2

数形结合

数形结合是一个数学思想方法，包含“以形助 数”和“以
数辅形”两个方面，其应用大致可以分为两种情形：
① 借助形的生动和直观性 来阐明数之间的联系，即以形作为手
段，数为目的，比如应用函数的图像来直观地说明函数的性质；
② 借助于数的精确性和规范严密性来阐明形的某些属性，即
以数作为手段，形作为目的， 如应用曲线的方程来精确地阐明曲
线的几何性质。


数形结合 的思想，其实质是将抽象的数学语言与直观的图
像结合起来，关键是代数问题与图形之间的相互转化，它 可以使
代数问题几何化，几何问题代数化。
在运用数形结合思想分析和解决问题时，要注意三点：
①要彻底明白一些概念和运算的几何意义以及曲线的代数特征，
对数学题目中的
②条件和结论既分析其几何意义又分析其代数意义；
是恰当设参、合理用参，建立关系，由数思形，以形想数，做好
数形转化；
③是正确确定参数的取值范围。

如：

1.如果实数x、 y满足等式(x－2)
2
＋y
2
＝3，那么的最大值是
_____。
1
A.
2
y
x
B.
33
C.
32
D.
3


将求
y
x
的的范围转化为圆上动点与原点连线的斜率范围问
题；选D；



2.若方程lg(－x＋3x－m)＝lg(3－x) 在x∈(0,3)内有唯一解，
求实数m的取值范围。
【分析】将对数方程进行等价变形，转 化为一元二次方程在某个
范围内有实解的问题，再利用二次函数的图像进行解决。

?
3?x?0
y
?
2
【解】 原方程变形为
?
?x?3x?m?3?x

4 y=1-m
?
3?x?0
?
2
(x?2)?1?m

?
即：
2
2
1
O 2 3 x

设曲线y
1
＝(x－2) , x∈(0,3)和直线y
2
＝1－m，图像如图所示。
由图可知：
① 当1－m＝0时，有唯一解，m＝1;
②当1≤1－m<4时，有唯一解，即－3∴ m＝1或－3

此题也可设曲线y
1
＝－(x－2)＋1 , x∈(0,3)和直线y
2
＝m后画
出图像求解。
【注】 一般地，方程的 解、不等式的解集、函数的性质等进行讨
论时，可以借助于函数的图像直观解决，简单明了。此题也可用 代数
方法来讨论方程的解的情况，还可用分离参数法来求（也注意结合图
像分析只一个x值）。
2









高中数学解题基本方法

① 常用数学方法：配方法、换元法、待定系数法、数学
归纳法、参数法、消去法等；
② 数学逻辑方法：分析法、综合法、反证法、归纳法、
演绎法等；

③
数学思维方法：观察与分析、概括与抽象、分析与综
合、特殊与一般、类比、归纳和演绎等；




配方法
配方法是对数学式子进行一种定向变形（配成“完全平方”）
的技 巧，通过配方找到已知和未知的联系，从而化繁为简。何时
配方，需要我们适当预测，并且合理运用“裂 项”与“添项”、
“配”与“凑”的技巧，从而完成配方。有时也将其称为“凑配
法”。
最常见的配方是进行恒等变形，使数学式子出现完全平方。
它主要适用于：已知或者 未知中含有二次方程、二次不等式、二
次函数、二次代数式的讨论与求解，或者缺xy项的二次曲线的< br>平移变换等问题。
配方法使用的最基本的配方依据：
二项完全平方公式(a＋b)＝a＋2ab＋b，
将这个公式灵活运用，可得到各种基本配方形式，如：
a＋b＝(a＋b)－2ab＝(a－b)＋2ab；
b
2222
a＋ab ＋b＝(a＋b)－ab＝(a－b)＋3ab＝(a＋
2
1
222
a＋b＋ c＋ab＋bc＋ca＝
2
2222
22
2222
222
) ＋（
2
2
3
2
b）；
2
[(a＋b)＋(b＋c)＋(c＋a)]
2
a＋b＋c＝(a＋b＋c )－2(ab＋bc＋ca)＝(a＋b－c)－2(ab－

bc－ca)＝?
结合其它数学知识和性质，相应有另外的一些配方形式，如：
1＋sin2α＝1＋2sinαcosα＝（sinα＋cosα）
2
；
1
2
x
2
＋
x
1
＝(x＋
x
1< br>)
2
－2＝(x－
x
)
2
＋2 ；?? 等等。



换元法
换元法又称辅助元素法、变量代换法。解数学题时，把
某个式子看成一个整体，用一个变量去代替它，从 而使问题得到
简化，这叫换元法。
换元的实质是转化，关键是构造元和设元，
理论依据：等量代换；
目的：变换研究对象，将问题移至新对象的知识背景中去研究，
从而使非标准型问题标准化、复杂问题简单化，变得容易处理。
它可以化高次为低次、化分式 为整式、化无理式为有理式、
化超越式为代数式，在研究方程、不等式、函数、数列、三角等
问 题中有广泛的应用。
换元的方法有：局部换元、三角换元、均值换元等。
局部换元又 称整体换元，是在已知或者未知中，某个代数式几次
出现，而用一个字母来代替它从而简化问题，当然有 时候要通过
变形才能发现。
例如：解不等式：4＋2－2≥0，先变形为（2）
2< br>+2－2≥0
xxxx

再设2
x
＝t（t>0），而变 为熟悉的一元二次不等式求解和指数方
程的问题。
三角换元，应用于去根号，或者变换为三角 形式易求时，主要利
用已知代数式中与三角知识中有某点联系进行换元。
如：求函数y＝
x
＋
1?x
的值域时，易发现x∈[0,1]，
设x＝sin
2
α ，α
?
∈[0,
2
]，问题变 成了熟悉的求三角函数值域。
为什么会想到如此设，其中主要应该是发现值域的联系，又有去
根 号的需要。
如变量x、y适合条件x
2
＋y
2
＝r
2（r>0）时，则可作三角代换x
＝rcosθ、y＝rsinθ化为三角问题。
均值换元，如遇到x＋y＝S形式时，设

我们使用换元法时，要遵循有利于运算、有 利于标准化的原则，
换元后要注重新变量范围的选取，一定要使新变量范围对应于原
变量的取值 范围，不能缩小也不能扩大。
如上几例中的t>0和α



?
∈[0,
2
]。
S
x＝
2
S
＋t，y＝
2
－t等等。
待定系数法

要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，
其理论依据：多项式恒等，也就是利用了 多项式f(x)
?
g(x)
的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)
?
g(a)；或者两
个多项式各同类项的系数对应相等。
待定系数法解题的 关键是依据已知，正确列出等式或方
程。使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，
要判断一个问题是否用待定系数法求解，主 要是看所求解
的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以
用待定系数法求解 。
例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、
解析几何中求曲线方程等，这些 问题都具有确定的数学表达形
式，所以都可以用待定系数法求解。
使用待定系数法，它解题的基本步骤是：
第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式；
第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程；
第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。
如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分
析：
① 利用对应系数相等列方程；
② 由恒等的概念用数值代入法列方程；

③ 利用定义本身的属性列方程；
④ 利用几何条件列方程。

比如在求圆锥曲线的方 程时，我们可以用待定系数法求方程：
首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；
再把几 何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；
最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，
并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的
方程。

1. 二次不等式ax
2
＋bx＋2>0的解集是(－,)，则a＋b的值是
_____。
A. 10 B. －10 C. 14 D. －14
由 不等式解集(－,)，可知－、是方程ax
2
＋bx＋2＝0的两根，
代入两根，列出 关于系数a、b的方程组，易求得a＋b，选D

1
2
1
3
1
2
1
3
1
2
1
3





定义法
所谓定义法，就是直接用数学定义解题。
数学中的定理、公式、性质和法则等，都是由定义和公理推演 出

来。定义是揭示概念内涵的逻辑方法，它通过指出概念所反映的
事物的本质属 性来明确概念。
定义是千百次实践后的必然结果。
它科学地反映和揭示了客观世界的事物的本质特点。
简单地说，定义是基本概念对数学实体的高度抽象。用定义法解
题，是最直接的方法。
5
x
2
y
2
如：
椭圆＋＝1上有一点P，它到左准线的距 离为，那么P点到右焦点的距离
2
25
9
为_____。
75
A. 8 C. 7.5 C. D. 3 < br>4
|PF
左
|
4
5
利用椭圆的第二定义得到
2
＝e＝
5
，又由第一定义选A；






数学归纳法
归纳是一种有特殊事例导出一般原理的思维方法。
归纳推理分完全归纳推理与不完全归纳推理两种。
不完全归纳推理只根据一类事物中的部分 对象具有的共同
性质，推断该类事物全体都具有的性质，这种推理方法，在数学
推理论证中是不 允许的。

完全归纳推理是在考察了一类事物的全部对象后归纳得出结论
来。
数学归纳法是用来证明某些与自然数有关的数学命题的
一种推理方法，在解数学题中有着广泛的应用。
它是一个递推的数学论证方法。
论证的第一步：证明命题在n＝1(或n
0
)时成立，这是递推的基
础； < br>第二步：假设在n＝k时命题成立，再证明n＝k＋1时命题也成
立，这是无限递推下去的理论依 据，它判断命题的正确性能否由
特殊推广到一般，实际上它使命题的正确性突破了有限，达到无
限。
这两个步骤密切相关，缺一不可，完成了这两步，就可以断定“对
任何自然数（或n≥n
0
且n∈N）结论都正确”。
由这两步可以看出，数学归纳法是由递推实现归纳的，属于完全
归纳。
运 用数学归纳法证明问题时，关键是n＝k＋1时命题成立
的推证，此步证明要具有目标意识，注意与最终 要达到的解题目
标进行分析比较，以此确定和调控解题的方向，使差异逐步减小，
最终实现目标 完成解题。
运用数学归纳法，可以证明下列问题：与自然数n有关的恒等式、
代数不等式、三 角不等式、数列问题、几何问题、整除性问题等
等。

如：已知数列
8 ·n
8·1
，得，?，，?。S
n
为其前n项和，
1
2·3
2
(2n?1)
2
·(2n?1)
2
求S
1
、S
2
、S
3
、S
4
，推测S
n
公式，并用数学归纳法证明。 （93年全国理）
80
2448
8
【解】 计算得S
1
＝，S
2
＝，S
3
＝，S
4
＝ ，
9
2549
81
(2n?1)
2
?1
猜测S
n
＝ (n∈N)。
(2n?1)
2
当n＝1时，等式显然成立；
(2k?1)
2?1
假设当n＝k时等式成立，即：S
k
＝，
(2k?1)
2
8·(k?1)
当n＝k＋1时，S
k?1
＝S
k
＋ (2k?1)
2
·(2k?3)
2
8·(k?1)
(2k?1)
2
?1
＝＋
(2k?1)
2
·(2k?3)
2< br>(2k?1)
2
(2k?1)
2
?(2k?3)
2
? (2k?3)
2
?8·(k?1)
＝
22
(2k?1)·(2k? 3)
(2k?3)
2
?1
(2k?1)
2
?(2k?3)< br>2
?(2k?1)
2
＝＝,
2
22
(2k?3)< br>(2k?1)·(2k?3)
由此可知，当n＝k＋1时等式也成立。
综上所述，等式对任何n∈N都成立。
(2k?3)
2
?1
【注】 把要证的等式S
k?1
＝作为目标，先通分使分母含有(2k
(2k?3)
2
＋3)
2
，再考虑要约分，而将分子变形，并注意约分后得到（2k＋3）
2
－1。这
样证题过程中简洁一些，有效地确定了证题的方向。本题的思路是从试验、观
察出发，用不完全归纳法作出归纳猜想，再用数学归纳法进行严格证明，这是
关于探索性问题的常见证法 ，在数列问题中经常见到。 假如猜想后不用数学归
纳法证明，结论不一定正确，即使正确，解答过程也 不严密。必须要进行三步：
试值 → 猜想 → 证明。

参数法
参数法是指在解题过程中，通过适当引入一些与题目
研究的数学对象发生联 系的新变量（参数），以此作为媒介，再
进行分析和综合，从而解决问题。
直线与二次曲线的参数方程都是用参数法解题的例证。
换元法也是引入参数的典型例子。
参数法解题的关键是恰到好处地引进参数，沟通已知和未知之间
的内在联系，利用参数提供的信 息，顺利地解答问题。



x
2
y
2
如：椭圆
16
＋
4
＝1上的点到直线x＋2y－
2
＝0的最 大距离是_____。
A. 3 B.
11
C.
10
D. 2
2


|4sin< br>?
?4cos
?
?2|
5
设x＝4sinα、y＝2cosα ，再求d＝的最大值，选C。





除了基本方法外，还有一些针对具体题型的方法，注意
总结归纳

如：
求取值范围有三种方法：
①列不等式求解：②建立函数关系；③数形结合。

求恒成立问题的四种思路：
①建立函数关系；②分离变量；③变换主元；④数形结合




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