高中数学学习困难的成因与对策分析

高中数学学习困难的成因与对策研究
刘东

摘 要：正值新课 程改革的全面展开，全国已基本实行《普通高中数学课程标准》（以下简称《新课标》）为了更
好地贯彻 实施《新课标》，提高学习效率，化解学习数学过程中的难题是迫不及待的。针对高中生的身心发展特点，
结合高中数学知识，以函数相关知识为例，从学习数学概念、数学公式定理性质、数学应用等三个方面的困难逐
一进行研究，归纳出相关的数学思想方法，突破难点，找到高中数学学习困难的原因及其对策，为高中学 生学习
数学提供一定的帮助。
关键词：新课标；数学概念；公式定理；心理；数学方法

1.问题的提出
高中数学是继初中数学学习之后的进一步学习，同时，高中数学在 高中阶段的学习中占有基础
和和关键地位。同学们从初中步入憧憬已久的高中大门时，往往是豪情满怀， 信心十足。然而，经
过一段时间的学习之后，有些同学便感到高中数学并不是当初想象的那么简单易学， 也不再是初中
时考高分那么容易，又显得十分枯燥、乏味和抽象，有些内容甚至难以理解，从而表现出不 自信、
畏惧等特征，严重地影响了学习成绩的提高。这就是所谓的 “数学困难期”。因此，如何找到高 中
数学学习困难的真正原因和解决办法便成为了一个值得我们认真探讨的话题。
2．高中学生数学学习困难的原因分析

在进行数学学科对高中数学学习困难的成因分 析和对策探索之前，综合目前国内在此方面的已
有研究成果，为后面研究分析高中数学学科及教学等方面 的因素提供理论基础。下面罗列出了一些
总结性因素：
2.1. 教材的原因
现行初中数学教材内容通俗具体，多为常量，题型少而简单，每一新知识的引入往往与学生日
常生活实际 很贴近，比较形象，并遵循从感性认识上升到理性认识的规律，学生一般都容易理解、
接受和掌握。那些 在高中学习中经常应用到的知识，如：对数、二次不等式、解斜三角形、分数指
数幂等内容，都转移到高 一阶段补充学习。这样初中教材就体现了“浅、少、易”的特点。高中数
学一开始，概念抽象，定理严谨 ，逻辑性强，教材叙述比较严谨、规范，抽象思维和空间想象明显
提高，知识难度加大，且习题类型多， 解题技巧灵活多变，计算繁冗复杂，体现了“起点高、难度
大、容量多”的特点。
2.2. 教法的原因
初中数学教学内容少，知识难度不大，教学要求较低，且课时较充足。因而课容量 小，教学进
度较慢，对于某些重点、难点，教师有充裕的时间反复讲解、多次演练，能充分体现课堂教学 中的
师生互动。但高中数学知识点增多，灵活性加大和课时少，新课标要求通过学生的自主学习培养学< br>生的创造性思维，因此，高中教学中往往会通过设导、设问、设陷、设变，启发引导，开拓思路，
然后由学生自己思考、解答，比较注意知识的发现过程，注重对学生思想方法的渗透和思维品质的
培养。 这使得刚入高中的学生不容易适应这种教学方法。听课时就存在思维障碍，不容易跟上教师
的思维，从而 产生学习障碍，影响数学的学习。

2.3. 学生自身的原因
心理原因：高 中学生一般是16—18岁，在生理上，正处在青春时期，而在心理上，也发生了微
妙的变化。与初中生 相比，多数高中生表现为上课不爱举手发言，课内讨论气氛不够热烈，与教师
的日常交往渐有隔阂感，即 使同学之间朝夕相处，也不大愿意公开自己的心事。心理学上把这种青
年初期最显着的心理特征称为闭锁 性。高一学生心理上产生的闭锁性，给教学带来很大的障碍，表
现学生在课堂上启而不发，呼而不应。
学法原因：初中三年的学习使得学生形成了习惯于围着教师转，缺乏学习主动性，缺乏积极思< br>维，不会自我科学地安排时间，缺乏自学、看书的能力，碰到问题寄希望于教师的讲解，依赖性较
强。而到了高中，许多学生往往沿用初中学法，致使学习出现困难，难以完成当天作业，更没有预
习、复 习、总结等自我消化、自我调整的时间。这显然不利于良好学法的形成和学习质量的提高。
2.4. 学校因素
很多学校还是以高考为指挥棒，一味追求升学率，把考试分数的高低作为评价学生学 习好坏的
唯一标准。这就自然使得部分教师只能片面追求升学率，把主要精力集中在优等生的身上，而忽 视
学困生。有些教师处事不公正，对学困生缺乏必要的尊重、关怀和理解，挫伤了他们的自尊心。
2.5.数学学科特点及教学的因素
以上就是一些国内关于高中数学学习困难的成因 分析，他们所采取的对策是根据这些成因进行
对应的分析。然而，这些因素可以说很全面，但关于数学学 科知识特点及教学方面对高中数学学习
困难的综合分析相对较少。高中数学本身有难度，在教学过程中高 中数学具有抽象、复杂、逻辑性
强等特点，这要求教学时应牢牢抓住这些特点，从各个角度、各个板块突 破学习难点。造成这些困
难的原因方方面面，要准确全面地分析这些因素，可以将数学知识的学习分为以 下几个板块，然后
逐一分析其对高中数学学习困难的成因及对策探索。
3. 高中数学学习困难的主要方面
3.1. 数学概念
《新课标》强调：数学教学的最终 目的是培养学生的数学能力，数学教学应当使学生对数学概念
本质达到理性认识。同时《新课标》指出： 正确理解数学概念是掌握基础知识的前提。学好概念是
学好数学最重要的一环，那么在新课标下，高中生 学习数学概念有哪些难点呢？产生这些难点的因
素又有哪些呢？接下来，有什么办法来克服这些难点呢？
3．1．1 高中数学概念学习的困难和产生困难的因素
在新课标实施以前，许多老师不注重 数学概念的形成过程，要求学生死记概念，硬套概念，注
重概念的形式化，导致学生学完了整本书甚至整 个高中教材，对许多概念是模糊的。比如函数的概
念，对于很多学生来说，这个概念在他们头脑中很清晰 的是y=f(x)，而不清楚怎么解释，更不知道
概念的形成过程了。学生在学习高中函数概念的时候， 没有真正理解其形成过程，也没有掌握用集
合和映射的语言来定义函数的思想方法。这对于后面学习其他 函数概念和数学概念的是很造成了障
碍，我们经常说学习，最主要就是学方法，而数学思想方法是基础的 。当然，学习函数概念是比较
难的，归纳起来有这样几个方面的困难和产生困难的因素。
首先，数学知识是个复杂的体系。譬如，函数概念包括两个本质属性（变量和对应法则）及一
些非本质属 性（如集合、定义域、值域等），还有函数的单调性、奇偶性、周期性等性质。中学数学

的函数就有对数函数、指数函数、三角函数、导函数和函数列（离散型函数）等多种类型。有了函
数概念 ，方程、函数和不等式三者就得以联系和整合，函数知识已经构成了一个复杂的知识体系，
成了中学数学 的核心内容。因此，学生对函数概念的理解程度也将影响他们对函数有关知识的掌握
程度。 其实，对于 每一个高中数学概念，都是由许多不同学科知识概念按照一定的法则、规律和程
序组合而成的。因此，数 学知识概念的复杂性决定了学习高中数学概念是一个比较难的过程。第二，
“变化”概念的复杂性和辩证 性。例如，“变量”被当成不定义的原名而引入，是函数概念的本质属
性。正是由于日常的变量概念对学 生的干扰，使很多学生认为“Y=2中Y的值不随x的变化而变化，
所以它不是函数”。在教学实践中， 教师往往对变量概念的理解困难估计不足，课堂上只是给出变量
（自变量、因变量）这个词汇，至于学生 头脑中的变量概念是怎样的，很少顾及。如果学生不能很
好地理解变量概念，就会影响他们对函数概念的 理解。数学这门学科就是在“变”中寻求问题的解
决之道，所以，“变化”概念也就成为了高中数学概念 学习困难的因素之一。第三，数学知识的表征
形式特别丰富。中学阶段的数学教学，传统上只是关注函数 解析式表征形式的教学，同时它们的图
象都是直线或光滑的曲线，只能用列表法表示的函数例子屈指可数 。学生从未接触过“不光滑”的
曲线，这样势必影响学生对函数概念的建构，导致学生在心理上建立起不 恰当的概念表象。学生很
容易把按某种对应法则理解为一种规则或规律甚至是一个等式或代数表达式。V inner指出，在学校
教学的函数概念，经常只是用它的一种表征形式，要么是代数符号形式要么只是 图形形式，前者会
导致学生把函数当作公式。 数学知识的多种表征形式带给学生在学习数学时相当多的 麻烦，要理解
每一种表征形式，就得理解它们的含义和形成过程。丰富的数学表征形式是高中概念学习困 难的又
一重大因素。第四，数学符号的抽象性。函数概念的符号化表示是学习的难点，例如，f表示任意
一个函数，但又是一个确定的函数，但这种含义学生仅从字母是难以看出的。学生不能通过符号“f”< br>来想象对应法则的具体内容，即使f所表示的对应法则是确定的，学生也缺乏足够的为符号“f”建
立起具体内容的经验基础；也不能通过x或y来想象定义域，值域到底是什么。 “f”的抽象性和
隐 蔽性，大大增加了函数的学习难度。另外，在f(x)的定义中，“对于任意给定的x，都有唯一确定
的 y”，其中同时强调“任意”和“给定，这对学生的早期理解是有障碍的。 对于高中数学符号的
掌握是 新课标多要求的，但是数学概念衍生出的符号之多且抽象，造成了高中数学概念学习的一大
难点。最后， 学生的思维发展。高中生学会了对一些事物进行浅层次的抽象，但还无法上升到辨证
思维阶段。这种认知 发展的阶段性特点，往往限制了他们对于抽象函数概念的理解和把握，从而导
致了在学习函数时对函数对 应变化的相依关系深感困难。在函数概念学习之前，基本上是常量数学，
所学的数学概念属于形式逻辑的 范畴。总的来说，一方面是学生的辩证思维发展还处于很不成熟的
时期，思维水平基本上还停留在形式逻 辑思维的范畴，只能局部地、静止地、分割地、抽象地认识
所学的事物；另一方面函数却是一个辩证概念 ，其特征是发展的、变化的、处于与其他概念相互联
系之中的。形成数学概念，必须要冲破形式逻辑思维 的局限，进入到辩证思维的领域，这个矛盾构
成了数学概念学习的认识障碍。
3.2. 数学公式定理（压缩至1-2段简单说明即可）
对于数学公式定理方面，可以从余弦定理的证明这个例 子，整个过程运用了向量的减法、向量
的模、向量的数量积等向量知识，同时运用了数形结合的数学思想 方法。在这个定理的推导过程中，

学生最关键的一步是寻找将余弦符号与三角形三边长联 系起来的方法。可能许多学生会用推导正弦
定理的方法进行推导，陷入了进退两难的境地。这就给了我们 一个启示：找准切入口，是解决数学
问题的关键。而我们在学习公式定理的推导或者证明时往往就在切入 点卡住了，要么碰运气，要么
凭直觉思维将学生引向僵局，要么无从下手，这就造成许多学生见到推导证 明就畏惧，干脆放弃，
????????
????
失去信心，直至厌学数学。再者，针 对上述定理的推导，在学生写出了
AB=BC
-
BA
这个式子后，
继 续对两边取模平方，这不是没有依据的。我们要回到余弦定理所要探究的是什么，是关于三角形
中三角的 余弦值与三边长的关系，所以肯定要出现边长和余弦符号，对于边长，取模就可以实现，
????
a
而对于余弦符号的产生，就会联想到
?
b=a
?
b
?< br>cos
?
(
?
为
a、b
两边的夹角)这一公式，继而 我们我
们只要对两边平方便可解决边长与余弦符号的导出问题。一旦完成了这些步骤，之后的工作便迎刃
而解了。
针对前面对余弦定理的推导，除了前面所说的切入点外，还有以下一些难点学生难以 克服的。
首先，针对余弦定理的推导目的是用等量关系将边长与角的余弦值联系起来，学生如果从类似正 弦
定理的推到方法就会得出
a=bcosC+ccosB
这样一个“余弦定理”，这便 是心理学上的前摄抑制。
其实，学生在学习数学的过程中经常会有这种现象，这也是高中数学学习的困难 之一。其次，要得
加工
??
半成品
?
深加工
???
出我们所预想的接货，也就是如何从材料
?

?
成品，这个过程对于数学学习
是一个难点。而造成这些难点的因素大致有：思维受限，无法突破定势思维的束缚，比如利用正弦
定理的推导方法来推导余弦定理；其次，已学知识的遗忘，如果教师提醒学生要运用向量的方法推
导， 许多学生仍然无法想到如何运用向量知识。再次，变式能力差。许多公式定理是需要变形才能
导出结论的 ，比如在证明函数单调性的时候就直接运用作差变形的数学方法，而这个步骤又是证明
的难点，也是学生 证明的关键。最后，教师的引导不够恰当。在数学的学习过程中，教师的作用是
主导地位，关键在于这个 “导”字，如何正确引导学生思考是当代教学值得探讨的问题。但是在数
学公式定理的学习中，创造一些 有效恰当的问题情境是解决上面问题的关键。对于余弦定理的推导，
如果没有教师的引导，学生便不能迅 速找到解题办法；如果教师不正确的引导，便会出现偏离思考
方向；如果教师开门见山，则学生不能体会 定理的形成过程，缺乏思考，打消积极性。因此，教师
的引导，是数学公式定理学习困难的一大因素。
3.3. 数学应用方面（压缩至1段简单说明即可）
《新课标》明确指出，高中数学课程对 于提高分析和解决问题的能力、形成理性思维、发展智
力和创新思维起着基础性作用。针对目前高中生数 学应用能力低下，高考应用题得分率偏低，解答
应用题困难。就目前高考时几乎都有30到40分的应用 题，如用方程和函数解应用题、概率、立体
几何相关量得求解等。对数学应用题及其解决的理论进行了分 析，在此基础上，通过调查研究，分
析、整理出高中生解决应用题存在的主要问题，剖析了产生这些问题 的内部原因和外部原因。
研究表明，学生在解决数学应用题时存在的主要问题有对应用题的学习没 有正确的态度和浓厚
兴趣，应用意识不强，普遍存在心理障碍，对题意理解不透，不会建立数学模型，基 础知识和基本
技能不扎实等。造成这种结果的主要内部原因是学生知识经验欠缺，知识没有良好的组织、 认知结
构混乱，学生不能正确地选择解题策略，缺乏良好的自我反省和自我调节能力。在教学上，教师平
时不重视数学应用题，教学方法陈旧、教学策略不恰当以及教学与考试不同步，教学评价片面，教

师应用能力欠缺等直接影响学生应用题的解决。再加上，高中数学应用本身就注重建模思想，综 合
应用以前学习的知识，使得解题步骤较复杂，条件限制更严格，当然方法也就变得多样性。

4. 高中数学学习困难的教学对策探索
4.1. “数学概念”对高中数学学习困难的教学对策
综合上述关于高中数学概念学习困难的因素，我给出了这 样几个解决措施。第一，数学是一门
逻辑性很强的学科，要学好数学得一步一步的打好基础，而概念的学 习就需要“精学”，深刻理解每
个概念的含义、形成过程、概念间的联系，正是由于很多概念是由前面的 概念得出的，或者几个概
念是相通的，所以不能放过每个概念的深刻理解。每当遇到一个概念时，多联系 前面学过的概念、
知识，帮助理解，最终将所学的概念用一个框架建构起来。第二，数学中不只是在函数 中表现出“变
化”，几乎每个知识点都体现了这一特征。比如在立体几何中，二面角的大小就是随平面位 置的变化
而变化的。要克服“变化”这一困难，首先要适应数学这一特点，其次要将每一个变化的量找出 来
并加以深刻理解，最后找出这些变化的量之间具有的联系，可以利用做变式题、从多个角度分析数学概念。第三，我们经常说万变不离之宗，数学概念的学习同样如此，不管用哪种形式表示这个概
念 ，不管用哪种数学符号表示这个概念，它的本质是不会变的，它所揭示的规律是不变的，要理解
概念的多 种表示形式，关键是要找到它们各个形式的背景及其形成过程，可以通过看一些关于此形
式的数学故事和 人物，也可以通过具体例子，减轻数学概念抽象的程度。第四，教师在教学过程中
可以通过探究的形式让 学生自主形成数学概念，师生交流，生生合作，共同完成概念的学习，让学
生亲身经历数学概念形成的过 程是很重要的。下面以“直线的斜率”的案例探索数学概念对高中数
学学习困难的对策。此案例是读者在 贵阳九中实习期间（2010年9月），读者的指导老师（帅霞）
在高二（11）班进行的教学案例。本 节内容是人教版第七章第一节“直线的倾斜角和斜率”的第二
课时，此处选取的是案例中的创设情境-概 念得出部分，主要是考虑了学生在理解概念的困难，通过
具体的学生熟悉的数学情境，教师一步步引导学 生得出“斜率”这一概念，并针对概念的相关注意
点进行教学，案例结合了前面数学概念学习困难的原因 ，从而更有效的进行对策分析，这样可以帮
助我们找到解决高中数学学习困难的途径。
教学案例一：
⑴教学案例进行的时间、地点、人物；教学案例选择的理由；使用的教材以及具体章节内容。
⑵案例中的主体部分，即结合克服学生学习困难进行教学的片段。
⑶结合高中学生的学习特征谈谈为什么这样处理案例。
教学案例一：
（一）、创设情境，引入课题
师：同学们骑自行车上坡时很吃力（展示课件中的图片），这与坡的什么有关?
生：与坡的平缓和陡有关。
师：我们分析一下坡的平缓和陡问题。
先请同学们来观察下面两幅图片（展示课件中的两张不同楼梯图）
问题1：其中的楼梯有什么不同？
生：楼梯的平缓和陡程度不同。
问题2：用什么量来刻画楼梯的平缓和陡呢？
（提示：观察楼梯下面两个三角形）
生：用高度和宽度的比值来反映。

师：一般地：高度和宽度的比值就叫坡度。
即:
高度
?坡度
宽度

所以楼梯的倾斜程度是由坡度来刻画的，坡度越大，楼梯越陡。
（二）、归纳探索，形成概念
1．借助模型，直观感知
课件：给出一个楼梯模型



级宽
P

y

级
Q
高

M

x

0


楼梯上面有一条直线，直线就反映坡度。
〖设计意图〗从模型直观感知直线的斜率，完成直线的斜率的感性认识。
问题3：楼梯的倾斜程度用坡度来刻画，那么直线的倾斜程度用什么量来刻画呢？
（对问题3，学生议论纷纷，部分学生不知道如何准确回答）
2．通过探究，形成概念
师：研究直线的倾斜程度可以借助直角坐标系。
（师生共同探究，得出直线的斜率严格的定义，板书定义 。引导学生找出定义中的关键）
y
直线的倾斜程度?

o
x
高度MP
?
宽度QM
，这个比值就叫直线的斜率。（常用字母K表示）
即:K?
MP

QM
〖设计意图〗使学生体会通过实际问题如何抽象出具体的数学概念的数学过程。
（三）、掌握概念，适当延展
问题4：如何用点的坐标形式来表示斜率呢？

已知两点 P(x
1
，y
1
)， Q(x
2
，y
2
)，如果 x
1
≠x
2
，则直线 PQ的斜率为：
Q(x
2
，y
2
)


y
2
?y
1

y
2
?y
1
??y

K?
P

(x
1
，y
1
)

x
2
?x1
x
2
?x
1
??x


?y纵坐标增量
??
?x横坐标增量

（斜率的几何意义）
〖设计意图〗把对直线的斜率的认识由感性上升到理性认识的高度,完成对概念的更深层次的认识。
问题5：直线斜率会因为点取的不同而改变吗？
生：另取两点说明问题

（不会改变）
问题6：是不是所有的直线都有斜率？
（一些学生说是的，一些学生说不是的。叫了一个说不是的学生发表一下支持自己观点的理由）
生：垂直于x轴的直线斜率不存在。
1.让学生分析、解决问题
例1．如图直线
l
1
,
l
2
,
l
3
,
l
4
都经过点P(2,3) ，又
l
1
,
l
2
,
l
3
,
l
4
分
别经过点 Q1
(-2,1),Q
2
(4,1),Q
3
(5,3),Q
4
(2,5) ,讨论
l
1
,
l
2
,
l
3
,
l
4
斜率是否存在,
如果存在,求出直线的斜率。

y

Q
4

Q
3
l
3
P


K
3
=0

Q
2

x
0

l
2
l
4

K
2
=-1
l
1
Q
1
斜率不存在


K
1
=12

（学生板演，然后由学生评价。给了学生足够的思考时间，几个学生发表了自己的看法，全班 讨论、
分析，达成共识）
教师强调书写格式和注意点。然后引导学生小结：
已知不垂直于x轴的直线上任意两点就可以求出斜率。
2．分别通过代数和几何角度研究直线的斜率
3.2. 数学公式定理性质对高中数学学习困难的对策研究

下面我将从下面这个例题说起（余弦定理公式的推导）：
????????
????
例：
AB=BC
-
BA

????
????????
2
AC
=
BC-BA

????
2
????
2
????????
=
BC< br>+
BA-2BC
?
BA

B
????????< br>=
a
2
+c
2
-2BC
?
BA
?< br>cosB
（
?
B为边BC和边BA的夹角）
=
a
2
+c
2
-2abcosB

=
b
2

即
b
2
=
a
2
+c
2
-2abcosB

同理，可以得出其它几个余弦定理公式。
上面我仅仅用了一个“余弦定理”公式的推导进行了高中数学公式定理学习的困难及其因素。
其 实，学习高中数学公式定理性质困难得因素可以归纳为思维限制、遗忘旧知、变形（式）能力不
够、教学 引导不恰当等四个方面。
按照上面案例的撰写形式修改案例二。
例：已知x、y≥0且x+ y=1，求x
2
+y
2
的取值范围。解答此
多，有函数思想（根据二 次函数的图象与性质可求）、三角换
题的方法比较
元思想（可设
C
A
1
x
A
C
（图1）

y
1
B
O

π111
x=cos，y=sin，其中θ∈[0， ]）、对称换元思想（则可设x= +t，y= －t，其中t∈[－ ，
2222
22
1（x+y）
2
1
]）、运用基本不等式（由xy≤ = ）、解析几何思想（可设d=x
2
+y
2
，则d为动点C
244< br>（x，y）到原点（0，0）的距离，只需求线段AB上的点到原点的最大和最小距离即可）、数形结合< br>思想等。用上述思想方法可以解变式1：已知a、b为非负数，M=a
4
+b
4
，a+b=1，求M的最值。变式2：
已知x、y≥0且x+y=1，求x
8
+y
8
、x
8
+y
6
、x
7
+y
7
的取值范围。
3.3. 高中数学应用对高中数学学习困难的对策研究
针对上述状况，提出了提高数学应用题解答能力的对策 ：（1）认真研究应用题的规律和特点;
（2）精选应用题材，创设问题情境;（3）教学生进行阅读理 解;（4）教学生掌握解应用题的具体策
略;（5）分层递进，螺旋上升;（6）开展数学实践活动，提 倡做中学。
按照上面案例的撰写形式修改案例三。
下面举例分析高中数学应用的困难及其解决
例1：相邻边长为a和b的平行四边形，分别绕两边旋转所 得几何体体积为
V
a
(绕
a
边)和
V
b
(绕
b
边)，求
V
a
:
V
b
的值.
A D
教师要求学生在尽量短的时间内完
用直接法求解，以一般平行四边形
22
VV
可求
a
=π
absin
?
，
b< br>=π
V
a
V
b
b
a
：=：，由于要引入两边 夹角0
常无法人手。很多题目看似简单，可要
a
B
b
C
成此题．
为例．如图，
a
2
bsin
2
?
．则
来求解，学生
经过很多个步
骤，应用多种数学思想和方法才能完成整个题目的解 答。若以特殊的平行四边形——矩形来处理，
则相当简便。此题解法充分体现了思维敏捷性，以简驭繁． 用特殊化思想求解，解题迅速、正确。

5．总结
通过对数学概念、数学公式定理 性质（本文主要分析的公式定理）、数学应用的简单分析，得
出了一些如数形结合、划归、教与学协调统 一、知识背景与理论相结合、建模等简单数学思想方法，
学生自身的素养与数学内容的充分结合，掌握高 中数学知识就容易多了。为了使数学学习简单化、
兴趣化、本质化，采用从数学知识理论来源入手、教学 互动、理论联系实际等方法进行高中数学的
学习。只有学生真正对数学感兴趣，对数学找到感觉了，也找 对了方法，高中数学的学习将不再是
高中生的“恶梦”。
当然，本文对高中数学学习困难的因 素和对策分析是不完善的，也不深刻的。主要表现在：首
先，没有通过科学的调查统计并加以分析，只是 在他人研究的基础上，加上自己在学习和实习工作
中的经验，进行分析的；其次，本文对数学概念和数学 公式定理两个方面阐述的比较详细，但由于
经验和能力有限，对第三个板块分析不够，还需完善；再次， 对于三个板块的分析都不是很深刻，
还需深入调查总结分析；最后，本文主要从理论方面分析较多，而没 有充分的例题进行分析。

参考文献
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