高中数学圆锥曲线问题常用方法经典例题(含答案)

专题：解圆锥曲线问题常用方法（一）
【学习要点】

解圆锥曲线问题常用以下方法：
1、定义法
（1）椭圆有两种定义。第一定义中， r
1
+r
2
=2a。第二定义中，r
1
=ed
1< br> r
2
=ed
2
。
（2）双曲线有两种定义。 第一定义中，
r
1
?r
2
?2a
，当r
1
>r
2
时，注意r
2
的最
小值为c-a：第二定义中，r
1
=ed
1
，r
2
=ed
2
，尤其应注意第二定义的 应用，常常将 半
径与“点到准线距离”互相转化。
（3）抛物线只有一种定义， 而此定义的作用较椭圆、双曲线更大，很多抛物线
问题用定义解决更直接简明。
2、韦达定理法
因直线的方程是一次的，圆锥曲线的方程是二次的，故直线与圆锥曲 线的问题常
转化为方程组关系问题，最终转化为一元二次方程问题，故用韦达定理及判别式是解
决圆锥曲线问题的重点方法之一，尤其是弦中点问题，弦长问题，可用韦达定理直接
解决，但应注意不要 忽视判别式的作用。
3、解析几何的运算中，常设一些量而并不解解出这些量，利用这些量过 渡使问
题得以解决，这种方法称为“设而不求法”。设而不求法对于直线与圆锥曲线相交而
产生 的弦中点问题，常用“点差法”，即设弦的两个端点A(x
1
,y
1
),B( x
2
,y
2
),弦AB中点
为M(x
0
,y
0
)，将点A、B坐标代入圆锥曲线方程，作差后，产生弦中点与弦斜率的关
系，这是一种常 见的“设而不求”法，具体有：
x
2
y
2
（1）
2
?
2
?1(a?b?0)
与直线相交于A、B，设弦AB中点为M(x0
,y
0
)，
ab
则有
x
0
y
0
?k?0
。
a
2
b
2
x
2
y
2
（2 ）
2
?
2
?1(a?0,b?0)
与直线l相交于A、B，设弦AB 中点为M(x
0
,y
0
)
ab
则有
x
0< br>y
0
?
2
k?0

2
ab

1

（3）y
2
=2px（p>0）与直线l相交 于A、B设弦AB中点为M(x
0
,y
0
),则有2y
0
k =2p,
即y
0
k=p.

【典型例题】

例1 、(1)抛物线C:y
2
=4x上一点P到点A(3,4
2
)与到准线的距离 和最小,则点 P
的坐标为______________
(2)抛物线C: y
2
=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小,则点Q的坐
标为 。
分析：（1）A在抛物线外，如图，连PF，则
PH?PF
，因而易发
现 ，当A、P、F三点共线时，距离和最小。
（2）B在抛物线内，如图，作QR⊥l交于R，则当B、Q、R三点共
线时，距离和最小。
解：（1）（2，
2
）
连PF，当A、P、F三点共线时，
AP? PH?AP?PF
最小，此时AF的方
程为
y?
为(
H
P< br>F
A
Q
B
42?0
(x?1)
即 y=2
2
(x-1),代入y
2
=4x得P(2,2
2
)，（注：另一交点
3?1
1
,?2
)，它为直线AF与抛物线的另一交点，舍去）
2
（2）（
1
,1
）
4
过Q作QR⊥l交于R， 当B、Q、R三点共线时，
BQ?QF?BQ?QR
最小，
此时Q点的纵坐标为1，代 入y
2
=4x得x=
11
，∴Q(
,1
)
44< br>点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，
请仔细体会。 < br>x
2
y
2
??1
的右焦点，A(1,1)为椭圆内一定点，P 为椭圆上一动例2、F是椭圆
43
点。
F
0
′
y
A
F
P
H
x

2

（1）
PA?PF
的最小值为
（2）
PA?2PF
的最小值为
分析： PF为椭圆的一个焦半径，常需将另一焦半径
PF
?
或准线作出来考虑问题。
解：（1）4-
5

设另一焦点为
F
?
，则
F
?
(-1,0)连A
F
?
,P
F
?


PA?PF?PA?2a?PF
?
?2a?(PF
?
?PA)?2a?AF
?
?4?5

当P是
F
?
A的延长线与椭圆的交点时,
PA?PF
取得最小值为4-
5
。
（2）3
作 出右准线l，作PH⊥l交于H，因a
2
=4，b
2
=3，c
2=1， a=2，c=1，e=
∴
PF?
1
，
2
1
PH,即2PF?PH

2
∴
PA?2PF?PA?PH

a
2
?x
A
?4?1?3
当A、P、H三点共线时，其和最小，最小值为
c

例3、动圆M与圆C
1< br>:(x+1)
2
+y
2
=36内切,与圆C
2
:(x -1)
2
+y
2
=4外切,求圆心M的轨
迹方程。
分析： 作图时，要注意相切时的“图形特征”：两个圆心与切点
这三点共线（如图中的A、M、C共线，B、D 、M共线）。列式的主
要途径是动圆的“半径等于半径”（如图中的
MC?MD
）。
解：如图，
MC?MD
，
∴
AC?MA?MB?DB即6?MA?MB?2

∴
MA?MB?8
（*）
y
M
D
C
5
x
A
0
B
x
2
y
2
??1< br> ∴点M的轨迹为椭圆，2a=8，a=4，c=1，b=15轨迹方程为
1615
2

3

点评：得到方程（*）后，应直接利用椭圆的定义写出方程，而 无需再用距离公
22
式列式求解，即列出
(x?1)?y?(x?1)
2?y
2
?4
，再移项，平方，?相当
于将椭圆标准方程推导了一遍，较繁 琐！
例4、△ABC中，B(-5,0),C(5,0),且sinC- sinB=
3
sinA,求点A的轨迹方程。
5
分析：由于sinA、si nB、sinC的关系为一次齐次式，两边乘以2R（R为外接圆
半径），可转化为边长的关系。
解：sinC-sinB=
33
sinA 2RsinC-2RsinB=·2RsinA
55
∴
AB?AC?
3
BC

5
即
AB?AC?6
（*）
∴点A的轨迹为双曲线的右支（去掉顶点）
∵2a=6，2c=10
∴a=3， c=5， b=4
x
2
y
2
??1
（x>3） 所求轨 迹方程为
916
点评：要注意利用定义直接解题，这里由（*）式直接用定义说明了轨迹（双曲
线右支）
例5、定长为3的线段AB的两个端点在y=x
2
上移动，AB中 点为M，求点M到
x轴的最短距离。
分析：（1）可直接利用抛物线设点，如设A(x
1
,x
1
2
)，B(x
2
，X
2
2)，又设AB中点
为M(x
0
y
0
)用弦长公式及中点公式得出 y
0
关于x
0
的函数表达式，再用函数思想求出最
短距离。
（2）M到x轴的距离是一种“点线距离”，可先考虑M到准线的距离，想到用
定义法。 解法一：设A(x
1
，x
1
2
)，B(x
2
， x
2
2
)，AB中点M(x
0
，y
0
)

4

22
?
(x
1
?x
2
)
2
?(x
1
2
?x
2
)?9
则
?

①
?
x
1
?x
2
?2x
0
②
?
22
x?x?2y
20
?
1
③
由①得 (x
1
-x
2
)
2
[1+(x
1
+x2
)
2
]=9
即[(x
1
+x
2
)
2
-4x
1
x
2
]·[1+(x
1
+x< br>2
)
2
]=9 ④
由②、③得2x
1
x
2
=(2x
0
)
2
-2y
0
=4x
02
-2y
0

代入④得 [(2x
0
)
2-(8x
0
2
-4y
0
)]·[1+(2x
0
)
2
]=9
2
∴
4y
0
?4x
0
?
9
， < br>2
1?4x
0
2
4y
0
?4x
0
?
99
2
?(4x?1)??1

0
22
4x
0
4x
0
?1
5

4
≥
29?1?5,

y
0
?
当4x
0
2
+1=3 即
x< br>0
??
5
225
时，
(y
0
)
mi n
?
此时
M(?,)

4
224
法二：如图，2MM
2
?AA
2
?BB
2
?AF?BF?AB?3< br>
∴
MM
2
?
313
， 即
MM
1
??
，
242
A
A
1
A
2
y
M
B
5
∴
MM
1
?
， 当AB经过焦点F时取得最小值。
4
∴M到x轴的最短距离为
0
M< br>1
M
2
B
1
B
2
x
5

4

5

点评：解法一是列出方程组，利用整体消 元思想消x
1
，x
2
，从而形成y
0
关于x
0的函数，这是一种“设而不求”的方法。而解法二充分利用了抛物线的定义，巧妙地
将中点M到x轴 的距离转化为它到准线的距离，再利用梯形的中位线，转化为A、B
到准线的距离和，结合定义与三角形 中两边之和大于第三边（当三角形“压扁”时，
两边之和等于第三边）的属性，简捷地求解出结果的，但 此解法中有缺点，即没有验
证AB是否能经过焦点F，而且点M的坐标也不能直接得出。
x< br>2
y
2
??1(2?m?5)
过其左焦点且斜率为1的直线与椭圆例6 、已知椭圆
mm?1
及准线从左到右依次变于A、B、C、D、设f(m)=
AB?C D
,（1）求f(m),（2）求
f(m)的最值。
分析：此题初看很复杂，对f( m)的结构不知如何运算，因A、B来源于“不同系
统”，A在准线上，B在椭圆上，同样C在椭圆上， D在准线上，可见直接求解较繁，
将这些线段“投影”到x轴上，立即可得防
f(m)?(x
B
?x
A
)2?(x
D
?x
C
)2?2( x
B
?x
A
)?(x
D
?X
C
)


?

?
2(x
B
?xC
)?(x
A
?x
D
)

2(x
B
?X
C
)

A
B
yC
F
1
0
F
2
D
x
此时问题已明朗化 ，只需用韦达定理即可。
x
2
y
2
??1
中，a
2
=m，b
2
=m-1，c
2
=1，左焦点F
1
( -1,0) 解：（1）椭圆
mm?1
则BC:y=x+1,代入椭圆方程即(m-1)x2
+my
2
-m(m-1)=0
得(m-1)x
2
+ m(x+1)
2
-m
2
+m=0
∴(2m-1)x
2
+2mx+2m-m
2
=0

6

设B(x
1
,y
1
),C( x
2
,y
2
),则x
1
+x
2
=-
2m
(2?m?5)

2m?1
f(m)?AB?CD?2(x
B
?x
A
)?(x
D
?x
C
)
2m

?2(x
1
?x
2
)?(x
A
?x
C)?2x
1
?x
2
?2?
2m?1
（2）
f( m)?2
2m?1?11
?2(1?)

2m?12m?1
∴当m= 5时，
f(m)
min
?
102

9
42

3
当m=2时，
f(m)
max
?
点评：此题因最终需 求
x
B
?x
C
，而BC斜率已知为1，故可也用“点差法”设
BC中点为M(x
0
,y
0
),通过将B、C坐标代入作差，得
x
0
y
?
0
?k?0
，将y
0
=x
0
+1，
mm?1
k=1代入得
x
0
x
0
?1
m
2m
??0
，∴
x
0
??
，可见< br>x
B
?x
C
??

2m?1
mm?1
2m?1
当然，解本题的关键在于对
f(m)?AB?CD
的认识，通过线段在x轴 的“投
影”发现
f(m)?x
B
?x
C
是解此题的要点。

【同步练习】

x
2
y
2
1、已知：F
1
，F
2
是双曲线
2
?
2
?1
的 左、右焦点，过F
1
作直线交双曲线左
ab
支于点A、B，若
AB? m
，△ABF
2
的周长为（ ）
A、4a B、4a+m C、4a+2m D、4a-m

7

2、若点P到点F(4,0)的距离比它到直线x+5=0的距离小1，则P点的轨迹方程是

（ ）
A、y
2
=-16x B、y
2
=-32x C、y
2
=16x D、y
2
=32x
3、已知△ABC的三边AB、BC、AC的长依次成等差数列， 且
AB?AC
，点
B、C的坐标分别为(-1，0)，(1，0)，则顶点A的轨迹方 程是（ ）
x
2
y
2
x
2
y
2
??1(x?0)

??1
B、A 、
43
43
x
2
y
2
x
2
y2
??1(x?0)
D、
??1(x?0且y?0)
C、
4343
4、过原点的椭圆的一个焦点 为F(1，0)，其长轴长为4，则椭圆中心的轨迹方程
是

（ ）
A、
(x?)?y?
C、
x?(y?)?
2
1
2
22
919
(x??1)
B、
(x?)
2
?y
2
?(x??1)

424
919
(x??1)
D、
x
2
?(y?)
2
?(x??1)

424< br>1
2
2
x
2
y
2
??1
上一点M的 横坐标为4，则点M到左焦点的距离是 5、已知双曲线
916
6、抛物线y=2x
2
截一组斜率为2的平行直线，所得弦中点的轨迹方程是
7、 已知抛物线y
2
=2x的弦AB所在直线过定点p(-2，0)，则弦AB中点的轨迹方
程是

8、过双曲线x
2
-y
2
=4的焦点且平行于虚轴的弦长为
9、直线y=kx+1与双曲线x
2
-y
2
=1的交点个数只有一个 ，则k=
x
2
y
2
??1
上的动点，F
1
，F
2
是椭圆的两个焦点，求sin∠10、设点P 是椭圆
259
F
1
PF
2
的最大值。


8

11、已知椭圆的中心在原点 ，焦点在x轴上，左焦点到坐标原点、右焦点、右准
线的距离依次成等差数列，若直线l与此椭圆相交于 A、B两点，且AB中点M为(-2，
1)，
AB?43
，求直线l的方程和椭圆方程 。




x
2
y
2
12、已 知直线l和双曲线
2
?
2
?1(a?0,b?0)
及其渐近线的交点 从左到右
ab
依次为A、B、C、D。求证：
AB?CD
。







【参考答案】

1、C
AF
2
?AF
1
?2a,BF
2
?BF< br>1
?2a
，
∴
AF
2
?BF
2
? AB?4a,AF
2
?BF
2
?AB?4a?2m,
选C
2、C
点P到F与到x+4=0等距离，P点轨迹为抛物线 p=8开口向右，则方程为y
2
=16x，
选C
3、D
∵
AB?AC?2?2
，且
AB?AC


9

∵点A的轨迹为椭圆在y轴右方的部分、又A、B、C三点不共线，即y≠0，故
选D。
4、A
设中心为(x，y)，则另一焦点为(2x-1，2y)，则原点到两焦点距离和为4 得
19
1?(2x?1)
2
?(2y)
2
?4
，∴
(x?)
2
?y
2
?

24
22
①又c(x?1)?y?2

∴(x-1)
2
+y
2
<4 ②，由①，②得x≠-1，选A
5、
29

3
9929
，M到左准线距离为
d?4?(?)?
则M到左焦点的 距离
555
左准线为x=-
为
ed?
52929
??

353
11
(y?)

22
6、
x?
设弦为AB，A(x
1
，y
1
)，B(x
2
，y
2
)AB中点为(x，y)，则y
1
=2x
1
2
，y
2
=2x
2
2
，y
1
-y
2
=2(x1
2
-x
2
2
)
∴
y
1
? y
2
1
?2(x
1
?x
2
)
∴2=2·2x，
x?

2
x
1
?x
2
1 111
代入y=2x
2
得
y?
，轨迹方程是
x?
( y>)
2222
将
x?
7、y
2
=x+2(x>2) < br>设A(x
1
，y
1
)，B(x
2
，y
2)，AB中点M(x，y)，则
22
y
1
2
?2x
1
,y
2
?2x
2
,y
1
2
?y
2
?2(x
1
?x
2
),
y
1
?y
2
?(y
1
?y
2
)?2

x
1
?x
2
∵
k
AB
?k
MP
?
y?0y?2y?2
，即y
2
=x+2 ，∴
x?2x?2
又弦中点在已 知抛物线内P，即y
2
<2x，即x+2<2x，∴x>2
8、4

10

a
2
?b
2
?4,c2
?8,c?22
，令
x?22
代入方程得8-y
2
= 4
∴y
2
=4，y=±2，弦长为4
9、
?2或?1

y=kx+1代入x
2
-y
2
=1得x
2
-(kx +1)
2
-1=0
∴(1-k
2
)x
2
-2kx-2=0
?
1?k
2
?0
①
?
得4k
2
+8(1-k
2)=0，k=
?2

?
??0
②1-k
2
=0得k=±1
10、解：a
2
=25，b
2
=9，c
2
=16
设F
1
、F
2
为左、右焦点，则F
1
(-4，0) F
2
(4，0)
①
2
?
?
设
PF< br>1
?r
1
,PF
2
?r
2
,?F
1
PF
②
则
?
r
1
?r
2
?2
?

?
222
?
r
1
?r
2
?2r
1
r
2
cos
?
?(2c)
y
P
F
1F
2
x
①
2
-②得2r
1
r
2
(1+cosθ)=4b
2

4b
2
2b
2
∴1+cosθ= ∵r
1
+r
2
?2r
1
r
2
， ∴r
1
r
2
的最大值为a
2

?
2r1
r
2
r
1
r
2
18
2b
2
∴1+cosθ的最小值为
2
，即1+cosθ
?

25
a
cosθ
??
77
?
，
0??
?
?
?arccos
则当
?
?
时，sinθ 取值得最大值1，
25252
即sin∠F
1
PF
2
的最大值为1。
x
2
y
2
11、设椭圆方程为
2
?
2
? 1(a?b?0)

ab
a
2
?c
成等差数列， 由题意： C、2C、
c
a
2
?c即a
2
?2c
2
， ∴
4c?c?
c
∴a
2
=2(a
2
-b
2
),∴a
2
=2b
2


11

x
2
y
2
椭圆方程为
2
?
2
?1
，设A(x
1
，y
1
)，B(x
2
，y
2
)
2bb
22
x
1
2
y
1
2
x
2
y
2
??1
② 则
2
?
2
?1
①
2bb2b
2
b
2
22
x
1
2
?x
2
y
1
2< br>?y
2
??0
①-②得
22
2bb
∴
x< br>m
y
m
??k?0

22
2bb
?2
?k?0
∴k=1
2
即
直线AB方程为y-1=x+2即y=x+3， 代入椭圆方程即x
2< br>+2y
2
-2b
2
=0得
x
2
+2(x+3 )
2
-2b
2
=0
∴3x
2
+12x+18-2b
2
=0，
AB?x1
?x
2
1?1?
2
1
12
2
?12 (18?2b
2
)2?43

3
x
2
y
2
??1
，直线l方程为x-y+3=0 解得b=12， ∴椭圆方程为
2412
12、证明：设A(x
1
，y1
)，D(x
2
，y
2
)，AD中点为M(x
0
，y
0
)直线l的斜率为k，则
?
x
1
2
y< br>1
2
2x
0
??1
①
?
①-②得
?
a
2
b
2
2

?
2< br>a
2
?
x
2
?
y
2
?1
②
?
?
a
2
b
2
?
2y
0
?k?0
③
2
b
?
,y
1
?
),C( x
2
?
,y
2
?
),BC中点为M
?
(x
0
?
,y
0
?
)
， 设
B(x
1
?
x
1
2
y
1
2
1
?
1
2
?0

④
2
则
?



?
ab

?
1
22
y
1
?
x
2
?
2
2
?0
⑤
?
2
b
?
a
1
?
2y
0
2x
1< br>④-⑤得
2
?
2
?k?0
⑥
ab
由③、 ⑥知M、
M
?
均在直线
l
?
:
2x2y
? ?k?0
上，而M、
M
?
又在直线l上 ，
a
2
b
2

12

若l过原点，则B、C重合于原点，命题成立
若l与x轴垂直，则由对称性知命题成立
若l不过原点且与x轴不垂直，则M与
M
?
重合
∴
AB?CD


13