关键词不能为空

当前您在: 主页 > 数学 >

高中函数学习方法

作者:高考题库网
来源:https://www.bjmy2z.cn/gaokao
2020-09-16 08:37
tags:高中数学学习方法

高中数学三减函数万能公式-高中数学必修四五研究性课题


专题一 函数 (理科)
一、考点回顾
1.理解函数的概念,了解映射的概念.
2.了解函数的单调性的概念,掌握判断一些简单函数的单调性的方法.
3.了解反函数的概念及互为反函数的函数图象间的关系,会求一些简单函数的反函数.
4.理解分数指数幂的概念,掌握有理指数幂的运算性质,掌握指数函数的概念、图象和
性质.
5.理解对数的概念,掌握对数的运算性质,掌握对数函数的概念、图象和性质.
6.能够运用函数的性质、指数函数和对数函数的性质解决某些简单的实际问题.
二、经典例题剖析
考点一:函数的性质与图象
函数的性质是研究初等函数的基石,也是高考考查的重点内容.在复习中要肯于在对定
义的深入理解上下功夫.
复习函数的性质,可以从“数”和“形”两个方面,从理解函数的单调性和奇偶性的定
义入手,在判断和证明函数的性质的问题中得以巩固,在求复合函数的单调区间、函数的最
值及应用问题 的过程中得以深化。
具体要求是:
1.正确理解函数单调性和奇偶性的定义,能准确判断函数的奇偶性,以及函数在某一区
间的单调性,能熟练运用定义证明函数的单调性和奇偶性.
2.从数形结合的角度认识函数的单调性和奇偶性,深化对函数性质几何特征的理解和运
用,归纳总结求函数最大值和最小值的常用方法。
3.培养学生用运动变化的观点分析问题,提高学生用换元、转化、数形结合等数学思想
方法解决问题的能力.
这部分内容的重点是对函数单调性和奇偶性定义的深入理解. 函数的单调性只能在函
数的定义域内来讨论.函数y=f(x)在给定区间上的单调性,反映了函数在区间上函数值的
变化趋 势,是函数在区间上的整体性质,但不一定是函数在定义域上的整体性质.函数的单
调性是对某个区间而 言的,所以要受到区间的限制.
对函数奇偶性定义的理解,不能只停留在f(-x)=f(x)和f(-x)=-f(x)这两 个等式上,
要明确对定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),f(-x)=-f(x)的实质 是:函数的定义
域关于原点对称.这是函数具备奇偶性的必要条件.稍加推广,可得函数f(x)的图象 关于直
线x=a对称的充要条件是对定义域内的任意x,都有f(x+a)=f(a-x)成立.函数的 奇偶性
是其相应图象的特殊的对称性的反映.
这部分的难点是函数的单调性和奇偶性的综合运用.根据已知条件,调动相关知识,选
择恰当的方法解决问题,是对学生能力的较高要求.
函数的图象是函数性质的直观载体,函数的性质可以通过函数的图像直观地表现出来。
因此,掌握函数的图像是学好函数性质的关键,这也正是“数形结合思想”的体现。
复习函数图像要注意以下方面。
1.掌握描绘函数图象的两种基本方法——描点法和图象变换法.
2.会利用函数图象,进一步研究函数的性质,解决方程、不等式中的问题.
3.用数形结合的思想、分类讨论的思想和转化变换的思想分析解决数学问题.
4.掌握知识之间的联系,进一步培养观察、分析、归纳、概括和综合分析能力. 以解
析式表示的函数作图象的方法有两种,即列表描点法和图象变换法,掌握这两种方法是本节
的重点.
运用描点法作图象应避免描点前的盲目性,也应避免盲目地连点成线.要把表列在关键


处,要把线连在恰当处.这就要求对所要画图象的存在范围、大致特征、变化趋势等作一个
大概的研究.而这个研究要借助于函数性质、方程、不等式等理论和手段,是一个难点.用
图象变换法 作函数图象要确定以哪一种函数的图象为基础进行变换,以及确定怎样的变换.这
也是个难点.
选择题要注意利用特值排除法、估值排除法等
处理函数图像的平移变换及伸缩变化等问题的一般方法为:先判断出函数的标准模型,
并用换元法将问题复合、化归为所确定的标准模型
- 4 -
2、处理函数图像的平移变换及伸缩变化等问题的一般方法为:先判断出函数的标准模型,并用换元法将问题复合、化归为所确定的标准模型。
考点二:二次函数
二次函数是中学代数的基本内容之一,它既简单又具有丰富的内涵和外延. 作为最基本
的初等函数,可以以它为素材来研究函数的单调性、奇偶性、最值等性质,还可建立起函数、
方程、不 等式之间的有机联系;作为抛物线,可以联系其它平面曲线讨论相互之间关系. 这
些纵横联系,使得围绕二次函数可以编制出层出不穷、灵活多变的数学问题. 同时,有关二
次函数的内容又与近、现代数学发展紧密联系,是学生进入高校继续深造的重要知识基础. 因
此,从这个意义上说,有关二次函数的问题在高考中频繁出现,也就不足为奇了.
学习二次函数,可以从两个方面入手:一是解析式,二是图像特征. 从解析式出发,可
以进行纯粹的代数推理,这种代数推理、论证的能力反映出一个人的基本数学素养;从图像
特征出发, 可以实现数与形的自然结合,这正是中学数学中一种非常重要的思想方法. 考点
三:抽象函数
抽象函数是指没有给出具体的函数解析式或图像,只给出一些函数符号及其满足的条件
的函数,如函数的定义域,解析递推式,特定点的函数值,特定的运算性质等,它是高中函
数部分的难点 ,也是大学高等数学函数部分的一个衔接点,由于抽象函数没有具体的解析表
达式
作为载体,因此理解研究起来比较困难.但由于此类试题即能考查函数的概念和性质,又
能考查学生的思维能力,所以备受命题者的青睐,那么,怎样求解抽象函数问题呢,我们可
以利用特殊 模型法,函数性质法,特殊化方法,联想类比转化法,等多种方法从多角度,多
层面去分析研究抽象函数 问题,
(一) 函数性质法
函数的特征是通过其性质(如奇偶性,单调性周期性,特殊点等)反应出来的,抽象函数
也是如此,只有充分挖掘和利用题设条件和隐含的性质,灵活进行等价转化,抽象函数问题
才能转化, 化难为易,常用的解题方法有:1,利用奇偶性整体思考;2,利用单调性等价转化;3,
利用周期性回 归已知4;利用对称性数形结合;5,借助特殊点,布列方程等.
(二)特殊化方法
1、在求解函数解析式或研究函数性质时,一般用代换的方法,将x换成-x等; 2、在
求函数值时,可用特殊值代入;
3、研究抽象函数的具体模型,用具体模型解选择题,填空题,或由具体模型函数对综合
题,的解答提供思路和方法.
总之,抽象函数问题求解,用常规方法一般很难凑效,但我们如果能通过对题目的信息
分析与研究,采用特殊的方法和手段求解,往往会收到事半功倍之功效,真有些山穷水复疑
无路,柳暗花 明又一村的快感.
考点四:函数的综合应用篇二:高中数学函数解题技巧方法总结(高考)
高中数学函数知识点总结


1. 函数的三要素是什么?如何比较两个函数是否相同?
(定义域、对应法则、值域) (两点必须同时具备)
2. 求函数的定义域有哪些常见类型? 例:函数y?x4?xlg?x?3?2的定义域是 (答:?0,
2???2,3???3,4?)
函数定义域求法:
? 分式中的分母不为零;
? 偶次方根下的数(或式)大于或等于零;
? 指数式的底数大于零且不等于一;
对数式的底数大于零且不等于一,真数大于零。 ?
?
? ???正切函数y?tanx ?x?r,且x?k??,k??? 2??余切函数y?cotx ?x?r,且x?k?,k???
反三角函数的定义域
,函数y=arccosx的定义域是 [-1, 1] ,函数y=arcsinx的定义域是 [-1, 1] ,
值域是
值域是 [0, π] ,函数y=arctgx的定义域是 r ,值域是.,函数y=arcctgx的定义
域是 r ,值域是 (0, π) .
当以上几个方面有两个或两个以上同时出现时,先分别求出满足每一个条件的自变量的
范围,再取他们的交集,就得到函数的定义域。
3. 如何求复合函数的定义域?
如:函数f(x)的定义域是?a,b?,b??a?0,则函数f(x)?f(x)?f(?x)的定
义域是_____________。 (答:?a,?a?)
复合函数定义域的求法:已知y?f(x)的定义域为?m,n?,求y?f?g(x)?的定 义域,可由
m?g(x)?n解出x的范围,即为y?f?g(x)?的定义域。
?1?例 若函数y?f(x)的定义域为?,2?,则f(log2x)的定义域为。 ?2?
11?1?分析:由 函数y?f(x)的定义域为?,2?可知:?x?2;所以y?f(log2x)中有?log2x?2。
22?2?
解:依题意知: 1?log2x?2 2
解之,得 2?x?4
∴ f(log2x)的定义域为x|2?x?4 ??
4、函数值域的求法
1、直接观察法
对于一些比较简单的函数,其值域可通过观察得到。
1例 求函数y=的值域 x
2、配方法
配方法是求二次函数值域最基本的方法之一。
例、求函数y=x2-2x+5,x?[-1,2]的值域。
3、判别式法
对二次函数或者分式函数(分子或分母中有一个是二次)都可通用,但这类题型有时也
可以用其他方法进行化简,不必拘泥在判别式上面
下面,我把这一类型的详细写出来,希望大家能够看懂
b型:直接用不等式性质k+x2
bxb. y?2型,先化简,再用均值不等式x?mx?n
x11 例:y???121+x2
x+x


x2?m?x?n?c.. y?2型 通常用判别式x?mx?n
x2?mx?nd. y?型 x?n
法一:用判别式a. y?
法二:用换元法,把分母替换掉
2x2?x?1(x+1)?(x+1)+1 1 例:y???(x+1)??1?2?1?1x?1x?1x?1
4、反函数法
直接求函数的值域困难时,可以通过求其原函数的定义域来确定原函数的值域。
3x?4例 求函数y=值域。 5x?6
5、函数有界性法
直接求函数的值域困难时,可以利用已学过函数的有界性,来确定函数的值域。我们所
说的单调性,最常用的就是三角函数的单调性。
ex?12sin??12sin??1例 求函数y=x,y?,y?的值域。 1?sin?1?cos?e?1
ex?11?yy?x?ex??01?ye?1
2sin??11?yy??|sin?|?||?1,1?sin?2?y
2sin??1y??2sin??1?y(1?cos?)1?cos?
2sin??ycos??1?y
??x)?1?y,即sin(??x)?
又由sin(??x)?1?1
解不等式,求出y,就是要求的答案
6、函数单调性法
通常和导数结合,是最近高考考的较多的一个内容
例求函数y=2
7、换元法
通过简单的换元把一个函数变为简单函数,其题型特征是函数解析式含有根式或三角
函数公式模型。换元法是数学方法中几种最主要方法之一,在求函数的值域中同样发
挥作用。
例 求函数y=x+x?1的值域。
8 数形结合法
其题型是函数解析式具有明显的某种几何意义,如两点的距离公式直线斜率等等,这
类题目若运用数形结合法,往往会更加简单,一目了然,赏心悦目。
例:已知点p(x.y)在圆x2+y2=1上, x?5?log3x?1(2≤x≤10)的值域
y的取值范围x?2
(2)y-2x的取值范围 解:(1)令
d?r(d为圆心到直线的距离,r为半径)
(2)令y-2x?b,即y?2x?b?0,也是直线d d?r
例求函数y=y?k,则y?k(x?2),是一条过(-2,0)的直线. x?2(x?2)2+(x?8)2的值域。
解:原函数可化简得:y=∣x-2∣+∣x+8∣
上式可以看成数轴上点p(x)到定点a(2),b(-8)间的距离之和。
由上图可知:当点p在线段ab上时,
y=∣x-2∣+∣x+8∣=∣ab∣=10
当点p在线段ab的延长线或反向延长线上时,
y=∣x-2∣+∣x+8∣>∣ab∣=10
故所求函数的值域为:[10,+∞)
例求函数y=x2?6x?13+ x2?4x?5的值域


2解:原函数可变形为:y=(x?3)?(0?2)+2x?2)2?(0?1) 2
上式可看成x轴上的点p(x,0)到两定点a(3,2),b(-2,-1)的距离之和,由 图可
知当点p为线段与x轴的交点时, ymin=∣ab∣=
故所求函数的值域为[43,+∞)。
注:求两距离之和时,要将函数
9 、不等式法 (3?2)2?(2?1)=43, 2
利用基本不等式a+b≥2ab,a+b+c≥33abc(a,b,c∈r),求函数的最值 ,其题型特征
解析式是和式时要求积为定值,解析式是积时要求和为定值,不过有时须要用到拆项、添项
和两边平方等技巧。
2例: x2?(x?0) x?
=x2?11???3xx (应用公式a+b+c?3者的乘积变成常数)
x2(3-2x)(0<x<1.5)
x?x+3-2x3 =x?x?(3-2x)?()?13
a?b?c3 (应用公式abc?()时,应注意使3者之和变成常数)3
10.倒数法
有时,直接看不出函数的值域时,把它倒过来之后,你会发现另一番境况
例 求函数y=x?2的值域
x?3
x?3
x?2?0时,
1???yy?
x?2?0时,y=0
?0?y??2?0?y?1 21
2
多种方法综合运用
总之,在具体求某个函数的值域时,首先要仔细、认真观察其题型特征,然后再选择恰
当的方法,一般优先考虑直接法,函数单调性法和基本不等式法,然后才考虑用其他各种特
殊方法。
5. 求一个函数的解析式或一个函数的反函数时,注明函数的定义域了吗?
切记:做题,特别是做大题时, 一定要注意附加条件,如定义域、单位等东西要记得协
商,不要犯
我当年的错误,与到手的满分失之交臂 如:f?x?1?ex?x,求f(x). ?
令t?x?1,则t?0
∴x?t2?1
∴f(t)?et2?1?t2?1
?x2?1?x?0? ∴f(x)?ex2?1
6. 反函数存在的条件是什么?
(一一对应函数)
求反函数的步骤掌握了吗?
(①反解x;②互换x、y;③注明定义域)
??1?x 如:求函数f(x)??2???x
?1?x?0?的反函数 x?0????x?1?x?1?(答:f(x)??) ????x?x?0?
在更多时候,反函数的求法只是在选择题中出现,这就为我们这些喜欢偷懒的人提供了
大方便。请看这个 例题:


(2004.全国理)函数y?x?1?1(x?1)的反函数是( b )
a.y=x2-2x+2(x<1)
c.y=x2-2x (x<1) b.y=x2-2x+2(x≥1) d.y=x2-2x (x≥1)
当然,心情好的同学,可以自己慢慢的计算,我想, 一番心血之后,如果不出现计算问
题的话,答案还 是可以做出来的。可惜,这个不合我胃口,因为我一向懒散惯了,不习惯计
算。下面请看一下我的思路:
原函数定义域为 x〉=1,那反函数值域也为y>=1. 排除选项c,d.现在看值域。原函
数至于为y>=1,则反函数定义域为x>=1, 答案为b.篇三:初中到高中学习函数概念的
体会
初中到高中学习函数概念的体会
初中的函数知识从映射开始,一个x值有且只对应一个y值,然后提到了一次函数,直
角坐标系,从此又学到一个函数式就有一个函数图象,接著是二次函数、反比例函数,过度
到高中时则提 出了指数函数,对数函数,冪函数,在高中的课程中函数的增減性、奇偶性是
重点, 初中时学函数是 从表达式开始的,例如2a-3b这样的式子,因为初中的思維是习惯
常量的,所以对这些表达式表现得 难以理解,引入等式后,似乎能理解自变量與因變量間的
對應關系,特別是以映射的方式。由此根据函数 图象可连接到函数上,建立为这么一种关系,
有一种直观的感觉。不过到了高中,函数的內容要深多了, 提到增減性和奇偶性、最值等概
念,当然都有自己的学习方法和理解方式。
函数概念的发展历程
函数就是在某变化过程中有两个变量x和y,变量y随着变量x一起变化,而且依赖于x。如果变量x取某个特定的值,y依确定的关系取相应的值,那么称y是x的函数。这一要领
是由法国 数学家黎曼在19世纪提出来的,但是最早产生于德国的数学家菜布尼茨。他和牛顿
是微积分的发明者。 17世纪末,在他的文章中,首先使用了“function一词。翻译成汉语的
意思就是“函数。不过 ,它和我们今天使用的函数一词的内涵并不一样,它表示”幂”、“坐
标”、“切线长”等概念。
直到18世纪,法国数学家达朗贝尔在进行研究中,给函数重新下了一个定义,他认为,
所谓变量的函数,就是指由这些变量和常量所组
成的解析表达式,即用解析式表达函数关系。后来瑞士的数学家欧拉又把函数的定义作
了进一步的规范,他认为函数是能描画出的一条曲线。我们常见到的一次函数的图像、二次
函数的图像、 正比例函数的图像、反比例的图像等都是用图像法表示函数关系的。如果用达
朗贝尔和欧拉的方法来表达 函数关系,各自有它们的优点,但是如果作为函数的定义,还有
欠缺。因为这两种方法都还停留在表面现 象上,而没有提示出函数的本质来。
19世纪中期,法国数学家黎紧吸收了莱布尼茨、达朗贝尔和欧拉的成果,第一次准确地
提出了函数的定 义:如果某一个量依赖于另一个量,使后一个量变化时,前一个量也随着变
化,那么就把前一个量叫做后 一个量的函数。黎曼定义的最大特点在于它突出了就是之间的
依赖、变化的关系,反映了函数概念的本质 属性。
数学家与函数
函数概念是全部数学概念中最重要的概念之一,纵观300年来函数概念的发展,众多数
学家从集合、代数、直至对应、集合的角度不断赋予函数概念以新的思想,从而推动了整个
数学的发展 。本文拟通过对函数概念的发展与比较的研究,对函数概念的教学进行一些探索。
1、函数概念的纵向发展
1.1 早期函数概念——几何观念下的函数
十七世纪伽俐略(g.galileo,意,1564-1642)在《两门新科学》一书中, 几乎从头到
尾包含着函数或称为变量的关系这一概念,用文字


和比例的语言表达函数的关系。1673年前后笛卡尔(descartes, 法,1596-1650)在他
的解析几何中,已经注意到了一个变量对于另一个变量的依赖关系,但由 于当时尚未意识到
需要提炼一般的函数概念,因此直到17世纪后期牛顿、莱布尼兹建立微积分的时候, 数学家
还没有明确函数的一般意义,绝大部分函数是被当作曲线来研究的。
1.2 十八世纪函数概念——代数观念下的函数
1718年约翰·贝努利(bernoullijohann,瑞,1667-1748)才在 莱布尼兹函数概念的基
础上,对函数概念进行了明确定义:由任一变量和常数的任一形式所构成的量,贝 努利把变
量x和常量按任何方式构成的量叫“x的函数”,表示为,其在函数概念中所说的任一形式,< br>包括代数式子和超越式子。
18世纪中叶欧拉(l.euler,瑞,1707-1783)就给出了非常形象的,一直沿 用至今的函
数符号。欧拉给出的定义是:一个变量的函数是由这个变量和一些数即常数以任何方式组成< br>的解析表达式。他把约翰·贝努利给出的函数定义称为解析函数,并进一步把它区分为代数
函数( 只有自变量间的代数运算)和超越函数(三角函数、对数函数以及变量的无理数幂所
表示的函数),还考 虑了“随意函数”(表示任意画出曲线的函数),不难看出,欧拉给出的函
数定义比约翰·贝努利的定义 更普遍、更具有广泛意义。
1.3 十九世纪函数概念——对应关系下的函数
1822年傅里叶(fourier,法,1768-1830)发现某些函数可用曲线表示, 也可用一个式
子表示,或用多个式子表示,从而结束了函数概念
是否以唯一一个式子表示的争论,把对函数的认识又推进了一个新的层次。1823年柯西(cauchy,法,1789-1857)从定义变量开始给出了函数的定义,同时指出,虽然无穷级数是
规定函数的一种有效方法,但是对函数来说不一定要有解析表达式,不过他仍然认为函数关
系可 以用多个解析式来表示,这是一个很大的局限,突破这一局限的是杰出数学家狄利克雷。
1837年狄利克雷(dirichlet,德,1805-1859)认为怎样去建立x与y 之间的关系无关
紧要,他拓广了函数概念,指出:“对于在某区间上的每一个确定的x值,y都有一个或 多个
确定的值,那么y叫做x的函数。”狄利克雷的函数定义,出色地避免了以往函数定义中所有
的关于依赖关系的描述,简明精确,以完全清晰的方式为所有数学家无条件地接受。至此,
我们已可以 说,函数概念、函数的本质定义已经形成,这就是人们常说的经典函数定义。
等到康托尔(cantor,德,1845-1918)创立的集合论在数学中占有重要地位之 后,维布
伦(veblen,美,1880-1960)用“集合”和“对应”的概念给出了近代函数定 义,通过集合
概念,把函数的对应关系、定义域及值域进一步具体化了,且打破了“变量是数”的极限,
变量可以是数,也可以是其它对象(点、线、面、体、向量、矩阵等)。
1.4 现代函数概念——集合论下的函数
1914年豪斯道夫(f.hausdorff)在《集合论纲要》中用“序偶”来定义函数。 其优点是
避开了意义不明确的“变量”、“对应”概念,其不足之处是又引入了不明确的概念“序偶”。
库拉托夫斯基(kuratowski)于
1921年用集合概念来定义“序偶”,即序偶(a,b)为集合{{a},{b}},这样, 就使豪斯
道夫的定义很严谨了。1930年新的现代函数定义为,若对集合m的任意元素x,总有集合n
确定的元素y与之对应,则称在集合m上定义一个函数,记为y=f(x)。元素x称为自变元,
元素y称为因变元。
函数概念的定义经过三百多年的锤炼、变革,形成了函数的现代定义形式,但这并不意
味着函数概念发展的历史终结,20世纪40年代,物理学研究的需要发现了一种叫做dirac
-δ函 数,它只在一点处不为零,而它在全直线上的积分却等于1,这在原来的函数和积分
的定义下是不可思议 的,但由于广义函数概念的引入,把函数、测度及以上所述的dirac-
δ函数等概念统一了起来。因 此,随着以数学为基础的其他学科的发展,函数的概念还会继


续扩展。篇四:二次函数的 学习方法
二次函数(quadratic function)是指未知数的最高次数为二次的多项式函 数。二次函
数可以表示为f(x)=ax^2+bx+c(a不为0)。其图像是一条主轴平行于y轴的 抛物线。
一般地,自变量x和因变量y之间存在如下关系:
一般式:1:y=ax^2+bx+c(a≠0,a、b、c为常数), 则称y为x的二次函数。顶点坐标
(-b2a,(4ac-b2)4a) (若给出抛物线上两点及另一个条件,通常可设一般式)
2.顶点式:y=a(x+m)^2+k(a≠0,m≠0,k≠0) (两个式子实质一样, 但初中课本上都是第一
个式子)(若给出抛物线的顶点坐标或对称轴与最值,通常可设顶点式),顶点坐 标为(-m,k)
对称轴x=-m
3.交点式(与x轴):y=a(x-x?)(x-x?) (若给出抛物线与x轴的交点及对称轴与x轴的
交点距离或其他一的条件,通常可设交点式)
重要概念:(a,b,c为常数,a≠0,且a决定函数的开口方向,a>0时,开口方 向向
上,a<0时,开口方向向下。a的绝对值还可以决定开口大小,a的绝对值越大开口就越小 ,a
的绝对值越小开口就越大。
二次函数表达式的右边通常为二次三项式。
x是自变量,y是x的二次函数
x?,x?=[-b±√(b2-4ac)]2a
在平面直角坐标系中作出二次函数y=2x的平方的图像,
可以看出,二次函数的图像是一条永无止境的抛物线。不同的二次函数图像如果所画图
形准确无误,那么二次函数将是由一般式平移得到的。
注意:草图要有
1本身图像,旁边注名函数。
2画出对称轴,并注明x=什么
3与x轴交点坐标,与y轴交点坐标,顶点坐标。抛物线的性质
1.抛物线是轴对称图形。对称轴为直线x = -b2a。
对称轴与抛物线唯一的交点为抛物线的顶点p。
特别地,当b=0时,抛物线的对称轴是y轴(即直线x=0)
2.抛物线有一个顶点p,坐标为p ( -b2a ,(4ac-b^2)4a )
当-b2a=0时,p在y轴上;当δ= b^2-4ac=0时,p在x轴上。
3.二次项系数a决定抛物线的开口方向和大小。
当a>0时,抛物线向上开口;当a<0时,抛物线向下开口。
|a|越大,则抛物线的开口越小。
4.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置。
当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左; 因为若对称轴在左边则对称轴小于0,
也就是- b2a<0,所以b2a要大于0,所以a、b要同号
当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右。因为对称轴在右边则对称轴要大于0,
也就是- b2a>0, 所以b2a要小于0,所以a、b要异号
可简单记忆为左同右异,即当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左;当a与b异
号时 (即ab< 0 ),对称轴在y轴右。
事实上,b有其自身的几何意义:抛物线与y轴的交点处的该抛物线切线的函数解析式
(一次函数)的
斜率k的值。可通过对二次函数求导得到。
5.常数项c决定抛物线与y轴交点。
抛物线与y轴交于(0,c)


6.抛物线与x轴交点个数 δ= b*2-4ac>0时,抛物线与x轴有2个交点。 δ=
b*2-4ac=0时,抛物线与x轴有1个交点。
δ= b^2-4ac<0时,抛物线与x轴没有交点。x的取值是虚数(x= -b±√b^2-4ac 的
值的相反数,乘上 虚数i,整个式子除以2a)
当a>0时,函数在x= -b2a处取得最小值f(-b2a)=4ac-b24a; 在{x|x<-b2a}
上是减函数,在 {x|x>-b2a}上是增函数;抛物线 的开口向上;函数的值域是{y|y≥
4ac-b^24a}相反不变
当b=0时,抛物线的对称轴是y轴,这时,函数是偶函数,解析式变形为y=ax^2+c(a≠
0)
7.特殊值的形式
①当x=1时 y=a+b+c
②当x=-1时 y=a-b+c
③当x=2时 y=4a+2b+c
④当x=-2时 y=4a-2b+c
8.定义域:r
值域:(对应解析式,且只讨论a大于0的情况,a小于0的情况请读者自行推断)①
[(4ac-b^2)4a, 正无穷);
②[t,正无穷)
奇偶性:偶函数
周期性:无
解析式: ①y=ax^2+bx+c[一般式]
⑴a≠0 ⑵a>0,则抛物线开口朝上;a<0,则抛物线开口朝下; ⑶极值点:(-b2a,
(4ac-b^2)4a); ⑷δ=b^2-4ac, δ>0,图象与x轴交于两点: ([-b-√δ]2a,0)
和([-b+√δ]2a,0); δ=0,图象与x轴交于一点: (-b2a,0); δ<0,图
象与x轴无交点; ②y=a(x-h)^2+k[顶点式] 此时,对应极值点为(h,k),其中h=-b2a,
k=(4ac-b^2)4a; ③y=a(x-x1)(x-x2)[交点式(双根式)](a≠0) 对称轴
x=(x1+x2)2 当a>0 且x≥(x1+x2)2时,y随x的增大而增大,当a>0且x≤(x1+x2)
2时y随x 的增大而减小 此时,x1、x2即为函数与x轴的两个交点,将x、y代入即可
求出解析式(一般 与一元二次方程连用)。
焦点式是y=a(x-x1)(x-x2) 知道两个x轴焦点和另一个点坐标设焦点式。两焦点x值就
是相应x1 x2值。
特别地,二次函数(以下称函数)y=ax^2+bx+c,
当y=0时,二次函数为关于x的一元二次方程(以下称方程),ax^2+bx+c=0 此时,函
数图像与x轴有无交点即方程有无实数根。
函数与x轴交点的横坐标即为方程的根。
1.二次函数y=ax^2;,y=a(x-h)^2;,y=a(x-h)^2+k,y=a x^2+bx+c(各式中,a≠0)的图
象形状相同,只是位置不同,它们的顶点坐标及对称轴如下表 : 解析式 顶点坐标 对 称 轴
y=ax^2 (0,0) x=0 y=ax^2+k (0,k) x=0 y=a(x-h)^2 (h,0) x=h y=a(x-h)^2+k (h,
k) x=h y=ax^2+bx+c (-b2a,4ac-b^24a) x=-b2a
当h>0时,y=a(x-h)^2;的图象可由抛物线y=ax^2;向右平行移动h个单位得到,
当h<0时,则向左平行移动|h|个单位得到.
当h>0,k>0时,将抛物线y=ax^2;向右平行移动h个单位,再向上移 动k个单位,
就可以得到y=a(x-h)^2+k的图象;
当h>0,k<0时,将抛物线y=ax^2;向右平行移动h个单位,再向下移 动|k|个单位


可得到y=a(x-h)^2-k的图象;
当h<0,k>0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向上移动k个单位 可得到
y=a(x+h)^2+k的图象;
当h<0,k<0时,将抛物线向左平行移动|h|个单位,再向下移动|k|个 单位可得到
y=a(x+h)^2-k的图象;在向上或向下.向左或向右平移抛物线时,可以简记为“ 上加下减,
左加右减”。
因此,研究抛物线 y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象,通过配方,将一般式化为y= a(x-h)^2+k
的形式,可确定其顶点坐标、对称轴,抛物线的大体位置就很清楚了.这给画图象 提供了方
便.
2.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0)的图象:当a>0时,开口向上,当a& lt;0时开口向下,
对称轴是直线x=-b2a,顶点坐标是(-b2a,[4ac-b^2;]4a ).
3.抛物线y=ax^2+bx+c(a≠0),若a>0,当x ≤ -b2a时,y随x的增大而减小;
当x ≥ -b2a时,y随x的增大而增大.若a<0,当x ≤ -b2a时,y随x的增大而增
大;当x ≥ -b2a时,y随x的增大而减小.
4.抛物线y=ax^2+bx+c的图象与坐标轴的交点:
(1)图象与y轴一定相交,交点坐标为(0,c);
(2)当△=b^2-4ac>0,图象与x轴交于两点a(x?,0)和b(x?,0 ),其中的x1,x2是一
元二次方程ax^2+bx+c=0 (a≠0)的两根.这两点间的距离ab=|x?-x?| =√△∣a∣(a绝
对值分之根号下△)另 外,抛物线上任何一对对称点的距离可以由|2×(-b2a)-a |(a
为其中一点的横坐标)
当△=0.图象与x轴只有一个交点;
当△<0.图象与x轴没有交点.当a>0时,图象落在x轴的上方,x为任何实 数
时,都有y>0;当a<0时,图象落在x轴的下方,x为任何实数时,都有y< 0. 5.抛
物线y=ax^2+bx+c的最值:如果a>0(a<0),则当x= -b2a时,y最小(大)值
=(4ac-b^2)4a.
顶点的横坐标,是取得最值时的自变量值,顶点的纵坐标,是最值的取值.
6.用待定系数法求二次函数的解析式
(1)当题给条件为已知图象经过三个已知点或已知x、y的三对对应值时,可设解析式为
一般形式: y=ax^2+bx+c(a≠0).
(2)当题给条件为已知图象的顶点坐标或对称轴或极大(小)值时,可设解析式为顶点式:< br>y=a(x-h)^2+k(a≠0).
(3)当题给条件为已知图象与x轴的两个交点坐标时,可设解析式为两根式:
y=a (x-x?)(x-x?)(a≠0).
7.二次函数知识很容易与其它知识综合应用,而形成较为复杂的综合题目。因此,以二
次函数知识为主的综合性题目是中考的热点考题,往往以大题形式出现.
习题:
1.( 北京东城区)有一个二次函数的图象,三位学生分别说出了它的一些特点: 甲:
对称轴是直线x=4;
乙:与x轴两个交点的横坐标都是整数;
丙:与y轴交点的纵坐标也是整数,且以这三个交点为顶点的三角形面积为3. 请你写
出满足上述全部特点的一个二次函数解析式: .
考点:二次函数y=ax^2+bx+c的求法
评析:设所求解析式为y=a(x-x1)(x-x2),且设x1<x2,则其图象与x轴两 交点分别是
a(x1,0),b(x2,0),与y轴交点坐标是(0,ax1x2). 『因为交点式


a(x-x1)(x-x2),又因为与y轴交点的横坐标为0,所以a(0+ x1)(0+x2),也就是ax1x2
∵抛物线对称轴是直线x=4,
∴x2-4=4 - x1
即:x1+ x2=8
① ∵s△abc=3,∴(x2- x1)·|a x1 x2|= 3,
即:x2- x1= ②
①②两式相加减,可得:x2=4+,x1=4-
∵x1,x2是整数,ax1x2也是整数,
∴ax1x2是3的约数,共可取值为:±1,±3。
当ax1x2=±1时,x2=7,x1=1,a=±
当ax1x2=±3时,x2=5,x1=3,a=±
因此,所求解析式为:y=±(x-7)(x-1)或y=±(x-5)(x-3)
即:y=x2-x+1 或y=-x2+x-1 或y=x2-x+3 或y=-x2+x-3
说明:本题中,只要填出一个解析式即可,也可用猜测验证法。例如:猜测与x轴交点
为a(5,0),b(3,0)。再由题设条件求出a,看c是否整数。若是,则猜测得以验证,填上
即 可。
2.( 安徽省)心理学家发现,学生对概念的接受能力y与提出概念所用的时间x(单位:< br>分)之间满足函数关系:y=-0.1x2+2.6x+43(0<x<30)。y值越大,表示接受能力 越强。
(1)x在什么范围内,学生的接受能力逐步增强?x在什么范围内,学生的接受能力逐步
降低?
(2)第10分时,学生的接受能力是什么?
(3)第几分时,学生的接受能力最强?
考点:二次函数y=ax^2+bx+c的性质。
评析:将抛物线y=-0.1x2+2.6x+43变为顶点式为:y=-0.1(x-13) 2+59.9,根据抛物线的
性质可知开口向下,当x<13时,y随x的增大而增大,当x>1 3时,y
随x的增大 而减小。而该函数自变量的范围为:0<x3<0,所以两个范围应为0<x<13;
13<x<30。 将x=10代入,求函数值即可。由顶点解析式可知在第13分钟时接受能力为最强。
解题过程如下:
解:(1)y=-0.1x2+2.6x+43=-0.1(x-13)2+59.9
所以,当0<x<13时,学生的接受能力逐步增强。
当13<x<30时,学生的接受能力逐步下降。
(2)当x=10时,y=-0.1(10-13)2+59.9=59。
第10分时,学生的接受能力为59。
(3)x=13时,y取得最大值,
所以,在第13分时,学生的接受能力最强。

高中数学论文征文-一中高中数学蒋老师


高中数学的基础知识与思想方法第四版-和境外输入疫情有关的高中数学


上海高中数学自主招生-高中数学设计案例


高中数学基础公式及应用题-高中数学智慧课堂课题


高中数学四个模块-高中数学概率提高题


lnx xf(x) 0高中数学-高中数学竞赛的意义


2017高中数学竞赛培训-高中数学中档题苏大出版答案


好未来高中数学教研员-最新高中数学竞赛答题解析



本文更新与2020-09-16 08:37,由作者提供,不代表本网站立场,转载请注明出处:https://www.bjmy2z.cn/gaokao/399241.html

高中函数学习方法的相关文章