高中数学抽样方法学习中应注意的问题分析人教版选修1-2

抽样方法学习中应注意的问题分析
简单随机抽样是一种最简单的抽样方法，它在抽样方 法中处于一种非常重要的地位。系统
抽样和分层抽样是建立在简单随机抽样基础上的之上的，因此，我们 需要对简单随机抽样重点
要把握。下面笔者就抽样过程中应注注意的问题进行分析，希望能对大家的学习 起一定的帮助。
一、了解随机抽样的公平性
所谓随机抽样的公平性，就是指在随机抽样的过 程中，每个个被抽到的概率都相等。即若
从含有
N
个个体的总体中抽取一个容量为n
的样本，在整个抽样过程中每个个体被抽到的概
率都是
n
。
N
例1、举例说明：在三种抽样(简单随机抽样、系统抽样和分层抽样)中无论使用哪一种抽
样 方法，总体中的每一个个体被抽到的概率都相同。
解：设有120 件产品，其中一级品有24个，二 级品有36个，三级品有60个，从中抽取
一个容量为20的样本。下面分别用三种抽样方法来计算每个 个体被抽取到的概率。
(1)使用简单随机抽样。由于简单随机抽样常用的方法有：抽签法和随机数表 法，我们不妨
采用抽签法。易知每个体被抽取到的概率均为
201
?
。 1206
(2)使用系统抽样法。将120件产品分成20组，每组6个，每组取一个，则每个个体 被抽
取到的概率为
1
。
6
(3)使用分层抽样法。由于一级、二级 、三级产品的数目之比为24：36：60=2：3：5，所
235
?4
件、
20??6
件、
20??10
件，
101010
46101
每个个体被抽取到的概率分别为、、，均为。
24
36
606
1
所 以无论采用哪一种抽样方法，总体的每一个个体被抽取到的概率均为。
6
以应分别从一级、二级、三级产品中抽取
20?
二、简单随机抽样的特点
根据简单随机抽样的定义，可以看到它有以下特点：
(1)它要求被抽取样本的总体的个体数 目有限。这样便于通过随机抽取的样本对总体进行分
析。
(2)它是从总体中逐个地进行抽取。这样便于在抽样实践中进行操作。
(3)这是一种不放 回抽样。由于抽样实践中多采用不放回抽样，使其具有广泛的实用性，而
且由于所抽取的样本没有被重复 抽取的个体，便于进行有关的分析和计算。
(4)它是一种等概率抽样，不公从总体中抽取一个个体时 ，各个个体被抽取到的概率相等，
而且在整个抽样过程中，各个个体被抽取到的概率也相等，从保证了抽 样方法的公平性。
例2、下列抽取样本的方式是否属于简单随机抽样？为什么？

(1) 从无限多个个体中50个个体作为样。
(2) 箱子里有100个零 件，现从中选出10个零件进行质量检验。在抽样操作时，从中任
意拿出一个零件进行质量检验后再把它 放回箱子里。
(3) 某班有45名同学，指定个子最高的5名同学参加学校组织的某项活动。
(4) 一个儿童从玩具箱中的20件玩具中随意拿出一件来玩，玩完后放回再拿下一件，连
续玩了5件。
分析：具备简单随机抽样的四个特点的抽样就是简单随机抽样，否则就不是简单随机抽样。
解：(1)不是简单随机抽样，因为被抽取的样本总体的个数和是无限个而不是有限个。
(2)不是简单随机抽样，因为它是放回抽样。
(3)不是简单随机抽样，因为这是不是等概率抽样。
(4)不是简单随机抽样，因为它是放回抽样。
三、注意“逐个抽取”与“一次性抽取”的异同
从含有
N
个个体的总体“逐 个地抽取”个体与“一次性地抽取”个体，对总体的每
一个个体来说，被抽取到的概率都是一样的。 < br>事实上，从含有
N
个个体的总体中一次性地抽取容量为
n
的样本时，在 假定每一个
个体被抽取到的概率相等的前提下，其中任一个体
a
被抽到的概率为： < br>1n?1n?1
C
1
C
N?1
C
N
n
?1
P???
。
n
N
n?1
N
C
N< br>C
N?1
n
由此可见，“逐个地抽取”个体与“一次性地抽取”个体对于总体中 的第一个个体来
说，被抽取到的概率是一样的。但是，由于简单随机抽样的定义和特点要求“逐个地抽取 ”，
所以尽管“逐个地抽取”与“一次性地抽取” 对于总体中的第一个个体来说被抽取到的
概率是一样的，我们还是应该采用“逐个地抽取”。
例3、判断从20个零件中一次性地抽取3个零件进行检验的抽取方法是否属于简单
随机抽样。
解：由于简单随机抽样要求从总体中逐个地进行抽取，而这种抽样是“一次性”的抽取，
所以这 种抽取方法不是简单随机抽样。
例4、工厂生产的某种产品用传送带将产品送入包装车间，检验人员 从传送带上每隔5
分钟抽取一件产品进行检测，问这一种是什么抽样法？
分析：对于有关抽样 方法的问题，应准确领会各种抽样方法的含义，视具体特点灵活
选择相应的抽样方法。
解：这是将总体 分成均衡的若干个部分，再从每一部分按预先订出的规则抽取一个个
体，得到 所需要的样本故它是系统抽样法。
四、注意三种抽样方法联系与区别
简单随机抽样、系统抽 样和分层抽样，关系密切，对于抽取样本来说，可谓异曲同工。注
意对三者比较，方能加深对三者理解， 并在抽样实践中正确地对它们进行选择。

三种抽样方法的比较
类别
简单随机抽样

系统抽样


抽样过程中每个
个体被抽到的概
率相等。

分层抽样
共同点
取
将总体均分成几
个部分，按事先
确定的规则在各
部分抽取
将总体分成几
层，分层次进行
抽取
在各层抽样时采
用简单随机抽样
或系统抽样
总体是由存在明
显差异的几部分
组成的

在起始部分采用
简单随机抽样
各自特点
从总体中逐个抽
相互联系 适用范围
总体中的个体数
较少时

总体中的个体数
较多时
与系统抽样、分层抽样相比，简单随机抽样是最简单、最基本 的抽样方法，系统抽样和分
层抽样都是建立在简单随机抽样的基础之上的，在运用系统抽样和分层抽样方 法的过程中都要
用到简单随机抽样，三种方法的共同点是：它们都属于等机会抽样，都体现了抽样的公平 性。
例5、某学校有在编人员160人，其中行政人员16人，教师112人，后勤人员32人。教< br>育部门为了解学校机构改革意见，要从中抽取一个容量为20的样本，试确定用何种方法抽取，
并 简述抽样过程。
分析：由于总体是由差异明显的几部分组成的，所以采用分层抽样。
解：因机构改革关系到各种人的利益，故用分层抽样法比较妥当。
因为
160161 1232
?8
，所以可在各层人员中按8：1的比例抽取，
?2
、
? 14
、
?4
，又
20888
所以行政人员、教师、后勤人员分别应抽 取2人，14人，4 人，显然每个人被抽取的概率都
是
1
。
8
因 行政人员和后勤人员比较少，所以他们分别按1~16编号和1~32编号，然后采取抽签法
,?,11 1
编号，然后用随分别抽取2人和4人，而教师较多，所以对112名教师采用000,
001
机数表法抽取14人，这样就得到了一个容量为20的样本。
五、抽样方法在实际生活中的应用
三种抽样方法有它们各自适用范围，所以在解决实际问题的 过程中，应注意结合实际问题
采用不同的抽样方法来解决实际问题。
例6、某工厂平均每天生 产某种零件大约10000件，要求产品检验员每天抽取50个零件
检查其质量状况。假设一天的生产时 间中生产机器零件的件数是均匀的，请设计一个抽样方案。
分析：因为总体容量较大，样本容量也较大，所以可以采用系统抽样法抽样。
解：第一步：将 一天中生产的机器零件按生产时间将一天分为50个时间段，也就是说，
每个时间段大约生产
1 0000
?200
件产品，这样抽样间距就是200。
50
第二步： 将一天中生产的机器零件按生产时间进行编号，比如，第一个生产出的零件

就是0号，第 二个生产出的零件就是1号等等。
第三步：从第一个时间段中按照简单随机抽样的方法抽取第一 个产品，比如是第
k
号
零件。
第四步：顺序得到抽取编号为下面数字的零件：
k?200,k?400,k?600,?,k?9800

这样就得到了容量为50的样本。