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绿地率公式四边形是平面几何图形中的一个重要内容分解

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-16 08:31
tags:平行四边形面积公式

越王勾践的故事-地方的英文单词


四边形是平面几何图形中的一个重要内容。无论是长方形、正方形,还是平行四边形、
梯形等, 都是考察图形问题处理能力的很好题材。本讲将主要介绍平行四边形和梯形的一
些问题,以供交流,从而 提高自己图形处理的灵活性和技巧性。
一、高的关系是关键
在图形问题中,有些题目要从几个基本图形高的关系入手。
例1 如图所示,P为平行四边 形ABCD外一点,已知三角形PAB的面积为10平方厘米,
三角形PDC的面积为7平方厘米,求平 行四边形ABCD的面积。

分析:题目中只知道三角形的面积,而平行四边形ABCD的底 和高都不知道,初看好像
很难求解。
我们先来看看图的特点,不难看出三角形PAB和三角形 PDC都可以以AB或DC为底边,
且AB和DC恰好是平行四边形ABCD的一组对边。
三角形PAB和三角形PDC分别以AB和 DC为底时的高与平行四边形ABCD以AB或 DC
为底时的高似乎存在着某种关系,我们不妨把高画出来看一看。

很清楚,三角 形PAB的高PF等于三角形PDC的高PE与平行四边形ABCD的高EF之和。
而这三条高对应的底 都是相等的。我们从图中虽然得到了很多重要关系,却仍然求不出平行
四边形ABCD的面积。这时的就 要利用代数的运算了。
解答:过P点做AB的垂线,分别交DC、AB于E、F。
平行四边形ABCD的面积
=AB×EF
=AB×(PF-PE)
=AB×PF- AB×PE
11
=
2
×AB×PF×2-
2
×AB×PE×2

11
=(
2
×AB×PF-
2
×AB×PE)×2

=(三角形PAB的面积-三角形PDC的面积)×2
=(10-7)×2
=3×2
=6(平方厘米)
说明:本题改编自2000全国小学奥林匹克竞赛试题 。解题关键是要观察发现平行四边
形的高与两个三角形的高之间的关系。
二、对角线的作用大
平行四边形的一条对角线平分这个平行四边形面积,这个结论对于解决一些面积问题的
作用相当 大。
例2 如图,P为平行四边形内一点,过P分别作AB、BC的平行线交平行四边形于E、G、F、H四点,若四边形AEPH的面积为10,四边形PFCG的面积为16,求阴影三角形的面
积。

分析:图中有很多平行四边形,其中平行四边形ABCD、EBFP、HPGD的对 角线BD、PB、
PD分别平分这三个平行四边形的面积,因此有三角形ABD的面积等于三角形BCD 的面积由
图中各部分间的关系可知四边形PBCD的面积-阴影分面积等于三角形BCD的面积四边形< br>ABPD的面积+阴影部分面积等于三角形ABD的面积于是,四边形PBCD的面积比四边形ABPD< br>的面积多两个阴影部分面积。而这两个四边形都是由一个平行四边形和两个三角形组成。又
因为三 角形PEB的面积等于三角形PBF的面积三角形PDH的面积等于三角形PGD的面积所以
四边形PB CD的面积比四边形ABPD的面积多两个阴影部分面积也就是四边形PFCG比四边形
AEPH多的那 部分面积。
解答:阴影部分面积×2
=四边形PBCD的面积-四边形ABPD的面积


=(三角形PBF的面积+三角形PGD的面积+四边形PFCG的面积)- (三角形PEB的面积+三角
形PDH的面积+四边形AEPH的面积)
因为
三角形PEB的面积等于三角形PBF的面积
三角形PDH的面积等于三角形PGD的面积
所以
阴影部分面积×2=四边形PFCG的面积-四边形AEPH的面积=16-10=6
阴影部分面积= 3
说明:本题看似繁琐,实际只要借助对角线平分的知识启迪思考,就可以轻松解决。
三、图形一半成桥梁
对于平行四边形的一半我们可以想如下内容:
情况1: 平行四边形一条边上所在直线上的任意一点与对边两个端点所构成的三角形面积是这
个平行四边形面 积的一半;

例3 如图所示,在平行四边形ABCD中,三角形CNF的面积为4,三角 形AEG的面积
为10,四边形MEBF的面积为16,求阴影部分的面积。

分析 :由情况1可知,三角形AFD,三角形DEC的面积都是平行四边形ABCD面积的一半,
进一步可知 三角形ABF与三角形DFC的面积和也是平行四边形ABCD面积的一半。而阴影就
是三角形AFD中 的一部分,因此想到
1
S
三角形GEM
+S
阴影
+ S
三角形DNC
=
2
×S
平行四边形ABCD


1
(S
三角形AEG
+ S
三角形GEM
+S
四边形MEBF
)

+ (S
三角形CNF
+ S
三角形DNC
) =
2
×S
平行四边形ABCD
从这两个 关系式
不难求出阴影部分的面积。
1
解答:因为 S
三角形AFD
=
2
×S
平行四边形ABCD
1
所以 S
三角形ABF
+ S
三角形DFC
=
2
×S
平行四边形ABCD


1
即 (S
三角形AEG
+ S
三角形GEM
+S
四边形MEBF
)

+ (S
三角形CNF
+ S
三角形DNC
) =
2
×S
平行四边形ABCD


1
又因为S
三角形DEC
=
2
×S
平 行四边形ABCD


1
即 S
三角形GEM
+S
阴影
+ S
三角形DNC
=
2
×S
平行四边形ABCD

所以
S
三角形GEM
+S
阴影
+ S
三角形DNC
=(S
三角形AEG
+ S
三角形GEM
+S
四边形MEBF
)

+ (S
三角形CNF
+ S
三角形DNC
)

S
阴影
= S
三角形AEG
+S
四边形MEBF
+S
三角形CNF
=10+16+4=30
说明:要善于利用平行四边形面积的一半这一桥梁建立等量关系,从而达到解决问题
的目的。
情况2:
平行四边形内任意一点与平行四边形的一组对边所构成的两个三角形面积之和是平行
四边形面积的一半。

例4 已知,P是平行四边形ABCD内的任意一点。DF =3FC,AE=2EB;三角形PEB的面积为
7,三角形PCF的面积为8.5,求平行四边形DB GH的面积。

分析:首先由情况1可以知道,两个平行四边形ABCD和DBGH的面积都 是三角形DBC
的面积的两倍。那么,这两个平行四边形的面积相等。所以,只要求出平行四边形ABC D的
面积即可求出所要求的平行四边形DBGH的面积。而要想求出平行四边形ABCD的面积就要用< br>到情况2的结论。由于E、F分别是AB、CD的等分点,很容易想到和三角形PEB、PCF等高
的三角形。如图所示,连接PA和PD。因为AE=2EB, DF=3FC所以AB=3EB, DC=4FC因此 三
角形PAB的面积是三角形PEB的面积的3倍;三角形PCD的面积是三角形P CF的面积的4
倍。

由情况2可知三角形PAB的面积与三角形PCD的面积之和 是平行四边形ABCD面积的一
半,也就是说平行四边形ABCD面积是三角形PAB的面积与三角形P CD的面积之和的2倍,
而三角形PEB、三角形PCF的面积都是已知的,所以问题得到解决。
解答:连接PA、PD。
因为AE=2EB, DF=3FC
所以AB=3EB, DC=4FC
有S
三角形PAB
= 3S
三角形PEB
=3×7=21

S
三角形PCD
= 4S
三角形PCF
=4×8.5=34

S
平行四边形ABCD
= (S
三角形PAB
+S
三角形PCD
)×2=(21+34)×2=110

又S
平行四边形DBGH
=2 S
三角形DBC


S
平行四边形ABCD
=2 S
三角形DBC
所以S
平行四边形DBGH
= S
平行四边形ABCD
=110
说明:由情况1可以知道S
平行四边形DBGH
= S
平行四边形ABCD< br>,由情况2可以把平行四边形ABCD的
面积和已知条件建立联系。起到了桥梁的作用。
四、思考公式益处多
数学里的公式特别多,要想记住也不难,但要灵活掌握,就必须思考公式 的产生和发展。
例如梯形面积公式:梯形面积=(上底+下底)×高÷2 ,对于公式的产生在我们平时 的数学
课中都学习过推导过程,这里就不再介绍。就让我们思考公式的演变和发展。
1
如图S
梯形ABCD
=
2
(a+b)h
把公式改变一下

111
S
梯形ABCD
=
2
(a+b)h=
2
ah+
2
bh

11
思考:
2
ah和
2
bh是哪一部分呢?能在梯形中找到吗?
如果添加一条对角线就很清楚了
S
三角形ABD
+ S
三角形BCD
= S
梯形ABCD

11
2
ah+
2
bh= S
梯形ABCD



1
2
(a+b)h= S
梯形ABCD
而三角形BCD与三角形ABD是等高不等底的一对三角形,那两者之间的倍数关系可以由
a
1 1
底边关系得到。即S
三角形ABD
÷S
三角形BCD
=(
2
ah)÷(
2
bh)=

b
。这个关系对解题很有益。
例5 梯形ABCD中,E、F分别是AB和BC的三等分点,G是DC中点。AB=1.5DC,梯 形
ABCD的面积为100,三角形OEF的面积为20,求阴影三角形的面积。

分析:梯形的上底、下底和高都不知道,不宜从公式直接入手,不妨把梯形分成两部分,
三角形DAC和 三角形ABC,这两个三角形占整个梯形的份数可以从底边的倍数关系得到。因
此它们的面积都可以求出 来。同理,三角形DBC的面积也可求出来。而三角形EFC和三角形
GFC的面积是可以通过等分点算 出来的,这样阴影部分便可求出来了。
解答:连接AC、BD和DF首先AB=1.5DC,所以S< br>三角形ABC
=1.5S
三角形ACD
也就是三角形ABC占
322< br>梯形ABCD的
5
,三角形ACD占梯形ABCD的
5
,同理三角形D BC也占梯形ABCD的
5


33
所以S
三角形ABC
= S
梯形ABCD
×
5
=100×
5
=60,

22
S
三角形DBC
= S
梯形ABCD
×
5
=100×
5
=40,
又E、F分别是AB和BC的三等分点,G是DC的中点,所以
222480
S
三角形EFC
= S
三角形EBC
× 3
=S
三角形ABC
×
3
×
3
=60×
9
=
3


121140
S
三角形GFC
= S
三角形EBC
× 2
=S
三角形DBC
×
3
×
2
=40×
3
=
3


8020
而S
三角形OFC
= S
三角形EFC
- S
三角形OEF
=
3
-20=
3


402020
因此S
阴影
= S
三角形GFC
-S
三角形OFC
=
3
-
3
=
3

说明:此题也可设未知数求解,请同学们试一试。

阅读材料
数学名著介绍——《几何原本》
公理化思想是数学中的重要 方法,它的主要精神是从就尽可能少的概念出发,推导出尽
可能多的命题。而《几何原本》正是公理化思 想的典型代表。
《几何原本》的出现不是偶然的,在它之前,已有许多希腊学者做了大量的前驱工作。
到公元前四世纪,希腊几何学已经积累了大量的知识,逻辑理论也渐渐成熟,由来已久的
公理化思想更是大势所趋。这时,形成一个严整的几何结构已是“山雨欲来风满楼”了。
< br>建筑师没有创造木石砖瓦,但利用现有的材料建成大厦是一项不平凡的创造。公理的选
择,定义的 给出,内容的编排,方法的运用以及命题的严格证明都需要有高度的智慧并要付
出巨大的劳动。从事这宏 伟工程的并不是个别的学者,在欧几里得之前已有好几个数学家做
过这种综合整理工作。其中有希波克拉 底,勒俄等。但经得起历史风霜考验的,只有欧几里
得的《几何原本》。在漫长的岁月里,历尽了沧桑而 没有被淘汰。《几何原本》一直是几何学
的经典教本,是至今流传最广、影响最大的一部世界名著,它对 人类思想的影响仅次于《圣
经》,其博大精深的内容成为数学家们研究、创造的源泉。《几何原本》共1 3卷,后来又有
人补充两卷。各卷一般包括定义、公设、公理、命题等,内容主要涉及平面几何、比例论 、
数论、立体几何等。《几何原本》从很少的几个定义、公设、公理出发,推导出大量的结果,
所给出的公理体系标志着演绎数学的成熟,主导了以后数学的发展方向,使得公理化思想成
为现代数学的 根本特征之一。


练习题
1.梯形ABCD中,AB是DC的2倍, 三角形ABE的面积和三角形DEC的面积分别为4和3,
求梯形ABCD的面积。

分析:观察图形可知三角形ABE和DEC可以看成是以梯形的下底和上底为底边的三角形,
对应的两 个三角形的高之和与梯形的高相等,有了这些只要进行代数运算就可以了。
解答:设DC的长度为x,AB的长度为2x。梯形的高为
10
3?24?2

x
+
2x
)=
x

10
1
梯 形ABCD面积=
2
(x+2x)
x
=15
2.P为平行四边形A BCD外一点,三角形PAB和三角形PCD的面积分别为3和7。求阴影部
分面积。
分析:如果平行四边形ABCD的面积求出来,那么整个图形的面积就可以用平行四边形
ABCD的 面积加上三角形PAB的面积算出来,阴影部分面积也就可以用整个图形的面积减去
三角形PCD的面积 求出。

解答:过P点做DC的垂线,分别交AB、DC于E、F。
有例1分析可知
S
平行四边形ABCD
=(S
三角形PDC
- S
三角形PAB
)×2=(7-3)×2=8

S
阴影部分
= S
平行四边形ABCD
+ S
三角形PAB
- S
三角形PDC
=8+3-7=4
说明:对于高的关系,请参考例1。
3.用四个面积分别为1,2,3,4的平行四边形拼成一个大平行四边形,求阴影部分面积。

分析:两个阴影三角形和已知的五个平行四边形关系不大,那和谁有关呢?
1
不难发现,阴影部分正好占平行四边形ABCD的一半。再看,NF是MN的
3
,NE是MN
44155

7
,所以EF是MN的
7
-3
=
21
所以平行四边形ABCD占大平行四边形的
21
,大平 行四
边形是四个已知平行四边形拼成的。这样我们就可以求出阴影面积。
14415
解答:因为NF=
3
MN,NE=
7
MN,所以EF=(
7
-
3
)MN =
21
MN所以平行四边形ABCD
55050125
的面积=(1+2+3+4)×
21
=
21
所以阴影部分面积=< br>21
×
2
=
21

4.平行四边形ABCD被分成了 八块,其中三块面积已知(如图所标数字),求阴影部分
面积。

解答:由图观察可知
4+Ⅰ+阴影部分面积+3+Ⅱ=Ⅰ+28+Ⅱ=平行四边形面积的一半
所以4+阴影部分面积+3=28
阴影部分面积=28-4-3=21
5.如图所示,三角形PBC的面积为10,三角形PCD的面积为23,求三角形PCA的面积。

解答:三角形PCA的面积=(PCDA的面积-PABC的面积)÷2
=[(三 角形PCD的面积+三角形PDA的面积)-(三角形PBC的面积+三角形PAB的面积)]
÷2
=[(三角形PCD的面积-三角形PBC的面积)+(三角形PDA的面积- 三角形PAB的面积)]
÷2
由图观察可知
三角形PCD的面积- 三角形PBC的面积=三角形PND的面积-三角形PBE的面积
三角形PDA的面积- 三角形PAB的面积=三角形PDF的面积-三角形PMB的面积,而
三角形PND的面积=三角形PDF的面积
三角形PBE的面积=三角形PMB的面积
所以
三角形PDA的面积-三角形PAB的面积=三角形PCD的面积- 三角形PBC的面积=23-10=13
三角形PCA的面积 =[(三角形PCD的面积- 三角形PBC的面积)+(三角形PDA的面积-
三角形PAB的面积)] ÷2
=(13+13)÷2
=13
6.平行四边形ABCD的面积为100,E、F、 G分别是AD、CE、BF的中点,求三角形DBG
的面积。

分析:连接BE和D F。因为F是EC的中点,所以三角形BCF的面积是三角形BCE面积
的一半,三角形DFC的面积是 三角形DEC面积的一半,又G是BF的中点,所以三角形DBG
的面积是三角形DBF面积的一半,而 E是AD的中点,所以三角形DEC的面积是平行四边形
ABCD的面积四分之一,再有 三角形BCE 和三角形BCD都是平行四边形面积的一半。综上所
述,可用三角形BCD减去三角形BCF和三角形D FC所得到的差除以2得到问题所求。
111
解答:三角形BCF的面积=三角形BCE面积 ×
2
=平行四边形ABCD的面积×
2
×
2
=100
11
×
2
×
2
=25
1111
三角形DFC的 面积=三角形DEC的面积×
2
=平行四边形ABCD的面积×
4
×
2
=100×
4
1
×
2
=12.5
11
三角形BCD的面积=平行四边形ABCD的面积×
2
=100×
2
=50
1
三角形DBG的面积=(三角形BCD的面积-三角形BCF的面积- 三角形DFC的面积)×
2


1
=(50-25-12.5) ×
2


=6.25
3
7.ABCD是平行四边形,三 角形DEC的面积是120,EB=
5
AD,求三角形AOD的面积。

335
解答:由于AD=BC, EB=
5
AD可知EB=
5
BC,因此AD=
8
EC,所以
55
三角形AED的面积=三角形DEC的面积×
8
=120×
8< br>=75
平行四边形ABCD的面积=三角形AED的面积×2=75×2=150
三角形DOC的面积=三角形AOD的面积+三角形BOC的面积 =平行四边形ABCD的面积×
1
2
=75
所以三角形OEC的面积=三角形DEC的面积-三角形DOC的面积=120-75=45
55225
所以三角形BOC的面积=三角形OEC的面积×
8
=45×
8< br>=
8


225375
三角形AOD的面积=75-
8
=
8

8.梯形ABCD中,G是DC的中点,DH=2HA,AE=3EB,BF=2FC,AB=1.5DC。阴 影部分面积
是110,求梯形面积。

解答:连接AC、BD。因为 AB=1.5DC,所以
2
S
三角形ACD
= S
三角形DBC
=
5
S
梯形ABCD

3
S
三角形ABC
= S
三角形ABD
=
5
S
梯形ABCD

3313
S
三角形AEH
= S
梯形ABCD
×
5
×
4
×
3
=
20
S
梯形ABCD

3121
S
三角形EBF
= S
梯形ABCD
×
5
×
4
×
3
=
10
S
梯形AB CD

2111
S
三角形GFC
= S
梯形ABCD< br>×
5
×
2
×
3
=
15
S
梯 形ABCD

2122
S
三角形EBF
= S
梯形AB CD
×
5
×
2
×
3
=
15
S梯形ABCD

所以
311211
S
阴影部分
= S
梯形ABCD
×(1-
20
-
10
-
15
-
15
)=S
梯形ABCD
×
20


1120
S
梯形ABCD
= S
阴影部分÷
20
=110×
11
=200

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