初高中衔接全套资料(含初高中数学的却别与衔接的必要性)

数 学
目录
阅读材料：
1）高中数学与初中数学的联系
2）如何学好高中数学
3）熟知高中数学特点是高一数学学习关键
4）高中数学学习方法和特点
5）怎样培养好对学习的良好的习惯？
第一课: 绝对值
第二课: 乘法公式
第三课: 二次根式（1）
第四课: 二次根式（2）
第五课: 分式
第六课: 分解因式（1）
第七课: 分解因式（2）
第八课: 根的判别式
第九课: 根与系数的关系（韦达定理）（1）
第十课: 根与系数的关系（韦达定理）（2）
－1－

第十一课: 二次函数y＝ax2＋bx＋c的图像和性质
第十二课: 二次函数的三种表示方式
第十三课: 二次函数的简单应用
第十四课：分段函数
第十五课: 二元二次方程组解法
第十六课: 一元二次不等式解法（1）
第十七课: 一元二次不等式解法（2）
第十八课: 国际数学大师陈省身
第十九课: 中华民族是一个具有灿烂文化和悠久历史的民族
第二十课: 方差在实际生活中的应用
第二十一课: 平行线分线段成比例定理
第二十二课：相似形
第二十三课：三角形的四心
第二十四课：几种特殊的三角形
第二十五课：圆
第二十六课：点的轨迹
－2－

1.高中数学与初中数学的联系
同学们，首先祝贺你们进入高中数学殿堂继续 学习。在经历了三年的初中数学学习后，大家对数学有了
一定的了解，对数学思维有了一定的雏形，在对 问题的分析方法和解决能力上得到了一定的训练。这也是我
们继续高中数学学习的基础。
良好的开端是成功的一半，高中数学课即将开始与初中知识有联系，但比初中
数学知识系统。高一数 学中我们将学习函数，函数是高中数学的重点，它在高中数学中是起着提纲的作用，
它融汇在整个高中数 学知识中，其中有数学中重要的数学思想方法；如：函数与方程思想、数形结合思想、
分类讨论思想、等 价转化思想等，它也是高考的重点，近年来，高考压轴题都以函数题为考察方法的。高考
题中与函数思想 方法有关的习题占整个试题的60%以上。
1、 有良好的学习兴趣
两千多年前孔子说过 ：“知之者不如好之者，好之者不如乐之者。”意思说，干一件事，知道它，了解它
不如爱好它，爱好它 不如乐在其中。“好”和“乐”就是愿意学，喜欢学，这就是兴趣。兴趣是最好的老师，
有兴趣才能产生 爱好，爱好它就要去实践它，达到乐在其中，有兴趣才会形成学习的主动性和积极性。在数
学学习中，我 们把这种从自发的感性的乐趣出发上升为自觉的理性的“认识”过程，这自然会变为立志学好
数学，成为 数学学习的成功者。那么如何才能建立好的学习数学兴趣呢？
（1）课前预习，对所学知识产生疑问，产生好奇心。
（2）听课中要配合老师讲课，满足感 官的兴奋性。听课中重点解决预习中疑问，把老师课堂的提问、
停顿、教具和模型的演示都视为欣赏音乐 ，及时回答老师课堂提问，培养思考与老师同步性，提高精神，把
老师对你的提问的评价，变为鞭策学习 的动力。
（3）思考问题注意归纳，挖掘你学习的潜力。
（4）听课中注意老师讲解时的数学思想，多问为什么要这样思考，这样的方法怎样是产生的？
（5）把概念回归自然。所有学科都是从实际问题中产生归纳的，数学概念也回归于现实生活，如角
的概 念、直角坐标系的产生都是从实际生活中抽象出来的。只有回归现实才能使对概念的理解切实可靠，在
应 用概念判断、推理时会准确。
2、 建立良好的学习数学习惯。
习惯是经过重复练习而 巩固下来的稳重持久的条件反射和自然需要。建立良好的学习数学习惯，会使自
己学习感到有序而轻松。 高中数学的良好习惯应是：多质疑、勤思考、好动手、重归纳、注意应用。学生在
学习数学的过程中，要 把教师所传授的知识翻译成为自己的特殊语言，并永久记忆在自己的脑海中。另外还
要保证每天有一定的 自学时间，以便加宽知识面和培养自己再学习能力。
3、 有意识培养自己的各方面能力
数学能力包括：逻辑推理能力、抽象思维能力、计算能力、空间想象能力和分析解决问题能力共五大能
力。这些能力是在不同的数学学习环境中得到培养的。在平时学习中要注意开发不同的学习场所，参与一切
有益的学习实践活动，如数学第二课堂、数学竞赛、智力竞赛等活动。平时注意观察，比如，空间想象能力是通过实例净化思维，把空间中的实体高度抽象在大脑中，并在大脑中进行分析推理。其它能力的培养都必< br>须学习、理解、训练、应用中得到发展。特别是，教师为了培养这些能力，会精心设计“智力课”和“智力
问题”比如对习题的解答时的一题多解、举一反三的训练归类，应用模型、电脑等多媒体教学等，都是为 数
学能力的培养开设的好课型，在这些课型中，学生务必要用全身心投入、全方位智力参与，最终达到自 己各
方面能力的全面发展。

－3－

2.如何学好高中数学
有许多初中阶段数学成绩很好的学生，升入高中后，感 觉数学学习困难，他们在做习题或课外练习时，
常常感到茫然，不知从何下手，因而，一个阶段后，数学 成绩出现了严重的滑坡现象。出现这种现象的主要
原因是什么呢？根据我多年的教学实践，主要是以下几 个方面的原因：
教材的原因：初中数学教材，多数知识点与学生日常生活实际贴近，且初中教材遵循 从感性认识上升到
理性认识的规律，叙述方法比较简单，语言通俗易懂，直观性、趣味性强，结论容易记 忆，应试效果也比较
理想。 因而，学生一般容易接受、理解和掌握。相对而言，高中数学概念抽象，逻 辑性强，教材叙述比较严
谨、规范，知识难度加大，抽象思维和空间想象能力明显提高，且习题类型多， 解题技巧灵活多变，计算相
对复杂，体现了“起点高、难度大、容量多”的特点。这一变化，不可避免地 造成了部分学生不适应高中数
学学习，进而影响成绩的提高。
教法的原因：初中 数学内容少，知识难度不大，教学要求较低，因而教学进度较慢，对于某些重点、难
点，教师可以有充裕 的时间反复讲解、多次演练，来弥补不足。但是进入高中后，数学教材内涵丰富，教学
要求不断提高，教 学进度相应加快，知识的重点和难点也不可能象初中那样通过反复强调来排难释疑，且高
中教学往往通过 设导、设问、设陷、设变，启发引导，开拓思路，然后由学生自己思考、去解答，比较注意
知识的发生过 程，倾重对学生思想方法的渗透和思维品质的培养。这使得刚入高中的部分学生不适应教学方
法，听课时 存在思维障碍，跟不上教师的思维，从而产生学习障碍，影响数学的学习。
学法的原因：在初中， 部分学生习惯于围着教师转，独立思考和对规律进行归纳总结的能力较差，满足
于知识的接受，缺乏学习 的主动性。而到了高中，数学学习要求学生勤于思考，善于归纳总结规律，掌握数
学思维方法，做到举一 反三，触类旁通。但是，刚入学的高一新生，往往沿用初中时的学法，致使学习出现
困难，甚至完成当天 作业都有困难，更谈不上复习、总结等自我消化、自我调整了。
其它原因：学生学习数学的情感、兴 趣、性格、意志品质的优劣、学习目的和学习态度如何，在某种意
义上也能影响高一学生数学学习。
针对以上影响数学学习的原因，同学们应当怎样弥补这些不足呢？下面从高中学生数学学习的几个常规< br>步骤方面谈一谈：
透彻领悟所学知识：高中数学的理论性、抽象性强，这就需要学生在知识的 理解上下大功夫，不仅要弄
清数学概念的实质，还要弄清概念的背景及其与其它概念的联系。例如初三学 生都会解一元二次方程，我曾
在高一新生中做过这种调查：为什么一元二次方程在△≥0时有根？答对率 不到15％，说明了什么？学生对
一元二次方程这个概念理解不透彻，相关知识缺乏联系。
科学地对待预习：对于一部分数学基础不太理想的同学，我主张课前预习。正确的方法是先不打开书，
设 想这节课的内容、结构，然后打开书；看到要对某个概念进行定义，马上盖上书，自己试着定义一下；看
到一个定理的第一句叙述，再盖上书自己猜想他的结论；看到一个公式时，也是这样。看到例题时，先不要
看解法，自己先在纸上把它做一遍，再与书上的解法进行比较、思考……这样的预习，无论对知识的掌握，还是对思维的训练，都是有益的。
对于数学基础较好，思维反应敏锐的同学，我不主张课前预习 。因为通过预习已经知道了课上要讲的内
容、结论、推导过程、例题解法等，那么，课堂上还谈何“超前 思维、真正做课堂的主人、在思维运动中训
练思维呢？”这白白浪费了课堂上发展自己智力素质的机会。
提高听课效率：高中学习期间，学生在课堂的时间占了一大部分。因此听课效率如何，决定着学习的效< br>果。我认为，提高听课效率应注意以下几个方面：
－4－

< br>首先应做好课前的物质准备和精神准备，上课时不至于出现书、本等物丢三落四的现象；上课前也不应做过于激烈的体育运动，以免上课后还气喘嘘嘘，不能平静下来。
其次就是听课。听课，重要的 不是“听”，而是“想”。听是前提，随之是积极地思维。要全身心地投入
课堂学习，做到耳到、眼到、 心到、口到、手到。
耳到：就是专心听讲，听老师如何讲课，如何分析，如何归纳总结，另外，还要 听同学们的答问，看是
否对自己有所启发。
眼到：就是在听讲的同时看课本和板书，看老师 讲课的表情，手势和演示实验的动作，生动而深刻的接
受老师所要表达的思想。
心到：就是用心思考，跟上老师的教学思路，分析老师是如何抓住重点，解决疑难的。
口到：就是在老师的指导下，主动回答问题或参加讨论。
手到：就是在听、看、想、说的基 础上划出教材的重点，记下讲课的要点以及自己的感受或有创新思维
的见解。将听课中的要点、思维方法 等作出简单扼要的记录，以便复习，消化，思考。
总之，“自己动手”的课堂听讲，是最科学的。
重视复习和总结：
1、及时做好复习. 听完课的当天，必须做好当天的复习。
复习的有效方法不是一遍遍地看书或笔记，而是采取回忆式的复习：先把书、笔记合起来，回忆上课时< br>老师讲的内容，分析问题的思路、方法等（也可边想边在草稿本上写一写），尽量想得完整些。然后打开笔 记
与书本，对照一下还有哪些没记清的，把它补起来，就能使当天上课内容巩固下来，同时也检查了当天 课堂
听课的效果如何，也为改进听课方法及提高听课效果提出必要的改进措施。
2、做好单元复习。 学习一个单元后应进行阶段复习，复习方法同及时复习一样，采取回忆式复习 ，
而后与书、笔记相对照，使其内容完善，而后应做好单元小节。
3、做好单元小结。 单元小结内容应包括以下部分：
（1）本单元（章）的知识网络；
（2）本章的基本思想与方法（应以典型例题形式将其表达出来）；
（3）自我体 会：对本章内，自己做错的典型问题应有记载，分析其原因及正确答案，应记录下来本章
你觉得最有价值 的思想方法或例题，以及你还存在的未解决的问题，以便今后将其补上。
做适量的练习题：有不少同 学把提高数学成绩的希望寄托在大量做题上，这是不妥当的。事实上，要提
高数学成绩，重要的不在做题 多，而在于做题的效益要高。做题的目的在于检查你学的知识，方法是否掌握
得很好。如果你掌握得不准 ，甚至有偏差，那么多做题的结果，反而加深了你的缺欠，因此，在准确地把握
住基本知识和方法的基础 上，做一定量的练习是必要的。而对于中档题，尢其要讲究做题的效益，即做题后
有多大收获，这就需要 在做题后进行一定的“反思”，思考一下本题所用的基础知识，数学思想方法是什么，
为什么要这样想， 是否还有别的想法和解法，本题的分析方法与解法，在解其它问题时，是否也用到过，把
它们联系起来， 你就会得到更多的经验和教训，更重要的是养成善于思考的好习惯，这将大大有利于你今后
的学习。当然 没有一定量（老师布置的作业量）的练习是不能形成技能的。
另外，无论是作业还是测验，都应把准 确性放在第一位，通法放在第一位，而不是一味地去追求速度或
技巧，这也是学好数学的重要方面。
课外要自学、研究：课外自学与研究的目的是扩大知识面，开阔眼界，进一步提高应用所学知识解决问< br>题的能力。课外自学的范围不宜过大，应该围绕所学的教材进度看一些课外参考书及数学杂志，作一些较新
鲜或难度较大的习题。课外自学应该是有计划地有节制地进行，不要因小失大，更不要影响其它学科的学 习。
－5－

在课外自学的过程中，发现一些新颖而有价值的习题、一些好的思维方法与解题方法 ， 应该记下来，以便进
一步学习掌握。基础较好，分析能力较强的学生，可以选一、二个专题，深入进行探 讨和研究，把研究结果
写成论文，用以培养和锻炼自己的思维能力。基础不太好、分析能力一般的学生， 应该经常和基础好、分析
能力强的同学在一起研究、探讨一些数学问题，从中学习他们好的数学思维方法 。
方法是学好数学的必要条件。另外，还要记住两句话;“对一切来说，只有热爱才是最好的老师” 、“书山
有路勤为径，学海无涯苦做舟”。有了兴趣，有了方法，再有勤奋的精神，我相信，每一个有志 同学一定能学
好高中数学。
3.熟知高中数学特点是高一数学学习关键
一、高中数学与初中数学特点的变化。
1、数学语言在抽象程度上突变。
不少学生 反映，集合、映射等概念难以理解，觉得离生活很远，似乎很“玄”。确实，初、高中的数学
语言有着显 著的区别。初中的数学主要是以形象、通俗的语言方式进行表达。而高一数学一下子就触及抽象
的集合语 言、逻辑运算语言以及以后要学习到的函数语言、空间立体几何等。
2、思维方法向理性层次跃迁。
高一学生产生数学学习障碍的另一个原因是高中数学思维方法与初中阶段大不相同。初中阶段，很多老< br>师为学生将各种题建立了统一的思维模式，如解分式方程分几步，因式分解先看什么，再看什么，即使是思
维非常灵活的平面几何问题，也对线段相等、角相等……分别确定了各自的思维套路。因此，初中学习中 习
惯于这种机械的，便于操作的定势方式，而高中数学在思维形式上产生了很大的变化，正如上节所述， 数学
语言的抽象化对思维能力提出了高要求。当然，能力的发展是渐进的，不是一朝一夕的事，这种能力 要求的
突变使很多高一新生感到不适应，故而导致成绩下降。高一新生一定要能从经验型抽象思维向理论 型抽象思
维过渡，最后还需初步形成辩证形思维。
3、知识内容剧增
初中数学知识 少、浅、难度容易、知识面笮。高中数学知识广泛，将对初中的数学知识推广和引伸，也
是对初中数学知 识的完善。如：初中学习的角的概念只是“0—180°”范围内的，但实际当中也有720°和“—
3 60°等角，为此，高中将把角的概念推广到任意角，可表示包括正、负在内的所有大小角。又如：高中要学习《立体几何》，将在三维空间中求一些几何实体的体积和表面积；还将学习“排列组合”知识，以便解决排
队方法种数等问题。如：①三个人排成一行，有几种排队方法，（答：=6种）；②四人进行乒乓球双打 比赛，
有几种比赛场次？（答：=3种）高中将学习统计这些排列的数学方法。初中中对一个负数开平方 无意义，但
在高中规定了i=-1,就使-1的平方根为±i.即可把数的概念进行推广，使数的概念扩 大到复数范围等。这些知
识同学们在以后的学习中将逐渐学习到。
二、不良的学习状态。
1、学习习惯因依赖心理而滞后。
初中生在学习上的依赖心理是很明显的。第一，为提高分数 ，初中数学教学中教师将各种题型都一一罗
列，学生依赖于教师为其提供套用的“模子”；第二，家长望 子成龙心切，回家后辅导也是常事。升入高中后，
教师的教学方法变了，套用的“模子”没有了，家长辅 导的能力也跟不上了，由“参与学习”转入“督促学
习”。许多同学进入高中后，还象初中那样，有很强 的依赖心理，跟随老师惯性运转，没有掌握学习的主动权。
表现在不定计划，坐等上课，课前没有预习， 对老师要上课的内容不了解，上课忙于记笔记，没听到“门道”，
不会巩固所学的知识。
－6－

2、学不得法。老师上课一般都要讲清知识的来龙去脉 ，剖析概念的内涵，分析重点难点，突出思想方
法。而一部分同学上课没能专心听课，对要点没听到或听 不全，笔记记了一大本，问题也有一大堆，课后又
不能及时巩固、总结、寻找知识间的联系，只是赶做作 业，乱套题型，对概念、法则、公式、定理一知半解，
机械模仿，死记硬背，还有些同学晚上加班加点， 白天无精打采，或是上课根本不听，自己另搞一套，结果
是事倍功半，收效甚微。
3、进一步 学习条件不具备。高中数学与初中数学相比，知识的深度、广度，能力要求都是一次飞跃。
这就要求必须 掌握基础知识与技能为进一步学习作好准备。高中数学很多地方难度大、方法新、分析能力要
求高。如二 次函数值的求法，实根分布与参变量的讨论，三角公式的变形与灵活运用，空间概念的形成，排
列组合应 用题及实际应用问题等。有的内容还是初中教材都不讲的脱节内容，如不采取补救措施，查缺补漏，
就必 然会跟不上高中学习的要求。
三、学习数学的几种方法
1、记数学笔记，特别是对概念理解的不同侧面和数学规律，教师为备战高考而加的课外知识。
2、建立数学纠错本。把平时容易出现错误的知识或推理记载下来，以防再犯。争取做到：找错、析错、
改错、防错。达到：能从反面入手深入理解正确东西；能由果朔因把错误原因弄个水落石出、以便对症下药；< br>解答问题完整、推理严密。
3、记忆数学规律和数学小结论。
4、与同学建立好关系，争做“小老师”，形成数学学习“互助组”。
5、争做数学课外题，加大自学力度。
6、反复巩固，消灭前学后忘。
7、学会总结归类。可：
①从数学思想分类②从解题方法归类③从知识应用上分类
4.高中数学学习方法和特点

回忆初中阶段所学的全部平面几何的内容及代数中的有 理数、多项式、二次根式、方程、不等式和函数
等，不仅在知识上而且在数学能力上已经作好了高中继续 学习的准备。只要认清高中数学的特点，并促使自
己适应这些特点，那么学好高中数学是完全可能的。高 中数学的特点概括地说，有以下三点。
1、知识的抽象性大
在初中学习的“函数”的基础上 ，高一又要学习“集合”、“对应”、“映射”等更为抽象的知识。高一的立体几何
也削弱了直观性而突 出了抽象性和空间的想象能力。这就是说思维要从直观，经验型向抽象，理论型过渡。
2、知识的密度增大
由于年龄的增长，接受能力、理解能力也在提高。同时高中数学教材的内 容多而杂，这就决定了高中数学每节课
的内容较初中时要多，即密度加大了。教师在教法上也随之有所变 化。初中时教师常常把知识掰开揉碎地细讲，同时还
选相当数量的习题去巩固这一知识；而在高中却常常 是在新知识的开始阶段，例题即有一定的坡度。尤其强调知识的“以
旧带新”和“横向，纵向的沟通、联 系”。一节课下来，似乎是听懂了，但一遇到作业常常感到知识的运用不熟练，思
路不通畅。似乎总感到 新知识没有完全掌握，更新的知识又接踵而来。
3、知识的独立性大
初中知识的系统性是较 严谨的，平面几何尤其如此，这个系统给我们学习带来了很大的方便。因为它便
于记忆，又适合于知识的 提取和使用。因此，平面几何的知识使人长久不忘，记得清，用得上。但高中的数
学却不同了，除了立体 几何、解析几何有个相对明确的系统（与平面几何相比也不成体统），代数、三角的内
－7－

容具有相对的独立性。因此，注意它们内部的小系统和各系统之间的联系成了学习时必须 花力气的着力点，
否则，综合运用知识的能力必然会欠缺。
高一数学成绩下降的原因分析及对策
初中毕业生以较高的数学成绩升入高中后，不适应高中数 学教学，相当多的高一学生数学不及格，出现
了严重的两极分化，少数学生甚至对学习失去了信心。前几 年，不少学校受高考指挥棒的影响，只注重升学
率而忽视了合格率。现在高中搞会考制，上述问题引起了 各校足够的重视。本文对高一数学成绩大面积下降
谈谈造成的原因及应采取的对策。
一、高一数学成绩大面积下降的原因
１．初、高中教材间梯度过大。
初中教材偏重 于实数集内的运算，缺少对概念的严格定义或对概念的定义不全，如函数的定义，三角函
数的定义就是如 此；对不少数学定理没有严格论证，或用公理形式给出而回避了证明，比如不等式的许多性
质就是这样处 理的；教材坡度较缓，直观性强，对每一个概念都配备了足够的例题和习题。而高一教材第一
章就是集合 、映射等近世代数知识，紧接着就是幂函数的分类问题（在幂函数中，由于指数不同，具有不同
的性质和 图象）。函数单调性的证明又是一个难点，立体几何对空间想象能力的要求又很高。教材概念多、符
号多 、定义严格，论证要求又高，高一新生学起来相当困难。此外，内容也多，每节课容量远大于初中数学。
这些都是高一数学成绩大面积下降的客观原因。
２．高一新生普遍不适应高中数学教师的教学方法。
高一学生普遍反映数学课能听懂但作业不会做。不少学生说，平时自认为学得不错，考试成绩就是上不< br>去，追究其原因是初中教师重视直观、形象教学，老师每讲完一道例题后，都要布置相应的练习，学生到黑
板表演的机会相当多。为了提高合格率，不少初中教师把题型分类，让学生死记解题方法和步骤。在初三 ，
重点题目反复做过多次。而高中教师在授课时强调数学思想和方法，注重举一反三，在严格的论证和推 理上
下功夫。又由于高中搞小循环，接高一课程的教师刚带完高三，他们往往用高三复习时应达到的难度 来对待
高一教学。因此造成初、高中教师教学方法上的巨大差距，中间又缺乏过渡过程，至使高中新生普 遍适应不
了高中教师的教学方法。
３．高一学生的学习方法不适应高中数学学习。
高一学生在初中三年已形成了固定的学习方法和学习习惯。他们上课注意听讲，尽力完成老师布置的作
业 。但课堂上满足于听，没有做笔记的习惯，缺乏积极思维；遇到难题不是动脑子思考，而是希望老师讲解
整个解题过程；不会科学地安排时间，缺乏自学、看书的能力，还有些学生考上了高中后，认为可以松口气
了，放松了对自己的要求。上述的学习方法，不适应高中阶段的正常学习。
二、搞好高一数学教学的对策及方法
针对上述问题，笔者认为要想大面积提高高一数学成绩，应采取如下措施。
１．高一教师要钻研初中大纲和教材。
高中教师应听初中数学课，了解初中教师的授课特点。 开学初，要通过摸底测验和开学生座谈会，了解
学生掌握知识的程度和学生的学习习惯。在摸清三个底（ 初中知识体系，初中教师授课特点，学生状况）的
前提下，根据高一教材和大纲，制订出相当的教学计划 ，确定应采取的教学方法，做到有的放矢。
２．新高一要放慢进度，降低难度，注意教学内容和方法的衔接。
根据实践，新高一第一章课 时数要增加。要加强基本概念、基础知识的教学。教学时注意形象、直观。
如讲映射时可举“某班５０名 学生安排到５０张单人桌上的分配方法”等直观例子，为引人映射概念创造阶
－8－
< /p>

梯。由于新高一学生缺乏严格的论证能力，所以证明函数单调性时可进行系列训练，开始时 可搞模仿性的证
明。要增加学生到黑板上演练的次数，从而及时发现问题，解决问题，章节考试难度不能 大。通过上述方法，
降低教材难度，提高学生的可接受性，增强学生学习信心，让学生逐步适应高中数学 的正常教学。
３．严格要求，打好基础。
开学第一节课，教师就应对学习的五大环节提出具 体、可行要求。如：作业的规范化，独立完成，订正
错题等等。对学生在学习上存在的弊病，应限期改正 。严格要求贵在持之以恒，贯穿在学生学习的全过程，
成为学生的习惯。考试的密度要增加，如第一章可 分为三块进行教学，每讲完一块都要复习、测验及格率不
到７０％应重新复习、测验，课前５分钟小题测 验，应经常化，用以督促、检查、巩固所学知识。实践表明，
教好课与严要求，是提高教学质量的主要环 节。
４．指导学生改进学习方法。
良好的学习方法和习惯，不但是高中阶段学习上的需要， 还会使学生受益终生。但好的学习方法和习惯，
一方面需教师的指导，另一方面也靠老师的强求。教师应 向学生介绍高中数学特点，进行学习方法的专题讲
座，帮助学生制订学习计划。这里，重点是会听课和合 理安排时间。听课时要动脑、动笔、动口，参与知识
的形成过程，而不是只记结论。教师应有针对性地向 学生推荐课外辅导书，以扩大知识面。提倡学生进行章
节总结，把知识串成线，做到书由厚读薄，又由薄 变厚。期中、期末都要召开学习方法交流会，让好的学习
方法成为全体学生的共同财富。
5.怎样培养好对学习的良好习惯？
不要再被动的因为要学习而学习，而是要主动的需求学习 的方法，怎么培养对学习的兴趣？以下几点可
供参考：
（一）培养良好的学习习惯
现代教育倡导自主性学习和研究性学习，坚信能力是练出来的，因此我们在课程安排和教学常规中，< br>设置有课前三分钟准备、晚修分段学习、教学三清（即堂堂清、周周清、月月清）等，这样设置的目的，就
是为了培养同学们良好的修习养身习惯。我希望同学们领会意图，配合学校的安排。在课前三分钟，提前 回
到自己的座位，把课本和学习用品准备好，把自己的思想从课间活动拉回来，在科任老师和科代表的指 导下，
或朗读课文、定理、定律，或背诵名句、单词、公式，或做小测练……课堂上，聚精会神听老师讲 课，深入
思考和积极回答问题，善于做笔记，做到眼晴看、耳朵听、嘴巴说、脑筋想、手头记，充分调动 和发挥各器
官功能……晚修分时段学习，合理安排各科学习时间，做到复习、作业、预习三不误，照顾到 当天学习及第
二天学习的全部学科，做到均衡发展，要主动到走廊上请教下班辅导的老师，维护课室里面 安静的晚修秩序，
提高晚修的效率。
（二）抓好预习环节
预习，即课前的自 学。指在教师讲课之前，自己先独立地阅读新课内容。初步理解内容，是上课做好
接受新知识的准备过程 。有些学生由于没有预习习惯，对老师一堂课要讲的内容一无所知，坐等教师讲课，
老师讲什么就听什么 ，老师叫干什么就干什么，学习就很辛苦。有些学生虽能预习，但看起书来似走马观花，
不动脑、不分析 ，这种预习一点也达不到效果。老师建议：预习时要读、思、问、记同步进行，对课本内容
能看懂多少就 算多少，不必求全理解，疑难也不必钻深，只需顺手用笔作出不同符号的标记，把没有读懂的
问题记下来 ，作为听课的重点。但对牵涉到已学过的知识以及估计老师讲不到的小问题，自己一定要搞懂，
以消灭“ 拦路虎”。预习应在当天作业做完之后再进行。时间多，就多预习几门，钻得深一点；反之，就少预
习几 门，钻得浅一点。切不可以每天学习任务还未完成就忙着预习，打乱了正常的学习秩序。若你以前没有
－ 9－

预习的习惯，现在可以先选一两门自己学起来感到吃力的学科进行 预习尝试，等尝到甜头，取得经验后，再
逐渐增加学科，直到全面铺开。
（三）注重听课环节
学生的大部分时间是在课堂中度过的。因此，听课是学生接受教师指 导，掌握知识，发展智力的中心
环节，是获取知识的重要途径，是保证高效率学习的关键。听课时，有的 学生全神贯注，专心听讲；有的分
心走神，萎靡不振，打瞌睡；有的像录音机，全听全录；有的边听边记 ，基本上能把教师讲的内容都记下来；
有的以听为主，边听边思考，有了问题记下来；有的干脆不记，只 顾听讲；有的边听边划边思考。思考时，
有的思考当堂内容，有的思考与本课相关的知识体系，有的思考 教师的思路，有的拿自己的思路与教师的思
路比较。那么，怎样才能达到听好课的目的呢？总的要求是： 要抓住各学科的不同特点，带着问题听，听清
内容，记住要点，抓住关键，着重听老师的讲课方法与思路 ，释疑的过程与结论。
（四）紧抓复习环节
复习是对前面已学过的知识进行系统再加工 ，并根据学习情况对学习进行适当调整，为下一阶段的学
习做好准备。因此，每上完一节课，每学完一篇 课文，一个单元，一册书都要及时复习。若复习适时恰当，
知识遗忘就少。早在1885年，德国的心理 学家艾滨浩斯，通过实验发现刚记住的材料，一小时后只能保持44%；
一天后能记住33%；两天后留 下的只有28%；六天后为25%。所有的人，学习的知识都会发生先快后慢的遗
忘过程。一些记性好的 学生是因为能经常从不同的角度、不同的层次上进行复习，做到“每天有复习，每周
有小结，每章有总结 ”，从而形成了惊人的记忆力。很多学生对所学知识记不住，并不是脑子笨，而是不善于
复习，或复习功 夫不深。最好的做法是：（1）当天学的知识，要当天复习清，。否则，内容生疏了，知识结构
散了，重 新学习花费的时间就会更多。（2）要紧紧围绕概念、公式、法则、定理、定律复习。通过追根溯源，
思 考它们是怎么形成与推导出来的？能应用到哪些方面？（3）要反复复习。学完一课复习一次，学完一章或
一个单元，又复习一次，学习一阶段再系统总结一遍，期末还要专门复习。通过这种步步为营的复习，形成的知识联系就不会消退。学校为此采取了教学“三清”措施，希望老师和同学们认真做好教学三清工作。
（五）独立完成作业环节
独立完成作业是深化知识，巩固知识，检查学习效果的重要手段 ，也是复习与应用相结合的主要形式。然而，有
些学生没有真正利用好这个环节。他们一下课就抢着做作 业，作业一完，万事大吉。更有些学生课上根本没听懂，下课
后也不问，作业抄袭后向老师交差完事。其 实，做好作业有以下意义：1.可以检查自己的学习效果。2、做作业可以发现
问题，增强解决问题的能 力。3、做作业可以加深对知识的理解，把易混淆的概念搞清楚，把公式的变换搞熟练，有利
于把书本上 的知识转化成自己的知识。希望同学们能按时、独立完成作业。
（六）认真记好课堂笔记
记笔记是为了学，为了懂，为了用。记笔记的原则是以听为主，以记为辅。简练明白，提纲挈领，详< br>略得当，书上有的不必多记。难点不放过，疑点有标记。不乱，不混，条理明。对联想、发现的问题，要及
时记。笔记要留有空白处，便于复习时补缺。

(一)绝对值
绝对值的 代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反数，
零的绝对值仍是零．即
－10－

?
a,a?0,
?
|a| ?
?
0,a?0,

?
?a,a?0.
?
绝对值的 几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离．
两个数的差的绝对值的几何意义 ：
a?b
表示在数轴上，数
a
和数
b
之间的距离．
例1、 解不等式：|
x
|
?1

例2、 解不等式：
|x?1|?2

你自己能总结出一般性的结论吗?
例3、解不等式：
x?1?x?3
＞4．
解法一：由
x?1?0< br>，得
x?1
；由
x?3?0
，得
x?3
；
①若
x?1
，不等式可变为
?(x?1)?(x?3)?4
，
即
?2x?4
＞4，解得x＜0，
又x＜1，
∴x＜0；
②若
1?x?2
，不等式可变为
(x?1)?(x?3)?4
，
即1＞4，
∴不存在满足条件的x；
③若
x?3
，不等式可变为
(x?1)?(x?3)?4
，
即
2x?4
＞4， 解得x＞4．
又x≥3，
∴x＞4．
综上所述，原不等式的解为
x＜0，或x＞4．
解法二：如图1．1 －1，
x?1
表示x轴上坐标为x的点P到坐标为1的点A
之间的距离|PA|，即| PA|＝|x－1|；|x－3|表示x轴上点P到坐标为2的点B之间的距
离|PB|，即|PB|＝ |x－3|．
|x－3|
所以，不等式
x?1?x?3
＞4的几何意
义即为
|PA|＋|PB|＞4．
由|AB|＝2，可知
点P 在点C(坐标为0)的左侧、或点P
在点D(坐标为4)的右侧．
x＜0，或x＞4．

练习
1．填空题：
（1）若
x?5，则x=_________；若
x??4
，则x=_________.
－11－

P
x
C
0
A
1
B
D
4
x
|x－1|
图1．1－1

（2）如果
a?b?5
，且
a??1
，则b＝___ _____；若
1?c?2
，则c＝________
2．选择题：
下列叙述正确的是 （ ）
（A）若
a?b
，则
a?b
（B）若
a?b
，则
a?b

（C）若
a?b
，则
a?b
（D）若
a?b
，则
a??b

3．化简：|x－5|－|2x
－
13|（x＞5）．



4．解下列不等式：
（1）
x?3?2x?3?3



（2）
x?1?x?3??4




(二)乘法公式
我们在初中已经学习过了下列一些乘法公式：
（1）平方差公式
(a?b)(a?b)?a
2
?b
2
；
22
?a
2
?2ab?
．
b
（2）完全平方公式
(a?b)
我们还可以通过证明得到下列一些乘法公式：
23
?ab?2
b)?
3
a?
；
b
（1）立方和公式
(a?b)(a

23
?ab?
2
b)?
3
a?
；
b
（2）立方差公式
(a?b)(a

222
)?a?b?
2
c2?(ab?bc?
；
)a
（3）三数和平方公式
(a?b?c

c
3323
? a?3ab?3a
2
b?
；
b
（4）两数和立方公式
(a?b)

3323
?a?3ab?3a
2
b?
．
b
（5）两数差立方公式
(a?b)

对上面列出的五个公式，有兴趣的同学可以自己去证明．
例1 计算：
(x?1) (x?1)(x
2
?x?1)(x
2
?x?1)
．
222
?
解法一：原式=
(x
2
?1)
?
(x?1)?x
??

=
(x
2
?1)(x
4
?x
2
?1)

=
x
6
?1
．
解法二：原式=
(x?1)(x
2
?x?1)(x?1)(x
2
?x?1)

=
(x
3
?1)(x
3
?1)

－12－

=
x
6
?1
．
例2 已知
a?b?c?4
，< br>ab?bc?ac?4
，求
a
2
?b
2
?c
2
的值．
解：
a
2
?b
2
?c
2?(a?b?c)
2
?2(ab?bc?ac)?8
．
练习：
1．填空题：
1
2
1
2
11
；
a?b?(b?a)
（ ）
9423
22
（2）
(4m?

)?16m?4m?(

)
；
2222
(3 )
(a?2b?c)?a?4b?c?(

)
．
（1）
2．选择题：
1
mx?k
是一个完全平方式，则
k
等于 （ ）
2
1
2
1
2
1
2
2< br>（A）
m
（B）
m
（C）
m
（D）
m

4316
22
（2）不论
a
，
b
为何实数，
a?b?2a?4b?8
的值 （ ）
（1）若
x?
2
（A）总是正数 （B）总是负数
（C）可以是零 （D）可以是正数也可以是负数
（三）二次根式（1）
一般地，形如
a (a?0)
的代数式叫做二次根式．根号下含有字母、且不能够
开得尽方的式子称为无理式. 例如
3a?a
2
?b?2b
，
a
2
?b
2
等是无理式，而
2
2x
2
?x?1
，
x
2
?2xy?y
2
，
a
2
等是有理式．
2
1．分母（子）有理化
把分母（子）中的根号化去，叫做分母（子）有理化．为了 进行分母（子）
有理化，需要引入有理化因式的概念．两个含有二次根式的代数式相乘，如果它
们的积不含有二次根式，我们就说这两个代数式互为有理化因式，
例如
2
与
2
，
3a
与
a
，
3?6
与
3?6
，
23?32
与
23?32
，
等等． 一般地，
ax与
x
，
ax?by
与
ax?by
，
ax?b< br>与
ax?b
互为
有理化因式．
分母有理化的方法是分母和分子都乘以 分母的有理化因式，化去分母中的根
号的过程；而分子有理化则是分母和分子都乘以分母的有理化因式， 化去分子中
的根号的过程
在二次根式的化简与运算过程中，二次根式的乘法可参照多项式乘法 进行，
运算中要运用公式
ab?ab(a?0,b?0)
；而对于二次根式的除法，通 常先写成
分式的形式，然后通过分母有理化进行运算；二次根式的加减法与多项式的加减
法类似 ，应在化简的基础上去括号与合并同类二次根式．
2．二次根式
a
2
的意义
－13－

a
2
?a?
?
?
a,a?0,

?a,a?0.
?
例1 将下列式子化为最简二次根式：
（1）
12b
； （2）
a
2
b(a?0)
； （3）
4x
6
y(x?0)
．
解： （1）
12b?23b
；
（2）
a
2
b?ab?ab(a?0)
；
（3）
4x
6
y?2x
3
例2 计算：
3?(3?3)
．
y??2x
3
y(x?0)
．
3?3
3?(3?3)
＝
(3?3)(3?3)
33?3

9?3
3(3?1)
＝
6
3?1
＝．
2
3
?3
＝
)
解法二：
3?(3

3?3
解法一：
3?(3?3
＝
)
3

＝
3

3(3?1)
1
＝
3?1
＝
＝
＝
3?1

(3?1)(3?1)
3?1
．
2
例3 试比较下列各组数的大小：
（1）
12?11
和
11?10
； （2）
解： （1）∵
12?11?
2
和
22－6
.
6?4
12?11(12?11)(12?11)1
，
??
1
12?1112?11

－14－

11?
(1?110)(?1110 )
?
11?101?1
又
12?11?11?10
，
∴
12?11
＜
11?10
．
10??
11?
1
101
，
10
22－6(22－6)(22+6)2
??,

1
22+622+6
又 4＞22，
∴6＋4＞6＋22，
2
∴＜
22－6
.
6?4
练习：
1．将下列式子化为最简二次根式：
（2）∵
22－6?
（1）
18b
2
（2）
27a
2
b
4





2
2．计算：
2?2



3．比较下大小：
5?7
和
11?13





（
四）二次根式（2）

例4 化简：
(3?2)
2004
?(3?2)
2005
．
解：
(3?2)
2004
?(3?2)
2005

＝
(3?2)
2004
?(3?2)
2004
?(3?2)

?
＝
?
?
(3?2)?(3?2)
?
＝
1
2004
?(3?2)

2004
?(3?2)

＝
3?2
．
例 5 化简：（1）
9?45
； （2）
x
2
?
－15－
1
?2(0?x?1)
．
2
x

解：（1）原式
?5?45?4


?(5)
2
?2?2?5?2
2

?(2?5)
2

?2?5
?5?2
．
1
1
（2）原式=
(x?)
2
?x?，
x
x
∵
0?x?1
，
1
∴
?1?x
，
x
1
所以，原式＝
?x
．
x
3?23?2
例 6 已知
x?
，求
3x
2
?5xy?3y
2
的值 ．
,y?
3?23?2
3?23?2
解： ∵
x?y???(3?2)
2
?(3?2)
2
?10
，
3?23?2
3?23?2
??1
，
3?23?2
∴
3x
2
?5xy?3y
2
?3(x?y)
2
?1 1xy?3?10
2
?11?289
．
xy?
练习
1．填空题：
（1）
1?3
＝__ ___；
1?3< br>2
（2）若
(5?x)(x?3)?(x?3)5?x
，则
x
的取值范围是_ _ ___；
（3）
424?654?396?2150?
__ ___；
（4）若
x?
(5)等式
5
x?1?x?1x?1?x? 1
，则
??
______ __．
2
x?1? x?1x?1?x?1
x
?
x?2
x
成立的条件是 。
x?2
（6）比较大小：2－3 5－4（填“＞”，或“＜”）．
a
2
?1?1?a
2
2．若
b?
，求
a?b
的值．
a?1




－16－

（五）分式

1．分式的意义
形如
AAA
的式子，若B中含有字母，且
B?0
，则称为分式．当M≠0时，分式具有
B BB
下列性质：
上述性质被称为分式的基本性质．

A
?
B
A
?
B
A?M
；
B?M
A?M
．
B?M
2．繁分式
a
m?n ?p
像
b
，这样，分子或分母中又含有分式的分式叫做繁分式．
2m
c?d
n?p
5x?4AB
??
例1．若，求常数
A,B
的值．
x(x?2)xx?2
ABA(x?2)?Bx(A?B)x?2A5x?4
???
解： ∵
?
，
xx?2x(x?2)x(x?2)x(x?2)
?
A?B?5,
∴
?

2A?4,
?
解得
A?2,B?3
．
111
??
例2．（1）试证：（其中n是正整数）；
n(n?1)nn?1
111
（2）计算：；
???
1?22?39?10
1111
????
． （3）证明：对任意大于1的正整数n， 有
2?33?4n(n?1)2
11(n?1)?n 1
??
（1）证明：∵
?
，
nn?1n(n?1)n(n?1)
111
??
∴（其中n是正整数）成立．
n(n?1)nn?1
（2）解：由（1）可知
111
???

1?22?39?10
11111

?(1?)?(?)??(?

)
223910
19

?1?
＝．
1010
－17－

111
???

2?33?4n(n?1)
111111
＝
(?)?(?)??(?)

2334nn?1
11
＝
?
，
2n?1
又n≥2，且n是正整数，
1
∴ 一定为正数，
n＋1
1
111
???
∴＜
2
．
2?33?4n(n?1)
c
例3 设
e?< br>，且e＞1，2c
2
－5ac＋2a
2
＝0，求e的值．
a
解：在2c
2
－5ac＋2a
2
＝0两边同除以a
2
，得
2e
2
－5e＋2＝0，
∴(2e
－
1)(e－2)＝0，
1
∴e＝
2
＜1，舍去；或e＝2．
∴e＝2．

（3）证明：∵
练习
1.对任意的正整数n，
1
11
?
(
?
)；
n(n?2)
nn?2
2.若
2x?y2x
?
，则＝ 。
x?y3y
22
3．正数
x,y
满足
x?y?2xy
，求




4．计算

x?y
的值．
x?y
1111
???...?
．
1?22?33?499?100




－18－

习题
A 组
1．填空题：
1819
（1）
(2?3)(2?3)
＝________；
（2 ）若
(1?a)
2
?(1?a)
2
?2
，则
a的取值范围是________；
（3）
11111
?????
________．
1?22?33?44?55?6

2．解不等式：
(1)
x?1?3
； (2)
x?3?x?2?7
；
(3)
x?1?x?1?6
．










33
3．已知
x?y?1
，求
x?y?3xy
的值．






B 组
1．填空题：
3a
2
?ab
11
?
； （1）
a?
，
b?
，则
22
3a?5ab?2b
2 3
x
2
?3xy?y
2
22
（2）若
x?xy?2 y?0
，则
?
；
x
2
? y
2
2．已知：
x?
yy
11
,y?
，求
?
的值．
23
x?yx?y





－19－

3．解方程
2(x?














4．试证：对任意的正整数n，有




2
11
)?3(x?)?1?0
．
2
xx
11< br>??
1?2?32?3?4
?
1
1
＜ ．
n(n?1)(n?2)
4






（六） 分解因式
因式分解的主要方法有：十字相乘法、提取公因式法、公式法、分组分 解法，
另外还应了解求根法及待定系数法．
1．十字相乘法
例1 分解因式：
（1）x
2
－3x＋2； （2）x
2
＋4x－12；
（3）
x
2
?(a?b)xy?aby
2
； （4）
xy?1?x?y
．
解：（1）如图1．2－1，将二次项x
2
分解成图中的两个x的积，再将常数项2
分解成－1与－2的乘积，而图中的对角线上的两 个数乘积的和为－3x，就是x
2
－
－20－

3x＋2中的一次项，所以，有
x
2
－3x＋2＝(x－1)(x－2)．

x 1
x
1
－2
－1
－ay
－1


x 1
x
1 6
－2
－by
－2

图1．2－3
图1．2－1
图1．2－4
图1．2－2

说明：今后在分解与本例类似的二次三项式时，可以直接将图1．2－1中的
两个x用 1来表示（如图1．2－2所示）．
（2）由图1．2－3，得
x
2
＋4x－12＝(x－2)(x＋6)．
（3）由图1．2－4，得

x
2
?(a?b)xy?aby
2
＝
( x?ay)(x?by)

（4）
xy?1?x?y
＝xy＋(x－y)－1
＝(x－1) (y+1) （如图1．2－5所示）．
练习：
把下列各式分解因式：
（1）
x?5x?6?
_____________ _____________________________________。
（2）
x?5x?6?
_______________________________________ ___________。
（3）
x?5x?6?
_______________ ___________________________________。
（4）
x? 5x?6?
_________________________________________ _________。
（5）
x?
?
a?1
?
x?a?< br>__________________________________
2
x
y
－1
1
图1．2－5
2
2
2
2
（6）
2x
2
?7x?3?
。
（7）
6x
2
?7x?2?
。
（8）
2x
2
?7x?3?
。
(七)分解因式（二）

2．提取公因式法与分组分解法
例2 分解因式：
（1）
x
3
?9?3x
2
?3x
； （2）
2x
2
?xy?y
2
?4x?5y?6
．
解： （1）
x
3
?9?3x
2
?3x
=
(x
3
?3x
2
)?(3x?9)
=
x
2
(x?3)?3(x?3)

=
(x?3)(x
2
?3)
．
或
－21－

x
3
?9?3x
2
?3x
(x?1)
3
?2
3

＝
(x
3
?3x
2
?3x?1)?8
＝
(x?1)
3
?8< br>＝
＝
[(x?1)?2][(x?1)
2
?(x ?1)?2?2
2
]

＝
(x?3)(x
2
?3)
．
（2）
2x
2
?xy?y
2
?4x?5y?6
=
2x
2
?(y ?4)x?y
2
?5y?6

=
2x
2?(y?4)x?(y?2)(y?3)
=
(2x?y?2)(x?y?3)
．
或
2x
2
?xy?y
2
?4x?5y?6
=
(2x
2
?xy?y
2
)?(4x?5y)?6

=
(2x?y)(x?y)?(4x?5y)?6

=
(2x?y?2)(x?y?3)
．
3．关于x的二次三项式ax
2
+bx+c(a≠0)的因式分解．
若关于 x的方程
ax
2
?bx?c?0(a?0)
的两个实数根是
x
1
、
x
2
，则二次三项式
ax
2
?bx?c(a ?0)
就可分解为
a(x?x
1
)(x?x
2
)
.
例3 把下列关于x的二次多项式分解因式：
（1）
x
2
?2x?1
； （2）
x
2
?4xy?4y
2
．
解： （1）令
x
2
?2x?1
=0，则解得
x
1
??1?2
，< br>x
2
??1?2
，
???
∴
x< br>2
?2x?1
=
?
?
x?(?1?2)
??
x?(?1?2)
?

=
(x?1?2)(x?1?2)
．
（2）令
x
2
?4x y?4y
2
=0，则解得
x
1
?(?2?22)y
，
x
1
?(?2?22)y
，
∴
x
2
?4xy?4y
2
=
[x?2(1?2)y][x?2(1?2)y]
．


练习
1．分解因式：
（1）x
2
＋6x＋8=________________
（2）8a
3
－b
3
=________________
（3）x
2
－2x－1=________________
（4）
4(x?y?1)?y(y?2x)
=________________
（5）
12x?xy?6y
=________________
（6）< br>6
?
2p?q
?
?11
?
q?2p
?
?3
=_______________
2
22
2、
x?4x? ?
?
x?3
??
x?
?

2
－22－

3、若
x ?ax?b?
?
x?2
??
x?4
?
则
a?
，
b?
。
2

习题
1．分解因式：
（1）
a?1
=________________
（2）
4x?13x?9
=________________
（3）
b?c?2ab?2ac?2bc
=________________
（4）
3x?5xy?2y?x?9y?4
=________________
2．在实数范围内因式分解：
（1）
x?5x?3
=________________
（2）
x?22x?3
=________________
（3）
3x?4xy?y
=________________
（4）
(x?2x)?7(x?2x)?12
=________________
3．
?ABC
三边
a
，
b
，
c
满 足
a?b?c?ab?bc?ca
，试判定
?ABC
的形状．







4．分解因式：x
2
＋x－(a
2
－a)．








－23－

222
222
22
22
3
42
22
2
2< /p>

(
八
)
根的判别式
我们知道，对于一元二次方程ax＋bx＋c＝0（a≠0），用配方法可以将其变形为
2

b
2
b
2
?4ac
)?

(x?
． ①
2
2a4a
因为a≠0，所以，4a
2
＞0．于是
（1） 当b
2
－4ac＞0时，方程①的右端是一个正数，因此，原方程有两个不相等的实数根
（2）当b
2
－4ac＝0时，方程①的右端为零，因此，原方程有两个等的实数根
x
1
＝x
2
＝－
?b?b
2
?4ac
x
1
，
2
＝；
2a
b
；
2a
（3）当b
2
－4ac＜0时，方程①的右端是一个负数，而方程①的左边
(x?b
2
)
一定大于
2a
或等于零，因此，原方程没有实数根． < br>由此可知，一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0（a≠0）的根的情况可以由b
2
－4ac来判定，我们
把b
2
－4ac叫做一元二次方程ax
2< br>＋bx＋c＝0（a≠0）的根的判别式，通常用符号“Δ”来表示．
综上所述，对于一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0（a≠0），有
（1） 当Δ＞0时，方程有两个不相等的实数根
?b?b
2
?4ac
x
1
，
2
＝；
2a
（2）当Δ＝0时，方程有两个相等的实数根
x
1
＝x
2
＝－
b
；
2a
（3）当Δ＜0时，方程没有实数根．
例1 判定下列关于x的方程的根的情况（其中a为常数），如果方程有实数根，写出方
程的实数根．
（1）x
2
－3x＋3＝0； （2）x
2
－ax－1＝0；
（3） x
2
－ax＋(a－1)＝0； （4）x
2
－2x＋a＝0．
解：（1）∵Δ＝3
2
－4×1×3＝－3＜0，∴方程没有实数根．
（2 ）该方程的根的判别式Δ＝a
2
－4×1×(－1)＝a
2
＋4＞0，所以方 程一定有两个不等的实
数根
a?a
2
?4a?a
2
?4
，
x
2
?
．
x
1
?
22
（3）由于该方程的根的判别式为
Δ＝a2
－4×1×(a－1)＝a
2
－4a＋4＝(a
－
2)
2
，
所以，
①当a＝2时，Δ＝0，所以方程有两个相等的实数根
x
1
＝x
2
＝1；
－24－

②当a≠2时，Δ＞0， 所以方程有两个不相等的实数根
x
1
＝1，x
2
＝a
－
1．
（3）由于该方程的根的判别式为
Δ＝2
2
－4×1×a＝4－4a＝4(1
－
a)，
所以
①当Δ＞0，即4(1
－
a) ＞0，即a＜1时，方程有两个不相等的实数根

x
1
?1?1?a
，
x
2
?1?1?a
；
②当Δ＝0，即a＝1时，方程有两个相等的实数根
x
1
＝x
2
＝1；
③当Δ＜0，即a＞1时，方程没有实数根．
说明：在第3，4小题中，方程的根的判别式的符号随着 a的取值的变化而变化，于是，
在解题过程中，需要对a的取值情况进行讨论，这一方法叫做分类讨论． 分类讨论这一思想
方法是高中数学中一个非常重要的方法，在今后的解题中会经常地运用这一方法来解决 问题．
练习：
1.解下列方程：
（1）
2x?13x?6?0
（2）
4x?4x?1?0
（3）
3x?5x?7?0






2.解关于
x
的方程：
mx?2x?1?0











－25－

2
222

若一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0（a≠0）有两个实数根
(
九
)
根与系数的关系（韦达定理）（1）
?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4ac

x
1
?
，
x
2
?
，
2a2a
则有

?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4ac?2bb
????
；
x
1
?x
2
?
2a2a2aa
2
?b?b
2
?4ac?b?b
2
?4acb
2
?(b?4ac)4acc
???
2
?．
x
1
x
2
?
2a2a4a
2
4aa


所以，一元二次方程的根与系数之间存在下列关系：
如果ax
2
＋bx＋c＝0（a≠0）的两根分别是x
1
，x
2，那么x
1
＋x
2
＝
?
bc
，x
1< br>·x
2
＝．这一
aa
关系也被称为韦达定理．
特别地，对 于二次项系数为1的一元二次方程x
2
＋px＋q＝0，若x
1
，x
2
是其两根，由韦达
定理可知
x
1
＋x
2
＝－p，x
1
·x
2
＝q，
即 p＝－(x
1
＋x
2
)，q＝x
1
·x
2
，
2
所以，方程x＋px＋q＝0可化为 x
2
－(x
1
＋x
2
)x＋x
1
·x
2
＝0 ，由于x
1
，x
2
是一元二次方程x
2
＋px＋q＝0的两 根，所以，x
1
，x
2
也是一元二次方程x
2
－(x
1
＋x
2
)x＋x
1
·x
2
＝0．因此有
以两个数x
1
，x
2
为根的一元二次方程（二次项系数为1）是
x
2
－(x
1
＋x
2
)x＋x
1
·x
2
＝0．
例2 已知方程
5x?kx?6?0
的一个根是2，求它的另一个根及k的值．
分析：由于 已知了方程的一个根，可以直接将这一根代入，求出k的值，再由方程解出另
一个根．但由于我们学习了 韦达定理，又可以利用韦达定理来解题，即由于已知了方程的一个
根及方程的二次项系数和常数项，于是 可以利用两根之积求出方程的另一个根，再由两根之和
求出k的值．
解法一：∵2是方程的一个根，
∴5×2
2
＋k×2－6＝0，
∴k＝－7．
所以，方程就为5x
2
－7x－6＝0，解得x
1< br>＝2，x
2
＝－
所以，方程的另一个根为－
2
3
．
5
3
，k的值为－7．
5
63
，∴x
1
＝－．
55
解法二：设方程的另一个根为x
1
，则 2x
1
＝－
3
k
）＋2＝－，得 k＝－7．
5
5
3
所以，方程的另一个根为－，k的值为－7．
5
由 （－
－26－

例3 已知关于x的方程x
2＋2(m
－
2)x＋m
2
＋4＝0有两个实数根，并且这两个实数根的< br>平方和比两个根的积大21，求m的值．
分析： 本题可以利用韦达定理，由实数根的平方和比 两个根的积大21得到关于m的方
程，从而解得m的值．但在解题中需要特别注意的是，由于所给的方程 有两个实数根，因此，
其根的判别式应大于零．
解：设x
1
，x
2
是方程的两根，由韦达定理，得
x
1
＋x
2
＝－2(m
－
2)，x
1
·x
2
＝m
2
＋4．
∵x
1
2
＋ x
2
2
－x
1
·x
2
＝21，
∴(x
1
＋x
2
)
2
－3 x
1
·x
2
＝21，
2
即 [－2(m
－
2)]－3(m
2
＋4)＝21，
化简，得 m
2
－16m－17＝0，
解得 m＝－1，或m＝17．
当m＝－1时，方程为x
2
＋6x＋5＝0，Δ＞0，满足题意；
当m＝1 7时，方程为x
2
＋30x＋293＝0，Δ＝30
2
－4×1×293＜0 ，不合题意，舍去．
综上，m＝17．
说明：（1）在本题的解题过程中，也可以先研究满 足方程有两个实数根所对应的m的范
围，然后再由“两个实数根的平方和比两个根的积大21”求出m的 值，取满足条件的m的值即
可。
（2）在今后的解题过程中，如果仅仅由韦达定理解题时，还 要考虑到根的判别式Δ
是否大于或大于零．因为，韦达定理成立的前提是一元二次方程有实数根。

练习：
1.
m
为何值时，
x
2
?m? 1x?2m?3?0
的两根均为正？


2.已知
x
1< br>,x
2
是方程
x
2
?5x?2?0
两个实数根，求： ①
x
1
?x
2
；②
x
1
?x
2< br>；③
233
x
1
2
?x
2
；⑤
x< br>1
?x
2
；⑥
????
11
?
；④
x
1
x
2
1
；⑦
?
x
1
?1??
x
2
?1
?
。
22
x
1
?x
2









－27－

3.已知
?
,
?
是方程
x?7mx?4m?0
的两根， 且




22
?
?
?1
??< br>?
?1
?
?3
，求
m
的值.
4.已知方 程
5x?kx?6?0
的一个根是
2
，求它的另一根及
k
的 值。





5.求作一个方程，使它的根是方程
x?7x?8?0
的两根的平方的负倒数.





2
2
(
十
)
根与系数的关系（韦达定理）（2）

例4 已知两个数的和为4，积为－12，求这两个数．
分析：我们可以设出这两个数分别 为x，y，利用二元方程求解出这两个数．也可以利用
韦达定理转化出一元二次方程来求解．
解法一：设这两个数分别是x，y，
则 x＋y＝4， ①
xy＝－12． ②
由①，得 y＝4－x，
代入②，得
x(4－x)＝－12，
即 x
2
－4x－12＝0，
∴x
1
＝－2，x
2
＝6．
∴
?
?< br>x
1
??2,
?
x
2
?6,
或
?

?
y
1
?6,
?
y
2??2.
因此，这两个数是－2和6．
解法二：由韦达定理可知，这两个数是方程
x
2
－4x－12＝0
的两个根．
解这个方程，得
x
1
＝－2，x
2
＝6．
－28－

所以，这两个数是－2和6．
说明：从上面的两种解法我们不难发现，解法二（直接利用韦达定理来解题）要比解法一
简捷．
例5 若x
1
和x
2
分别是一元二次方程2x
2
＋5x－3＝0的两根．
（1）求| x
1
－x
2
|的值；
（2）求
11
?
的值；
22
x
1
x
2

（3）x
1
3
＋x
2
3
．
解：∵x1
和x
2
分别是一元二次方程2x
2
＋5x－3＝0的两根，
∴
x
1
?x
2
??

53
，
x
1
x
2
??
．
22
5
2
2
（1）∵| x
1
－x
2
|
2
＝x
1
2
+ x
2
2
－2 x
1
x
2
＝(x
1
＋x
2
)
2
－4 x
1
x
2
＝
(?)?4?(?)

3
2
＝
∴| x
1
－x
2
|＝
2549
＋6＝，
44
7
．
2
2
1
2
1
2


（2）
x?x
2
11
??
x
1
2
x
2
2
x?x
2
2
（3）x
1
3
＋x
2
3
＝(x
1
＋x
2
)( x
1
2
－x< br>1
x
2
＋x
2
2
)＝(x
1
＋x< br>2
)[ ( x
1
＋x
2
)
2
－3x
1
x
2
]
5325
(?)
2< br>?2?(?)?3
(x
1
?x
2
)?2x
1
x
2
37
224
．
????
2
39
(x
1
x
2
)9
(?)
2
24
2
＝(－
553215
)×[(－)
2
－3×(
?
)]＝－．
2228
说明：一元二次方程的两根之差的绝对值是一个重要的量，今后我们经常会遇到求这 一
个量的问题，为了解题简便，我们可以探讨出其一般规律：
设x
1
和x< br>2
分别是一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0（a≠0），则
?b? b
2
?4ac?b?b
2
?4ac
，
x
2
?
，
x
1
?
2a2a
?b?b
2
?4a c?b?b
2
?4ac2b
2
?4ac
??
∴| x
1
－x
2
|＝
2a2a2a
b
2
?4ac?

?
．
?
|a||a|
于是有下面的结论：
若x
1
和x
2
分别是一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0（a≠0），则 | x
1
－x
2
|＝
?
（其中Δ＝b
2
－
|a|
4ac）．
今后，在求一元二次方程的两根之差的绝对值时，可以直接利用上面的结论．
例6 若关于 x的一元二次方程x
2
－x＋a－4＝0的一根大于零、另一根小于零，求实数a
的取 值范围．
－29－

解：设x
1
，x
2
是方程的两根，则
x
1
x
2
＝a－4＜0， ①
且Δ＝(－1)
2
－4(a－4)＞0． ②
由①得 a＜4，
17
由②得 a＜ ．
4
∴a的取值范围是a＜4．
练习
1.填空题：
（1）方程
x?23kx?3k?0
的根的情况是 。

（2）若关于x的方程mx
2
＋ (2m＋1)x＋m＝0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范
围是 。
（3）若方程x
2
－3x－1＝0的两根分别是x
1
和x< br>2
，则
22
11
?
＝ ．
x
1
x
2
（4）以－3和1为根的一元二次方程是 ．
2．已知
a
2
?8a?16?|b?1|?0
，当k取何值时， 方程kx
2
＋ax＋b＝0有两个不相等的实数
根？








3．已知方程x
2
－3x－1 ＝0的两根为x
1
和x
2
，求(x
1
－3)( x
2
－3)的值．






习题
A 组
1．填空题:

（1）已知关于x的方程x
2
＋kx－2＝0的一个根是1，则它的另一个根是 。

（2）关于x的一元二次方程ax
2
－5x＋a
2
＋a＝0的一个根是0，则a的值是 。

（3）方程kx
2
＋4x－1＝0的两根之和为－2，则k＝ ．

（4）方程2x
2
－x－4＝0的两根为α，β，则α
2
＋β
2
＝ ．

（5）已知关于x的方程x
2
－ax－3a＝0的一个根是－2，则它的另一个根是 ．
－30－

（6）方程2x
2
＋2x－1＝0的两根为x
1
和x
2
，则| x
1
－x
2
|＝ ．
3．试判定当m取何值时，关于 x的一元二次方程m
2
x
2
－(2m＋1) x＋1＝0有两个不相等的实
数根？有两个相等的实数根？没有实数根？









4．求一个一元二次方程，使它的两根分别是方程x
2
－7x－1＝0各根的相反数．








5．若关于x 的方程x
2
＋x＋a＝0的一个根大于1、另一根小于1，求实数a的取值范围．







B 组
1．填空题:
（1）若m，n是方程x
2
＋2010x－1＝0的两个实数根，则m
2n＋mn
2
－mn的值等于 ．
23223
（2 ）如果a，b是方程x＋x－1＝0的两个实数根，那么代数式a＋ab＋ab＋b的值
是 ．

（3）已知一个直角三角形的两条直角边长恰好是方程2x
2
－8x＋ 7＝0的两根，则这个直角
三角形的斜边长等于 。
（4）若x
1
，x
2
是方程2x
2
－4x＋1＝0 的两个根，则
x
1
x
2
?
的值为 。
x
2
x
1
2．已知关于x的方程x
2
－ kx－2＝0．
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）设方程的两根为x
1
和x
2
，如果2(x
1
＋x
2
)＞x
1
x
2
，求实数k的取值范围．





－31－

3．一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0（a≠0）的两根为x
1
和x
2
．求：
（1）| x
1
－x
2
|和
（2）x
1
3
＋x
2
3
．
x
1
?x
2
；
2





4．关于x的方程x
2＋4x＋m＝0的两根为x
1
，x
2
满足| x
1
－x
2
|＝2，求实数m的值．





2
5． 已知x
1
，x
2
是关于x的 一元二次方程4kx－4kx＋k＋1＝0的两个实数根．
（1）是否存在实数k，使(2x
1
－x
2
)( x
1
－2 x
2
)＝－
说明理由；
3
成立？若存 在，求出k的值；若不存在，
2
x
1
x
2
?
－2的 值为整数的实数k的整数值；
x
2
x
1
x
（3）若k＝－ 2，
?
?
1
，试求
?
的值．
x
2
（2）求使












（十一）
二次函数y＝ax
2
＋bx＋c的图像和性质
问题1 函数y＝ax
2
与y＝x
2
的图象之间存在怎样的关系？
为了研究 这一问题，我们可以先画出y＝2x
2
，y＝
图象与函数y＝x
2
的 图象之间的关系，推导出函数y＝ax
2
与y＝x
2
的图象之间所存在的关系 ．
先画出函数y＝x
2
，y＝2x
2
的图象．
先列表：
x … -3 -2 -1 0 1 2 3 …
2
x … 9 4 1 0 1 4 9 …
2
2x … 18 8 2 0 2 8 18 …
－32－

1
2
x，y＝－2x
2
的图象，通过这些函数
2

从表中不难看出，要得到2x
2
的值，只要把相应的x
2
的值扩大两倍就可以了．
再描点、连线，就分别得到了函数y＝x
2，y＝2x
2
的图
象（如图2－1所示），从图2－1我们可以得到这两个函数< br>图象之间的关系：函数y＝2x
2
的图象可以由函数y＝x
2
的
图象各点的纵坐标变为原来的两倍得到．
同学们也可以用类似于上面的方法画出函数y＝
y＝2x
2
y
y＝x
2

y＝－2x
2
的图象，并研究这两个函数图象与 函数y＝x
2
的图
x
O
象之间的关系．
通过上面的研究，我们可以得到以下结论：
图2.2-1
二次函数y＝ax
2
(a≠0)的图象可以由y＝x
2
的图象
y
各点的纵坐标变为 原来的a倍得到．在二次函数y＝
2
ax(a≠0)中，二次项系数a决定了图象的开口方向和 在
y＝2(x＋1)
2
＋1
同一个坐标系中的开口的大小．
问题2 函数y＝a(x＋h)
2
＋k与y＝ax
2
的图象之间< br>y＝2(x＋1)
2

存在怎样的关系？
y＝2x
2

同样地，我们可以利用几个特殊的函数图象之间
的关系 来研究它们之间的关系．同学们可以作出函数y
22
＝2(x＋1)＋1与y＝2x的图象（如 图2－2所示），从
2
函数的同学我们不难发现，只要把函数y＝2x的图象
向左平移 一个单位，再向上平移一个单位，就可以得
到函数y＝2(x＋1)
2
＋1的图象．这 两个函数图象之间具
有“形状相同，位置不同”的特点．
x
－1
O < br>类似地，还可以通过画函数y＝－3x
2
，y＝－3(x
－1)
2＋1的图象，研究它们图象之间的相互关系．
图2.2-2
通过上面的研究，我们可以得到以下结论：
二次函数y＝a(x＋h)
2
＋ k(a≠0)中，a决定了二次函数图象的开口大小及方向；h决定了二
次函数图象的左右平移，而且“ h正左移，h负右移”；k决定了二次函数图象的上下平移，而
且“k正上移，k负下移”．
由上面的结论，我们可以得到研究二次函数y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)的图象的方法：
1
2
x，
2
所以，y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0 )的图象可以看作是将函数y＝ax
2
的图象作左右平移、上下平移
得到的，于是，二 次函数y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)具有下列性质：
b
2
b< br>2
bb
2
由于y＝ax＋bx＋c＝a(x＋
x
)＋c＝a( x＋
x
＋
2
)＋c－
4a
4a
aa
b< br>2
b
2
?4ac
)?

?a(x?
，
2a4a
22
b4ac?b
2
,)
，对（1）当a＞0时， 函数y＝ax＋bx＋c图象开口向上；顶点坐标为
(?
2a4a
bbb
称轴 为直线x＝－；当x＜
?
时，y随着x的增大而减小；当x＞
?
时，y随着x 的
2a2a2a
2
－33－

4ac?b2
b
增大而增大；当x＝
?
时，函数取最小值y＝．
4a
2a
b4ac?b
2
,)
， （2）当a＜0时，函数 y＝ax＋bx＋c图象开口向下；顶点坐标为
(?
2a4a
bbb
对称轴为 直线x＝－；当x＜
?
时，y随着x的增大而增大；当x＞
?
时，y随着x< br>2a2a2a
4ac?b
2
b
的增大而减小；当x＝
?
时，函数取最大值y＝．
4a
2a
2
上述二次函数的性质可以分别通 过图2．2－3和图2．2－4直观地表示出来．因此，在今
后解决二次函数问题时，可以借助于函数图 像、利用数形结合的思想方法来解决问题．


2
y
b4ac?b
y
b

,)
A
(?
x＝－
2a4a

2a





O
x
O
x


b4ac?b
2
b

,)
A
(?
x＝－

2a4a
2a

图2.2-4
图2.2-3

A(－
y
例1 求二次函数y＝
－
3x
2
－6 x＋1图象的开口方向、对称
轴、顶点坐标、最大值（或最小值），并指出当x取何值时，y
随 x的增大而增大（或减小）？并画出该函数的图象．
解：∵y＝
－
3x
2< br>－6x＋1＝－3(x＋1)
2
＋4，
∴函数图象的开口向下；
D(0,1)
对称轴是直线x＝－1；
顶点坐标为(－1，4)；
当x＝－1时，函数y取最大值y＝4；
O
B
x
C
当x＜－1时，y随着x的增大而增大；当x＞－1时，y
随着x的增大而减小；
x＝－1
采用描点法画图，选顶点A(－1，4))，与x轴交于点
图2.2－23?323?3
,0)
和C
(?,0)
，与y轴的交点为D(0，1) ，B
(
33
过这五点画出图象（如图2－5所示）．
说明：从这个例题可以 看出，根据配方后得到的性质画函数的图象，可以直接选出关键点，
减少了选点的盲目性，使画图更简便 、图象更精确．




－34－

例2 某种产品的成本是120元件，试销阶段每件产品的售价x（元）与产品的日销 售量
y（件）之间关系如下表所示：
130 150 165
X元
70 50 35
Y件

若日销售量y是销售价x的一次函数，那么，要使每天所获得最 大的利润，每件产品的销
售价应定为多少元？此时每天的销售利润是多少？
分析：由于每天的 利润＝日销售量y×(销售价x－120)，日销售量y又是销售价x的一次
函数，所以，欲求每天所获 得的利润最大值，首先需要求出每天的利润与销售价x之间的函数
关系，然后，再由它们之间的函数关系 求出每天利润的最大值．
解：由于y是x的一次函数，于是，设y＝kx＋
（
B
）

将x＝130，y＝70；x＝150，y＝50代入方程，有
?
70?130k?b,

?
50?150k?b,
?
解得 k＝－1，b＝200．
∴ y＝－x＋200．
设每天的利润为z（元），则
z＝(－x+200)(x－120)＝－x
2
＋320x－24000
＝－(x－160)
2
＋1600，
∴当x＝160时，z取最大值1600．
答：当售价为160元件时，每天的利润最大，为1600元．
例3 把二次函数y＝x< br>2
＋bx＋c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得到函
数y＝x
2
的图像，求b，c的值．
b
2
b
22
解法一：y＝x＋ bx＋c＝(x+)
?c?
，把它的图像向上平移2个单位，再向左平移4
4
2
2
bb
个单位，得到
y?(x??4)
2
?c??2的图像，也就是函数y＝x
2
的图像，所以，
24
?
b
??4?0,
?
?
2

?
解得b＝－8，c＝14．
2
?
c?
b
?2?0,
?
4
?
解法二：把二次函数y＝x
2
＋bx＋c的图像向上平移2个单位，再向左平移4个单位，得< br>到函数y＝x
2
的图像，等价于把二次函数y＝x
2
的图像向下平移2 个单位，再向右平移4个单
位，得到函数y＝x
2
＋bx＋c的图像．
由 于把二次函数y＝x
2
的图像向下平移2个单位，再向右平移4个单位，得到函数y＝(x－4)
2
＋2的图像，即为y＝x
2
－8x＋14的图像，∴函数y＝x
2
－8x＋14与函数y＝x
2
＋bx＋c表
示同一个函数，∴b＝ －8，c＝14．
说明：本例的两种解法都是利用二次函数图像的平移规律来解决问题，所以，同学们 要牢
固掌握二次函数图像的变换规律．
这两种解法反映了两种不同的思维方法：解法一，是直 接利用条件进行正向的思维来解决
的，其运算量相对较大；而解法二，则是利用逆向思维，将原来的问题 等价转化成与之等价的
问题来解，具有计算量小的优点．今后，我们在解题时，可以根据题目的具体情况 ，选择恰当
的方法来解决问题．
例4 已知函数y＝x
2
，－2≤x≤a ，其中a≥－2，求该函数的最大值与最小值，并求出函数
－35－

取最大值和最小值时所对应的自变量x的值．
分析：本例中函数自变量的范围是一个变化的范围，需要对a的取值进行讨论．
解：（1） 当a＝－2时，函数y＝x
2
的图象仅仅对应着一个点(－2，4)，所以，函数的最大
值和最小值都是4，此时x＝－2；
（2）当－2＜a＜0时，由图2．2－6①可知，当x＝－2 时，函数取最大值y＝4；当x＝a
时，函数取最小值y＝a
2
；
（3）当 0≤a＜2时，由图2．2－6②可知，当x＝－2时，函数取最大值y＝4；当x＝0
时，函数取最小 值y＝0；
（4）当a≥2时，由图2．2－6③可知，当x＝a时，函数取最大值y＝a
2
；当x＝0时，函
数取最小值y＝0．
y
y
4

4

y
y
a
2

4

O
a
2
x


－2

③

O
a
x

a
2
－2
a

①


O
x
－2

a

2
②
图2.2－6


说明：在本例中，利用了分类讨论的方法，对a的所有可能情形进行讨论．此外，本例中所研究的二次函数的自变量的取值不是取任意的实数，而是取部分实数来研究，在解决这一类
问题时 ，通常需要借助于函数图象来直观地解决问题．
练习
1．填空题
（1）二次函数y＝2x
2
－mx＋n图象的顶点坐标为(1，－2)，则m＝ ，n＝ ．
（2）已知二次函数y＝x
2
+(m－2)x－2m，当m＝ 时，函数图象的顶点在y轴上；当m
＝ 时，函数图象的顶点在x轴上；当m＝ 时，函数图象经过原点．
（3）函数y＝－3(x＋2)
2
＋5的图象的开口向 ，对称轴为 ，顶点坐标
为 ；当x＝ 时，函数取最 值y＝ ；当x
满足

时，y随着x的增大而减小．

2．求下列抛物线的开口方向、对称轴、顶点坐标、最大（小 ）值及y随x的变化情况，并画
出其图象．
（1）y＝x
2
－2x－3； （2）y＝1＋6 x－x
2
．







－36－

4．已知函数y＝－x
2
－2x＋3，当自变量x在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小
值，并求当函数 取最大（小）值时所对应的自变量x的值：
（1）x≤－2；（2）x≤2；（3）－2≤x≤1；（4）0≤x≤3．













（
十二）二次函数的三种表示方式

通过上一小节的学习，我们知道，二次函数可以表示成以下两种形式：
1．一般式：y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)；
2．顶点式：y＝a(x＋h)
2
＋k (a≠0)，其中顶点坐标是(－h，k)．
除了上述两种表示方法外，它还可以用另一种形式来表示．为了研究另一种表示方式，我
们先来 研究二次函数y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)的图象与x轴交点个数．
当抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)与x轴相交时，其函数值为零，于是有
ax
2
＋bx＋c＝0． ①
并且方程①的解就是抛物线y＝a x
2
＋bx＋c(a≠0)与x轴交点的横坐标（纵坐标为零），于
是，不难发现，抛 物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)与x轴交点个数与方程①的解的个数有关，而方程
①的解的个数又与方程①的根的判别式Δ＝b
2
－4ac有关，由此可知，抛物线y＝ax< br>2
＋bx＋c(a≠0)
与x轴交点个数与根的判别式Δ＝b
2
－4a c存在下列关系：
（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)与x 轴有两个交点；反过来，若抛物线y＝
ax
2
＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点 ，则Δ＞0也成立．
（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)与 x轴有一个交点（抛物线的顶点）；反过
来，若抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0 )与x轴有一个交点，则Δ＝0也成立．
（3）当Δ＜0时，抛物线y＝ax
2
＋b x＋c(a≠0)与x轴没有交点；反过来，若抛物线y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)与x轴 没有交点，则Δ＜0也成立．
－37－

于是，若抛物线y＝ ax
2
＋bx＋c(a≠0)与x轴有两个交点A(x
1
，0)，B(x2
，0)，则x
1
，x
2
是方
程ax
2
＋bx＋c＝0的两根，所以

= a[x
2
－ (x
1
＋x
2
)x＋x
1
x
2
]
＝a(x－x
1
) (x－x
2
)．
由上面的推导过程可以得到下面结论：
若抛物线y＝ax
2
＋b x＋c(a≠0)与x轴交于A(x
1
，0)，B(x
2
，0)两点，则其函 数关系式可以
表示为y＝a(x－x
1
) (x－x
2
) (a≠0)．
这样，也就得到了表示二次函数的第三种方法：
3．交点式：y＝a(x－x
1
) (x－x
2
) (a≠0)，其中x
1
，x
2
是二次函数图象与x轴交点的横坐标．
今后，在求二次函数的表达式时，我们可以根据题目所提供的条件，选用一般式、顶点式、
交点式这三 种表达形式中的某一形式来解题．
例1 已知某二次函数的最大值为2，图像的顶点在直线y＝x ＋1上，并且图象经过点（3，
－1），求二次函数的解析式．
分析：在解本例时，要充分利 用题目中所给出的条件——最大值、顶点位置，从而可以将
二次函数设成顶点式，再由函数图象过定点来 求解出系数a．
解：∵二次函数的最大值为2，而最大值一定是其顶点的纵坐标，
∴顶点的纵坐标为2．
又顶点在直线y＝x＋1上，
所以，2＝x＋1，∴x＝1．
∴顶点坐标是（1，2）．
设该二次函数的解析式为
y?a(x?2)
2
?1(a?0)
，
∵二次函数的图像经过点（3，－1），
∴
?1?a(3?2)
2
?1
，解得a＝－2．
∴二次函 数的解析式为
y??2(x?2)
2
?1
，即y＝－2x
2
＋8x－7．
说明：在解题时，由最大值确定出顶点的纵坐标，再利用顶点的位置求出顶点坐标，然后
设出二次函数的顶点式，最终解决了问题．因此，在解题时，要充分挖掘题目所给的条件，并
巧 妙地利用条件简捷地解决问题．
例2 已知二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，且顶点 到x轴的距离等于2，求此二次
函数的表达式．
分析一：由于题目所给的条件中，二次函数的 图象所过的两点实际上就是二次函数的图象
与x轴的交点坐标，于是可以将函数的表达式设成交点式．
解法一：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，
∴可设二次函数为y＝a(x＋3) (x－1) (a≠0)，
展开，得 y＝ax
2
＋2ax－3a，
bc
，x
1
x
2
＝，
aa
bc
即 ＝－(x
1
＋x
2
)， ＝x
1
x
2
．
aa
bc
2
所以，y＝a x
2
＋bx＋c＝a(
x?x?
)
aa
x
1＋x
2
＝
?
?12a
2
?4a
2
?? 4a
， 顶点的纵坐标为
4a
－38－

由于二次函数图象的顶点到x轴的距离2，
∴|－4a|＝2，即a＝
?
1
．
2
所以，二次函数的表 达式为y＝
1
2
313
x?x?
，或y＝－
x
2< br>?x?
．
2222
分析二：由于二次函数的图象过点(－3，0)，(1， 0)，所以，对称轴为直线x＝－1，又由
顶点到x轴的距离为2，可知顶点的纵坐标为2，或－2，于 是，又可以将二次函数的表达式设
成顶点式来解，然后再利用图象过点(－3，0)，或(1，0)，就 可以求得函数的表达式．
解法二：∵二次函数的图象过点(－3，0)，(1，0)，
∴对称轴为直线x＝－1．
又顶点到x轴的距离为2，
∴顶点的纵坐标为2，或－2．
于是可设二次函数为y＝a(x＋1)
2
＋ 2，或y＝a(x＋1)
2
－2，
由于函数图象过点(1，0)，
∴0＝a(1＋1)
2
＋2，或0＝a(1＋1)
2
－2．
∴a＝－
11
，或a＝．
22
所以，所求的二次函数为y＝
－
11
(x＋1)
2
＋2，或y＝(x＋1)
2
－2．
22
说明：上述两种解法分别从与x轴的交点坐标及顶点的坐标这两个不同角度，利用交点式
和顶点式来解题，在今后的解题过程中，要善于利用条件，选择恰当的方法来解决问题．

例3 已知二次函数的图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，求此二次函数的表达式．
2
解：设该二次函数为y＝ax＋bx＋c(a≠0)．
由函数图象过点(－1，－22)，(0，－8)，(2，8)，可得
?
?22?a?b?c,
?

?
?8?c,
?
8?4a?2b?c,
?
解得 a＝－2，b＝12，c＝－8．
所以，所求的二次函数为y＝－2x
2
＋12x－8．
通过上面的几道例题 ，同学们能否归纳出：在什么情况下，分别利用函数的一般式、顶点
式、交点式来求二次函数的表达式？

练习
1．填空：

（1）函数y＝－x
2
＋x－1图象与x轴的交点个数是
1
（2）函数y＝－ (x＋1)
2
＋2的顶点坐标是
2
（3）已知二次函数的图象经过与x轴交于点(－1，0)和(2，0)，则该二次函数的解 析式可设
为y＝a (a≠0) ．
（4）二次函数y＝－x
2
+23x＋1的函数图象与x轴两交点之间的距离为 ．
2．根据下列条件，求二次函数的解析式．
－39－

（1）图象经过点(1，－2)，(0，－3)，(－1，－6)；




（2）当x＝3时，函数有最小值5，且经过点(1，11)；






（3）函数图象与x轴交于两点(1－2，0)和(1＋2，0)，并与y轴交于(0，－2)．



（4）函数图象关于
x?1
对称，且与
x< br>轴的两个交点分别为（-1,0），（3,0）





（十三）二次函数的简单应用
一、函数图象的平移变换与对称变换
1．平移变换
问题1 在把二次函数的图象进行平移时，有什么特点？依据这一特点，可以怎样来研究
二次函数的图象平移？
我们不难发现：在对二次函数的图象进行平移时，具有这样的特点——只改变函数图象的
位置 、不改变其形状，因此，在研究二次函数的图象平移问题时，只需利用二次函数图象的顶
点式研究其顶点 的位置即可．
例1 求把二次函数y＝x
2
－4x＋3的图象经过下列平移变换后 得到的图象所对应的函数解
析式： （1）向右平移2个单位，向下平移1个单位；
（2）向上平移3个单位，向左平移2个单位．
分析：由于平移变换只改变函数图象的位置而不改变 其形状（即不改变二次项系数），所
以只改变二次函数图象的顶点位置（即只改变一次项和常数项），所 以，首先将二次函数的解
－40－

析式变形为顶点式，然后， 再依据平移变换后的二次函数图象的顶点位置求出平移后函数图像
所对应的解析式．
解：二 次函数y＝2x
2
－4x－3的解析式可变为y＝2(x－1)
2
－1，其顶 点坐标为(1，－1)．
（1）把函数y＝2(x－1)
2
－1的图象向右平移2 个单位，向下平移1个单位后，其函数图
象的顶点坐标是(3，－2)，所以，平移后所得到的函数图象 对应的函数表达式就为
y＝2(x－3)
2
－2．
（2） 把函数y＝2(x－1)
2
－1的图象向上平移3个单位，向左平移2个单位后，其函数图象的顶点坐标是(－1， 2)，所以，平移后所得到的函数图象对应的函数表达式就为
y＝2(x＋1)
2
＋2．


2．对称变换

问题2 在把二次函数的图象关于与坐标轴平行的直线进行对称变换时，有什么特点？依据这一
特点，可以怎样来研究二次函数的图象平移？
y
我们不难发现：在把二次函数的图象关于与坐
x＝－1
标轴平行的直线进行对称变换时，具有 这样的特点
——只改变函数图象的位置或开口方向、不改变其
形状，因此，在研究二次函数图象 的对称变换问题
时，关键是要抓住二次函数的顶点位置和开口方向
来解决问题．
O
x
例2 求把二次函数y＝2x
2
－4x＋1的图象关于
A(1,－1)
A
1
(－3,－1)
下列直线对称后所得到图象对应的函数解析式：
（1）直线x＝－1；
（2）直线y＝1．
图2.2－7
2

解：（1）如图2．2－7，把二次函数y＝2x－
y
B(1，3)
4x＋1的图象关于直线x＝－1作对称变换后，只改变图象
的顶点位置，不改变其形状．
由于y＝2x
2
－4x＋1＝2(x－1)
2
－1，可知，函数y ＝2x
2
y＝1
－4x＋1图象的顶点为A(1,－1)，所以，对称后所得到图< br>象的顶点为A
1
(－3，1)，所以，二次函数y＝2x
2
－4x＋1
O
x
的图象关于直线x＝－1对称后所得到图象的函数解析式
为y＝2( x＋3)
2
－1，即y＝2x
2
＋12x＋17．
A(1,－1)
2
（2）如图2．2－8，把二次函数y＝2x－4x＋1的图
象关于直线x＝－1作 对称变换后，只改变图象的顶点位
图2.2－8
置和开口方向，不改变其形状．
由于y＝2x
2
－4x＋1＝2(x－1)
2
－1，可知，函数y＝2x2
－4x＋1图象的顶点为A(1,－1)，所
以，对称后所得到图象的顶点为B(1，3 )，且开口向下，所以，二次函数y＝2x
2
－4x＋1的图
象关于直线y＝1对称后 所得到图象的函数解析式为y＝－2(x－1)
2
＋3，即y＝－2x
2
＋4 x＋1．


练习：
1．把函数y＝－(x
－
1)2
＋4的图象向左平移2个单位，向下平移3个单位，所得图象对应的解
析式为 。
2.函数
y?2x?3x?1
的图象关于直线
x?3
对称的图象 所对应的函数解析式
是 。
3. 函数
y?2x?3x?1
的图象关于点（1,0）对称的图象所对应的函数解析式
是 。
－41－

2
2

4. 如图①，在平面直角坐标系中，AB、CD 都垂直于x轴，垂足分别为B、D且AD与B
Ｃ
相
交于E点.已知：A(-2,-6) ,C(1,-3)
(1) 求证：E点在y轴上；
(2) 如果有一抛物线经过A，E，C三点，求此抛物线方程.
(3) 如果AB位置不变，再将DC水平 向右移动k(k>0)个单位，此时AD与BC相交于E′点，
如图②，求△AE′C的面积S关于k的 函数解析式.


y


B
D

O
x

E

C（1，-3）



A
（-2，-6）


（第4题图①）










y
B
D
O
x
E
′

C（1+k，-3）
A
（-2，-6）
（第4题图②）
－42－


（
（

5.求函数
y?x?4x?1
在
a?x?a?2
上的最小值。
2




（十四）分段函数
一般地，如果自变量在不同取值范围内时，函数由不 同的解析式给出，这种函数，叫作
分段函数．

例1 在国内投递外埠平信，每 封信不超过20g付邮资80分，超过20g不超过40g付邮
资160分，超过40g不超过60g付 邮资240分，依此类推，每封xg(0＜x≤100)的信应付多少邮
资（单位：分）？写出函数表达 式，作出函数图象．
分析：由于当自变量x在各个不同的范围内时，应付邮资的数量是不同的．所以， 可以用
分段函数给出其对应的函数解析式．在解题时，需要注意的是，当x在各个小范围内（如20＜x≤40）变化时，它所对应的函数值（邮资）并不变化（都是160分）．
解：设每封信的邮资为y（单位：分），则y是x的函数．这个函数的解析式为

?
80,
?
160
?
?

y?
?
240,
?
320
?
?
?
400,

x?(0,20]
x?(20,40]
x?940,80]

x?(60,80]
x?(80,100]
y(分)
400
320
240
160
80
O
20 40 60 80 100
x(克)
由上述的函数解析式，可以得到其图象如图2．2－9所示．
图2.2－9
例2如 图9－2所示，在边长为2的正方形ABCD的边上有一个动点P，从点A出发沿折线ABCD
移动一周 后，回到A点．设点A移动的路程为x，ΔPAC的面积为y．
D
（1）求函数y的解析式；
C
（2）画出函数y的图像；
（3）求函数y的取值范围．
分析：要对点P所在的位置进行分类讨论．
P
－43－

A
图
2.2
－
B

解：（1）①当点P在线段AB上移动（如图2．2－10①），即0＜x≤2时，
y＝
1
AP?BC
＝x；
2
②当点P在线段BC上移动（如图2．2－10②），即2＜x＜4时，
11
y＝
PC?AB
＝
(4?x)?2
＝4－x；
2
2
③当点P在线段CD上移动（如图2．2－10③），即4＜x≤6时，
11
y＝
PC?AD
＝
(x?4)?2
＝x－4；
2
2
④当点P在线段DA上移动（如图2．2－10④），即6＜x＜8时，
练习：
1.（1）作函数
y?x?1?x?2
的图象。
（2）作函数
y?x?1?x?2
的图象。

补：已知
a?x?1?x?2
恒成立，求
a
的范围。






2．矩形
ABCD
中
AB?4,CD?2
，有一个动点P在矩形的边上运动，从点A出发沿折线
ABCD移动一周后 ，回到A点．设点A移动的路程为x，ΔPAC的面积为y．
（1）求函数y的解析式；
（2）画出函数y的图像；
（3）求函数y的取值范围．










－44－

（十五） 二元二次方程组解法
方程
x?2xy?y?x?y?6?0

是一个含有两个未知数,并且含有未知数的项的最 高次数是2的整式方程,这样的方程叫做二元
二次方程．其中
x
,
2xy,
y
叫做这个方程的二次项,
x
,
y
叫做一次项,6叫 做常数项．
我们看下面的两个方程组：
2
2
22
?
x< br>2
?4y
2
?x?3y?1?0,

?
?
2x?y?1?0;
?
x
2
?y
2
?20,
?
?
2

2
?
?
x?5xy?6y?0.
第一个方程组是由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的，第二个方程组 是由两个
二元二次方程组成的，像这样的方程组叫做二元二次方程组．
下面我们主要来研究由一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组的解法．
一个二元二次方程和一个二元一次方程组成的方程组一般可以用代入消元法来解．
例1 解方程组
?
x
2
?4y
2
?4?0,

?

?
x?2y?2?0.
①
②
分析：二元二次 方程组对我们来说较为生疏，在解此方程组时，可以将其转化为我们熟悉
的形式．注意到方程②是一个一 元一次方程，于是，可以利用该方程消去一个元，再代入到方
程①，得到一个一元二次方程，从而将所求 的较为生疏的问题转化为我们所熟悉的问题．
解：由②,得

x＝2y＋2， ③
把③代入①,整理,得
8y
2
＋8y＝0，
即 y(y＋1)＝0．
解得 y
1
＝0，y
2
＝－1．
把y
1
＝0代入③, 得 x
1
＝2；
把y
2
＝－1代入③, 得x
2
＝0．
所以原方程组的解是
?
x
1
?2,

?

y?0，
?
1

例2 解方程组

?
?
x
2
?0,
?
y??1.
?
2
说明：在解类似于本例的二元二次方程组时，通常采用 本例所介绍的代入消元法来求解．
?
x?y?7,

?
xy?12.
①
②
解法一：由①，得
－45－

x?7?y.
③
把③代入②，整理，得

y?7y?12?0

解这个方程，得

y
1
?3,y
2
?4
．
把
y
1
?3
代入③，得
x
1
?4
；
把
y2
?4
代入③，得
x
2
?3
．
所以原方程的解是

?
2
?
x
1
?4,

?
y
1
?3，
?
x
2
?3,

?
?
y
2
?4.
解法二：对这个方程组，也可以根据一元二 次方程的根与系数的关系，把
x,y
看作一个
一元二次方程的两个根，通过解这个一元 二次方程来求
x,y
．
这个方程组的
x,y
是一元二次方程

z?7z?12?0

的两个根，解这个方程，得

z?3
，或
z?4
．
所以原方程组的解是
2
?
x
1
?4,
?
x
2
?3,

?

?

y?3;y?4.
?
1
?
2
练 习：
解下列方程组:
?
y?x?5,
?
x?y?3,
（1）
?
2
（2）
?
2
?
xy??10;
?
x?y?625;










?
x
2
y
2
2
?
?1,
?
y?2x ,
?
?
（3）
?
5
（4）
?
2

4
2
?
?
x?y?8.?
y?x?3;
?




－46－

（十六） 一元二次不等式解法（1）
二次函数y＝x
2
－x－6的对应值表与图象如下：
x －3 －2 －1 0 1 2 3 4
y 6 0 －4 －6 －6 －4 0 6
由对应值表及函数图象(如图2.3－1)可知
当x＝－2，或x＝3时，y＝0，即x
2
－x＝6＝0；
当x＜－2，或x＞3时，y＞0，即x
2
－x－6＞0；
当－2＜x＜3时，y＜0，即x
2
－x－6＜0．
y

y＝x
2
－x－6
0)这就是说，如果抛物线y= x
2
－x－6与x轴的交点是(－2，
与(3，0)，那么
y＞0 y＞0
一元二次方程
x
2
－x－6＝0
－2
O
的解就是
3
x
x
1
＝－2，x
2
＝3；
y＜0
同样，结合抛物线与x轴的相关位置，可以得到
一元二次不等式
x
2
－x－6＞0
的解是
图2.3－1
x＜－2，或x＞3；
一元二次不等式
x
2
－x－6＜0
的解是
－2＜x＜3．
上例表明：由抛物线与x轴的交点 可以确定对应的一元二次方程的解和对应
的一元二次不等式的解集．
那么，怎样解一元二次不等式ax
2
＋bx＋c＞0(a≠0)呢？
我们可以用 类似于上面例子的方法，借助于二次函数y＝ax
2
＋bx＋c(a≠0)的图象来解一
元二次不等式ax
2
＋bx＋c＞0(a≠0)．
为了方便起见，我们先来研究二次项系数a＞0时的一元二次不等式的解．
－47－

我们知道，对于一元二次方程ax
2
＋bx＋c＝0(a＞0)，设△ ＝b
2
－4ac，它的解的情形按照△＞0，
△=0，△＜0分别为下列三种情况—— 有两个不相等的实数解、有两个相等的实数解和没有实
数解，相应地，抛物线y＝ax
2
＋bx＋c（a＞0）与x轴分别有两个公共点、一个公共点和没有
公共点(如图2.3－2所示)， 因此，我们可以分下列三种情况讨论对应的一元二次不等式ax
2
＋
bx＋c＞0（a ＞0）与ax
2
＋bx＋c＜0（a＞0）的解．
y
y
y
x
1
O
x
2
x
O
x
1
= x
2
x

O
③
x
①
②
图2.3－2
（1）当Δ＞0时，抛物线y＝ax
2
＋bx＋c（a＞0）与x轴有两个公共点(x
1
，0)和(x
2
，0)，
方程ax
2
＋bx＋c＝0有两个不相等的实数根x
1和x
2
(x
1
＜x
2
)，由图2.3－2①可知
不等式ax
2
＋bx＋c＞0的解为
x＜x
1
，或x＞x
2
；
不等式ax
2
＋bx＋c＜0的解为
x
1
＜x＜x
2
．
（2）当Δ＝0时，抛物线y＝ax< br>2
＋bx＋c（a＞0）与x轴有且仅有一个公共点，方程ax
2
b
＋ bx＋c＝0有两个相等的实数根x
1
＝x
2
＝－ ，由图2.3－2②可知
2a
不等式ax
2
＋bx＋c＞0的解为
b
x≠－ ；
2a
2
不等式ax＋bx＋c＜0无解．
（3）如 果△＜0，抛物线y＝ax
2
＋bx＋c（a＞0）与x轴没有公共点，方程ax
2< br>＋bx＋c＝0
没有实数根
，
由图2.3－2③可知
不等式ax
2
＋bx＋c＞0的解为一切实数；
不等式ax
2
＋bx＋c＜0无解．
今后，我们在解一元二次不等式时， 如果二次项系数大于零，可以利用上面的结论直接求
解；如果二次项系数小于零，则可以先在不等式两边 同乘以－1，将不等式变成二次项系数大
于零的形式，再利用上面的结论去解不等式．
例 解不等式：
（1）x
2
＋2x－3≤0； （2）x
－
x
2
＋6＜0；
（3）4x
2
＋4x＋1≥0； （4）x
2
－6x＋9≤0；
（5）－4＋x－x
2
＜0．
解：（1）∵Δ＞0，方程x
2
＋2x－3＝0的解是
x
1
＝－3，x
2
＝1．
∴不等式的解为 －3≤x≤1．
（2）整理，得
－48－

x
2
－x
－
6＞0．
∵Δ＞0，方程x
2
－x
－
6=0的解为
x
1
＝－2，x
2
＝3．
∴所以，原不等式的解为x＜－2，或x>3．
（3）整理，得
(2x＋1)
2
≥0.
由于上式对任意实数x都成立，
∴原不等式的解为一切实数．
（4）整理，得
(x－3)
2
≤0.
由于当x＝3时，(x－3)
2
＝0成立；而 对任意的实数x，(x－3)
2
＜0都不成立，
∴原不等式的解为
x＝3．
（5）整理，得
x
2
－x＋4＞0．
Δ＜0，所以，原不等式的解为一切实数．
练习：
解下列不等式：
1.
2x?7x?3?0
；



2
2.
?3x?5x?2?0




2
3.
9x?6x?1?0




2
4.
4x?4x?1?0





2
5.
2x?x?5?0









－49－

2

（十七） 一元二次不等式解法（2）
例1 已知不等式
ax?bx?c?0(a?0)
的解是
x?2,或x?3
求不等式
2
bx
2
?ax?c?0
的解．
2
解：由不等式
ax?bx ?c?0(a?0)
的解为
x?2,或x?3
，可知
b
a?0，且方程
ax
2
?bx?c?0
的两根分别为2和3，∴
??5 ,
a
bc
即
??5,?6
．
aa
2
由于
a?0
，所以不等式
bx?ax?c?0
可变为
b
2
c

x?x??0
，
aa
2
即 －
5x?x?6?0,

整理，得

5x?x?6?0,
2
2
c
?6
，
a

所以，不等式
bx?ax?c?0
的解是
6
x＜－1，或x＞ ．
5
说明：本例利用了方程与不等式之间的相互关系来解决问题．
2
例2 解关于
x
的一元二次不等式
x?ax?1?0(a
为实数).
分析 对于一元二次不等式,按其一般解题步骤,首先应该将二次项系数变成正数,本题已
满足这一要求,欲求 一元二次不等式的解,要讨论根的判别式
?
的符号,而这里的
?
是关于未知< br>系数的代数式,
?
的符号取决于未知系数的取值范围，因此,再根据解题的需要,对< br>?
的符号进
行分类讨论.
解:
?
?a?4
,
2
①当
??0,即a??2或a?2时,

方程x?ax?1?0的解是
2
?a?a
2
?4?a?a
2
?4
x
1
?,x
2
?.

22
?a?a
2
?4?a?a< br>2
?4
所以,原不等式的解集为
x?
；
,
或
x?
22
②当Δ＝0，即a＝±2时，原不等式的解为
a
x≠－ ；
2
③当
??0,即?2?a?2时,原不等式的解
为一切实数 .
综上,当a≤－2，或a≥2时，原不等式的解是
?a?a
2
?4?a?a
2
?4

x?
；
,
或
x?
22
当
?2?a?2时,原不等式的解
为一切实数．
例3 已知函数y＝x
2
－2ax＋1(a为常数)在－2≤x≤1上的最小 值为n，试将n用a表示出来．
分析：由该函数的图象可知，该函数的最小值与抛物线的对称轴的位置有关，于是需要对
－50－

对称轴的位置进行分类讨论．
解：∵y＝(x
－
a)
2
＋1－a
2
，
∴抛物线y＝x
2
－2ax＋1的对称轴方程是x＝a．
（1）若－2≤a≤1，由图2.3-3①可知,当x＝a时，该函数取最小值
n＝1－a
2
；
(2)若a＜-2时, 由图2.3-3②可知, 当x＝-2时，该函数取最小值
n＝4a+5；
(2)若a＞1时, 由图2.3-3③可知, 当x＝1时，该函数取最小值
n＝-2a+2.
综上,函数的最小值为
?
4a?5,a??2,
?

n?
?
1?a
2
,?2?a?1,

?
?2a?2,a?1.
?
y
x＝a
x＝a
y
y
x＝a
－2
O
1
x
－2
O
1
x
－2
O
1
x
①
②
图2.3－3
③

练习
1．解下列不等式：
（1）3x
2
－x－4＞0； （2）x
2
－x－12≤0；




（3）x
2
＋3x－4＞0； （4）16－8x＋x
2
≤0．




2.解关于x的不等式x
2
＋2x＋1－a
2
≤0（a为常数）．





－51－

2
3.解关于
x
的不等式
mx?2x?1?0










2
4. 已知函数
y
＝
x
－2
ax
＋1(
a
为常数)在－2≤
x
≤1上的最小值为1 ，求实数
a
的值。









习题
A 组
1．解下列方程组：
?
x
2
?
?y
2
?1,
（1）
?
4

?
x?y?2?0;
?






?
(x?3)
2
?y
2
? 9,
（2）
?

x?2y?0;
?






22
?
?
x?y?4,
（3）
?
2

2
?
?
x?y?2.


－52－

2．解下列不等式：
（1）3x
2
－2x＋1＜0； （2）3x
2
－4＜0；





（3）2x－x
2
≥－1； （4）4－x
2
≤0．






B 组
1．
m
取什么值时,方程组
?
y
2
?4x,

?
y?2x?m
?

有一个实数解?并求出这时方程组的解．






2．解关于x的不等式：（1）x
2
－(1＋a)x＋a＜0（a为常数）；
（2）
x?2x?m?0










2
3 ．已知关于x不等式
ax?bx?c?0
的解为x＜－1，或x＞3．试解关于x的不等式
2
cx
2
?bx?a?0






－53－

4．试求关于x的函数y＝－x
2
＋mx＋2在0≤x≤2上的最大值k．





（十八）国际数学大师陈省身

2004年12月3日，国际数学大师、中科院外籍院士陈省身，在天津病逝．享年93岁．陈
省身，1911年10月26日生于浙江嘉兴．少年时就喜爱数学，觉得数学既有趣又较容易，并
且喜 欢独立思考，自主发展，常常“自己主动去看书，不是老师指定什么参考书才去看”．陈省
身1927年 进入南开大学数学系，该系的姜立夫教授对陈省身影响很大．在南开大学学习期间，
他还为姜立夫当助教 ．1930年毕业于南开大学，1931年考入清华大学研究院，成为中国国内
最早的数学研究生之一． 在孙光远博士指导下，发表了第—篇研究论文，内容是关于射影微分
几何的．1932年4月应邀来华讲 学的汉堡大学教授布拉希克对陈省身影响也不小，使他确定
了以微分几何为以后的研究方向．1934年 ，他毕业于清华大学研究院，同年，得到汉堡大学
的奖学金，赴布拉希克所在的汉堡大学数学系留学．在 布拉希克研究室他完成了博士论文，研
究的是嘉当方法在微分几何中的应用．1936年获得博土学位． 从汉堡大学毕业之后，他来到
巴黎．1936年至1937年间在法国几何学大师E·嘉当那里从事研究 ．E·嘉当每两个星期约陈
省身去他家里谈一次，每次一小时．“听君一席话，胜读十年书．”大师面对 面的指导，使陈省
身学到了老师的数学语言及思维方式，终身受益．陈省身数十年后回忆这段紧张而愉快 的时光
时说，“年轻人做学问应该去找这方面最好的人”．

陈省身先后 担任我国西南联大教授，美国普林斯顿高等研究所研究员，芝加哥大学、伯
克利加州大学终身教授等，是 美国国家数学研究所、南开大学数学研究所的创始所长．陈省身
的数学工作范围极广，包括微分几何、拓 扑学、微分方程、代数、几何、李群和几何学等多方
面．他是创立现代微分几何学的大师．早在40年代 ，他结合微分几何与拓扑学的方法，完成
了黎曼流形的高斯—博内一般形式和埃尔米特流形的示性类论． 他首次应用纤维丛概念于微分
几何的研究，引进了后来通称的陈氏示性类．为大范围微分几何提供了不可 缺少的工具．他引
近的一些概念、方法和工具，已远远超过微分几何与拓扑学的范围，成为整个现代数学 中的重
要组成部分．陈省身还是一位杰出的教育家，他培养了大批优秀的博士生．他本人也获得了许多荣誉和奖励，例如1975年获美国总统颁发的美国国家科学奖，1983年获美国数学会“全体
成就”靳蒂尔奖，1984年获沃尔夫奖．中国数学会在1985年通过决议．设立陈省身数学奖．他
－ 54－

是有史以来惟一获得数学界最高荣誉“沃尔夫奖”的华人，被称 为“当代最伟大的数学家”．被国
际数学界尊为“微分几何之父”．韦伊曾说，“我相信未来的微分几何 学史一定会认为他是嘉当的
继承人”． 菲尔兹奖得主、华人数学家丘成桐这样评价他的老师：“陈 省身是世界上领先的数
学家……没有什么障碍可以阻止一个中国人成为世界级的数学家．”
2004年11月2日，经国际天文学联合会下属的小天体命名委员会讨论通过，国际小
行星中心正式发 布第52733号《小行星公报》通知国际社会，将一颗永久编号为1998CS2
号的小行星命名为“ 陈省身星”，以表彰他对全人类的贡
（十九）中华民族是一个具有灿烂文化和悠久历史的民族

中华民族是一个具有灿烂文化和悠久历史的民族，在灿烂的文化瑰宝中数学在世界也同
样具有许 多耀眼的光环，我国古代算术的许多研究成果里面就早已孕育了后来西方数学才涉及
的思想方法，这不仅 反映了中华民族文化的博大精深，也说明了我们的民族是一个聪明智慧的
民族，有不少数学人才和在世界 领先的数学研究成果，我们应该引以为荣，更应该发扬和光大
数学前辈的治学精神，爱好数学，学好数学 ，用好数学。我们希望能看到更多的华人数学家诞
生！希望有更多的以华人数学家命名的研究成果载入世 界数学史册，扬我中华民族之威！
以华人数学家命名的研究成果统计
下面就是收集到的以华人数学家命名的研究成果。
「李氏恒等式」数学家李善兰在级数求和方面的研究成果，在国际上被命名为“李氏恒等式”。
「华氏定理」数学家华罗庚关于完整三角和的研究成果被国际数学界称为“华氏定理”；另外他
与数学 家王元提出多重积分近似计算的方法被国际上誉为“华—王方法”。
「苏氏锥面」数学家苏步青在仿射微分几何学方面的研究成果在国际上被命名为“苏氏锥面”。
「熊氏无穷级」数学家熊庆来关于整函数与无穷级的亚纯函数的研究成果被国际数学界誉为
“熊氏无穷 级”。
「陈示性类」数学家陈省身关于示性类的研究成果被国际上称为“陈示性类”。
「周 氏坐标」数学家周炜良在代数几何学方面的研究成果被国际数学界称为“周氏坐标；另外
还有以他命名的 ”周氏定理“和”周氏环“。
「吴氏方法」数学家吴文俊关于几何定理机器证明的方法被国际上誉为“ 吴氏方法”；另外还有
以他命名的“吴氏公式”。
「王氏悖论」数学家王浩关于数理逻辑的一个命题被国际上定为“王氏悖论”。
「柯氏定理」 数学家柯召关于卡特兰问题的研究成果被国际数学界称为“柯氏定理”；另外他与
数学家孙琦在数论方面 的研究成果被国际上称为“柯—孙猜测”。
－55－

「陈氏 定理」数学家陈景润在哥德巴赫猜想研究中提出的命题被国际数学界誉为“陈氏定理”。
「杨—张定理」数学家杨乐和张广厚在函数论方面的研究成果被国际上称为“杨—张定理”。
「陆氏猜想」数学家陆启铿关于常曲率流形的研究成果被国际上称为“陆氏猜想”。
「夏氏不 等式」数学家夏道行在泛函积分和不变测度论方面的研究成果被国际数学界称为“夏
氏不等式”。 「姜氏空间」数学家姜伯驹关于尼尔森数计算的研究成果被国际上命名为“姜氏空间”；另外还
有以 他命名的“姜氏子群”。
「侯氏定理」数学家侯振挺关于马尔可夫过程的研究成果被国际上命名为“侯氏定理”。
「周氏猜测」数学家周海中关于梅森素数分布的研究成果被国际上命名为“周氏猜测”。
「王氏定理」数学家王戌堂关于点集拓扑学的研究成果被国际数学界誉为“王氏定理”。
「袁氏引理」数学家袁亚湘在非线性规划方面的研究成果被国际上命名为“袁氏引理”。
「景氏算子」数学家景乃桓在对称函数方面的研究成果被国际上命名为“景氏算子”。
「陈氏文法」数学家陈永川在组合数学方面的研究成果被国际上命名为“陈氏文
法”。

（二十） 方差在实际生活中的应用
看一个问题：甲乙两个射击运动员在选拔赛中各射击20次，成绩如下：
甲
7
乙
9
8
5
6
7
8
8
6
7
5
6
9
8
10 7
6 7
4
7
5
9
6
6
5
5
6
8
7
6
8
9
7
6
9
8
9
7
9
7
问：派谁参加比赛合适？
一、方差和标准差计算公式：
样本方差：s
2< br>=
1
２
〔（x
1
—
x
）+（x
2< br>—
x
）
2
+…+（x
n
—
x
）2
〕
n
???
1
22
[(x
1
?x )?(x
2
?x)?
?
?(x
n
?x)
2
]

n
样本标准差：s=
方差和标准差的意义：描述一个样本和总体的波动 大小的特征数。标准差大说明波动大。
一般的计算器都有这个键。
例一、要从甲乙两名跳远运 动员中选拔一名去参加运动会，选拔的标准是：先看他们的平均
成绩，如果两人的平均成绩相差无几，就 要再看他们成绩的稳定程度。为此对两人进行了15
次比赛，得到如下数据：（单位：cm）：
－56－

甲
乙
755 752 757 744 743 729 721 731 778 768 761 773 764 736 741
729 767 744 750 745 753 745 752 769 743 760 755 748 752 747
如何通过对上述数据的处理，来作出选人的决定呢？
说明：总体平均数描述一总体的平均水平，方差和标准差描述数据的波动情况或者叫稳定程
度。
练习：
1.
甲
乙
6
8
5
7
8
6
4
5
9
8
6
2
根据以上数据，说明哪个波动小？






2.从甲乙两个总体中各抽取了一个样本：
甲
乙
900
890
920
960
900
950
850
850
910
860
920
890
根据上述样本估计，哪个总体的波动较小？






3.甲乙两人在相同条件下个射击20次，命中的环数如下：
甲
乙
7
9
8
5
6
7
8
8
6
7
5
6
9 10 7
8 6 7
4
7
5
9
6
6
6
5
7
8
8
6
7
9
9 10 9 6
6 8 7 7
问谁射击的情况比较稳定？
4.为了考察甲乙两种小麦的长势，分别从中抽取10株苗，测得苗高如下：
甲
乙
12
11
13
16
14
17
15
14
10
13
16
19
13
6
11
8
15
10
11
16
哪种小麦长得比较整齐？


－57－

（二十一）平行线分线段成比例定理
在解决几何问题时 ，我们常涉及到一些线段的长
度、长度比的问题.在数学学习与研究中，我们发现平
行线常能产 生一些重要的长度比.
在一张方格纸上，我们作平行线
l
1
,l
2
,l
3
（如图），
直线
a
交
l
1
,l
2
,l
3
于点
A,B,C
，
AB?2,BC? 3
，另
作直线
b
交
l
1
,l
2
, l
3
于点
A',B',C
，
'
不难发现

A'B'AB2
??.

B'C'BC3
我们将这个结论一般化，归纳出平行线分线段成比例定理：
三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.
如图，
l
1
l< br>2
l
3
，有
ABDEABDE
.当然，也可以得出.在运用该
=?
BCEFACDF
定理解决问题的过程中，我们一定要注意线段之间的对应关系， 是“对应”线段
成比例.
例1 如图，
l
1
l
2
l
3
，
且
AB=2,BC=3,DF=4,
求
DE,EF
.
解
Ql
1
l
2
l
3
,
ABDE2
= =

,
BCEF3
28312
DE?DF?,EF?DF?.

2?352?35


例2 在
ABC
中，
D, E
为边
AB,AC
上的点，
DEBC
，
求证：
ADAEDE
??
.
ABACBC
DEBC,??ADE??ABC,?AED??ACB,
证法（一）：
－58－

ADAEDE
??.

ABACBC
证法（二）： 如图3.1-3，过
A
作直线
lBC
，
?ADE
∽
ABC
，
?
lDEBC,

?
ADAE
.
?
ABAC
过
E
作
EFAB
交
AB
于
D
，得
BDEF
，
因而
DE?BF.

AEBFDE
EFAB,???.

ACBCBC
ADAEDE
???.

ABACBC

从上例可以得出如下结论：
平行于三角形的一边的直线截其它两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例.
平行于 三角形的一边，并且和其它两边相交的直线，所截得的三角形的三边与原三角形
的三边对应成比例.
例3 已知
ABC
，
D
在
AC
上，
AD :DC?2:1
，能否在
AB
上找到一点
E
，使得线段
EC
的中点在
BD
上.
解 假设能找到，如图，设
EC
交< br>BD
于
F
，则
F
为
EC
的中点，作
EGAC
交
BD
于
G
.
EGAC,EF?FC
，
?
EGF?CDF
，且
EG?DC
，
1BEEG1
??,

?EGAD,BEGBAD
，且
BA AD2
2
?E
为
AB
的中点.
可见，当
E
为
AB
的中点时，
EC
的中点在
BD
上.
< br>我们在探索一些存在性问题时，常常先假设其存在，再解之，有解则存在，无解或矛盾则
不存在.
例4 在
VABC
中，
AD
为
?BAC
的平分 线，求证：
证明 过C作CEAD，交BA延长线于E，
ABBD
=
.
ACDC
QADCE,
BABD
=.

AEDC
?DAC,

Q
AD平分
衆BAC,?BAD由
ADCE
知
?BAD行E,DAC=?ACE,


－59－

?E?ACE,即AEAC,


ABBD
.
=
ACDC
例4的结论也称为角平分线性质定 理，可叙述为角平分线分对边成比例（等于该角的两
边之比）.



练习
1．如图，
l
1
l
2
l
3
，下列比例式正确的是（ ）
ADCEADBC
B．
==
DFBCBEAF
CEADAFBE
C． D.
==
DFBCDFCE


A．

2．如图，
DEBC,EFAB,AD=5cm,DB=3cm,FC =2cm,
求
BF
.









3．如图，在
VABC
中，AD是角BA C的平分线，AB=5cm,AC=4cm,BC=7cm,求BD
的长.








－60－

4．如图，在
VABC
中，
?BAC
的外角平分线
AD
交
BC
的延长线于点
D
，求证：
ABBD
.
=
ACDC










5 ．如图，在
VABC
的边AB、AC上分别取D、E两点，使BD=CE，DE延长线交
DFAC
BC的延长线于F.求证：.
=
EFAB









（二十二）相似形
我们学 过三角形相似的判定方法，想一想，有哪些方法可以判定两个三角形相似？有哪些
方法可以判定两个直角 三角形相似？
例5 如图，四边形ABCD的对角线相交于点O，求证：
?BAC?CD B
，
?DAC?CBD
.
证明 在
VOAB
与
VODC
中，
?AOB行DOC,OAB=?ODC,


VOAB
∽
VODC
，
－61－

OAOBOAOD
，即.
==
ODOCOBOC
又
VOAD
与
VOBC
中，
?AOD

VOAD
∽
VOBC
，

?DAC?CBD
.

?BOC
，

例6 如图,在直角三角形ABC中，
?BAC
为直角，
AD^BC于D
.
求证：（1）
AB
2
=BD?BC
，
AC
2
=C D?CB
；
（2）
AD=BD?CD

证明 （1）在
Rt
与
RtVBDA
中，
VBAC
?B?B
，

2
VBAC
∽
VBDA
，

2
BABC=,即AB
2
=BD?BC.

BDBA
同理可证得
AC=CD?CB
.
（2）在
RtV ABD
与
RtVCAD
中，
?C90
o
-?CAD?BAD
，
RtVABD
∽
RtVCAD
，

ADDC=,即AD
2
=BD?DC.

BDAD
我们把这个例题的结论称为射影定理，该定理对直角三角形的运算很有用.
例7 在
VABC
中，
AD^BC于D,DE^AB于E,DF^AC于 F
，求证：
AE?AB?AF
.
证明
QAD^BC
，

VADB
为直角三角形，又
DE^AB
，
由射影定理，知
AD=AE?AB
.
同理可得
AD=AF?AC
.
2
2
AE?AB

AF?AC
.
例7图
例8
如图3.1-14，在
VA BC
中，
D
为边
BC
的中点，
E
为边
AC
上的任意一点，
BE
交
AD
于点
O
.某学生在研究 这一问题时，发现了如下的事实：
－62－

（1） 当

AE11AO22
====
时，有.（如图a）
AC21+1AD32+1
AE11AO22
====
时，有.（如图b）
AC31+2AD42+2
AE11AO22
====
时，有.（如图c）
AC41+3AD52+3
AE1
AO
=
时，参照上述研究结论，请 你猜想用n表示的一般
AC1+n
AD
（2） 当
（3） 当
在图3.1-14d中，当
结论，并给出证明（其中n为正整数）.
解：依题意可以猜想：当
AE1AO2
==
时，有成立.
AC1+nAD2+n
证明 过点D作DFBE交AC于点F，
Q
D是BC的中点，

F是EC的中点，
由
AE1
AE2AE2
AE1
=
=,=.
. =
，

可知
AC1+n
EFnAF2+n
ECn
AOAE2
==.

ADAF2+n

想一想，图3.1-14d中， 若
AO1AE
=
，则
=?

ADnAC
本题中采用 了从特殊到一般的思维方法.我们常从一些具体的问题中发现一些规律，进而
作出一般性的猜想，然后加 以证明或否定 .数学的发展史就是不断探索的历史.
练习：
－63－
< /p>

1．如图，D是
VABC
的边AB上的一点，过D点作DEBC交AC于 E.已知AD：DB=2：3，
则
S
VADE
:S
四边形BCDE< br>等于（ ）
A．
2:3
B．
4:9
C．
4:5
D．
4:21


2．若一个梯形 的中位线长为15，一条对角线把中位线分成两条线段.这两条线段的比是
3:2
，
则 梯形的上、下底长分别是__________.
3．已知：4，5，与其相似的
VA'B' C'
的最大边长是15，求
ABC
VABC
的三边长分别是3，
'' '
的面积
S
VA'B'C'
.




4．已知：在四边形ABCD 中，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点.
（1） 请判断四边形EFGH是什么四边形，试说明理由；
（2） 若四边形ABCD是平行四边形，对角线AC、BD满足什么条件时，EFGH是菱形？是
正方形？




5．如图,点C、D在线段AB上，
VPCD
是等边三角形，
（1） 当AC、CD、DB满足怎样的关系时，
VACP
∽
VPDB
？
（2） 当
VACP
∽
VPDB
时，求
?APB
的度数.









习题
A组
1． 如图1，
VABC
中，AD=DF=FB，AE=EG=GC，FG=4，则（ ）
A．DE=1，BC=7 B．DE=2，BC=6
－64－

C．DE=3，BC=5 D．DE=2，BC=8








图1 图2

2． 如图2，BD、CE是
VABC
的中线，P、 Q分别是BD、CE的中点，则
PQ:BC
等于（ ）
A．1：3 B．1：4 C．1：5 D．1：6

3． 如图3，
YAB CD
中，E是AB延长线上一点，DE交BC于点F，已知BE：AB=2：3，
S
V BEF
=4
，求
S
VCDF
.


图3




4． 如图4，在矩形A BCD中，E是CD的中点，
BE^AC
交AC于F，过F作FGAB交AE
于G，求 证：
AG=AF?FC
.


图4


B组
1． 如图，已知
VABC
中，AE ：EB=1：3，BD：DC=2：1，AD
2
EFAF
的值为（ ）
+
FCFD
13
A． B．1 C． D．2
22
与CE相交于F，则


2． 如图，已知
VABC< br>周长为1，连结
VABC
三边的中点构成第二个三角形，再连结第二个
对角线三 边中点构成第三个三角形，依此类推，第2003个三
－65－

角形周长为（ ）
A．


3． 如图，已 知M为
YABCD
的边AB的中点，CM交BD
于点E，则图中阴影部分的面积与YABCD
面积的比
是（ ）
A．
1111
B． C．
2002
D．
2003

2002200322

11
15
B． C． D．
36
412


4． 如图，梯形ABCD中，ADBC，EF经过梯形对角线的交点O，且EFAD.
（1） 求证：OE=OF；
OEOE
的值；
+
ADBC
112
（3） 求证：.
+=
ADBCEF
（2） 求






C组
1． 如图，
VABC
中，P是边AB上一点，连结CP.
（1） 要使
VACP
∽
VABC
，还要补充的一个条件是____ ________.
（2） 若
VACP
∽
VABC
，且
AP:PB=2:1
，则
BC:PC
=_____.







2． 如图，点E是四边形ABCD的对角线BD上一点，且
?BAC?BDC?DAE
.
（1） 求证：
BE?ADCD?AE
；
（2） 根据图形的特点，猜想< br>BC
可能等于那两条线段的比
DE
（只须写出图中已有线段的一组比即可）？并 证明你的
猜想.

－66－

o

3． 如图，在
RtVABC
中，AB=AC，
?A90
，点D为B C
上任一点，
DF^AB
于F，
DE^AC
于E，M为BC
的中点，试判断
VMEF
是什么形状的三角形，并证明你
的结论.











4． 如图a，
AB^BD,CD^BD,
垂足分别为B、D，AD和BC相交于E，
EF^BD
于F，
我们可以证明
111
成立.
+=
ABCDEF


若将图a中的垂直改为斜交，如图3.1-29 b，
ABCD,AD、BC
相交于E，EFAB交
BD于F，则：
（1）
111
+=
还成立吗？如果成立，请给出证明；如果不成立，请说明理由；
ABCDEF
－67－

（2） 请找出
S< br>VABD
,S
VBCD
和
S
VEBD
之间的关系，并 给出证明.











（二十三） 三角形的“四心”
三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.





图2
图1


如图1 ，在三角形
VABC
中，有三条边
AB,BC,CA
，三个
A,B,?C
，三个顶点
A,B,C
，在三角形中，角平分线、中角
行
线、高（如图 2）是三角形中的三种重要线段.
三角形的三条中线相交于 一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内
部，恰好是每条中线的三等分点.

例1 求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1.
－68－

已知 D、E、F分别为
VABC
三边BC、CA、AB的中点，
求证 AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2：1.
证明 连结DE，设AD、BE交于点G，
1
Q
D、E分别为BC、AE的中点，则DEAB，且
DE=AB
2
VGDE
∽
VGAB
，且相似比为1：2，
AG=2GD,BG=2GE
.
，

设AD、CF交于点
G'
，同理可得，
AG'=2G'D,CG'=2G'F.

则
G
与
G'
重合，

AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成
2:1
.
三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心.
三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.
例2 已知
V ABC
的三边长分别为
BC=a,AC=b,AB=c
，I
为
VAB C
的内心，且I在
VABC
的边
BC、AC、AB
上的射影分别为< br>D、E、F
，求证：

b+c-a
.
2
证明 作
VABC
的内切圆，则
D、E、F
分别为内切圆在
AE=AF=
三边上的切点，

QAE,AF
为圆的从同一点作的两条切线，
AE=AF
，
同理，BD=BF，CD=CE.
b+c-a=AF+BF+AE+CE-BD- CD

=AF+AE=2AF=2AE
即
AE=AF=
b+c-a
.
2
例3 若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形.
已知 O为三角形ABC的重心和内心.
求证 三角形ABC为等边三角形.
证明 如图，连AO并延长交BC于D.
Q
O为三角形的内心，故AD平分
?BAC
，

ABBD
=
（角平分线性质定理）
ACDC
Q
O为三角形的重心，D为BC的中点，即BD=DC.
AB
=1
，即
AB=AC
.
AC
－69－

同理可得，AB=BC.
VABC
为等边三角形.

三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为 三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在
三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形 的垂心在三角形的外部.（如
图）



例4 求证：三角形的三条高交于一点.

，
已知
VABC
中，AD^BC于D,BE^AC于E
AD与
BE交于H点.
求证
CH^AB
.
证明 以CH为直径作圆，
QAD^BC,BE^AC,?HDC?HEC90
o
,


D、E
在以CH为直径的圆上，
?FCB?DEH
.
同理，E、D在以AB为直径的圆上，可得
?BED
?BCH?BAD
， < br>又
VABD
与
VCBF
有公共角
?B
，
?C FB
?BAD
.
90
o
，即
CH^AB
. ?ADB
过不共线的三点A、B、C有且只有一个圆，该圆是三角形ABC的外接圆，圆心O为三角
形的外心.三角形的外心到三个顶点的距离相等，是各边的垂直平分线的交点.
练习
1．求证：若三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为正三角形.






－70－

2． （1） 若三角形ABC的面积为S，且三边长分别为
a、b、c
，则三角形的内切圆的半径< br>是___________;
（2）若直角三角形的三边长分别为
a、b、c
（其中
c
为斜边长），则三角形的内切圆的半
径是___________. 并请说明理由.

（二十四）几种特殊的三角形
等腰三角形底边上三线（角平分线 、中线、高线）合一.因而在等腰三角形ABC中，三角
形的内心I、重心G、垂心H必然在一条直线上 .
例5 在
ABC
中，
AB?AC?3,BC?2.
求
（1）
ABC
的面积
S
ABC
及
AC
边上的高< br>BE
；
（2）
ABC
的内切圆的半径
r
；
（3）
ABC
的外接圆的半径
R
.
解 （1）如图，作
AD?BC
于
D
.
AB?AC,?D
为
BC
的中点，
?AD?AB
2
?BD
2
?22,

1
? S
ABC
??2?22?22.
2
42
1
又
SABC
?AC?BE,
解得
BE?
.
3
2
（ 2）如图，
I
为内心，则
I
到三边的距离均为
r
，
连
IA,IB,IC
，
S
ABC
?S
IAB< br>?S
IBC
?S
IAC
，
111
即
22?AB?r?BC?r?CA?r
，
222
2
解得
r?
.
2
（3）
ABC
是等腰三角形，
?
外心
O
在
AD
上，连
BO
，
222
则
RtOBD
中，
OD?AD?R,
OB?BD?OD,
?R
2
?(22?R)
2
?1
2
,
解得
R?

在直角三角形ABC中，
?A
为直角，垂心为直角顶点A， 外心O
为斜边BC的中点，内心I在三角形的内部，且内切圆的半径为


92
.

8

b+c-a
2

－71－

（其中
a,b,c
分别为三角形的三边 BC,CA,AB的长），为什么？
该直角三角形的三边长满足勾股定理：
AC
2
+AB
2
=BC
2
.

例6 如图，在
VABC
中，AB=AC，P为BC上任意一点.求证：
AP
2
=AB2
-PB?PC
.
证明：过A作
AD^BC
于D.
在
RtVABD
中，
AD
2
=AB
2
-BD
2
.
在
RtVAPD
中，
AP
2
=AD
2
-DP
2
.

AP
2
=AB
2-BD
2
+DP
2
=AB
2
-(BD+DP)(BD- DP).

QAB=AC,AD^BC,BD=DC
.
BD-DP=CD- DP=PC
.
AP
2
=AB
2
-PB?PC
.

正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的中心.
例7 已知等边三角形ABC和点P，设点P到三边AB，AC，BC的距离分别为
h
1
, h
2
,h
3
，三角形ABC的高为
h
，“若点P在一边BC 上，此时
h
3
=0
，可得结论：
图3.2-15
h
1
+h
2
+h
3
=h
.”
请直接应用以上信息解决下列问题：
当（1）点P在
VABC
内（如图b） ，（2）点在
VABC
外(如图c)，这两种情况时，上述
结论是否还成立？若成立， 请给予证明；若不成立，
h
1
,h
2
,h
3
与h
之间有什么样的关系，请给
出你的猜想（不必证明）.
解 （1）当点P在
VABC
内时，
－72－

法一 如图，过P作
B'C'
分别交
AB,AM,AC于
B',M',C'
，
由题设知
AM'=PD+PE
，
而
AM'=AM-PF
，
故
PD+PE+PF=AM
，即
h
1
+h
2
+h
3
=h
.
法二 如图，连结，

QS
VABC
=S
VPAB
+S
VPAC
+S
VPBC
，
11
BC?AMAB?PD
22
又
AB=BC=AC
，

1
AC?PE
2
1
BC?PF
，
2

AM=PD+PE+PF
，即
h
1
+h
2
+h
3
=h
.
（2）当点P在
VABC
外如 图位置时，
h
1
+h
2
+h
3
=h
不成立 ，猜想：
h
1
+h
2
-h
3
=h
. 注意：当点P在
VABC
外的其它位置时，还有可能
得到其它的结论，
h
1
-h
2
+h
3
=h
，
h
1-h
2
-h
3
=h
（如

图3.2-18，想一想为什么？）等.
在解决上述问题时，“法一”中运用了化归的数学思 想方法，“法二”中灵活地运用了面积的
方法.
练习：
1． 直角三角形的三边长为3，4，
x
,则
x=
________.
2． 等腰三角形有两个内角的和是100°，则它的顶角的大小是_________.
3． 已知直角三角形的周长为
3?3
，斜边上的中线的长为1，求这个三角形的面积.





4． 证明：等腰三角形底边上任意一点到两腰的距离之和为一个常量.





－73－

习题
A组

1． 三角形三边长分别是6、8、10，那么它最短边上的高为 。
2． 如果等腰三角形底边上的高等于腰长的一半，那么这个等腰三角形的顶角等于_________.
3． 已知：
a,b,c
是
ABC
的三条边，
a?7,b? 10
，那么
c
的取值范围是_________。
4． 若三角形的三边长 分别为
1、a、8
，且
a
是整数，则
a
的值是______ ___。
5.如图，等边
ABC
的周长为12，CD是边AB上的中线，
E 是CB延长线上一点，且BD=BE，则
CDE
的周长为
（）
A．
6?43
B．
18?123

C．
6?23
D．
18?43


6.如图 ，在
ABC
中，
?C??ABC?2?A
，BD是边AC上的高，求
?DBC
的度数。






7．如 图，
RtABC,?C?90,M
是AB的中点，AM=AN，MNAC，
求证：MN =AC。





B组

1． 如 图，在
ABC
中，AD平分
?BAC
，AB+BD=AC.求
?B: ?C
的值。



－74－
o

2． 如图，在正方形ABCD中，F为DC的中点，E为BC上一点，且

EC=





1
BC
，求证：
?EFA
4
90
o
.

3.如图，把
ABC
纸片沿DE折叠，当点A落在四边形BCDE内
部时，则
?A
与
?1??2
之间有一种数量关系始终保持不变，请
试着找一找这个规律，你发现的规律是（）
A．
?A??1??2
B．
2?A??1??2

C．
3?A??1??2
D．
3?A?2(?1??2)

4.如图，在等腰
RtABC
中< br>?C?90
，D是斜边AB上任
一点，
AE?CD
于E，
BF ?CD
交CD的延长线于F，
CH?AB
于H，交AE于G.求证：BD=CG.







o


（二十五）圆
设有直线
l
和圆心为
O
且半径为
r
的圆，怎样判断直线
l
和圆
O
的位置关系？
－75－

图1

观察图1，不难发现直线与圆的位置关系为： 当圆心到直线的距离
直线和圆相离，如圆
O
与直线
l
1
；当 圆心到直线的距离
d=rd>r
时，
时，直线和圆相切，如圆
O
与直 线
l
2
；当圆心到直线的距离
d时，
直线和圆相交，如 圆
O
与直线
l
3
.

图2
在直线与圆 相交时，设两个交点分别为A、B.若直线经过圆心，则AB为直径；若直线不
经过圆心，如图2，连结 圆心
O
和弦
AB
的中点
M
的线段
OM
垂直 于这条弦
AB
.且在
RtVOMA
中，
OA
为圆的半径r
，
OM
为圆心到直线的距离
d
，
MA
为弦长
AB
的一半，根
据勾股定理，有
r
2
-d
2
=(



AB
2
)
.
2

图3
当直线与圆相切 时，如图3，
PA,PB
为圆
O
的切线，可得
PA?PB
，
OA?PA.
，且在
RtPOA
中，
PO
2
?PA
2
?OA
2
.
如图4，
PT
为圆
O的切线，
PAB
为圆
O
的割线，我们可
以证得
PAT< br>



例1 如图5，已知⊙O的半径OB=5cm，弦AB=6cm，D是
AB
的中点，求弦BD的长度。
－76－

PTB
，因而
PT
2
?PA?PB
.
图4

解 连结OD，交AB于点E。
图5
BD?AD,O
是圆心，
?OD?B,B E?AE?
1
AB?3cm.

2
在
RtBOE
中 ，OB=5cm,BE=3cm,
?OE?OB
2
?BE
2
?4cm .

OD?5cm,?DE?1cm.

在
RtBDE
中， BE=3cm,DE=1cm,
?BD?10cm.

例2 已知圆的两条平行弦的长度分别为6和
26
，且这两条线的距离为3.求这个圆的半径.







图6


解 设圆的半径为
r
，分两种情况（如图6）：
（1） 若
O
在两条平行线的外侧，
如图（1），AB=6，CD=
26
，
则由
OM-ON=3
，得
r
2
-9-r
2
-24=3
，解得
r=5
.
（2）若
O
在两条平行线的内 侧（含线上），AB=6，CD=
26
，
则由
OM+ON=3
，得
r
2
-9+
综合得，圆的半径为5
设圆
O
1
与圆
O
2
半径分别为
R,r(R?r)
，它们可能有哪 几种位置关系？
－77－

r
2
-24=3
，无解.

图7


观察图7，两圆的圆心距为
O
1
O
2
，不难发现 ：当
O
1
O
2
?R?r
时，两圆相内切，如图7
（ 1）；当
O
1
O
2
?R?r
时，两圆相外切，如图7（2） ；当
O
1
O
2
?R?r
时，两圆相内含，如图
7（ 3）；当
R?r?O
1
O
2
?R?r
时，两圆相交，如图7 （4）；当
O
1
O
2
?R?r
时，两圆相外切，
如 图7（5）.
例3 设圆
O
1
与圆
O
2
的半径 分别为3和2，
O
1
O
2
?4
，
A,B
为 两圆的交点，试求两圆的公共
弦
AB
的长度.







解 连
AB
交
O
1
O
2
于
C
， 则
O
1
O
2
?AB
，且
C
为
AB
的中点，
设
AC?x
，则
O
1
C?9?x, O
2
C?
2
图8
4?x
2
,O
1
O
2
?9?x
2
?4?x
2
?4
，解得
x?
315
.
8
－78－

故弦
AB
的长为
2x?
315
.
4
练习 ：
1.如图9，⊙O的半径为17cm，弦AB=30cm，AB所对的劣 弧和优弧的中点分别为D、C，求
弦AC和BD的长。





图9



2.已知四边形ABCD是⊙O的内接梯形，ABCD，AB=8cm,CD=6cm, ⊙O的半径等于5cm，
求梯形ABCD的面积。






3.如图10，⊙O的直径AB和弦CD相交于点E，
AE?1cm,E B?5cm,?DEB?60,
求CD
的长。







4．若两圆的半径分别为3和8，圆心距为13，试求两圆的公切线的长度.


o
图10

（二十六）点的轨迹
－79－

在几何中，点的轨迹就是点按照某个条件运动形成的图形，它是符合某个条件的所有点组成的.例如，把长度为
r
的线段的一个端点固定，另一个端点绕这个定点旋转一周就得到一 个
圆，这个圆上的每一个点到定点的距离都等于
r
；同时，到定点的距离等于
r
的所有点都在这
个圆上.这个圆就叫做到定点的距离等于定长
r
的点的轨迹 .
我们把符合某一条件的所有的点组成的图形，叫做符合这个条件的点的轨迹.这里含有两
层 意思：（1）图形是由符合条件的那些点组成的，就是说，图形上的任何一点都满足条件；（2）
图形包 含了符合条件的所有的点，就是说，符合条件的任何一点都在图形上.
下面，我们讨论一些常见的平面内的点的轨迹.
从上面对圆的讨论，可以得出：
（1） 到定点的距离等于定长的点的轨迹是以定点为圆心，定长为半径的圆.
我们学过，线 段垂直平分线上的每一点，和线段两个端点的距离相等；反过来，和线段两
个端点的距离相等的点，都在 这条线段的垂直平分线上.所以有下面的轨迹：
（2） 和已知线段两个端点的距离相等的点的轨迹，是这条线段的垂直平分线.
由角平分线性质定理和它的逆定理，同样可以得到另一个轨迹：
（3） 到已知角的两边距离相等的点的轨迹，是这个角的平分线.

例3 ⊙O过两个已知点A
、
B
，圆心
O
的轨迹是什么？画出它的图
形.
分析 如图11，如果以点
O
为圆心的圆经过点
A
、
B< br>，那么
OA=OB
；反过来，如果一个点
O
到
A
、< br>B
两点距离相等，即
OA=OB
，那么以
O
为圆心，OA为半 径的圆一定经过
A
、
B
两点.
图11
这就是说，过A
、
B
点的圆的圆心的轨迹，就是到
A
、
B
两 点
距离相等的点的轨迹，即和线段
AB
两个端点距离相等的点的轨迹.
答： 经过
A
、
B
两点的圆的圆心O的轨迹是线段
AB
的垂直平分 线.
练习：
1．画图说明满足下列条件的点的轨迹：
（1） 到定点
A
的距离等于
3cm
的点的轨迹；
（2） 到直线
l
的距离等于
2cm
的点的轨迹；
（3） 已知直线
ABCD
，到
AB
、
CD
的距离相等的点的轨迹.



2．画图说明，到直线
l
的距离等于定长
d
的点的轨迹.




习题
－80－

A组
1． 已知弓形弦长为4，弓形高为1，则弓形所在圆的半径为 。
2． 在半径等于4的圆中，垂直平分半径的弦长为 。
3． AB为⊙O的直径，弦
CD?AB
，E为垂足，若BE=6，AE=4，则CD等于 。
4． 如图12，在⊙O中，E是弦AB延长线上的一点，已知OB=10cm,OE=12cm，
?OEB?30,
求AB。









o
图12
B组
1． 如图13，已知在
RtABC
中，
?C?90,AC?5cm,BC?12cm,
以C为圆心， CA为半
径的圆交斜边于D，求AD。





图13










2． 在直径为100mm的半圆铁片上切去一块高为20mm的弓形铁片，求弓形的弦AB的长。

－81－

o

3． 如图14，
ABC
内接于⊙O，D为
BC
的中点，
A E?BC
于E。求证：AD平分
?OAE
。
图14
4． 如图1 5，
?AOB?90
，C、D是
AB
的三等分点，AB分别交
OC、 OD于点E、F，求证：AE=BF=CD。



图15








5． 已知线段
AB=4cm
.画出到点
A
的距离等于
3cm
的点的轨迹，再画出到 点
B
的距离等于
－82－

o