a版高中数学a-高中数学刷题还不提高
高中立体几何学习方法
根据我多年的高中数学教学经验,以及学生在学习过程中表现出
的对立体几
何的盲目性,我在以后的时间里会对立体几何的学习方法做一些总结。希望能给
同学
们带来帮助。
方法一:立体几何学习中的图形观
立体几何的学习离不开图形,图形是一种语
言,图形能帮我们直观地感受空
间线面的位置关系,培养空间想象能力。所以在立体几何的学习中,我们
要树立
图形观,通过作图、读图、用图、造图、拼图、变图培养我们的思维能力。
一、作图
作图是立体几何学习中的基本功,对培养空间概念也有积极的意义,而且在
作图时还要用到许多
空间线面的关系.所以作图是解决立体几何问题的第一步,
作好图有利于问题的解决。
例1
已知正方体中,点P、E、F分别是棱AB、BC、的
中点(如图1).作出过点P、E、F三点的正方
体的截面。
分析:作图是学生学习中的一个弱点,作多面体的截面又是作图中的难点,
学生看到这样的题目不知所云。有的学生连结P、E、F得三角形以为就是所求的
截面.其实,作截面
就是找两个平面的交线,找交线只要找到交线上的两点即可。
观察所给的条件(如图2),发现PE就是
一条交线.又因为平面ABCD//平面
,由面面平行的性质可得,截面和面
F是的中点,故取
的交线一定和PE平行。而
的的中点Q,则FQ也是一条交线.再延长FQ和
<
br>延长线交于一点M,由公理3,点M在平面
PM交
和平面的交线上,连
于点K,
则QK和KP又是两条交线.同理可以找到FR和RE两条交线(如
图2)。因此,六边形PERFQK
就是所求的截面。
二、读图
图形中往往包含着深刻的意义,对图形理解的程度影响
着我们的正确解
题,所以读懂图形是解决问题的重要一环。
例2 如图3,在棱长为a的正
方体
的一条线段,且EF=b<a,若Q是上的定点,P在
中,EF是棱AB上
上滑动
,则四
面体PQEF的体积( )。
(A)是变量且有最大值 (B)是变量且有最小值
(C)是变量无最大
最小值 (D)是常量
分析:此题的解决需要我们仔
细分析图形的特点.这个图形有很多不确
定因素,线段EF的位置不定,点P在滑动,但在这一系列的变
化中是否可
以发现其中的稳定因素?求四面体的体积要具备哪些条件?
仔细观察图形,应该以
哪个面为底面?观察,我们发现它的形状
位置是要变化的,但是底边EF是定值,且P到EF的距离也是
定值,故它的
面积是定值.再发现点Q到面PEF的距离也是定值.因此,四面体PQEF的
体
积是定值.我们没有一点计算,对图形的分析帮助我们解决了问题。
三、用图
在立体几何的
学习中,我们会遇到许多似是而非的结论.要证明它我们
一时无法完成,这时我们可考虑通过构造一个特
殊的图形来推翻结论,这样
的图形就是反例图形.若我们的心中有这样的反例图形,那就可以帮助我们<
br>迅速作出判断。
例3
判断下面的命题是否正确:底面是正三角形且相邻两侧面所成的
二面角都相等的三棱椎是正三棱锥。 <
br>分析:这是一个学生很容易判断错误的问题.大家认为该命题正确,其
实是错误的,但大家一时举
不出例子来加以说明.问题的关键是二面角相等
很难处理.我们是否可以考虑用一个正三棱锥通过变形得
到?
如图4,设正三棱锥
,作
的侧面等腰三角形PAB的顶角是,底角是<
br>是等腰三角
就
的平分线,交PA于E,连接EC.可以证明
形,所以AB=BE
.同理EC=AB.那么,△EBC是正三角形,从而
是满足题设的三棱锥,但不是正三棱锥。
四、造图
在立体几何的学习中,我们可以根据题目的特征,精心构造一个相应
的
特殊几何模型,将陌生复杂的问题转化为熟悉简单的问题。
例4
设a、b、c是两两异面的三条直线,已知
公垂线,如果,那么c与d的位置关系是( )。
,且d是a、b的
(A)相交 (B)平行 (C)异面
(D)异面或平行
分析:判断空间直线的位置关系,最佳方法是构造恰当的几何图形,它具有
直
观和易于判断的优点.根据本题的特点,可以考虑构造正方体,如图5,
在正方体
中,令AB=a,BC=d,.当c为直线时,c与d平行;
当c为直线
五、拼图
时,c与d异面,故选D。
空间基本图形由点、线、面构成,而一些特殊的图形也可以通过基
本图
形拼接得到.在拼图的过程中,我们会发现一些变和不变的东西,从中感悟
出这个图形的特
点,找出解决待求解问题的方法。
例5 给出任意的一块三角形纸片,要求剪拼成一个直三棱柱模型
,使
它的全面积与给出的三角形的面积相等,请设计一种方案,并加以简要的说
明。
分析:这是2002年高考立体几何题中的一部分.这个设计新颖的题目,
使许多平时做惯了证明、计算
题的学生一筹莫展.这是一道动作题,但它不
仅是简单的剪剪拼拼的动作,更重要的是一种心灵的“动作
”,思维的“动
作”.受题目叙述的影响,大家往往在想如何折起来?参考答案也是给了一
种折
的方法.那么这种方法究竟从何而来?其实逆向思维是这题的一个很好
的切人点.我们思考:展开一个直
三棱柱,如何还原成一个三角形?
把一个直三棱柱展开后可得到甲、乙两部
分,甲内部的三角形和乙是全
等的,甲的三角形外是宽相等的三个矩形.现在的问题是能否把乙分为三部
分,补在甲的三个角上正好成为一个三角形(如图丙)?因为甲中三角形外
是宽相等的矩形,所
以三角形的顶点应该在原三角形的三条角平分线上,又
由于面积要相等,所以甲中的三角形的顶点应该在
原三角形的内心和顶点的
连线段的中点上(如图丁).按这样的设计,剪开后可以折成一个直三棱柱。
六、变图
几何图形千变万化,在不断的变化中展示几何图形的魅力,在不断的变
化中
培养我们的能力,在有意无意的变化中开阔我们的思路。
例6:已知在三棱锥中,PA=a,AB=AC=2a,
,求三棱锥的体积。
分析:此题的解决方法很多,但切割是不错的选择。
思路1
设D为AB的中点,依题意有:
有:
,,所以
此解法实际上是把三棱锥一分为二,三棱锥B-PAD的底面是直
角三角形,高就是BD,从而
大大简化了计算.这种分割的方法也是立体几
何解题中的一种重要策略.它化复杂为简单,化未知为已知
。
思路2 从点A出发的三条棱两两夹角为,故可补形为正四面体。
如图,延长AP至S,使PA=PS,连SB、SC,于是四面体S-
ABC为边长
等于2a的正四面体,而且。
从上述的六个方面,我们可以看到,在立体几何的
学习中如果我们能正
确了解图形,合理利用图形,不断变化图形,一定可以使我们的学习更上一
个台阶。