双星问题公式空间向量的直角坐标运算

空间向量的直角坐标运算

目标认知

学习目标：

1．掌握空间向量的坐标表示、坐标运算、夹角公式、距离公式。
2．能通过坐标运算判断向量的共线与垂直.
3．理解直线的方向向量与平面的法向量.会求平面的法向量
重点：

掌握空间向量的坐标运算，能通过坐标运算判断向量的共线与垂直.
难点：

向量坐标的确定以及夹角公式，距离公式的应用
学习策略：

①空间向量的直角坐标运算和平面向量的直角坐标运算类似，两个向量的加、减、数乘运算就是向量的
横坐标、纵坐标、竖坐标分别进行加、减、数乘运算；空间两个向量的数量积等于它们对应坐标的乘
积之和。
②对于垂直问题，一般是利用
向量定理进行证明．
知识要点梳理

进行证明；对于平行问题，一般是利用共线向量和共面
知识点一：空间向量的基本定理

1．共线向量定理：
空间任意两个向量、（≠），的充要条件是存在实数λ，使＝λ
2．共面向量定理（平面向量的基本定理）
两个向量、不共线，向量与向量、共面的充要条件是存在唯一实数对,使.
*推论：P、A、B、C四点共面的充要条件：
数，且x+y+z=1.
3．空间向量基本定理
如果三个向量不共面，那么对空间任一向量
，其中O为空 间任意一点，x、y、z为实
，存在唯一的有序实数组，使。
若三个向量、、不共面，我们把
面的向量都可以构成空间的一个基底。
叫做空间的一个基底， 叫做基向量，空间任意三个不共
知识点二：空间直角坐标系及空间向量的坐标表示

（1）单位正交基底
若空间的一个基底的三个基向量互相垂直，且长为，这个基底叫单位正交基底，常用
（2）空间直角坐标
在空间选定一点
轴、
和一个单位正交基底，以点为原点，分别以的方向为正方向建 立三条数轴：
，点叫原点，向量都叫
表示；
轴、轴，它们都叫坐标轴．我们称建立了一个空间直角坐标系
坐标向量。
通过每两个坐标轴的平面叫坐标平面，分别称为平面，平面，平面；

（3）空间直角坐标系中的坐标
在空间直角坐标系
实数组
其中叫点
，使
的横坐标，叫点

中，以

为单位正交基底，对空间任一点
，则在空间直角坐标系中，点
，对应向量
的坐标为
。
，存在唯一的有序
，记作，
的纵坐标，叫点的竖坐标．向量
零向量记作
注意：空间直角坐标系是在仿平面直角坐标系的基础上，选取空间任意一点O和一个单位 正交基底
（

按右手系排列）建立的坐标系，做题选择坐标系时，应注意点O的任意性 ，原点O的选择要便于解决问
题，既有利于作图直观性，又要尽可能使各点的坐标为正。
知识点三：空间向量的直角坐标运算

（1）空间两点的距离公式
若
①
，，则

即：一个向量在直角坐标系中的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点的坐标减去起点的坐标。
②
或
的坐标表示，然后再用模长公式
，
注意：两点间距离公式是模长公式的推广，首先根据向量的减法推出向量
推出。
（2）向量加减法、数乘的坐标运算
若
①
②
③
（3）向量数量积的坐标运算
若

，
；

，则
；
，，则
；
；
即：空间两个向量的数量积等于他们的对应坐标的乘积之和。
（4）空间向量长度及两向量夹角的坐标计算公式
若
①
，，则
，．
②
注意：
（1）夹角公式可以根据数量积的定义推出：
．

（2）
，其中θ的范围是

（3）用此公式求异面直线所成角等角度时，要注意所求角度与θ的关系（相等，互余，互补）。
（5）空间向量平行和垂直的条件
若，，则
①
②
，，


规定：与任意空间向量平行或垂直
作用：证明线线平行、线线垂直.
知识点四：空间向量的简单应用
1.直线的方向向量与直线的向量方程


为直线的一个方向向量；与平行的任 ①直线的方向向量： 若A、B是直线上的任意两点，则
意非零向量也是直线的方向向量。
②直线的向量方程：A、B在直线上，P为直线上任意点，则
2.平面的法向量：
,那么直线的方向向量就叫做平面
内任意两点，则
的法向量。
；
；
如果直线垂直于平面
设平面的法向量为，A、P为平面
规律方法指导

1．如何用坐标表示空间向量？

合理地建立空间直角坐标系，当空间向量的起点 移至坐标原点时，终点的坐标就是向量的坐标。两个向量
相等是指两个向量方向相同，长度相等，而与起 点的位置无关，因此，向量的坐标表示等于表示这个向量的有向线
段的终点坐标减去它的起点坐标，而不 是一味地将向量的起点移至原点，用终点坐标表示向量坐标。
2．空间任一点P的坐标确定的方法


如图所示，过P作面
C，求出在

中，过P＇分别作x轴、y轴的垂线，垂足分别为A 、
并确定z的符号，得坐标P（x，y，z）。
的垂线，垂足为P＇，在面
平面内的坐标（x，y，0），再求出

3．如何求一个向量在另一个向量上的投影？
求向量在向量上的投影，首先计算出向量的模 ||，再求出两个向量、的夹角
在向量上投影
负值。
，由于两向量的夹角在[0，π ]内，故
，最后计算出
可以是正值，可以是零，也可以是
4．怎样用向量的坐标运算证 明平行问题？

证明直线平行，只需证明向量共线，而向量的数乘运算可以很快捷地得到向 量共线。判断空间两条直线平行时，
可以从两条直线上分别取两个有向线段，建立适当的坐标系后，表示 出起点、终点坐标，进而得到向量的坐标，然
后判断向量是否共线，最后确定两直线的位置关系。
5．平面的法向量的求法：

设n=(x,y,z)为平面的法向量，利用n与平 面内的两个不共线的向量a，b垂直，其数量积为零，列出两个三元
一次方程，联立后取其一组解，即得 到平面的一个法向量（如图）。

类型一：空间向量的直角坐标运算


1、已知=（2，―1，―2），=（0，―1，4），求+，―，3+2，·。
思路点拨：空间 向量的加、减、数乘运算与平面向量的加、减、数乘运算方法类似，向量的数量积等于它们对
应坐标乘积 的和。
解析：∵=（2，―1，―2），=（0，―1，4），
∴+=（2，―1，―2）+（0，―1，4）
=（2+0，―1+（―1），―2+4）
=（2，―2，2）。
―=（2，―1，―2）―（0，―1，4）
=（2―0，―1―（―1），―2―4）
=（2，0，―6）。
3+2=3（2，―1，―2）+2（0，―1，4）
=（3×2，3×（―1），3×（―2））+（2×0，2×（―1），2×4）
=（6，―3，―6）+（0，―2，8）
=（6，―5，2）。
·=（2，―1，―2）·（0，―1，4）
=2×0+（―1）×（―1）+（―2）×4
=0+1―8=―7。
总结升华：空间向量的加、减、数乘、数量积运算是今后利用向量知识解决立体几何知识的基础，必须熟练掌握，并且能够灵活地应用。
举一反三：
【变式1】已知向量=（3，5，-1），=（2，2，3），=（4，-1，-3），则下列向量的坐标是：
①=_______；②________；③________；④_________.
【答案】①(6,10,-2)；②(1,8,5)；③(16,0,-23)；④(3m+2n, 5m+2n,-m+3n)
【变式2】已知=（1，0，1），=（1，―2，2），=（―2，3，―1），那么向量等于（ ）
A．（0，1，2） B．（4，―5，5） C．（―4，8，―3）
【答案】C
2．已知，
（1）求,；
（2）求；
（3）若，求.
解析：
（1），
（2）
（3），
∵，∴
举一反三：
【变式1】已知向量=（4，－2，―4），=（6，―3，2），求：
（1）·；
（2）||，||；
（3）（2+3）·（－2）。
【答案】
（1）·=4×6+(―2)×(―3)+(―4)×2=22；
（2）；
D．（2，―5，4）

；
（3）。
【变式2】，
（1）求，；
（2）求；
（3）若，求.
【答案】
（1），；
（2）
（3），∴。
3．已知空间三点A（—2，0，2），B（—1，1，2），C（—3，0，4）。设
（Ⅰ）求
（Ⅱ）若向量与互相垂直，求k的值。
思路点拨：
（Ⅰ）利用数量积定义求cos，再求；
（Ⅱ）先求出与坐标表示，利用数量积为0求k
解析：
（Ⅰ），



（Ⅱ）， ，


总结升华：若
（1）存在
，
，使
，那么：
，即有

，，
当
（2）
举一反三：
时，
。

【变式1】已知向量，且与互相垂直，则k值是（ ）
A．1 B．
【答案】D


C． D．
，
。
∵两向量垂直，∴
【变式2】已知
（1）若
（2）若
（3）若
【答案】
(1)
即
，
，
，∴

。
，求实数k的值；
，求实数k的值；
取得最小值，求实数k的值。
，
，


由
(2)
，解得
，
；

，
即
(3)
，解得；

当时，取得最小值。
⊥，则的 【变式3】已知、B、C三点的坐标分别为A(4，1，3)，B（ 2，－5，1），C（3，7，），且
值为（ ）
A.28 B.－28 C.14 D.－14
【答案】D；
由
解得

4．已知ΔABC的顶点A(1,1,1),B(2,2,2),C(3,2,4)，求ΔABC的 面积.
，
，
，

解析：∵
∴

∴，
∴，
∴.
总结升华：已知三角形三顶点坐标，用向量的方法求经过三点的三角形的面积，是比较简便的一种方法.
举一反三：
【变式1】已知ΔABC中，A(2,-5,3),
【答案】设B（x,y,z），C（x
1
,y
1
,z
1
），
∵
,,求其余顶点、向量的坐标及∠A的大小.
∴
∴B(6,-4,5).
解得
∵
∴
∴C(9,-6,10).
∵
∴
=(-7,1,-7).
解得

∴
∴ .
【变式2】已知空间三点A（0，2，3），B（―2，1，6）C（1，―1，5）。
（1）求以
（2）若
【答案】
（1）由题中条件，可知，，
，为边的平行四边形的面积；
，且分别与，垂直，求向量的坐标。
∴。
∴
∴以，
。
为边的平行四边形面积
。
（2）设，由题意得，
解得或。
∴=（1，1，1）或=（―1，―1，―1）。
【变式3】已知点A（1，―2，11），B（4，2，3），C（6，―1，4），则△ABC的形状是（ ）
A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形
【答案】，。
∵
∴
又∵
答案：C

，∴∠ACB=90°
，
，∴△ABC为直角三角形。
5．已知ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
是棱长为1的正方体，建立如图所示的空间直角坐标系，试写出A 、B、C、D、
、、、、、、及的坐标表示。 A
1
、B
1
、C1
、D
1
各点的坐标，并写出

解析：A（1，0，0），B（1，1，0），C（0，1，0），D（0，0，0），
A
1
（1，0，1），B
1
（1，1，1），C
1
（0，1 ，1），D
1
（0，0，1）。


，
，
，
，
，
，
，
。
举一反三：
【变式1】已知ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
是棱长为2的正方体，E、F分别为BB
1
和DC的中点，建立 如图所示的空间直
角坐标系，试写出图中E、F点的坐标。













【答案】∵C（0，2，0），D（0，0，0）且F为DC的中点，
∴F（0，1，0）。
又∵B（2，2，0），B
1
（2，2，2），且E为BB
1
的中点，
∴E（2，2，1）。
【变式2】在空间直角坐标系O—xyz中，已知点A的坐 标为（—1，2，1），点B的坐标为（1，3，4），则（ ）
B． C． D． A．
【答案】C


，求证：A、B、C三点共线.
类型二：空间向量基本定理的应用
6．已知
证明：
法一：∵，
则，∴，又有公共点A
∴A、B、C三点共线.
法二：(x,y∈R)，则：
(2,4,1)=(3x,7x,5x)+(4y,10y,9y)=(3x+4y,7x+10y, 5x+9y)

∴










且x+y=1,

∴A、B、C三点共线.
总结升华：在空间直角坐标系下，两向量的共线，可灵活利用向量坐标通过方程求解.
举一反三
【变式】若空间三点A（1，5，―2），B（2，4，1），C（p，3，q+2 ）共线，则p=_____，q=_____。
【答案】3，2
与共线，即
，
。 A、B、C三点共线，则有
又∵，
∴
7．已知
，∴。
，证明：向量
共面，即证存在x,y∈R，使得
.


.
共面。
思路点拨：要证三向量
证明：假设存在x,y∈R，使得
则
又
得
∴存在x=2, y=-1, 使得
∴向量
总结升华：
共面。

.
①在向量坐标运算中，要注意方程思想的应用，若本题方程组无解，则表示不共面.
②在空间直角坐标系下，两向量的共线，三向量的共面问题，均可灵活应用共线，共面的基本定理，
利用向量坐标通过方程求解。
举一反三
【变式】已知，，，若三向量共面，则实数λ等于（ ）
A. B. C. D.
【答案】D；
由
设
三向量共面，
，则
即，解得
8．求证A（3，0，5），B（2，3，0），C（0，5，0），D（1，2，5）四点共面.
证明：
法一：证
∵
∴

，，
∴A、B、C、D四点共面.
法二：证
∵
显然
，
，

，
由共面向量定理，A，B，C，D四点共面.
法三：先求平面ABD的法向量，只需证
∵
设法向量
，

，
.
∴，∴
令x=1，则y=1，，∴
而
∴
∴

∴A、B、C、D四点共面.
举一反三：
【变式】证明：四点A(1,0,1), B(4,4,6), C(2,2,3), D(10,14,17) 在同一平面内.
证明：∵
设，
，
则：(9,14,16)=(3x+y, 4x+2y, 5x+2y)

∴,
,
∴A、B、C、D四点共面.
类型三：求平面的法向量

9．已知点,,，求平面
思路点拨：利用待定系数法，列方程组求面ABC的法向量。
解析：，
，则⊥且⊥，
的一个法向量。
设面ABC的法向量
即
令
∴向量
，则
，即

为平面
，解得，
的一个法向量.
总结升华：一般情况下求法向量用待定系数法。由于法向量没规定长度， 仅规定了方向，所以有一个自由度，
可把的某个坐标设为1，再求另两个坐标。平面法向量是垂直于平面 的向量，故法向量的相反向量也是法向量。
举一反三：
【变式1】已知：不共线三点
【答案】∵
设平面
，
的法向量
，
，
，
，，求平面的一个法向量.
则
令
∴向量
，则
，∴
，
为平面
，
即

的一个法向量.

【变式2】如图，正三棱柱
以为原点，，，的方向为
的所有棱长都为，、、分别为、、的中点，
轴的正方向建立空间直角坐标系．求平面的法向量。

【答案】∵

设平面
，
，
的法向量为
，，
．
,则，

，

令

，则
，即
，
为平面

，
的一个法向量．
基础达标：

1．在空间直角坐标系O—xyz中，下列说法正确的是（ ）
A．向量
C．向量
的坐标与点B的坐标相同 B．向量
的坐标与向量的坐标相同 D．向量
的坐标与点A的坐标相同
与向量的坐标相同
2．已知动点P的竖坐标为0，则动点P的轨迹是（ ）
A．平面 B．直线 C．不是平面，也不是直线 D．以上都不对
3．已知，，是空间直角坐标系O—xyz的坐标向量，并且，则B点的坐标为（ ）
A．（―1，1，―1） B． C．（1，―1，―1） D．不确定
4．与点P（1，3，5）关于原点成中心对称的点P＇的坐标是（ ）
A．（―1，―3，―5） B．（―1，―3，5） C．（1，―3，5） D．（―1，3，5）
5．从空间一点出发的三个不共线的向量、、确定的平面的个数是（ ）














A．1 B．2 C．3 D．1或3
6．点M（―1，3，―4）在坐标平面xOy、xOz、yOz内的射影的坐标分别是（ ）
A．（―1，3，0）、（―1，0，―4）、（0，3，―4）
B．（0，3，―4）、（―1，0，―4）、（0，3，―4）
C．（―1，3，0）、（―1，3，―4）、（0，3，―4）
D．（0，0，0）、（―1，0，0）、（0，3，0）
7．下列各组向量不平行的是（ ）
=（1，0，1） A．=（1，0，0），=（-3，0，0） B．=（0，1，0），
C．=（0，1，-1），=（0，-1，1） D．=（1，0，0），=（0，0，0）
，则x的值为（ ） 8．已知=（-3，2，5），=（1，x，-1）且
A．3 B．4 C．5 D．6
9．已知向量=（2，4，x），=（2，y，2），若














，且⊥，则x+y的值是（ ）
A．-3或1 B．3或-1 C．-3 D．1
10．已知△ABC的三个顶点为A（3，3，2），B（4，－3，7）， C（0，5，1），则BC边上的中线长
为（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
11．空间直角坐标系中，在x轴上的点P
1
的坐标特征为_ ______；在y轴上的点P
2
的坐标特征为________；
在z轴上的 点P
3
的坐标特点为________；在yOz平面上的点P
4
的坐标特点 为________；在yOz平面上
的点P
5
的坐标特征为________ ；在xOz平面上点P
6
的坐标特征为________。
12．已知=（2，－1，3），=（―4，2，x），且⊥，则x的值是________。
13．已知向量=（1，-1，2），=（-1，2，2）且k+与2+互相垂直，则k=________。
14．若，，且与夹角的余弦值为
，且|
，则等于_________
的二倍. 则点B的坐 15．已知：点A(1,-2,0)和向量=(-3,4,12)，若向量
标_________
16、设ABCD的两边是向量
|等于
，则ABCD的面积是_____.
能力提升：









17．已知ΔABC三顶点A(0,0,3),B(4,0,0),C(0,8,-3)，试求：
①三角形三边长；
②三角形三内角；
③三角形三中线长；
（D在BC上），求与x轴，y轴，z轴的夹角余弦.
取最小值时，求
④角A的平分线所在向量为
18．已知A（1，2，3），B（2，1，2），P（1，1，2）， 点Q在直线OP上运动，求当
点Q的坐标。
19．已知=（1-t，1-t,t），=（2，t，t），求的最小值。

20．如图 ，长方体ABCD—A
1
B
1
C
1
D
1
中 ，AB=2，BC=1，CC
1
=1，求：

（1）
（2）

在
在
上的投影；
上的投影。

21．在空间直角坐标系中，设A（a，b，c），试分别写出它 关于xOy面、xOz面、yOz面及原点对称的点的坐标。

22．已知A、B、C三 点坐标分别为（2，―1，2）、（4，5，―1）、（―2，2，3），求满足下列条件的P点坐标。
（1）；
（2）

。
综合探究：

23．已知A（1，0，0），B（0，1，0），C（0，0，2），求满足下列条件的点D的坐标。
（1）DB∥AC，DC∥AB；
（2）DB⊥AC，DC⊥AB且AD=BC。
参考答案：

基础达标：

1．D
解析：空间向量的坐标有两种形式可以得到：
（1）将向量的起点移到原点，终点坐标就是向量的坐标；
（2）向量的坐标等于表示向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标。
2．A
解析：竖坐标为0，横坐标、纵坐标为任意实数，这样的点都在xOy平面内。
3．D
解析：向量确定时，终点坐标随着起点坐标的变化而变化，本题中起点没固定，
∴终点的坐标也不确定。
4．A
解析：P（x，y，z）关于原点成中心对称的点P＇为（―x，―y，―z）。
5．D
解析：当三个不共线的向量共面时，它们确定一个平面，当三个不共线的向量不共面时，
它们确定三个平面。
6．A
解析：自点M向坐标平面xOy引垂线，垂足M
0
就是M点在坐标平面内的射影，
竖坐标z
M0
=0，则M
0
（―1，3，0），其余情况同理。
7．B
8．C
9．A
10．B；
法一：BC边上的中线长
法二：由中点坐标公式可得BC边上的中点为
。
，再由两点间的距离公式可得
11．（x，0，0） （0，y，0） （0，0，z） （x，y，0） （0，y，z） （x，0，z）
解析：在x轴上的点P
1
的 坐标特征是横坐标为任意实数，纵坐标和竖坐标都为零，其他情况同理。
12．
解析：⊥·=0，即2×(―4)+(―1)×2+3x=0，∴。
13．
14．―2或
解析：∵，∴，
∴=―2或。
15、(-5,6,24)或(7,-10,-24).
16、
能力提升：

17．①.
②.
③
④，
18．解析：设，可算得，
∴时，取量小值，此时
19．
20．解析：
（1）
（2）
在
在
上的投影为
上的投影为
；
。
21．解析：∵A（a，b，c），
∴它关于xOy面、xOz面、yOz面、原点对称的点的坐标分别为
A
1< br>（a，b，―c）、A
2
（a，―b，c）、A
3
（―a，b，c）、 A
4
（―a，―b，―c）。
22．解析：，，
（1）
（2）设P（x，y，z），则
，则P点坐标为
。
。
又，
∴，∴，，。
故P点坐标为。
综合探究：

23．解析：
设点D的坐标为（x，y，z），
则，，
，，
，。
（1）∵DB∥AC，DC∥AB，∴
即，解得。
此时点D（－1，1，2）。
（2）∵，，
又∵DB⊥AC，DC⊥AB，且AD=BC，
∴，且。
∴，解得，或。
∴点

或点。